ISO 80000-2:2009
(Main)Quantities and units - Part 2: Mathematical signs and symbols to be used in the natural sciences and technology
Quantities and units - Part 2: Mathematical signs and symbols to be used in the natural sciences and technology
ISO 80000-2:2009 gives general information about mathematical signs and symbols, their meanings, verbal equivalents and applications. The recommendations in ISO 80000-2:2009 are intended mainly for use in the natural sciences and technology, but also apply to other areas where mathematics is used.
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Standards Content (Sample)
INTERNATIONAL ISO
STANDARD 80000-2
First edition
2009-12-01
Quantities and units —
Part 2:
Mathematical signs and symbols to be
used in the natural sciences and
technology
Grandeurs et unités —
Partie 2: Signes et symboles mathématiques à employer dans les
sciences de la nature et dans la technique
Reference number
ISO 80000-2:2009(E)
©
ISO 2009
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ISO 80000-2:2009(E)
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Published in Switzerland
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ISO 80000-2:2009(E)
Contents Page
Foreword .iv
Introduction.vi
1 Scope.1
2 Normative references.1
3 Variables, functions, and operators .1
4 Mathematical logic.3
5 Sets.4
6 Standard number sets and intervals .6
7 Miscellaneous signs and symbols .8
8 Elementary geometry.10
9 Operations.11
10 Combinatorics .14
11 Functions.15
12 Exponential and logarithmic functions .18
13 Circular and hyperbolic functions .19
14 Complex numbers .21
15 Matrices.22
16 Coordinate systems.24
17 Scalars, vectors, and tensors .26
18 Transforms.30
19 Special functions.31
Annex A (normative) Clarification of the symbols used.36
Bibliography.40
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ISO 80000-2:2009(E)
Foreword
ISO (the International Organization for Standardization) is a worldwide federation of national standards bodies
(ISO member bodies). The work of preparing International Standards is normally carried out through ISO
technical committees. Each member body interested in a subject for which a technical committee has been
established has the right to be represented on that committee. International organizations, governmental and
non-governmental, in liaison with ISO, also take part in the work. ISO collaborates closely with the
International Electrotechnical Commission (IEC) on all matters of electrotechnical standardization.
International Standards are drafted in accordance with the rules given in the ISO/IEC Directives, Part 2.
The main task of technical committees is to prepare International Standards. Draft International Standards
adopted by the technical committees are circulated to the member bodies for voting. Publication as an
International Standard requires approval by at least 75 % of the member bodies casting a vote.
Attention is drawn to the possibility that some of the elements of this document may be the subject of patent
rights. ISO shall not be held responsible for identifying any or all such patent rights.
ISO 80000-2 was prepared by Technical Committee ISO/TC 12, Quantities and units, in collaboration with
IEC/TC 25, Quantities and units.
This first edition cancels and replaces ISO 31-11:1992, which has been technically revised. The major
technical changes from the previous standard are the following:
⎯ Four clauses have been added, i.e. “Standard number sets and intervals”, “Elementary geometry”,
“Combinatorics” and “Transforms”.
ISO 80000 consists of the following parts, under the general title Quantities and units:
⎯ Part 1: General
1)
⎯ Part 2: Mathematical signs and symbols to be used in the natural sciences and technology
⎯ Part 3: Space and time
⎯ Part 4: Mechanics
⎯ Part 5: Thermodynamics
⎯ Part 7: Light
⎯ Part 8: Acoustics
⎯ Part 9: Physical chemistry and molecular physics
⎯ Part 10: Atomic and nuclear physics
⎯ Part 11: Characteristic numbers
⎯ Part 12: Solid state physics
1) Title to be shortened to read “Mathematics” in the second edition of ISO 80000-2.
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ISO 80000-2:2009(E)
IEC 80000 consists of the following parts, under the general title Quantities and units:
⎯ Part 6: Electromagnetism
⎯ Part 13: Information science and technology
⎯ Part 14: Telebiometrics related to human physiology
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ISO 80000-2:2009(E)
Introduction
Arrangement of the tables
The first column “Item No.” of the tables contains the number of the item, followed by either the number of the
corresponding item in ISO 31-11 in parentheses, or a dash when the item in question did not appear in
ISO 31-11.
The second column “Sign, symbol, expression” gives the sign or symbol under consideration, usually in the
context of a typical expression. If more than one sign, symbol or expression is given for the same item, they
are on an equal footing. In some cases, e.g. for exponentiation, there is only a typical expression and no
symbol.
The third column “Meaning, verbal equivalent” gives a hint on the meaning or how the expression may be read.
This is for the identification of the concept and is not intended to be a complete mathematical definition.
The fourth column “Remarks and examples” gives further information. Definitions are given if they are short
enough to fit into the column. Definitions need not be mathematically complete.
The arrangement of the table in Clause 16 “Coordinate systems” is somewhat different.
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INTERNATIONAL STANDARD ISO 80000-2:2009(E)
Quantities and units —
Part 2:
Mathematical signs and symbols to be used in the natural
sciences and technology
1 Scope
ISO 80000-2 gives general information about mathematical signs and symbols, their meanings, verbal
equivalents and applications.
The recommendations in ISO 80000-2 are intended mainly for use in the natural sciences and technology, but
also apply to other areas where mathematics is used.
2 Normative references
The following referenced documents are indispensable for the application of this document. For dated
references, only the edition cited applies. For undated references, the latest edition of the referenced
document (including any amendments) applies.
2)
ISO 80000-1:— , Quantities and units — Part 1: General
3 Variables, functions and operators
Variables such as x, y, etc., and running numbers, such as i in Σ x are printed in italic (sloping) type.
i i
Parameters, such as a, b, etc., which may be considered as constant in a particular context, are printed in
italic (sloping) type. The same applies to functions in general, e.g. f, g.
An explicitly defined function not depending on the context is, however, printed in Roman (upright) type, e.g.
sin, exp, ln, Γ. Mathematical constants, the values of which never change, are printed in Roman (upright) type,
2
e.g. e = 2,718 218 8…; π = 3,141 592…; i = −1. Well-defined operators are also printed in Roman (upright)
style, e.g. div, δ in δx and each d in df/dx.
Numbers expressed in the form of digits are always printed in Roman (upright) style, e.g. 351 204; 1,32; 7/8.
The argument of a function is written in parentheses after the symbol for the function, without a space
between the symbol for the function and the first parenthesis, e.g. f(x), cos(ωt + ϕ). If the symbol for the
function consists of two or more letters and the argument contains no operation symbol, such as +, −, ×, ⋅ or / ,
the parentheses around the argument may be omitted. In these cases, there should be a thin space between
the symbol for the function and the argument, e.g. int 2,4; sin nπ; arcosh 2A; Ei x.
If there is any risk of confusion, parentheses should always be inserted. For example, write cos(x) + y; do not
write cos x + y, which could be mistaken for cos(x + y).
