ISO/TR 16610-32:2023

Geometrical product specifications (GPS) — Filtration — Part 32: Robust profile filters: Spline filters

This document provides information on a generalized version of the linear spline filter for uniform and non-uniform sampling and the robust spline filters for surface profiles. It supplements ISO 16610-22, ISO 16610-30 and ISO 16610-31. This document provides information on how to apply the robust estimation to the spline filter as specified in ISO 16610-22, as well as its generalized form for non-uniform sampling. The weight function chosen for the M-estimator is the Tukey biweight influence function as specified in ISO 16610-31.

Spécification géométrique des produits (GPS) — Filtrage — Partie 32: Filtres de profil robustes: Filtres splines

Le présent document fournit des informations sur une version généralisée du filtre spline linéaire pour un échantillonnage uniforme et non uniforme et des filtres splines robustes pour des profils de surface. Il complète les ISO 16610‑22, ISO 16610‑30 et ISO 16610‑31. Le présent document fournit des informations sur la manière d’appliquer l’estimation robuste au filtre spline tel que spécifié dans l’ISO 16610‑22, ainsi que sa forme généralisée pour un échantillonnage non uniforme. La fonction de pondération choisie pour l’estimateur M est la fonction d’influence à double pondération de Tukey telle que spécifiée dans l’ISO 16610‑31.

General Information

• Status: Published
• Publication Date: 25-Oct-2023
• ICS: 17.040.20 - Properties of surfaces
• ICS: 17.040.40 - Geometrical Product Specification (GPS)
• Technical Committee: ISO/TC 213 - Dimensional and geometrical product specifications and verification
• Drafting Committee: ISO/TC 213 - Dimensional and geometrical product specifications and verification
• Current Stage: 6060 - International Standard published
• Start Date: 26-Oct-2023
• Completion Date: 26-Oct-2023

Relations

• Revises: ISO/TS 16610-32:2009 - Geometrical product specifications (GPS) — Filtration — Part 32: Robust profile filters: Spline filters
• Effective Date: 06-Jun-2022

Standards Content (Sample)

