ISO 20501:2019
(Main)Fine ceramics (advanced ceramics, advanced technical ceramics) — Weibull statistics for strength data
Fine ceramics (advanced ceramics, advanced technical ceramics) — Weibull statistics for strength data
This document covers the reporting of uniaxial strength data and the estimation of probability distribution parameters for advanced ceramics which fail in a brittle fashion. The failure strength of advanced ceramics is treated as a continuous random variable. Typically, a number of test specimens with well-defined geometry are brought to failure under well-defined isothermal loading conditions. The load at which each specimen fails is recorded. The resulting failure stresses are used to obtain parameter estimates associated with the underlying population distribution. This document is restricted to the assumption that the distribution underlying the failure strengths is the two-parameter Weibull distribution with size scaling. Furthermore, this document is restricted to test specimens (tensile, flexural, pressurized ring, etc.) that are primarily subjected to uniaxial stress states. Subclauses 6.4 and 6.5 outline methods of correcting for bias errors in the estimated Weibull parameters, and to calculate confidence bounds on those estimates from data sets where all failures originate from a single flaw population (i.e. a single failure mode). In samples where failures originate from multiple independent flaw populations (e.g. competing failure modes), the methods outlined in 6.4 and 6.5 for bias correction and confidence bounds are not applicable.
Céramiques techniques — Analyse statistique de Weibull des données de résistance à la rupture
Le présent document traite de l'analyse statistique des données de résistance uniaxiale à la rupture et de l'estimation des paramètres de leur distribution statistique pour les céramiques techniques qui rompent de manière fragile. La résistance à la rupture des céramiques techniques est traitée comme une variable aléatoire continue. En général, plusieurs éprouvettes de géométrie bien définie sont rompues dans des conditions de chargement isothermes bien définies. La charge à laquelle se rompt chaque éprouvette est enregistrée. Les paramètres associés à la distribution statistique des contraintes de rupture correspondantes sont déterminés. Le présent document est limité à l'hypothèse que la distribution des résistances à la rupture est la distribution de Weibull à deux paramètres avec correction d'échelle. En outre, le présent document est limité aux éprouvettes (résistance à la traction, à la flexion, anneau sous pression, etc.) qui sont principalement soumises à des états de contrainte uniaxiaux. Les paragraphes 6.4 et 6.5 présentent des méthodes pour corriger les biais dans les paramètres de Weibull estimés, et pour calculer les limites de confiance de ces estimations à partir de séries de données où toutes les ruptures proviennent d'une population de défauts unique (c'est-à-dire un seul mode de rupture). Dans les échantillons où les ruptures proviennent de plusieurs populations de défauts indépendantes (par exemple, modes de rupture concurrents), les méthodes présentées en 6.4 et en 6.5 pour la correction du biais et les limites de confiance ne sont pas applicables.
General Information
Relations
Standards Content (Sample)
INTERNATIONAL ISO
STANDARD 20501
Second edition
2019-03
Fine ceramics (advanced ceramics,
advanced technical ceramics) —
Weibull statistics for strength data
Céramiques techniques — Analyse statistique de Weibull des données
de résistance à la rupture
Reference number
©
ISO 2019
© ISO 2019
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Published in Switzerland
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Contents Page
Foreword .iv
Introduction .v
1 Scope . 1
2 Normative references . 1
3 Terms and definitions . 1
3.1 Defect populations . 1
3.2 Mechanical testing . 3
3.3 Statistical terms . 3
3.4 Weibull distributions . 4
4 Symbols . 5
5 Significance and use . 6
6 Method A: maximum likelihood parameter estimators for single flaw populations .7
6.1 General . 7
6.2 Censored data . 8
6.3 Likelihood functions . 8
6.4 Bias correction . 8
6.5 Confidence intervals .10
7 Method B: maximum likelihood parameter estimators for competing flaw populations .13
7.1 General .13
7.2 Censored data .14
7.3 Likelihood functions .14
8 Procedure.15
8.1 Outlying observations .15
8.2 Fractography .15
8.3 Graphical representation .16
9 Test report .18
Annex A (informative) Converting to material-specific strength distribution parameters .19
Annex B (informative) Illustrative examples .21
Annex C (informative) Test specimens with unidentified fracture origin .28
Annex D (informative) Fortran program .31
Bibliography .36
Foreword
ISO (the International Organization for Standardization) is a worldwide federation of national standards
bodies (ISO member bodies). The work of preparing International Standards is normally carried out
through ISO technical committees. Each member body interested in a subject for which a technical
committee has been established has the right to be represented on that committee. International
organizations, governmental and non-governmental, in liaison with ISO, also take part in the work.
ISO collaborates closely with the International Electrotechnical Commission (IEC) on all matters of
electrotechnical standardization.
The procedures used to develop this document and those intended for its further maintenance are
described in the ISO/IEC Directives, Part 1. In particular, the different approval criteria needed for the
different types of ISO documents should be noted. This document was drafted in accordance with the
editorial rules of the ISO/IEC Directives, Part 2 (see www .iso .org/directives).
Attention is drawn to the possibility that some of the elements of this document may be the subject of
patent rights. ISO shall not be held responsible for identifying any or all such patent rights. Details of
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on the ISO list of patent declarations received (see www .iso .org/patents).
Any trade name used in this document is information given for the convenience of users and does not
constitute an endorsement.
For an explanation of the voluntary nature of standards, the meaning of ISO specific terms and
expressions related to conformity assessment, as well as information about ISO's adherence to the
World Trade Organization (WTO) principles in the Technical Barriers to Trade (TBT), see www .iso
.org/iso/foreword .html.
This document was prepared by Technical Committee ISO/TC 206, Fine ceramics.
This second edition cancels and replaces the first edition (ISO 20501:2003), which has been technically
revised. It also incorporates the Technical Corrigendum ISO 20501:2003/Cor.1:2009.
The main changes compared to the previous edition are as follows:
— the terms and definitions in Clause 3 have been updated and modified;
— a method to treat a higher number of specimens (N > 120) has been introduced for method A:
maximum likelihood parameter estimators for single flaw populations;
— in Annex D, example codes have been added for calculating the maximum likelihood parameters of
the Weibull distribution with modern analysis software.
Any feedback or questions on this document should be directed to the user’s national standards body. A
complete listing of these bodies can be found at www .iso .org/members .html.
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Introduction
Measurements of the strength at failure are taken for one of two reasons: either for a comparison of
the relative quality of two materials regarding fracture strength, or the prediction of the probability
of failure for a structure of interest. This document permits estimates of the distribution parameters
which are needed for either. In addition, this document encourages the integration of mechanical
property data and fractographic analysis.
INTERNATIONAL STANDARD ISO 20501:2019(E)
Fine ceramics (advanced ceramics, advanced technical
ceramics) — Weibull statistics for strength data
1 Scope
This document covers the reporting of uniaxial strength data and the estimation of probability
distribution parameters for advanced ceramics which fail in a brittle fashion. The failure strength of
advanced ceramics is treated as a continuous random variable. Typically, a number of test specimens
with well-defined geometry are brought to failure under well-defined isothermal loading conditions.
The load at which each specimen fails is recorded. The resulting failure stresses are used to obtain
parameter estimates associated with the underlying population distribution.
This document is restricted to the assumption that the distribution underlying the failure strengths is
the two-parameter Weibull distribution with size scaling. Furthermore, this document is restricted to
test specimens (tensile, flexural, pressurized ring, etc.) that are primarily subjected to uniaxial stress
states. Subclauses 6.4 and 6.5 outline methods of correcting for bias errors in the estimated Weibull
parameters, and to calculate confidence bounds on those estimates from data sets where all failures
originate from a single flaw population (i.e. a single failure mode). In samples where failures originate
from multiple independent flaw populations (e.g. competing failure modes), the methods outlined in 6.4
and 6.5 for bias correction and confidence bounds are not applicable.
2 Normative references
There are no normative references in this document.
3 Terms and definitions
For the purposes of this document, the following terms and definitions apply.
ISO and IEC maintain terminological databases for use in standardization at the following addresses:
— ISO Online browsing platform: available at https: //www .iso .org/obp
— IEC Electropedia: available at http: //www .electropedia .org/
NOTE See also Reference [1].
3.1 Defect populations
3.1.1
flaw
inhomogeneity, discontinuity or (defect) feature in a material, which acts as stress concentrator due to
a mechanical load and has therefore a certain risk of mechanical failure
Note 1 to entry: The flaw becomes critical if it acts as fracture origin in a failed specimen.
3.1.2
censored data
strength measurements (i.e. a sample) containing suspended observations such as that produced by
multiple competing or concurrent flaw populations
Note 1 to entry: Consider a sample where fractography clearly established the existence of three concurrent
flaw distributions (although this discussion is applicable to a sample with any number of concurrent flaw
distributions). The three concurrent flaw distributions are referred to here as distributions A, B, and C. Based
on fractographic analyses, each specimen strength is assigned to a flaw distribution that initiated failure. In
estimating parameters that characterize the strength distribution associated with flaw distribution A, all
specimens (and not just those that failed from type-A flaws) shall be incorporated in the analysis to ensure
efficiency and accuracy of the resulting parameter estimates. The strength of a specimen that failed by a
type-B (or type-C) flaw is treated as a right censored observation relative to the A flaw distribution. Failure
due to a type-B (or type-C) flaw restricts, or censors, the information concerning type-A flaws in a specimen
[2]
by suspending the test before failure occurs by a type-A flaw . The strength from the most severe type-A
flaw in those specimens that failed from type-B (or type-C) flaws is higher than (and thus to the right of) the
observed strength. However, no information is provided regarding the magnitude of that difference. Censored
data analysis techniques incorporated in this document utilize this incomplete information to provide efficient
and relatively unbiased estimates of the distribution parameters.
