IEC 61710:2000
(Main)Power law model - Goodness-of-fit tests and estimation methods
Power law model - Goodness-of-fit tests and estimation methods
Specifies procedures to estimate the parameters of the power law model. It provides confidence intervals for the failure intensity, and prediction intervals for the times to future failures. It tests the goodness-of-fit of the power law model to data from repaired items. The contents of the corrigendum of September 2001 have been included in this copy.
Modèle de loi en puissance - Test d'adéquation et méthodes d'estimation des paramètres
Spécifie les procédures pour l'estimation des paramètres du modèle de loi en puissance, en fournissant les intervalles de confiance pour l'intensité de défaillance et les intervalles de prédiction pour les défaillances futures. Elle détermine l'adéquation du modèle de loi en puissance avec les données relatives aux entités réparées. Le contenu du corrigendum de septembre 2001 a été pris en considération dans cet exemplaire.
General Information
Relations
Standards Content (Sample)
NORME CEI
INTERNATIONALE IEC
INTERNATIONAL
Première édition
STANDARD
First edition
2000-11
Modèle de loi en puissance –
Test d'adéquation et méthodes d'estimation
des paramètres
Power law model –
Goodness-of-fit tests and estimation methods
Numéro de référence
Reference number
CEI/IEC 61710:2000
Numérotation des publications Publication numbering
Depuis le 1er janvier 1997, les publications de la CEI As from 1 January 1997 all IEC publications are
sont numérotées à partir de 60000. Ainsi, la CEI 34-1 issued with a designation in the 60000 series. For
devient la CEI 60034-1. example, IEC 34-1 is now referred to as IEC 60034-1.
Editions consolidées Consolidated editions
Les versions consolidées de certaines publications de la The IEC is now publishing consolidated versions of its
CEI incorporant les amendements sont disponibles. Par publications. For example, edition numbers 1.0, 1.1
exemple, les numéros d’édition 1.0, 1.1 et 1.2 indiquent and 1.2 refer, respectively, to the base publication,
respectivement la publication de base, la publication de the base publication incorporating amendment 1 and
base incorporant l’amendement 1, et la publication de the base publication incorporating amendments 1
base incorporant les amendements 1 et 2. and 2.
Informations supplémentaires Further information on IEC publications
sur les publications de la CEI
Le contenu technique des publications de la CEI est The technical content of IEC publications is kept
constamment revu par la CEI afin qu'il reflète l'état under constant review by the IEC, thus ensuring that
actuel de la technique. Des renseignements relatifs à the content reflects current technology. Information
cette publication, y compris sa validité, sont dispo- relating to this publication, including its validity, is
nibles dans le Catalogue des publications de la CEI available in the IEC Catalogue of publications
(voir ci-dessous) en plus des nouvelles éditions, (see below) in addition to new editions, amendments
amendements et corrigenda. Des informations sur les and corrigenda. Information on the subjects under
sujets à l’étude et l’avancement des travaux entrepris consideration and work in progress undertaken by the
par le comité d’études qui a élaboré cette publication, technical committee which has prepared this
ainsi que la liste des publications parues, sont publication, as well as the list of publications issued,
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• IEC Just Published
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.
NORME CEI
INTERNATIONALE IEC
INTERNATIONAL
Première édition
STANDARD
First edition
2000-11
Modèle de loi en puissance –
Test d'adéquation et méthodes d'estimation
des paramètres
Power law model –
Goodness-of-fit tests and estimation methods
IEC 2000 Droits de reproduction réservés Copyright - all rights reserved
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W
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– 2 – 61710 CEI:2000
SOMMAIRE
Pages
AVANT-PROPOS . 4
INTRODUCTION .6
Articles
1 Domaine d'application . 8
2 Références normatives. 8
3 Définitions. 8
4 Symboles et abréviations. 8
5 Modèle de loi en puissance . 12
6 Prescriptions relatives aux données. 12
6.1 Cas 1 – Données temporelles pour chaque défaillance à prendre en compte
pour un ou plusieurs exemplaires de la même population . 12
6.2 Cas 2 – Données temporelles pour les groupes de défaillances à prendre en
compte pour un ou plusieurs exemplaires de la même population . 16
6.3 Cas 3 – Données temporelles pour chaque défaillance à prendre en compte