TECHNICAL ISO/TR
REPORT 16610-32
First edition
2023-10
Geometrical product specifications
(GPS) — Filtration —
Part 32:
Robust profile filters: Spline filters
Spécification géométrique des produits (GPS) — Filtrage —
Partie 32: Filtres de profil robustes: Filtres splines
Reference number
© ISO 2023
All rights reserved. Unless otherwise specified, or required in the context of its implementation, no part of this publication may
be reproduced or utilized otherwise in any form or by any means, electronic or mechanical, including photocopying, or posting on
the internet or an intranet, without prior written permission. Permission can be requested from either ISO at the address below
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CH-1214 Vernier, Geneva
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Email: [e-mail]
Website: www.iso.org
Published in Switzerland
ii
Contents Page
Foreword .iv
Introduction .v
1 Scope . 1
2 Normative references . 1
3 Terms and definitions . 1
4 Spline filter for uniform and non-uniform sampling . 2
4.1 General . 2
4.2 Filter equation for cubic spline filter . 2
4.2.1 General . 2
4.2.2 Regularization parameter . 3
4.2.3 Tension parameter . 4
4.2.4 Matrix V for linear cubic spline filter . 4
4.2.5 Matrix V for robust cubic spline filter . 4
4.2.6 Termination of the iteration of robust estimation . 5
4.2.7 Matrices of differentiation P and Q . 5
4.3 Transmission characteristics . 7
4.4 Alternative robust spline filter . 7
4.4.1 General . 7
4.4.2 Objective function with L2-norm without tension energy for the linear
filter equation . 8
4.4.3 Objective function with L1-norm without tension energy for robust
filtration . 8
5 Filter designation . 9
Annex A (informative) Example of spline filter applied to plateau structured profile .10
Annex B (informative) Relationship to the filtration matrix model .12
Annex C (informative) Relationship to the GPS matrix model .13
Bibliography .14
iii
Foreword
ISO (the International Organization for Standardization) is a worldwide federation of national standards
bodies (ISO member bodies). The work of preparing International Standards is normally carried out
through ISO technical committees. Each member body interested in a subject for which a technical
committee has been established has the right to be represented on that committee. International
organizations, governmental and non-governmental, in liaison with ISO, also take part in the work.
ISO collaborates closely with the International Electrotechnical Commission (IEC) on all matters of
electrotechnical standardization.
The procedures used to develop this document and those intended for its further maintenance are
described in the ISO/IEC Directives, Part 1. In particular, the different approval criteria needed for the
different types of ISO document should be noted. This document was drafted in accordance with the
editorial rules of the ISO/IEC Directives, Part 2 (see www.iso.org/directives).
ISO draws attention to the possibility that the implementation of this document may involve the use
of (a) patent(s). ISO takes no position concerning the evidence, validity or applicability of any claimed
patent rights in respect thereof. As of the date of publication of this document, ISO had not received
notice of (a) patent(s) which may be required to implement this document. However, implementers are
cautioned that this may not represent the latest information, which may be obtained from the patent
database available at www.iso.org/patents. ISO shall not be held responsible for identifying any or all
such patent rights.
Any trade name used in this document is information given for the convenience of users and does not
constitute an endorsement.
For an explanation of the voluntary nature of standards, the meaning of ISO specific terms and
expressions related to conformity assessment, as well as information about ISO's adherence to
the World Trade Organization (WTO) principles in the Technical Barriers to Trade (TBT), see
www.iso.org/iso/foreword.html.
This document was prepared by Technical Committee ISO/TC 213, Dimensional and geometrical product
specifications and verification.
This document cancels and replaces ISO/TS 16610-32:2009, which has been technically revised.
The main changes are as follows:
— conversion to a Technical Report;
— inclusion of spline filtration for non-uniform sampling points;
— addition of a generalized filter equation with a revision of the equation of the robust spline filter
harmonizing the statistical estimator with that of ISO 16610-31;
— inclusion of a termination criterion of the iterations for the robust, therefore nonlinear, filter;
— addition of specifications of the tension parameter.
A list of all parts in the ISO 16610 series can be found on the ISO website.
Any feedback or questions on this document should be directed to the user’s national standards body. A
complete listing of these bodies can be found at www.iso.org/members.html.
iv
Introduction
This document develops the terminology and concepts for spline filters. Spline filters have the advantage
of being implementable for non-uniform sampling positions and for closed profiles. An example of
application of spline filters is given in Annex A.
Robust filters are tolerant against outliers. Spline filters offer one method for form removal.
For more detailed information of the relation of this document to the filtration matrix and the ISO GPS
standards, see Annex B and Annex C.
v
TECHNICAL REPORT ISO/TR 16610-32:2023(E)
Geometrical product specifications (GPS) — Filtration —
Part 32:
Robust profile filters: Spline filters
1 Scope
This document provides information on a generalized version of the linear spline filter for uniform and
non-uniform sampling and the robust spline filters for surface profiles. It supplements ISO 16610-22,
ISO 16610-30 and ISO 16610-31.
This document provides information on how to apply the robust estimation to the spline filter as
specified in ISO 16610-22, as well as its generalized form for non-uniform sampling. The weight function
chosen for the M-estimator is the Tukey biweight influence function as specified in ISO 16610-31.
2 Normative references
There are no normative references in this document.
3 Terms and definitions
For the purposes of this document, the following terms and definitions apply.
ISO and IEC maintain terminology databases for use in standardization at the following addresses:
— ISO Online browsing platform: available at https:// www .iso .org/ obp
— IEC Electropedia: available at https:// www .electropedia .org/
3.1
robust filter
filter that is insensitive against specific phenomena in the input data
Note 1 to entry: A robust filter is a filter that delivers output data with robustness.
Note 2 to entry: Robust filters are nonlinear filters.
[SOURCE: ISO 16610-31:2016, 3.1, modified — Definition revised and notes to entry added.]
3.2
spline
linear combination of piecewise polynomials, with a smooth fit between the pieces
[SOURCE: ISO 16610-22:2015, 3.1, modified — Note 1 to entry removed.]
3.3
spline filter
linear filter based on splines (3.2)
Note 1 to entry: An example of spline filter application is given in Annex A.
3.4
robust spline filter
robust filter (3.1) based on splines (3.2)
3.5
uniform sampling
sampling of data points at equidistant positions, i.e. with the width of spacing intervals between
neighbouring probing points being constant
3.6
non-uniform sampling
sampling of data points with non-equidistant spacing points
3.7
robust statistical estimator
rule that indicates how to calculate an estimate based on sample data from a population that is
insensitive against specific phenomena in the input data
Note 1 to entry: An example of specific phenomena is significant deviation of the distribution of the input data
(amplitude distribution in the case of surface profiles) from a Gaussian distribution mostly in the form of long
tails.
3.8
M-estimator
robust statistical estimator (3.7) which uses an influence function, i.e. a function which is asymmetric
and scale invariant, to weight points according to their signed distance from the reference line
[SOURCE: ISO 16610-30:2015, 3.5, modified — Definition revised.]
3.9
Tukey’s biweight influence function
influence function which supresses specific phenomena in the input data x and is defined by:
 2
 