3.1.3
competing failure modes
distinguishably different types of fracture initiation events that result from concurrent (competing)
flaw distributions
3.1.4
compound flaw distribution
any form of multiple flaw distribution that is neither pure concurrent, nor pure exclusive
Note 1 to entry: A simple example is where every specimen contains the flaw distribution A, while some fraction
of the specimens also contains a second independent flaw distribution B.
3.1.5
concurrent flaw distribution
competing flaw distribution
type of multiple flaw distribution in a homogeneous material where every specimen of that material
contains representative flaws from each independent flaw population
Note 1 to entry: Within a given specimen, all flaw populations are then present concurrently and are competing
to each other to cause failure.
3.1.6
exclusive flaw distribution
mixture flaw distribution
type of multiple flaw distribution created by mixing and randomizing specimens from two or more
versions of a material where each version contains a different single flaw population
Note 1 to entry: Thus, each specimen contains flaws exclusively from a single distribution, but the total data set
reflects more than one type of strength-controlling flaw.
3.1.7
extraneous flaw
strength-controlling flaw observed in some fraction of test specimens that cannot be present in the
component being designed
Note 1 to entry: An example is machining flaws in ground bend specimens that will not be present in as-sintered
components of the same material.
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3.2 Mechanical testing
3.2.1
effective gauge section
that portion of the test specimen geometry included within the limits of integration (volume, area or
edge length) of the Weibull distribution function
Note 1 to entry: In tensile specimens, the integration may be restricted to the uniformly stressed central gauge
section, or it may be extended to include transition and shank regions.
3.2.2
fractography
analysis and characterization of patterns generated on the fracture surface of a test specimen
Note 1 to entry: Fractography can be used to determine the nature and location of the critical fracture origin
causing catastrophic failure in an advanced ceramic test specimen or component.
3.3 Statistical terms
3.3.1
confidence interval
interval within which one would expect to find the true population parameter
Note 1 to entry: Confidence intervals are functionally dependent on the type of estimator utilized and the sample
size. The level of expectation is associated with a given confidence level. When confidence bounds are compared
to the parameter estimate one can quantify the uncertainty associated with a point estimate of a population
parameter.
3.3.2
confidence level
probability that the true population parameter falls within a specified confidence interval
3.3.3
estimator
function for calculating an estimate of a given quantity based on observed data
Note 1 to entry: The resulting value for a given sample may be an estimate of a distribution parameter (a point
estimate) associated with the underlying population, e.g. the arithmetic average of a sample is an estimator of
the distribution mean.
3.3.4
population
collection of data or items under consideration
3.3.5
probability density function
pdf
function f (x) for the continuous random variable X if
fx ≥ 0 (1)
()
and
∞
fx dx = 1 (2)
()
∫
−∞
Note 1 to entry: The probability that the random variable X assumes a value between a and b is given by
b
Pr aX<
() ()
∫
a
3.3.6
cumulative distribution function
function F (x) describing the probability that a continuous random variable X takes a value less than or
equal to a number x
Note 1 to entry: Therefore, the cumulative distribution function (cdf) is related to the probability density
function f (x) by
x
Fx =−Pr ∞< Xx< = fx´´dx (4)
() () ()
∫
−∞
Differentiating Formula (4) with respect to x shows that the pdf is simple the derivative of the cdf:
dF x
()
fx = (5)
()
dx
Note 2 to entry: According to 3.3.5, F (x) is a monotonically increasing function in the range between 0 and 1.
3.3.7
ranking estimator
function that estimates the probability of failure to a particular strength measurement within a
ranked sample
3.3.8
sample
collection of measurements or observations taken from a specified population
3.3.9
statistical bias
type of consistent numerical offset in an estimate relative to the true underlying value, inherent to most
estimates
3.3.10
unbiased estimator
estimator that has been corrected for statistical bias error
3.4 Weibull distributions
3.4.1
Weibull distribution
continuous distribution function which can be used to describe empirical data from measurements
where continuous random variable x has a two-parameter Weibull distribution if the probability
density function is given by
mm−1
mx x
fx = expw− henx ≥0 (6)
()
ββ β
or
fx =<00when x (7)
()
and the cumulative distribution function is given by
m
x
Fx =−10exp − whenx ≥ (8)
()
β
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or
Fx()=<00whenx (9)
where
m is the Weibull modulus (or the shape parameter) (>0);
β is the Weibull scale parameter (>0).
Note 1 to entry: The random variable representing uniaxial tensile strength of an advanced ceramic will assume
only positive values. If the random variable representing uniaxial tensile strength of an advanced ceramic is
characterized by Formulae (6) to (9), then the probability that this advanced ceramic will fail under an applied
uniaxial tensile stress σ is given by the cumulative distribution function.
m
σ
P =−10exp − whenσ ≥ (10)
f
σ
q
P =<00whenσ (11)
f
where
P is the probability of failure;
f
σ is the Weibull characteristic strength.
θ
Note 2 to entry: The Weibull characteristic strength is dependent on the uniaxial test specimen (tensile, flexural,
or pressurized ring) and will change with specimen geometry. In addition, the Weibull characteristic strength
has units of stress, and has to be reported using SI-units of Pa, or adequately in MPa or GPa.
Note 3 to entry: An alternative expression for the probability of failure is given by
m
1 σ
P =−1 exp − dV whenσ >0 (12)
f
∫
V
V σ
00
P =≤00whenσ (13)
f
The integration in the exponential is performed over all tensile regions of the specimen volume (V) if the
strength-controlling flaws are randomly distributed through the volume of the material, or over all tensile
regions of the specimen area if flaws are restricted to the specimen surface. The integration is sometimes carried
out over an effective gauge section instead of over the total volume or area. In Formula (12), σ is the Weibull
material scale parameter and can be described as the Weibull characteristic strength of a specimen with unit
volume or area loaded in uniform uniaxial tension. For a given specimen geometry, Formulae (10) and (12) can be
1/m
combined, to yield an expression relating σ and σ (this means: σσV = ). Further discussion related to
0 θ
q 0
this issue can be found in Annex A.
4 Symbols
A specimen area
b gauge section dimension, base of bend test specimen
d gauge section dimension, depth of bend test specimen
f (x) probability density function
F(x) cumulative distribution function
L likelihood function
L length of the inner load span for a bend test specimen
i
L length of the outer load span for a bend test specimen
o
m Weibull modulus
estimate of the Weibull modulus
m
unbiased estimate of the Weibull modulus
m
U
N number of specimens in a sample
P probability of failure
f
q intermediate quantity defined in 6.5.1, used in calculation of confidence bounds
r number of specimens that failed from the flaw population for which the Weibull estimators
are being calculated
t intermediate quantity defined by Formula (22), used in calculation of confidence bounds
UF unbiasing factor
V tensile loaded region of specimen volume
V unit size volume
V effective volume
eff
x realization of a random variable X
X random variable
β Weibull scale parameter
σ uniaxial tensile stress
estimate of mean strength
σ
σ maximum stress in the j th test specimen at failure
j
σ Weibull material scale parameter (strength relative to unit size) defined in Formula (12)
estimate of the WeibuII material scale parameter
σ
σ Weibull characteristic strength (associated with a test specimen) defined in Formula (10)
θ
estimate of the Weibull characteristic strength
σ
q
5 Significance and use
5.1 This document enables the experimentalist to estimate Weibull distribution parameters from
failure data. These parameters permit a description of the statistical nature of fracture of fine ceramic
materials for a variety of purposes, particularly as a measure of reliability as it relates to strength data
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utilized for mechanical design purposes. The observed strength values are dependent on specimen size
and geometry. Parameter estimates can be computed for a given specimen geometry (,m σ ) but it is
q
suggested that the parameter estimates be transformed and reported as material-specific parameters
(,m σ ). In addition, different flaw distributions (e.g. failures due to inclusions or machining damage)
may be observed, and each will have its own strength distribution parameters. The procedure for
transforming parameter estimates for typical specimen geometries and flaw distributions is outlined in
Annex A.
5.2 This document provides two approaches, method A and method B, which are appropriate for
different purposes.
Method A provides a simple analysis for circumstances in which the nature of strength-defining flaws
is either known or assumed to be from a single population. Fractography to identify and group test
items with given flaw types is thus not required. This method is suitable for use for simple material
screening.
Method B provides an analysis for the general case in which competing flaw populations exist. This
method is appropriate for final component design and analysis. The method requires that fractography
be undertaken to identify the nature of strength-limiting flaws and assign failure data to given flaw
population types.
5.3 In method A, a strength data set can be analysed and values of the Weibull modulus and
characteristic strength (,m σ ) are produced, together with confidence bounds on these parameters. If
q
necessary, the estimate of the mean strength can be computed. Finally, a graphical representation of the
failure data along with a test report can be prepared. It should be noted that the confidence bounds are
frequently widely spaced, which indicates that the results of the analysis should not be used to extrapolate
far beyond the existing bounds of probability of failure. A necessary assumption for a valid extrapolation
(with respect to the tested effective volume V and/or small probabilities of failure) is that the flaw
eff
populations in all considered strength test pieces are of the same type.