2) To be published. (Revision of ISO 31-0:1992)
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ISO 80000-2:2009(E)
A comma, semicolon or other appropriate symbol can be used as a separator between numbers or
expressions. The comma is generally preferred, except when numbers with a decimal comma are used.
If an expression or equation must be split into two or more lines, one of the following methods shall be used.
a) Place the line breaks immediately after one of the symbols =, +, −, ± or ∓, or, if necessary, immediately
after one of the symbols ×, ⋅, or /. In this case, the symbol indicates that the expression continues on the
next line or next page.
b) Place the line breaks immediately before one of the symbols =, +, −, ± or ∓, or, if necessary, immediately
before one of the symbols ×, ⋅, or /. In this case, the symbol indicates that the expression is a continuation
of the previous line or page.
The symbol shall not be given twice around the line break; two minus signs could for example give rise to sign
errors. Only one of these methods should be used in one document. If possible, the line break should not be
inside of an expression in parentheses.
It is customary to use different sorts of letters for different sorts of entities. This makes formulas more readable
and helps in setting up an appropriate context. There are no strict rules for the use of letter fonts which should,
however, be explained if necessary.
2 © ISO 2009 – All rights reserved
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ISO 80000-2:2009(E)
4 Mathematical logic
Sign, symbol,
Item No. Meaning, verbal equivalent Remarks and examples
expression
2-4.1 conjunction of p and q,
p ∧ q
(11-3.1) p and q
disjunction of p and q,
2-4.2 This “or” is inclusive, i.e.
p ∨ q
(11-3.2) p or q p ∨ q is true, if either p or q, or both are
true.
negation of p,
2-4.3
¬ p
(11-3.3) not p
2-4.4 p implies q,
p ⇒ q q ⇐ p has the same meaning as p ⇒ q.
(11-3.4) if p, then q
⇒ is the implication symbol.
2-4.5 p is equivalent to q
p ⇔ q (p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p) has the same meaning as
(11-3.5)
p ⇔ q.
⇔ is the equivalence symbol.
2-4.6 for every x belonging to A, the lf it is clear from the context which set A is
∀x ∈ A p(x)
proposition p(x) is true
(11-3.6) being considered, the notation ∀x p(x) can
be used.
∀ is the universal quantifier.
For x ∈ A, see 2-5.1.
2-4.7 there exists an x belonging to A lf it is clear from the context which set A is
∃x ∈ A p(x)
for which p(x) is true
(11-3.7) being considered, the notation ∃x p(x) can
be used.
∃ is the existential quantifier.
For x ∈ A, see 2-5.1.
1
∃ x p(x) is used to indicate that there is
exactly one element for which p(x) is true.
1
∃! is also used for ∃ .
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ISO 80000-2:2009(E)
5 Sets
Sign, symbol,
Item No. Meaning, verbal equivalent Remarks and examples
expression
2-5.1 x belongs to A,
x ∈ A A ∋ x has the same meaning as x ∈ A.
(11-4.1) x is an element of the set A
y does not belong to A,
2-5.2
y ∉ A A ∌ y has the same meaning as y ∉ A.
(11-4.2) y is not an element of the set A
The negating stroke may also be vertical.
2-5.3 {x , x , …, x } set with elements x , x , …, x
Also {x | i ∈ I}, where I denotes a set of
1 2 n 1 2 n
i
(11-4.5) subscripts.
EXAMPLE {x ∈ R | x u 5}
2-5.4 set of those elements of A for
{x ∈ A | p(x)}
lf it is clear from the context which set A is being
which the proposition p(x) is
(11-4.6)
considered, the notation {x | p(x)} can be used
true
(for example {x | x u 5}, if it is clear that x is a
variable for real numbers).
2-5.5 card A number of elements in A, The cardinality can be a transfinite number.
(11-4.7) cardinality of A See also 2-9.16.
A
2-5.6 the empty set
∅
(11-4.8)
2-5.7 B is included in A, Every element of B belongs to A.
B ⊆ A
(11-4.18) B is a subset of A
⊂ is also used, but see remark to 2-5.8.
A ⊇ B has the same meaning as B ⊆ A.
2-5.8 B is properly included in A, Every element of B belongs to A, but at
B ⊂ A
least one element of A does not belong
(11-4.19) B is a proper subset of A
to B.
lf ⊂ is used for 2-5.7, then ⊊ shall be used
for 2-5.8.
A ⊃ B has the same meaning as B ⊂ A.
2-5.9 union of A and B The set of elements which belong to A or
A ∪ B
to B or to both A and B.
(11-4.24)
A ∪ B = {x | x ∈ A ∨ x ∈ B}
2-5.10 intersection of A and B The set of elements which belong to both A
A ∩ B
and B.
(11-4.26)
A ∩ B = {x | x ∈ A ∧ x ∈ B}
2-5.11 n union of the sets A , A , …, A The set of elements belonging to at least
1 2 n
A one of the sets A , A , ., A
∪ i 1 2 n
(11-4.25)
i=1
n
, and are also used,
∪ ∪ ∪
A ∪ A ∪ …
i=1 iI∈
1 2
iI∈
∪ A
n
where I denotes a set of subscripts.
2-5.12 n intersection of the sets A , …, A The set of elements belonging to all sets
1 n
A A , A , ., A
∩ i 1 2 n
(11-4.27)
i=1
n
, and are also used,
∩ ∩ ∩
A ∩ A ∩ … i=1 iI∈
1 2
iI∈
∩ A
n
where I denotes a set of subscripts.
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ISO 80000-2:2009(E)
Sign, symbol,
Item No. Meaning, verbal equivalent Remarks and examples
expression
2-5.13 difference of A and B, The set of elements which belong to A but
A ∖ B
not to B.
(11-4.28) A minus B
A ∖ B = {x | x ∈ A ∧ x ∉ B}
A − B should not be used.
∁ B is also used. ∁ B is mainly used
A A
when B is a subset of A, and the symbol A
may be omitted if it is clear from the
context which set A is being considered.
2-5.14 (a, b) ordered pair a, b, (a, b) = (c, d) if and only if a = c and b = d.
(11-4.30) couple a, b
If the comma can be mistaken as the
decimal sign, then the semicolon (;) or a
stroke (⏐) may be used as separator.
2-5.15 (a , a , …, a) ordered n-tuple See remark to 2-5.14.
1 2 n
(11-4.31)
2-5.16 A × B Cartesian product of the sets A The set of ordered pairs (a, b) such that
and B
(11-4.32) a ∈ A and b ∈ B.
A × B = {(x, y) | x ∈ A ∧ y ∈ B}
n The set of ordered n-tuples (x , x , …, x )
2-5.17 Cartesian product of the sets
1 2 n
such that x ∈ A , x ∈ A , …, x ∈ A .
A A , A , …, A
i 1 1 2 2 n n
1 2 n
(—) Π
i=1
n
A × A × . × A is denoted by A , where n is
A××AA.× the number of factors in the product.
