ISO 3408-4:2006

Ball screws — Part 4: Static axial rigidity

ISO 3408-4:2006 sets forth terms and mathematical relations relevant to the determination of the static axial rigidity of the ball screw.

Vis à billes — Partie 4: Rigidité axiale statique

L'ISO 3408-4:2006 définit les termes et relations mathématiques applicables à la détermination de la rigidité axiale statique de la vis à billes.

General Information

• Status: Published
• Publication Date: 28-Aug-2006
• ICS: 25.060.99 - Other machine tool systems
• Technical Committee: ISO/TC 39 - Machine tools
• Drafting Committee: ISO/TC 39 - Machine tools
• Current Stage: 9093 - International Standard confirmed
• Completion Date: 04-Jan-2021

Standards Content (Sample)

INTERNATIONAL ISO
STANDARD 3408-4
First edition
2006-06-15

Ball screws —
Part 4:
Static axial rigidity
Vis à billes —
Partie 4: Rigidité axiale statique




Reference number
ISO 3408-4:2006(E)
©
ISO 2006

---------------------- Page: 1 ----------------------
ISO 3408-4:2006(E)
PDF disclaimer
This PDF file may contain embedded typefaces. In accordance with Adobe's licensing policy, this file may be printed or viewed but
shall not be edited unless the typefaces which are embedded are licensed to and installed on the computer performing the editing. In
downloading this file, parties accept therein the responsibility of not infringing Adobe's licensing policy. The ISO Central Secretariat
accepts no liability in this area.
Adobe is a trademark of Adobe Systems Incorporated.
Details of the software products used to create this PDF file can be found in the General Info relative to the file; the PDF-creation
parameters were optimized for printing. Every care has been taken to ensure that the file is suitable for use by ISO member bodies. In
the unlikely event that a problem relating to it is found, please inform the Central Secretariat at the address given below.


©  ISO 2006
All rights reserved. Unless otherwise specified, no part of this publication may be reproduced or utilized in any form or by any means,
electronic or mechanical, including photocopying and microfilm, without permission in writing from either ISO at the address below or
ISO's member body in the country of the requester.
ISO copyright office
Case postale 56 • CH-1211 Geneva 20
Tel. + 41 22 749 01 11
Fax + 41 22 749 09 47
E-mail [e-mail]
Web www.iso.org
Published in Switzerland

ii © ISO 2006 – All rights reserved

---------------------- Page: 2 ----------------------
ISO 3408-4:2006(E)
Contents Page
Foreword. iv
1 Scope . 1
2 Normative references . 1
3 Terms and definitions. 1
4 Symbols and subscripts . 1
4.1 Symbols . 1
4.2 Subscripts . 2
5 Determination of static axial rigidity, R. 3
5.1 General. 3
5.2 Static axial rigidity, R. 5
5.3 Static axial rigidity of ball screw, R . 5
bs
5.4 Static axial rigidity of ball screw shaft, R . 5
s
5.4.1 General. 5
5.4.2 Rigid mounting of ball screw shaft at one end. 5
5.4.3 Rigid mounting of ball screw shaft at both ends . 6
5.5 Static axial rigidity of ball nut unit, R . 6
nu
5.5.1 Static axial rigidity of ball nut unit with backlash, R . 6
nu1
5.5.2 Static axial rigidity of symmetrically preloaded ball nut unit, R . 10
nu2,4
5.5.3 Correction for accuracy, f . 12
ar
Annex A (informative) Example calculation of static axial rigidity in preloaded symmetrical double
nut system . 14
Annex B (informative) Correction for load application, f . 17
al

