ISO 5168:1978

Measurement of fluid flow - Estimation of uncertainty of a flow-rate measurement

Mesure de débit des fluides — Calcul de l'erreur limite sur une mesure de débit

General Information

• Status: Withdrawn
• Publication Date: 30-Jun-1978
• Withdrawal Date: 30-Jun-1978
• ICS: 17.120.10 - Flow in closed conduits
• Technical Committee: ISO/TC 30 - Measurement of fluid flow in closed conduits
• Drafting Committee: ISO/TC 30 - Measurement of fluid flow in closed conduits
• Current Stage: 9599 - Withdrawal of International Standard
• Start Date: 26-Mar-1998
• Completion Date: 13-Dec-2025

Relations

• Revised: ISO/TR 5168:1998 - Measurement of fluid flow - Evaluation of uncertainties
• Effective Date: 15-Apr-2008

Standards Content (Sample)

INTERNATIONAL STANDARD 5168
INTERNATIONAL ORGANIZATION FOR STANDARDIZATION.MEWKPYHAP0LlHAR OPrAHHBAUHR no CTAHLlAPTH3AUHH.ORGANlSATlON tNTERNATlONALE DE NORMALISATION
J)
Measurement of fluid flow - Estimation of uncertainty of a
flow-rate measurement
Mesure de débit des fluides - Calcul de l'erreur limite sur une mesure de débit
First edition - 1978-07-15
-
- W
Ref. No. IS0 5168-1978 (E)
UDC 532.575 : 53.088
a,
ri
c
Descriptors : flow measurement, rules of calculation, error analysis.
g
c
Price based on 25 pages
FOREWORD
IS0 (the International Organization for Standardization) is a worldwide federation
of national standards institutes (IS0 member bodies). The work of developing
International Standards is carried out through IS0 technical committees. Every
member body interested in a subject for which a technical committee has been set
up has the right to be represented on that committee. International organizations,
governmental and non-governmental, in liaison with ISO, also take part in the work.
Draft International Standards adopted by the technical committees are circulated
to the member bodies for approval before their acceptance as International
Standards by the IS0 Council.
I
International Standard IS0 5168 was developed by technical committee
ISO/TC 30, Measurement of fluid flow in closed conduits, and was circulated
to the member bodies in March 1976.

CONTENTS Page
O Introduction .
0.1 Notation . 1
0.2 Glossary . 1
SECTION ONE : GENERAL THEORY
1 Scope and field of application . 3
2 General principles .
2.1 Terminology . 3
2.2 The relation between uncertainty and confidence level . 3
3 Nature of errors . 3
3.1 Spurious errors . 4
3.2 Random errors . 4
3.3 Systematic errors . 5
4 Propagation of errors . 6
4.1 Sensitivity . 7
4.2 Identification of sources of errors . 7
4.3 Combination of uncertainties .
5 Presentation of results . 8
SECTION TWO : EXAMPLES
6 Notation . 11
7 Example of flow-rate measurement in circular pipes . 11
7.1 General calculations . 11
7.2 Detailed numerical example . 13
7.3 Simplified numerical example . 18
8 Example of open channel measurement . 19
8.1 The formula for volume flow in open channel . 19
8.2 The overall uncertainty of the flow determination . 20
8.3 Numerical example . 21
iii
Annexes
....................................
A : Tests for outliers
................................
B : Student's t distribution
C : Uncertainty in variables for which the values are derived from indepen-
....................................
dent experiments 25
............................
D : Combination of uncertainties
% .
iv
IS0 5168-1978 (E)
INTERNATIONAL STANDARD
Measurement of fluid flow - Estimation of uncertainty of a
flow-rate measurement
0.2 Glossary
O INTRODUCTION
The majority of the definitions given here are taken from
0.1 Notation
IS0 3534, Statistics - Vocabulary and symbols. Figure 1
is, however, given in order to assist in the understanding of
some terms.
Symbol Description
Where a term has been adequately defined in the main text,
Constants
reference is made to the appropriate clause or sub-clause.
Percentage random uncertainty at the 95 % confi-
dence level
0.2.1 error : In a result, the difference between the
Percentage systematic uncertainty
measured and true values of the quantity measured.
Uncertainty in the measurement of the quantity Yi
0.2.2 random error : See 3.2.
Interdependent uncertainty due to dependence
between the variables Yi and Yj
0.2.3 systematic error : See 3.3.
Random uncertainty
Random uncertainty at the 95 % confidence level
0.2.4 spurious error : See 3.1
Systematic uncertainty
Measured value
0.2.5 constant sytematic error : See 3.3.
Number of measurements of the value of a variable
0.2.6 variable systematic error : See 3.3.
Flow-rate
The result of a measurement
0.2.7 true value : The value which characterizes a quantity
Estimate of the standard deviation of the variable Y
perfectly defined in the conditions which exist at the
Estimate of the standard error of the mean of n
moment when that quantity is observed (or the subject of a
independent measurements
determination). It is an ideal value which is assumed to
Student’s t
exist and which could be known only if all causes of error
were eliminated.
Any variable
Arithmetic mean of the n measurements of the
0.2.8 confidence level : See clause 2.
Y
variable
Systematic error
0.2.9 confidence limits: Each of the lower and upper
Uncertainty in flow-rate measurement
limits, T, and T,, of the two-sided confidence interval.
Dimensional sensitivity coefficient of thequantity Yj
For a one-sided interval, the single limit T of this interval.
Dimensionless sensitivity coefficient of the quan-
tity Yi
0.2.10 uncertainty: The interval within which the true
value of a measured quantity can be expected to lie with a
Degrees of freedom
stated probability : it is given as k tsy,with the value of t
Standard deviation of the variable Y
equal to that corresponding to the chosen probability.
,-Spurious error
4 Value of measured quantity
Mean measured XI
E-
value of quantity-
assessed with specific
X
confidence level
---
True value of -
y
quantity
Probability density
value of the quantity Y is
FIGURE 1
0.2.16 sensitivity coefficient : See 4.1.
0.2.11 interdependent uncertainty : See 4.3.
0.2.17 error limits of a measuring device; class of
0.2.12 random uncertainty : The uncertainty associated
accuracy : The maximum possible positive or negative
with a random error.
deviations of a measured value from the true value; the
interval between them characterizes the range within which
a high degree of
the true value will be found with
0.2.13 systematic uncertainty : The uncertainty associated
probability (greater than 95 %).
with a systematic error.
0.2.18 mean estimated error : The mean of the maximum
0.2.14 standard deviation : The positive square root of the
and minimum values which it is considered a systematic
arithmetic mean of the squares of the deviations from the
error may have. (See also 3.3.1.)
arithmetic mean.
0.2.19 randomize : To cause to vary according to the laws
of chance.
0.2.1 5 standard deviation estimation : See 3.2.1 .l.
IS0 5168-1978 (E)
SECTION ONE : GENERAL THEORY
randomized - see 3.3.1) it is nevertheless necessary to
1 SCOPE AND FIELD OF APPLICATION
obtain some indication of the interval within which a
Whenever a measurement of flow-rate (discharge) is made,
systematic error may reasonably be expected to lie. In such
the value obtained is simply the best estimate of the true
cases the mean estimated error (3.3.1) is used.
flow-rate which can be obtained from the experimental
data. In practice, the true flow-rate may be slightly greater It is worth noting a fundamental difference between error
or less than this value. This International Standard describes and the uncertainty, which is that the former is by
the calculations required in order to arrive at a statistical definition unknown whereas the latter may be estimated.
estimate of the interval within which the true flow-rate may
be expected to lie.
2.1 Terminology
These calculations are presented here in such a way as to
Throughout this International Standard, the terminology
be applicable to any flow measurement method, whether
used is that specified in IS0 3534, Statistics - Vocabu/ary
the flow is in open or closed ducts. In practice some
and symbols. The more important definitions are listed in
simplifications may be possible when a particular type of
the glossary (0.2).
flowmeter or flow measuring technique is used. Such
simplifications are to be incorporated in the relevant clauses
2.2 The relation between uncertainty and
on "Uncertainty of measurement" in the particular
confidence level
standard dealing with that device or technique. For specific
cases, therefore, reference should be made to the The uncertainty and the confidence with which it can be
appropriate International Standard. This International used are closely related; the wider the uncertainty, the
Standard should be used for guidance on the general greater is the confidence that the true measurement will. be
techniques to be applied. encompassed by this range. This applies even where the
confidence level cannot be calculated, where the error is
This International Standard deals only with the statistical
systematic in nature, for example. Where the shape of a
treatment of measurements made with one specific method
probability distribution is known, it is often possible to
in order to determine single values of either mass or volume
calculate a new value for the uncertainty of measurement
flow-rate. No attempt is made to give guidance on how to
for a different probability from a given uncertainty and
obtain the best estimate of flowrate from a series of
associated probability. It is, however, necessary to reach a
measurements of different flow-rates, or on how to obtain
compromise between choosing, at the one extreme, a very
the most accurate relation between flow-rate as a variable
narrow uncertainty range with a low confidence level and,
and any other variable (such as the power input to a pump).
at the other, a wide uncertainty range with a high
Consideration is, however, given to the possibility of
confidence level. Nevertheless, the confidence level is an
reducing the uncertainty in the flowrate measurement by
essential part of the uncertainty statement, and must be
repeating the measurement and reporting the average value
included even if it has to be accompanied by an indication
0 as the result.
that it is very approximate.
Given the adequacy of the data available, the choice of the
2 GENERAL PRINCIPLES
level at which to work is therefore determined
confidence
by the implications for those who will use the measurement
Owing to the very nature of physical measurements, it is
result. For flow measurement, the adoption of a probability
impossible to effect the measurement of a physical quantity
of 95 % as the confidence level to be associated with the
without error. The usefulness of the measurement is greatly
uncertainty statement is a suitable compromise between
enhanced if a statement of the possible error accompanies
the considerations given above, and will be the policy for
the result but is is rarely possible to give an absolute upper
this International Standard whenever confidence levels can
limit to the value of the error. It is therefore more
be stated.
practicable to give an interval within which the true value
of the measured quantity can be expected to lie with a
suitably high probability. This interval is termed the
"uncertainty" of measurement and the "confidence level"
3 NATURE OF ERRORS
associated with the uncertainty indicates the probability
There are four types of error which must be considered :
that the interval quoted will include the true value of the
quantity being measured. It is, however, possible to
a) spurious errors;
calculate confidence limits only when the distribution of
the measured values about the true value is known.
b) random errors;
Although it is not possible to attach confidence limits to
c) constant systematic errors;
any assessment of a systematic error (except in special
circumstances, where the error can effectively be d) variable systematic errors.