pour plus d'une entité réparée de populations différentes. 16
7 Estimation statistique et procédures d'essai. 18
7.1 Généralités . 18
7.2 Estimation ponctuelle . 18
7.3 Tests d'adéquation. 24
7.4 Intervalles de confiance pour le paramètre de forme. 28
7.5 Intervalles de confiance pour l'intensité de défaillance . 34
7.6 Intervalles de prédiction pour les durées jusqu'aux défaillances futures d'une
entité unique . 36
7.7 Test d’égalité des paramètres de forme β , β , . β . 40
1 2 k
Annexe A (informative) Modèle de loi en puissance – Informations connexes . 54
Annexe B (informative) Exemples numériques . 56
B.1 Introduction .56
B.2 Exemple 1 . 56
B.3 Exemple 2 . 60
B.4 Exemple 3 . 66
B.5 Exemple 4 . 70
Bibliographie . 76
61710 IEC:2000 – 3 –
CONTENTS
Page
FOREWORD . 5
INTRODUCTION .7
Clause
1 Scope . 9
2 Normative references. 9
3 Definitions. 9
4 Symbols and abbreviations . 9
5 Power law model. 13
6 Data requirements . 13
6.1 Case 1 – Time data for every relevant failure for one or more copies
from the same population. 13
6.2 Case 2 – Time data for groups of relevant failures for one or more copies
from the same population. 17
6.3 Case 3 – Time data for every relevant failure for more than one repaired item
from different populations . 17
7 Statistical estimation and test procedures . 19
7.1 Overview . 19
7.2 Point estimation . 19
7.3 Goodness-of-fit tests. 25
7.4 Confidence intervals for the shape parameter . 29
7.5 Confidence intervals for the failure intensity. 35
7.6 Prediction intervals for the length of time to future failures of a single item . 37
7.7 Test for the equality of the shape parameters β , β , ., β . 41
1 2 k
Annex A (informative) The power law model – Background information . 55
Annex B (informative) Numerical examples . 57
B.1 Introduction .57
B.2 Example 1. 57
B.3 Example 2. 61
B.4 Example 3. 67
B.5 Example 4. 71
Bibliography . 77
– 4 – 61710 CEI:2000
COMMISSION ÉLECTROTECHNIQUE INTERNATIONALE
____________
MODÈLE DE LOI EN PUISSANCE – TEST D'ADÉQUATION ET
MÉTHODES D'ESTIMATION DES PARAMÈTRES
AVANT-PROPOS
1) La CEI (Commission Electrotechnique Internationale) est une organisation mondiale de normalisation composée
de l'ensemble des comités électrotechniques nationaux (Comités nationaux de la CEI). La CEI a pour objet de
favoriser la coopération internationale pour toutes les questions de normalisation dans les domaines de
l'électricité et de l'électronique. A cet effet, la CEI, entre autres activités, publie des Normes internationales.
Leur élaboration est confiée à des comités d'études, aux travaux desquels tout Comité national intéressé par le
sujet traité peut participer. Les organisations internationales, gouvernementales et non gouvernementales, en
liaison avec la CEI, participent également aux travaux. La CEI collabore étroitement avec l'Organisation
Internationale de Normalisation (ISO), selon des conditions fixées par accord entre les deux organisations.
2) Les décisions ou accords officiels de la CEI concernant les questions techniques représentent, dans la mesure
du possible, un accord international sur les sujets étudiés, étant donné que les Comités nationaux intéressés
sont représentés dans chaque comité d’études.
3) Les documents produits se présentent sous la forme de recommandations internationales. Ils sont publiés
comme normes, spécifications techniques, rapports techniques ou guides et agréés comme tels par les Comités
nationaux.
4) Dans le but d'encourager l'unification internationale, les Comités nationaux de la CEI s'engagent à appliquer de
façon transparente, dans toute la mesure possible, les Normes internationales de la CEI dans leurs normes
nationales et régionales. Toute divergence entre la norme de la CEI et la norme nationale ou régionale
correspondante doit être indiquée en termes clairs dans cette dernière.
5) La CEI n’a fixé aucune procédure concernant le marquage comme indication d’approbation et sa responsabilité
n’est pas engagée quand un matériel est déclaré conforme à l’une de ses normes.
6) L’attention est attirée sur le fait que certains des éléments de la présente Norme internationale peuvent faire
l’objet de droits de propriété intellectuelle ou de droits analogues. La CEI ne saurait être tenue pour
responsable de ne pas avoir identifié de tels droits de propriété et de ne pas avoir signalé leur existence.
La Norme internationale CEI 61710 a été établie par le comité d'études 56 de la CEI: Sûreté de
fonctionnement.
Le texte de cette norme est issu des documents suivants:
FDIS Rapport de vote
56/704/FDIS 56/717/RVD
Le rapport de vote indiqué dans le tableau ci-dessus donne toute information sur le vote ayant
abouti à l'approbation de cette norme.
