ISO/TR 12845:2010

Selected illustrations of fractional factorial screening experiments

ISO/TR 12845:2010 describes the steps necessary to use and to analyse two-level fractional factorial designs through illustration with six distinct applications of this methodology.

Illustrations choisies de plans d'expériences factoriels fractionnaires

L'ISO/TR 12845:2010 décrit les étapes nécessaires à l'utilisation et à l'analyse des plans factoriels fractionnaires à deux niveaux en les caractérisant par six applications distinctes de cette méthodologie.

General Information

• Status: Published
• Publication Date: 19-Jul-2010
• ICS: 03.120.30 - Application of statistical methods
• Technical Committee: ISO/TC 69/SC 7 - Applications of statistical and related techniques for the implementation of Six Sigma
• Drafting Committee: ISO/TC 69/SC 7 - Applications of statistical and related techniques for the implementation of Six Sigma
• Current Stage: 9093 - International Standard confirmed
• Completion Date: 30-Jun-2017

Standards Content (Sample)

TECHNICAL ISO/TR
REPORT 12845
First edition
2010-08-01

Selected illustrations of fractional
factorial screening experiments
Illustrations choisies de plans d'expériences factoriels fractionnaires




Reference number
ISO/TR 12845:2010(E)
©
ISO 2010

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ISO/TR 12845:2010(E)
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Published in Switzerland

ii © ISO 2010 – All rights reserved

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ISO/TR 12845:2010(E)
Contents Page
Foreword .iv
Introduction.v
1 Scope.1
2 Normative references.1
3 Terms and definitions .1
4 Symbols and abbreviated terms .4
5 Generic description of fractional factorial designs .5
5.1 Overview of the structure of the examples in Annexes A to F .5
5.2 Overall objective(s) of the experiment (Step 1).5
5.3 Response variable(s) (Step 2) .5
5.4 Factors affecting the response(s) (Step 3) .5
5.5 Select a fractional factorial design (Step 4).6
5.6 Analyse the results — Numerical summaries and graphical displays (Step 5).7
5.7 Present the findings (Step 6).8
5.8 Perform confirmation runs (Step 7).8
6 Description of Annexes A to F .8
6.1 Comparing and contrasting the examples.8
6.2 Experiment summaries.8
Annex A (informative) Direct mail marketing campaign .10
Annex B (informative) Optimizing a polymer emulsion .20
Annex C (informative) Insight into PVC foam formulations .34
Annex D (informative) Process validation for an insulin product.47
Annex E (informative) Washing machine experiment .60
Annex F (informative) Aggregated shipworm bacterium.72
Bibliography.80

© ISO 2010 – All rights reserved iii

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ISO/TR 12845:2010(E)
Foreword
ISO (the International Organization for Standardization) is a worldwide federation of national standards bodies
(ISO member bodies). The work of preparing International Standards is normally carried out through ISO
technical committees. Each member body interested in a subject for which a technical committee has been
established has the right to be represented on that committee. International organizations, governmental and
non-governmental, in liaison with ISO, also take part in the work. ISO collaborates closely with the
International Electrotechnical Commission (IEC) on all matters of electrotechnical standardization.
International Standards are drafted in accordance with the rules given in the ISO/IEC Directives, Part 2.
The main task of technical committees is to prepare International Standards. Draft International Standards
adopted by the technical committees are circulated to the member bodies for voting. Publication as an
International Standard requires approval by at least 75 % of the member bodies casting a vote.
In exceptional circumstances, when a technical committee has collected data of a different kind from that
which is normally published as an International Standard (“state of the art”, for example), it may decide by a
simple majority vote of its participating members to publish a Technical Report. A Technical Report is entirely
informative in nature and does not have to be reviewed until the data it provides are considered to be no
longer valid or useful.
Attention is drawn to the possibility that some of the elements of this document may be the subject of patent
rights. ISO shall not be held responsible for identifying any or all such patent rights.
ISO/TR 12845 was prepared by Technical Committee ISO/TC 69, Applications of statistical methods,
Subcommittee SC 7, Applications of statistical and related techniques for the implementation of Six Sigma.
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ISO/TR 12845:2010(E)
Introduction
1)
The Six Sigma and international statistical standards communities share a philosophy of continuous
improvement and many analytical tools. The Six Sigma community tends to adopt a pragmatic approach
driven by time and resource constraints. The statistical standards community arrives at rigorous documents
through long-term international consensus. The disparities in time pressures, mathematical rigor, and
statistical software usage have inhibited exchanges, synergy and mutual appreciation between the two groups.
The present document takes one specific statistical tool (two-level fractional factorial design) and develops the
topic somewhat generically (in the spirit of International Standards) but then illustrates it through the use of six
detailed and distinct applications. The generic description focuses on the commonalities across the designs.
The annexes containing the six illustrations follow the basic framework but also identify the nuances and
peculiarities in the specific applications. Each example offers at least one “wrinkle” to the problem, which is
generally the case for real Six Sigma applications. It is thus hoped that practitioners can identify with at least
one of the six examples, if only to remind them of the basic material on fractional factorial designs that was
encountered during their Six Sigma training. Each of the six examples is developed and analysed using
statistical software of current vintage. The explanations throughout are devoid of mathematical detail – such
material can be readily obtained from the many design and analysis of experiments textbooks (such as those
given in the Bibliography).