12 n
id identity relation on A,
2-5.18
id is the set of all pairs (x, x) where x ∈ A.
A
A
(11-4.33) If the set A is clear from the context, the
diagonal of A × A
subscript A can be omitted.
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ISO 80000-2:2009(E)
6 Standard number sets and intervals
Sign, symbol,
Item No. Meaning, verbal equivalent Remarks and examples
expression
2-6.1 N the set of natural numbers, N = {0, 1, 2, 3, …}
(11.4.9) the set of positive integers and
N* = {1, 2, 3, …}
zero
Other restrictions can be indicated in an
obvious way, as shown below.
N = {n ∈ N | n > 5}
>5
The symbols IN and ℕ are also used.
Z
2-6.2 the set of integers Z = {…, −2, −1, 0, 1, 2, …}
(11.4.10)
Z* = {n ∈ Z | n ≠ 0}
Other restrictions can be indicated in an
obvious way, as shown below.
Z = {n ∈ Z | n W −3}
W−3
The symbol ℤ is also used.
2-6.3 Q the set of rational numbers
Q* = {r ∈ Q | r ≠ 0}
(11.4.11)
Other restrictions can be indicated in an
obvious way, as shown below.
Q = {r ∈ Q | r < 0}
<0
The symbols and ℚ are also used.
2-6.4 R the set of real numbers
R* = {x ∈ R | x ≠ 0}
(11.4.12)
Other restrictions can be indicated in an
obvious way, as shown below.
R = {x ∈ R | x W 0}
W0
The symbols IR and ℝ are also used.
2-6.5 C the set of complex numbers
C* = {z ∈ C | z ≠ 0}
(11.4.13)
The symbols ℂ and ℂ are also used.
2-6.6 P the set of prime numbers P = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, …}
(—)
The symbols ℙ and ℙ are also used.
2-6.7 [a, b] closed interval from a included
[a, b] = {x ∈ R | a u x u b}
to b included
(11.4.14)
2-6.8 (a, b] left half-open interval from a
(a, b] = {x ∈ R | a < x u b}
excluded to b included
(11.4.15)
The notation ]a, b] is also used.
2-6.9 [a, b) right half-open interval from a
[a, b) = {x ∈ R | a u x < b}
included to b excluded
(11.4.16)
The notation [a, b[ is also used.
2-6.10 (a, b) open interval from a excluded to b
(a, b) = {x ∈ R | a < x < b}
(11.4.17) excluded
The notation ]a, b[ is also used.
closed unbounded interval up to b
2-6.11 (−∞, b]
(−∞, b] = {x ∈ R | x u b}
included
(—)
The notation ]−∞, b] is also used.
6 © ISO 2009 – All rights reserved
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ISO 80000-2:2009(E)
Sign, symbol,
Item No. Meaning, verbal equivalent Remarks and examples
expression
2-6.12 open unbounded interval up to b
(−∞, b)
(−∞, b) = {x ∈ R | x < b}
excluded
(—)
The notation ]−∞, b[ is also used.
2-6.13 [a, +∞) closed unbounded interval
[a, +∞) = {x ∈ R | a u x}
onward from a included
(—)
The notations [a, ∞ [, [a, +∞ [ and [a, ∞) are
also used.
2-6.14 (a, +∞) open unbounded interval onward
(a, +∞) = {x ∈ R | a < x}
from a excluded
(—)
The notations ]a, +∞[, ]a, ∞ [ and (a, ∞) are
also used.
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ISO 80000-2:2009(E)
7 Miscellaneous signs and symbols
Sign, symbol,
Item No. Meaning, verbal equivalent Remarks and examples
expression
2-7.1 a = b a is equal to b
The symbol ≡ may be used to emphasize
(11-5.1) that a particular equality is an identity.
See also 2-7.18.
2-7.2 a is not equal to b The negating stroke may also be vertical.
a ≠ b
(11-5.2)
a is by definition equal to b EXAMPLE
2-7.3 a := b
p := mv, where p is momentum, m is mass and v
(11-5.3)
is velocity.
The symbols = and ≝ are also used.
def
EXAMPLES
2-7.4 a corresponds to b
a ≙ b
When E = kT, then 1 eV ≙ 11 604,5 K
(11-5.4)
When 1 cm on a map corresponds to a length of
10 km, one may write 1 cm ≙ 10 km.
The correspondence is not symmetric.
2-7.5 a is approximately equal to b It depends on the user whether an
a ≈ b
approximation is sufficiently good. Equality
(11-5.5)
is not excluded.
EXAMPLE
2-7.6 a is asymptotically equal to b
a ≃ b
11
(11-7.7)
� as x → a
sin(xa−−) x a
(For x → a, see 2-7.16.)
2-7.7 a is proportional to b
a ∼ b The symbol ∼ is also used for equivalence
(11-5.6) relations.
The notation a ∝ b is also used.
2-7.8 M is congruent to N, M and N are point sets (geometrical
M ≅ N
figures).
(—) M is isomorphic to N
This symbol is also used for isomorphisms
of mathematical structures.
2-7.9 a < b a is less than b
(11-5.7)
2-7.10 b > a b is greater than a
(11-5.8)
2-7.11 a is less than or equal to b
a u b
(11-5.9)
2-7.12 b is greater than or equal to a
b W a
(11-5.10)
2-7.13 a is much less than b It depends on the user whether a is
a � b
sufficiently small as compared to b.
(11-5.11)
2-7.14 b is much greater than a It depends on the user whether b is
b � a
sufficiently great as compared to a.
(11-5.12)
8 © ISO 2009 – All rights reserved
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ISO 80000-2:2009(E)
Sign, symbol,
Item No. Meaning, verbal equivalent Remarks and examples
expression
2-7.15 infinity This symbol does not denote a number but
∞
is often part of various expressions dealing
(11-5.13)
with limits.
The notations +∞, -∞ are also used.
2-7.16 x → a x tends to a This symbol occurs as part of various
expressions dealing with limits.
(11-7.5)
a may be also ∞, +∞, or -∞.
2-7.17 m⏐n m divides n For integers m and n:
(—) ∃ k ∈ Z m⋅k = n
n is congruent to k modulo m For integers n, k and m:
2-7.18
n ≡ k mod m
m⏐(n − k)
(—)
See also 2-7.1.
(a + b) parentheses
2-7.19 It is recommended to use only parentheses
for grouping, since brackets and braces
[a + b] square brackets
(1-5.14)
often have a specific meaning in particular
{a + b} braces
fields. Parentheses can be nested without
〈a + b〉 angle brackets
ambiguity.
© ISO 2009 – All rights reserved 9
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ISO 80000-2:2009(E)
8 Elementary geometry
Sign, symbol,
Item No. Meaning, verbal equivalent Remarks and examples
expression
2-8.1 the straight line AB is parallel to
AB∥CD It is written g∥ h if g and h are the straight
the straight line CD
(11-5.15) lines determined by the points A and B,
and the points C and D, respectively.