x
 

x1−  for xc≤

 
 
ψ x =
() c
  
 

0 for xc>


where c is a scale parameter
4 Spline filter for uniform and non-uniform sampling
4.1 General
The following low-pass filter equation for spline profile filters is based on cubic splines with a
regularization parameter depending on the nesting index, which complies with the cut-off wavelength
in the case of linear filters, for the smoothness of the resultant waviness profile (low-passed signal) and
a tension parameter influencing the slope of the transfer function.
4.2 Filter equation for cubic spline filter
4.2.1 General
The filter equation is given in Formula (1):
−1
wV=+βα PQ+−1 βα Vz (1)
()
()
where
z is the n-dimensional column vector of input data, e.g. the primary profile of n sampling points;
w is the column vector of output data, e.g. the waviness profile or smoothed profile;
V is the unity matrix in the case of the linear filter and the weighting matrix in the case of
the robust filter;
P and Q are the matrices for the discretized differentiation;
β
is the tension parameter (see also 4.2.3);
α
is the parameter (see 4.2.2) depending on the smoothness, the nesting index (cut-off wave-
length in the case of linear filters) of the spline.
Formula (1) is obtained by minimization of the objective (cost) function J as indicated in Formula (2):
min J (2)
w
with the objective function defined in Formula (3):
T 24TT
J =−zw Vz−ww++βα Pw 1−βα wQw (3)
() () ()
T
where QP= P .
A sufficient condition of a minimum is ∇∇ J= 0 leading to the filter equation in Formula (1).
w
[11]
NOTE 1 After extending the matrices of Formula (1) to tensors, the filter is also applicable to areal data .
NOTE 2 Usually the objective function of smoothing splines is defined with a regularization parameter μ also
fitted during the optimization process with an additional condition for the smoothness measured according to
the deviations zs− x . Objective functions of the more common type of smoothing splines do not include
()
ii
x
n ∂
n
2  
non-zero tension Jz=−sx +μ sx dx with sx being the spline polynomials and
()() () ()
 
∑ ii
∫
i=1
x
∂x 
the regularization parameter μ determining the degree of smoothing and hence following the data points vs
approximating them.
4.2.2 Regularization parameter
The parameter μ specifies the regularization, i.e. the degree of smoothing. In the case of minimum
tension, it holds μα= and is therefore related to the nesting index n , which is in the case of linear
i
filtration equal to the cut-off wavelength λ as given in Formula (4):
c
α = (4)
π Δ
2sin
 