5.4 In method B, begin by performing a fractographic examination of each failed specimen in order
to characterize fracture origins. Screen the data associated with each flaw distribution for outliers. If all
failures originate from a single flaw distribution compute an unbiased estimate of the Weibull modulus,
and compute confidence bounds for both the estimated Weibull modulus and the estimated Weibull
characteristic strength. If the failures originate from more than one flaw type, separate the data sets
associated with each flaw type, and subject these individually to the censored analysis. Finally, prepare a
graphical representation of the failure data along with a test report. When using the results of the analysis
for design purposes it should be noted that there is an implicit assumption that the flaw populations in
the strength test pieces and the components are of the same types.
6 Method A: maximum likelihood parameter estimators for single flaw
populations
6.1 General
This document outlines the application of parameter estimation methods based on the maximum
likelihood technique (see also References [13], [14], [20] and [21]). This technique has certain
advantages. The parameter estimates obtained using the maximum likelihood technique are unique
(for a two-parameter Weibull distribution), and as the size of the sample increases, the estimates
statistically approach the true values of the population more efficiently than other parameter
estimation techniques.
6.2 Censored data
The application of the techniques presented in this document can be complicated by the presence of
test specimens that fail from extraneous flaws, fractures that originate outside the effective gauge
section, and unidentified fracture origins. If these complications arise, the strength data from these
specimens should generally not be discarded. Strength data from specimens with fracture origins
[3]
outside the effective gauge section and from specimens with fractures that originate from extraneous
flaws should be censored, and the maximum likelihood methods presented in method B (Clause 7)
are applicable. It is imperative that the number of unidentified fracture origins, and how they were
classified, be stated in the test report. A discussion of the appropriateness of each option can be found
in 7.2.2.
Applying the censored analysis implies that it is assumed that the flaw populations are concurrent.
This is a choice, which should be indicated in the test report.
6.3 Likelihood functions
The likelihood function for the two-parameter Weibull distribution of a sample with a single flaw
[4]
population is defined by Formula (14):
m−1 m
N
σ σ
m
i i
L= exp − (14)
∏
σ σ σ
qq q
i==1
NOTE σ is the maximum stress in the i th test specimen at failure and N is the number of test specimens in
i
the sample being analysed. The parameter estimates (the Weibull modulus, m and the characteristic strength,
σ ) are determined by taking the partial derivatives of the logarithm of the likelihood function with respect to
q
m and σ ) and equating the resulting expressions to zero.
q
The system of formulae obtained by differentiating the log likelihood function for a sample with a single
[5]
flaw population is given by
N
m
σσln
() ()
∑ i i
N
i=1
− ln σ −=0 (15)
()
∑ i
N
N
m
m
i=1
σ
()
∑ i
i=1
and
N
m
m
σσ= (16)
q ()
∑ i
N
i=1
Formula (15) is solved first for m . Subsequently σ is computed from Formula (16). Obtaining a closed
q
form solution of Formula (15) for m is not possible. This expression shall be solved numerically.
Since the characteristic strength also reflects specimen geometry and stress gradients, this document
suggests reporting the estimated Weibull material scale parameter, σ Expressions that relate σ to
0 q
the Weibull material scale parameter σ for typical specimen geometries are given in Annex A.
6.4 Bias correction
6.4.1 The procedures described herein, to correct for statistical bias errors and to compute confidence
bounds, are appropriate only for data sets where all failures originate from a single population (i.e. an
uncensored sample). Procedures for bias correction and confidence bounds in the presence of multiple
active flaw populations are not well developed. It is well-known that the maximum likelihood estimators
8 © ISO 2019 – All rights reserved
with respect to the two-parametric Weibull distribution are biased, but consistent (i.e. the shift of
expectation values of the estimated Weibull parameters goes to zero with increasing sample size). The
statistical bias associated with the estimator σ is minimal (<0,3 % for 20 test specimens, as opposed to
q
≈7 % bias for m with the same number of specimens). Therefore, this document allows the assumption
that σ is an unbiased estimator of the true population parameter. The parameter estimate of the
q
Weibull modulus, m , generally exhibits statistical bias. The amount of statistical bias depends on the
number of specimens in the sample. An unbiased estimate of m shall be obtained by multiplying m by
[6]
unbiasing factors . This procedure is discussed in 6.4.2. Statistical bias associated with the maximum
likelihood estimators presented in this document can be reduced by increasing the sample size.
6.4.2 An unbiased estimator produces nearly zero statistical bias between the value of the true
parameter and the point estimate. The amount of deviation can be quantified either as a percent
difference or with unbiasing factors. In keeping with the accepted practice in the open literature, this
document quantifies statistical bias through the use of unbiasing factors, denoted here as UF. Depending
on the number of specimens in a given sample, the point estimate of the Weibull modulus, m , may exhibit
significant statistical bias. An unbiased estimate of the Weibull modulus (denoted as m is obtained by
U
multiplying the biased estimate with an appropriate unbiasing factor.
mm=×UF (17)
U
Unbiasing factors for m are listed in Table 1. Alternatively, the table values can be approximated by a
simple analytical function f defined by
UF
−1,04033
fN =−11,61394×N (18)
()
UF
This function interpolates the tabulated values in Table 1 with errors smaller than 1 %, but it is also
[17]
applicable to sample sizes N > 120 .
An example in Annex B demonstrates both the use of Table 1 and of Formula (18) in correcting a biased
estimate of the Weibull modulus.
Table 1 — Unbiasing factor for the maximum likelihood estimate of the Weibull modulus
Number of Unbiasing factor, Number of Unbiasing factor,
specimens, N UF specimens, N UF
5 0,700 42 0,968
6 0,752 44 0,970
7 0,792 46 0,971
8 0,820 48 0,972
9 0,842 50 0,973
10 0,859 52 0,974
11 0,872 54 0,975
12 0,883 56 0,976
13 0,893 58 0,977
14 0,901 60 0,978
15 0,908 62 0,979
16 0,914 64 0,980
18 0,923 66 0,980
20 0,931 68 0,981
22 0,938 70 0,981
Table 1 (continued)
Number of Unbiasing factor, Number of Unbiasing factor,
specimens, N UF specimens, N UF
24 0,943 72 0,982
26 0,947 74 0,982
28 0,951 76 0,983
30 0,955 78 0,983
32 0,958 80 0,984
34 0,960 85 0,985
36 0,962 90 0,986
38 0,964 100 0,987
40 0,966 120 0,990
6.5 Confidence intervals
6.5.1 Confidence bounds quantify the uncertainty associated with a point estimate of a population
parameter. The size of the confidence bounds for maximum likelihood estimates of both Weibull
parameters will diminish with increasing sample size. The values used to construct confidence bounds
are based on percentile distributions obtained by Monte Carlo simulation; e.g. the 90 % confidence
bound on the Weibull modulus is obtained from the 5 and 95 percentile distributions of the ratio of m to
the true population value m. For a point estimate of the Weibull modulus, the normalized values
qm= /m necessary to construct the 90 % confidence bounds are listed in Table 2. Consequently, the
()
upper and lower confidence bounds for m are given by
mm= /q (19)
upper
00, 5
and
mm= /q (20)
lower
09, 5
respectively.
The example in Annex B demonstrates the use of Table 2 in constructing the upper and lower bounds.
Note that the statistically biased estimate of the Weibull modulus shall be used here. Again, this
procedure is not appropriate for censored statistics.
A convenient way to calculate confidence bounds is the usage of an interpolating function of the form
a a a
a a a
12//32 52/
1 2 3
qN()=+1 ++ ++ + (21)
p
2 3
3 5
N N N
N
N N
which can also be used for larger samples with N > 120. The corresponding coefficients for a are given
i
in Table 3. Formula (21) is asymptotically correct for large N and the deviation with respect to the
[17]
tabulated values in Table 2 is smaller than 0,5 % . Additionally, the coefficients for calculation of the
confidence bounds with respect to 95 % confidence level are listed in Table 4.
10 © ISO 2019 – All rights reserved
6.5.2 Confidence bounds can be constructed for the estimated Weibull characteristic strength. However,
the percentile distributions needed to construct the bounds do not involve the same normalized ratios or
the same tables as those used for the Weibull modulus. Define the function:
σ
q
tm= ln (22)
σ
q
The 90 % confidence bound on the characteristic strength is obtained from the 5 and 95 percentile
distributions of t, so that the upper and lower confidence bounds are given by:
σσ= exp −tm/ (23)
qq
() () 00, 5
upper
σσ= exp −tm/ (24)
qq
() () 09, 5
lower
For the point estimate of the characteristic strength, these percentile distributions are listed in Table 5.