© ISO 2006 – All rights reserved iii

---------------------- Page: 3 ----------------------
ISO 3408-4:2006(E)
Foreword
ISO (the International Organization for Standardization) is a worldwide federation of national standards bodies
(ISO member bodies). The work of preparing International Standards is normally carried out through ISO
technical committees. Each member body interested in a subject for which a technical committee has been
established has the right to be represented on that committee. International organizations, governmental and
non-governmental, in liaison with ISO, also take part in the work. ISO collaborates closely with the
International Electrotechnical Commission (IEC) on all matters of electrotechnical standardization.
International Standards are drafted in accordance with the rules given in the ISO/IEC Directives, Part 2.
The main task of technical committees is to prepare International Standards. Draft International Standards
adopted by the technical committees are circulated to the member bodies for voting. Publication as an
International Standard requires approval by at least 75 % of the member bodies casting a vote.
Attention is drawn to the possibility that some of the elements of this document may be the subject of patent
rights. ISO shall not be held responsible for identifying any or all such patent rights.
ISO 3408-4 was prepared by Technical Committee ISO/TC 39, Machine tools.
ISO 3408 consists of the following parts, under the general title Ball screws:
⎯ Part 1: Vocabulary and designation
⎯ Part 2: Nominal diameters and nominal leads — Metric series
⎯ Part 3: Acceptance conditions and acceptance tests
⎯ Part 4: Static axial rigidity
⎯ Part 5: Static and dynamic axial load ratings and operational life

iv © ISO 2006 – All rights reserved

---------------------- Page: 4 ----------------------
INTERNATIONAL STANDARD ISO 3408-4:2006(E)

Ball screws —
Part 4:
Static axial rigidity
1 Scope
This part of ISO 3408 sets forth terms and mathematical relations relevant to the determination of the static
axial rigidity of the ball screw.
2 Normative references
The following referenced documents are indispensable for the application of this document. For dated
references, only the edition cited applies. For undated references, the latest edition of the referenced
document (including any amendments) applies.
ISO 3408-1:2006, Ball screws — Part 1: Vocabulary and designation
3 Terms and definitions
For the purposes of this document, the terms and definitions given in ISO 3408-1 apply.
4 Symbols and subscripts
4.1 Symbols
Symbol Description Unit
α Contact angle degrees, °
−1
ρ Reciprocal curvature radius mm
τ Ratio of the semi-major to the semi-minor axes of the contact ellipse —
ϕ Lead angle degrees, °
∆l Elastic deflection µm
c Material constant —
E
−2/3
c Geometry factor N µm
k
d Diameter of the deep hole bore mm
bo
d Diameter of load application on the ball screw shaft mm
c
D Diameter of load application on the ball nut mm
c
D Ball pitch circle diameter mm
pw
D Ball diameter mm
w
D Outer diameter of ball nut mm
1
© ISO 2006 – All rights reserved 1

---------------------- Page: 5 ----------------------
ISO 3408-4:2006(E)
Symbol Description Unit
2
E Modulus of elasticity N/mm
f Correction factor for accuracy classes (rigidity) —
ar
f Correction factor for load application —
al
f , f Conformity (ratio of ball/balltrack radius to ball diameter) of ball screw shaft —

rs rn
and ball nut
F Axial force, load N
i Number of loaded turns —
3/2
k Rigidity characteristic N/µm
l Length mm
l Unsupported length of ball screw shaft mm

s
m Poisson’s constant (e.g. for steel m = 10/3) —
−1
n Rotational speed min
P Lead mm
h
q Time percentage %
R Rigidity N/µm
s Backlash (axial play) µm
a
−2/3 4/3
⋅
Y Auxiliary value according to Hertz for the description of the elliptic integrals N µm
of the first and second kinds
z Number of effectively loaded balls per turn —
1
z Number of unloaded balls in the recirculation system, only for systems —
2
where balls will be recirculated after one turn

4.2 Subscripts
Symbol Description
ar refers to accuracy
b refers to ball
bs refers to ball screw
c refers to nut body/ball screw shaft
e refers to external load or the resulting deformation respectively
lim refers to limit load (at this value the contact between balls and balltracks of ball screw shaft and
ball nut is eliminated)
m refers to equivalent
N refers to normal load which acts upon balls and balltracks of the ball screw shaft and ball nut in
the direction of the contact angle
n refers to ball nut
pr refers to preload
s refers to ball screw shaft
b/t refers to ball/balltrack area
nu refers to ball screw within the loaded ball nut area
1 refers to ball nut 1
2 refers to ball nut 2