Cette publication a été rédigée selon les Directives ISO/CEI, Partie 3.
Les annexes A et B sont données uniquement à titre d’information.
Le comité a décidé que le contenu de cette publication ne sera pas modifié avant 2005. A cette
date, la publication sera
• reconduite;
• supprimée;
• remplacée par une édition révisée, ou
• amendée.
Le contenu du corrigendum de septembre 2001 a été pris en considération dans cet exemplaire.
61710 IEC:2000 – 5 –
INTERNATIONAL ELECTROTECHNICAL COMMISSION
___________
POWER LAW MODEL –
GOODNESS-OF-FIT TESTS AND ESTIMATION METHODS
FOREWORD
1) The IEC (International Electrotechnical Commission) is a worldwide organization for standardization comprising
all national electrotechnical committees (IEC National Committees). The object of the IEC is to promote
international co-operation on all questions concerning standardization in the electrical and electronic fields. To
this end and in addition to other activities, the IEC publishes International Standards. Their preparation is
entrusted to technical committees; any IEC National Committee interested in the subject dealt with may
participate in this preparatory work. International, governmental and non-governmental organizations liaising
with the IEC also participate in this preparation. The IEC collaborates closely with the International
Organization for Standardization (ISO) in accordance with conditions determined by agreement between the
two organizations.
2) The formal decisions or agreements of the IEC on technical matters express, as nearly as possible, an
international consensus of opinion on the relevant subjects since each technical committee has representation
from all interested National Committees.
3) The documents produced have the form of recommendations for international use and are published in the form
of standards, technical specifications, technical reports or guides and they are accepted by the National
Committees in that sense.
4) In order to promote international unification, IEC National Committees undertake to apply IEC International
Standards transparently to the maximum extent possible in their national and regional standards. Any
divergence between the IEC Standard and the corresponding national or regional standard shall be clearly
indicated in the latter.
5) The IEC provides no marking procedure to indicate its approval and cannot be rendered responsible for any
equipment declared to be in conformity with one of its standards.
6) Attention is drawn to the possibility that some of the elements of this International Standard may be the subject
of patent rights. The IEC shall not be held responsible for identifying any or all such patent rights.
International Standard IEC 61710 has been prepared by IEC technical committee 56:
Dependability.
The text of this standard is based on the following documents:
FDIS Report on voting
56/704/FDIS 56/717/RVD
Full information on the voting for the approval of this standard can be found in the report on
voting indicated in the above table.
This publication has been drafted in accordance with the ISO/IEC Directives, Part 3.
Annexes A and B are for information only.
The committee has decided that the contents of this publication will remain unchanged until
2005. At this date, the publication will be
• reconfirmed;
• withdrawn;
• replaced by a revised edition, or
• amended.
The contents of the corrigenda of September 2001 have been included in this copy.
– 6 – 61710 CEI:2000
INTRODUCTION
La présente Norme internationale décrit le modèle de loi en puissance et donne des indications
étape par étape pour son utilisation. Il existe différents modèles pour décrire la fiabilité des
entités réparées, le modèle de loi en puissance étant l'un des plus largement utilisés. La
présente norme fournit des procédures pour l'estimation des paramètres du modèle en
puissance et pour vérifier l'adéquation du modèle de loi en puissance avec les données et les
intervalles de confiance pour l'intensité de défaillance et les intervalles de prédiction pour
les durées jusqu'aux défaillances futures. Comme donnée de départ, il est exigé de fournir les
temps d'essai auxquels les défaillances à prendre en compte se sont produites ou ont été
observées pour une entité réparée ou plusieurs exemplaires de la même entité ainsi que le
temps de fin de l'observation de l'entité s'il est différent de celui de la dernière défaillance.
Tous les résultats obtenus correspondent au type d'entité considéré.
Quelques-unes de ces procédures peuvent nécessiter des programmes informatiques mais
elles ne sont pas excessivement complexes. Cette norme présente des algorithmes pour
lesquels des programmes devraient être facilement conçus.
61710 IEC:2000 – 7 –
INTRODUCTION
This International Standard describes the power law model and gives step-by-step directions
for its use. There are various models for describing the reliability of repaired items, the power
law model being one of the most widely used. This standard provides procedures to estimate
the parameters of the power law model and to test the goodness-of-fit of the power law model
to data; to provide confidence intervals for the failure intensity and prediction intervals for the
length of time to future failures. An input is required consisting of a data set of times at which
relevant failures occurred, or were observed, for a repaired item or a set of copies of the
same item, and the time observation of the item was terminated, if different from the time of
final failure. All output results correspond to the item type under consideration.