IS0 5168-1978 (E)
confidence level which is to be attached to the uncertainty.
3.1 Spurious errors
% confidence level
For this International Standard the 95
These are errors such as human errors, or instrument
shall be used.
malfunction, which invalidate a measurement; for example,
the transposing of numbers in recording data or the
3.2.1.1 STANDARD DEVIATION
presence of pockets of air in leads from a water line to a
manometer. Such errors should not be incorporated into
If the error in the measurement of a quantity, Yi, is purely
any statistical analysis and the measurement must be
random, then when n independent measurements are made
discarded. Where the error is not large enough to make the
of the quantity the standard deviation’) of the distribution
result obviously invalid, some rejection criterion should
of results,syi, is given by the equation
be applied to decide whether the data point should be
rejected or retained.
rn
Thus, whenever it is suspected that one or more results
have been affected by errors of this nature, a statistical
. . . (1)
“outlier” test should be applied. A general test is given
in annexA which can be used both for a single suspect
where
value or if more than one point is believed to be spurious.
-
It should be noted, however, that the use of this test is
Yi is the arithmetic mean of then measurements of the
rigorously permissible only when the population is
variable, Yi;
normally distributed.
(Yi), is the value obtained by the rth measurement of
It is necessary to recalculate the standard deviation of the
the variable, Yi;
distribution of results after applying the outlier test if any
data points are discarded. It should also be emphasized that
n is the total number of measurements of the
outlier tests may be applied only if there is independent
variable, Yi.
technical reason for believing that spurious errors may
For brevity, syi is normally referred to as “the standard
exist : data should not lightly be thrown away.
deviation of Yi’.
The random error in the result can be reduced by making
3.2 Random errors
as many measurements as possible of the variable and using
the arithmetic mean value, since the standard deviation of
Random errors are sometimes referred to as precision or
the mean of n independent measurements is times
experimental errors. They are caused by numerous, small,
smaller than the standard deviation of the measurements
independent influences which prevent a measurement
themselves.
system from delivering the same reading when supplied
with the same input value of the quantity being measured.
Thus, the standard deviation of the mean, sv, is given by
The data points deviate from the mean in accordance with
the equation
the laws of chance, such that the distribution usually
approaches a normal distribution as the number of data
SY
. . . (2)
points is increased.
SV =7
When the sample size is small, it is necessary to correct the
statistical results that are based on a normal distribution
3.2.1.2 CONFIDENCE LEVELS
by means of the Student‘s t values, as explained in annex B.
If the true standard deviation uyi is known (as n
Student’s t is a factor which compensates for the
approaches infinity, syi approaches uyi), the confidence
uncertainty in the standard deviation increasing as the
level can be related to the uncertainty of measurement as
number of measurements is reduced. A skewed distribution
indicated in table 1.
of the measurements about the mean value can be caused
by variable systematic error, and must be taken into
TABLE 1 - Confidence levels
account as explained in 3.3.
Uncertainty Confidence level
3.2.1 Calculation of uncertainty associated with
i 0,674 (iyi 0,50
random errots
-t 0,954 0yi 0,66
It is possible to calculate statistically the uncertainty in a
r 1,960 U yi 0,95
measurement of a variable when the associated error is
purely random in nature. To do this it is necessary to
t 2,576 0yi 0,99
calculate the standard deviation and to decide on the
1) The standard deviation as defined here is what is more accurately referred to as the “estimated standard deviation” by statisticians.
IS0 5168-1978 (E)
For example, the interval f 1,96 uyj would be expected a decision on whether the skewness is of the order of that to be
expected from the size of the sample, or whether a variable
to contain 95 % of the population. That is, where a single
is present. If the latter, then either the source
systematic error
measurement of the variable Y; is made, and where the
of variable systematic error must be removed (by improving the
value of uyi is independently known, there would be a
control over the experimental conditions) or the possible error
probability of 0.05 of the interval (Yi), f 1,96 uyi not
must be included in the analysis of the results.
including the true value.
A second type of variable systematic error may occur
In practice, of course, it is possible to obtain only an
where digital measurements are taken on a continuously
estimate of the standard deviation since an infinite number
varying quantity. Here, the measurement is of a series of
of measurements would be required in order to determine
discrete objects or events with some imprecision in the
it precisely, and the confidence limits must be based on
definition of the beginning and ending of the set. The
this estimate. The “t distribution” for small samples (see
uncertainty in the measurement due to its digital nature
annex B) should be used to relate the required confidence
then depends on the order of the final digit. If, for
level to the interval.
example, a four-digit counter were used to count the
number of cycles in a periodic wave form where each
33 Systematic errors cycle is recorded separately, triggering being at the end
of each cycle, the uncertainty in a measurement of
Systematic errors are those which cannot be reduced by
5 O00 cycles would be f 0,5 cycle, the reading being
increasing the number of measurements if the equipment
taken as 5 000,5 cycles. If, however, the counter were
and conditions of measurements remain unchanged. They
set to record tens of cycles, the uncertainty in the same
may be divided into two broad groups, namely : constant
measurement would be f 5 cycles, the reading being
Systematic errors and variable systematic errors.
taken as 5 005 cycles.
a) Constant systematic errors
These are common to all measurements made under the
Estimation of uncertainty associated with
3.3.1
same conditions and are constant with time but,
systematic errors
depending on the nature of the error, may vary with
the value obtained for the measurement. Thus, for The uncertainty associated with systematic errors cannot be
example, inaccuracy in the calibration of an instrument assessed experimentally without changing the equipment or
conditions of measurement. Whenever possible this should
would lead to an error which varies over the range of the 1
is to make a subiective
instrument, whereas a constant systematic error which is (,- be done since the alternative
size of the reading would be causedl judgement on the basis of experience and consideration of
independent of the
-1 the equipment involved. When the class of accuracy or error
by an incorrectly set zero in the instrument.
limits of a measuring device are specified the interval
NOTE - If a series of flow-rate measurements were to be made between them may be used as the systematic uncertainty
(for example, in order to obtain the efficiency curve for a
of that device with a confidence level better than 95 %.qj
turbine) the former type of error would in fact be variable with
flow-rate, but would still be a constant systematic error, since
It is important to distinguish between the “estimate” of a
the error would always have the same value at the same flow-rate.
systematic uncertainty obtained by the latter method
It should again be noted, however, that this International
a single flow-rate.
Standard deals only with the measurements of (which is often closer to a guess than a scientific
-
assessment) and the estimate of a random uncertainty
b) Variable systematic errors
(which can be arrived at with a stated confidence by
analysing objective data). There is a general tendency to
These may arise from inadequate control during the test
underestimate systematic uncertainties when a subjective
or experiment, being caused by, for example, changes in
approach is used, partly through human optimism and
temperature which are not allowed for during the use of
partly through the possibility of overlooking the existence
a pressure gauge which had been calibrated at a fixed
of some sources of systematic error. Great care is therefore
temperature, or by progressive wear in the bearings of an
necessary when quoting systematic uncertainties.
instrument.
It is sometimes possible partially to randomize systematic
NOTE - Such errors will usually cause a skewed distribution of
errors by repeating a measurement several times with
results. In practice no finite set of measurements will give a
perfectly symmetrical distribution, due to sampling error, even different types of equipment or under different conditions
if no variable systematic error were present. The methods for
which affect the error (see figure 2). Complete
determining if the skewness of the distribution of the
randomization is possible only by repeating the
measurements is in excess of what would be expected from
measurements using equipment based on different
sampling error are beyond the scope of this International
Standard, but it is noted that statistical tests exist which permit
principles. These procedures are to be recommended
1) The error limits of a measuring device may be measured directly or determined from the guaranteed specifications of the manufacturer. If
the positive and negative error limits are not equal the mean value determined by measurements using the instrument must be modified as
described in b) of 3.3.1.
U
IS0 5168-1978 (E)
at, +6t,
wherever possible since they lead not only to a higher
confidence in the uncertainties but also to a lowering of the
I
2,1
uncertainties themselves. In practice, however, it is seldom
I
possible to carry out this type of randomization. Below,
I 6 tl
therefore, is prescribed the procedure to be followed in
I
order to assess systematic uncertainties both by
experimental and subjective methods.
If the flow-rate depends on numerous independent variables
the values of which are to be measured or taken from
Illustration of the correction to allow for mean estimated error
graphs, tables or equations, systematic uncertainties
Putting the mean estimated error equal to the mean of the estimated
associated with these variables may be treated as
maximum and minimum values assumes implicitly that the systematic
randomi zed systematic uncertainties.
error is regarded as asymmetric.
FIGURE 3
True value of
quantity
c) When the magnitude of the systematic uncertainty
J Mean result
,-Mean I error
can be assessed experimentally, the uncertainty should
be calculated as described in 3.2 for random errors, with
the measured value being adjusted as described above.
v IV v
Such a situation would arise where, for example, a
I T "
thermometer which has not been calibrated individually
is used, but where batches of identical thermometers
have been previously tested to provide a mean and
standard deviation of the error associated with such
thermometers.
d) When the sign of the error is unknown and its
The randomization of systematic errors in the measurement of a
magnitude is assessed subjectively, the mean estimated
given quantity by using different sets of equipment or testing under
error is equal to zero and the uncertainty should again
different conditions.
be taken as one-half of the estimated range of the error.
FIGURE 2
This is illustrated in figure 4 below, where the notation
is as above. In this case St, = ôt, so that the uncertainty
The procedure to be followed for arriving at the systematic
is k ôt.
uncertainty depends on the information available on the
error itself, but is the same whether a constant or a variable
systematic error is being considered.
