SIST ISO 2854:1996

Statistical interpretation of data -- Techniques of estimation and tests relating to means and variances

Comparison of a variance with a given value, estimation of a variance, comparison of two variances, estimation of the ratio of two variances, and the same procedures for a mean with known or unknown variance are dealt with. Techniques are valid for sample elements drawn at random and being independent, when the distribution of the observed variable is normal, for a sample size not too small (5 to 10 at least) approximately also when the distribution does not deviate very much from the normal. Techniques of verification of the hypothesis of normality are briefly dealt with in the examples.

Interprétation statistique des données -- Techniques d'estimation et tests portant sur des moyennes et des variances

Statistical interpretation of data - Techniques of estimation and tests relating to means and variances

General Information

• Status: Published
• Publication Date: 31-Aug-1996
• ICS: 03.120.30 - Application of statistical methods
• Technical Committee: ISTM - Statistical methods
• Current Stage: 6060 - National Implementation/Publication (Adopted Project)
• Start Date: 01-Sep-1996
• Due Date: 01-Sep-1996
• Completion Date: 01-Sep-1996
• Ref Project: ISO 2854:1976 - Statistical interpretation of data — Techniques of estimation and tests relating to means and variances

Standards Content (Sample)

ISO 2854-1976 (E)
certain Problems,
9) The calculations tan often be greatly reduced by it may be interesting to pair the
making a Change of origin and/or unit on the data. In the observations (for instance in the comparison of two
case of data classified into groups, reference may be made methods or the comparison of two instruments). The
to the formulae in ISO 2602, Statistical interpretation of statistical treatment of paired observations is the subject of
ISO 3301, Statisticalinterpretation of data - Comparison of
test results - Estimation of the mean - Confidence
two means in the case of paired observations, but in
in tervaf.
annex A an example of treatment of paired observations is
NOTE - A Change of origin may be essential to obtain sufficient
given. It uses formally the data of table A”.
accuracy when calculating a variance using the stated formulae with
a low precision calculator or Computer.
11) The Symbols and their definitions used in this
in tables C and C’ deal International Standard are in conformity with ISO 3207,
IO) The methods shown
with the comparison of two means. They assume that the Statistical interpretation of data - Determination of a
statistical tolerante interval.
corresponding samples are independent. For the study of

---------------------- Page: 1 ----------------------
ISO 2854-1976 (E)
TABLES
A - Comparison of a mean with a given value (variance known)
A’ - Comparison of a mean with a given value (variance unknown)
B - Estimation of a mean (variance known)
B’ - Estimation of a mean (variance unknown)
C - Comparison of two means (variances known)
C’ - Comparison of two means (variances unknown, but may be assumed equal)
D - Estimation of the differente of two means (variances known)
D’ - Estimation of the differente of two means (variances unknown, but may be assumed equal)
E - Comparison of a variance or of a Standard deviation with a given value
F
- Estimation of a variance or of a Standard deviation
G
- Comparison of two variances or two Standard deviations
H - Estimation of the ratio of two variances or of two Standard deviations
3

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ISO 2854-1976 (E)
TABLE A - Comparison of a mean with a given value (variance known)
Technical characteristics of the population studied (5) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . LI .
Technical characteristics of the Sample items (5) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I .
Discarded observations (6) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Statistical data Calcuiations
Sample size :
n=
Sum of the observed values :
cx =
Given value :
m. =
Known value of the population variance :
02 =
Or Standard deviation :
o=
Significance level Chosen (8) :
Cl!=
Resul ts
Comparison of the population mean with the given value m. :
Two-sided case :
The hypothesis of the equality of the population mean to the given value (null hypothesis) is rejected if :
IX --mol > [Ul -cy,2hh 1 0
One-sided cases :
a) The hypothesis that the population mean is not smaller than m. (null hypothesis) is rejected if :
X o (null hypothesis) ,is rejected if :
b) The hypothesis that the population mean is not greater than m
i>mo+[ul-,lfi]o
NOTE - The numbers (5), (6) and (8) refer to the corresponding Paragraphs of the “General remarks”.

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ISO 28544976 (E)
Comments
1) The significance level a! (see 5 8 of the “General remarks”) is the probability of rejecting the null hypothesis when this
hypothesis is true.
2) U Stands for the standardized normal variate : the value u, is defined by :
P [U Since the distribution of U is symmetrical around Zero, u, = - u1 _ cy.
We therefore have :
P[U>u,]= 1 -a
P[-u,-,,2 Probabiiity density of U (standardized normal distribution)
One-sided cases
Two-sided case
3) o/fi is the Standard deviation of the mean X, in a Sample of n observations.
t 01,2/fi are given in table 1 of annex 5 for a = 0,05 and
4) For convenience in application, values of u1 -&/fi and u _
a! = 0,Ol.
“Explanatory notes and examples”.
EXAMPLE : see section two,
5

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ISO 2854-1976 (E)
Comparison of a mean with a given value (variance unknown)
TABLE A’ -
Technical characteristics of the population studied (5) . . . . . . . . . . D . . . . . . . . . . ,
Technical characteristics of the Sample items (5) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Discarded observations (6). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e . . , . . .
Statistical data
Sample size :
n=
C (x - E)2 Zx2 - (Cx)%
Sum of the observed values :
cx =
Sum of the squares of the observed values :
cx2 =
Given value :
m. =
Degrees of freedom :
V =n-1
Significance level Chosen (8) :
Cl=
Resul ts
Comparison of the population mean with the given value m. :
Two-sided case :
The hypothesis of the equality of the population mean to the given value (null hypothesis) is rejected if :
IX --mol > [tl -cy/201fi] s
One-sided cases :
a) The hypothesis that the population mean is not smaller than m. (null hypothesis) is rejected if :
X [t, -&Nfi ] s
b) The hypothesis that the population mean is not greater than m. (null hypothesis) is rejected if :
Z>mo + [tl-JvVfi]s
NOTE - The numbers (5), (6) and (8) refer to the corresponding Paragraphs of the “General remarks”.
6

---------------------- Page: 5 ----------------------
ISO2854-1976(E)
Comments
leve I a (see 5 8 of the “General remarks”) is the probability of rejecting the null hypothesis when this
1) The signif icance
hypothesis is true.
2) t(v) Stands for Student’s variate with v = n - 1 degrees of freedom : the value t,(v) is defined by
P [t(v) < t&)] = Cl
Since the distribution of t(v) is symmetrical around Zero, t,(v) =- tl -,(v).
We therefore have :
P [t(v) > tJv)] = 1 -0
(v) < t(v) < t,-,/2(V)] = 1 -cI1
Wtl-Cu2
Probability density of Student’s t(v) with v = n - 1 degrees of freedom
t1 - & . ’ t&) = - t1 -Q(V)
q44 = - t1 - Q/2M t1 - cy/2(zJ~
Two-sided case One-sided cases
3) o*/fi is the estimated Standard deviation of the mean x, in a Sample of n observations.
4) For convenience in application, values of t, -(~/~(v)/fi and t, - a(v)/fiare given in table I Ib of annex 5 for 0 = 0,05
and CI = 0,Ol
EXAMPLE : see section two, “Explanatory notes and examples”.

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ISO 2854-1976 (E)
TABLE 5 - Estimation of a mean (variance known)
Technical characteristics of the population studied (5) . . . . . . . . . I . . . U . . = . . . . ~
Technical characteristics of the Sample items (5) . . . . . . . . . . . . . . . e . . . q . . . .
Discarded observations (6) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Sample size :
n=
Sum of the observed values :
cx =
Known value of the population variance :
02 zz
Or Standard deviation :
CJ-
Confidence level Chosen (7) :
Resul ts
Estimation of the population mean m :
Two-sided conf idence interval :
l~]o x-[ul-*/2
One-sided confidence intervals :
m or
NOTE - The numbers (5), (6) and (7) refer to the corresponding Paragraphs of the “General remarks”.

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ISO 2854-1976 (E)
Comments
1) The confidence level 1 - ~1 (see 5 7 of the “General remarks”) is the probability that the confidence interval covers the
true value of the mean.
2) U Stands for the standardized normal variate : the value u, is defined by :
P [U < ucu] = a!
Since the distribution of U is symmetrical around Zero, u, = - u1 _ Q!
We therefore have :
P[U>uJ= l-a!
pc-u,-a/2
Probability density of U (standardized normal distribution)
Two-sided case One-sided cases
3) Q/G is the Standard deviation of the mean X, in a Sample of n observations.
1 &i2/fi and u1 -&/+ are given in table I sf annex 5 for a = 0,05 and
4) For convenience in application, values of u _
cI1= 0,Ol.
“Explanatory notes and examples”.
EXAMPLE : see section two,

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ISO 2854-1976 (E)
TABLE B’ - Estimation sf a mean (variance unknown)
Technical characteristics of the population studied (5) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Technical characteristics of the Sample items (5) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . m
Discarded observations (6) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Sample size :
n=
Sum of the observed values :
cx =
Sum of the squares of the observed values :
2x2 =
Degrees of freedom :
v=n--1~
Confidence level Chosen (7) :
[t, -cr,2b)jfi] s =
l--Cl!=
Resul ts
Estimation of the population mean m :
Two-sided conf idence interval :
x-
[t1-01/2bVfi]s~m 07 + [tl-a!2(~)lJGj~
One-sided confidence intervals :
m or
m>F-[t+&)/fi]s
NOTE - The numbers (51, (6) and (7) refer to the corresponding paragraphs of the “General remarks”.
10

---------------------- Page: 9 ----------------------
iSO2854=1976(E)
Comments
1) The confidence level 1 -a (see 3 7 of the “General remarks”) is the probability that the confidence interval covers the
true value of the mean.
2) t(v) Stands for Student’s variate with v degrees of freedom; the value t,(v) is defined by
P [t(v) < t&)] = o!
Since the distribution of t(v) is symmetrical around Zero, t,(v) = - t, _ Jv).
We therefore have :
p [t(v) > t,(v)
(24 < t(v) < t
p I- t1 -d2
Probabiliw density of Student’s t(v).tith v = n - 1 degrees of f reedom
One-sided cases
Two-sided case
a*/& is the estimated Standard deviation of the mean X, in a Sample of n observations.
3)
(v)/fi are given in table Ilb of annex B for
4) For convenience in application, values of t, -@i2(v)/fi and t, -Q1
ct = 0,05 and cy = 0,Ol.
“Explanatory notes and examples”.
EXAMPLE : see section two,

---------------------- Page: 10 ----------------------
ISO 2854-1976 (E)
TABLE C - Comparison of two means (variances known)
of population 1 . . . . . . . . . . s . . . . . . . . . . . . .
Technical characteristics (5)
of population 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
(
Technical characteristics of in population 1 . . . . . . . . . . . ? . . . . . . . P . . . .
the Sample items taken (5) in population 2 . . . . . n . . I . . m . . . . . . . . . . a .
1
in Sample 1 . . . . . . . . . . . . . . . m . . . . . . . . .
Discarded observations (6)
in Sample 2 . . . . . . . D . . . . . . . . I . e . . . . . .
1
Size
Sum of the observed values
Izx, = cx* =
Known values of the variances
of the populations
Significance level Chosen (8) :
a=
Results
Comparison of the two population means :
Two-sided case :
The hypothesis of the equality of the means (null hypothesis) is rejected if :
12, -x,l > q -a,2Q
One-sided cases :
a) The hypothesis that the first mean is not smaller than the second (null hypothesis) is rejected if :
x, c Ji2 - llj -&Jd
b) The hypothesis that the first mean is not greater than the second (null hypothesis) is rejected if :
x, > x2 + Ul --aod
NOTE - The numbers (5), (6) and (8) refer to the corresponding Paragraphs of the “General remarks”.
12

---------------------- Page: 11 ----------------------
ISO 28544976 (E)
Comments
1) The significance level a (see 5 8 of the “General remarks”) is the probability of rejecting the null hypothesis when this
hypothesis is true.
2) U Stands for the standardized normal variate : the value U, is defined by :
Since the distribution of U is symmetrical around Zero, U, = - u1 _ &.
We therefore have :
P[U>u,]= 1 -Q!
P[-u,-a,* Probability density of U (standardized normal distribution)
f(u) f(u)
f(u)
One-sided cases
Two-sided case
o2
o*
3) Od = -J-+-J- is the Standard deviation of the differente d = X, -X2 of the means of the two samples of n1 and n2
“1 n2
J
observations respectively.
= 0,Ol on the line n = 1 of table 1 of annex B.
4) The values u1 -cu/2 and ul _ a must be read for a! = 0,05 and a!
“Explanatory notes and examples”.
EXAMPLE : see section two,
13

---------------------- Page: 12 ----------------------
ISO 2854-1976 (E)
TABLE 6’ - Comparison of two means (variances unknown, but may be assumed equal)
The hypothesis of the equality of the variances of the tvvo populations tan be tested as indicated in table G.
of population 1 . . . . . . ., . . . . . . . . . . . . . . . . .
Technica I characteristics (5)
of population 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
I
in population 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Technical characteristics of
in population2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
the Sample items taken (5)
i
insample 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Discarded observations (6)
in Sample 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
l
Size
Sum of the observed values
Sum of the squares of the
observed values
Degrees of freedom V =nl +n2-2=
nl + n2 - 2
Significance level Chosen (8) :
a=
Results
Comparison of the two populations means :
Two-sided case :
The hypothesis of the equality of the means (null hypothesis) is rejected if :
IX, -&I > t, --Q,&4+j
One-sided cases :
The hypothesis that the first mean is not smaller than the second (null hypothesis) is rejected if :
a)
i-, tl -(-&d &j
b) The hypothesis that the first mean is not greater than the second (null hypothesis) is rejected if :
y, >F- + tj w,(v) sd
NOTE - The numbers (51, (6) and (8) refer to the corresponding Paragraphs of the “General remarks”‘.
14

---------------------- Page: 13 ----------------------
ISO 28544976 (E)
Comments
1) The significance level CY (see 5 8 of the “General remarks”) is the probability of rejecting the null hypothesis when this
hypothesis is true.
- 2 degrees of freedom; the value fa (v) is def ined by :
2) t(v) Stands for Student’s variate with v = n1 i- n2
P [t(v) < &Jv)] = QI
Since the distribution of t(v) is symmetrical around Zero, tJv) = - t, -,(v).
We therefore have :
P [t(v) > tJv)] = 1 -0
(v) < t(v) < t, -&,2 (4 = 1 - CI
Wh-Cu2
Probability density of Student’s t(v) with v = “1 + IQ-- 2 degrees of freedom
f(t) f(t)
f(t)
Two-sided case One-sided cases
3) 0; is the estimated Standard deviation of the differente d = X, -x2 of the means of the two samples of nl and n2
observations respectively.
4) The values t 1 -a,2(~) and tl _,(v) are given in table I Ia of annex 5 for Q! = 0,05 and at = 0,Ol.
“Explanatory notes and examples”.
EXAMPLE : see section tvvo,
15