Some of the procedures may require computer programs, but these are not unduly complex.
This standard presents algorithms from which computer programs should be easy to
construct.
– 8 – 61710 CEI:2000
MODÈLE DE LOI EN PUISSANCE – TEST D'ADÉQUATION ET
MÉTHODES D'ESTIMATION DES PARAMÈTRES
1 Domaine d'application
La présente Norme internationale spécifie les procédures pour l'estimation des paramètres du
modèle de loi en puissance en fournissant les intervalles de confiance pour l'intensité de
défaillance, les intervalles de prédiction pour les défaillances futures et pour déterminer
l'adéquation du modèle de loi en puissance avec les données relatives aux entités réparées.
2 Références normatives
Les documents normatifs suivants contiennent des dispositions qui, par suite de la référence
qui y est faite, constituent des dispositions valables pour la présente Norme internationale.
Pour les références datées, les amendements ultérieurs ou les révisions de ces publications ne
s’appliquent pas. Toutefois, les parties prenantes aux accords fondés sur la présente Norme
internationale sont invitées à rechercher la possibilité d'appliquer les éditions les plus récentes
des documents normatifs indiqués ci-après. Pour les références non datées, la dernière édition
du document normatif en référence s’applique. Les membres de la CEI et de l'ISO possèdent
le registre des Normes internationales en vigueur.
CEI 60050(191):1990, Vocabulaire Electrotechnique International (VEI) – Chapitre 191: Sûreté
de fonctionnement et qualité de service
3 Définitions
Pour les besoins de la présente Norme internationale, les termes et définitions de la
CEI 60050(191) s'appliquent.
4 Symboles et abréviations
Les symboles et abréviations suivants s'appliquent.
β paramètre de forme du modèle de loi en puissance
ˆ
β paramètre de forme estimé du modèle de loi en puissance
β , β limites de confiance inférieure, supérieure pour β
LB UB
C statistique du test d'adéquation de Cramer-von-Mises
C ()M valeur critique pour la statistique du test d'adéquation de Cramer-von-Mises
1−γ
au niveau γ de signification
χ statistique du test d'adéquation de khi-deux
χ ()υ fractile γ de la distribution du χ avec υ degrés de liberté
γ
d nombre d'intervalles pour les groupes de défaillances
[]()
E N t espérance mathématique du nombre cumulé de défaillances jusqu'au temps t
[ ]
E t espérance mathématique du temps de fonctionnement cumulé jusqu'à la
j
ième
j défaillance
61710 IEC:2000 – 9 –
POWER LAW MODEL –
GOODNESS-OF-FIT TESTS AND ESTIMATION METHODS
1 Scope
This International Standard specifies procedures to estimate the parameters of the power law
model, to provide confidence intervals for the failure intensity, to provide prediction intervals
for the times to future failures, and to test the goodness-of-fit of the power law model to data
from repaired items.
2 Normative references
The following normative documents contain provisions which, through reference in this text,
constitute provisions of this International Standard. For dated references, subsequent
amendments to, or revisions of, any of these publications do not apply. However, parties to
agreements based on this International Standard are encouraged to investigate the possibility
of applying the most recent editions of the normative documents indicated below. For undated
references, the latest edition of the normative document referred to applies. Members of IEC
and ISO maintain registers of currently valid International Standards.
IEC 60050(191):1990, International Electrotechnical Vocabulary (IEV) – Chapter 191:
Dependability and quality of service
3 Definitions
For the purposes of this International Standard, the terms and definitions of IEC 60050(191)
apply.