Again an interpolating function for t is defined by
p
b b b
b b b
12//32 52/
1 2
tN =+ ++ ++ (25)
()
p
2 3
3 5
N N N
N
N N
which allows an analytic and accurate calculation of the confidence bounds. In Table 6 and Table 7 the
corresponding coefficients b are listed with respect to 90 % and 95 % confidence level respectively.
i
An example in Annex B demonstrates the use of Table 5 in constructing upper and lower bounds on σ .
q
Note that the biased estimate of the Weibull modulus (i.e. the result of the maximum likelihood
procedure [see Formula (15)] shall be used here. This procedure is not appropriate for censored
statistics. Formula (22) is not applicable for developing confidence bounds on σ therefore the
confidence bounds on σ . should not be converted through the use of Formulae (10) and (12).
q
Table 2 — Normalized upper and lower bounds on the maximum likelihood estimate of the
Weibull modulus — 90 % confidence interval
Number of q q Number of q q
0,05 0,95 0,05 0,95
specimens, N specimens, N
5 0,683 2,779 42 0,842 1,265
6 0,697 2,436 44 0,845 1,256
7 0,709 2,183 46 0,847 1,249
8 0,720 2,015 48 0,850 1,242
9 0,729 1,896 50 0,852 1,235
10 0,738 1,807 52 0,854 1,229
11 0,745 1,738 54 0,857 1,224
12 0,752 1,682 56 0,859 1,218
13 0,759 1,636 58 0,861 1,213
14 0,764 1,597 60 0,863 1,208
15 0,770 1,564 62 0,864 1,204
16 0,775 1,535 64 0,866 1,200
17 0,779 1,510 66 0,868 1,196
18 0,784 1,487 68 0,869 1,192
19 0,788 1,467 70 0,871 1,188
20 0,791 1,449 72 0,872 1,185
22 0,798 1,418 74 0,874 1,182
Table 2 (continued)
Number of q q Number of q q
0,05 0,95 0,05 0,95
specimens, N specimens, N
24 0,805 1,392 76 0,875 1,179
26 0,810 1,370 78 0,876 1,176
28 0,815 1,351 80 0,878 1,173
30 0,820 1,334 85 0,881 1,166
32 0,824 1,319 90 0,883 1,160
34 0,828 1,306 95 0,886 1,155
36 0,832 1,294 100 0,888 1,150
38 0,835 1,283 110 0,893 1,141
40 0,839 1,273 120 0,897 1,133
Table 3 — Coefficients according to Formula (16) for the normalized upper and lower bounds on
the maximum likelihood estimate of the Weibull modulus — 90 % confidence interval
a a a a a a
1/2 1 3/2 2 5/2 3
p = 0,05 −1,280 61 2,088 03 −2,365 01 −1,941 65 13,623 8 −14,666 1
p = 0,95 1,283 79 2,136 0 3,451 5 8,520 81 −19,55 11 65,739 1
Table 4 — Coefficients according to Formula (16) for the normalized upper and lower bounds on
the maximum likelihood estimate of the Weibull modulus — 95 % confidence interval
a a a a a a
1/2 1 3/2 2 5/2 3
p = 0,025 −1,523 97 2,531 61 −2,673 06 −4,644 68 22,357 7 −22,903 6
p = 0,975 1,521 37 2,993 89 −0,318 37 44,728 8 −123,859 202,815
Table 5 — Normalized upper and lower bounds on the function t — 90 % confidence interval
Number of t t Number of t t
0,05 0,95 0,05 0,95
specimens, N specimens, N
5 −1,247 1,107 42 −0,280 0,278
6 −1,007 0,939 44 −0,273 0,271
7 −0,874 0,829 46 −0,266 0,264
8 −0,784 0,751 48 −0,260 0,258
9 −0,717 0,691 50 −0,254 0,253
10 −0,665 0,644 52 −0,249 0,247
11 −0,622 0,605 54 −0,244 0,243
12 −0,587 0,572 56 −0,239 0,238
13 −0,557 0,544 58 −0,234 0,233
14 −0,532 0,520 60 −0,230 0,229
15 −0,509 0,499 62 −0,226 0,225
16 −0,489 0,480 64 −0,222 0,221
17 −0,471 0,463 66 −0,218 0,218
18 −0,455 0,447 68 −0,215 0,214
19 −0,441 0,433 70 −0,211 0,211
20 −0,428 0,421 72 −0,208 0,208
22 −0,404 0,398 74 −0,205 0,205
24 −0,384 0,379 76 −0,202 0,202
12 © ISO 2019 – All rights reserved
Table 5 (continued)
Number of t t Number of t t
0,05 0,95 0,05 0,95
specimens, N specimens, N
26 −0,367 0,362 78 −0,199 0,199
28 −0,352 0,347 80 −0,197 0,197
30 −0,338 0,334 85 −0,190 0,190
32 −0,326 0,323 90 −0,184 0,185
34 −0,315 0,312 95 −0,179 0,179
36 −0,305 0,302 100 −0,174 0,175
38 −0,296 0,293 110 −0,165 0,166
40 −0,288 0,285 120 −0,158 0,159
Table 6 — Coefficients according to Formulae (19) and (20) for the function t used to calculate
the upper and lower bounds on the maximum likelihood estimate of the characteristic
strength — 90 % confidence interval
b b b b b b
1/2 1 3/2 2 5/2 3
p = 0,05 −1,726 2 −0,187 398 0,059 163 −17,199 8 40,928 9 −59,972 8
p = 0,95 1,731 0 0,055 668 2,308 3 1,671 11 −4,038 37 13,695 1
Table 7 — Coefficients according to Formulae (19) and (20) for the function t used to calculate
the upper and lower bounds on the maximum likelihood estimate of the characteristic strength
— 95 % confidence interval
b b b b b b
1/2 1 3/2 2 5/2 3
p = 0,025 −2,059 32 −0,048 120 6 −1,388 13 −19,065 2 51,812 7 −93,808 2
p = 0,975 2,063 75 0,122 882 3,496 57 2,904 76 −10,659 3 30,435 5
7 Method B: maximum likelihood parameter estimators for competing flaw
populations
7.1 General
This document outlines the application of parameter estimation methods based on the maximum
likelihood technique. This technique has certain advantages, especially when parameters are to be
determined from censored failure populations. When a sample of test specimens yields two or more
distinct flaw distributions, the sample is said to contain censored data, and the associated methods
for censored data shall be used. The methods described in this document include censoring techniques
that apply to multiple concurrent flaw distributions. However, the techniques for parameter estimation
presented in this document are not directly applicable to data sets that contain exclusive or compound
[7]
multiple flaw distributions .
The estimation techniques for censored data presented herein require positive confirmation of multiple
flaw distributions, which necessitates fractographic examination in order to characterize the fracture
origin in each specimen. Multiple flaw distributions may be further evidenced by deviation from the
linearity of the data from a single Weibull distribution.
For data sets with multiple active flaw distributions where one flaw distribution (identified by
fractographic analysis) occurs in a small number of specimens, it is sufficient to report the existence
of this flaw distribution (and the number of occurrences), but it is not necessary to estimate Weibull
parameters. Estimates of the Weibull parameters for this flaw distribution would be potentially biased
with wide confidence bounds (neither of which could be quantified). However, special note should be
made in the report if the occurrences of this flaw distribution take place in the upper or lower tail of the
sample strength distribution.
7.2 Censored data
7.2.1 The application of the censoring techniques presented in this document can be complicated
by the presence of test specimens that fail from extraneous flaws, fractures that originate outside the
effective gauge section, and unidentified fracture origins. If these complications arise, the strength data
from these specimens should generally not be discarded. Strength data from specimens with fracture
[3]
origins outside the effective gauge section as well as from specimens with fractures that originate from
[20][21]
extraneous flaws should be censored , and the maximum likelihood methods presented in this
document are applicable.
7.2.2 This document recognizes four options the experimentalist can pursue when unidentified
fracture origins are encountered during fractographic examinations. Specimens with unidentified
fracture origins can be:
a) assigned a previously identified flaw distribution using inferences based on all available
fractographic information;
b) assigned the same flaw distribution as that of the specimen closest in strength;
c) assigned a new and as yet unspecified flaw distribution;
d) be removed from the sample.
7.2.3 It is imperative that the number of unidentified fracture origins, and how they were classified,
be stated in the test report. A discussion of the appropriateness of each option appears in Annex C. If the
strength data and the resulting parameter estimates are used for component design, the engineer shall
consult with the fractographer before and after performing the fractographic examination. Considerable
judgement may be needed to identify the correct option. Whenever partial fractographic inf
...
NORME ISO
INTERNATIONALE 20501
Deuxième édition
2019-03
Céramiques techniques — Analyse
statistique de Weibull des données de
résistance à la rupture
Fine ceramics (advanced ceramics, advanced technical ceramics) —
Weibull statistics for strength data
Numéro de référence
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ISO 2019
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être demandée à l’ISO à l’adresse ci-après ou au comité membre de l’ISO dans le pays du demandeur.