n
 
i
where Δ is the sampling interval for uniformly sampled data and the average sampling interval as given
in Formula (5):
n−1
Δ= xx− (5)
()
ii+1
∑
n−1
i=1
for data sampled non-uniformly at positions x with i = 1, …, n−1.
i
NOTE 1 Formula (4) is derived in Reference [12].
NOTE 2 For sampling intervals Δ n the regularization parameter tends to infinity α →∞ .
i
NOTE 3 For non-minimal tension the factor μ of the second order derivative term is also dependent on the
tension parameter β : μβ=−()1 α .
4.2.3 Tension parameter
The product βα is the tension factor with parameter β lying between 0 and 1. The parameter β
controls the degree of subsequent topography curvatures, where curvature means a local property of a
curve or a surface, which is defined at every point quantifying second-order deviations of a curve from
a straight line or a surface from a plane.
Following curvatures closely means optimal shape retainment of the low-pass result, the output data w.
For β = 0 the characteristics of the transfer function conform to Formula (1) in ISO 16610-22, a minimum
tension which is equivalent to the steepest slope of the transfer function and therefore a better shape
retainment than for β > 0.
[14]
For β = 0,625 242 the characteristics of the transfer function is similar to that of the Gaussian filter
as specified in ISO 16610-21 and ISO 16610-61.
NOTE The shape retainment by the spline filter for β = 0 is global, while the shape retainment by the Gaussian
regression with a parabolic regression (p = 2) is local.
4.2.4 Matrix V for linear cubic spline filter
Matrix V for linear filters is the n × n-dimensional unity matrix as given in Formula (6):
10…
 
 
V =   (
...