4 Symbols and abbreviations
For the purposes of this International Standard, the following symbols and abbreviations
apply:
β shape parameter of the power law model
ˆ
β estimated shape parameter of the power law model
β ,β lower, upper confidence limits for β
LB UB
C Cramer-von-Mises goodness-of-fit test statistic
C ()M Critical value for the Cramer-von-Mises goodness-of-fit test statistic at γ
1−γ
level of significance
χ Chi-square goodness of fit test statistic
2 2
χ ()υ γ th fractile of the χ distribution with υ degrees of freedom
γ
d number of intervals for groups of failures
E[]N()t expected accumulated number of failures up to time t
E[t ] expected accumulated operating time to th failure
j
j
– 10 – 61710 CEI:2000
ˆ
[][]()
E N t i espérance mathématique estimée du nombre cumulé de défaillances jusqu'à
()
l’instant t i
ˆ
E[]t espérance mathématique estimée du temps de fonctionnement jusqu'à la
j
ième
j défaillance
()ν ν
F , fractile γ pour la distribution F avec (ν ,ν ) degrés de liberté
1 2
γ 1 2
i indice à usage général
j indice à usage général
k nombre d'entités
L, U multiplicateurs utilisés dans le calcul des intervalles de confiance pour
l'intensité de défaillance
λ paramètre d'échelle du modèle de loi en puissance
ˆ
λ paramètre d'échelle estimé du modèle de loi en puissance
M paramètre du test statistique de Cramer-von-Mises
N nombre de défaillances à prendre en compte
ième
N nombre de défaillances pour la j entité
j
N()t nombre cumulé de défaillances jusqu'au temps t
N[]t()i nombre cumulé de défaillances jusqu'au temps t()i
R différence entre le rang de la défaillance future (prévue) et le rang de la
dernière défaillance (observée)
T temps de fonctionnement cumulé à prendre en compte
*
temps de fonctionnement total cumulé à prendre en compte pour un essai
T
censuré par le temps
T temps de fonctionnement total cumulé à prendre en compte pour la
j
ième
j entité
ième
T ,T limites inférieure, supérieure pour le temps jusqu'à la R défaillance future
RL RU
�
ième
T temps médian estimé jusqu’à la (N+1) défaillance
N +1
t temps de fonctionnement cumulé à prendre en compte pour la
i
ième
i défaillance
ième ième
t temps de défaillance i pour la j entité
i j
t temps de fonctionnement total cumulé à prendre en compte pour un essai
N
censuré par une défaillance
t temps de fonctionnement total cumulé à prendre en compte jusqu’à la
N j
ième ième
N défaillance de la j entité
ième
t()i − 1, t(i) points extrêmes du i intervalle de temps de fonctionnement pour les
défaillances groupées
z()t intensité de défaillance à l'instant t
ˆ
z()t intensité de défaillance estimée à l'instant t
z , z limites de confiance inférieure, supérieure pour l'intensité de défaillance
LB UB
61710 IEC:2000 – 11 –
ˆ
E[]N[]t()i estimated expected accumulated number of failures up to t()i
ˆ
[]
E t estimated expected accumulated operating time to jth failure
j
()ν ν ()
F , γ th fractile for the F distribution with ν ,ν degrees of freedom
γ 1 2 1 2
i general purpose indicator
j general purpose indicator
k number of items
L, U multipliers used in calculation of confidence intervals for failure intensity
λ scale parameter of the power law model
ˆ
λ estimated scale parameter of the power law model
M parameter for Cramer-von-Mises statistical test
N number of relevant failures
N number of failures for jth item
j
N()t accumulated number of failures up to time t
N[]t()i accumulated number of failures up to time t()i
R difference between the order number of future (predicted) failure and order
number of last (observed) failure
T accumulated relevant operating time
*
total accumulated relevant operating time for time terminated test
T
T total accumulated relevant operating time for jth item
j
T ,T lower, upper prediction limits for the length of time to the Rth future failure
RL RU
�
T estimated median time to (N+1)th failure
N +1
t accumulated relevant operating time to the ith failure
i
t ith failure time for jth item
i j
t total accumulated relevant operating time for failure terminated test
N
t total accumulated relevant operating time for to Nth failure of jth item
N j
t()i − 1, t(i) endpoints of ith interval of operating time for grouped failures
z()t failure intensity at time t
ˆ
z()t estimated failure intensity at time t
z , z lower, upper confidence limits for failure intensity
LB UB
– 12 – 61710 CEI:2000
5 Modèle de loi en puissance
Les procédures statistiques pour le modèle de loi en puissance utilisent les données de
défaillance et les données temporelles à prendre en compte issues des essais ou du retour
d’expérience.
Les équations de base pour le modèle de loi en puissance sont données dans cet article. Des
informations complémentaires sur ce modèle sont données à l'annexe A et des exemples de
leur application à l'annexe B.
L'espérance mathématique du nombre cumulé de défaillances jusqu'au temps d'essai t est
donnée par
β
E[]N()t = λt avec λ > 0,β > 0, t > 0
où
λ est le paramètre d'échelle;
β est le paramètre de forme ( 0 < β <1 correspond à une intensité de défaillance
décroissante; 1β = correspond à une intensité de défaillance constante; β > 1 correspond
à une intensité de défaillance croissante).
L'intensité de défaillance à l'instant t est donnée par
d
β −1
() []
z t = E N(t) = λβ t avec t > 0
dt
Ainsi les paramètres λ et β ont tous les deux une influence sur l'intensité de défaillance à un
moment donné.