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Fax: +41 22 749 09 47
E-mail: copyright@iso.org
Web: www.iso.org
Publié en Suisse
ii © ISO 2019 – Tous droits réservés
Sommaire Page
Avant-propos .iv
Introduction .v
1 Domaine d’application . 1
2 Références normatives . 1
3 Termes et définitions . 1
3.1 Populations de défauts . 1
3.2 Essais mécaniques . 3
3.3 Termes statistiques . 3
3.4 Distributions de Weibull . 4
4 Symboles . 6
5 Signification et utilisation. 7
6 Méthode A: estimateurs des paramètres statistiques pour les populations uniques
de défauts: maximum de vraisemblance . 8
6.1 Généralités . 8
6.2 Données censurées . 8
6.3 Fonctions de vraisemblance . 8
6.4 Correction du biais . 9
6.5 Intervalles de confiance .10
7 Méthode B: estimateurs des paramètres statistiques pour les populations de
défauts concurrentes: maximum de vraisemblance .14
7.1 Généralités .14
7.2 Données censurées .15
7.3 Fonctions de vraisemblance .15
8 Mode opératoire.16
8.1 Observations aberrantes .16
8.2 Fractographie .16
8.3 Représentation graphique .17
9 Rapport d’essai .19
Annexe A (informative) Conversion à des paramètres spécifiques du matériau, de la
distribution de résistances à la rupture .21
Annexe B (informative) Exemples .24
Annexe C (informative) Éprouvettes avec origine de rupture non identifiée .31
Annexe D (informative) Programme en Fortran .34
Bibliographie .40
Avant-propos
L’ISO (Organisation internationale de normalisation) est une fédération mondiale d’organismes
nationaux de normalisation (comités membres de l’ISO). L’élaboration des Normes internationales est
en général confiée aux comités techniques de l’ISO. Chaque comité membre intéressé par une étude
a le droit de faire partie du comité technique créé à cet effet. Les organisations internationales,
gouvernementales et non gouvernementales, en liaison avec l’ISO participent également aux travaux.
L’ISO collabore étroitement avec la Commission électrotechnique internationale (IEC) en ce qui
concerne la normalisation électrotechnique.
Les procédures utilisées pour élaborer le présent document et celles destinées à sa mise à jour sont
décrites dans les Directives ISO/IEC, Partie 1. Il convient, en particulier de prendre note des différents
critères d’approbation requis pour les différents types de documents ISO. Le présent document a été
rédigé conformément aux règles de rédaction données dans les Directives ISO/IEC, Partie 2 (voir www
.iso .org/directives).
L’attention est attirée sur le fait que certains des éléments du présent document peuvent faire l’objet de
droits de propriété intellectuelle ou de droits analogues. L’ISO ne saurait être tenue pour responsable
de ne pas avoir identifié de tels droits de propriété et averti de leur existence. Les détails concernant
les références aux droits de propriété intellectuelle ou autres droits analogues identifiés lors de
l’élaboration du document sont indiqués dans l’Introduction et/ou dans la liste des déclarations de
brevets reçues par l’ISO (voir www .iso .org/brevets).
Les appellations commerciales éventuellement mentionnées dans le présent document sont données
pour information, par souci de commodité, à l’intention des utilisateurs et ne sauraient constituer un
engagement.
Pour une explication de la nature volontaire des normes, la signification des termes et expressions
spécifiques de l’ISO liés à l’évaluation de la conformité, ou pour toute information au sujet de l’adhésion
de l’ISO aux principes de l’Organisation mondiale du commerce (OMC) concernant les obstacles
techniques au commerce (OTC), voir le lien suivant: www .iso .org/iso/fr/avant -propos.
Le présent document a été élaboré par le comité technique ISO/TC 206, Céramiques techniques.
Cette deuxième édition annule et remplace la première édition (ISO 20501:2003), qui a fait l’objet d’une
révision technique. Elle comprend également le Rectificatif technique ISO 20501:2003/Cor.1:2009.
Les principales modifications par rapport à l’édition précédente sont les suivantes:
— mise à jour et modification des termes et définitions de l’Article 3;
— introduction d’une méthode pour traiter un plus grand nombre d’échantillons (N > 120) pour la
méthode A: estimateurs des paramètres statistiques pour les populations uniques de défauts:
maximum de vraisemblance;
— dans l’Annexe D, ajout de codes d’exemple pour le calcul des paramètres du maximum de
vraisemblance de la distribution de Weibull avec un logiciel d’analyse moderne.
Il convient que l’utilisateur adresse tout retour d’information ou toute question concernant le présent
document à l’organisme national de normalisation de son pays. Une liste exhaustive desdits organismes
se trouve à l’adresse www .iso .org/fr/members .html.
iv © ISO 2019 – Tous droits réservés
Introduction
La résistance à la rupture est déterminée pour l’une de ces deux raisons: soit pour la comparaison
de la qualité relative de deux matériaux en termes de résistance à la rupture, soit pour le calcul de
la probabilité de rupture d’une structure. Le présent document permet l’estimation des paramètres
statistiques de la distribution des résistances à la rupture qui sont nécessaires aux deux. De plus, le
présent document encourage l’intégration de données de propriétés mécaniques et d’une analyse
fractographique.
NORME INTERNATIONALE ISO 20501:2019(F)
Céramiques techniques — Analyse statistique de Weibull
des données de résistance à la rupture
1 Domaine d’application
Le présent document traite de l’analyse statistique des données de résistance uniaxiale à la rupture
et de l’estimation des paramètres de leur distribution statistique pour les céramiques techniques qui
rompent de manière fragile. La résistance à la rupture des céramiques techniques est traitée comme
une variable aléatoire continue. En général, plusieurs éprouvettes de géométrie bien définie sont
rompues dans des conditions de chargement isothermes bien définies. La charge à laquelle se rompt
chaque éprouvette est enregistrée. Les paramètres associés à la distribution statistique des contraintes
de rupture correspondantes sont déterminés.
Le présent document est limité à l’hypothèse que la distribution des résistances à la rupture est la
distribution de Weibull à deux paramètres avec correction d’échelle. En outre, le présent document
est limité aux éprouvettes (résistance à la traction, à la flexion, anneau sous pression, etc.) qui sont
principalement soumises à des états de contrainte uniaxiaux. Les paragraphes 6.4 et 6.5 présentent
des méthodes pour corriger les biais dans les paramètres de Weibull estimés, et pour calculer les
limites de confiance de ces estimations à partir de séries de données où toutes les ruptures proviennent
d’une population de défauts unique (c’est-à-dire un seul mode de rupture). Dans les échantillons où
les ruptures proviennent de plusieurs populations de défauts indépendantes (par exemple, modes de
rupture concurrents), les méthodes présentées en 6.4 et en 6.5 pour la correction du biais et les limites
de confiance ne sont pas applicables.
2 Références normatives
Le présent document ne contient aucune référence normative.
3 Termes et définitions
Pour les besoins du présent document, les termes et définitions suivants s’appliquent.
L’ISO et l’IEC tiennent à jour des bases de données terminologiques destinées à être utilisées en
normalisation, consultables aux adresses suivantes:
— ISO Online browsing platform: disponible à l’adresse https: //www .iso .org/obp
— IEC Electropedia: disponible à l’adresse http: //www .electropedia .org/
NOTE Voir également la Référence [1].
3.1 Populations de défauts
3.1.1
défaut
hétérogénéité, discontinuité ou élément dans un matériau, qui agit comme un concentrateur de
contraintes sous une charge mécanique et qui cause donc un certain risque de rupture mécanique
Note 1 à l'article: Le défaut devient critique s’il agit comme origine de la rupture dans une éprouvette.
3.1.2
données censurées
mesures de la résistance à la rupture (c’est-à-dire un échantillon) correspondant à des observations
de rupture suspendues telles que celles produites en présence de plusieurs populations de défauts
concurrentes
Note 1 à l'article: Un échantillon pour lequel la fractographie a clairement établi l’existence de trois distributions
de défauts concurrentes est considéré (mais cette discussion est applicable à tout échantillon, quel qu’en soit
le nombre de distributions de défauts concurrentes). Les trois distributions de défauts concurrentes sont ici
nommées A, B et C. Sur la base des analyses fractographiques, la résistance de chaque éprouvette est affectée
à une distribution de défauts qui ont amorcé la rupture. Lors de l’estimation des paramètres qui caractérisent
la distribution des résistances associée à la distribution de défauts A, toutes les éprouvettes (et pas seulement
celles dont la rupture est due à des défauts de type A) doivent être prises en compte dans l’analyse pour assurer
l’efficacité et l’exactitude des estimations des paramètres statistiques. La résistance à la rupture d’une éprouvette
dont la rupture est due à un défaut de type B (ou de type C) est traitée comme une observation censurée à droite
par rapport à la distribution de défauts A. Une rupture due à un défaut de type B (ou de type C) limite, ou censure,
les informations concernant les défauts de type A dans une éprouvette en suspendant l’essai avant qu’une
[2]
rupture se produise en raison d’un défaut de type A. La résistance du défaut de type A le plus sévère dans
les éprouvettes dont la rupture est due à des défauts de type B (ou de type C) est supérieure à (et donc à droite
de) la résistance observée. Cependant, aucune information n’est fournie en ce qui concerne l’amplitude de cette
différence. Les techniques d’analyse des données censurées introduites dans le présent document utilisent ces
informations incomplètes pour fournir des estimations efficaces et relativement peu biaisées des paramètres
statistiques de la distribution.
3.1.3
modes de rupture concurrents
types distinctement différents d’origines de rupture qui résultent de distributions de défauts
concurrentes
3.1.4
distribution de défauts composée
toute forme de distribution multiple de défauts qui n’est ni purement concurrente, ni purement exclusive
Note 1 à l'article: Par exemple, chaque éprouvette contient la distribution de défauts A, alors qu’une partie des
éprouvettes contient une seconde distribution de défauts B indépendante.