AB//CD is also used.
2-8.2 the straight line AB is
AB⊥CD It is written g⊥ h if g and h are the straight
perpendicular to the straight
(11-5.16) lines determined by the points A and B,
line CD
and the points C and D, respectively. In a
plane, the straight lines must intersect.
2-8.3 angle at vertex B in the triangle The angle is not oriented, it holds that
∢ABC
ABC
(—) ∢ABC = ∢CBA and
0 u ∢ABC u π rad.
2-8.4 line segment from A to B The line segment is the set of points
AB
between A and B on the straight line AB.
(—)
2-8.5 → vector from A to B → →
AB If AB = CD then B, seen from A, is in the
(—)
same direction and distance as D is, seen
from C. It does not follow that A = C and
B = D.
d(A, B)
2-8.6 distance between points A and B The distance is the length of the line
(—) segment AB and also the magnitude of the
→
vector AB .
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ISO 80000-2:2009(E)
9 Operations
Sign, symbol,
Item No. Meaning, verbal equivalent Remarks and examples
expression
2-9.1 a + b a plus b This operation is named addition. The
symbol + is the addition symbol.
(11-6.1)
2-9.2 a minus b This operation is named subtraction. The
a − b
symbol − is the subtraction symbol.
(11-6.2)
2-9.3 a plus or minus b This is a combination of two values into
a ± b
one expression.
(11-6.3)
2-9.4 a minus or plus b
a ∓ b −(a ± b) = −a ∓ b
(11-6.4)
a multiplied by b,
2-9.5 a ⋅ b This operation is named multiplication. The
symbol for multiplication is a half-high dot
(11-6.5) a times b
a × b
(·) or a cross (×).
a b
Either may be omitted if no
ab
misunderstanding is possible.
See also 2-5.16, 2-5.17, 2-17.11, 2-17.12,
2-17.23 and 2-17.24 for the use of the dot
and cross in various products.
2-9.6 a divided by b
a a
–1
= a ⋅ b
(11-6.6) b b
See also ISO 80000-1:—, 7.1.3.
a/b
For ratios, the symbol : is also used.
EXAMPLE The ratio of height h to breadth b
of an A4 sheet is h : b = 2 .
The symbol ÷ should not be used.
n n
2-9.7 a + a + … + a ,
1 2 n
The notations a , a , a and
∑ i ∑ i ∑ i
a
i=1 i
∑ i
(11-6.7)
sum of a , a , …, a i
1 2 n
i=1
a are also used.
∑ i
n n
2-9.8
a ⋅ a ⋅ … ⋅ a ,
1 2 n
The notations a , a , a and
∏ i ∏ i ∏ i
a
i=1 i
∏ i
(11-6.8)
product of a , a , …, a i
1 2 n
i=1
a are also used.
∏ i
p 2
2-9.9 a to the power p
a The verbal equivalent of a is
3
a squared; the verbal equivalent of a is a
(11-6.9)
cubed.
1/2
a to the power 1/2,
2-9.10 a
lf a W 0, then a W 0.
(11-6.10) square root of a
a
The symbol √a should be avoided.
See remark to 2-9.11.
1/n
n
2-9.11 a to the power 1/n,
a
lf a W 0, then a W 0.
(11-6.11) nth root of a
n
n
a
The symbol √a should be avoided.
n
lf the symbol √ or √ acts on a composite
expression, parentheses shall be used to
avoid ambiguity.
© ISO 2009 – All rights reserved 11
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ISO 80000-2:2009(E)
Sign, symbol,
Item No. Meaning, verbal equivalent Remarks and examples
expression
Mean values obtained by other methods
2-9.12
x mean value of x,
are the
(11-6.14)
〈x〉 arithmetic mean of x
- harmonic mean denoted by subscript h,
x
a
- geometric mean denoted by subscript g,
- quadratic mean, often called “root mean
square”, denoted by subscript q or rms.
The subscript may only be omitted for the
arithmetic mean.
In mathematics x is also used for the
complex conjugate of x; see 2-14.6.
2-9.13 sgn a signum a For real a:
(11-6.13) 1if a >0
⎧
⎪
sgn a = 0if a =0
⎨
⎪
−<1if a 0
⎩
See also item 2-14.7.
2-9.14 inf M infimum of M
Greatest lower bound of a non-empty set
of numbers bounded from below.
(—)
2-9.15 sup M supremum of M
Smallest upper bound of a non-empty set
of numbers bounded from above.
(—)
2-9.16 absolute value of a, The notation abs a is also used.
|a|
Absolute value of real number a.
(11-6.12) modulus of a,
Modulus of complex number a; see 2-14.4.
magnitude of a
Magnitude of vector a; see 2-17.4.
See also 2-5.5.
floor a, The notation ent a is also used.
2-9.17 ⎣a⎦
EXAMPLES
(11-6.17) the greatest integer less than or
equal to the real number a
⎣2,4⎦ = 2
⎣−2,4⎦ = −3
2-9.18 ceil a, “ceil” is an abbreviation of the word
⎡a⎤
“ceiling”.
(—) the least integer greater than or
EXAMPLES
equal to the real number a
⎡2,4⎤ = 3
⎡−2,4⎤ = −2
int a integer part of the real number a
2-9.19 int a = sgn a ⋅ ⎣⏐a⏐⎦
EXAMPLES
(—)
int(2,4) = 2
int(−2,4) = −2
2-9.20 frac a fractional part of the real frac a = a − int a
number a
EXAMPLES
(—)
frac(2,4) = 0,4
frac(−2,4) = −0,4
12 © ISO 2009 – All rights reserved
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ISO 80000-2:2009(E)
Sign, symbol,
Item No. Meaning, verbal equivalent Remarks and examples
expression
2-9.21 min(a, b) minimum of a and b The operation generalizes to more
numbers and to sets of numbers. However,
(—)
an infinite set of numbers need not have a
small
...