Des méthodes sont données en 7.2 pour obtenir les estimateurs de maximum de
λ β
vraisemblance des paramètres et . Le paragraphe 7.3 donne les tests d'adéquation pour le
modèle et 7.4 et 7.5 donnent les procédures pour les intervalles de confiance. Le paragraphe
7.6 donne les procédures pour les intervalles de prédiction et 7.7 les tests pour l'égalité des
paramètres de forme.
Le modèle est simple à évaluer. Cependant, lorsque β <1, théoriquement z()0 = ∞
(c'est-à-dire que z(t) tend vers l'infini quand t tend vers zéro) et z(∞) = 0 (c'est-à-dire )z(t tend
vers zéro quand t tend vers l'infini); mais cette limitation théorique n'affecte généralement pas
son utilisation pratique.
6 Prescriptions relatives aux données
6.1 Cas 1 – Données temporelles pour chaque défaillance à prendre en compte pour
un ou plusieurs exemplaires de la même population
Les méthodes normales d'évaluation supposent que les temps observés correspondent
exactement aux temps de défaillance d'une entité unique réparée ou d'un ensemble
d'exemplaires d'une même entité réparée. Les figures ci-dessous illustrent comment les temps
de défaillance sont calculés pour trois cas généraux.
61710 IEC:2000 – 13 –
5 Power law model
The statistical procedures for the power law model use the relevant failure and time data from
the test or field studies.
The basic equations for the power law model are given in this clause. Background information
on the model is given in annex A and examples of its application are given in annex B.
The expected accumulated number of failures up to test time t is given by
β
[]
E N()t = λt with λ > 0,β > 0, t > 0
where
λ is the scale parameter;
β is the shape parameter ( 0 < β <1 corresponds to a decreasing failure intensity; β =1
corresponds to a constant failure intensity; β >1 corresponds to an increasing failure
intensity).
The failure intensity at time t is given by
d
β −1
() []
z t = E N(t) = λβ t with t > 0
dt
Thus the parameters λ and β both affect the failure intensity in a given time.
Methods are given in 7.2 for maximum likelihood estimation of the parameters of λ and β .
Subclause 7.3 gives goodness-of-fit tests for the model and 7.4 and 7.5 give confidence
interval procedures. Subclause 7.6 gives prediction interval procedures and 7.7 gives tests for
the equality of the shape parameters.
The model is simple to evaluate. However when β < 1, theoretically z()0 = ∞ (i.e. )z(t tends to
infinity as t tends to zero) and z(∞) = 0 (i.e. )z(t tends to zero as t tends to infinity); but this
theoretical limitation does not generally affect its practical use.
6 Data requirements
6.1 Case 1 – Time data for every relevant failure for one or more copies
from the same population
The normal evaluation methods assume the observed times to be exact times of failure of a
single repaired item or a set of copies of the same repaired item. The figures below illustrate
how the failure times are calculated for three general cases.
– 14 – 61710 CEI:2000
6.1.1 Cas 1a) – Une entité réparée
Pour une entité réparée observée de l'âge 0 à l'âge T, le temps de défaillance à prendre en
compte, t , est le temps de fonctionnement qui s'est écoulé (c'est-à-dire sans les temps de
i
ième
réparation et autres temps à l'arrêt) jusqu'à l'apparition de la i défaillance (voir Figure 1).
A
B
1 2 3 T
Légende
A temps de fonctionnement
B temps d'arrêt
Figure 1 – Une entité réparée
*
Les données censurées par le temps sont observées jusqu'à T , qui n'est pas un instant de
défaillance et les données censurées par une défaillance sont observées jusqu'à t , qui est
N
ième
l’instant de la N défaillance. Les données censurées par le temps et celles censurées par
une défaillance utilisent des formules légèrement différentes.
6.1.2 Cas 1b) – Exemplaires multiples d'entités réparées observées
pendant la même durée
On suppose qu'il y a k entités qui représentent toutes la même population. Cela signifie
qu'elles sont nominalement des copies identiques fonctionnant dans les mêmes conditions (par
exemple, environnement et charge). Lorsque toutes les copies sont observées jusqu'à l’instant
*
T , qui n'est pas un instant de défaillance (c'est-à-dire des données censurées par le temps),
alors les données de temps de défaillance sont combinées en superposant les temps de
défaillance ()t , i = 1, 2.,N pour tous les systèmes k sur la même ligne temporelle (voir
i
Figure 2).