I I I
c-
a) If the error has a unique, known value then this
R (= M)
should be added to (or subtracted from) the result of
the measurement, and the uncertainty in the
FIGURE 4
measurement due to this source is then taken as zero.
b) When the sign of the error is known but its
magnitude has to be estimated subjectively, the mean
estimated error should be added to the result of the
4 PROPAGATION OF ERRORS
measurement (paying due observance to sign) and the
Although it may be possible to attach values to the
uncertainty taken as one-half of the interval within
uncertainties in the various individual measurements used
which the error is estimated to lie. This is illustrated in
to obtain a measure of flow-rate, it is the uncertainty in the
figure3, where the measured value is denoted by M
value of the flow-rate ultimately obtained which is
and the systematic error is estimated to lie between
fundamentally of interest. It is, therefore, essential to have
St, and St, [giving a mean estimated error of
an agreed method of combining the various uncertainties
(St, +St,)/2].
associated with each of the variables, which must be
measured in order to calculate flow-rate. In open channels
The result, R, to be used is then given by the equation
these would be variables such as water level and
cross-section depths, and in closed ducts pipe diameter,
St, + St,
R=M+ . . . (3)
pressure and expansibility factor for example.
with an uncertainty of Spurious errors introduce no problem since any
measurement shown by the statistical tests given in annex A
St, -fit,
to be an outlier must be discarded (provided that there is
+
independent reason for doubting the measurement). The
-2
IS0 5168-1978 (E)
techniques for combining random uncertainties are well The sensitivity coefficient may be rendered dimen-
developed, but if the simplest statistical formulae are to
sionless by writing
be used the different variables must be independent. Thus,
every variable must be examined in order to ensure that
this is so. If not, any interdependent variables must be
broken down into more fundamental variables until true
is reached.
independence
In this form, the sensitivity is expressed as “percent per
percent“. That is, 6,: is the percentage change in R
brought about by a 1 %change in Yi. This is the form to
In some cases, however, it is impractical to do this, and in
be used if the uncertainties to be combined are expressed
others there are variables which are by their very nature
as percentages of their associated variables rather than
interdependent but which cannot be broken down to more
absolute values.
fundamental measurements. It is then necessary to use
more complicated formulae, discussed in detail in 4.3.
4.2 Identification of sources of errors
It is recognized that there are conflicting opinions regarding
the methods of combining uncertainties arising from The procedure to be followed before combining all the
systematic errors, but in order to ensure proper uncertainties is as follows :
standardization, only the method outlined in 4.3 is to be
a) identify and list all independent sources of error;
used in flow measurement standards.
b) for each source determine the nature of the error;
c) estimate the possible range of values which each
4.1 Sensitivity
systematic error might reasonably be expected to take,
Before considering methods of combining errors, it is
using experimental data whenever possible;
essential to appreciate that it is insufficient to consider only
d) estimate the uncertainty to be associated with each
the magnitudes of component uncertainties in subsidiary
systematic error as described in 3.3.1;
it is also necessary to consider the effect
measurements;
each measurement has on the final result. It is therefore
e) compute, preferably from experimental data, the
convenient to introduce the concept of the sensitivity
standard deviation of the distribution of each random
of a result to a subsidiary quantity as the error propagated
error;
to the result due to unit error in the measurement of the
component quantity. The “sensitivity coefficient” of each
f) if there is reason to believe that spurious errors may
subsidiary quantity is most easily obtained in one of two
exist, apply outlier tests as described in 3.1;
ways.
g) if the application of outlier tests results in data
points being discarded, the standard deviations should
a) Analytically
be recalculated where appropriate;
When there is a known mathematical relationship
h) compute the uncertainty associated with each
between the result, R, and subsidiary quantities, Y,, Y,,
random error at the 95 % confidence level;
. . ., Y,, the dimensional sensitivity coefficient, ei, of
the quantity Yi, is obtained by partial differentiation.
j) calculate the sensitivity coefficient for each
uncertainty;
R = f(Y,, Y2,. . ., Y,), then
Thus if
k) list, in descending order of value, the product of
sensitivity coefficient and uncertainty for each source
...
of error.
NOTE - There are two purposes in listing these products in
b) Numerically
is to focus attention on the relative
descending order. The first
importance of the different sources of error so that effort may
Where no mathematical relationship is available or when
be put into reducing the uncertainty in the most important
differentiation is difficult, finite increments may be used
variables. Secondly, there may be several variables which
to evaluate 6;.
contribute little or nothing to the uncertainty in the flow-rate
measurement in comparison with the major sources of error,
and these may be ignored in order to simplify the calculations.
Here Bi is given by
AR
0 =-
...
(5)
I AY,
4.3 Combination of uncertainties
The result is calculated using Yi to obtain R, and then
recalculated using (Yi + AYi) to obtain (R + AR). The Whenever a number of uncertainties are being combined
value of AY, used should be as small as practicable. it is possible to ignore any one which is appreciably smaller
IS0 5168-1978 (€1
than the largest component uncertainty. As a general guide, b) When the result, R, is given by a simple sum, i.e.
any uncertainty which is smaller than one-fifth of the
R=Yl +Y,+.+Yk
largest uncertainty in the group being combined may be
ignored.
then all the di are unity and equation (7) becomes
k k-1 k
4.3.1 Combination of random uncertainties
In order to avoid any possible confusion, all random i= 1 i= 1 j=it i
uncertainties used in the calculation of the uncertainty in
c) When the result, R, is a function only of factors,
the value of the flow-rate should be at the 95 %confidence
then the dimensionless sensitivity coefficient for each
level. The systematic uncertainties used should be estimated
factor is the exponent of the factor. For the relation :
as described in 3.3.1.
R = K Y?, Y2lY3
Since the quantities in the various expressions from which
the flow-rate may be calculated are not normally
where Y,, Y, and Y, are independent of each other,
independent, each variable should ideally be examined
then
individually to determine the independent variables on
which it depends. It may often be impractical or indeed
impossible to carry out this procedure and in such instances
and
the formula for the calculation of the overall uncertainty
should incorporate terms which allow for the dependence
(11)
between the variables.
4.3.2 Combination of systematic uncertainties
a variable Yi is denoted by ei the
If the uncertainty in
concept of interdependent uncertainties, ei, j, may be
In order to combine the systematic uncertainties detailed in
introduced in order to produce these additional terms. The
3.3.1 the same procedure as in 4.3.1 shall be followed. In
quantity ei, then allows for the interdependence between
the special case where there are a large number of
variables Yi and Yi.
systematic uncertainties (see 3.3.1 1 they may be treated as
randomized systematic uncertainties. The resulting
In calculating the uncertainty, eA, in a result all
confidence level of the overall uncertainty is at least 95 %
uncertainties should thus be combined using the relation
assuming that the randomized systematic uncertainties are
those associated with the independent variables to be
k k-1 k
measured or to be taken from graphs, tables or equations
e; = C (ûiei)’ + 2 ûiûjei,j . . . (7)
for the purpose of calculating the flow-rate. In general, the
i= 1 i= 1 /=i+ 1
resulting confidence level of the overall uncertainty is
better than the worst confidence level of all of the
where
confidence levels associated with the component
uncertainties.
5 PRESENTATION OF RESULTS
r= 1
Despite the fact that it is preferable to list systematic and
NOTE - Equation (8) holds only when the distributions of all of
random uncertainties separately it is recongised that there
the sources of uncertainty, ej, can be assumed to approach a normal
distribution, and when the ej are at the 95 % confidence level. In are many practical reasons for presenting a single combined
addition the approximation is made that the confidence limits lie
value in the statement of the result of a measurement, and
at plus and minus twice the standard deviation, but this should
so it is permitted to combine them using the root-sum-square
of the overall
introduce negligible error in the calculation
method, having first calculated the overall random and sys-
uncertainty.
tematic uncertainties separately. Combining random and
The validity of equation (8) is seriously affected only when an
randomized systematic uncertainties quadratically, the
appreciable number of sources of error have marked bimodal
resulting overall uncertainty will have a confidence level of
distributions. In such a case, reference should be made to annex D.
The Bi are given by equations (4) to (6) and n is the number of 95 %. Normally, however, it is not possible to attach
independent measurements of the variable Yi.
confidence limits to the overall uncertainty presented in
this way, but the confidence limits of the random
Three special cases are worth mentioning.
component should be given.
a) It is recommended that whenever possible only
Any rigorous presentation of results should ideally list
independent variables should be used, and in this case
the overall uncertainties due to random and systematic
equation (7) reduces to
errors separately for several reasons.
k
Firstly, it is impossible to quote confidence levels when
. . . (9)
random and systematic uncertainties have been combined,
since the concept of confidence levels cannot be applied to
i= 1
IS0 5168-1978 (E)
- -
.....
systematic uncertainties unless the probability distribution
2) Flow-rate Q
of the population is known. It is, however, essential to
(Combined) uncertainty = . . . . .
quote the confidence levels to be attached to the random
-
error contribution to the final result, since the quotation Random uncertainty (eR)g5 -
.....
of an uncertainty in such cases is otherwise meaningless
(see clause 1).
Uncertainties calculated in accordance with
Secondly, it is important that the result should indicate
IS0 5168.
how much of the related uncertainty arises from random
errors, and hence could be reduced by further
experimentation with the same equipment, and how much
b) Uncertainties expressed in percentage terms
is systematic, requiring new equipment and methods in
=. . . . .%
order to be improved upon. 1) Flowrate
Thirdly, there is no universally accepted method of (ER )se =. . . , .%
Random uncertainty
combining random and systematic uncertainties, and the
Systematic uncertainty E, =. . . . .%
presentation of the two components separately ensures that
there can be no doubt as to the nature of the uncertainties
involved.
Uncertainties calculated in accordance with
IS0 5168.
Any flowrate measurement, q, shall be reported in one of
the following forms :
a) Uncertainties expressed in absolute terms
2) Flow-rate q =. . . . .%
- -
.....
1) Flow-rate q
= . . . . .%
(Combined) uncertainty
-
.....
Random uncertainty (eR 195 -
Random uncertainty (€RI95 =, . . .%
-
.....
Systematic uncertainty e, -
Uncertainties calculated in accordance with
Uncertainties calculated in accordance with
IS0 5168.
IS0 5168.