NORME ISO
INTERNATIONALE 80000-2
Première édition
2009-12-01
Grandeurs et unités —
Partie 2:
Signes et symboles mathématiques à
employer dans les sciences de la nature
et dans la technique
Quantities and units —
Part 2: Mathematical signs and symbols to be used in the natural
sciences and technology
Numéro de référence
ISO 80000-2:2009(F)
©
ISO 2009
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ISO 80000-2:2009(F)
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E-mail copyright@iso.org
Web www.iso.org
Publié en Suisse
ii © ISO 2009 – Tous droits réservés
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ISO 80000-2:2009(F)
Sommaire Page
Avant-propos .iv
Introduction.vi
1 Domaine d'application .1
2 Références normatives.1
3 Variables, fonctions et opérateurs .1
4 Logique mathématique .3
5 Ensembles.4
6 Ensembles normalisés de nombres et intervalles.6
7 Signes et symboles divers .8
8 Géométrie élémentaire.10
9 Opérations.11
10 Combinatoire .14
11 Fonctions.15
12 Fonctions exponentielles et logarithmiques .18
13 Fonctions circulaires et hyperboliques .19
14 Nombres complexes .21
15 Matrices .22
16 Systèmes de coordonnées.24
17 Scalaires, vecteurs et tenseurs.26
18 Transformées.30
19 Fonctions spéciales .31
Annexe A (normative) Clarification des symboles utilisés .36
Bibliographie.41
© ISO 2009 – Tous droits réservés iii
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ISO 80000-2:2009(F)
Avant-propos
L'ISO (Organisation internationale de normalisation) est une fédération mondiale d'organismes nationaux de
normalisation (comités membres de l'ISO). L'élaboration des Normes internationales est en général confiée
aux comités techniques de l'ISO. Chaque comité membre intéressé par une étude a le droit de faire partie du
comité technique créé à cet effet. Les organisations internationales, gouvernementales et non
gouvernementales, en liaison avec l'ISO participent également aux travaux. L'ISO collabore étroitement avec
la Commission électrotechnique internationale (CEI) en ce qui concerne la normalisation électrotechnique.
Les Normes internationales sont rédigées conformément aux règles données dans les Directives ISO/CEI,
Partie 2.
La tâche principale des comités techniques est d'élaborer les Normes internationales. Les projets de Normes
internationales adoptés par les comités techniques sont soumis aux comités membres pour vote. Leur
publication comme Normes internationales requiert l'approbation de 75 % au moins des comités membres
votants.
L'attention est appelée sur le fait que certains des éléments du présent document peuvent faire l'objet de
droits de propriété intellectuelle ou de droits analogues. L'ISO ne saurait être tenue pour responsable de ne
pas avoir identifié de tels droits de propriété et averti de leur existence.
L'ISO 80000-2 a été élaborée par le comité technique ISO/TC 12, Grandeurs et unités, en collaboration avec
le comité d'études CEI/CE 25, Grandeurs et unités.
Cette première édition annule et remplace l'ISO 31-11:1992, qui a fait l'objet d'une révision technique. Les
principales modifications techniques par rapport à la norme précédente sont les suivantes:
⎯ Quatre articles ont été ajoutés: «Ensembles normalisés de nombres et intervalles», «Géométrie
élémentaire», «Combinatoire», et «Transformées».
L'ISO 80000 comprend les parties suivantes, présentées sous le titre général Grandeurs et unités:
⎯ Partie 1: Généralités
⎯ Partie 2: Signes et symboles mathématiques à employer dans les sciences de la nature et dans la
1)
technique
⎯ Partie 3: Espace et temps
⎯ Partie 4: Mécanique
⎯ Partie 5: Thermodynamique
⎯ Partie 7: Lumière
⎯ Partie 8: Acoustique
⎯ Partie 9: Chimie physique et physique moléculaire
⎯ Partie 10: Physique atomique et nucléaire
1) Le titre sera abrégé en «Mathématiques» dans la seconde édition de l'ISO 80000-2.
iv © ISO 2009 – Tous droits réservés
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ISO 80000-2:2009(F)
⎯ Partie 11: Nombres caractéristiques
⎯ Partie 12: Physique de l'état solide
La CEI 80000 comprend les parties suivantes, présentées sous le titre général Grandeurs et unités:
⎯ Partie 6: Électromagnétisme
⎯ Partie 13: Science et technologies de l'information
⎯ Partie 14: Télébiométrique relative à la physiologie humaine
© ISO 2009 – Tous droits réservés v
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ISO 80000-2:2009(F)
Introduction
Disposition des tableaux
La première colonne, «N°», des tableaux comporte le numéro du concept; le numéro correspondant dans
l'ISO 31-11 est indiqué entre parenthèses; un tiret est utilisé pour indiquer que le concept en question ne
figurait pas dans l'édition précédente.
La seconde colonne, «Signe, symbole, expression», indique le signe ou le symbole considéré, généralement
dans le contexte d'une expression type. Lorsque plusieurs signes, symboles ou expressions sont indiqués
pour le même concept, ils sont également admissibles. Dans certains cas, par exemple pour l'élévation à une
puissance, il n'existe qu'une expression type, mais pas de symbole.
La troisième colonne, «Sens, énoncé», donne une information d'aide sur le sens ou sur la manière dont
l'expression peut être lue. Cela aide à l'identification du concept mais n'est pas une définition mathématique
complète.
La quatrième colonne, «Remarques et exemples», donne des informations complémentaires. Des définitions
sont données si elles sont assez courtes pour tenir dans la colonne. Il n'est pas nécessaire qu'elles soient
mathématiquement complètes.
La disposition du tableau de l'Article 16, «Systèmes de coordonnées», est légèrement différente.
vi © ISO 2009 – Tous droits réservés
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NORME INTERNATIONALE ISO 80000-2:2009(F)
Grandeurs et unités —
Partie 2:
Signes et symboles mathématiques à employer dans les
sciences de la nature et dans la technique
1 Domaine d'application
L'ISO 80000-2 donne des informations générales sur les signes et symboles mathématiques, leurs sens, leurs
énoncés et leurs applications.
Les recommandations données dans l'ISO 80000-2 sont principalement destinées à être utilisées dans les
sciences de la nature et dans la technique. Cependant, elles s'appliquent également à d'autres domaines
utilisant les mathématiques.
2 Références normatives
Les documents de référence suivants sont indispensables pour l'application du présent document. Pour les
références datées, seule l'édition citée s'applique. Pour les références non datées, la dernière édition du
document de référence s'applique (y compris les éventuels amendements).
2)
ISO 80000-1:— , Grandeurs et unités — Partie 1: Généralités
3 Variables, fonctions et opérateurs
Les variables, telles que x, y, etc., et les indices tels que i dans Σ x sont imprimés en caractères italiques
i i
(penchés). Il en est de même pour les paramètres tels que a, b, etc., qui peuvent être considérés comme
constants dans un contexte particulier. La même règle s'applique aussi aux fonctions en général, par
exemple f, g.
Cependant, on écrit en caractères romains (droits) une fonction explicitement définie qui ne dépend pas du
contexte, par exemple sin, exp, In, Γ. Les constantes mathématiques dont la valeur ne change jamais sont
2
imprimées en caractères romains (droits), par exemple: e = 2,718 281 8.; π = 3,141 592 …; i = −1. Les
opérateurs bien définis sont aussi imprimés en droit, par exemple: div, δ dans δx et chaque d dans df/dx.
Les nombres exprimés par des chiffres sont toujours écrits en droit, par exemple: 351 204; 1,32; 7/8.
L'argument d'une fonction est écrit entre parenthèses après le symbole de la fonction, sans espace entre le
symbole de la fonction et la première parenthèse, par exemple: f(x), cos(ωt + ϕ). Si le symbole de la fonction
comporte deux lettres ou plus et si l'argument ne contient pas de signe d'opération tel que +; −; ×; ⋅; ou /, les
parenthèses autour de l'argument peuvent être omises. Dans ce cas, il convient de laisser un léger espace
entre le symbole de la fonction et l'argument, par exemple: int 2,4; sin nπ; arcosh 2A; Ei x.