---------------------- Page: 14 ----------------------
ISO 28544976 (E)
TABLE D - Estimation of the differente of two means (variances known)
of population 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Technical characteristics (5)
of population 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Technical characteristics of in population 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
the Sample items taken (5) in population 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
l
in Sample 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Discarded observations (6)
in Sample 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
I
Size
Sum of the observed values
Known values of the variances
of the populations
Confidence level Chosen (7) :
Ul -a/2Od =
l--a!=
Resul ts
Estimation of the differente of the two populations means m, and m2 :
-m2)* =X, -X2 =
(“1
Two-sided confidence interval :
i2) -Ul -a/20d < ml -m2 < (XI -&) + Ul _ a/20d
k, -
One-sided confidence intervals :
-m2 < (Fl
-22) +U,-@d
ml
or -m2 > (Fl --z2) -Ul -@od
m1
NOTE - The numbers (5), (6) and (7) refer to the corresponding Paragraphs of the “General remarks”.
16

---------------------- Page: 15 ----------------------
ISO 28544976 (E)
Comments
1) The confidence level 1 -c1: (see 5 7 of the “General remarks”) is the probability that the calculated confidence interval
covers the true value of the differente between the means.
2) U Stands for the standardized normal variate : the value u, is defined by :
P[U Since the distribution of U is symmetrical around Zero, u, = - u1 -Q.
We therefore have :
P[U>u,]= 1 -a
P[-u,-,,, Probability density of lJ (standardized normal distribution)
One-sided case
Two-sided case
-x2 between the means of the two samples of n1 and
is the Standard deviation of the differente d = 2,
n2 observations respectively.
must be read for a = 0,05 and CY = 0,Ol on the line n = of table 1 of annex B.
4) The values u, _ cuj2 and ul -&
EXAMPLE : see section two, “Explanatory notes and examples”.
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---------------------- Page: 16 ----------------------
ISO 2854-1976 (E)
TABLE D’ - Estimation of the differente of two means (variances unknown, but may be assumed equal)
The hypothesis of the equality sf the variances of the two populations tan be tested as indicated in table G.
sf population 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Technical characteristics (5)
of population 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Technical characteristics of in population 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
in population 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
the Sample items taken (5)
1
in Sample 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Discarded observations (6)
in Sample 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
Size
Sum of the observed values
Sum of the squares of the
observed values
V =nl +n2-2=
Degrees of freedom
Confidence level Chosen (7) :
l--Cl!=
Resul ts
Estimation of the differente of the two populations means ml and m2 :
-n-j*)* =p, -X, =
(“1
Two-sided conf idence interval :
(X, -X,) - tl -&/&d sd < ml -m2 < (21 -KZ) + tl -&v) sd
One-sided confidence intervals :
-m2 < (X, 472) + tJ -,bd $j
l ml
-m2 > (Fl -& - tl&v) sd
or
m1
NOTE - The numbers (5), (6) and (7) refer to the corresponding Paragraphs of the “General remarks”.
18

---------------------- Page: 17 ----------------------
ISO 2854-1976 (E)
Comments
1) The confidence level 1 -a! (see 8 7 of the “General remarks”) is the probability that the calculated confidence interval
covers the true value of the differente between the means.
2 degrees of freedom; the value t,(v) is defined by
2) t(v) Stands for Student’s variate with v = nl + n2 -
P[t(v) Since the distribution of t(v) is symmetrical around Zero, t&) = - tl _ ,(v).
We therefore have :
P[t(v) > tJv)] = 1 -a
< p [- tj - *,2 (4 < t(v) < t, -Q,&4 J = 1 - a
Probability density of Student’s t(v) with v = “1 + 172 - 2 degrees of freedom
t(v)
t,/*(V) = - t1-Q&4
tl --Cu/2 (4
One-sided cases
Two-sided case
-22 between the means of the two samples of nl and n2
3) qZj is the estimated Standard deviation of the differente d = Tl
observations respectively.
t I -a,2(~) and tl -,(v) are given in table I Ia of annex B for Q = 0,05 and cy = 0,Ol.
4) The values
EXAMPLE : see section two, “Explanatory notes and examples”.
19

---------------------- Page: 18 ----------------------
ISO 2854-1976 (E)
TABLE E - Comparison of a wariance or of a Standard deviation with a given walue
Technical characteristics of the population studied (5) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Technical characteristics of the Sample elements (5) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Discarded observations (6) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Statistical data
Sample size :
n=
Sum of the observed values :
cx =
Sum of the squares of the observed values :
cx* =
Given value :
0; =
Degrees of freedom :
v=n-1~
Significance level Chosen (8) :
a=
Results
Comparison of the population variance with the given value CJ$ :
Two-sided case :
The hypothesis that the population variance is equal to the given value (null hypothesis) is rejected if :
c (x -xp
c wP>x2 ( )
< x~,2bl or
i-Q!/2 v
4 0
One-sided cases :
a) The hypothesis that the population variance is not larger than the given value (null hypothesis) is rejected if D
z(x-x)2>x2 ( )
1-a v
4
b) The hypothesis that the population variance is not smaller than the given value (null hypothesis) is rejected if :
c (x -XI2 < x2(v)
CY
0;
NOTE - The numbers (5), (6) and (8) refer to the corresponding Paragraphs of the “General remarks”.

---------------------- Page: 19 ----------------------
ISO 2854-1976 (E)
Comments
1) The significance level a (see 5 8 of the “General remarks”) is the probability of rejecting the null hypothesis when this
hypothesis is true.
x:(v) is defined by
2) x*(v) Stands for the x* variate with v degrees of freedom; the value
p [XW < x; bd] = (2
We therefore have :
P[p(v)>&v)]= 1 -a
P [&*b) Probability density of x*(v) with v = n - 1 degrees of freedom
f(x2) f(x2)
fo?)
Two-si ded case One-sided cases
(v) are given in table Il I of annex B for a = 0,05 and cy = O,Ol.
3) The values xQ(v), XT - ,(v), XG12(v) and X;-a12
EXAMPLE : see section two, “‘Explanatory notes and examples”.
21

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2854-1976 (E)
TABLE F - Estimation sf a wariance or of a Standard dewiation
Technical characteristics sf the population studied (5) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Technical characteristics of the Sample items (5) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Discarded observations (6). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Sample size :
n=
Sum of the observed values :
cx =
Sum of the squares of the observed values :
2x2 =
Degrees of freedom :
-l=
v=n
Confidence level Chosen (7) :
l-a-
Results
Estimation of the population variance 02 :
Two-sided conf idence intervall ) :
2: (x-x)* 2
( 1 x& b-4
XI-cY/2 v
One-sided conf idence intervalsl ) :
x-X)*
W
02 <
XQ (v)
or
** > z (X-W
XT-Jvl
1) The Limits of the confidence intervals of the Standard deviation CJ are the Square roots of the limits of the confidence intervals of the
variance 0*.
NOTE - The numbers (5), (6) and (7) refer to the corresponding Paragraphs of the “General remarks”.
22

---------------------- Page: 21 ----------------------
ISO 2854-1976 (E)
Comments
‘?) The confidence level 1 -a (see 5 7 of the “General remarks”) is the probability that the calculated confidence interval
covers the true value of the variance.
2) x’(v) Stands for the x* variate with v = n - 1 degrees of freedom; the value X:(V) is defined Iby
p [Pb) < XQbl] = a
We therefore have :
p [x2b4 > x;(v)] = 1 -a
(4 < XW) < x: -&/2 (VI] = 1 -a
p IX:,*
Probability density of x*(v) with v = n - 1 degrees of freedom
Two-sided case
One-sided cases
(v) are given in table Ill of annex B for Q = 0,05 and a! = 0,Ol.
3) The values X:(V), x:-Jv)
f x:,, (4 and x:-*,*
‘Explanatory notes and examples”.
EXAMPLE : see section two,
23

---------------------- Page: 22 ----------------------
ISO 2854-1976 (E)
TABLE G - Comparison od two variances or 04 two Standard deviations
of population 3 . a . . . m m . . D . . a . . . . . I . . . . .
Technical characteristics (5)
of population 2 D . II . . S . . . , . . q . . . . . . . . . D .
in population 1 LI . m . . . a . . m . . p . . . . m . . . . . .
Technical characteristics of
in population 2 . . . . . . . . D . m . . . . m . . II m . . . .
the Sample items taken (5)
insample 1. D . a . . . , . . q . m V . . m . n . s . . . . .
Discarded observations (6)
insample . . II . . . . . . . . . , . y m . a . . . a . . .
Statistical data
Size
Sum of the observed values
Sum of the squares sf the
observed va 0 ues
Degrees of freedom
Significance levei Chosen (8) :
o!=
Wesul ts
Comparison sf the population variances :
Tvvo-sided case :
The hypothesis of the equality of the variances (null hypothesis) is rejected if :
s* 1 s*
I< or
2 > Fl - (y/2 (q I y-2)
6 - Cl!/2 (?b VI )
SZ 2
One-sided cases :
a) The hypothesis that the first variance is not greater than the second (null hypothesis) is rejected if :
s2
--p~-Jv~t v,)
2
b) The hypothesis that the first variance is not smaller than the second (null hypothesis) is rejected if :
s* 1
y
F, -ab*, VI 1
2
NOTE - The numbers (51, (6) and (8) refer to the corresponding paragraphs of the “General remarks”.
24

---------------------- Page: 23 ----------------------
ISO 2854-1976 (E)
Comments
1) The significance level Q! (see 5 8 of the “General remarks”) is the probability of rejecting the null hypothesis when this
hypothesis is true.
1 degrees of freedom; the value F, (vl ! ~2) is
2) F(v,, v2) Stands for the variance ratio with vl = 17, - 1 and + = 17~ -
defined by :
We therefore have :
P[F(v,,v*)>F,(v1,t>2)]= l-a!
P[Fa(/*(V,,V2) We also have :
1
F&, 1 v2) =
Fl-&r Vl)
Probability density of F(vl, ~2) with VI = I-I, - 1 and 212 = IQ - 1 degrees of freedom
1
1
-
=
-
Fl --Jv2, yl)-
Fl -cu/2k?J "1)
One-sided cases
Two-sided case
are given in table IV of annex B as functions of the numbers of degrees of freedom, for
3) The values Fl - ai and Fl -cu/2
may be derived as indicated above from the values Fl -Q and Fl -&/2.
a = 0,05 and a = 0,Ol. The values F, and Falz
“Explanatory notes and examples”.
EXAMPLE : see section two,
25

---------------------- Page: 24 ----------------------
ISO 2854-1976 (E)
TABLE H - Estimation of the ratio of two variances or of two standard deviations
of population 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Technical characteristics (5)
sf population 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Technical characteristics of in population 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
the Sample items taken (5) in population2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
insample 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Discarded observations (6)
insample2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Size
Sum of the observed values
Sum of the squares of the
observed values
=n, -1 v2=/72-1
Degrees of freedom
VI
Confidence level Chosen (7) :
1 -a=
Resuits
Estimation of the ratio of the two population variances 0: and O$ :
Twa-sided confidence intervall 1 :
S2
1 s* (7:
J< , Fl (v,. v2) s; 2
-Q!/2
s2
Bne-sided conf idence intervalsl ) :
S2 cJ*
o2 1 S2
1
--$ 2
2 Fl-&,. ~2) s2
s2
2
1) The limits of the confidence intervals of the ratio of the Standard deviations 01 and 02 at-e the Square roots of the limits of the
confidence intervais of the ratio of the variances 01 and 0
$=
NOTE - The numbers (5), (6) and (7) refer to the corresponding Paragraphs of the “General remarks”.
26

---------------------- Page: 25 ----------------------
ISO 2854-1976 (E)
Comments
- CY (see 5 7 of the “General remarks”) is the probability that the calculated confidence interval
1) The confidence level 1
covers the taue value of the ratio of the two variances.
1 degrees of freedom; the value F,(v, , v2) is
2) F(v, , v2) Stands for the variance ratio with vl = 17, - 1 and v2 = 17~ -
defined by :
p [Fb,, v2) < F&, I y2)] = Q!
We therefore have :
P[F(vl,v2) >Fabl,v2)] = 1 -Q
P [Fcu/2(v1 s v2) < UV,, ~~KF,-cu,~b,~ v,)]= 1 -Q
We also have :
1
FJV,, vz) =
Fl-&Pl)
Probabiiity density of Fbl, v$, with VI = “1 - 1 and v2 = 172 - 1 degrees of freedom
f(F)
f(F) f(F)
y2)
0
I
h- a/2(w v2)
b!/2hv2)
1
1
=
=
- ir(v2, v,)
h
Fl -&!/2(V2t vl)
One-sided cases
Two-sided case
3) The values Fl -cy and F l -cu/2 are given in table IV of annex B as functions of the numbers of degrees of freedom,
may be derived from the values Fl -Q! and Fl -cy/2 as indicated above.
for QJ = 0,05 and a = 0,Ol. The values Fey and F,,,
“Explanatory notes and examples”.
EXAMPLE : see section two,
27

---------------------- Page: 26 ----------------------
ISO 2854-1976 (E)
SEC-i-ION I-WO : EXPkANATOl?Y NOTES AND EXAMPLES
Sum of squares of differentes about means, Z(x -i;t)* :
DNTRODUCTQRY RESVIARKS
1,256 365
1) The tables given in section one of this International 1,389 769
Standard set out formally twelve different procedures
Estimates of variance :
which tan be applied to data observed in samples in order
to help answer a variety of questions regarding the larger
= 0,139 60
s2=012634 I
sf 2
population or populations from which it is supposed that
the Sample(s) has (have) been randomly drawn. To add to
the understanding of the more formal presentation given in
2) lt is not suggested that answers to the whole set of
tables A to l-l, the procedures will now be illustrated on
questions would ever be required in a given investigation,
numerical data consisting sf measurements of breaking load
but to simplify the presentation it is convenient to use the
for two samples of yarn. The most important characteristics
same illustrative material in each case. As a result it seems
of the samples are printed beside the observations in
only necessary to illustrate numerically the complete
table X.
formal presentation of the twelve tables in two cases: the
Single-Sample case sf table A and the two-Sample case of
table C.
The unit in which the numerical data and the calculations
results are expressed is the newton.
In general the question or questions to be asked will be
decided upon before the data are analyzed; indeed, it is best
that they should determine the way in which the data are
collected. However, a piot sf the observations which are to
TABLE X - Breaking Load sf yarn (in newtons)
be used in the examples will illustrate the kind of question
(For the me anings of the Symbols, see,
which may be of interest. Some of these are as follows :
for instance, table G)
Allowing for Chance sampl
...

SLOVENSKI STANDARD
SIST ISO 2854:1996
01-september-1996
Statistical interpretation of data - Techniques of estimation and tests relating to
means and variances
Statistical interpretation of data -- Techniques of estimation and tests relating to means
and variances
Interprétation statistique des données -- Techniques d'estimation et tests portant sur des
moyennes et des variances
Ta slovenski standard je istoveten z: ISO 2854:1976
ICS:
03.120.30 8SRUDEDVWDWLVWLþQLKPHWRG Application of statistical
methods
SIST ISO 2854:1996 en
2003-01.Slovenski inštitut za standardizacijo. Razmnoževanje celote ali delov tega standarda ni dovoljeno.