J-
IS0 5168-1978 (E)
SECTION TWO : EXAMPLES
6 NOTATION
7 EXAMPLE OF FLOW-RATE MEASUREMENT IN
CIRCULAR PIPES
The large variety of formulae used in flow measurement
Symbol Deecrbtion
makes it impracticable to give guidance on the analysis
in every case, but the general formula for a pressure
Breadth of ith segment of open channel
difference device will be used as an example of how the
Diameter of pipe
uncertainty in a mass flow-rate measurement may be
Diameter of throat of flowmeter; depth of open
estimated. This general formula is :
channel
The value of û at temperature to
. . . (12)
The value of d at temperature to
Percentage uncertainty in the variable Y
The procedure to be followed is that specified in 4.2.
Uncertainty in the variable Y
In 7.1 the rigorous procedure for calculating the
Correction factor for measured flow-rate in open
is
uncertainty given, and a detailed numerical example
channels
using this procedure is given in 7.2. In practice, however,
Constant it is seldom necessary to carry out the calculation in such
detail and so in 7.3 a numerical example using a simplified
Number of sources of error in a result
method is presented.
Mach number
Number of verticals in open channel measurement
7.1 General calculations
Static pressure
Measured volume flow-rate 7.1 .I Identification and listing of independent
sources of error
Mass flow-rate
Reynolds number based on diameter of throat of
The quantities in the expression for qm are not
flowmeter
independent of one another, and so each should be
examined individually to determine what are the
Temperature at which the value of d is measured
independent variables from which it is derived. This may
Temperature at which the value of D is measured
require several steps since the variables from which a
Test temperature
quantity in equation (12) is derived may not themselves
Velocity of fluid
be independent, and so each of these in turn must then also
be examined. This procedure should be repeated until truly
Weighting factor
independent variables are obtained.
Relative random uncertainty in measurement of
variable Y
For example, the uncertainty in a arises from the
Relative systematic uncertainty in measurement of
uncertainties in 0 and ReD and the uncertainty 6a in the
variable Y
experiments which allowed the dependence of a! on these
variables to be determined.') However both and ReD
Differential pressure ratio, x = 2; horizontal
depend on D so these variables must be further subdivided.
ps
coordinate in open channel
Table 2 below can be drawn up showing the sources of the
Vertical coordinate in open channel
various quantities in equation (12).
Flow coefficient
ô?'), 6a, 6K, &and 6e are the uncertainties associated with
d
the experiments which determined the dependence of v, a,
Diameter ratio of flowmeter, p = -
D
IC, e and e on their associated independent variables, and
Coefficient of expansion for the pipe
d(t,) and D(tk) are the values of d and D at the
temperatures to and to at which they were measured. The
Coefficient of expansion for the flowmeter
values of d and D at the test temperature, tr, are given by
Differential pressure across flowmeter
the equations
The uncertainty in y arising from the experiment
which determined the dependence of the variable Y
d=d(to) [I +yd (t,-t,)]
3n its associated independent variables
Expansibility coefficient
3ynamic viscosity
Isentropic exponent
1) The ôy are the tolerances given in the standards and published
3ensity of fluid
tables for the variables Y (a, q, etc.) - see annex C.
IS0 5168-1978 (E)
the flow-rate by each variable; it is necessary to examine
It is important to include each variable every time it occurs,
ich source of error carefully in every case, and it would be
since an error in that variable will have a different effect on
'rong to assume that the nature of the errors are always as
the flow-rate measurement on each occasion. Thus, for
rted in table 3.
example, tr, the reference temperature at which the
flow-rate is measured, occurs twice in table2 in the row
TABLE 3 - Nature of errors
opposite Re, since it affects both D and r).
Nature of uncertainty
TABLE 2 - List of independent sources of error Source Number
introduced to flowrate
of error of effects
1st 2nd 3rd
3 Constant systematic
step Step I
3 Constant systematic
a P
Constant systematic and random
ReD
3 Constant systematic
6a
3 Constant systematic
E P
3 Constant systematic
ap
3 Constant systematic
ps a
4 Constant systematic and random
K
2 Constant systematic and random
Se
Constant systematic
d2 d 1 Constant systematic
1 Constant systematic
GAP
1 Constant systematic
de
1 Constant systematic
The various quantities given in the third step of table 2 will
7.1 3 Estimation of systematic uncertainties
be assumed to be independent for the purposes of this
example, but it should always be checked that this is in fact
As the magnitude of the various uncertainties depends very
the case. Two variables are regarded as independent if the
much on the equipment used, there is little point in using
uncertainty in one does not contribute to the uncertainty
particular values in this example. However, it can be seen
in the other. Thus, for example, and ReD are not
from table 3 that there are many cases where the
independent since the uncertainty in D contributing to the
uncertainty in an experimental determination of a variable
uncertainty in ReD also contributes to the uncertainty in P.
leads to a systematic uncertainty in the flow-rate
measurement. In such cases the experimental data (for
At this stage it is possible to draw up a list of the
example, in the determination of D or d) should be used in
independent variables - these are given in table 3, together
arriving at an estimate of the corresponding systematic
with the number of ways in which they affect the flow-rate. e
uncertainty.
Similarly it is not possible here to say which variables will
introduce a constant bias in a known direction, but each
7.1.2 Determination of the nature of the errots
case must be examined individually and the step [specified
in 4.2 d)] followed whenever possible.
Although the error in the determination of a particular
independent quantity may be random in nature it does not
7.1 A Computation of random uncertainties
necessarily follow that the error introduced to the flow-rate
measurement will also be random. Thus, for example, the
This is done in a straightforward way by analysing the data
uncertainty in to may be random, but the use of a fixed
in the tests leading to the flow-rate measurement.
value of to will introduce a constant systematic error
d at the
to the flow-rate measurement, since the value of
7.1.5 Calculation of sensitivity coefficient
test will be in error by a fixed amount.
temperature of the
It is therefore essential to consider the effects of errors in
The sensitivity coefficient of d(to) for
...

NORME INTERNATIONALE 5168
INTERNATIONAL ORGANIZATION FOR STANDARDlZATlON*MEWYHAPOAHAR OPrAHM3AUMR II0 CTAHBAPTM3AUMM.ORGANlSATlON INTERNATIONALE DE NORMALISATION
Mesure de debit des fluides - Calcul de l'erreur limite sur
une mesure de débit
Measurement of fluid flow - Estimation of uncertainty of a flow-rate measurement
Première édition - 1978-07-15
Réf. no : IS0 5168-1978 (FI
CDU 532.575 : 53.088
Descripteurs : mesurage de débit, règle de celcul, calcul d'erreur.
Prix bas6.sur 25 Pages
AVANT-PROPOS
L'ISO (Organisation internationale de normalisation) est une fédération mondiale
d'organismes nationaux de normalisation (comités membres de I'ISO). L'élaboration
des Normes internationales est confiée aux comités techniques de I'ISO. Chaque
comité membre intéressé par une étude a le droit de faire partie du comité technique
correspondant. Les organisations internationales, gouvernementales et non
gouvernementales, en liaison avec I'ISO, participent également aux travaux.
Les projets de Normes internationales adoptés par les comités techniques sont
soumis aux comités membres pour approbation, avant leur acceptation comme
Normes internationales par le Conseil de I'ISO.
La Norme internationale IS0 5168 a été élaborfe par le comité technique
ISOBC 30, Mesure de débit des fluides dans les condpites fermées, et a été soumise
aux comités membres en mars 1976.
Les comités membres des pays suivants l'ont approuvée :
Tchécoslovaquie
Afrique du Sud, Rép. d' Hongrie
Turquie
Belgique Inde
U.R.S.S.
Chili Pays-Bas
Égypte, Rép. arabe d' Philippines U.S.A.
Portugal ~ Yougoslavie
Finlande
Roumanie I
France
Corée, Rép. de Royaume-Uni
Le comité membre du pays suivant l'a désapprouvée pour des raisons techniques :
Allemagne
O Organisation internationale de normalisation, 1978 0
Imprimé en Suisse
ii
SOMMAIRE Page
O Introduction .
0.1 Symboles .
0.2 Glossaire .
SECTION UN : THÉORIE GÉNÉRALE
1 Objet et domaine d'application . 3
2 Principes généraux .
2.1 Terminologie .
2.2 Rapports entre l'erreur limite et le niveau de confiance . 3
3 Nature de l'erreur . : . 3
3.1 Mesures aberrantes .
3.2 Erreurs fortuites .
3.3 Erreurs sytématiques .
4 Propagation des erreurs .
4.1 Sensibilité .
4.2 Identification des sources d'erreur . 7
4.3 Combinaison des erreurs limites .
5 Présentation des résultats .
SECTION DEUX : EXEMPLES
6 Symboles .
7 Exemple de mesure de débit dans des conduites circulaires .
7.1 Calculs généraux .
7.2 Exemple numérique .
7.3 Exemple de calcul simplifié .
8 Exemple de mesure dans un canal dkouvert .
8.1 Formule du débit-volume dans un canal découvert . 19
8.2 Erreur limite globale sur la mesure de débit .
8.3 Exemple numérique .
...
Annexes
A : Test des valeurs aberrantes . 23
B : Loi du tde Student . 24
C : Erreurs limites sur des variables pour lesquelles les valeurs ont été
.................. 25
obtenues par des mesurages indépendants
D : Combinaison des erreurs limites . . 26
iv
NORME INTERNATIONALE IS0 5168-1978 (F)
Mesure de débit des fluides - Calcul de l'erreur limite sur
une mesure de débit
O INTRODUCTION 0.2 Glossaire
La majorité des définitions données ci-après sont extraites
de I'ISO 3534, Statistique - Vocabulaire et symboles. La
0.1 Symboles
1 permet néanmoins de mieux comprendre certains
figure
termes.
Lorsqu'un terme particulier est convenablement défini dans
Désignation
le corps du texte, référence est faite au chapitre ou au
~~ ~ ~~
paragraphe correspondant.
Constantes
Erreur limite fortuite, en pourcentage, pQur un
0.2.1 erreur : Dans un résultat, différence
niveau de confiance de 95 %
et la valeur vraie de la grandeur mesurée.
mesurée
Erreur limite systématique, en pourcentage
Erreur limite sur la mesure de la grandeur Yi
0.2.2 erreur fortuite : Voir 3.2.