1) Six Sigma is a trade mark of Motorola, Inc.
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TECHNICAL REPORT ISO/TR 12845:2010(E)

Selected illustrations of fractional factorial screening
experiments
1 Scope
This Technical Report describes the steps necessary to use and to analyse two-level fractional factorial
designs through illustration with six distinct applications of this methodology.
NOTE 1 Each of these six illustrations is similar in that resource constraints precluded the possibility of naively running
full factorial designs. Other commonalities among the six examples are noted [e.g. study objective, two levels for factors,
response variable(s), factors affecting the response]. On the other hand, the individual illustrations have some salient
features that are distinct.
NOTE 2 The examples suggest the spectrum of possibilities both in application area and in choice of fractional factorial
designs. Fractional factorial designs can be used to identify important factors for subsequent investigation (screening
design) and can in some cases provide a viable understanding of the process under study. Fractional factorial designs
include screening designs and designs that have been popularized by Genichi Taguchi.
NOTE 3 Fractional factorial experiments are sometimes employed by individuals (so-called “black belts” or “green
belts”) associated with Six Sigma methods. Six Sigma methods are concerned with problem solving and continuous
improvement. A fractional factorial experiment can be a cost-effective tool for obtaining timely improvements of processes
and products. Detailed discussions and treatment of other tools employed by Six Sigma practitioners can be identified in
various ISO/TC 69/SC 7 documents.
2 Normative references
The following referenced documents are indispensable for the application of this document. For dated
references, only the edition cited applies. For undated references, the latest edition of the referenced
document (including any amendments) applies.
ISO 3534-1, Statistics — Vocabulary and symbols — Part 1: General statistical terms and terms used in
probability
ISO 3534-2, Statistics — Vocabulary and symbols — Part 2: Applied statistics
ISO 3534-3, Statistics — Vocabulary and symbols — Part 3: Design of experiments
3 Terms and definitions
For the purposes of this document, the terms and definitions given in ISO 3534-1, ISO 3534-2, ISO 3534-3
and the following apply.
3.1
analysis of variance
ANOVA
technique which subdivides the total variation of a response variable into components associated with defined
sources of variation
2)
NOTE Adapted from ISO 3534-3:— , definition 3.3.8. (The notes and example are not included here.)