---------------------- Page: 1 ----------------------

ISO 2854-1976 (E)
certain Problems,
9) The calculations tan often be greatly reduced by it may be interesting to pair the
making a Change of origin and/or unit on the data. In the observations (for instance in the comparison of two
case of data classified into groups, reference may be made methods or the comparison of two instruments). The
to the formulae in ISO 2602, Statistical interpretation of statistical treatment of paired observations is the subject of
ISO 3301, Statisticalinterpretation of data - Comparison of
test results - Estimation of the mean - Confidence
two means in the case of paired observations, but in
in tervaf.
annex A an example of treatment of paired observations is
NOTE - A Change of origin may be essential to obtain sufficient
given. It uses formally the data of table A”.
accuracy when calculating a variance using the stated formulae with
a low precision calculator or Computer.
11) The Symbols and their definitions used in this
in tables C and C’ deal International Standard are in conformity with ISO 3207,
IO) The methods shown
with the comparison of two means. They assume that the Statistical interpretation of data - Determination of a
statistical tolerante interval.
corresponding samples are independent. For the study of

---------------------- Page: 2 ----------------------

ISO 2854-1976 (E)
TABLES
A - Comparison of a mean with a given value (variance known)
A’ - Comparison of a mean with a given value (variance unknown)
B - Estimation of a mean (variance known)
B’ - Estimation of a mean (variance unknown)
C - Comparison of two means (variances known)
C’ - Comparison of two means (variances unknown, but may be assumed equal)
D - Estimation of the differente of two means (variances known)
D’ - Estimation of the differente of two means (variances unknown, but may be assumed equal)
E - Comparison of a variance or of a Standard deviation with a given value
F
- Estimation of a variance or of a Standard deviation
G
- Comparison of two variances or two Standard deviations
H - Estimation of the ratio of two variances or of two Standard deviations
3

---------------------- Page: 3 ----------------------

ISO 2854-1976 (E)
TABLE A - Comparison of a mean with a given value (variance known)
Technical characteristics of the population studied (5) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . LI .
Technical characteristics of the Sample items (5) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I .
Discarded observations (6) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Statistical data Calcuiations
Sample size :
n=
Sum of the observed values :
cx =
Given value :
m. =
Known value of the population variance :
02 =
Or Standard deviation :
o=
Significance level Chosen (8) :
Cl!=
Resul ts
Comparison of the population mean with the given value m. :
Two-sided case :
The hypothesis of the equality of the population mean to the given value (null hypothesis) is rejected if :
IX --mol > [Ul -cy,2hh 1 0
One-sided cases :
a) The hypothesis that the population mean is not smaller than m. (null hypothesis) is rejected if :
X o (null hypothesis) ,is rejected if :
b) The hypothesis that the population mean is not greater than m
i>mo+[ul-,lfi]o
NOTE - The numbers (5), (6) and (8) refer to the corresponding Paragraphs of the “General remarks”.

---------------------- Page: 4 ----------------------

ISO 28544976 (E)
Comments
1) The significance level a! (see 5 8 of the “General remarks”) is the probability of rejecting the null hypothesis when this
hypothesis is true.
2) U Stands for the standardized normal variate : the value u, is defined by :
P [U Since the distribution of U is symmetrical around Zero, u, = - u1 _ cy.
We therefore have :
P[U>u,]= 1 -a
P[-u,-,,2 Probabiiity density of U (standardized normal distribution)
One-sided cases
Two-sided case
3) o/fi is the Standard deviation of the mean X, in a Sample of n observations.
t 01,2/fi are given in table 1 of annex 5 for a = 0,05 and
4) For convenience in application, values of u1 -&/fi and u _
a! = 0,Ol.
“Explanatory notes and examples”.
EXAMPLE : see section two,
5

---------------------- Page: 5 ----------------------

ISO 2854-1976 (E)
Comparison of a mean with a given value (variance unknown)
TABLE A’ -
Technical characteristics of the population studied (5) . . . . . . . . . . D . . . . . . . . . . ,
Technical characteristics of the Sample items (5) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Discarded observations (6). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e . . , . . .
Statistical data
Sample size :
n=
C (x - E)2 Zx2 - (Cx)%
Sum of the observed values :
cx =
Sum of the squares of the observed values :
cx2 =
Given value :
m. =
Degrees of freedom :
V =n-1
Significance level Chosen (8) :
Cl=
Resul ts
Comparison of the population mean with the given value m. :
Two-sided case :
The hypothesis of the equality of the population mean to the given value (null hypothesis) is rejected if :
IX --mol > [tl -cy/201fi] s
One-sided cases :
a) The hypothesis that the population mean is not smaller than m. (null hypothesis) is rejected if :
X [t, -&Nfi ] s
b) The hypothesis that the population mean is not greater than m. (null hypothesis) is rejected if :
Z>mo + [tl-JvVfi]s
NOTE - The numbers (5), (6) and (8) refer to the corresponding Paragraphs of the “General remarks”.
6

---------------------- Page: 6 ----------------------

ISO2854-1976(E)
Comments
leve I a (see 5 8 of the “General remarks”) is the probability of rejecting the null hypothesis when this
1) The signif icance
hypothesis is true.
2) t(v) Stands for Student’s variate with v = n - 1 degrees of freedom : the value t,(v) is defined by
P [t(v) < t&)] = Cl
Since the distribution of t(v) is symmetrical around Zero, t,(v) =- tl -,(v).
We therefore have :
P [t(v) > tJv)] = 1 -0
(v) < t(v) < t,-,/2(V)] = 1 -cI1
Wtl-Cu2
Probability density of Student’s t(v) with v = n - 1 degrees of freedom
t1 - & . ’ t&) = - t1 -Q(V)
q44 = - t1 - Q/2M t1 - cy/2(zJ~
Two-sided case One-sided cases
3) o*/fi is the estimated Standard deviation of the mean x, in a Sample of n observations.
4) For convenience in application, values of t, -(~/~(v)/fi and t, - a(v)/fiare given in table I Ib of annex 5 for 0 = 0,05
and CI = 0,Ol
EXAMPLE : see section two, “Explanatory notes and examples”.

---------------------- Page: 7 ----------------------

ISO 2854-1976 (E)
TABLE 5 - Estimation of a mean (variance known)
Technical characteristics of the population studied (5) . . . . . . . . . I . . . U . . = . . . . ~
Technical characteristics of the Sample items (5) . . . . . . . . . . . . . . . e . . . q . . . .
Discarded observations (6) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Sample size :
n=
Sum of the observed values :
cx =
Known value of the population variance :
02 zz
Or Standard deviation :
CJ-
Confidence level Chosen (7) :
Resul ts
Estimation of the population mean m :
Two-sided conf idence interval :
l~]o x-[ul-*/2
One-sided confidence intervals :
m or
NOTE - The numbers (5), (6) and (7) refer to the corresponding Paragraphs of the “General remarks”.

---------------------- Page: 8 ----------------------

ISO 2854-1976 (E)
Comments
1) The confidence level 1 - ~1 (see 5 7 of the “General remarks”) is the probability that the confidence interval covers the
true value of the mean.
2) U Stands for the standardized normal variate : the value u, is defined by :
P [U < ucu] = a!
Since the distribution of U is symmetrical around Zero, u, = - u1 _ Q!
We therefore have :
P[U>uJ= l-a!
pc-u,-a/2
Probability density of U (standardized normal distribution)
Two-sided case One-sided cases
3) Q/G is the Standard deviation of the mean X, in a Sample of n observations.
1 &i2/fi and u1 -&/+ are given in table I sf annex 5 for a = 0,05 and
4) For convenience in application, values of u _
cI1= 0,Ol.
“Explanatory notes and examples”.
EXAMPLE : see section two,

---------------------- Page: 9 ----------------------

ISO 2854-1976 (E)
TABLE B’ - Estimation sf a mean (variance unknown)
Technical characteristics of the population studied (5) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Technical characteristics of the Sample items (5) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . m
Discarded observations (6) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Sample size :
n=
Sum of the observed values :
cx =
Sum of the squares of the observed values :
2x2 =
Degrees of freedom :
v=n--1~
Confidence level Chosen (7) :
[t, -cr,2b)jfi] s =
l--Cl!=
Resul ts
Estimation of the population mean m :
Two-sided conf idence interval :
x-
[t1-01/2bVfi]s~m 07 + [tl-a!2(~)lJGj~
One-sided confidence intervals :
m or
m>F-[t+&)/fi]s
NOTE - The numbers (51, (6) and (7) refer to the corresponding paragraphs of the “General remarks”.
10

---------------------- Page: 10 ----------------------

iSO2854=1976(E)
Comments
1) The confidence level 1 -a (see 3 7 of the “General remarks”) is the probability that the confidence interval covers the
true value of the mean.
2) t(v) Stands for Student’s variate with v degrees of freedom; the value t,(v) is defined by
P [t(v) < t&)] = o!
Since the distribution of t(v) is symmetrical around Zero, t,(v) = - t, _ Jv).
We therefore have :
p [t(v) > t,(v)
(24 < t(v) < t
p I- t1 -d2
Probabiliw density of Student’s t(v).tith v = n - 1 degrees of f reedom
One-sided cases
Two-sided case
a*/& is the estimated Standard deviation of the mean X, in a Sample of n observations.
3)
(v)/fi are given in table Ilb of annex B for
4) For convenience in application, values of t, -@i2(v)/fi and t, -Q1
ct = 0,05 and cy = 0,Ol.
“Explanatory notes and examples”.
EXAMPLE : see section two,

---------------------- Page: 11 ----------------------

ISO 2854-1976 (E)
TABLE C - Comparison of two means (variances known)
of population 1 . . . . . . . . . . s . . . . . . . . . . . . .
Technical characteristics (5)
of population 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
(
Technical characteristics of in population 1 . . . . . . . . . . . ? . . . . . . . P . . . .
the Sample items taken (5) in population 2 . . . . . n . . I . . m . . . . . . . . . . a .
1
in Sample 1 . . . . . . . . . . . . . . . m . . . . . . . . .
Discarded observations (6)
in Sample 2 . . . . . . . D . . . . . . . . I . e . . . . . .
1
Size
Sum of the observed values
Izx, = cx* =
Known values of the variances
of the populations
Significance level Chosen (8) :
a=
Results
Comparison of the two population means :
Two-sided case :
The hypothesis of the equality of the means (null hypothesis) is rejected if :
12, -x,l > q -a,2Q
One-sided cases :
a) The hypothesis that the first mean is not smaller than the second (null hypothesis) is rejected if :
x, c Ji2 - llj -&Jd
b) The hypothesis that the first mean is not greater than the second (null hypothesis) is rejected if :
x, > x2 + Ul --aod
NOTE - The numbers (5), (6) and (8) refer to the corresponding Paragraphs of the “General remarks”.
12

---------------------- Page: 12 ----------------------

ISO 28544976 (E)
Comments
1) The significance level a (see 5 8 of the “General remarks”) is the probability of rejecting the null hypothesis when this
hypothesis is true.
2) U Stands for the standardized normal variate : the value U, is defined by :
Since the distribution of U is symmetrical around Zero, U, = - u1 _ &.
We therefore have :
P[U>u,]= 1 -Q!
P[-u,-a,* Probability density of U (standardized normal distribution)
f(u) f(u)
f(u)
One-sided cases
Two-sided case
o2
o*
3) Od = -J-+-J- is the Standard deviation of the differente d = X, -X2 of the means of the two samples of n1 and n2
“1 n2
J
observations respectively.
= 0,Ol on the line n = 1 of table 1 of annex B.
4) The values u1 -cu/2 and ul _ a must be read for a! = 0,05 and a!
“Explanatory notes and examples”.
EXAMPLE : see section two,
13

---------------------- Page: 13 ----------------------

ISO 2854-1976 (E)
TABLE 6’ - Comparison of two means (variances unknown, but may be assumed equal)
The hypothesis of the equality of the variances of the tvvo populations tan be tested as indicated in table G.
of population 1 . . . . . . ., . . . . . . . . . . . . . . . . .
Technica I characteristics (5)
of population 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
I
in population 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Technical characteristics of
in population2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
the Sample items taken (5)
i
insample 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Discarded observations (6)
in Sample 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
l
Size
Sum of the observed values
Sum of the squares of the
observed values
Degrees of freedom V =nl +n2-2=
nl + n2 - 2
Significance level Chosen (8) :
a=
Results
Comparison of the two populations means :
Two-sided case :
The hypothesis of the equality of the means (null hypothesis) is rejected if :
IX, -&I > t, --Q,&4+j
One-sided cases :
The hypothesis that the first mean is not smaller than the second (null hypothesis) is rejected if :
a)
i-, tl -(-&d &j
b) The hypothesis that the first mean is not greater than the second (null hypothesis) is rejected if :
y, >F- + tj w,(v) sd
NOTE - The numbers (51, (6) and (8) refer to the corresponding Paragraphs of the “General remarks”‘.
14

---------------------- Page: 14 ----------------------

ISO 28544976 (E)
Comments
1) The significance level CY (see 5 8 of the “General remarks”) is the probability of rejecting the null hypothesis when this
hypothesis is true.
- 2 degrees of freedom; the value fa (v) is def ined by :
2) t(v) Stands for Student’s variate with v = n1 i- n2
P [t(v) < &Jv)] = QI
Since the distribution of t(v) is symmetrical around Zero, tJv) = - t, -,(v).
We therefore have :
P [t(v) > tJv)] = 1 -0
(v) < t(v) < t, -&,2 (4 = 1 - CI
Wh-Cu2
Probability density of Student’s t(v) with v = “1 + IQ-- 2 degrees of freedom
f(t) f(t)
f(t)
Two-sided case One-sided cases
3) 0; is the estimated Standard deviation of the differente d = X, -x2 of the means of the two samples of nl and n2
observations respectively.
4) The values t 1 -a,2(~) and tl _,(v) are given in table I Ia of annex 5 for Q! = 0,05 and at = 0,Ol.
“Explanatory notes and examples”.
EXAMPLE : see section tvvo,
15

---------------------- Page: 15 ----------------------

ISO 28544976 (E)
TABLE D - Estimation of the differente of two means (variances known)
of population 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Technical characteristics (5)
of population 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Technical characteristics of in population 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
the Sample items taken (5) in population 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
l
in Sample 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Discarded observations (6)
in Sample 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
I
Size
Sum of the observed values
Known values of the variances
of the populations
Confidence level Chosen (7) :
Ul -a/2Od =
l--a!=
Resul ts
Estimation of the differente of the two populations means m, and m2 :
-m2)* =X, -X2 =
(“1
Two-sided confidence interval :
i2) -Ul -a/20d < ml -m2 < (XI -&) + Ul _ a/20d
k, -
One-sided confidence intervals :
-m2 < (Fl
-22) +U,-@d
ml
or -m2 > (Fl --z2) -Ul -@od
m1
NOTE - The numbers (5), (6) and (7) refer to the corresponding Paragraphs of the “General remarks”.
16