3.1.5
distribution de défauts concurrente
type de distribution multiple de défauts dans un matériau homogène où chaque éprouvette de ce
matériau contient des défauts appartenant à chaque population de défauts indépendante
Note 1 à l'article: Au sein d’une éprouvette donnée, toutes les populations de défauts sont alors présentes
simultanément et se concurrencent pour provoquer la rupture.
3.1.6
distribution de défauts exclusive
distribution de défauts mélangés
type de distribution multiple de défauts créé en mélangeant et en répartissant au hasard des éprouvettes
de deux versions ou plus d’un matériau dont chaque version contient une population de défauts unique
différente
Note 1 à l'article: Ainsi, chaque éprouvette contient des défauts exclusivement d’une distribution unique, mais
l’ensemble des données reflète plusieurs types de défauts contrôlant la résistance à la rupture.
3.1.7
défaut extrinsèque
défaut contrôlant la résistance à la rupture observé dans une partie des éprouvettes qui ne peut pas
être présent dans le composant en cours de conception
Note 1 à l'article: Par exemple, les défauts d’usinage dans les éprouvettes d’essai en flexion polies qui ne seront
pas présents dans les composants frittés du même matériau.
2 © ISO 2019 – Tous droits réservés
3.2 Essais mécaniques
3.2.1
longueur de jauge effective
la portion de la géométrie de l’éprouvette comprise dans les limites d’intégration (volume, surface ou
longueur d’arête) de la fonction de distribution de Weibull
Note 1 à l'article: Dans les éprouvettes de traction, l’intégration de la fonction peut être limitée à la longueur
de jauge soumise à une contrainte uniforme, ou elle peut s’étendre pour inclure les régions de transition et
d’épaulement.
3.2.2
fractographie
analyse et caractérisation des faciès à la surface de rupture d’une éprouvette
Note 1 à l'article: La fractographie peut être utilisée pour déterminer la nature et l’emplacement de l’origine
critique de la rupture provoquant la rupture catastrophique d’une éprouvette ou d’un composant en céramique
technique.
3.3 Termes statistiques
3.3.1
intervalle de confiance
intervalle au sein duquel il est attendu de trouver le paramètre vrai de la population
Note 1 à l'article: Les intervalles de confiance dépendent fonctionnellement du type d’estimateur utilisé et de
la taille de l’échantillon. Le niveau de l’attente est associé à un niveau de confiance donné. Lorsque des limites
de confiance sont comparées à l’estimation du paramètre, il est possible de quantifier l’incertitude associée à
l’estimation d’un point de la population de paramètres.
3.3.2
niveau de confiance
probabilité que le paramètre vrai de la population se trouve dans un intervalle de confiance spécifié
3.3.3
estimateur
fonction permettant de calculer une estimation d’une quantité donnée sur la base de données observées
Note 1 à l'article: La valeur résultante pour un échantillon donné peut être une estimation d’un paramètre de la
distribution (un point d’estimation) associée à la population sous-jacente, par exemple, la moyenne arithmétique
d’un échantillon est un estimateur de la moyenne de la distribution.
3.3.4
population
ensemble de données ou d’éléments étudiés
3.3.5
fonction densité de probabilité
fdp
fonction f (x) pour la variable aléatoire continue X si
fx ≥ 0 (1)
()
et
∞
fx dx = 1 (2)
()
∫
−∞
Note 1 à l'article: La probabilité que la variable aléatoire X prenne une valeur comprise entre a et b est donnée par:
b
Pr()aX<
∫
a
3.3.6
fonction de distribution cumulée
fonction F (x) décrivant la probabilité qu’une variable aléatoire continue X prenne une valeur inférieure
ou égale à un nombre x
Note 1 à l'article: La fonction de distribution cumulée (fdc) est donc liée à la fonction densité de probabilité f (x) par:
x
Fx =−Pr ∞< Xx< = fx´´dx (4)
() () ()
∫
−∞
Intégrer la Formule (4) par rapport à x indique que la fdp est simplement la dérivée de la fdc:
dF()x
fx = (5)
()
dx
Note 2 à l'article: Conformément à 3.3.5, F (x) est une fonction monotone croissante sur la plage comprise
entre 0 et 1.
3.3.7
estimateur de classement
fonction qui estime la probabilité de rupture correspondant à une mesure particulière de résistance à
la rupture dans un échantillon dont les valeurs sont ordonnées
3.3.8
échantillon
ensemble de mesures ou d’observations prises dans une population donnée
3.3.9
biais statistique
type de décalage numérique cohérent dans une estimation relative à la valeur sous-jacente vraie,
inhérent à la plupart des estimations
3.3.10
estimateur non biaisé
estimateur dont le biais statistique a été corrigé
3.4 Distributions de Weibull
3.4.1
distribution de Weibull
fonction de distribution continue qui peut être utilisée pour décrire les données empiriques des
mesurages lorsque la variable aléatoire continue x a une distribution de Weibull à deux paramètres si la
fonction densité de probabilité est donnée par:
mm−1
mx x
fx = expl− orsquex ≥0 (6)
()
ββ β
ou
fx =<00lorsque x (7)
()
4 © ISO 2019 – Tous droits réservés
et la fonction de distribution cumulée est donnée par:
m
x
Fx()=−10exp − lorsquex ≥ (8)
β
ou
Fx =<00lorsquex (9)
()
où
m est le module de Weibull (ou le paramètre de forme) (>0);
β est le facteur d’échelle de Weibull (>0).
Note 1 à l'article: La variable aléatoire représentant la résistance à la traction uniaxiale d’une céramique
technique ne prend que des valeurs positives. Si la variable aléatoire représentant la résistance à la traction
uniaxiale d’une céramique technique est caractérisée par les Formules (6) à (9), alors la probabilité que cette
céramique technique rompe sous une contrainte de traction uniaxiale appliquée σ est donnée par la fonction de
distribution cumulée:
m
σ
P =−10exp − lorsqueσ ≥ (10)
f
σ
q
P =<00lorsqueσ (11)
f
où
P est la probabilité de rupture;
f
σ est la résistance caractéristique de Weibull.
θ
Note 2 à l'article: La résistance caractéristique de Weibull dépend de l’éprouvette uniaxiale (résistance à la
traction, à la flexion, anneau sous pression) et changera avec la géométrie de l’éprouvette. De plus, la résistance
caractéristique de Weibull a les mêmes unités que les contraintes et doit être définie à l’aide des unités SI: Pa, ou
selon le besoin MPa ou GPa.
Note 3 à l'article: Une autre expression pour la probabilité de rupture est donnée par:
m
1 σ
P =−1 exp − dV lorsqueσ >0 (12)
f
∫
V
V σ
00
P =≤00lorsqueσ (13)
f
L’intégration dans l’exponentielle est effectuée sur toutes les régions soumises à la traction du volume de
l’éprouvette (V) si les défauts définissant la résistance sont distribués aléatoirement dans tout le volume du
matériau, ou sur toutes les régions soumises à la traction de la surface de l’éprouvette si les défauts sont situés
seulement à la surface de l’éprouvette. L’intégration est parfois effectuée sur une longueur de jauge effective
plutôt que sur le volume ou la surface totaux. Dans la Formule (12), σ est le facteur d’échelle du matériau de
Weibull et peut être décrit comme la résistance caractéristique de Weibull d’une éprouvette avec un volume ou
une surface unitaire sous un chargement en traction uniaxiale uniforme. Pour une géométrie d’éprouvette
donnée, les Formules (10) et (12) peuvent être combinées pour donner une expression liant σ et σ (cela signifie:
0 θ
1/m
σσV = ). L’Annexe A traite plus en détail de ce sujet.
q 0
4 Symboles
A aire de l’éprouvette
b dimension de la longueur de jauge, largeur de l’éprouvette d’essai en flexion
d dimension de la longueur de jauge, hauteur de l’éprouvette d’essai en flexion
f (x) fonction densité de probabilité
F(x) fonction de distribution cumulée
L fonction de vraisemblance
L distance des points de charge pour une éprouvette d’essai en flexion
i
L distance des points d’appui pour une éprouvette d’essai en flexion
o
m module de Weibull
estimation du module de Weibull
m
estimation sans biais du module de Weibull
m
U
N nombre d’éprouvettes dans un échantillon
P probabilité de rupture
f
q quantité intermédiaire définie en 6.5.1, utilisée dans le calcul des limites de confiance
r nombre d’éprouvettes dont la rupture est due à la population de défauts pour laquelle les esti-
mateurs de Weibull sont calculés
t quantité intermédiaire définie par la Formule (22), utilisée dans le calcul des limites de
confiance
FCB facteur de correction du biais
V volume d’éprouvette en tension
V volume unité
V volume effectif
eff
x réalisation d’une variable aléatoire X
X variable aléatoire
β facteur d’échelle de Weibull
σ contrainte de traction uniaxiale
estimation de la résistance moyenne
σ
e
σ contrainte maximale dans la j éprouvette au moment de la rupture
j
σ facteur d’échelle du matériau de Weibull (résistance relative à la taille unité) défini dans la
Formule (12)
6 © ISO 2019 – Tous droits réservés
estimation du facteur d’échelle du matériau de Weibull
σ
σ résistance caractéristique de Weibull (associée à une éprouvette) définie dans la Formule (10)
θ
estimation de la résistance caractéristique de Weibull
σ
q
5 Signification et utilisation
5.1 Le présent document permet à l’expérimentateur d’estimer des paramètres de distribution de
Weibull à partir de données de rupture. Ces paramètres permettent une description de la nature
statistique de la rupture des matériaux céramiques techniques à différentes fins, particulièrement une
mesure de la fiabilité puisqu’elle est liée aux données de résistance utilisées pour les besoins de la
conception mécanique. Les valeurs de résistance à la rupture dépendent de la taille et de la géométrie de
l’éprouvette. Des estimations des paramètres peuvent être calculées pour une géométrie donnée de
l’éprouvette (,m σ ) mais il est suggéré de transformer et de consigner les estimations des paramètres
q
en tant que paramètres spécifiques au matériau (,m σ ). De plus, différentes populations de défauts
(par exemple des ruptures dues à des inclusions ou à des dommages dus à l’usinage) peuvent être
observées, et chacune aura ses propres paramètres de distribution de résistance. Le mode opératoire
pour la transformation des estimations des paramètres pour les géométries d’éprouvette habituelles et
les distributions de défauts est présenté dans l’Annexe A.