2 © ISO 2006 – All rights reserved

---------------------- Page: 6 ----------------------
ISO 3408-4:2006(E)
5 Determination of static axial rigidity, R
5.1 General
The static axial rigidity of a ball screw exerts a major influence on its positioning accuracy. It is a function of
the design of the ball screw, its support and bearing arrangement. For the purpose of the calculation given
below support and bearing arrangement have been disregarded.
The static axial rigidity of ball screws is not linear. For the purpose of the study of rigidity, a ball screw can be
conceived as a combination of several linear and non-linear spring elements. For this reason the rigidity value
indicated is correct only for one load application.
The deflection to be determined is caused by
⎯ axial deflections of the screw shaft and the ball nut body,
⎯ radial deflections of the screw shaft and the ball nut body,
⎯ deflections of the balls and the thread land.
The calculation of the deflections attributable to the ball contact is based on the theory related to Hertz stress.
The following preconditions should be met as closely as possible:
⎯ the material of the contacting partners shall be homogenous and isotropic,
⎯ in addition, Hooke’s law applies, i.e., no plastic deformation, and
⎯ in the contact area only normal stress shall be acting, i.e., a level pressure surface is generated.
Moreover, the applied simplified theory of Hertz specifies identical elasticity modulus and transversal
contraction parameter for the material of ball screw shaft, ball nuts and balls.
When calculating axial rigidity it is important to differentiate between ball nuts that have backlash and those
that have none, i.e. preloaded ball nuts.
It is possible to generate preload by different methods:
a) Single ball nut with continuous thread. Preloading by oversize balls, resulting in four-point-ball-contact.
See Figure 1.

Figure 1
© ISO 2006 – All rights reserved 3

---------------------- Page: 7 ----------------------
ISO 3408-4:2006(E)
b) Single ball nut with shifted thread between the preloaded areas, achieving two-point-ball-contact.
See Figure 2.

Figure 2
c) Single ball nut with double start thread and shifted pitch (two-point-ball-contact).
See Figure 3.

Figure 3
d) Double ball nut consisting of two single ball nuts, each with continuous thread. Axial displacement
of the two single ball nuts against each other.
See Figure 4.

Figure 4
The rigidity calculation set forth in this standard can be applied to all preloading methods described.
As it is very time-consuming — and hence unsuitable for practical purposes — to determine the precise axial
deflection on the basis of the corresponding formulae, a reasonably simplified calculation method is outlined
below so that the calculation may be effected with a pocket calculator.
4 © ISO 2006 – All rights reserved

---------------------- Page: 8 ----------------------
ISO 3408-4:2006(E)
5.2 Static axial rigidity, R
The static axial rigidity, R, constitutes the resistance to
...

NORME ISO
INTERNATIONALE 3408-4
Première édition
2006-06-15


Vis à billes —
Partie 4:
Rigidité axiale statique
Ball screws —
Part 4: Static axial rigidity




Numéro de référence
ISO 3408-4:2006(F)
©
ISO 2006

---------------------- Page: 1 ----------------------
ISO 3408-4:2006(F)
PDF – Exonération de responsabilité
Le présent fichier PDF peut contenir des polices de caractères intégrées. Conformément aux conditions de licence d'Adobe, ce fichier
peut être imprimé ou visualisé, mais ne doit pas être modifié à moins que l'ordinateur employé à cet effet ne bénéficie d'une licence
autorisant l'utilisation de ces polices et que celles-ci y soient installées. Lors du téléchargement de ce fichier, les parties concernées
acceptent de fait la responsabilité de ne pas enfreindre les conditions de licence d'Adobe. Le Secrétariat central de l'ISO décline toute
responsabilité en la matière.
Adobe est une marque déposée d'Adobe Systems Incorporated.
Les détails relatifs aux produits logiciels utilisés pour la création du présent fichier PDF sont disponibles dans la rubrique General Info
du fichier; les paramètres de création PDF ont été optimisés pour l'impression. Toutes les mesures ont été prises pour garantir
l'exploitation de ce fichier par les comités membres de l'ISO. Dans le cas peu probable où surviendrait un problème d'utilisation,
veuillez en informer le Secrétariat central à l'adresse donnée ci-dessous.