---------------------- Page: 16 ----------------------

ISO 28544976 (E)
Comments
1) The confidence level 1 -c1: (see 5 7 of the “General remarks”) is the probability that the calculated confidence interval
covers the true value of the differente between the means.
2) U Stands for the standardized normal variate : the value u, is defined by :
P[U Since the distribution of U is symmetrical around Zero, u, = - u1 -Q.
We therefore have :
P[U>u,]= 1 -a
P[-u,-,,, Probability density of lJ (standardized normal distribution)
One-sided case
Two-sided case
-x2 between the means of the two samples of n1 and
is the Standard deviation of the differente d = 2,
n2 observations respectively.
must be read for a = 0,05 and CY = 0,Ol on the line n = of table 1 of annex B.
4) The values u, _ cuj2 and ul -&
EXAMPLE : see section two, “Explanatory notes and examples”.
17

---------------------- Page: 17 ----------------------

ISO 2854-1976 (E)
TABLE D’ - Estimation of the differente of two means (variances unknown, but may be assumed equal)
The hypothesis of the equality sf the variances of the two populations tan be tested as indicated in table G.
sf population 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Technical characteristics (5)
of population 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Technical characteristics of in population 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
in population 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
the Sample items taken (5)
1
in Sample 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Discarded observations (6)
in Sample 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
Size
Sum of the observed values
Sum of the squares of the
observed values
V =nl +n2-2=
Degrees of freedom
Confidence level Chosen (7) :
l--Cl!=
Resul ts
Estimation of the differente of the two populations means ml and m2 :
-n-j*)* =p, -X, =
(“1
Two-sided conf idence interval :
(X, -X,) - tl -&/&d sd < ml -m2 < (21 -KZ) + tl -&v) sd
One-sided confidence intervals :
-m2 < (X, 472) + tJ -,bd $j
l ml
-m2 > (Fl -& - tl&v) sd
or
m1
NOTE - The numbers (5), (6) and (7) refer to the corresponding Paragraphs of the “General remarks”.
18

---------------------- Page: 18 ----------------------

ISO 2854-1976 (E)
Comments
1) The confidence level 1 -a! (see 8 7 of the “General remarks”) is the probability that the calculated confidence interval
covers the true value of the differente between the means.
2 degrees of freedom; the value t,(v) is defined by
2) t(v) Stands for Student’s variate with v = nl + n2 -
P[t(v) Since the distribution of t(v) is symmetrical around Zero, t&) = - tl _ ,(v).
We therefore have :
P[t(v) > tJv)] = 1 -a
< p [- tj - *,2 (4 < t(v) < t, -Q,&4 J = 1 - a
Probability density of Student’s t(v) with v = “1 + 172 - 2 degrees of freedom
t(v)
t,/*(V) = - t1-Q&4
tl --Cu/2 (4
One-sided cases
Two-sided case
-22 between the means of the two samples of nl and n2
3) qZj is the estimated Standard deviation of the differente d = Tl
observations respectively.
t I -a,2(~) and tl -,(v) are given in table I Ia of annex B for Q = 0,05 and cy = 0,Ol.
4) The values
EXAMPLE : see section two, “Explanatory notes and examples”.
19

---------------------- Page: 19 ----------------------

ISO 2854-1976 (E)
TABLE E - Comparison of a wariance or of a Standard deviation with a given walue
Technical characteristics of the population studied (5) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Technical characteristics of the Sample elements (5) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Discarded observations (6) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Statistical data
Sample size :
n=
Sum of the observed values :
cx =
Sum of the squares of the observed values :
cx* =
Given value :
0; =
Degrees of freedom :
v=n-1~
Significance level Chosen (8) :
a=
Results
Comparison of the population variance with the given value CJ$ :
Two-sided case :
The hypothesis that the population variance is equal to the given value (null hypothesis) is rejected if :
c (x -xp
c wP>x2 ( )
< x~,2bl or
i-Q!/2 v
4 0
One-sided cases :
a) The hypothesis that the population variance is not larger than the given value (null hypothesis) is rejected if D
z(x-x)2>x2 ( )
1-a v
4
b) The hypothesis that the population variance is not smaller than the given value (null hypothesis) is rejected if :
c (x -XI2 < x2(v)
CY
0;
NOTE - The numbers (5), (6) and (8) refer to the corresponding Paragraphs of the “General remarks”.

---------------------- Page: 20 ----------------------

ISO 2854-1976 (E)
Comments
1) The significance level a (see 5 8 of the “General remarks”) is the probability of rejecting the null hypothesis when this
hypothesis is true.
x:(v) is defined by
2) x*(v) Stands for the x* variate with v degrees of freedom; the value
p [XW < x; bd] = (2
We therefore have :
P[p(v)>&v)]= 1 -a
P [&*b) Probability density of x*(v) with v = n - 1 degrees of freedom
f(x2) f(x2)
fo?)
Two-si ded case One-sided cases
(v) are given in table Il I of annex B for a = 0,05 and cy = O,Ol.
3) The values xQ(v), XT - ,(v), XG12(v) and X;-a12
EXAMPLE : see section two, “‘Explanatory notes and examples”.
21

---------------------- Page: 21 ----------------------

2854-1976 (E)
TABLE F - Estimation sf a wariance or of a Standard dewiation
Technical characteristics sf the population studied (5) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Technical characteristics of the Sample items (5) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Discarded observations (6). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Sample size :
n=
Sum of the observed values :
cx =
Sum of the squares of the observed values :
2x2 =
Degrees of freedom :
-l=
v=n
Confidence level Chosen (7) :
l-a-
Results
Estimation of the population variance 02 :
Two-sided conf idence intervall ) :
2: (x-x)* 2
( 1 x& b-4
XI-cY/2 v
One-sided conf idence intervalsl ) :
x-X)*
W
02 <
XQ (v)
or
** > z (X-W
XT-Jvl
1) The Limits of the confidence intervals of the Standard deviation CJ are the Square roots of the limits of the confidence intervals of the
variance 0*.
NOTE - The numbers (5), (6) and (7) refer to the corresponding Paragraphs of the “General remarks”.
22

---------------------- Page: 22 ----------------------

ISO 2854-1976 (E)
Comments
‘?) The confidence level 1 -a (see 5 7 of the “General remarks”) is the probability that the calculated confidence interval
covers the true value of the variance.
2) x’(v) Stands for the x* variate with v = n - 1 degrees of freedom; the value X:(V) is defined Iby
p [Pb) < XQbl] = a
We therefore have :
p [x2b4 > x;(v)] = 1 -a
(4 < XW) < x: -&/2 (VI] = 1 -a
p IX:,*
Probability density of x*(v) with v = n - 1 degrees of freedom
Two-sided case
One-sided cases
(v) are given in table Ill of annex B for Q = 0,05 and a! = 0,Ol.
3) The values X:(V), x:-Jv)
f x:,, (4 and x:-*,*
‘Explanatory notes and examples”.
EXAMPLE : see section two,
23

---------------------- Page: 23 ----------------------

ISO 2854-1976 (E)
TABLE G - Comparison od two variances or 04 two Standard deviations
of population 3 . a . . . m m . . D . . a . . . . . I . . . . .
Technical characteristics (5)
of population 2 D . II . . S . . . , . . q . . . . . . . . . D .
in population 1 LI . m . . . a . . m . . p . . . . m . . . . . .
Technical characteristics of
in population 2 . . . . . . . . D . m . . . . m . . II m . . . .
the Sample items taken (5)
insample 1. D . a . . . , . . q . m V . . m . n . s . . . . .
Discarded observations (6)
insample . . II . . . . . . . . . , . y m . a . . . a . . .
Statistical data
Size
Sum of the observed values
Sum of the squares sf the
observed va 0 ues
Degrees of freedom
Significance levei Chosen (8) :
o!=
Wesul ts
Comparison sf the population variances :
Tvvo-sided case :
The hypothesis of the equality of the variances (null hypothesis) is rejected if :
s* 1 s*
I< or
2 > Fl - (y/2 (q I y-2)
6 - Cl!/2 (?b VI )
SZ 2
One-sided cases :
a) The hypothesis that the first variance is not greater than the second (null hypothesis) is rejected if :
s2
--p~-Jv~t v,)
2
b) The hypothesis that the first variance is not smaller than the second (null hypothesis) is rejected if :
s* 1
y
F, -ab*, VI 1
2
NOTE - The numbers (51, (6) and (8) refer to the corresponding paragraphs of the “General remarks”.
24

---------------------- Page: 24 ----------------------

ISO 2854-1976 (E)
Comments
1) The significance level Q! (see 5 8 of the “General remarks”) is the probability of rejecting the null hypothesis when this
hypothesis is true.
1 degrees of freedom; the value F, (vl ! ~2) is
2) F(v,, v2) Stands for the variance ratio with vl = 17, - 1 and + = 17~ -
defined by :
We therefore have :
P[F(v,,v*)>F,(v1,t>2)]= l-a!
P[Fa(/*(V,,V2) We also have :
1
F&, 1 v2) =
Fl-&r Vl)
Probability density of F(vl, ~2) with VI = I-I, - 1 and 212 = IQ - 1 degrees of freedom
1
1
-
=
-
Fl --Jv2, yl)-
Fl -cu/2k?J "1)
One-sided cases
Two-sided case
are given in table IV of annex B as functions of the numbers of degrees of freedom, for
3) The values Fl - ai and Fl -cu/2
may be derived as indicated above from the values Fl -Q and Fl -&/2.
a = 0,05 and a = 0,Ol. The values F, and Falz
“Explanatory notes and examples”.
EXAMPLE : see section two,
25

---------------------- Page: 25 ----------------------

ISO 2854-1976 (E)
TABLE H - Estimation of the ratio of two variances or of two standard deviations
of population 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Technical characteristics (5)
sf population 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Technical characteristics of in population 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
the Sample items taken (5) in population2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
insample 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Discarded observations (6)
insample2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Size
Sum of the observed values
Sum of the squares of the
observed values
=n, -1 v2=/72-1
Degrees of freedom
VI
Confidence level Chosen (7) :
1 -a=
Resuits
Estimation of the ratio of the two population variances 0: and O$ :
Twa-sided confidence intervall 1 :
S2
1 s* (7:
J< , Fl (v,. v2) s; 2
-Q!/2
s2
Bne-sided conf idence intervalsl ) :
S2 cJ*
o2 1 S2
1
--$ 2
2 Fl-&,. ~2) s2
s2
2
1) The limits of the confidence intervals of the ratio of the Standard deviations 01 and 02 at-e the Square roots of the limits of the
confidence intervais of the ratio of the variances 01 and 0
$=
NOTE - The numbers (5), (6) and (7) refer to the corresponding Paragraphs of the “General remarks”.
26

---------------------- Page: 26 ----------------------

ISO 2854-1976 (E)
Comments
- CY (see 5 7 of the “General remarks”) is the probability that the calculated confidence interval
1) The confidence level 1
covers the taue value of the ratio of the two variances.
1 degrees of freedom; the value F,(v, , v2) is
2) F(v, , v2) Stands for the variance ratio with vl = 17, - 1 and v2 = 17~ -
defined by :
p [Fb,, v2) < F&, I y2)] = Q!
We therefore have :
P[F(vl,v2) >Fabl,v2)] = 1 -Q
P [Fcu/2(v1 s v2) < UV,, ~~KF,-cu,~b,~ v,)]= 1 -Q
We also have :
1
FJV,, vz) =
Fl-&Pl)
Probabiiity density of Fbl, v$, with VI = “1 - 1 and v2 = 172 - 1 degrees of freedom
f(F)
f(F) f(F)
y2)
0
I
h- a/2(w v2)
b!/2hv2)
1
1
=
=
- ir(v2, v,)
h
Fl -&!/2(V2t vl)
One-sided cases
Two-sided case
3) The values Fl -cy and F l -cu/2 are given in table IV of annex B as functions of the numbers of degrees of freedom,
may be derived from the values Fl -Q! and Fl -cy/2 as indicated above.
for QJ = 0,05 and a = 0,Ol. The values Fey and F,,,
“Explanatory notes and examples”.
EXAMPLE : see section two,
27

---------------------- Page: 27 ----------------------

ISO 2854-1976 (E)
SEC-i-ION I-WO : EXPkANATOl?Y NOTES AND EXAMPLES
Sum of squares of differentes about means, Z(x -i;t)* :
DNTRODUCTQRY RESVIARKS
1,256 365
1) The tables given in section one of this International 1,389 769
Standard set out formally twelve different procedures
Estimates of variance :
which tan be applied to data observed in samples in order
to help answer a variety of questions regarding the larger
= 0,139 60
s2=012634 I
sf 2
population or populations from which it is supposed that
the Sample(s) has (have) been randomly drawn. To add to
the understanding of the more formal presentation given in
2) lt is not suggested that answers to the whole set of
tables A to l-l, the procedures will now be illustrated on
questions would ever be required in a given investigation,
numerical data consisting sf measurements of breaking load
but to simplify the presentation it is convenient to use the
for two samples of yarn. The most important characteristics
same illustrative material in each case. As a result it seems
of the samples are printed beside the observations in
only necessary to illustrate
...