Erreur limite interdépendante due à la dépendance
de deux variables Yi et Yj
0.2.3 erreur systématique : Voir 3.3.
Erreur limite fortuite
Erreur limite fortuite pour un niveau de confiance
0.2.4 mesure aberrante : Voir 3.1.
de 95 %
Erreur limite systématique
0.2.5 erreur systématique constante : Voir 3.3.
Valeur mesurée
0.2.6 erreur systématique variable : Voir 3.3.
Nombre de mesurages de la valeur d'une variable
Débit
0.2.7 valeur vraie : Valeur qui caractérise une grandeur
Résultat d'un mesurage
parfaitement definie dans les conditions qui existent au
Estimation de l'écart-type sur lavariable Y
moment où cette grandeur est examinée (ou fait l'objet
d'une détermination).
Estimation de l'écart-type sur la moyenne de n
mesures indépendantes
C'est une valeur idéale qu'on ne pourrait atteindre que si
Coefficient de Student
l'on pouvait éliminer toutes les causes d'erreur de mesure
et si la population était infinie.
Variable quelconque
Moyenne arithmétique des n mesures de la varia-
0.2.8 niveau de confiance : Voir chapitre 2.
ble Y
Erreur systématique
0.2.9 limite de confiance : Chacune des limites inférieure
Erreur limite sur une mesure de débit
et supérieure, T, et T2, d'un intervalle de confiance
Coefficient dimensionnel de sensibilité de la gran-
T de
bilatéral. Pour un intervalle unilatéral, limite unique
deur Yi ,
cet intervalle.
Coefficient adimensionnel de sensibilité de la gran-
deur Yi
0.2.10 erreur limite : Intervalle à l'intérieur duquel on
Nombre de degrés de liberté peut espérer que se trouve la valeur vraie avec une
probabilité donnée; elle est exprimée par I tsy, en prenant
Écart-type de la variable Y
pour t la valeur correspondant à la probabilité choisie.
IS0 5168-1978 (F)
~ Mesure aberrante
r limite (eRIs5 = I rsy
Valeur moyenne
mesurée de la - Be compte tenu d'un
grandeur U de confiance déterminé
Erreur systématique
---
Valeur vraie de-
c
la grandeur
Densité de probabilité
F
Temps
Temps de mesurage d'une valeur
constante de la grandeur Y
c
FIGURE 1
0.2.11 erreur limite interdépendante : Voir 4.3. 0.2.16 coefficient de sensibilitér : Voir 4.1.
0.2.17 limites d'erreur &un système de mesurage; classe
0.2.12 erreur limite fortuite : Erreur limite associée à une
de précision d'un système de mesurage : Écarts maximaux
erreur fortuite.
possibles, positifs ou négatifs, d'une valeur mesurée par
rapport à la valeur vraie; cet intervalle caractérise la gamme
g.2.13 erreur limite systématique : Erreur limite associée à
à l'intérieur de laquelle on trouvera la valeur vraie avec un
une erreur systématique.
à 95 %).
haut degré de probabilité (supérieur
0.2.14 écart-type: Racine carrée de la moyenne arith-
0.2.18 erreur moyenne estimée : Moyenne des valeurs,
métique des carrés des écarts par rapport à la moyenne
maximales et minimales, que peut avoir une erreur
arithmétique.
systématique. (Voir également 3.3.1 .I
0.2.1 5 estimation de l'écart-type : Voir 3.2.1.1. 0.2.19 randomiser : Faire varier selon les lois du hasard.
IS0 5168-1978 (F)
SECTION UN : THÉORIE GÉNÉRALE
randomisée - voir 3.3.1), il est néanmoins nécessaire
1 OBJET ET DOMAINE D'APPLICATION
d'obtenir certaines indications sur l'intervalle dans lequel
Chaque fois qu'on procède à un mesurage de débit, la valeur
on peut raisonnablement espérer trouver une erreur
la meilleure estimation possible du débit
obtenue n'est que
systématique. Dans ces cas, on se sert de l'erreur moyenne
vrai, compte tenu des données expérimentales. En pratique,
estimée (voir 3.3.1).
le dObit vrai est soit légèrement supérieur, soit légèrement
inférieur à cette valeur. La présente Norme internationale II convient de noter une différence fondamentale entre
décrit les calculs nécessaires pour arriver à une estimation l'erreur et l'erreur limite, à savoir que la première est par
statistique de l'intervalle à l'intérieur duquel on peut définition inconnue, alors que la seconde peut être évaluée.
espérer que se trouve la valeur vraie du débit.
2.1 Terminologie
La présentation des calculs permet leur utilisation pour
n'importe quelle méthode de mesurage du débit, que
La terminologie utilisée tout au long de la présente Norme
l'écoulement se fasse dans des conduites ouvertes ou
est celle qui est spécifiée dans I'ISO 3534,
internationale
fermées. Certains types de débitmètres ou de techniques de
Statistique - Vocabulaire et symboles. Les définitions
mesurage permettent toutefois, en pratique, certaines
les plus importantes sont toutefois reprises dans le
simplifications. Ces simplifications doivent être expliquées
glossaire (0.2).
dans le chapitre ((Erreur limite sur la mesure)) de la norme
particulière traitant de tel appareil ou de telle technique.
2.2 Rapports entre l'erreur limite et le niveau de confiance
Dans les cas particuliers, il convient donc de faire référence
L'erreur limite et la confiance avec laquelle elle peut être
à la Norme internationale appropriée. La présente Norme
liées l'une à l'autre : plus l'erreur
utilisée sont étroitement
internationale doit servir de guide dans le cas général.
limite grandit, plus élevée est la confiance de renfermer la
La présente Norme internationale traite uniquement du
valeur vraie dans l'intervalle ainsi défini. Cela est valable
traitement statistique des résultats de mesurage obtenus
même lorsqu'il n'est pas possible d'évaluer le niveau de
selon une méthode particulière donnant des valeurs uniques
confiance, par exemple lorsque l'erreur est de nature
de débit-masse ou de débit-volume. Elle ne donne aucun
systématique. Lorsqu'on connaît la forme de la loi de
renseignement sur la manière d'obtenir la meilleure
il est souvent possible, à partir d'une erreur
probabilité,
estimation du débit à partir d'une série de mesures de débits
limite donnée et de la probabilité qui lui est associée, de
différents, ni sur la manière d'obtenir le rapport le plus
calculer une valeur nouvelle de l'erreur limite sur la mesure
précis possible du débit considéré comme étant une variable
pour une probabilité différente. II est cependant nécessaire
à une autre variable (telle que, par exemple, la puissance
d'atteindre à un comprom-is entre un extrême (choisir UP
absorbée par une pompe). II est toutefois envisagé de
intervalle d'erreur limite très étroit et un bas niveau de
réduire l'erreur limite sur la mesure de débit en répétant
confiance) et un autre extrême (choisir un intervalle
le mesurage et en prenant comme résultat la valeur
d'erreur limite plus large et un niveau de confiance élevé).
moyenne.
Le niveau de confiance constitue néanmoins une part
essentielle de l'évaluation de l'erreur limite et doit être
mentionné, même si son indication révèle une nature très
2 PRINCIPES GÉNÉRAUX
approximative.
Étant donné la nature même des mesures d'un phénomène
Le choix du niveau de confiance à utiliser est dicté par les
physique, il est impossible d'effectuer le mesurage d'une
besoins de ceux qui auront à utiliser les résultats du
grandeur physique sans erreurs. L'utilité du mesurage est
mesurage, compte tenu de la nature des données
toutefois grandement améliorée si le résultat peut être
disponibles. Pour la mesure de débit, choisir une probabilité
accompagné d'une indication de l'erreur possible commise.
de 95% comme niveau de confiance à associer à l'erreur
II est cependant assez rare de pouvoir donner une limite
limite indiquée, s'avère un compromis convenable au vu
supérieure absolue à la valeur de l'erreur. II est donc plus
des considérations précédentes. Ce sera la solution choisie
se
pratique d'indiquer un certain intervalle dans lequel doit
dans la présente Norme internationale lorsqu'il sera possible
trouver, avec une probabilité suffisamment élevée, la valeur
de fixer un niveau de Confiance.
vraie de la grandeur mesurée. Cet intervalle est appelé
((erreur limite)) sur la mesure, et le niveau de confiance qui
lui est associé indique la probabilité que la valeur vraie de
3 NATURE DE L'ERREUR
la grandeur mesurée se trouve effectivement dans
l'intervalle considéré. II n'est toutefois possible de calculer
II y a quatre types d'erreurs à considérer :
les limites théoriques de confiance qu'une fois connue la
a) les mesures aberrantes;
loi de répartition des valeurs mesurées autour de la valeur
vraie.
b) les erreurs fortuites;
Bien qu'il ne soit pas possible de fixer des limites de
c) les erreurs systématiques constantes;
confiance à toute évaluation de l'erreur systématique (sauf
OU l'erreur peut être effectivement d) les erreurs systématiques variables.
dans des cas spéciaux
IS0 5168-1978 (FI
3.1 Mesures aberrantes associée est de nature purement fortuite. A cet effet, il est
nécessaire de calculer l'écart-type et de décider du niveau
Ce sont les erreurs humaines ou les erreurs dues à un
de confiance à associer à l'erreur limite. Pour la présente
mauvais fonctionnement des instruments et qui dénaturent
le niveau de confiance
Norme internationale, on utilisera
une mesure, par exemple mauvaise transcription d'un
%.
de 95
résultat, ou présence de poches d'air dans la conduite
reliant une tuyauterie d'eau à un manomètre. Ces erreurs
ne peuvent pas être prises qn compte dans une analyse 3.2.1.1 ÉCA RT-TY PE
statistique, et la mesure correspondante doit être annulée.
Si l'erreur de mesure de la grandeur Yi est purement
Lorsque l'erreur n'est pas suffisamment grande pour
fortuite, lorsqu'on procède à n mesurages de cette grandeur,
dénaturer visiblement le résultat, on peut, suivant certains
l'écart-type') de la distribution des résultats, syi, est donné
critères à considérer, décider d'admettre ou de rejeter les
par l'équation
données correspondantes.