RAPPORT ISO/TR
TECHNIQUE 16610-32
Première édition
2023-10
Spécification géométrique des
produits (GPS) — Filtrage —
Partie 32:
Filtres de profil robustes: Filtres
splines
Geometrical product specifications (GPS) — Filtration —
Part 32: Robust profile filters: Spline filters
Numéro de référence
DOCUMENT PROTÉGÉ PAR COPYRIGHT
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publication ne peut être reproduite ni utilisée sous quelque forme que ce soit et par aucun procédé, électronique ou mécanique,
y compris la photocopie, ou la diffusion sur l’internet ou sur un intranet, sans autorisation écrite préalable. Une autorisation peut
être demandée à l’ISO à l’adresse ci-après ou au comité membre de l’ISO dans le pays du demandeur.
ISO copyright office
Case postale 401 • Ch. de Blandonnet 8
CH-1214 Vernier, Genève
Tél.: [phone]
E-mail: [e-mail]
Web: www.iso.org
Publié en Suisse
ii
Sommaire Page
Avant-propos .iv
Introduction .v
1 Domaine d'application .1
2 Références normatives .1
3 Termes et définitions .1
4 Filtre spline pour un échantillonnage uniforme et non uniforme .2
4.1 Généralités . 2
4.2 Équation de filtre pour un filtre spline cubique . 3
4.2.1 Généralités . 3
4.2.2 Paramètre de régularisation . 4
4.2.3 Paramètre de tension . 4
4.2.4 Matrice V pour un filtre spline cubique linéaire . 4
4.2.5 Matrice V pour un filtre spline cubique robuste . 5
4.2.6 Terminaison de l’itération d’une estimation robuste . 5
4.2.7 Matrices de différenciation P et Q . 5
4.3 Caractéristiques de transmission . . 8
4.4 Autre filtre spline robuste . . 8
4.4.1 Généralités . 8
4.4.2 Fonction objectif avec la norme L2 sans énergie de tension pour l’équation
de filtre linéaire . . . 9
4.4.3 Fonction objectif avec la norme L1 sans énergie de tension pour un filtrage
robuste . 9
5 Désignation de filtre .10
Annexe A (informative) Exemple de filtre spline appliqué à un profil structuré en plateau .11
Annexe B (informative) Relation avec le modèle de matrice de filtrage .13
Annexe C (informative) Relation avec le modèle de matrice GPS .14
Bibliographie .16
iii
Avant-propos
L'ISO (Organisation internationale de normalisation) est une fédération mondiale d'organismes
nationaux de normalisation (comités membres de l'ISO). L'élaboration des Normes internationales est
en général confiée aux comités techniques de l'ISO. Chaque comité membre intéressé par une étude
a le droit de faire partie du comité technique créé à cet effet. Les organisations internationales,
gouvernementales et non gouvernementales, en liaison avec l'ISO participent également aux travaux.
L'ISO collabore étroitement avec la Commission électrotechnique internationale (IEC) en ce qui
concerne la normalisation électrotechnique.
Les procédures utilisées pour élaborer le présent document et celles destinées à sa mise à jour sont
décrites dans les Directives ISO/IEC, Partie 1. Il convient, en particulier de prendre note des différents
critères d'approbation requis pour les différents types de documents ISO. Le présent document a
été rédigé conformément aux règles de rédaction données dans les Directives ISO/IEC, Partie 2 (voir
www.iso.org/directives).
L’ISO attire l'attention sur la possibilité que la mise en œuvre du présent document puisse impliquer
l'utilisation d'un (de) brevet(s). L’ISO ne prend pas position quant à la preuve, à la validité ou à
l’applicabilité de tous droits de brevet réclamés à ce titre. À la date de publication du présent document,
l’ISO n’avait pas reçu d’avis d’un (de) brevet(s) qui peu(ven)t être requis pour mettre en œuvre le présent
document. Cependant, les responsables de la mise en œuvre sont avertis du fait que cela peut ne pas
représenter les informations les plus récentes, qui peuvent être obtenues à partir de la base de données
de brevets disponible à l’adresse www.iso.org/patents. L'ISO ne saurait être tenue pour responsable de
ne pas avoir identifié de tels droits de propriété et averti de leur existence.
Les appellations commerciales éventuellement mentionnées dans le présent document sont données
pour information, par souci de commodité, à l'intention des utilisateurs et ne sauraient constituer un
engagement.
Pour une explication de la nature volontaire des normes, la signification des termes et expressions
spécifiques de l'ISO liés à l'évaluation de la conformité, ou pour toute information au sujet de l'adhésion
de l'ISO aux principes de l'Organisation mondiale du commerce (OMC) concernant les obstacles
techniques au commerce (OTC), voir le lien suivant: www.iso.org/iso/fr/avant-propos.
Le présent document a été élaboré par le Comité technique ISO/TC 213, Spécifications et vérification
dimensionnelles et géométriques des produits.
Le présent document annule et remplace l’ISO/TS 16610-32:2009, qui a fait l’objet d’une révision
technique.
Les principales modifications sont les suivantes:
— conversion en un Rapport Technique;
— inclusion d’un filtrage spline pour des points d’échantillonnage non uniformes;
— ajout d’une équation de filtre généralisée avec une révision de l’équation de filtre spline robuste
harmonisant l’estimateur statistique avec celui de l’ISO 16610-31;
— inclusion d’un critère de terminaison des itérations pour le filtre robuste, et donc non linéaire;
— ajout de spécifications du paramètre de tension.
Une liste de toutes les parties de la série ISO 16610 est disponible sur le site Internet de l’ISO.
Il convient que tout retour d’information ou question sur le présent document soit adressé à l’organisme
national de normalisation de l’utilisateur. Une liste exhaustive desdits organismes se trouve à l'adresse
www.iso.org/fr/membres.html.
iv
Introduction
Le présent document développe la terminologie et les concepts des filtres splines. Les filtres splines
ont l’avantage d’être implémentables pour des positions d’échantillonnage non uniformes et pour des
profils fermés. Un exemple d’application de filtres splines est donné dans l'Annexe A.
Les filtres robustes sont tolérants aux valeurs aberrantes. Les filtres splines offrent une méthode pour
la suppression de forme.
Pour des informations plus détaillées sur la relation du présent document avec la matrice de filtrage et
les normes ISO GPS, voir Annexe B et Annexe C.
v
RAPPORT TECHNIQUE ISO/TR 16610-32:2023(F)
Spécification géométrique des produits (GPS) — Filtrage —
Partie 32:
Filtres de profil robustes: Filtres splines
1 Domaine d'application
Le présent document fournit des informations sur une version généralisée du filtre spline linéaire pour
un échantillonnage uniforme et non uniforme et des filtres splines robustes pour des profils de surface.
Il complète les ISO 16610-22, ISO 16610-30 et ISO 16610-31.
Le présent document fournit des informations sur la manière d’appliquer l’estimation robuste au filtre
spline tel que spécifié dans l’ISO 16610-22, ainsi que sa forme généralisée pour un échantillonnage non
uniforme. La fonction de pondération choisie pour l’estimateur M est la fonction d’influence à double
pondération de Tukey telle que spécifiée dans l’ISO 16610-31.
2 Références normatives
Il n’y a pas de référence normative dans le présent document.
3 Termes et définitions
Pour les besoins du présent document, les termes et définitions suivants s'appliquent.
L'ISO et l'IEC tiennent à jour des bases de données terminologiques destinées à être utilisées en
normalisation, consultables aux adresses suivantes:
— ISO Online browsing platform: disponible à l'adresse https:// www .iso .org/ obp
— IEC Electropedia: disponible à l'adresse https:// www .electropedia .org/
3.1
filtre robuste
filtre qui est insensible à des phénomènes spécifiques s’appliquant aux données d’entrée
Note 1 à l'article: Un filtre robuste est un filtre qui délivre des données de sortie avec robustesse.
Note 2 à l'article: Les filtres robustes sont des filtres non linéaires.
[SOURCE: ISO 16610-31:2016, 3.1, modifié — Définition révisée et notes à l’article ajoutées.]
3.2
spline
combinaison linéaire de polynômes adaptés raccordés entre eux de manière lisse
[SOURCE: ISO 16610-22:2015, 3.1, modifié — Note 1 à l’article supprimée.]
3.3
filtre spline
filtre linéaire basé sur des splines (3.2)
Note 1 à l'article: Un exemple d’application de filtre spline est donné dans l'Annexe A.
3.4
filtre spline robuste
filtre robuste (3.1) basé sur des splines (3.2)
3.5
échantillonnage uniforme
échantillonnage de points de données en des positions équidistantes, c’est-à-dire avec la largeur
d’intervalles d’espacement entre des points de palpage voisins constante
3.6
échantillonnage non uniforme
échantillonnage de points de données avec des points d’espacement non équidistants
3.7
estimateur statistique robuste
règle qui indique comment calculer une estimation sur la base de données d’échantillon d’une population
qui est insensible à des phénomènes spécifiques s’appliquant aux données d'entrée
Note 1 à l'article: Un exemple de phénomène spécifique est l’écart significatif de la distribution des données
d’entrée (distribution d’amplitude dans le cas de profils de surface) par rapport à une distribution gaussienne
principalement sous la forme de queues longues.
3.8
estimateur M
estimateur statistique robuste (3.7) qui utilise une fonction d'influence, c’est-à-dire une fonction qui est
asymétrique et invariante d’échelle, pour pondérer des points selon leur distance signée par rapport à
la ligne de référence
[SOURCE: ISO 16610-30:2015, 3.5, modifié — Définition révisée.]
3.9
fonction d'influence à double pondération de Tukey
fonction d’influence qui supprime les phénomènes spécifiques dans les données d’entrée x et est
définie par:
 