©  ISO 2006
Droits de reproduction réservés. Sauf prescription différente, aucune partie de cette publication ne peut être reproduite ni utilisée sous
quelque forme que ce soit et par aucun procédé, électronique ou mécanique, y compris la photocopie et les microfilms, sans l'accord écrit
de l'ISO à l'adresse ci-après ou du comité membre de l'ISO dans le pays du demandeur.
ISO copyright office
Case postale 56 • CH-1211 Geneva 20
Tel. + 41 22 749 01 11
Fax. + 41 22 749 09 47
E-mail [e-mail]
Web www.iso.org
Publié en Suisse

ii © ISO 2006 – Tous droits réservés

---------------------- Page: 2 ----------------------
ISO 3408-4:2006(F)
Sommaire Page
Avant-propos. iv
1 Domaine d'application. 1
2 Références normatives . 1
3 Termes et définitions. 1
4 Symboles et indices . 1
4.1 Symboles . 1
4.2 Indices. 2
5 Détermination de la rigidité axiale statique, R . 3
5.1 Généralités . 3
5.2 Rigidité axiale statique, R. 5
5.3 Rigidité axiale statique de la vis à billes, R . 5
bs
5.4 Rigidité axiale statique de la vis, R . 5
s
5.4.1 Généralités . 5
5.4.2 Montage rigide de la vis à une extrémité. 5
5.4.3 Montage rigide de la vis aux deux extrémités . 6
5.5 Rigidité axiale statique de l'écrou à billes, R . 6
nu
5.5.1 Rigidité axiale statique de l'écrou avec jeu axial, R . 6
nu1
5.5.2 Rigidité axiale statique de l'écrou à billes soumis à une précharge symétrique, R . 10
nu2,4
5.5.3 Correction compte tenu de l'exactitude, f . 12
ar
Annexe A (informative) Exemple de calcul de la rigidité axiale statique dans un dispositif à écrou
double symétrique en précharge . 14
Annexe B (informative) Correction compte tenu de l'application de la charge f . 17
al

© ISO 2006 – Tous droits réservés iii

---------------------- Page: 3 ----------------------
ISO 3408-4:2006(F)
Avant-propos
L'ISO (Organisation internationale de normalisation) est une fédération mondiale d'organismes nationaux de
normalisation (comités membres de l'ISO). L'élaboration des Normes internationales est en général confiée
aux comités techniques de l'ISO. Chaque comité membre intéressé par une étude a le droit de faire partie du
comité technique créé à cet effet. Les organisations internationales, gouvernementales et non
gouvernementales, en liaison avec l'ISO participent également aux travaux. L'ISO collabore étroitement avec
la Commission électrotechnique internationale (CEI) en ce qui concerne la normalisation électrotechnique.
Les Normes internationales sont rédigées conformément aux règles données dans les Directives ISO/CEI,
Partie 2.
La tâche principale des comités techniques est d'élaborer les Normes internationales. Les projets de Normes
internationales adoptés par les comités techniques sont soumis aux comités membres pour vote. Leur
publication comme Normes internationales requiert l'approbation de 75 % au moins des comités membres
votants.
L'attention est appelée sur le fait que certains des éléments du présent document peuvent faire l'objet de
droits de propriété intellectuelle ou de droits analogues. L'ISO ne saurait être tenue pour responsable de ne
pas avoir identifié de tels droits de propriété et averti de leur existence.
L'ISO 3408-4 a été élaborée par le comité technique ISO/TC 39, Machines-outils.
L'ISO 3408 comprend les parties suivantes, présentées sous le titre général Vis à billes:
⎯ Partie 1: Vocabulaire et désignation
⎯ Partie 2: Diamètres et pas hélicoïdaux, nominaux — Série métrique
⎯ Partie 3: Conditions et essais de réception
⎯ Partie 4: Rigidité axiale statique
⎯ Partie 5: Charges axiales statiques et dynamiques de base et durée de vie