2) To be published. (Revision of ISO 3534-3:1999)
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ISO/TR 12845:2010(E)
3.2
binomial distribution
discrete distribution having the probability mass function
n!
x nx−
PX()==x p(1−p)
xn!( −x)!
where x = 0, 1, …, n and with indexing parameters n = 1, 2, …, and 0 < p < 1.
NOTE Adapted from ISO 3534-1:2006, definition 2.46. (The example and notes are not included here.)
3.3
block
collection of experimental units
NOTE Adapted from ISO 3534-3:—, 3.1.23. (The notes are not included here.)
3.4
centre point
vector of factor level settings of the form (a , a , ., a ), where all a equal 0, as notation for the coded levels of
1 2 k i
the factors
NOTE Adapted from ISO 3534-3:—, 3.1.38. (The note and example are not included here.)
3.5
design matrix
matrix with rows representing individual treatments (possibly transformed according to the assumed model)
which can be extended by deduced levels of other functions of factor levels (interactions, quadratic terms,
etc.) but are dependent upon the assumed model
NOTE Adapted from ISO 3534-3:—, definition 3.2.24. (The notes are not included here.)
3.6
full factorial experiment
factorial experiment
designed experiment consisting of all possible treatments formed from two or more factors, each being
studied at two or more levels
NOTE Adapted from ISO 3534-3:—, 3.2.1. (The notes are not included here.)
3.7
interaction
combination of two or more factors
NOTE Adapted from ISO 3534-3:—, 3.1.15. (The notes are not included here.)
3.8
factor level
setting, value or assignment of a factor in accordance with the design region
NOTE Adapted from ISO 3534-3:—, definition 3.1.10. (The notes and examples are not included here.)
3.9
normal distribution
Gaussian distribution
continuous distribution having the probability density function
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ISO/TR 12845:2010(E)
2
(µx−)
−
1 2
2σ
fx() = e
σ 2π
where −∞ < x < ∞ and with parameters −∞ < µ < ∞ and σ > 0
NOTE Adapted from ISO 3534-1:2006, definition 2.50. (The notes are not included here.)
3.10
predictor variable
factor
variable that can contribute to the explanation of the outcome of an experiment
NOTE 1 The extent to which a given predictor variable can be controlled dictates its potential role in a designed
experiment. Predictor variables can be controllable (fixed), modifiable (controllable only for short duration or at
considerable expense) or uncontrollable (random).
NOTE 2 A predictor variable can include a random element in it or it can, for example, be from a set of qualitative
classes which can be observed or assigned without random error.
NOTE 3 The term predictor variable is typically used in contexts involving the mathematical relationship among the
response variable and predictor variable(s) or functions of predictor variables. The term “factor” tends to be used
operationally as a means to assess the response variable as particular factors vary.
NOTE 4 A factor may be associated with the creation of blocks.
NOTE 5 “Independent variable” is not recommended as a synonym due to potential confusion with “independence”
(see ISO 3534-1:2006, 2.4). Other terms sometimes substituted for predictor variable include “input variable”, “descriptor
variable” and “explanatory variable”.
[ISO 3534-3:—, definition 3.1.4]
3.11
randomization
strategy in which each experimental unit has an equal chance of being assigned a particular treatment
NOTE Adapted from ISO 3534-3:—, definition 3.1.26. (The notes are not included here.)
3.12
replication
〈experiment〉 multiple occurrences of a given treatment combination or setting of predictor variables
NOTE Adapted from ISO 3534-3:—, definition 3.1.35. (The notes are not included here.)
3.13
repetition
performance of an experiment more than once for a given set of predictor variables not necessarily with a
complete set-up of the predictor variables
3.14
split-plot design
experimental design in which the group of experimental units (“plot”) to which the same factor level assigned
to the principal factor is subdivided (“split”) so as to study one or more additional principal factors within each
level of that factor
NOTE Adapted from ISO 3534-3:—, definition 3.2.16. (The example and notes have not been included here.)
3.15
design resolution
〈design of experiments; fractional factorials〉 length of the shortest word in the defining relation
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ISO/TR 12845:2010(E)
NOTE 1 Design resolution indicates the extent of aliasing among main effects and two-way and higher-order
interactions.
NOTE 2 The design resolution describes the aliasing in a particular experimental design. The numerical length is
generally given by upper case Roman numerals. The three most common practical situations are resolutions III, IV and V.
⎯ For a resolution III design, main effects are not aliased with other main effects. This observation can be made by
examining the expressions in the defining relation. For example, I = ABD = BCE = ACDE includes the expressions I,
ABD, BCE and ACDE and counting the number of letters for each term (1, 3, 3 and 4, respectively for this example).
The shortest length of these aside from 1 (corresponding to I) is 3, which is known as the length of the shortest
“character string”. At least one main effect is aliased with a two-way interaction. For example, for I = ABD it would be
the case that A is confounded with BD, B is confounded with AD and D is confounded with AB.
⎯ For a resolution IV design, main effects are not aliased with other main effects or with any two-way interactions. At
least one two-way interaction is aliased with another two-way interaction. For example, for the defining relation
I = ABCE = BCDF = ADEF includes the expressions I, ABCE, BCDF and ADEF and counting the number of letters for
each term (1, 4, 4 and 4, respectively). The smallest value aside from 1 (corresponding to I) is 4, which is known as
the length of the shortest “character string” for this design. For example, for I = ABCE, it would be the case that AB is
confounded with CE, AC with BE, AE with BC, while A is confounded with BCE, B is confounded with ACE, C is
confounded with ABE and E is confounded with ABC.
⎯ For a resolution V design, main effects and two-way interactions are not aliased with any other main effects or with
any other two-way interactions. For example, with I = ABCDE, it is clear that each main effect is confounded with a
four-way interaction (A is confounded with BCDE) and each two-way interaction is confounded with a three-way
interaction (AB is confounded with CDE).
NOTE 3 The higher the resolution, the more effects (main or interactions) can be estimated unambiguously, provided
the higher-order interactions are negligible. Given a choice of two potential designs involving the same number of factors
and experimental units, the design with the higher resolution should be selected. Fortunately, for most cases of k and p of
practical interest, the most appropriate defining relations are recorded.
NOTE 4 Full factorial designs have no confounding. For most practical purposes, a resolution V is excellent and a
resolution IV design may be adequate. Resolution III designs are useful as economical screening designs.
[ISO 3534-3:—, definition 3.2.6]
4 Symbols and abbreviated terms
The main symbols and abbreviated terms used in this Technical Report are given below.
Y Response variable
A, B, C, D Factors
AB, AC, AD, BC, BD, CD Two-way interactions
ABC, ACD, BCD Three-way interactions
ABCD Four-way interactions
+1, −1 High and low settings
4
2 Four factors each at two levels
σ Standard deviation
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ISO/TR 12845:2010(E)
5 Generic description of fractional factorial designs
5.1 Overview of the structure of the examples in Annexes A to F
This Technical Report provides general guidelines on the design, conduct and analyses of two-level fractional
factorial designs and illustrates the steps with six distinct applications given in the annexes. Each of the six
examples in Annexes A to F follows the basic structure as given in Table 1.
The steps given in Table 1 apply to design and analysis of screening experiments in general. Each of the
seven steps is explained below.
Table 1 — Basic steps in experimental design
Step 1 State the overall objective(s) of the experiment
Step 2 Describe the response variable(s)
Step 3 List the factors that might affect the response(s)
Step 4 Select a fractional factorial design
Step 5 Analyse the results – numerical summaries and graphical displays
Step 6 Present the findings
Step 7 Perform a confirmation run