Si l'on soupçonne donc qu'un ou plusieurs résultats ont été
affectés par une erreur de cette nature, on peut appliquer
le test statistique dit «des vqleurs aberrantes)). Lorsqu'une
seule valeur est suspecte ou si plus d'un point peut être
. . . (1)
considéré comme aberrant, on utilisera le test général
décrit dans l'annexe A. On notera cependant que ce test
où
n'est autorisé en toute rigueur que si la population a une
-
distribution normale. II est nécessaire de recalculer
Yi est la moyenne arithmétique des n mesures de la
l'écart-type de la distribution des résultats après avoir variable Yi;
procédé au test des valeurs aberrantes si l'on a éliminé
(Yi), est la valeur obtenue lors du r*me mesurage de la
certains résultats. II faut également souligner qu'on ne peut
variable Yi;
utiliser le test des valeurs aberrantes que s'il existe des
raisons valables de croire qu'on se trouve en présence de
n est le nombre total des mesures de la variable Y;.
: il ne faut pas rejeter à la légère les
points aberrants
En bref, syi est normalement appelé ((écart-type de Yin.
résultats.
On peut réduire l'erreur fortuite sur le résultat en faisant le
3.2 Erreurs fortuites
plus possible de mesures de la variable et en prenant la
moyenne arithmétique de ces mesures, puisque l'écart-type
On appelle quelquefois les erreurs fortuites ((erreurs de
la moyenne de n mesures est 6 fois plus petit que
de
fidélité)) ou ((erreurs expérimentales)). Elles sont dues à des
l'écart-type des mesures elles-mêmes.
effets nombreux, infimes et indépendants, qui empêchent
un système de mesurage de donner deux fois la même
Par conséquent, l'écart-type de la moyenne, sy, est donné
valeur de sortie pour une même valeur d'entrée de la
par l'équation
grandeur mesurée. Les résultats s'écartent de la moyenne
selon les lois du hasard, de sorte que plus le nombre de
. . . (2)
données augmente et plus la distribution des résultats
approche d'une loi normale.
Si l'échantillon est petit, il est nécessaire de corriger les
3.2.1.2 NIVEAUX DE CONFIANCE
résultats statistiques fondés sur une loi normale à l'aide des
valeurs correspondantes du coefficient t de Student comme Si l'on connaît l'écart-type vrai cryi (quand n tend vers
l'infini, syi tend vers cryi), on peut rapporter le niveau
cela est précisé dans l'annexe B. Le coefficient t de Student
est un coefficient qui compense le fait que, pour un niveau de confiance à l'erreur limite sur la mesure, comme
de confiance donné, l'erreur limite sur l'écart-type l'indique le tableau 1.
augmente si l'échantillon est de petite taille. Une erreur
systématique variable peut également provoquer une
distribution biaisée des sures autour de la moyenne, et il
Erreur limite Niveau de confiance
faut donc en tenir compte comme cela est précisé en 3.3.
* 0,674 ayi 0,50
3.2.1 Calcul de l'erreur limite associée aux erreurs
i 0,954 ayi O ,66
fortuites
* 1,960 U yi 0,95
II est possible de calculer statistiquement l'erreur limite sur
* 2,576 ayi O ,99 J
une mesure d'une variable lorsque l'erreur qui lui est
1) L'écart-type défini ici est appel6 avec plus de précision testirnation de l'écart-type, par les statisticiens.
IS0 5168-1978 (FI
Par exemple, l'étendue f 1,96 uyi est présumée renfermer erreur systématique variable. Dans ce dernier cas, il convient
soit d'éliminer la source de l'erreur systématique variable (en
95 % de la population. C'est-à-dire que, pour une seule
renforçant la surveillance des conditions expérimentales), soit de
mesure de la variable Yi et une valeur de uyi connue
tenir compte de cette erreur possible dans l'analyse des résultats.
indépendamment, il y aura une probabilité de 0,05 que
l'intervalle (Yi), k 1,96 ayi ne renferme pas la valeur vraie.
Un second type d'erreur systématique variable est
observé lors de mesures numériques. On mesure ici une
En pratique donc, il n'est possible d'obtenir qu'une
série d'objets ou d'événements discrets, une certaine
estimation de I'écart-type car il faudrait un nombre infini
imprécision demeurant quant aux points de départ et de
de mesures pour déterminer celui-ci avec précision, et l'on
fin de cette série. L'erreur limite due à la nature
doit fonder les limites de confiance sur cette estimation. La
numérique de la mesure dépend en fait de l'ordre de
((loi de t)) doit donc être utilisée pour les petits échantillons
grandeur du dernier chiffre. Si l'on utilise, par exemple,
(voir annexe 6) pour associer le niveau de confiance requis
un compteur à quatre chiffres pour compter le nombre
à l'étendue.
de périodes d'une onde de forme périodique dont
chaque période est enregistrée séparément, avec
3.3 Erreurs systématiques
déclenchement de l'appareil à la fin de chaque période,
l'erreur limite sur la mesure de 5 O00 périodes
Les erreurs systématiques sont celles qui ne peuvent pas
sera de f 0,5 période et la valeur mesurée donnera
le nombre des mesures si l'on
être réduites en augmentant
5 000,5 cycles. Si, par contre, le compteur est réglé
garde les mêmes matériels et les mêmes conditions de
pour enregistrer les périodes par dizaines, l'erreur limite
mesurage. Ces erreurs se divisent en deux grands groupes, à
pour une même mesure sera de i. 5 périodes et la valeur
savoir : les erreurs systématiques constantes et les erreurs
mesurée donnera 5 005 périodes.
systématiques variables.
a) Erreurs systématiques constantes
3.3.1 Estimation de l'erreur limite associée aux
erreurs systématiques
Elles sont communes à toutes les mesures faites dans les
mêmes conditions et demeurent constantes dans le
II n'est pas possible d'estimer l'erreur limite associée aux
temps; selon la nature de l'erreur, elles peuvent
erreurs systématiques de façon expérimentale sans changer
cependant varier avec la valeur obtenue pour la mesure.
le matériel ou les conditions de mesurage. C'est la solution
L'inexactitude de l'étalonnage d'un instrument peut
envisagée dans la mesure du possible car la seule alternative
ainsi, par exemple, donner une erreur qui varie le long de
est de porter un jugement subjectif en fonction de
la gamme de mesure de l'instrument en question.
l'expérience acquise et du matériel employé. Lorsque la
classe de précision ou les limites d'erreur d'un appareil de
Au contraire, un mauvais réglage du zéro de l'instrument
mesurage sont spécifiées, on peut utiliser cet intervalle
donne une erreur systématique constante, indépendante
comme erreur limite systématique de l'appareil avec un
de la valeur mesurée.
niveau de confiance supérieur à 95 %.
NOTE - Si l'on devait procéder à une série de mesurages de
II est important de distinguer entre l'((estimation)) d'une
débit (pour obtenir, par exemple, la courbe de rendement d'une
erreur limite systématique obtenue selon la méthode
turbine), ce premier type d'erreur varierait en fait avec le débit
tout en restant une erreur systématique constante puisque, pour précédente (qui tient plus de la devinette que de
un même débit, la valeur de l'erreur serait toujours la même. II
l'évaluation scientifique) et l'estimation d'une erreur limite
faut cependant noter encore une fois que la présente Norme
fortuite (qui s'obtient par analyse de données objectives
internationale ne traite que de la mesure d'un débit unique.
à un niveau de confiance spécifié). II y a une tendance
généralisée à sous-estimer les erreurs limites systématiques
b) Erreurs systématiques variables
lorsque des facteurs subjectifs entrent en jeu, d'une part à
Elles peuvent provenir d'une surveillance insuffisante de
cause de l'optimisme humain et, d'autre part, du fait de la
l'essai ou de l'expérimentation, par exemple négligence
possibilité d'oublier certaines sources d'erreur sytématique.
des variations de température avec un manomètre
II est donc nécessaire d'apporter le plus grand soin à
étalonné pour une température donnée, ou usure
l'estimation de l'erreur limite associée aux erreurs
progressive des paliers d'un instrument.
systématiques.
NOTE - Ces erreurs provoquent généralement un biais de la
II est quelquefois possible de rendre partiellement fortuites
répartition des résultats. En pratique, aucune série finie de
les erreurs systématiques en recommençant plusieurs fois un
mesures ne peut donner une répartition parfaitement
mesurage avec différents types d'appareils ou dans des
symétrique, même s'il n'y a pas d'erreur systématique variable,
par suite de l'erreur d'échantillonnage. La façon de déterminer
conditions différentes influant sur l'erreur (voir figure 2).
si le biais ainsi provoqué vient s'ajouter à celui que donne l'erreur
II n'est possible de rendre complètement fortuites les
d'échantillonnage sort du cadre de la présente Norme
erreurs systématiques qu'en répétant les mesurages avec
internationale; il est toutefois à noter qu'il existe des tests
des appareils dont le principe est différent. Cette méthode
statistiques permettant de décider si le biais est de l'ordre
présumé, attendu la taille de l'échantillon ou s'il existe une est à recommander chaque fois qu'elle est possible puisque
1) Les limites d'erreur d'un appareil de mesurage peuvent être mesurées directement ou déterminées a partir des données garanties par le
constructeur. Si les limites, positive et négative, ne sont pas égales, la valeur moyenne déterminée par les mesures à l'aide de cet instrument peut
être corrigée selon 3.3.lb).
IS0 5168-1978 (F)
non seulement elle donne une confiance plus élevée dans la
at, +at,
I
valeur de l'erreur limite, mais aussi elle abaisse l'erreur
limite elle-même. En pratique toutefois, il est rarement
possible de pratique ce type de randomisation. C'est la
I
I 6 tl
raison pour laquelle (voir figure 2) la procédure à suivre
I
pour évaluer des erreurs limites associées à des erreurs
systématiques demande des moyens à la fois expérimentaux
et subjectifs.