5.2 Le présent document propose deux approches, la méthode A et la méthode B, qui s’appliquent à
deux cas différents.
La méthode A fournit une analyse simple dans le cas où il est connu ou supposé que la nature des défauts
contrôlant la résistance à la rupture correspond à une population unique. Il n’est donc pas nécessaire de
recourir à une analyse fractographique pour identifier et grouper les résultats d’essai en fonction des
types de défauts. Cette méthode suffit pour un simple filtrage des matériaux.
La méthode B fournit une analyse pour le cas général dans lequel des populations de défauts
concurrentes existent. Cette méthode convient pour la conception et l’analyse finales des composants.
Elle nécessite la réalisation d’une analyse fractographique pour identifier la nature des défauts limitant
la résistance et pour attribuer les données de rupture aux populations de défauts correspondantes.
5.3 Dans la méthode A, une série de données de résistance à la rupture peut être analysée et les valeurs
du module et de la résistance caractéristique de Weibull (,m σ ) sont produites, avec les limites de
q
confiance. Si nécessaire, l’estimation de la résistance moyenne peut être calculée. Une représentation
graphique des données de rupture et un rapport d’essai peuvent être préparés. Il convient de noter que
les limites de confiance sont souvent très éloignées, ce qui indique qu’il convient de ne pas utiliser les
résultats de l’analyse pour extrapoler loin au-delà des limites existantes de probabilité de rupture. Une
hypothèse nécessaire pour une extrapolation valide (par rapport au volume effectif V sollicité pendant
eff
l’essai et/ou à de faibles probabilités de rupture) est que les populations de défauts de toutes les
éprouvettes d’essai soient du même type.
5.4 Dans la méthode B, commencer par effectuer un examen fractographique de chaque éprouvette
rompue afin de caractériser les origines de ruptures. Rechercher les aberrations au sein des données
associées à chaque distribution de défauts. Si toutes les ruptures proviennent d’une distribution de
défauts unique, calculer une estimation sans biais du module de Weibull et calculer les limites de confiance
pour le module de Weibull estimé et la résistance caractéristique de Weibull estimée. Si les ruptures
proviennent de plusieurs types de défauts, séparer les populations de données associées à chaque type
de défaut et les soumettre individuellement à l’analyse de données censurées. Finalement, préparer une
représentation graphique des données de rupture et un rapport d’essai. Lors de l’utilisation des résultats
de l’analyse pour la conception de composants, il convient de retenir qu’il existe une hypothèse implicite
que les populations de défauts dans les éprouvettes et dans les composants sont du même type.
6 Méthode A: estimateurs des paramètres statistiques pour les populations
uniques de défauts: maximum de vraisemblance
6.1 Généralités
Le présent document présente l’application des méthodes d’estimation des paramètres basées
sur la méthode du maximum de vraisemblance (voir également Références [13], [14], [20] et [21]).
Cette technique présente certains avantages. Les estimations des paramètres obtenues en utilisant
la technique du maximum de vraisemblance sont uniques (pour une distribution de Weibull à
deux paramètres) et, à mesure que la taille de l’échantillon augmente, les estimations approchent
statistiquement les valeurs réelles de la population plus efficacement que les autres techniques
d’estimation.
6.2 Données censurées
L’application des techniques présentées dans le présent document peut être compliquée par la présence
d’éprouvettes dont la rupture est due à des défauts extrinsèques, ne provient pas de la section de jauge
effective et dont l’origine n’est pas identifiée. Si ces complications surviennent, il convient généralement
de ne pas ignorer les données de résistance de ces éprouvettes. Il convient de censurer les données des
[3]
éprouvettes dont la rupture ne provient pas de la section de jauge effective et des éprouvettes dont la
rupture provient de défauts extrinsèques, et les méthodes du maximum de vraisemblance présentées
dans la méthode B (Article 7) s’appliquent. Il est impératif que le nombre d’origines de rupture non
identifiées, et leur mode de classement, soient consignés dans le rapport d’essai. Une discussion de la
justesse de chaque option est disponible en 7.2.2.
Appliquer l’analyse de données censurées implique qu’il est supposé que les populations de défauts sont
concurrentes. Cela est un choix, qu’il convient d’indiquer dans le rapport d’essai.
6.3 Fonctions de vraisemblance
La fonction de vraisemblance pour la distribution de Weibull à deux paramètres d’un échantillon avec
[4]
une population de défauts unique est définie par la Formule (14):
m−1 m
N
m σ σ
i i
L= exp − (14)
∏
σ σ σ
qq q
i==1
e
NOTE σ est la contrainte maximale dans la i éprouvette au moment de la rupture et N est le nombre
i
d’éprouvettes dans l’échantillon analysé. Les estimations des paramètres (le module de Weibull, m, et la
résistance caractéristique, σ ) sont déterminées à l’aide des dérivées partielles du logarithme de la fonction de
q
vraisemblance par rapport à m et σ ) et en annulant les expressions résultantes.
q
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Le système d’équations obtenu en dérivant le logarithme de la fonction de vraisemblance pour un
[5]
échantillon avec une population de défauts unique est donné par:
N
m
σσln
() ()
∑ i i
N
i=1
− ln σ −=0 (15)
()
∑ i
N
N
m
m
i=1
σ
()
∑ i
i=1
et
N
m
m
σσ= (16)
q ()
∑ i
N
i=1
La Formule (15) est d’abord résolue pour m . Ensuite, σ est calculé à partir de la Formule (16). Il est
q
impossible d’obtenir une solution analytique de la Formule (15) pour m . Cette équation doit être résolue
numériquement.
Comme la résistance caractéristique reflète également la géométrie de l’éprouvette et les gradients de
contrainte, le présent document suggère de consigner le facteur d’échelle du matériau de Weibull
estimé, σ . Les expressions qui lient σ au facteur d’échelle du matériau de Weibull σ pour les
0 q
géométries types d’éprouvette sont données dans l’Annexe A.
6.4 Correction du biais
6.4.1 Les modes opératoires décrits ici, pour corriger les biais statistiques et pour calculer les limites
de confiance, ne conviennent que pour les séries de données dont toutes les ruptures proviennent d’une
population unique (c’est-à-dire un échantillon non censuré). Les modes opératoires pour la correction
du biais et les limites de confiance en présence de plusieurs populations de défauts actives ne sont pas
bien développés. Il est bien connu que les estimateurs du maximum de vraisemblance relatifs à la
distribution de Weibull à deux paramètres présentent un biais, mais sont cohérents (c’est-à-dire que le
décalage des valeurs attendues des paramètres de Weibull estimés tend vers zéro lorsque la taille de
l’échantillon augmente). Le biais statistique associé à l’estimateur σ est minimal (<0,3 % pour
q
20 éprouvettes, à comparer à un biais ≈ 7 % pour m avec le même nombre d’éprouvettes). Le présent
document permet donc l’hypothèse que σ est un estimateur sans biais du vrai paramètre de la
q
population. L’estimation du paramètre du module de Weibull, m, présente généralement un biais
statistique. La valeur de ce biais statistique dépend du nombre d’éprouvettes dans l’échantillon. Une
[6]
estimation sans biais de m doit être obtenue en multipliant m par des facteurs de correction du biais.
Ce mode opératoire est traité en 6.4.2. Le biais statistique associé aux estimateurs du maximum de
vraisemblance présenté dans le présent document peut être réduit en augmentant la taille de l’échantillon.
6.4.2 Un estimateur sans biais produit un biais statistique quasiment nul entre la valeur du paramètre
vrai et une estimation. L’écart peut être quantifié sous forme de pourcentage ou avec des facteurs de
correction du biais. Conformément à la pratique acceptée dans la littérature libre, le présent document
quantifie le biais statistique en utilisant des facteurs de correction du biais, notés ici FCB. Selon le nombre
d’éprouvettes dans un échantillon donné, l’estimation du module de Weibull, m , peut présenter un biais
statistique important. Une estimation sans biais du module de Weibull (notée m est obtenue en
U
multipliant l’estimation biaisée par un facteur de correction du biais approprié:
mm=×FCB (17)
U
Une liste des facteurs de correction du biais pour m est donnée dans le Tableau 1. Les valeurs du tableau
peuvent autrement être approchées par une fonction analytique simple f définie par:
FCB
−1,04033
fN =−11,61394×N (18)
()
FCB
Cette fonction interpole les valeurs du Tableau 1 avec des erreurs inférieures à 1 %, mais est également
[17]
applicable aux tailles d’échantillon N > 120 .