iv © ISO 2006 – Tous droits réservés

---------------------- Page: 4 ----------------------
NORME INTERNATIONALE ISO 3408-4:2006(F)

Vis à billes —
Partie 4:
Rigidité axiale statique
1 Domaine d'application
La présente partie de l'ISO 3408 définit les termes et relations mathématiques applicables à la détermination
de la rigidité axiale statique de la vis à billes.
2 Références normatives
Les documents de référence suivants sont indispensables pour l'application du présent document. Pour les
références datées, seule l'édition citée s'applique. Pour les références non datées, la dernière édition du
document de référence s'applique (y compris les éventuels amendements).
ISO 3408-1:2006, Vis à billes ⎯ Partie 1: Vocabulaire et désignation
3 Termes et définitions
Pour les besoins du présent document, les termes et définitions donnés dans l'ISO 3408-1 s'appliquent.
4 Symboles et indices
4.1 Symboles
Symbole Description Unité
α Angle de contact degrés, °
−1
ρ Rayon de courbure réciproque mm
τ Rapport entre demi-grand axe et le demi-petit axe de l'ellipse de contact —
ϕ Angle du pas hélicoïdal degrés, °
∆l Déformation élastique µm
c Constante du matériau —
E
−2/3
c Coefficient géométrique N µm
k
d Diamètre d'alésage profond mm
bo
d Diamètre d'application de la charge sur la vis mm
c
D Diamètre d'application de la charge sur l'écrou à billes mm
c
D Diamètre du cylindre primitif mm
pw
D Diamètre de la bille mm
w
D Diamètre extérieur de l'écrou à billes mm
1
© ISO 2006 – Tous droits réservés 1

---------------------- Page: 5 ----------------------
ISO 3408-4:2006(F)
Symbole Description Unité
2
E Module d'élasticité N/mm
f Coefficient de correction compte tenu des classes d'exactitude (rigidité) —
ar
f Coefficient de correction compte tenu de l'application de la charge —
al
f , f Conformité (rapport entre le rayon de la bille/piste de roulement et le diamètre —
rs rn
de la bille) de la vis et de l'écrou à billes
F Force axiale, charge N
i Nombre de plages de charge —
3/2
k Caractéristique de rigidité N/µm
l Longueur mm
l Longueur non soutenue de la vis mm

s
m Constante de Poisson (par exemple pour l'acier m = 10/3) —
−1
n Vitesse de rotation min
P Pas hélicoïdal mm
h
q Pourcentage en temps %
R Rigidité N/µm
s Jeu axial µm
a
−2/3 4/3
⋅
Y Valeur auxiliaire selon Hertz pour la description des intégrales elliptiques N µm
er e
des 1 et 2 ordres
z Nombre de billes réellement en charge par plage —
1
z Nombre de billes non chargées dans le dispositif de recirculation, —
2
uniquement pour les dispositifs dans lesquels se produit la recirculation des
billes après une rotation
4.2 Indices
Symbole Description
ar fait référence à l'exactitude
b fait référence à la bille
bs fait référence à la vis à billes
c fait référence au corps de l'écrou/à la vis
e fait référence à la charge extérieure ou à la déformation qui en résulte
lim fait référence à la charge limite (Pour cette valeur, le contact entre les billes et les pistes de
roulement de la vis et de l'écrou est éliminé.)
m fait référence à l'équivalent
N fait référence à la charge normale qui agit sur les billes et les pistes de roulement de la vis et de
l'écrou à billes dans la direction de l'angle de contact
n fait référence à l'écrou à billes
pr fait référence à la précharge
s fait référence à la vis
b/t fait référence à la zone bille/piste de roulement
nu fait référence à la vis dans la zone de l'écrou en charge
1 fait référence à l'écrou 1
2 fait référence à l'écrou 2
2 © ISO 2006 – Tous droits réservés