x
 
x 1− pour xc≤
 
 
 
ψ x ={
()  c 
 
0 pour xc>
où c est un paramètre d’échelle
4 Filtre spline pour un échantillonnage uniforme et non uniforme
4.1 Généralités
L’équation de filtre passe-bas suivante pour des filtres de profil par spline est basée sur des splines
cubiques ayant un paramètre de régularisation dépendant de l’indice d’imbrication, qui est conforme
avec la longueur d’onde de coupure dans le cas de filtres linéaires, pour le lissage du profil d’ondulation
résultant (signal passe-bas) et un paramètre de tension influençant la pente de la fonction de transfert.
4.2 Équation de filtre pour un filtre spline cubique
4.2.1 Généralités
L’équation de filtre est donnée dans la Formule (1):
−1
wV=+βα PQ+−()1 βα Vz (1)
()
où
z est le vecteur de colonne de dimension n des données d’entrée, par exemple le profil primaire
de n points d’échantillonnage;
w est le vecteur de colonne des données de sortie, par exemple le profil d’ondulation ou le
profil lissé;
V est la matrice unitaire dans le cas du filtre linéaire et la matrice de pondération dans le cas
du filtre robuste;
P et Q sont les matrices pour la différenciation discrétisée;
β
est le paramètre de tension (voir également 4.2.3);
α
est le paramètre (voir 4.2.2) en fonction du lissage, de l’indice d’imbrication (longueur d’onde
de coupure dans le cas de filtres linéaires) de la spline.
La Formule (1) est obtenue par minimisation de la fonction objectif (coût) J telle qu’indiquée dans la
Formule (2):
min J (2)
w
avec la fonction objectif définie dans la Formule (3):
T
24TT
J =−()zw Vz()−ww++βα Pw ()1−βα wQw (3)
T
où QP= P .
Une condition suffisante d’un minimum est ∇∇ J= 0 , qui conduit à l’équation de filtre de la Formule (1).
w
NOTE 1 Après extension des matrices de la Formule (1) aux tenseurs, le filtre s’applique également aux
[11]
données surfaciques .
NOTE 2 Habituellement, la fonction objectif de splines de lissage est définie avec un paramètre de
régularisation μ également ajusté pendant le processus d’optimisation avec une condition supplémentaire pour
le lissage mesuré selon les écarts zs− ()x . Les fonctions objectif du type le plus courant de splines de lissage
ii
x
n
n 2
∂
2  
n’incluent pas de tension non nulle Jz=−()sx() +μ sx() dx , sx() étant les polynômes de
 