Dans l’Annexe B, un exemple montre l’utilisation du Tableau 1 et de la Formule (18) pour la correction
d’une estimation biaisée du module de Weibull.
Tableau 1 — Facteur de correction du biais pour l’estimation par la méthode du maximum de
vraisemblance du module de Weibull
Nombre Facteur de correction Nombre Facteur de correction
d’éprouvettes, N du biais, FCB d’éprouvettes, N du biais, FCB
5 0,700 42 0,968
6 0,752 44 0,970
7 0,792 46 0,971
8 0,820 48 0,972
9 0,842 50 0,973
10 0,859 52 0,974
11 0,872 54 0,975
12 0,883 56 0,976
13 0,893 58 0,977
14 0,901 60 0,978
15 0,908 62 0,979
16 0,914 64 0,980
18 0,923 66 0,980
20 0,931 68 0,981
22 0,938 70 0,981
24 0,943 72 0,982
26 0,947 74 0,982
28 0,951 76 0,983
30 0,955 78 0,983
32 0,958 80 0,984
34 0,960 85 0,985
36 0,962 90 0,986
38 0,964 100 0,987
40 0,966 120 0,990
6.5 Intervalles de confiance
6.5.1 Les limites de confiance quantifient l’incertitude associée à une estimation d’un paramètre de la
population. L’intervalle des limites de confiance pour les estimations par le maximum de vraisemblance
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des deux paramètres de Weibull diminue lorsque la taille de l’échantillon augmente. Les valeurs utilisées
pour construire les limites de confiance sont basées sur les distributions en percentile obtenues par
simulation de Monte-Carlo; par exemple, la limite de confiance à 90 % sur le module de Weibull est
e e
obtenue des distributions au 5 et au 95 percentile du rapport de m sur la vraie valeur de la population
m. Pour une estimation du module de Weibull, la liste des valeurs normalisées qm= /m nécessaires
()
pour construire les limites de confiance à 90 % est donnée dans le Tableau 2. Les limites de confiance
supérieure et inférieure pour m sont alors données par:
mm= /q (19)
supérieure
00, 5
et
mminférieure= /q (20)
09, 5
respectivement.
L’exemple de l’Annexe B démontre l’utilisation du Tableau 2 pour la construction des limites supérieure
et inférieure. Il est à noter que l’estimation présentant un biais statistique du module de Weibull doit
être utilisée ici. À nouveau, ce mode opératoire ne s’applique pas à la méthode des données censurées.
Une manière pratique de calculer les limites de confiance est l’utilisation d’une fonction d’interpolation
de la forme:
a a a
a a a
12//32 52/
1 2 3
qN =+1 ++ ++ + (21)
()
p
2 3
N 3 5
N N N
N N
qui peut également être utilisée pour des échantillons plus grands, avec N > 120. Les coefficients
correspondants pour a sont donnés dans le Tableau 3. La Formule (21) est asymptotiquement correcte
i
[17]
pour un N grand et l’écart par rapport aux valeurs du Tableau 2 est inférieur à 0,5 %. De plus, la liste
des coefficients pour le calcul des limites de confiance par rapport à un niveau de confiance de 95 % est
donnée dans le Tableau 4.
6.5.2 Les limites de confiance peuvent être déterminées pour les estimations de la résistance
caractéristique de Weibull. Cependant, les distributions en percentile nécessaires pour construire les
limites n’impliquent pas les mêmes rapports normalisés ou les mêmes tableaux que ceux utilisés pour le
module de Weibull. La fonction est définie par:
σ
q
tm= ln (22)
σ
q
e
La limite de confiance à 90 % sur la résistance caractéristique est obtenue des distributions au 5 et au
e
95 percentile de t, de sorte que les limites de confiance supérieure et inférieure sont données par:
σσ= exp −tm/ (23)
qq
( ) ( ) 00, 5
supérieure
σσ= exp −tm/ (24)
qq
( ) ( ) 09, 5
inférieure
Pour l’estimation ponctuelle de la résistance caractéristique, la liste de ces distributions en percentile
est donnée dans le Tableau 5. À nouveau, une fonction d’interpolation pour t est définie par:
p
b b b
b b b
12//32 52/
1 2 3
tN()=+ ++ ++ (25)
p 2 3
3 5
N N N
N
N N
qui permet un calcul analytique exact des limites de confiance. Dans le Tableau 6 et le Tableau 7, la liste
des coefficients correspondants b est donnée par rapport aux niveaux de confiance respectifs de 90 %
i
et 95 %.
Un exemple de l’Annexe B montre l’utilisation du Tableau 5 dans la détermination des limites supérieure
et inférieure sur σ . Il est à noter que l’estimation biaisée du module de Weibull (c’est-à-dire le résultat
q
du mode opératoire du maximum de vraisemblance [voir la Formule (15)]) doit être utilisée ici. Ce mode
opératoire ne s’applique pas à la méthode des données censurées. Il est à noter que la Formule (22) n’est
pas applicable pour la détermination des limites de confiance sur σ il convient donc que les limites de
confiance sur σ ne soient pas converties en utilisant les Formules (10) et (12).
q
Tableau 2 — Limites normalisées supérieure et inférieure sur l’estimation par la méthode du
maximum de vraisemblance du module de Weibull — intervalle de confiance à 90 %
Nombre d’éprou- q q Nombre d’éprou- q q
0,05 0,95 0,05 0,95
vettes, N vettes, N
5 0,683 2,779 42 0,842 1,265
6 0,697 2,436 44 0,845 1,256
7 0,709 2,183 46 0,847 1,249
8 0,720 2,015 48 0,850 1,242
9 0,729 1,896 50 0,852 1,235
10 0,738 1,807 52 0,854 1,229
11 0,745 1,738 54 0,857 1,224
12 0,752 1,682 56 0,859 1,218
13 0,759 1,636 58 0,861 1,213
14 0,764 1,597 60 0,863 1,208
15 0,770 1,564 62 0,864 1,204
16 0,775 1,535 64 0,866 1,200
17 0,779 1,510 66 0,868 1,196
18 0,784 1,487 68 0,869 1,192
19 0,788 1,467 70 0,871 1,188
20 0,791 1,449 72 0,872 1,185
22 0,798 1,418 74 0,874 1,182
24 0,805 1,392 76 0,875 1,179
26 0,810 1,370 78 0,876 1,176
28 0,815 1,351 80 0,878 1,173
30 0,820 1,334 85 0,881 1,166
32 0,824 1,319 90 0,883 1,160
34 0,828 1,306 95 0,886 1,155
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Tableau 2 (suite)
Nombre d’éprou- q q Nombre d’éprou- q q
0,05 0,95 0,05 0,95
vettes, N vettes, N
36 0,832 1,294 100 0,888 1,150
38 0,835 1,283 110 0,893 1,141
40 0,839 1,273 120 0,897 1,133
Tableau 3 — Coefficients conformément à la Formule (16) pour les limites normalisées
supérieure et inférieure sur l’estimation par la méthode du maximum de vraisemblance du
module de Weibull — intervalle de confiance à 90 %
a a a a a a
1/2 1 3/2 2 5/2 3
p = 0,05 −1,28061 2,08803 −2,36501 −1,94165 13,6238 −14,6661
p = 0,95 1,28379 2,1360 3,4515 8,52081 −19,5511 65,7391
Tableau 4 — Coefficients conformément à la Formule (16) pour les limites normalisées
supérieure et inférieure sur l’estimation par la méthode du maximum de vraisemblance du
module de Weibull — intervalle de confiance à 95 %
a a a a a a
1/2 1 3/2 2 5/2 3
p = 0,025 −1,52397 2,53161 −2,67306 −4,64468 22,3577 −22,9036
p = 0,975 1,52137 2,99389 −0,31837 44,7288 −123,859 202,815
Tableau 5 — Limites normalisées supérieure et inférieure sur la fonction t — intervalle de
confiance à 90 %
Nombre d’éprou- t t Nombre d’éprou- t t
0,05 0,95 0,05 0,95
vettes, N vettes, N
5 −1,247 1,107 42 −0,280 0,278
6 −1,007 0,939 44 −0,273 0,271
7 −0,874 0,829 46 −0,266 0,264
8 −0,784 0,751 48 −0,260 0,258
9 −0,717 0,691 50 −0,254 0,253
10 −0,665 0,644 52 −0,249 0,247
11 −0,622 0,605 54 −0,244 0,243
12 −0,587 0,572 56 −0,239 0,238
13 −0,557 0,544 58 −0,234 0,233
14 −0,532 0,520 60 −0,230 0,229
15 −0,509 0,499 62 −0,226 0,225
16 −0,489 0,480 64 −0,222 0,221
17 −0,471 0,463 66 −0,218 0,218
18 −0,455 0,447 68 −0,215 0,214
19 −0,441 0,433 70 −0,211 0,211
20 −0,428 0,421 72 −0,208 0,208
22 −0,404 0,398 74 −0,205 0,205
24 −0,384 0
...
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