2854
NORME INTERNATIONALE _
INTERNATIONAL ORGANIZATION FOR STANDARDIZATION l MEXfiYHAPOAHASI OPTAHM3ALWI l-I0 CTAHAAPTM3AWGi *ORGANISATION INTERNATIONALE DE NORMALISATION
Interprétation statistique des données - Techniques
d’estimation et tests portant sur des moyennes et
des variantes
Sta tistical in terpre ta tion of data - Techniques of estimation and tests relating to means and
variantes
Première édition - 1976-02-15
Réf. no : ISO 2854-1976 (F)
CDU 519.28
Descripteurs : analyse statistique, essai statistique, estimation, moyenne mathématique, variante.
Prix basé sur 46 pages

---------------------- Page: 1 ----------------------
AVANT-PROPOS
L’ISO (Organisation Internationale de Normalisation) est une fédération mondiale
d’organismes nationaux de normalisation (Comités Membres ISO). L’élaboration de
Normes Internationales est confiée aux Comités Techniques ISO. Chaque Comité
Membre intéressé par une étude a le droit de faire partie du Comité Technique
correspondant. Les organisations internationales, gouvernementales et non
gouvernementales, en liaison avec I’ISO, participent également aux travaux.
Les Projets de Normes Internationales adoptés par les Comités Techniques sont
soumis aux Comités Membres pour approbation, avant leur acceptation comme
Normes Internationales par le Conseil de I’ISO.
La Norme Internationale ISO 2854 a été établie par le Comité Technique
ISO/TC 69, Application des méthodes statistiques, et soumise aux Comités
Membres en octobre 1973.
Elle a été approuvée par les Comités Membres des pays suivants :
Afrique du Sud, Rép. d’ Hongrie Roumanie
Allemagne Inde Royaume-Uni
Israël
Australie Suisse
Belgique Italie
Tchécoslovaquie
Brési I
Japon Thaïlande
Bulgarie Nouvelle-Zélande Turquie
Égypte, Rép. arabe d’ Pays-Bas U.R.S.S.
France Pologne Yougoslavie
Les Comités Membres des pays suivants ont désapprouvé le
document pour des
raisons techniques :
Suède
U.S.A.
0 Organisation Internationale de Normalisation, 1976 l
Imprimé en Suisse

---------------------- Page: 2 ----------------------
SOMMAI RE
Page
SECTION UN : PRÉSENTATION DES CALCULS
- Remarques générales . 1
- Tableaux . 3
MOYENNES
Variante
connue inconnue
Comparaison d’une moyenne à une valeur donnée
A A’
Estimation d’une moyenne
B B’
Comparaison de deux moyennes
C C’
Estimation de la différence de deux moyennes
D D’
VARIANCES
.
Comparaison d’une variante à une valeur donnée
E
Estimation d’une variante F
Comparaison de deux variantes
G
Estimation du rapport de deux variantes H
SECTION DEUX : NOTES EXPLICATIVES ET EXEMPLES
- Remarques introductives . . . . . . . . . . . . . . . 28
- Exemples numériques . . . . . . . . . . . . . . . . 34
ANNEXES
A Comparaison d’observations appariées à l’aide du
test de Student . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
41
B Tables statistiques . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . .
III

---------------------- Page: 3 ----------------------
Page blanche

---------------------- Page: 4 ----------------------
ISO 28544976 (F)
NORME INTERNATIONALE
--
Interprétation statistique des données - Techniques
d’estimation et tests portant sur des moyennes et
des variantes
SECTION UN : PRÉSENTATION DES CALCULS
REMARQUES GÉNÉRALES Si l’on désire réellement une estimation de la moyenne ou
de l’écart-type de la variable X elle-même, alors peu importe
1) La présente Norme Internationale spécifie les
que la distribution de la population soit normale ou non,
techniques permettant, à partir d’échantillons :
une estimation sans biais de la moyenne m et de la variante
02 de la population est fournie par la moyenne X et la
a) d’estimer la moyenne ou la variante de populations;
caractéristique s* de l’échantillon.
b) d’examiner certaines hypothèses concernant la
valeur de ces paramètres.
5) II est souhaitable d’accompagner chaque opération
statistique de toutes indications relatives à l’origine ou à la
2) Les techniques utilisées ne sont applicables que si l’on
méthode de prélèvement des données susceptibles d’éclairer
peut admettre que, dans chaque population considérée, les
leur analyse statistique, notamment l’unité ou la fraction
individus de l’échantillon ont été prélevés au hasard et sont
d’unité de mesure la plus petite ayant une signification
indépendants. Dans le cas d’une population finie, des
pratique.
individus prélevés au hasard peuvent être considérés comme
indépendants si l’effectif de la population est suffisamment
6) II ne peut être procédé à l’élimination ou à la correction
élevé, ou si le taux d’échantillonnage est suffisamment petit
individuelles apparemment
éventuelle de données
(par exemple inférieur à l/lO).
douteuses, que s’il existe des raisons expérimentales,
3) La distribution du caractère étudié est supposée
techniques ou évidentes, permettant une justification
normale dans chaque population. Cependant, si la circonstanciée de cette élimination ou de cette correction.
distribution ne s’écarte pas trop de la normale, les Dans tous les cas, les données éliminées ou corrigées doivent
techniques décrites restent suffisamment valables pour la être mentionnées, ainsi que les raisons de leur élimination
plupart des applications pratiques, à condition que l’effectif ou de leur correction.
de l’échantillon ne soit pas trop petit. Pour les tableaux A,
B, C et D, l’effectif de l’échantillon devrait être de l’ordre
7) Dans les problèmes d’estimation, le niveau de confiance
de 5 à 10 au minimum; pour tous les autres tableaux, il
1 -Q! est la probabilité pour que l’intervalle de confiance
devrait être de l’ordre de 20 au minimum.’ )
renferme la vraie valeur du paramètre estimé. Ses valeurs les
plus usuelles sont 0,95 et 0,99, soit a! = 0,05 et 0! = 0,Ol.
4) Un certain nombre de techniques permettent de vérifier
l’hypothèse de normalité. Celles-ci feront l’objet d’exemples
8) Dans les problèmes de tests d’hypothèse, le niveau de
numériques dans la section deux, et d’un document séparé
signification a est,
Mais, dans bien des cas, cette dans le cas de tests bilatéraux, la
(encore à préparer).
probabilité de rejeter l’hypothèse nulle (ou hypothèse
hypothèse peut être admise en fonction d’informations
testée) lorsque cette hypothèse est vraie (erreur de première
autres que celles fournies par les échantillons eux-mêmes.
espèce); dans le cas des tests unilatéraux, le niveau de
Dans le cas où l’hypothèse de normalité devrait être rejetée,
signification est la valeur maximale de cette probabilité
il semble que la marche à suivre appropriée serait de faire
(valeur maximale de l’erreur de première espèce). Ses valeurs
appel à des tests non paramétriques ou d’utiliser des
les plus usuelles sont o! = 0,05 (1 chance sur 20) et 0,Ol
transformations permettant de retrouver des populations
(1 chance sur IOO), suivant le risque que l’utilisateur
normales (par exemple I/x, log(x + a), 4xX, etc.), mais
les conclusions obtenues en appliquant les procédures accepte de prendre. Étant donné qu’une hypothèse peut
être rejetée en utilisant 0! =
décrites dans la présente Norme Internationale ne seront 0,05, mais acceptée en utilisant
directement valables que pour la variable transformée; leur O,Ol, il est souvent indiqué d’utiliser la phrase ((l’hypothèse
transposition à la variable initiale exige des précautions. Par est rejetée au niveau 5 %)) ou, si c’est le cas, «au niveau 1 %».
exemple, exp(moyenne logx) est égale à la moyenne L’attention est attirée sur l’existence d’une erreur de
géométrique de x et non pas à la moyenne arithmétique. deuxième espèce, erreur qui est commise lorsqu’on accepte
1) Des études concernant la normalité des distributions sont en cours au sein du TC 69/SC 2.

---------------------- Page: 5 ----------------------
ISO 2854-1976 (F)
l’hypothèse nulle alors que celle-ci est fausse. Les termes supposent que les échantillons correspondants sont
relatifs aux tests statistiques sont définis dans le chapitre 2 indépendants. Pour l’étude de certains problèmes, on peut
de I’ISO 3534, Statistique - Vocabulaire’). avoir intérêt à apparier les observations (par exemple dans
la comparaison de deux méthodes ou la comparaison de
deux instruments).
9) Les calculs peuvent souvent être fortement simplifiés en Le traitement statistique des
observations appariées
effectuant sur les données un changement d’origine et/ou fait l’objet de I’ISO 3301,
d’unité. Dans le cas d’observations classées par groupes, on Interprétation statistique des données - Comparaison de
deux moyennes dans le cas d’observations appariées, mais,
peut se référer aux formules de I’ISO 2602, lnterprétation
dans l’annexe A, un exemple de traitement d’observations
statistique de résultats d’essais - Estimation de la
appariées est donné. II utilise formellement les données du
moyenne - Intervalle de confiance.
tableau A’.
NOTE - Un changement d’origine est essentiel pour obtenir une
précision suffisante quand la variante est calculée selon la formule
proposée, à l’aide d’un calculateur de faible précision. 11) Les symboles et leur définition utilisés dans la
présen te Norme Internationale sont conformes à
10) Les méthodes indiquées dans les tableaux C et C’ VIS0 3207, Interprétation statistique des données -
concernent la comparaison de deux moyennes. Elles
Détermination d’un in tervale statistique de dispersion.
1) Actuellement au stade de projet.
2

---------------------- Page: 6 ----------------------
ISO 2854-1976 (F)
.
TABLEAUX
A - Comparaison d’une moyenne à une valeur donnée (variante connue)
A’ -
Comparaison d’une moyenne à une valeur donnée (variante inconnue)
Estimation d’une moyenne (variante connue)
B -
Estimation d’une moyenne (variante inconnue)
B’ -
c -
Comparaison de deux moyennes (variantes connues)
c’ -
Comparaison de deux moyennes (variantes inconnues, mais présumées égales)
D - Estimation de la différence de deux moyennes (variantes connues)
D’ - Estimation de la différence de deux moyennes (variantes inconnues, mais présumées égales)
E - Comparaison d’une variante ou d’un écart-type à une valeur donnée
F - Estimation d’une variante ou d’un écart-type
G - Comparaison de deux variantes ou de deux écarts-types
H - Estimation du rapport de deux variantes ou de deux écarts-types

---------------------- Page: 7 ----------------------
ISO 2854-1976 (F)
TABLEAU A - Comparaison d’une moyenne à une valeur donnée (variante connue)
Caractéristiques techniques de la population étudiée (5) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Caractéristiques techniques des individus prélevés (5) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Observations éliminées (6) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Données statistiques Calculs
CX
,-F------z
Effectif de l’échantillon :
n
n=
Somme des valeurs observées :
xx =
Valeur donnée :
m. =
Valeur connue de la variante de la population :
02 zz
D’où l’écart-type :
CT-
Niveau de signification choisi (8) :
cl!=
Résultats
Comparaison de la moyenne de la population à la valeur donnée m.
Cas bilatéral :
L’hypothèse de l’égalité de la moyenne de la population à la valeur donnée (hypothèse nulle) est rejetée si l’on a :
Ix’-moI>[u,-a,*lfi]~
Cas unilatéraux :
a) L’hypothèse selon laquelle la moyenne de la population n’est pas inférieure à m. (hypothèse nulle) est rejetée
si l’on a :
i Lu, -- CYG 1 (J
b) L’hypothèse selon laquelle la moyenne de la population n’est pas supérieure à m. (hypothèse nulle) est rejetée
si l’on a :
F>mo + [u,--&/F] 0
NOTE - Les références (51, (6) et (8) renvoient aux paragraphes correspondants des ((Remarques générales)).
4

---------------------- Page: 8 ----------------------
ISO 28544976 (F)
.
Commentaires
1) Le niveau de signification cy (voir § 8 des «Remarques générales») est la probabilité de rejeter l’hypothèse nulle lorsque
cette hypothèse est vraie.
2) U désigne la variable normale réduite; la valeur u, est définie par :
P[U La loi de U étant symétrique par rapport à l’origine, u, = - u1 -&.
On a donc :
P[U>u,l= 1 -a
P[-u,-,,* Loi de U (loi normale réduite)
Cas unilatéraux
Cas bilatéral
3) o/fi est l’écart-type de la moyenne X, dans un échantillon de n observations.
4) Pour la commodité des calculs, les valeurs de u1 _ cy/fi et u 1 -Q,2/fisont données dans la table 1 de l’annexe B, pour
a = 0‘05 et cI1= 0‘01.
EXEMPLE : voir section deux, «Notes explicatives et exemples».

---------------------- Page: 9 ----------------------
ISO 28544976 (F)
Comparaison d’une moyenne à une valeur donnée (variante inconnue)
TABLEAU A’ -
Caractéristiques techniques de la population étudiée (5) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Caractéristiques techniques des individus prélevés (5) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Observations éliminées (6) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ,
Calculs
Données statistiques
ZX
j+-.--=
Effectif de l’échantillon :
n
n=
Somme des valeurs observées : 2 (x -X)2 Xx2 - (Cx)W7
- =
n-l n-l
Izx =
z (x--Z)2
(-J*=p
Somme des carrés des valeurs observées :
n-l =
J-
zx2 =
Valeur donnée : [t, -&Vfi]s=
m. =
Degrés de I iberté :
v=n-J=
[t, -~,2(v)l&j s =
N iveau de signification choisi (8) :
a=
Résultats
Comparaison de la moyenne de la population à la valeur donnée m. :
Cas bilatéral :
L’hypothèse de l’égalité de la moyenne de la population à la valeur donnée (hypothèse nulle) est rejetée si l’on a :
IX--mol > [tl-a,2(VVfi]s
Cas unilatéraux :
a) L’hypothèse selon laquelle la moyenne de la population n’est pas inférieure à m. (hypothèse nulle) est rejet&
si l’on a :
Z b) L’hypothèse selon laquelle la moyenne de la population n’est pas supérieure à m. (hypothèse nulle) est rejet&
si l’on a :
X> m. + [t, -,(v)lfi] s
Les références (5), (6) et (8) renvoient aux paragraphes correspondants des «Remarques générales» l
NOTE -
6

---------------------- Page: 10 ----------------------
ISO 28544976 (F)
.
Commentaires
1) Le niveau de signification Q! (voir 9 8 des ((Remarques générales))) est la probabilité de rejeter l’hypothèse nulle lorsque
cette hypothèse est vraie.
1 degré de liberté; la valeur t,(v) est définie par :
2) t(v) désigne la variable de Student à Y = n -
P [t(v) < t&)] = a
La loi de t(v) étant symétrique par rapport à l’origine’ t,(v) = - t, -,(v).
On a donc :
P [t(v) > tJv)] = 1 -a
(24 < t(v) < t, -(3/2(V)] = 1 -a
W-h-a/2
Loi t(v) de Student à v = n - 1 degrés de liberté
Cas unilatéraux
Cas bilat&al
3) a*/fiest l’écart-type estimé de la moyenne yf dans un échantillon de n observations.
(v)/&ont données dans la table Ilb de l’annexe B,
4) Pour la commodité des calculs, les valeurs de t, - (u,2(~)/& et t, - cy
pour a! = Of05 et ci = 0’01.
EXEMPLE : voir section deux, «Notes explicatives et exemples».
7

---------------------- Page: 11 ----------------------
ISO 28544976 (F)
TABLEAU B - Estimation d’une moyenne (variante connue)
Caractéristiques techniques de la population étudiée (5) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Caractéristiques techniques des individus prélevés (5) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Observations éliminées (6) . . . . . . . . . . . . , . . . . . . . . . . . . . , . . . . .
Calculs
Données statistiques
x cx
z.z-=
Effectif de l’échantillon :
n
n=
Somme des valeurs observées : [u, -,lfi] 0 =
I=x =
Valeur connue de la variante de la population :
(J2 =
l-Q!/2 n o=
Lu u-1
D’où l’écart-type :
o-
Niveau de confiance choisi (7) :
l--a=
Résultats
Estimation de la moyenne m de la population :
m*=~=
Intervalle de confiance bilatéral :
i~]o z-[“1-cu/2
Intervalles de confiance unilatéraux :
m<~+[u,~al~]o
ou m>F--[u,-&iY]o
NOTE - Les références (5), (6) et (7) renvoient aux paragraphes correspondants des ((Remarques générales)).
8

---------------------- Page: 12 ----------------------
60 2854-1976 (F)
.
Commentaires
1) Le niveau de confiance 1 - cy (voir § 7 des «Remarques générales))) est la probabilité pour que l’intervalle de confiance
calculé renferme la valeur vraie de la moyenne.
2) U désigne la variable normale réduite; la valeur u, est définie par :
P[U La loi de U étant symétrique par rapport à l’origine’ u, = - u1 -&.
P[U>u,]= 1 -A!
On a donc :
P[-u,-,,, Loi de lJ (loi normale réduite)
f(u) f(u) f(u)
Cas bilatéral Cas unilatéraux
3) CJ/& est l’écart-type de la moyenne X, dans un échantillon de n observations.
n sont données dans la table I de l’annexe B, pour
4) Pour la commodité des calculs, les valeurs de u1 -ar,2/fiet u1 _ &f
a= Of05 et = 0’01.
EXEMPLE : voir section deux, «Notes explicatives et exemples».