Si le débit dépend de nombreuses variables indépendantes
Illustration de la correction tenant compte de l'erreur moyenne
dont les valeurs doivent être mesurées ou extraites de
estimée
courbes, de tables ou d'équations, les erreurs limites
Prendre l'erreur moyenne estimée égale à la moyenne des valeurs,
systématiques associées à ces variables peuvent se traiter
minimale et maximale, estimées revient implicitement à considérer
comme des erreurs limites systématiques randomisées.
l'erreur systématique comme asymétrique.
FIGURE 3
Valeur vraie de
c) Lorsqu'on peut évaluer expérimentalement la
la grandeur
grandeur de l'erreur limite associée à l'erreur
Erreur moyenne
systématique, cette erreur limite peut être calculée de
la manière décrite en 3.2 pour les erreurs fortuites, la
\/ IV v valeur mesurée étant corrigée de la manière décrite
A
I T " précédemment. Ce genre de situation se rencontre, par
exempie, lorsqu'on utilise un thermomètre qui n'a pas
été étalonné individuellement, mais lorsque des essais
préalables ont porté sur des lots de thermomètres
Erreur systématique pour
identiques de façon à obtenir une moyenne et un
un ensemble donné de
matériel et de conditions écart-type de l'erreur associée à ces thermomètres.
Les croix indiquent la randomisation des erreurs systématiques pour
d) Lorsqu'on ne connaît pas le signe de l'erreur et que
la détermination d'une grandeur donnée avec différents types de
sa valeur est estimée de façon subjective, l'erreur
matériels ou de conditions d'essai.
moyenne estimée est égale à zéro, et l'erreur limite doit
à nouveau être considérée comme la moitié de l'étendue
FIGURE 2
est illustrée par la
estimée de l'erreur. Cette méthode
figure 4 où la notation est la même que dans la figure 3.
La procédure à suivre pour arriver à l'erreur limite associée
Dans ce cas, at, = 6r,, et l'erreur limite est donc
à l'erreur systématique dépend des données disponibles sur
f St.
l'erreur elle-même, mais est la même que l'erreur
systématique considérée, soit : constante ou variable.
a) Si l'erreur a une valeur unique connue, on l'ajoute au
t
résultat du mesurage (ou on l'en retranche) et l'on
R (=Ml
considère que l'erreur limite de mesure due à cette
FIGURE 4
source est nulle.
b) Si l'on connaît le signe de l'erreur, mais que sa
valeur doive être estimée subjectivement, on ajoute
4 PROPAGATION DES ERREURS
l'erreur moyenne estimée au résultat du mesurage (en
Bien qu'il soit possible d'associer des valeurs aux erreurs
faisant bien attention au signe) et l'on considère que
les diverses mesures, l'erreur qui demeure d'un
limites sur
l'erreur limite de mesure est égale à la moitié de
intérêt fondamental est l'erreur limite sur la valeur finale du
l'étendue dans laquelle l'erreur est censée se trouver.
débit obtenu. II est donc essentiel d'adopter une méthode
Cette procédure est illustrée par la figure 3 où la valeur
uniforme de combinaison des diverses erreurs limites
est appelée M et l'erreur systématique est censée
mesurée
associées à chaque variable entrant dans le calcul du débit.
se trouver entre St, et St, [ce qui donne une erreur
Dans le cas des chenaux, ces variables sont, par exemple,
moyenne estimée de (at, + ôt2)/2].
le niveau de l'eau et la profondeur des sections
Le rbsultat, R, à utiliser est donné par l'équation
transversales; dans les conduites fermées, ce sont, par
exemple, le diamètre de tuyauterie, la pression et le
6tl + 6t2
coefficient de dilatation.
. . . (3)
R=M+
. Les mesures aberrantes ne posent pas de problème
avec une erreur limite de
puisqu'on élimine toute mesure paraissant aberrante après
les tests statistiques spécifiés dans l'annexe A (dans la
6tl -6t2
mesure où un doute valable pèse sur le résultat du
I2 mesurage). Les techniques de combinaison des erreurs
IS0 5168-1978 (F)
Le coefficient de sensibilité peut être rendu
fortuites sont bien au point, mais, si l'on veut employer les
formules statistiques les plus simples, il faut que les adimensionnel si l'on écrit
différentes variables soient indépendantes. Chaque variable
doit donc être examinée pour vérifier qu'il en est bien ainsi.
Dans le cas contraire, les variables interdépendantes doivent
être décomposées en variables de plus en plus
Sous cette forme, la sensibilité s'exprime en
fondamentales et ce, jusqu'à ce qu'on atteigne une
((pourcentage pour cent)). 0,: est donc le pourcentage de
indépendance vraie.
variation de R provoqué par une variation de 1 % de Yi.
C'est la forme à utiliser si les erreurs limites à corriger
Dans certains cas toutefois, il est impossible d'aboutir à
sont exprimées en pourcentages de leurs variables
cette indépendance et, dans d'autres, il existe des variables
associées et non en valeurs absolues.
interdépendantes par nature et qui ne peuvent pas être
décomposées en variables fondamentales. II faut alors avoir
recours à des formules plus compliquées, qui sont décrites
4.2 Identification des sources.d'erreur
en détail en 4.3.
Avant de combiner toutes les erreurs limites, il convient de
suivre la procédure suivante :
II est reconnu que les avis divergent en ce qui concerne les
méthodes de combinaison des erreurs limites associées aux
a) identifier toutes les sources d'erreur indépendantes
à une
erreurs systématiques, mais, pour aboutir
et en établir une liste;
normalisation convenable, seule la méthode spécifiée en 4.3
est à utiliser dans les normes de mesure de débit.
b) pour chaque source, déterminer la nature de l'erreur;
c) estimer l'étendue possible des valeurs que chaque
erreur systématique est raisonnablement présumée
4.1 Sensibilité
pouvoir prendre, en se servant le plus possible des
données expérimentales;
Avant d'étudier les méthodes de combinaison des erreurs, il
est primordial de prendre conscience qu'il est insuffisant de
d) estimer l'erreur limite à associer à chaque erreur
ne considérer que les grandeurs des composantes de l'erreur
systématique de la manière indiquée en 3.3.1;
lirnite dans les mesures subsidiaires; il faut également
e) calculer, de préférence d'après les données
considérer l'effet de chaque mesure sur le résultat final. II
expérimentales, l'écart-type de la répartition de chaque
y a donc lieu de définir la notion de sensibilité d'un résultat
erreur fortuite;
à une grandeur subsidiaire comme le pourcentage d'erreur
du résultat dû à une erreur de 1 % sur la mesure de grandeur
f) procéder à un test des valeurs aberrantes, si l'on a des
composante. Le ((coefficient de sensibilité)) de chaque
raisons de croire qu'il peut y avoir des mesuresaberrantes
grandeur subsidiaire s'obtient facilement de deux manières.
(voir 3.1 1;
a) Selon une méthode analytique
g) recalculer les écarts-types si nécessaire, si les tests
des valeurs aberrantes ont conduit à supprimer certains
Lorsqu'il existe une relation mathématique connue entre
résultats;
le résultat, R, et les grandeurs subsidiaires, Y,, Y,, .,
Y,, le coefficient dimensionnel de sensibilité, Bi, d'une
a
h) calculer l'erreur limite associée à chaque erreur
grandeur, Y,, s'obtient par différenciation partielle.
fortuite pour un niveau de confiance de 95 %;
Ainsi, si R = f(Y,, Y,, . ., Y,), Bi est donné par
j) calculer le coefficient de sensibilité pour chaque
l'équation
erreur limite;
k) établir la liste, par ordre décroissant, des produits du
. . . (4)
coefficient de sensibilité par l'erreur limite pour chaque
source d'erreur.
b) Selon une methode numérique
NOTE - Ce classement par ordre décroissant répond à deux
Lorsqu'il n'existe pas de relation mathématique ou que
Le premier est de concentrer l'attention sur
objectifs.
la différenciation est difficile, on peut utiliser des l'importance relative des différentes sources d'erreur, de manière
B essayer de réduire l'erreur limite sur les variables le5 plus
incréments finis pour évaluer Bi.
importantes. Le deuxième est d'éliminer les variables qui n'ont
que peu ou pas d'influence sur la valeur de l'erreur limite sur la
Ainsi Bi est donné par l'équation
mesure de ddbit, comparativement aux sources d'erreur
principales, et ainsi de simplifier les calculs.
AR
e.=- .
. (5)
' AYi
Le résultat est calculé à partir de Yi pour obtenir R,
4.3 Combinaison des erreurs limites
puis recalculé à partir de (Yi f AYi) pour obtenir
Du fait qu'on doive combiner de nombreuses erreurs
(R + AR). La valeur de AY, utilisée doit être aussi petite
limites, il est possible d'en négliger une si elle est très petite
que possible.
IS0 5168-1978 (F)
devant la plus grande. D'une façon générale, une erreur b) Lorsque le résultat, R, est donné par une simple
:
limite plus petite que le cinquième de la plus grande dans somme, c'est-à-dire
un groupe peut être négligée.
R = Y1 Y2 , . . +
toutes les valeurs de Bi sont égales à 1, l'équation (7)
4.3.1 Combinaison des erreurs limites fortuites
devient
Afin d'éviter toute confusion possible, les erreurs limites
k k-1 k
associées aux erreurs fortuites, utilisées pour le calcul de
(10)
l'erreur limite sur la mesure de débit, doivent toutes
correspondre à un niveau de confiance de 95 %. Les erreurs i= 1 i=i j=iti
limites associées aux erreurs systématiques doivent, elles,
c) Lorsque le résultat, R, n'est fonction que de
être estimées de la manière indiquée en 3.3.1.
facteurs, le coefficient adimensionnel de sensibilité de
chaque facteur est l'exposant de ce facteur. Par
Les grandeurs des diverses expressions, à partir desquelles
conséquent, pour la relation
on peut calculer le débit, n'étant pas normalement
indépendantes, chaque variable doit être étudiée R = K Y; Y$/Ys
séparément pour déterminer de quelles variables
où Y,, Y, et Y, sont indépendants les uns des autres,
indépendantes elle dépend. II est souvent peu pratique ou
on a
même impossible de procéder ainsi et, dans ce cas, il faut
que la formule de calcul de l'erreur limite globale comporte
û;=a; û;=b; e*--c 3-
des termes tenant compte de l'interdépendance des
et
variables.