A
B
C
D
t1 t t t t T*
0 2 3 N-1 N
Légende
A entité 1 C entité k
B entité 2 D processus superposé
Figure 2 – Exemplaires multiples d'entités réparées observées pendant la même durée
61710 IEC:2000 – 15 –
6.1.1 Case 1a) – One repaired item
For one repaired item observed from age 0 to age T, the relevant failure time, t , is the
i
elapsed operating time (that is, excluding repair and other down times) until the occurrence of
the ith failure as shown in Figure 1.
A
B
1 2 3 T
Key
A operating time
Bdown time
Figure 1 – One repaired item
*
Time terminated data are observed to T , which is not a failure time, and failure terminated
data are observed to t , which is the time of the Nth failure. Time terminated and failure
N
terminated data use slightly different formulae.
6.1.2 Case 1b) – Multiple copies of repaired item observed for same length of time
It is assumed there are k items, which all represent the same population. That is, they are
nominally identical copies operating under the same conditions (e.g. environment and load).
*
When all copies are observed to time T , which is not a failure time (i.e. time terminated
data), then the failure time data are combined by superimposing failure times ()t , i 1, 2.,N for
=
i
all k systems on the same time line as shown in Figure 2.
A
B
C
D
t t t t t T*
0 1 2 3 N-1 N
Key
Aitem 1
Bitem 2
Citem k
D superimposed process
Figure 2 – Multiple copies of repaired item observed for same length of time
– 16 – 61710 CEI:2000
6.1.3 Cas 1c) – Exemplaires multiples d'entités réparées observées pendant
des durées différentes
Lorsque tous les exemplaires ne fonctionnent pas pendant la même durée, on note le moment
ième
auquel l'observation de la j copie s'est terminée T()j = 1,2,.,k , où T < T < . < T est
j
1 2 k
noté. Les données relatives aux défaillances sont combinées en superposant tous les
moments de défaillance pour tous les k exemplaires sur la même ligne temporelle (voir
Figure 3). Les temps de fonctionnement jusqu'à la défaillance sont t , i = 1, 2,.,N , où N est égal
i
au nombre total de défaillances observé en cumulé sur les k copies.
T
A
T
B
T
C 3
T
k
D
0 t t t t t t t
1 2 3 4 5 6
Légende
A entité 1
B entité 2
C entité 3
D entité k
t temps
Figure 3 – Exemplaires multiples d'entités réparées observées pendant des durées différentes
NOTE Lorsque chaque entité est un système informatique, il convient que la réparation soit effectuée sur les
autres systèmes qui ne sont pas défaillant à cet instant.
6.2 Cas 2 – Données temporelles pour les groupes de défaillances à prendre
en compte pour un ou plusieurs exemplaires de la même population
Cette méthode alternative est utilisée lorsqu'il y a au moins un exemplaire d'une entité et que
les données sont constituées par des intervalles de temps connus, chacun contenant un
nombre connu de défaillances.
La période d'observation s'étend sur l'intervalle (0, T) et elle est partagée en d intervalles aux
ième
moments )0 < t(1) < t(2) < . < t(d . Le i intervalle est la période qui s'étend entre t(i − 1) et
t(i) , i = 1, 2,.,d, t()0 = 0, t(d) = T . Il est important de noter qu'il n'est pas nécessaire que les
longueurs des intervalles et que les nombres de défaillances par intervalle soient les mêmes.
6.3 Cas 3 – Données temporelles pour chaque défaillance à prendre en compte pour
plus d'une entité réparée de populations différentes
On suppose qu'il existe k entités qui ne représentent pas la même population et qui doivent
être comparées. Il convient de noter que si chaque entité doit être considérée de manière
individuelle alors il est approprié d'utiliser le cas 1a) décrit en 6.1.1.
61710 IEC:2000 – 17 –
6.1.3 Case 1c) – Multiple copies of repaired item observed for different lengths of time
When all copies do not operate for the same period of time, then the time at which
observation of the jth copy is terminated T()j = 1,2,.,k , where T < T < . < T , is noted. The
j 1 2 k
failure data are combined by superimposing all the failures times for all k copies on the same
time line as shown in Figure 3. The operating times to failure are t , i = 1, 2,.,N , where N = the
i
total number of failures observed accumulated over the k copies.
T
A
T2
B
T
C
Tk
D
t t
0 t1 t2 t3 4 t5 t6
Key
Aitem 1
Bitem 2
Citem 3
Ditem k
t time
Figure 3 – Multiple copies of repaired item observed for different lengths of time
NOTE If each item is a software system then the repair action should be done to the other systems which did not
fail at that time.