---------------------- Page: 13 ----------------------
ISO 2854-1976 (F)
TABLEAU B’ - Estimation d’une moyenne (variante inconnue)
Caractéristiques techniques de la population étudiée (5) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Caractéristiques techniques des individus prélevés (5) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Observations éliminées (6) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
\
Données statistiques Calculs
x xx
Z----E
Effectif de l’échantillon :
n
n=
C (x - X)2 Xx2 - (Zx)Vn
Somme des valeurs observées :
n-l = n-l =
XX=
Somme des carrés des valeurs observées :
xx2 =
Degrés de liberté :
v=n-j=
Niveau de confiance choisi (7) : [t, -~,2w47] s =
1 -a=
Résultats
Estimation de la moyenne m de la population :
m*=x=
Intervalle de confiance bilatéral :
x- [tl-a/2bV~]~~m intervalles de confiance unilatéraux :
m ou m>F-[t,-Ju)/&]s
Les références (5), (6) et (7) renvoient aux paragraphes correspondants des ((Remarques générales)).
NOTE -
10

---------------------- Page: 14 ----------------------
ISO 2854-1976 (F)
.
Commentaires
1) Le niveau de confiance 1 - a! (voir 3 7 des «Remarques générales») est la probabilité pour que l’intervalle de confiance
calculé renferme la valeur vraie de la moyenne.
2) t(v) désigne la variable de Student à v = n - 1 degrés de liberté; la valeur t,(v) est définie par :
P [t(v) < t&(v)] = a
La loi de t(v) étant symétrique par rapport à l’origine, t,(v) = - tl -,(v).
On a donc :
P [t(v) > ta!(v)] = 1 -a
P [- t1 -a/2 (24 < t(v) < t1 -a/2 bd] = 1 - CY
Loi t(v) de Student à Y = n - 1 degrés de liberté
f(t) f(t) f(t)
w t(v)
t(v)
t,(v) = - t1 - ,b)
= - t1 - ()/2(V)
Cas unilatéraux
Cas bilathal
3) o*/G est l’écart-type estimé de la moyenne X, dans un échantillon de n observations.
(v)/fiet tl - ,(v)/fisont données dans la table I lb de l’annexe B,
4) Pour la commodité des calculs, les valeurs de tl - cu/2
pour cz = 0,05 et a = 0,Ol.
EXEMPLE : voir section deux, «Notes explicatives et exemples».
11

---------------------- Page: 15 ----------------------
ISO 28544976 (F)
TABLEAU C - Comparaison de deux moyennes (variantes connues)
de la population 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Caractéristiques techniques (5)
de la population 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Caractéristiques techniques des dans la population 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I .
individus prélevés (5) dans la population 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
(
de l’échantillon 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Observations éliminées (6)
de l’échantillon 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
(
Calculs
Données statistiques
Premier Second
XX1
z-c
échantillon échantillon
Xl
n1
Effectif nî = n2 =
ZX
2
ZZZ-----ZZZ
zx2 =
Somme des valeurs observées xx1 =
x,
n2
Valeurs connues des variantes
o2
o2
1+2=
o2
des populations a2 od =
2=
1=
J-
n1 n2
Niveau de signification ul -a od =
choisi (8) :
h -a/2Od =
a=
Résultats
Comparaison des moyennes des deux populations :
Cas bilatéral :
L’hypothèse de l’égalité des moyennes (hypothèse nulle) est rejetée si l’on a :
Cas unilatéraux :
a) L’hypothèse selon laquelle la première moyenne n’est pas inférieure à la seconde (hypothèse nulle) est rejetée
si l’on a :
Xl - u1 -a?d
b) L’hypothèse selon laquelle la première moyenne n’est pas supérieure à la seconde (hypothèse nulle) est rejetée
,
si l’on a :
NOTE - Les références (5), (6) et (8) renvoient aux paragraphes correspondants des ((Remarques générales)).
12

---------------------- Page: 16 ----------------------
ISO 2854-1976 (F)
Commentaires
1) Le niveau de signification a (voir 5 8 des ((Remarques générales))) est la probabilité de rejeter l’hypothèse nulle lorsque
cette hypothèse est vraie.
2) U désigne la variable normale réduite; la valeur u, est définie par :
P[U La loi de U étant symétrique par rapport à l’origine, u, = - u1 _ ûrm
On a donc :
P[U>u,]= 1 -a
p bJl-a/2
Loi de U (loi normale réduite)
f(u) f(u)
f(u)
L-
hu. J
0
U
=-Ul-Q
Ul-Ot %!
Cas unilatéraux
Cas bilatéral
CI2 a2
3) (Jd ZZZ. 2+2
---x2 des moyennes des deux échantillons, de respectivement nl et
est l’écart-type de la différence d = xl
Il
n1 n2
n2 observations.
= 1 de la table 1 de l’annexe B.
4) Les valeurs de u, _ ar/2 et u1 _ cy se lisent, pour c! = 0,05 et Q! = O,Ol, à la ligne n
EXEMPLE : voir section deux, ((Notes explicatives et exemples)).
13

---------------------- Page: 17 ----------------------
ISO 28544976 (F)
TABLEAU C’ -- Comparaison de deux moyennes (variantes inconnues, mais présumées égales)
L’hypothèse de l’égalité des variantes des deux populations peut être vérifiée comme il est indiqué au tableau G.
de la population 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Caractéristiques techniques (5)
de la population 2 . . . . . ._ . . . . . . . . . . . . . . . .
1
Caractéristiques techniques dans la population 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
des individus prélevés (5) dans la population 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
I
de l’échantillon 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Observations éliminées (6)
de l’échantillon 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
Données statistiques Calculs
Premier Second
XX1
échantillon échantillon XI =- =
4
n2 =
Effectif nl =
- xx2
z-z
X2
n2
Somme des valeurs observées Xx1= zx2=
Xl -X1)2 + 23 (x2 -X2)2 =
W
Somme des carrés des valeurs
1
observées zxf= zx;= cxf+zx$--
“, (zx,)2 --!- (Zx# =
n2
Degrés de liberté V =nl +n2-2=
* 1 -X,)2 + z (x2 -92 =
‘d
nl + n2 - 2
N iveau de sign if icat ion
choisi (8) : tl -,b) sd =
tl - a=
Résultats
Comparaison des moyennes des deux populations :
Cas bilatéral :
L’hypothèse de l’égalité des moyennes (hypothèse nulle) est rejetée si l’on a :
-& 1 > tl -a,2 (4 sd
IX,
Cas unilatéraux :
a) L’hypothèse selon laquelle la première moyenne n’est pas inférieure à la seconde (hypothèse nulle) est rejetée
si l’on a :
i-, tl -&) sd
b) L’hypothèse selon laquelle la première moyenne n’est pas supérieure à la seconde (hypothèse nulle) est rejetée
si l’on a :
y, > 2-2 + t, -a(v) sd
NOTE - Les références (5), (6) et (8) renvoient aux paragraphes correspondants des ((Remarques générales)).
14

---------------------- Page: 18 ----------------------
ISO 2854-1976 (F)
.
Commentaires
1) Le niveau de signification CY (voir 5 8 des «Remarques générales))) est la probabilité de rejeter l’hypothèse nulle lorsque
cette hypothèse est vraie.
- 2 degrés de liberté; la valeur t,(v) est définie par :
2) t(v) désigne la variable de Student à v = nl i- n2
P [t(v) < t&)] = a
La loi de t(v) étant symétrique par rapport à l’origine, ta(v) = - tl -&).
On a donc :
P [t(v) > ta(v)] = 1 -a
(v) < t(v) < t 1-a&)] = 1 -a
p L- t1 -CU/2
Loi t(v) de Student à v = “1 + Q- 2 degr& de liberté
Cas unilatéraux
Cas bilatdral
3) c~df est l’écart-type estimé de la différence d 5=x1 - Y2 des moyennes des deux échantil Ions de respectivement nl et n2
observations.
(v) sont données dans la table I la de l’annexe B, pour CY = 0,05 et ai = 0,Ol.
4) Les valeurs de tl -a12(~) et tl -Q
EXEMPLE : voir section deux, «Notes explicatives et exemples)).
15

---------------------- Page: 19 ----------------------
ISO 2854-1976 (F)
TABLEAU D - Estimation de la différence de deux moyennes (variantes connues)
de la population 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Caractéristiques techniques (5)
de la population 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
dans la population 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Caractéristiques techniques
dans la population 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
des individus prélevés (5)
1
de l’échantillon 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Observations éliminées (6)
de l’échantillon 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
l
Calculs
Données statistiques
Premier Second
CXI
z-x
x-r
échantillon échantillon
4
-
xx2
E-Z
n, = n2 =
Effectif
X2
n2
zx, = xx2 =
Somme des valeurs observées
o2
l 05
-,- - =
od= ti
Valeurs connues des variantes
I n2
o2 o2
des populations
i
1= 2=
t.fl -&j =
N iveau de confiance
choisi (7) :
u1 -a/2*d =
l-a=
Résultats
Estimation de la différence des moyennes ml et m2 des deux populations :
-m2)* =Xl -X2 =
(ml
Intervalle de confiance bilatéral :
(xl - x2) -ul -(r/20d Intervalles de confiance unilatéraux :
-m2 < (X1 -x2) + u, -&j
ml
-m2 > (xl --x2) -ul -&od
ou
ml
NOTE - Les références (5), (6) et (7) renvoient aux paragraphes correspondants des «Remarques générales».
16

---------------------- Page: 20 ----------------------
ISO2854-1976 (F)
Commentaires
a (voir 5 7 des ((Remarques générales))) est la probabilité pour que l’intervalle de confiance
1) Le niveau de confiance 1 -
calculé renferme la valeur vraie de la différence des moyennes.
2) U désigne la variable normale réduite; la valeur U, est définie par :
La loi de U étant symétrique par rapport à l’origine, u, = - ul _ a’
On a donc :
Loi de U (loi normale réduite)
Cas unilatéraux
Cas bi I atéral
3) o(j =
- jc2 des moyennes des deux échantillons, de respectivement n1 et
est l’écart-type de la différence d = El
n2 observations.
= 1 de la table 1 de l’annexe 5.
4) Les valeurs de u1 -cu/2 et ul -a! se lisent, pour cy = 0,05 et CY = O,Ol, à la ligne n
EXEMPLE : voir section deux, «Notes explicatives et exemples».
17

---------------------- Page: 21 ----------------------
ISO 2854-1976 (F)
TABLEAU D’ - Estimation de la différence de deux moyennes (variantes inconnues, mais présumées égales)
L’hypothèse de l’égalité des variantes des deux populations peut être testée comme il est indiqué au tableau G.
de la population 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Caractéristiques techniques (5)
de la population 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
Caractéristiques techniques dans la population 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
des individus prélevés (5) dans la population 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
de l’échantillon 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Observations éliminées (6)
de l’échantillon 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
l
Données statistiques Calculs
Premier Second
%
E-c
échantillon échantillon
%
n1
Effectif nl = n2 =
zx2
=-CI
x2
n2
Somme des valeurs 8bsewées zx, = xx2 =
--X,)2 + z (x2 -X,)2 =
z (x,
Somme des carrés des valeurs
1 1
xx: = cx; =
observées Lx? + Lx$ - - (Xx,)2 - - (Xx# =
"1 n2
Degrés de liberté V =nl +n2-2=
* z (x,--F,)2 + 2l (x2 -zp
‘d
nl +n2-2
Niveau de confiance
choisi (7) : t, -,(v) sd =
1 -a= t, -(y,&4 sd =
Résultats
Estimation de la différence des moyennes ml et m2 des deux populations :
-m2)* =jc, -2, =
(ml
Intervalle de confiance bilatéral :
(X, --x,1 - tl -a/2(v) sd Intervalles de confiance unilatéraux :
-m2<(Zl -x2) + t,-&) sd
ml
ou -m2 > (xl -x2) - t+.&) sd
ml
Les références (9, (6) et (7) renvoient aux paragraphes correspondants des ((Remarques générales)).
NOTE -
18

---------------------- Page: 22 ----------------------
60 28544976 (F)
.
Commentaires
a (voir $j 7 des «Remarques générales») est la probabilité pour que l’intervalle de confiance
1) Le niveau de confiance 1 -
calculé renferme la valeur vraie de la différence des moyennes.
- 2 degrés de liberté; la valeur t&(v) est définie par :
2) t(v) désigne la variable de Student à v = nl i- n2
P [t(v) < fol(v)] = a
La loi de t(v) étant symétrique par rapport à l’origine, ta(v) = - tl -,(v).
On a donc :
P[t(v) > ta(v)] = 1 --a
- (-y/2 (VI < t(v) < t, -*,2 b-43 = 1 - a
w-t1
Loi t(v) de Student à v = “1 + “2 - 2 degrés de liberté
I
CY
Q!
0
0
t(v)
L_dd
t(v) ’
t, -Q(V) t&) = - t, - &)
- t, -&V)
t,/,(v) =
Wa/2(V)
Cas unilatéraux
Cas bilat&al
--X2 des moyennes des deux échantillons, de respectivement nl et n2
3) 0: est l’écart-type estimé de la différence d = Xl
observations.
et tl -,(v) sont données dans la table I la de l’annexe B, pour Q! = 0,05 et cy = 0,Ol.
4) Les valeurs de tl -a,&)
EXEMPLE : voir section deux, ((Notes explicatives et exemples».
19

---------------------- Page: 23 ----------------------
ISO 28544976 (F)
TABLEAU E - Comparaison d’une variante ou d’un écart-type à une valeur donnée
Caractéristiques techniques de la population étudiée (5) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Caractéristiques techniques des individus prélevés (5) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Observations éliminées (6). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e . . . . . . . . , .
Données statistiques Calculs
Effectif de l’échantillon :
n=
CM2
x (x-32 =2x2- - =
n
Somme des valeurs observées :
zx =
z (x--X)2
- -
-
Somme des carrés des valeurs observées :
o2
0
2x2 =
Valeur donnée : &v) =
o2
0=
2
( 1
X1-& v =
Degrés de
...