∑ ii
∫
∂x
 
i=1
x
spline et le paramètre de régularisation μ déterminant le degré de lissage et par conséquent suivant les points
de données plutôt que les approchant.
4.2.2 Paramètre de régularisation
Le paramètre μ spécifie la régularisation, c’est-à-dire le degré de lissage. Dans le cas d’une tension
minimale, il s’écrit μα= et est par conséquent lié à l’indice d’imbrication n , qui est dans le cas d'un
i
filtrage linéaire égal à la longueur d’onde de coupure λ telle que donnée dans la Formule (4):
c
α = (4)
π Δ
2sin
 
n
 
i
où Δ est l’intervalle d’échantillonnage pour des données uniformément échantillonnées et l’intervalle
d’échantillonnage moyen tel que donné dans la Formule (5):
n−1
Δ= xx− (5)
()
ii+1
∑
n−1
i=1
pour des données non uniformément échantillonnées aux positions x avec i = 1, …, n−1.
i
NOTE 1 La Formule (4) est dérivée de la Référence [12].
NOTE 2 Pour des intervalles d’échantillonnage Δ n , le paramètre de régularisation tend vers l’infini
i
α →∞ .
NOTE 3 Pour une tension non minimale, le facteur μ du terme dérivé de second ordre dépend également du
paramètre de tension β : μβ=−()1 α .
4.2.3 Paramètre de tension
Le produit βα est le facteur de tension ayant un paramètre β compris entre 0 et 1. Le paramètre β
contrôle le degré de courbures topographiques ultérieures, où courbure désigne une propriété locale
d’une courbe ou d’une surface, qui est définie à chaque point quantifiant des écarts de second ordre
d’une courbe par rapport à une ligne droite ou à une surface par rapport à un plan.
Des courbures se suivant étroitement indiquent une conservation de forme optimale du résultat passe-
bas, les données de sortie w.
Pour β = 0, les caractéristiques de la fonction de transfert sont conformes à la Formule (1) de
l’ISO 16610-22, une tension minimale qui est équivalente à la pente la plus forte de la fonction de
transfert et par conséquent une meilleure conservation de forme que pour β > 0.
Pour β = 0,625 242, les caractéristiques de la fonction de transfert sont similaires à celles du filtre
[14]
gaussien tel que spécifié dans l’ISO 16610-21 et l’ISO 16610-61.
NOTE La conservation de forme par le filtre spline pour β = 0 est globale, tandis que la conservation de
forme par la régression gaussienne avec une régression parabolique (p = 2) est locale.
4.2.4 Matrice V pour un filtre spline cubique linéaire
La matrice V pour des filtres linéaires est la matrice unitaire de dimensions n × n telle que donnée dans
la Formule (6):
10…
 
 
V =   (6)
 
 
01…
 
4.2.5 Matrice V pour un filtre spline cubique robuste
La matrice V contient les pondérations supprimant les phénomènes spécifiques d
...