5.2 Overall objective(s) of the experiment (Step 1)
Experiments are conducted for a variety of reasons. The primary motivation for the experiment should be
clearly stated and agreed to by all parties involved in the design, conduct, analysis and implications of the
experimental effort. There may be secondary objectives that could be addressed with this experiment but, in
general, the focus is on identifying a subset of the factors that impact the response variable.
The ultimate outcome of the experiment might be to take immediate action on factor levels or to obtain a
predictive model, both of which dictate some elements of the analyses. Further, the experiment could be
recognized as the first step in an ongoing sequence of experiments to determine improvements to the product
or process.
5.3 Response variable(s) (Step 2)
Associated with the objective of an experiment is a measurable outcome or performance measure. A
response of interest could involve maximization (larger is better), minimization (smaller is better) or meet a
target value (be close to a specified value). The response variable (denoted here by the variable Y) should be
intimately (if not directly) related to the objective of the experiment. For some situations, there may be multiple
characteristics of interest to be considered, although there is typically a primary response variable associated
with the experiment. In other cases, multiple responses must be considered.
5.4 Factors affecting the response(s) (Step 3)
The response variable very likely depends in some unknown way on a variety of conditions. These could be
set in the course of generating a response variable outcome such as a temperature or a time setting. These
conditions are presumed to relate to controllable factors that may be continuous (temperature, concentration)
or discrete (two assembly lines A or B, two vendors, two packaging styles, and so forth). For the fractional
factorial experiments considered in this Technical Report, the experimental design process is simplified by
selecting two levels for each factor to be varied in the experiment.
⎯ For discrete factors, with only two possible settings, the levels are just these two settings.
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ISO/TR 12845:2010(E)
⎯ For continuous factors, discretion can be used in choosing the two specific values. In some cases, one
setting could be the historical value and the other a proposed value. In other cases, the two settings could
be nominal adjustments from the historical setting. In any event, the settings should be sufficiently far
removed to have an opportunity to reveal an impact subject to the inherent uncertainty, while not being so
disparate that the settings are unreasonable from a practical, safety or sensibility standpoint. The setting
of levels of continuous factors benefits from an expert collaborating in the experiment.
There may be additional factors that could impact that response variable but may be deemed much less
important than the chosen factors or are too difficult or expensive to control. Finally, it is the case that the
factors are to be set independently from each other. It could, however, be discovered that the factors interact
(the setting of one factor impacts how a second factor affects the response).
5.5 Select a fractional factorial design (Step 4)
It is usual that the number of factors thought to be important to experiment with is large, e.g. 10 or more.
Designing an experiment to investigate all possible factors and their combinations would lead to excessively
large experiments. For example, in studying only eight factors at two levels each, the number of experimental
runs is 256. For three levels, this would be 6 561 runs! For most organizations, this would be a very
extravagant use of resources. Thus, the need is there to design experiments using fewer runs but still giving
the experimenter all of the important experimental results. Although this gives full information about the effects
of the factors, it also delivers information about higher-order factor combinations that are of minimal practical
utility. Consequently, a balance is sought to reduce the experimental effort without foregoing the information
about main factors of interest by designing a fractional experiment.
The examples provided in the annexes use 6 to 15 factors with a maximum of only 40 runs to identify the
critical factors.
A classical design consists of 16 runs obtained by considering all combinations of four factors with two
possible levels. See ISO/TR 29901 for a description. Table 3 provides the basic layout in a standard order for
ease of understanding. Each row of the table represents one set of experimental conditions that when run will
produce a value of the response variable Y. The four factors are designated as A, B, C and D. For an
individual factor, the level “−1” is the “low” setting, or one of the two levels if the factor is categorical. The level
“+1” is the “high” setting, or the other level of the categorical factor. The column “Y ” is a placeholder for the
response value once a run has occurred.
This will provide unambiguous information about the following factors and their interactions, namely:
A, B, C, D, AB, AC, AD, BC, BD, CD, ABC, ABD, ACD, BCD and ABCD
For most practical applications, the higher-order interactions, e.g. ABC, are often taken as unimportant and
can therefore, in a design, be discounted. This, therefore, becomes the way in which larger numbers of factors
can be incorporated into designs that are intended for full factor combinations, albeit for a smaller number of
factors.
It is imperative that the experimenter be aware of the exact pattern of main effects and the associated two-
way interactions created by this discounting of higher-order interactions. A careless selection may inhibit the
clear identification of the effects (be they main or two-way interactions). These aspects can be seen in the six
different examples contained in the annexes.
Table 2 provides a useful summary of the shortcomings of certain designs. The table describes the three most
common design resolutions. The examples in the annexes (see Table 4) refer to these resolutions.
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ISO/TR 12845:2010(E)
Table 2 — Selected design resolutions
Resolution Description
No main effects are aliased with any other main effect, but at least one main effect is aliased
III
with two-factor interactions.
No main effects are aliased with any other main effect or two-factor interactions, but at least
IV one two-factor interaction is aliased with other two-factor interactions and at least one main
effect is aliased with three-factor interactions.
No main effects or two-factor interactions are aliased with any other main effect or two-factor
V interactions, but at least one two-factor interaction is aliased with three-factor interactions
and at least one main effect is aliased with four-factor interactions.