2854
NORME INTERNATIONALE _
INTERNATIONAL ORGANIZATION FOR STANDARDIZATION l MEXfiYHAPOAHASI OPTAHM3ALWI l-I0 CTAHAAPTM3AWGi *ORGANISATION INTERNATIONALE DE NORMALISATION
Interprétation statistique des données - Techniques
d’estimation et tests portant sur des moyennes et
des variantes
Sta tistical in terpre ta tion of data - Techniques of estimation and tests relating to means and
variantes
Première édition - 1976-02-15
î
Réf. no : ISO 2854-1976 (F)
- CDU 519.28
‘9
moyenne mathématique, variante.
Descripteurs : analyse statistique, essai statistique, estimation,
Prix basé sur 46 pages

---------------------- Page: 1 ----------------------
AVANT-PROPOS
L’ISO (Organisation Internationale de Normalisation) est une fédération mondiale
d’organismes nationaux de normalisation (Comités Membres ISO). L’élaboration de
Normes Internationales est confiée aux Comités Techniques ISO. Chaque Comité
Membre intéressé par une étude a le droit de faire partie du Comité Technique
correspondant. Les organisations internationales, gouvernementales et non
gouvernementales, en liaison avec I’ISO, participent également aux travaux.
Les Projets de Normes Internationales adoptés par les Comités Techniques sont
soumis aux Comités Membres pour approbation, avant leur acceptation comme
Normes Internationales par le Conseil de I’ISO.
La Norme Internationale ISO 2854 a été établie par le Comité Technique
ISO/TC 69, Application des méthodes statistiques, et soumise aux Comités
Membres en octobre 1973.
Elle a été approuvée par les Comités Membres des pays suivants :
Afrique du Sud, Rép. d’ Hongrie Roumanie
Allemagne Inde Royaume-Uni
Israël
Australie Suisse
Belgique Italie
Tchécoslovaquie
Brési I
Japon Thaïlande
Bulgarie Nouvelle-Zélande Turquie
Égypte, Rép. arabe d’ Pays-Bas U.R.S.S.
France Pologne Yougoslavie
Les Comités Membres des pays suivants ont désapprouvé le document pour des
raisons techniques :
Suède
U.S.A.
0 Organisation Internationale de Normalisation, 1976 l
Imprimé en Suisse

---------------------- Page: 2 ----------------------
SOMMAI RE
Page
SECTION UN : PRÉSENTATION DES CALCULS
- Remarques générales . . . . . . . . . . . . . . . . 1
- Tableaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
MOYENNES
I
Variante
connue inconnue
Comparaison d’une moyenne à une valeur donnée
A A’
Estimation d’une moyenne
B B’
Comparaison de deux moyennes
C C’
Estimation de la différence de deux moyennes
D D’
8
.
VARIANCES
.
Comparaison d’une variante à une valeur donnée E
Estimation d’une variante F
Comparaison de deux variantes
G
Estimation du rapport de deux variantes H
l
SECTION DEUX : NOTES EXPLICATIVES ET EXEMPLES
- Remarques introductives . 28
.
- Exemples numériques . .
34
ANNEXES
A Comparaison d’observations appariées à l’aide du
test de Student . . . . . . . . . . . . . 40
.
B Tables statistiques . . . . . . . . . . 41
. . .
III

---------------------- Page: 3 ----------------------
Page blanche

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ISO 28544976 (F)
NORME INTERNATIONALE
--
Interprétation statistique des données - Techniques
d’estimation et tests portant sur des moyennes et
des variantes
SECTION UN : PRÉSENTATION DES CALCULS
REMARQUES GÉNÉRALES Si l’on désire réellement une estimation de la moyenne ou
de l’écart-type de la variable X elle-même, alors peu importe
1) La présente Norme Internationale spécifie les
que la distribution de la population soit normale ou non,
techniques permettant, à partir d’échantillons :
une estimation sans biais de la moyenne m et de la variante
02 de la population est fournie par la moyenne X et la
a) d’estimer la moyenne ou la variante de populations;
caractéristique s* de l’échantillon.
b) d’examiner certaines hypothèses concernant la
valeur de ces paramètres.
5) II est souhaitable d’accompagner chaque opération
statistique de toutes indications relatives à l’origine ou à la
2) Les techniques utilisées ne sont applicables que si l’on
méthode de prélèvement des données susceptibles d’éclairer
peut admettre que, dans chaque population considérée, les
leur analyse statistique, notamment l’unité ou la fraction
individus de l’échantillon ont été prélevés au hasard et sont
d’unité de mesure la plus petite ayant une signification
indépendants. Dans le cas d’une population finie, des
pratique.
individus prélevés au hasard peuvent être considérés comme
indépendants si l’effectif de la population est suffisamment
6) II ne peut être procédé à l’élimination ou à la correction
élevé, ou si le taux d’échantillonnage est suffisamment petit
individuelles apparemment
éventuelle de données
(par exemple inférieur à l/lO).
douteuses, que s’il existe des raisons expérimentales,
3) La distribution du caractère étudié est supposée
techniques ou évidentes, permettant une justification
normale dans chaque population Cependant, si la circonstanciée de cette élimination ou de cette correction.
distribution ne s’écarte pas trop de la normale, les Dans tous les cas, les données éliminées ou corrigées doivent
techniques décrites restent suffisamment valables pour la être mentionnées, ainsi que les raisons de leur élimination
plupart des applications pratiques, à condition que l’effectif ou de leur correction.
de l’échantillon ne soit pas trop petit. Pour les tableaux A,
B, C et D, l’effectif de l’échantillon devrait être de l’ordre
7) Dans les problèmes d’estimation, le niveau de confiance
de 5 à 10 au minimum; pour tous les autres tableaux, il
1 -Q! est la probabilité pour que l’intervalle de confiance
devrait être de l’ordre de 20 au minimum.’ )
renferme la vraie valeur du paramètre estimé. Ses valeurs les
plus usuelles sont 0,95 et 0,99, soit a! = 0,05 et 0! = 0,Ol.
4) Un certain nombre de techniques permettent de vérifier
l’hypothèse de normalité. Celles-ci feront l’objet d’exemples
8) Dans les problèmes de tests d’hypothèse, le niveau de
numériques dans la section deux, et d’un document séparé
signification a est,
Mais, dans bien des cas, cette dans le cas de tests bilatéraux, la
(encore à préparer).
probabilité de rejeter l’hypothèse nulle (ou hypothèse
hypothèse peut être admise en fonction d’informations
testée) lorsque cette hypothèse est vraie (erreur de première
autres que celles fournies par les échantillons eux-mêmes.
espèce); dans le cas des tests unilatéraux, le niveau de
Dans le cas où l’hypothèse de normalité devrait être rejetée,
signification est la valeur maximale de cette probabilité
il semble que la marche à suivre appropriée serait de faire
(valeur maximale de l’erreur de première espèce). Ses valeurs
appel à des tests non paramétriques ou d’utiliser des
les plus usuelles sont o! = 0,05 (1 chance sur 20) et 0,Ol
transformations permettant de retrouver des populations
(1 chance sur IOO), suivant le risque que l’utilisateur
normales (par exemple I/x, log(x + a), 4xX, etc.), mais
les conclusions obtenues en appliquant les procédures accepte de prendre. Étant donné qu’une hypothèse peut
être rejetée en utilisant 0! =
décrites dans la présente Norme Internationale ne seront 0,05, mais acceptée en utilisant
directement valables que pour la variable transformée; leur O,Ol, il est souvent indiqué d’utiliser la phrase ((l’hypothèse
transposition à la variable initiale exige des précautions. Par est rejetée au niveau 5 %)) ou, si c’est le cas, «au niveau 1 %».
exemple, exp(moyenne logx) est égale à la moyenne L’attention est attirée sur l’existence d’une erreur de
géométrique de x et non pas à la moyenne arithmétique. deuxième espèce, erreur qui est commise lorsqu’on accepte
1) Des études concernant la normalité des distributions sont en cours au sein du TC 69/SC 2.
1

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ISO 2854-1976 (F)
l’hypothèse nulle alors que celle-ci est fausse. Les termes supposent que les échantillons correspondants sont
relatifs aux tests statistiques sont définis dans le chapitre 2 indépendants. Pour l’étude de certains problèmes, on peut
de I’ISO 3534, Statistique - Vocabulaire’). avoir intérêt à apparier les observations (par exemple dans
la comparaison de deux méthodes ou la comparaison de
deux instruments).
9) Les calculs peuvent souvent être fortement simplifiés en Le traitement statistique des
observations appariées
effectuant sur les données un changement d’origine et/ou fait l’objet de I’ISO 3301,
d’unité. Dans le cas d’observations classées par groupes, on Interprétation statistique des données - Comparaison de
deux moyennes dans le cas d’observations appariées, mais,
peut se référer aux formules de I’ISO 2602, lnterprétation
dans l’annexe A, un exemple de traitement d’observations
statistique de résultats d’essais - Estimation de la
appariées est donné. II utilise formellement les données du
moyenne - Intervalle de confiance.
tableau A’.
NOTE - Un changement d’origine est essentiel pour obtenir une
précision suffisante quand la variante est calculée selon la formule
proposée, à l’aide d’un calculateur de faible précision. 11) Les symboles et leur définition utilisés dans la
présen te Norme Internationale sont conformes à
10) Les méthodes indiquées dans les tableaux C et C’ VIS0 3207, Interprétation statistique des données -
concernent la comparaison de deux moyennes. Elles
Détermination d’un in tervale statistique de dispersion.
1) Actuellement au stade de projet.
2

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ISO 2854-1976 (F)
.
TABLEAUX
A - Comparaison d’une moyenne à une valeur donnée (variante connue)
A’ -
Comparaison d’une moyenne à une valeur donnée (variante inconnue)
Estimation d’une moyenne (variante connue)
B -
Estimation d’une moyenne (variante inconnue)
B’ -
c -
Comparaison de deux moyennes (variantes connues)
c’ -
Comparaison de deux moyennes (variantes inconnues, mais présumées égales)
D - Estimation de la différence de deux moyennes (variantes connues)
D’ - Estimation de la différence de deux moyennes (variantes inconnues, mais présumées égales)
E - Comparaison d’une variante ou d’un écart-type à une valeur donnée
F - Estimation d’une variante ou d’un écart-type
G - Comparaison de deux variantes ou de deux écarts-types
H - Estimation du rapport de deux variantes ou de deux écarts-types
3

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ISO 2854-1976 (F)
TABLEAU A - Comparaison d’une moyenne à une valeur donnée (variante connue)
Caractéristiques techniques de la population étudiée (5) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Caractéristiques techniques des individus prélevés (5) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Observations éliminées (6) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Calculs
Données statistiques
CX
,-a-----~
Effectif de l’échantillon :
n
n=
Somme des valeurs observées :
ru,-,lfi] o=
xx =
Valeur donnée :
kJ1 -a,2m 0 =
m. =
Valeur connue de la variante de la population :
02 =
D’où l’écart-type :
CT-
Niveau de signification choisi (8) :
cl!=
Résultats
Comparaison de la moyenne de la population à la valeur donnée m.
Cas bilatéral :
L’hypothèse de l’égalité de la moyenne de la population à la valeur donnée (hypothèse nulle) est rejetée si l’on a :
Iz --mol > [u, -,,,lfi] 0
Cas unilatéraux :
a) L’hypothèse selon laquelle la moyenne de la population n’est pas inférieure à m. (hypothèse nulle) est rejetée
si l’on a :
i [u, -- CYG 1 CJ
b) L’hypothèse selon laquelle la moyenne de la population n’est pas supérieure à m. (hypothèse nulle) est rejetée
si l’on a :
X > m. + [u, --,lfi] 0
NOTE - Les références (51, (6) et (8) renvoient aux paragraphes correspondants des «Remarques générales».
4

---------------------- Page: 8 ----------------------
ISO 28544976 (F)
.
Commentaires
1) Le niveau de signification cy (voir § 8 des «Remarques générales») est la probabilité de rejeter l’hypothèse nulle lorsque
cette hypothèse est vraie.
2) U désigne la variable normale réduite; la valeur u, est définie par :
P[U La loi de U étant symétrique par rapport à l’origine, u, = - u1 -&.
On a donc :
P[U>u,l= 1 -a
P[-u,-,/, Loi de U (loi normale réduite)
Cas unilatéraux
Cas bilatéral
3) o/fi est l’écart-type de la moyenne X, dans un échantillon de n observations.
4) Pour la commodité des calculs, les valeurs de u1 _ cy/fi et u 1 -Q,2/fisont données dans la table 1 de l’annexe B, pour
a = 0‘05 et cI1= 0,Ol.
EXEMPLE : voir section deux, «Notes explicatives et exemples»
5

---------------------- Page: 9 ----------------------
ISO 2854-1976 (F)
TABLEAU A’ - Comparaison d’une moyenne à une valeur donnée (variante inconnue)
Caractéristiques techniques de la population étudiée (5) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . , .
Caractéristiques techniques des individus prélevés (5) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3bservations éliminées (6) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ,
Données statistiques Calculs
ZX
j+-.--=
Effectif de l’échantillon :
n
n=
Somme des valeurs observées : 2 (x -X)2 Xx2 - (Ex)Vn
- =
n-l
n-l
Izx =
x (x--X)2
(-J*=s=
Somme des carrés des valeurs observées :
n-l =
J-
zx2 =
Valeur donnée : [t, -(y(v)/fi]s=
m. =
Degrés de I iberté :
v=n--l=
[tg -~,&~l&j s =
Niveau de signification choisi (8) :
cY=
Résultats
Comparaison de la moyenne de la population à la valeur donnée m. :
Cas bilatéral :
L’hypothèse de l’égalité de la moyenne de la population à la valeur donnée (hypothèse nulle) est rejetée si l’on a :
IF-mol > [t~-Q~2bVfi]~
Cas unilatéraux :
o (hypothèse nulle) est rejeté
a) L’hypothèse selon laquelle la moyenne de la population n’est pas inférieure à m
si l’on a :
X [t, -,cejb] s
o (hypothèse nulle) est rejeté
b) L’hypothèse selon laquelle la moyenne de la population n’est pas supérieure à m
si l’on a :
X> mo + [tl -Jv)lfi] s
NOTE - Les références (5), (6) et (8) renvoient aux paragraphes correspondants des «Remarques générales)).