---------------------- Page: 6 ----------------------
ISO 3408-4:2006(F)
5 Détermination de la rigidité axiale statique, R
5.1 Généralités
La rigidité axiale statique d'une vis à billes exerce une influence déterminante sur l'exactitude de
positionnement. Elle est fonction de la conception de la vis à billes, de son support et de la configuration du
palier. Pour les besoins du calcul présenté ci-dessous, le support et la configuration du palier n'ont pas été
pris en compte.
La rigidité axiale statique des vis à billes n'est pas linéaire. Pour les besoins de l'étude de la rigidité, une vis à
billes peut être conçue comme une combinaison de plusieurs éléments à comportement élastique linéaire et
non linéaire. De ce fait, la valeur de la rigidité indiquée n'est correcte que pour une seule application de la
charge.
La déformation à déterminer est provoquée par
⎯ des déformations axiales de la vis et du corps de l'écrou à billes,
⎯ des déformations radiales de la vis et du corps de l'écrou à billes,
⎯ des déformations des billes et du filetage.
Le calcul des déformations imputables au contact de la bille repose sur une théorie liée à la pression
hertzienne. Il convient de remplir dans toute la mesure du possible les conditions préalables suivantes:
⎯ le matériau des éléments de contact doit être homogène et isotrope;
⎯ de plus, la loi de Hooke s'applique, c'est-à-dire qu'il n'y a pas de déformation plastique;
⎯ seule une pression normale doit s'exercer dans la zone de contact, c'est-à-dire que cela génère une
pression superficielle.
De plus, la théorie de Hertz simplifiée appliquée ici spécifie un module d'élasticité et un paramètre de
contraction transversale identique pour le matériau de la vis, des écrous à billes et des billes.
Lors du calcul de la rigidité axiale, il est important de distinguer les écrous à billes présentant un jeu axial de
ceux qui n'en ont pas, à savoir les écrous en précharge.
Il existe plusieurs méthodes pour générer une précharge:
a) Écrou à billes simple à filet continu. Précharge à l'aide de billes surdimensionnées, provoquant un
contact de la bille en quatre points.
Voir Figure 1.

Figure 1
© ISO 2006 – Tous droits réservés 3

---------------------- Page: 7 ----------------------
ISO 3408-4:2006(F)
b) Écrou à billes simple à filet alterné entre les zones en précharge, donnant un contact de la bille en
deux points.
Voir Figure 2.

Figure 2
c) Écrou à billes simple à deux filets et pas du profil alterné (contact de la bille en deux points).
Voir Figure 3.

Figure 3
d) Écrou double se composant de deux écrous à billes simples, chacun d'eux étant à filet continu.
Déplacement axial de ces deux écrous l'un par rapport à l'autre.
Voir Figure 4.

Figure 4
Le calcul de la rigidité défini dans la présente partie de l'ISO 3408 peut s'appliquer à toutes les méthodes de
précharge décrites.
4 © ISO 2006 – Tous droits réservés

---------------------- Page: 8 ----------------------
ISO 3408-4:2006(F)
Comme cela prend beaucoup de temps — et ne convient donc pas à des fins pratiques — de déterminer la
déformation axiale précise en se fondant sur les formules correspondantes, une méthode de calcul
raisonnablement simplifiée est esquissée ci-dessous de sorte que le calcul peut se faire à l'aide d'une
calculatrice de poche.
5.2 Rigidité axiale sta
...