The design choice ultimately rests with the aforementioned considerations as well as resource constraints.
Guidance of a general nature can be gleaned from the reference texts in the Bibliography. Increasingly,
software packages contain useful guides to design selection and algorithms for optimal design where the
problem is well defined.
4
Table 3 — Layout of a generic 2 full factorial design
Row
A B C D Y Run order
number
1 −1 −1 −1 −1 y 6
1
2 +1 −1 −1 −1 y 14
2
3 −1 +1 −1 −1 y 4
3
4 +1 +1 −1 −1 y 11
4
5 −1 −1 +1 −1 y 9
5
6 +1 −1 +1 −1 y 2
6
7 −1 +1 +1 −1 y 3
7
8 +1 +1 +1 −1 y 1
8
9 −1 −1 −1 +1 y 8
9
10 +1 −1 −1 +1 y 13
10
11 −1 +1 −1 +1 y 7
11
12 +1 +1 −1 +1 y 10
12
13 −1 −1 +1 +1 y 15
13
14 +1 −1 +1 +1 y 16
14
15 −1 +1 +1 +1 y 5
15
16 +1 +1 +1 +1 y 12
16

5.6 Analyse the results — Numerical summaries and graphical displays (Step 5)
At the completion of the conduct of the experiment, the y values would be replaced by the actual observed
i
responses. Many statistical software packages exist to produce output to aid in the understanding of the
results of the experiment. Of immediate concern is the determination of the impact of the factors individually
on the response variable. By the nature of fractional factorial designs, it is hoped, if not presumed, that the
main effects that are estimated are indeed attributable to the main factor although it is recognized that aliasing
could be taking place.
© ISO 2010 – All rights reserved 7

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ISO/TR 12845:2010(E)
4
Much of the analysis that
...