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ISO 2854-1976 (F)
.
Commentaires
1) Le niveau de signification Q! (voir 9 8 des ((Remarques générales))) est la probabilité de rejeter l’hypothèse nulle lorsque
cette hypothèse est vraie.
1 degré de liberté; la valeur t,(v) est définie par :
2) t(v) désigne la variable de Student à Y = n -
P [t(v) < t&)] = a
La loi de t(v) étant symétrique par rapport à l’origine, t,(v) = - t, -,(v).
On a donc :
P [t(v) > tJv)] = 1 -a
(24 W-h-a/2
Loi t(v) de Student à v = n - 1 degrés de liberté
Cas unilatéraux
Cas bilat&al
3) c*/fiest l’écart-type estimé de la moyenne y, dans un échantillon de n observations.
(v)/&ont données dans la table Ilb de l’annexe B,
4) Pour la commodité des calculs, les valeurs de t, - (u,2(~)/& et t, - cy
pour a! = 0‘05 et ci = 0,Ol.
EXEMPLE : voir section deux, «Notes explicatives et exemples».
7

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ISO 2854-1976 (F)
TABLEAU B - Estimation d’une moyenne (variante connue)
Caractéristiques techniques de la population étudiée (5) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Caractéristiques techniques des individus prélevés (5) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Observations éliminées (6) . . . . . . . . . . . . , . . . . . . . . . . . . . , . . . . .
Calculs
Données statistiques
x cx
z.z-=
Effectif de l’échantillon :
n
n=
Somme des valeurs observées : [u, -,/fi] 0 =
I=x =
Valeur connue de la variante de la population :
(J2 =
l-Q!/2 n o=
Lu u-1
D’où l’écart-type :
o-
Niveau de confiance choisi (7) :
l-O!=
Résultats
Estimation de la moyenne m de la population :
m”=~=
Intervalle de confiance bilatéral :
i~]o z-k+a12
Intervalles de confiance unilatéraux :
m<~+[ul-al~]o
ou m>F--[ul-&iY]O
NOTE - Les références (51, (6) et (7) renvoient aux paragraphes correspondants des «Remarques générales)).
8

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60 2854-1976 (F)
.
Commentaires
1) Le niveau de confiance 1 - cy (voir § 7 des ((Remarques générales))) est la probabilité pour que l’intervalle de confiance
calculé renferme la valeur vraie de la moyenne.
2) U désigne la variable normale réduite; la valeur U, est définie par :
P[U La loi de U étant symétrique par rapport à l’origine, U, = - u1 -&.
P[U>u,]= 1 -A!
On a donc :
P[-l-J,-,,, Loi de lJ (loi normale réduite)
Cas bilatéral Cas unilatéraux
3) o/& est l’écart-type de la moyenne X, dans un échantillon de n observations.
n sont données dans la table I de l’annexe B, pour
4) Pour la commodité des calculs, les valeurs de u1 -ar,2/fiet u1 - &f
a= 0,05 et = 0,Ol.
EXEMPLE : voir section deux, «Notes explicatives et exemples».
9

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ISO 2854-1976 (F)
TABLEAU B’ - Estimation d’une moyenne (variante inconnue)
Caractéristiques techniques de la population étudiée (5) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Caractéristiques techniques des individus prélevés (5) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Observations éliminées (6) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
\
Données statistiques Calculs
x xx
Z----E
Effectif de l’échantillon :
n
n=
C (x - X)2 Xx2 - (Zx)Vn
Somme des valeurs observées :
n-l = n-l =
XX=
o*+fGfjGz
Somme des carrés des valeurs observées :
xx2 =
Degrés de liberté : [ tq -- Q!(v)/@ ] s =
v=n-j=
Niveau de confiance choisi (7) : [t, -~,2w47] s =
1 -a=
Résultats
Estimation de la moyenne m de la population :
m*=x=
Intervalle de confiance bilatéral :
x- [tl-a/2bV~]~~m Intervalles de confiance unilatéraux :
m ou m>F-[t,-Ju)/&]s
Les références (5), (6) et (7) renvoient aux paragraphes correspondants des ((Remarques générales))
NOTE -
10

---------------------- Page: 14 ----------------------
ISO 2854-1976 (F)
.
Commentaires
1) Le niveau de confiance 1 - a! (voir 3 7 des «Remarques générales») est la probabilité pour que l’intervalle de confiance
calculé renferme la valeur vraie de la moyenne.
2) t(v) désigne la variable de Student à v = n - 1 degrés de liberté; la valeur t,(v) est définie par :
P [t(v) < t&(v)] = a
La loi de t(v) étant symétrique par rapport à l’origine, t,(v) = - tl -,(v).
On a donc :
P [t(v) > ta!(v)] = 1 -a
P [- t, -a/2 (24 < t(v) < t, -a/2 bd] = 1 - CY
Loi t(v) de Student à Y = n - 1 degrés de liberté
Cas unilatéraux
Cas bilathal
3) o*/G est l’écart-type estimé de la moyenne X, dans un échantillon de n observations.
(v)/fiet tl - ,(v)/fisont données dans la table I lb de l’annexe B,
4) Pour la commodité des calculs, les valeurs de tl - cu/2
pour cz = 0,05 et a = 0,Ol.
EXEMPLE : voir section deux, «Notes explicatives et exemples».
11

---------------------- Page: 15 ----------------------
ISO 28544976 (F)
TABLEAU C - Comparaison de deux moyennes (variantes connues)
de la population 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Caractéristiques techniques (5)
de la population 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Caractéristiques techniques des dans la population 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I .
individus prélevés (5) dans la population 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
(
de l’échantillon 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Observations éliminées (6)
de l’échantillon 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
(
Calculs
Données statistiques
Premier Second
XXI
z-c
échantillon échantillon
Xl
n1
Effectif nî = n2 =
ZX
2
ZZZ-----ZZZ
zx2 =
Somme des valeurs observées xx, =
x,
n2
Valeurs connues des variantes
o2
o2
1+2=
o2
des populations a2 od =
2=
1=
J-
n1 n2
Niveau de signification u, -a od =
choisi (8) :
h -a/2Od =
a=
Résultats
Comparaison des moyennes des deux populations :
Cas bilatéral :
L’hypothèse de l’égalité des moyennes (hypothèse nulle) est rejetée si l’on a :
1x1 --ri;1 >u, -&/@d
Cas unilatéraux :
a) L’hypothèse selon laquelle la première moyenne n’est pas inférieure à la seconde (hypothèse nulle) est rejetée
si l’on a :
x, - u1 -a?d
b) L’hypothèse selon laquelle la première moyenne n’est pas supérieure à la seconde (hypothèse nulle) est rejetée
,
si l’on a :
?, >y2 + u, .v.&d
NOTE - Les références (5), (6) et (8) renvoient aux paragraphes correspondants des ((Remarques générales)).
12

---------------------- Page: 16 ----------------------
ISO 28544976 (F)
.
Commentaires
1) Le niveau de signification a (voir 5 8 des «Remarques générales))) est la probabilité de rejeter l’hypothèse nulle lorsque
cette hypothèse est vraie.
2) U désigne la variable normale réduite; la valeur u, est définie par :
P[U La loi de U étant symétrique par rapport à l’origine, u, = - u1 _ ûr.
On a donc :
P[u>ll,]= 1 -a
p Pu,-a/2
Loi de U (loi normale réduite)
42
I
fl
%/2=-~1-cr/2
Cas unilatéraux
Cas bilatéral
CI2 a2
3) (Jd ZZZ. -L+A
est l’écart-type de la différence d = 2, ---x2 des moyennes des deux échantillons, de respectivement n, et
"1 n2
n2 observations.
Les valeurs de u, _ ar/2 et u1 _ cy se lisent, pour & = 0,05 et Q! = O,Ol, à la ligne n = 1 de la table 1 de l’annexe B.
4)
EXEMPLE : voir section deux, ((Notes explicatives et exemples)).
13

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ISO 2854-1976 (F)
TABLEAU C’ -- Comparaison de deux moyennes (variantes inconnues, mais présumées égales)
L’hypothèse de l’égalité des variantes des deux populations peut être vérifiée comme il est indiqué au tableau G.
de la population 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Caractéristiques techniques (5)
de la population 2 . . . . . ._ . . . . . . . . . . . . . . . .
1
Caractéristiques techniques dans la population 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
des individus prélevés (5) dans la population 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
I
de l’échantillon 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Observations éliminées (6)
de l’échantillon 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
Données statistiques Calculs
Premier Second
=1
échantillon échantillon Xl =- =
4
n2 =
Effectif nl =
- xx2
z-z
X2
n2
Somme des valeurs observées xx,= zx2=
x, -X,)2 + 23 (x2 -X2)2 =
W
Somme des carrés des valeurs
1
observées zxf= zx;= cxf+zx$--
“, (zx,)2 --!- (Zx# =
n2
Degrés de liberté V =nl +n2-2=
* , -X,)2 + z (x2 -92 =
‘d
nl + n2 - 2
N iveau de sign if icat ion
choisi (8) : t, -,b) sd =
t, - a=
Résultats
Comparaison des moyennes des deux populations :
Cas bilatéral :
L’hypothèse de l’égalité des moyennes (hypothèse nulle) est rejetée si l’on a :
-& 1 > t, -a,2 (4 sd
IX,
Cas unilatéraux :
a) L’hypothèse selon laquelle la première moyenne n’est pas inférieure à la seconde (hypothèse nulle) est rejetée
si l’on a :
i-1 t, -&) sd
b) L’hypothèse selon laquelle la première moyenne n’est pas supérieure à la seconde (hypothèse nulle) est rejetée
si l’on a :
y, > 2-2 + t, -a(v) sd
NOTE - Les références (5), (6) et (8) renvoient aux paragraphes correspondants des ((Remarques générales)).
14

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ISO 2854-1976 (F)
Commentaires
1) Le niveau de signification cy (voir 5 8 des «Remarques générales))) est la probabilité de rejeter l’hypothèse nulle lorsque
cette hypothèse est vraie.
- 2 degrés de liberté; la valeur t,(v) est définie par :
2) t(v) désigne la variable de Student à v = nl i- n2
P [t(v) < t&)] = a
La loi de t(v) étant symétrique par rapport à l’origine, ta(v) = - tl -&).
On a donc :
P [t(v) > ta(v)] = 1 -a
(v) < t(v) < t ,-a&)] = 1 -a
p L- t1 -CU/2
Loi t(v) de Student à v = “1 + Q- 2 degr& de liberté
Cas unilatéraux
Cas bilatdral
3) odf est l’écart-type estimé de la différence d =FI - Y2 des moyennes des deux échantil Ions de respectivement nl et n2
observations.
(v) sont données dans la table I la de l’annexe B, pour Q! = 0,05 et ai = 0,Ol.
4) Les valeurs de t, -a12(~) et tl -Q
EXEMPLE : voir section deux, «Notes explicatives et exemples)).
15

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ISO 2854-1976 (F)
TABLEAU D - Estimation de la différence de deux moyennes (variantes connues)
de la population 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Caractéristiques techniques (5)
de la population 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Caractéristiques techniques dans la population 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
des individus prélevés (5) dans la population 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
de l’échantillon 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Observations éliminées (6)
de l’échantillon 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
l
Calculs
Données statistiques
Premier Second
XX1
z-z
x-r
échantillon échantillon
4
-
xx2
z-z
n, = n2 =
Effectif
X2
n2
cx, = xx2 =
Somme des valeurs observées
o2
l 05
7’ - =
od= z
Valeurs connues des variantes
I n2
o2 o2
des populations i
2=
1=
t.f, -&j =
N iveau de confiance
choisi (7) : u1 -a/2*d =
l-a=
Résultats
Estimation de la différence des moyennes ml et m2 des deux populations :
-m2)* =Xl -X2 =
(ml
Intervalle de confiance bilatéral :
6, - x2) -ul -(r/20d Intervalles de confiance unilatéraux :
-m2 < (X1 -x2) + u, -&J
ml
ou -m2 > (xl -x2) -ul -&od
Ml
NOTE - Les références (51, (6) et (7) renvoient aux paragraphes correspondants des «Remarques générales)).
16

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ISO 2854-1976 (F)
.
Commentaires
1) Le niveau de confiance 1 -a (voir 5 7 des ((Remarques générales))) est la probabilité pour que l’intervalle de confiance
calculé renferme la valeur vraie de la différence des moyennes.
2) U désigne la variable normale réduite; la valeur u, est définie par :
P[U La loi de U étant symétrique par rapport à l’origine, u, = - ul - a’
On a donc :
P[U>lJJ= 1 -Q1
WUl-a/2
Loi de U (loi normale réduite)
f(u) f(u)
f(u)
Cas unilatéraux
Cas bi I atéral
3) o(j=
est l’écart-type de la différence d = El -jc2 des moyennes des deux échantillons, de respectivement n1 et
n2 observations.
4) Les valeurs de u1 -cu/2 et ul -a! se lisent, pour CY = 0,05 et CY = O,Ol, à la ligne n = 1 de la table 1 de l’annexe 5.
EXEMPLE : voir section deux, «Notes explicatives et exemples)).
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ISO 2854-1976 (F)
TABLEAU D’ - Estimation de la différence de deux moyennes (variantes inconnues, mais présumées égales)
L’hypothèse de l’égalité des variantes des deux populations peut être testée comme il est indiqué au tableau G.
de la population 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Caractéristiques techniques (5)
de la population 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
Caractéristiques techniques dans la population 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
des individus prélevés (5) dans la population 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
de l’échantillon 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Observations éliminées (6)
de l’échantillon 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
l
Données statistiques Calculs
Premier Second
%
E-c
échantillon échantillon
%
*1
Effectif nl = n2 =
zx2
=-CI
x2
*2
Somme des vàleurs 8bsewées zx, = xx2 =
--X,)2 + z (x2 -X,)2 =
z (x,
Somme des carrés des valeurs
1 1
xx: = cx; =
observées Lx? + Lx$ - - (Xx,)2 - - (Xx# =
"1 *2
Degrés de liberté V =nl +n2-2=
* z (x,--F,)2 + 2l (x2 -zp
‘d
nl +n2-2
Niveau de confiance
choisi (7) : t, -,(v) sd =
1 -a= t, -(y,&4 sd =
Résultats
Estimation de la différence des moyennes ml et m2 des deux populations :
-m2)* =jc, -2, =
(ml
Intervalle de confiance bilatéral :
(X, --x,1 - tl -&v) sd Intervalles de confiance unilatéraux :
-m2<(Zl -x2) + t,-&) sd
ml
ou -m2 > (xl -x2) - t+.&) sd
ml
Les références (9, (6) et (7) renvoient aux paragraphes correspondants des ((Remarques générales)).
NOTE -
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.
Commentaires
a (voir $j 7 des «Remarques générales») est la probabilité pour que l’intervalle de confiance
1) Le niveau de confiance 1 -
calculé renferme la valeur vraie de la différence des moyennes.
- 2 degrés de liberté; la valeur t&(v) est définie par :
2) t(v) désigne la variable de Student à v = nl i- n2
P [t(v) < fol(v)] = a
La loi de t(v) étant symétrique par rapport à l’origine, ta(v) = - tl -,(v).
On a donc :
P[t(v) > ta(v)] = 1 --a
- (-y/2 (VI < t(v) < t, -*,2 b-43 = 1 - a
w-t1
Loi t(v) de Student à v = “1 + “2 - 2 degrés de liberté
f(t)
f(t)
4 t(v)
t(u)
t&) = - t, - &)
- t,-a/2(“)
t,/,(v) =
Wa/2(V)
Cas unilatéraux
Cas bilat&al
--X2 des moyennes des deux échantillons, de respectivement nl et n2
3) oA est l’écart-type estimé de la différence d = Xl
observations.
et tl -,(v) sont données dans la table I la de l’annexe 5, pour Q! = 0,05 et cy = 0,Ol.
4) Les valeurs de tl -a,&)
EXEMPLE : voir section deux, ((Notes explicatives et exemples».
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ISO 28544976 (F)
TABLEAU E - Comparaison d’une variante ou d’un écart-type à une valeur donnée
Caractéristiques techniques de la population étudiée (5) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Caractéristiques techniques des individus prélevés (5) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Observations éliminées (6). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e . . . . . . . . , .
Données statistiques Calculs
Effectif de l’échantillon :
n=
CM2
x (x-32 =2x2- - =
n
Somme des valeurs observées :
zx =
z (x--X)2
- -
-
Somme des carrés des valeurs observées :
o2
0
2x2 =
Valeur donnée : &v) =
o2
0=
...