2) À publier. (Révision de l'ISO 31-0:1992)
© ISO 2009 – Tous droits réservés 1
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ISO 80000-2:2009(F)
S'il existe un risque de confusion, il convient de toujours insérer des parenthèses. Par exemple, écrire
cos(x) + y; ne pas écrire cos x + y qui pourrait être compris comme cos(x + y).
Une virgule, un point-virgule ou un autre symbole approprié peut être utilisé comme séparateur entre les
nombres ou expressions. La virgule est généralement préconisée, sauf dans le cas de nombres comportant
une virgule comme signe décimal.
S'il faut écrire une expression ou une équation sur deux lignes ou plus, l'une des méthodes suivantes doit être
utilisée:
a) Effectuer la coupure immédiatement après l'un des symboles =, +, −, ±, ou ∓, ou, si nécessaire,
immédiatement après l'un des symboles ×, ⋅, ou /. Dans ce cas, le symbole indique que l'expression
continue à la ligne ou la page suivante.
b) Effectuer la coupure immédiatement avant l'un des symboles =, +, −, ±, ou ∓, ou, si nécessaire,
immédiatement avant l'un des symboles ×, ⋅, ou /. Dans ce cas, le symbole indique que l'expression est la
continuation de la précédente ligne ou page.
Le symbole ne doit pas être répété au début de la ligne suivante, deux signes moins pourraient par exemple
entraîner des erreurs de signe. Il convient de n'utiliser qu'une seule de ces méthodes dans un même
document. Il convient, si possible, que la coupure de ligne ne se trouve pas dans une expression entre
parenthèses.
Il est de règle d'utiliser différents types de caractères pour différentes entités. Cela facilite la lecture des
formules et la mise en place d'un contexte approprié. Il n'existe aucune règle stricte relative à l'utilisation de
polices de caractères, dont il convient cependant d'expliquer l'utilisation si nécessaire.
2 © ISO 2009 – Tous droits réservés
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ISO 80000-2:2009(F)
4 Logique mathématique
Signe, symbole,
N° Sens, énoncé Remarques et exemples
expression
2-4.1 conjonction de p et q,
p ∧ q
(11-3.1) p et q
2-4.2 disjonction de p et q, Ce «ou» est inclusif, c'est-à-dire p ∨ q est
p ∨ q
vrai si p ou q ou les deux sont vrais.
(11-3.2) p ou q
2-4.3 négation de p,
¬ p
(11-3.3) non p
2-4.4 p implique q, p entraîne q, q ⇐ p a le même sens que p ⇒ q.
p ⇒ q
(11-3.4) si p alors q ⇒ est le symbole d'implication.
2-4.5 p équivaut à q, (p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p) a le même sens que
p ⇔ q
p est équivalent à q p ⇔ q.
(11-3.5)
⇔ est le symbole d'équivalence.
2-4.6 pour tout x appartenant à A, la Si le contexte permet de savoir clairement
∀x ∈ A p(x)
proposition p(x) est vraie quel est l'ensemble A considéré, on peut
(11-3.6)
utiliser la notation ∀x p(x).
∀ est le quantificateur universel.
Pour x ∈ A, voir 2-5.1.
2-4.7 il existe un x appartenant à A Si le contexte permet de savoir clairement
∃x ∈ A p(x)
pour lequel p(x) est vrai quel est l'ensemble A considéré, on peut
(11-3.7)
utiliser la notation ∃x p(x).
∃ est le quantificateur existentiel.
Pour x ∈ A, voir 2-5.1.
1
∃ x p(x) est utilisé pour indiquer l'existence
d'un élément et d'un seul pour lequel p(x)
est vrai.
1
∃! est aussi utilisé pour ∃ .
© ISO 2009 – Tous droits réservés 3
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ISO 80000-2:2009(F)
5 Ensembles
Signe, symbole,
N° Sens, énoncé Remarques et exemples
expression
2-5.1 x appartient à A, A ∋ x a le même sens que x ∈ A.
x ∈ A
(11-4.1) x est un élément de l'ensemble A
2-5.2 y n'appartient pas à A, A ∌ y a le même sens que y ∉ A.
y ∉ A
(11-4.2) y n'est pas un élément de La barre de négation peut aussi être
l'ensemble A verticale.
{x , x , …, x }
2-5.3 ensemble dont les éléments sont S'écrit aussi {x | i ∈ I}, où I est un
1 2 n
i
x , x , …, x ensemble d'indices.
1 2 n
(11-4.5)
2-5.4 ensemble des éléments de A EXEMPLE {x ∈ R | x u 5}
{x ∈ A | p(x)}
pour lesquels la proposition Si le contexte permet de savoir clairement quel
(11-4.6)
p(x) est vraie est l'ensemble A considéré, on peut utiliser la
notation {x | p(x)} (par exemple {x | x u 5}
s'il est clair que x est une variable représentant
un nombre réel).
2-5.5 card A nombre des éléments de A, Le cardinal peut être un nombre transfini.
(11-4.7) cardinal de A Voir aussi 2-9.16.
A
2-5.6 ∅ l'ensemble vide
(11-4.8)
2-5.7 B ⊆ A B est inclus dans A, Tout élément de B appartient à A.
(11-4.18) B est un sous-ensemble de A ⊂ est aussi utilisé, mais voir la remarque
au 2-5.8.
A ⊇ B a le même sens que B ⊆ A.
2-5.8 B ⊂ A B est strictement inclus dans A, Tout élément de B appartient à A, mais au
moins un élément de A n'appartient pas à
(11-4.19) B est un sous-ensemble strict
B.
de A
Si ⊂ est utilisé pour 2-5.7, alors ⊊ doit
être utilisé pour 2-5.8.
A ⊃ B a le même sens que B ⊂ A.
2-5.9 A ∪ B réunion de A et de B Ensemble des éléments appartenant à A
ou à B ou aux deux.
(11-4.24)
A ∪ B = {x | x ∈ A ∨ x ∈ B}
2-5.10 A ∩ B intersection de A et de B Ensemble des éléments appartenant à la
fois à A et à B.
(11-4.26)
A ∩ B = {x | x ∈ A ∧ x ∈ B}
2-5.11 n réunion des ensembles Ensemble des éléments appartenant au
A A , A , …, A moins à un des ensembles A , A , ., A
∪ i 1 2 n 1 2 n
(11-4.25)
i=1
n
, , et sont aussi
∪ ∪ ∪
A ∪ A ∪ … i=1 iI∈
1 2
iI∈
∪ A
n
utilisés, où I est un ensemble d'indices.