(11)
Si l'on appelle ei l'erreur limite sur une variable Yi, on peut
la notion d'interdépendance des erreurs limites
introduire
ei,i. de manière à fabriquer ces termes supplémentaires. La
grandeur ei, tient alors compte de l'interdépendance des 4.3 -2 Combinaison des erreurs limites systématiques
variables Yi et Yi.
Pour combiner les erreurs systématiques exposées en 3.3.1,
on procédera comme en 4.3.1. Dans le cas particulier 05i
Pour calculer l'erreur limite, ea, sur un résultat, il faut
l'on se trouve en présence d'un grand nombre d'erreurs
donc combiner toutes les erreurs limites grâce à l'équation
1, ces dernières seront
limites systématiques (voir 3.3.1
considérées comme des erreurs limites systématiques
k k-1 k
randominées. Le niveau de confiance résultant pour l'erreur
limite globale est d'au moins 95 %, en supposant que les
i= 1 i= 1 j=i+ 1
erreurs limites systématiques randomisées sont celles qui
,
sont associées aux variables indépendantes mesurées ou
Ozi
les besoins
extraites de courbes, tables ou équations pour
du calcul du débit. Généralement, le niveau de confiance
résultant de l'erreur limite globale est supérieur au plus
mauvais niveau de confiance de tous les niveaux de
confiance associés aux erreurs limites des composantes.
NOTE - L'équation (8) n'est valable que si les distributions de
toutes les sources d'erreurs limites, ej, sont supposées proches d'une
loi normale et si les e/ sont à un niveau de confiance de 96 %. De
plus, on suppose que les limites de confiance sont à plus ou moins
5 PRÉSENTATION DES RÉSULTATS
deux fois l'écart-type, mais cela introduira une erreur, négligeable,
dans le calcul de l'erreur limite globale.
En dépit du fait qu'il est préférable d'indiquer séparément
La validité de l'équation (8) n'est remise en cause que si un nombre
les erreurs limites dues aux erreurs fortuites et aux erreurs
appréciable de sources d'erreur ont une distribution bimodale. Dans
il faut bien reconnaître qu'il y a de
systématiques,
ce cas, on se référera à I'annexeD. Les ûj sont donnés par les
nombreuses raisons pratiques pour présenter une seule
équations (4) à (6) et n est le nombre de mesures indépendantes de
valeur pour l'établissement du résultat d'un mesurage, aussi
la variable Y;.
est-il permis de les combiner selon la méthode de la somme
quadratique, en ayant au préalable calculé séparément les
Trois cas spéciaux valent d'être mentionnés.
erreurs limites globales systématiques et fortuites. En
a) II est recommandé, dans la mesure du possible, de
combinant quadratiquement les erreurs limites fortuites
n'utiliser que des variables indépendantes; dans ce cas,
et les erreurs limites systématiques randomisées, l'erreur
l'équation (7) se réduit à limite globale résultante aura un niveau de confiance de
95 %. En fait, il ne sera pas possible normalement de relier
k
les niveaux de confiance à l'erreur limite globale de cette
. (9)
façon et l'on donnera la limite de confiance de la
composante fortuite.
i= 1
IS0 5168-1978 (F)
La présentation d'une mesure de débit, q, doit se faire sous
Une présentation rigoureuse idéale des résultats devrait
comporter une énumération des erreurs limites globales l'une des formes suivantes :
dues aux erreurs fortuites et aux erreurs systématiques
a) Erreurs limites exprimées en valeurs absolues
séparément, cela pour plusieurs raisons.
- -
.....
1) Débit 4
-
Erreur limite fortuite (eR)95 -
.....
D'abord, il est impossible de donner des niveaux de
confiance une fois les erreurs fortuites et systématiques
-
Erreur limitesystématique e, -
.....
combinées, car la notion de niveaux de confiance n'est
à moins de
pas applicable aux erreurs systématiques, Erreurs limites calculées selon I'ISO 5168.
connaître la loi de probabilité. II est néanmoins essentiel
- -
.....
2) Débit 4
d'indiquer les niveaux de confiance relatifs à la part de
l'erreur fortuite dans le résultat final; sinon, l'indication
Erreur limite (combinée) dm = . . . . .
limite, dans ce cas, n'a plus aucun sens (voir
d'une erreur
-
Erreur limite fortuite (eRIg5 -
.....
chapitre 1).
Erreurs limites calculées selon I'ISO 5168.
Deuxièmement, il est important de préciser dans le résultat,
b) Erreurs limites exprimées en pourcentages
d'une part, la proportion d'erreurs limites dues aux erreurs
- -
.....
1) Débit 4
fortuites qui peut, par la suite, être réduite grâce à d'autres
expériences avec les mêmes matériels et, d'autre part, la
Erreur limite fortuite (ER)g5 =.%
proportion d'erreurs limites dues aux erreurs systématiques
qui peut être améliorée grâce à l'emploi d'autres matériels Erreur limite systématique E, =.%
et d'autres méthodes.
Erreurs limites calculées selon I'ISO 5168.
- -
.."..
2) Débit 4
Troisièmement, il n'existe pas de méthode universellement
Erreur limite (combinée) d(ER)g5 +E: =. . . . .%
adoptée de combinaison des erreurs fortuites et
systématiques, et la présentation de ces deux éléments
Erreur limite fortuite (ER)g5 =.%
séparément garantit qu'il n'y a aucun doute quant à la
Erreurs limites calculées selon I'ISO 5168.
nature des erreurs en question.
IS0 5168-1978 (F)
SECTION DEUX : EXEMPLES
7 EXEMPLE DE MESURE DE DÉBIT DANS DES
6 SYMBOLES
CONDUITES CIRCULAIRES
Désignation
Symbole
La grande variété des formules utilisées dans les mesures de
débit fait qu'il est impossible de donner des indications
Largeur du idme segment de canal décc
pour tous les cas d'analyse, mais on peut utiliser la formule
Diamètre de la conduite
générale relative aux dispositifs déprimogènes comme
Diamètre du col du débitmètre; pr exemple de la manière dont on peut évaluer l'erreur limite
canal découvert la mesure du débit-masse. Cette formule générale est la
sur
suivante :
Valeur de O à la température t;
Valeur de d à la temp6rature to
7c d2
. . . (12)
4, =aE-dZjz 4
Erreur limite, en pourcentage de la vari
Erreur limite sur la variable Y
La procédure à suivre est celle qui est spécifiée en 4.2.
Facteur de correction pour le débit mf
le mode de calcul rigoureux de l'erreur
canaux découverts En 7.1, on trouvera
limite et, en 7.2, un exemple numérique détaillé selon cette
Constante
procédure. Dans la pratique cependant, il est rare d'avoir à
Nombre de sources d'erreur dans le rés
conduire le calcul avec de tels détails, aussi l'exemple
Nombre de Mach
présenté en 7.3 est4 conduit selon une procédure
simplifiée.
Nombre de verticales de mesurage dan!
découvert
Pression statique 7.1 Calculs généraux
Débit-volume mesuré
7.1 .I Identification et liste des sources d'erreur
Débit-masse
indépendantes
Nombre de Reynolds rapporté au dir
du débitmètre
Les grandeurs figurant dans l'expression de qm ne sont pas
indépendantes les unes des autres, et chacune doit donc être
Température à laquelle la valeur de d e
examinée séparément afin de déterminer de quelles
Température à laquelle la valeur de O e
variables indépendantes elle dérive. Cette analyse peut
Température d'essai
les variantes desquelles dérive une
exiger plusieurs stades,
Vitesse du fluide (12) pouvant, elles-mêmes,
grandeur donnée de l'équation
ne pas être indépendantes et devant, par suite, être
Coefficient de pondération
analysées séparément. Cette procédure est à répéter jusqu'à
Erreur limite relative fortuite sur la
ce qu'on obtienne des variables réellement indépendantes.
variable Y
Par exemple, l'erreur limite sur a provient des erreurs
Erreur limite relative systématique SUI
la variable Y limites sur et sur Reo et de l'erreur limite 6a sur les
mesures qui ont permis de déterminer la dépendance de a
Pression différentielle relative, x = -
et de ces variables.') Toutefois, 0 et Reo dépendent de D
pa
de sorte que ces variables doivent être subdivisées ensuite.
horizontale dans le canal découvert
Coordonnée verticale dans le canal déc On peut ainsi établir le tableau 2 illustrant les sources des
différentes grandeurs de l'équation (12).
Coefficient de débit
d
ôr), Sa, SK, ôe et Se sont les erreurs limites associées aux
Rapport des diamètres, 0 = -
O expériences permettant de déterminer la dépendance de
r), a, II, E et e par rapport à leurs variables indépendantes
Dilatabilité de la conduite
associées, et d(t,) et D(to) sont les valeurs de d et D aux
Dilatabilité du débitmétre
températures to et t: auxquelles ces grandeurs sont
Pression différentielle du débitmètre
respectivement mesurées. Les valeurs de d et D à la
Erreur limite sur 7 due à I'expérime température d'essai, tr, sont données par les équations
déterminé la relation entre la varii
variables associées indépendantes
d=d(t,) [I +Yd (tr-to)I
Coefficient de détente
D = ~(t,) [I + yo (t, - to>]
Viscosité dynamique
Exposant isentropique
1) Les SY sont les tolérances donnees dans les normes et dans les
Masse volumique du fluide
tables pour les variables Y (a, q, etc.) -voir annexe C.
IS0 5168-1978 (FI
II est essentiel de tenir compte de chaque variable A chaque est nécessaire d'étudier soigneusement, dans chaque cas,
fois qu'elle apparaît car une erreur sur cette variable aura chaque source d'erreur, et il serait dangereux de présumer
la nature des erreurs est toujours telle que le prévoit
chaque fois un effet différent sur la mesure de débit. Ainsi, que
le tableau 3.
par exemple, t,, la température de référence de lai mesure
du débit apparaît-elle deux fois dans la troisième colonne
TABLEAU 3 - Nature des erreurs
du tableau 2 en face de Reo, car elle influe à la fois sur D
et sur Q. Sourc
...