6.2 Case 2 – Time data for groups of relevant failures for one or more copies
from the same population
This alternative method is used when there is at least one copy of an item and the data
consists of known time intervals, each containing a known number of failures.
The observation period is over the interval (0, T) and is partitioned into d intervals at times
0 < t(1) < t(2) < . < t(d). The ith interval is the time period between t(i − 1) and )t(i ,
i = 1, 2,.,d, t()0 = 0, t(d) = T . It is important to note that the interval lengths and the numbers of
failures per interval need not be the same.
6.3 Case 3 – Time data for every relevant failure for more than one repaired item from
different populations
It is assumed there are k items which do not represent the same population and are to be
compared. It should be noted that if each item is to be considered individually then it is
appropriate to use case 1a) in 6.1.1.
– 18 – 61710 CEI:2000
Lorsque des comparaisons directes des systèmes doivent être effectuées, la notation suivante
est utilisée en plus de celle de 6.1:
ième ième
t indique le i instant de défaillance pour le processus correspondant à la j
ij
entité;
ième
N indique le nombre de défaillances observées pour la j entité;
j
ième ième
t est l’instant de la N défaillance pour la j entité;
N
j
où i = 0, 1, 2, … N et j = 1, 2, …k.
j
7 Estimation statistique et procédures d'essai
7.1 Généralités
Dans le cas 1 – données temporelles pour chaque défaillance à prendre en compte – les
formules indiquées pour les données censurées par une défaillance partent de l'hypothèse qu'il
y a une entité réparée, c'est-à-dire 1k = . Tous les résultats obtenus correspondent à cette
entité. Les formules précisées pour les données censurées par le temps partent de l'hypothèse
qu'on observe k copies de l'entité sur la même durée. S'il n'existe qu'une entité réparée, alors
k = 1. Les procédures d'estimation par point pour tous les cas mentionnés ci-dessus sont
données en 7.2.1. Les procédures appropriées dans le cas où tous les exemplaires sont
observés pour différentes durées sont données en 7.2.2. Les procédures pour le cas de
données temporelles pour les groupes de défaillances à prendre en compte sont données
en 7.2.3.
Un test d'adéquation approprié, comme décrit en 7.3, doit être effectué après les procédures
d'estimation des paramètres de 7.2. Noter que ces tests et les procédures données de 7.4 à
7.7 pour la détermination des estimations d'intervalle et pour la réalisation des tests
statistiques, font une distinction seulement entre les cas des données temporelles pour chaque
défaillance à prendre en compte (c'est-à-dire toutes les instances des données du cas 1 – 1a),
1b) et 1c)) et les données temporelles pour les groupes de défaillances à prendre en compte
(c'est-à-dire le cas 2).
NOTE Les procédures d’inférence qui suivent fournissent des estimations approchées dans certaines
circonstances et il est nécessaire de prendre des précautions s’il faut qu’elles soient appliquées à de très petits
échantillons de données.
7.2 Estimation ponctuelle
7.2.1 Cas 1a) et 1b) – Données temporelles pour chaque défaillance à prendre
en compte
Cette méthode s'applique seulement lorsque les instants de défaillance ont été consignés pour
chaque défaillance comme cela est décrit en 6.1.1 et 6.1.2.
Étape 1: Calculer les sommes:
N *
T
S = ln (essai censuré par le temps)
1 ∑
t
j
j =1
N
t
N
S = ln (essai censuré par une défaillance)
2 ∑
t
j
j =1
61710 IEC:2000 – 19 –
If direct comparisons of the systems are to be made then as an extension of 6.1 the following
notation is used:
t denotes the ith failure time for the process corresponding to the jth item;
ij
N denotes the number of failures observed for the jth item;
j
t is the time of the Nth failure for the jth item;
N
j
where i = 0, 1, 2, … N and j = 1, 2, …k.
j
7 Statistical estimation and test procedures
7.1 Overview
In case 1 – time data for every relevant failure – the formulae given for failure terminated data
assume one repaired item, that is = 1. All output results correspond to that item. The
k
formulae given for time terminated data assume k copies of the item observed for the same
length of time. If there is only one repaired item then k =1. The point estimation procedures
for all the aforementioned cases are given in 7.2.1. The appropriate procedures for the case
when all copies are observed for different lengths of time are given in 7.2.2. Procedures for
the case of time data for groups of relevant failures are given in 7.2.3.
An appropriate goodness-of-fit test, as described in 7.3 shall be performed after the
parameter estimation procedures of 7.2. Note that these tests, and the procedures given in
7.4 to 7.7 for constructing interval estimates and carrying o
...
Questions, Comments and Discussion
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