4 © ISO 2009 – Tous droits réservés
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ISO 80000-2:2009(F)
Signe, symbole,
N° Sens, énoncé Remarques et exemples
expression
2-5.12 n intersection des ensembles Ensemble des éléments appartenant à la
A A , …, A fois à A , A , ., A
∩ i 1 n 1 2 n
(11-4.27)
i=1
n
, et sont aussi utilisés,
∩ ∩ ∩
A ∩ A ∩ … i=1 iI∈
1 2
iI∈
∩ A
n
où I est un ensemble d'indices.
2-5.13 différence de A et de B, Ensemble des éléments de A
A ∖ B
n'appartenant pas à B.
(11-4.28) A moins B
A ∖ B = {x | x ∈ A ∧ x ∉ B}
Il convient de ne pas utiliser A − B.
∁ B est aussi utilisé. ∁ B est surtout
A A
utilisé lorsque B est un sous-ensemble
de A, et le symbole A peut être omis si le
contexte permet de savoir clairement quel
est l'ensemble A considéré.
2-5.14 (a, b) couple a, b, (a, b) = (c, d) si et seulement si a = c et
b = d.
(11-4.30) paire ordonnée a, b
Si la virgule peut être confondue avec le
signe décimal, alors le point virgule (;) ou
la barre (⏐) peuvent être utilisés comme
séparateur.
2-5.15 (a , a , …, a ) n-uple, n-uplet, multiplet Voir remarque au 2-5.14.
1 2 n
(11-4.31)
2-5.16 A × B produit cartésien des ensembles Ensemble des couples (a, b) pour lesquels
A et B a ∈ A et b ∈ B.
(11-4.32)
A × B = {(x, y) | x ∈ A ∧ y ∈ B}
2-5.17 n produit cartésien des ensembles Ensembles des n-uples (x , x , …, x ) pour
1 2 n
A A , A , …, A lesquels x ∈ A , x ∈ A , …, x ∈ A .
i 1 2 n 1 1 2 2 n n
Π
(—)
i=1
n
A × A × . × A est noté A , où n est le
nombre de facteurs dans le produit.
A××AA.×
12 n
2-5.18 id application identité sur A, id est l'ensemble de toutes les paires
A A
(x, x) où x ∈ A. Si le contexte permet de
(11-4.33)
diagonale de A × A
savoir clairement quel est l'ensemble A
considéré, l'indice A peut être omis.
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ISO 80000-2:2009(F)
6 Ensembles normalisés de nombres et intervalles
Signe, symbole,
N° Sens, énoncé Remarques et exemples
expression
2-6.1 N ensemble des entiers naturels, N = {0, 1, 2, 3, …}
(11.4.9) ensemble des entiers positifs et
N* = {1, 2, 3, …}
de zéro
D'autres restrictions peuvent être
indiquées de manière évidente comme
indiqué ci-dessous.
N = {n ∈ N | n > 5}
>5
Les symboles IN et ℕ sont aussi utilisés.
2-6.2 Z ensemble des entiers,
Z = {…, −2, −1, 0, 1, 2, …}
(11.4.10)
ensemble des entiers relatifs
Z* = {n ∈ Z | n ≠ 0}
D'autres exclusions peuvent être
indiquées de manière évidente comme
indiqué ci-dessous.
Z = {n ∈ Z | n W −3}
W−3
Le symbole ℤ est aussi utilisé.
2-6.3 Q ensemble des nombres
Q* = {r ∈ Q | r ≠ 0}
rationnels, ensemble des
(11.4.11)
D'autres exclusions peuvent être
rationnels
indiquées de manière évidente comme
indiqué ci-dessous.
Q = {r ∈ Q | r < 0}
<0
Les symboles et ℚ sont aussi utilisés.
2-6.4 R ensemble des nombres réels,
R* = {x ∈ R | x ≠ 0}
ensemble des réels
(11.4.12)
D'autres exclusions peuvent être
indiquées de manière évidente comme
indiqué ci-dessous.
R = {x ∈ R | x W 0}
W0
Les symboles IR et ℝ sont aussi utilisés.
2-6.5 C ensemble des nombres
C* = {z ∈ C | z ≠ 0}
complexes
(11.4.13)
Les symboles ℂ et ℂ sont aussi utilisés.
2-6.6 P ensemble des nombres premiers P = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, …}
(—)
Les symboles ℙ et ℙ sont aussi utilisés.
2-6.7 [a, b] intervalle fermé de a inclus à b
[a, b] = {x ∈ R | a u x u b}
inclus
(11.4.14)
2-6.8 (a, b] intervalle semi-ouvert à gauche
(a, b] = {x ∈ R | a < x u b}
de a exclu à b inclus
(11.4.15)
La notation ]a, b] est aussi utilisée.
2-6.9 [a, b) intervalle semi-ouvert à droite de
[a, b) = {x ∈ R | a u x < b}
a inclus à b exclu
(11.4.16)
La notation [a, b[ est aussi utilisée.
2-6.10 (a, b) intervalle ouvert de a exclu à b
(a, b) = {x ∈ R | a < x < b}
(11.4.17) exclu
La notation ]a, b[ est aussi utilisée.
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Signe, symbole,
N° Sens, énoncé Remarques et exemples
expression
2-6.11 intervalle illimité fermé finissant
(−∞, b]
(−∞, b] = {x ∈ R | x u b}
en b inclus
(—)
La notation ]−∞, b] est aussi utilisée.
2-6.12 (−∞, b) intervalle illimité ouvert finissant
(−∞, b) = {x ∈ R | x < b}
en b exclu
(—)
La notation ]−∞, b[ est aussi utilisée.
2-6.13 intervalle illimité fermé
[a, +∞)
[a, +∞) = {x ∈ R | a u x}
commençant en a inclus
(—)
Les notations [a, ∞ [, [a, +∞ [ et [a, ∞)
sont aussi utilisées.
2-6.14 (a, +∞) intervalle illimité ouvert
(a, +∞) = {x ∈ R | a < x}
commençant en a exclu
(—)
Les notations ]a, +∞[, ]a, ∞ [ et (a, ∞)
sont aussi utilisées.
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7 Signes et symboles divers
Signe, symbole,
N° Sens, énoncé Remarques et exemples
expression
2-7.1 a = b a est égal à b
Le symbole ≡ peut être utilisé pour
(11-5.1) souligner qu'une égalité particulière est
une identité.
Voir aussi 2-7.18.
2-7.2 a est différent de b La barre de négation peut aussi être
a ≠ b
verticale.
(11-5.2)
EXEMPLE
2-7.3 a := b a est égal par définition à b
p := mv, où p est la quantité de mouvement, m
(11-5.3)
la masse et v la vitesse.
Les symboles = et ≝ sont aussi utilisés.
def
EXEMPLES
2-7.4 a correspond à b
a ≙ b
(11-5.4)
Si E = kT, alors 1 eV ≙ 11 604,5 K
Si 1 cm sur une carte correspond à une
longueur de 10 km, on peut écrire
1 cm ≙ 10 km.
La correspondance n'est pas symétrique.
2-7.5 a est approximativement égal à b Il revient à l'utilisateur de décider si une
a ≈ b
approximation est suffisamment bonne.
(11-5.5)
L'égalité n'est pas exclue.
a est asymptotiquement égal à b EXEMPLE
2-7.6
a ≃ b
11
(11-7.7)
� lorsque x → a
sin(xa−−) x a
(Pour x → a, voir 2-7.16.)
2-7.7 a est proportionnel à b
a ∼ b
Le symbole ∼ est aussi utilisé pour les
(11-5.6) relations d'équivalence.
La notation a ∝ b est aussi utilisée.
2-7.8 M est congruent à N, M et N sont des ensembles de points
M ≅ N
(figures géométriques).
(—) M est isomorphe à N
Ce symbole est aussi utilisé pour les
isomorphismes de structures
mathématiques.
2-7.9 a est inférieur à b
a < b
(11-5.7)
2-7.10 b > a b est supérieur à a
(11-5.8)
a est inférieur ou égal à b
2-7.11 a u b
(11-5.9)
2-7.12 b est supérieur ou égal à a
b W a
(11-5.10)
2-7.13 a est très inférieur à b Il revient à l'utilisateur de décider si a est
a � b
suffisamment petit par rapport à b.
(11-5.11)
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Signe, symbole,
N° Sens, énoncé Remarques et exemples
expression
2-7.14 b est très supérieur à a Il revient à l'utilisateur de décider si b est
b � a
suffisamment grand par rapport à a.
(11-5.12)
2-7.15 infini Ce symbole ne désigne pas un nombre
∞
mais fait souvent partie de différentes
(11-5.13)
expressions relatives aux limites.
Les notations +∞, -∞ sont aussi utilisées.
x tend vers a
2-7.16 x → a Ce symbole apparaît dans différentes
expressions relatives aux limites.
(11-7.5)
a peut aussi être ∞, +∞, ou -∞.
m divise n Pour les entiers m et n:
2-7.17 m⏐n
(—) ∃ k ∈ Z m⋅k = n
2-7.18 n est congru à k modulo m Pour les entiers n, k et m:
n ≡ k mod m
m⏐(n − k)
(—)
Voir aussi 2-7.1.
2-7.19 (a + b) parenthèses Il est recommandé d'utiliser, pour les
regroupements, seulement les
[a + b] crochets
(1-5.14)
parenthèses, car les crochets et
{a + b} accolades
accolades ont souvent des significations
〈a + b〉 chevrons, crochets angulaires
spécifiques selon le domaine. Les
parenthèses peuvent être emboîtées sans
ambiguïté.
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8 Géométrie élémentaire
Signe, symbole,
N° Sens, énoncé Remarques et exemples
expression
2-8.1 la droite AB est parallèle à la
AB∥CD On écrit g∥ h si g et h sont les droites
droite CD
(11-5.15)
déterminées respectivement par les points
A et B et les points C et D.
AB//CD est aussi utilisé.
2-8.2 la droite AB est perpendiculaire à
AB⊥CD On écrit g⊥ h si g et h sont les droites
la droite CD
(11-5.16) déterminées respectivement par les points
A et B et les points C et D. Dans un plan,
les droites doivent s'intersecter.
2-8.3 angle de sommet B dans le L'angle n'est pas orienté, il vérifie que
∢ ABC
triangle ABC
(—) ∢ABC = ∢CBA et
0 u ∢ABC u π rad.
2-8.4 segment de droite de A à B Le segment de droite est l'ensemble des
AB
points entre A et B sur la droite AB.
(—)
2-8.5 → vecteur de A à B → →
AB Si AB = CD alors B, vu de A, est dans la
(—)
même direction et à égale distance que
D vu de C. Il n'en découle pas que A = C
et B = D.
2-8.6 d(A, B) distance entre les points A et B La distance est la longueur du segment
(—) de droite AB et aussi la norme du vecteur
→
AB .
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9 Opérations
Signe, symbole,
N° Sens, énoncé Remarques et exemples
expression
2-9.1 a + b a plus b Cette opération est appelée addition. Le
signe + est le symbole de l'addition.
(11-6.1)
2-9.2 a moins b Cette opération est appelée soustraction.
a − b
Le signe − est le symbole de la
(11-6.2)
soustraction.
2-9.3 a plus ou moins b Il s'agit de la combinaison de deux valeurs
a ± b
en une expression.
(11-6.3)
2-9.4 a moins ou plus b
a ∓ b −(a ± b) = −a ∓ b
(11-6.4)
2-9.5 a ⋅ b a multiplié par b, Cette opération est appelée multiplication.
Le signe de la multiplication est un point à
(11-6.5) a fois b
a × b
mi-hauteur (⋅) ou une croix (×).
a b
Il peut être omis si aucune ambiguïté n'est
ab
possible.
Voir aussi 2-5.16, 2-5.17, 2-17.11,
2-17.12, 2-17.23, et 2-17.24 pour
l'utilisation du point et de la croix dans
différents produits.
2-9.6 a divisé par b
a a
–1
= a ⋅ b
(11-6.6) b b
Voir aussi l'ISO 80000-1:—, 7.1.3.
a/b
Pour les rapports, le symbole : est aussi
utilisé.
EXEMPLE Le rapport de la hauteur h à la
largeur b d'une feuille A4 est h : b = 2 .
Il convient de ne pas utiliser le signe ÷.
n n
2-9.7 a + a + … + a ,
1 2 n
Les notations a , a , a , et
∑ i ∑ i ∑ i
a
i=1 i
∑ i
(11-6.7)
somme de a , a , …, a i
1 2 n
i=1
a sont aussi utilisées.
∑ i
n n
2-9.8 a ⋅ a ⋅ … ⋅ a ,
1 2 n
Les notations a , a , a , et
∏ i ∏ i ∏ i
a
i=1 i
∏ i
(11-6.8)
produit de a , a , …, a i
1 2 n
i=1
a sont aussi utilisées.
∏ i
p 2
2-9.9 a puissance p
a L'énoncé de a est a au carré, et celui de
3
a est a au cube.
(11-6.9)
1/2
2-9.10 a puissance 1/2,
a
Si a W 0, alors aW 0.
(11-6.10) racine carrée de a
a
Il convient d'éviter le symbole √a.
Voir remarque en 2-9.11.
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Signe, symbole,
N° Sens, énoncé Remarques et exemples
expression
1/n
2-9.11 a puissance 1/n, n
a
Si a W 0, alors aW 0.
racine n-ième de a
(11-6.11) n
n
a
Il convient d'éviter le symbole √a.
n
Si le symbole √ ou √ agit sur une
expression composée, des parenthèses
doivent être utilisées pour éviter toute
ambiguïté.
2-9.12 La moyenne harmonique indiquée par un
x valeur moyenne de x,
indice h, la moyenne géométrique indiquée
...
Questions, Comments and Discussion
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