RAPPORT ISO/TR
TECHNIQUE 12845
Première édition
2010-08-01


Illustrations choisies de plans
d'expériences factoriels fractionnaires
Selected illustrations of fractional factorial screening experiments




Numéro de référence
ISO/TR 12845:2010(F)
©
ISO 2010

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ISO/TR 12845:2010(F)
Sommaire Page
Avant-propos .iv
Introduction.v
1 Domaine d'application .1
2 Références normatives.1
3 Termes et définitions .1
4 Symboles et termes abrégés.4
5 Description générique des plans factoriels fractionnaires.5
5.1 Vue d'ensemble de la structure des exemples donnés dans les Annexes A à F .5
5.2 Objectifs généraux de l'expérience (Étape 1).5
5.3 Variable(s) de réponse (Étape 2).5
5.4 Facteurs ayant une incidence sur la ou les réponses (Étape 3).6
5.5 Sélection d'un plan factoriel fractionnaire (Étape 4) .6
5.6 Analyse des résultats — Synthèses numériques et affichages graphiques (Étape 5) .8
5.7 Présentation des conclusions (Étape 6) .8
5.8 Réalisation des essais de confirmation (Étape 7).8
6 Description des Annexes A à F.8
6.1 Comparaison et différentiation des exemples.8
6.2 Synthèse des expériences.8
Annexe A (informative) Campagne de commercialisation directe par la poste .10
Annexe B (informative) Optimisation d'une émulsion de polymère .21
Annexe C (informative) Étude de formulations de mousse PVC .35
Annexe D (informative) Validation de fabrication de l'insuline .49
Annexe E (informative) Expérience portant sur des machines à laver .61
Annexe F (informative) Bactérie de taret agrégée .73
Bibliographie.81

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ISO/TR 12845:2010(F)
Avant-propos
L'ISO (Organisation internationale de normalisation) est une fédération mondiale d'organismes nationaux de
normalisation (comités membres de l'ISO). L'élaboration des Normes internationales est en général confiée
aux comités techniques de l'ISO. Chaque comité membre intéressé par une étude a le droit de faire partie du
comité technique créé à cet effet. Les organisations internationales, gouvernementales et non
gouvernementales, en liaison avec l'ISO participent également aux travaux. L'ISO collabore étroitement avec
la Commission électrotechnique internationale (CEI) en ce qui concerne la normalisation électrotechnique.
Les Normes internationales sont rédigées conformément aux règles données dans les Directives ISO/CEI,
Partie 2.
La tâche principale des comités techniques est d'élaborer les Normes internationales. Les projets de Normes
internationales adoptés par les comités techniques sont soumis aux comités membres pour vote. Leur
publication comme Normes internationales requiert l'approbation de 75 % au moins des comités membres
votants.
Exceptionnellement, lorsqu'un comité technique a réuni des données de nature différente de celles qui sont
normalement publiées comme Normes internationales (ceci pouvant comprendre des informations sur l'état
de la technique par exemple), il peut décider, à la majorité simple de ses membres, de publier un Rapport
technique. Les Rapports techniques sont de nature purement informative et ne doivent pas nécessairement
être révisés avant que les données fournies ne soient plus jugées valables ou utiles.
L'attention est appelée sur le fait que certains des éléments du présent document peuvent faire l'objet de
droits de propriété intellectuelle ou de droits analogues. L'ISO ne saurait être tenue pour responsable de ne
pas avoir identifié de tels droits de propriété et averti de leur existence.
L'ISO/TR 12845 a été élaboré par le comité technique ISO/TC 69, Applications des méthodes statistiques,
sous-comité SC 7, Applications de techniques statistiques ou de techniques associées pour la mise en œuvre
de Six Sigma.
iv © ISO 2010 – Tous droits réservés

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ISO/TR 12845:2010(F)
Introduction
1)
La communauté Six Sigma et la communauté des concepteurs de normes statistiques internationales ont en
commun une philosophie d'amélioration continue et partagent bon nombre d'outils d'analyse. La communauté
Six Sigma privilégie une démarche pragmatique régie par les contraintes de temps et de ressources. La
communauté des concepteurs de normes statistiques internationales élabore des documents rigoureux sur la
base d'un consensus international de long terme. Les disparités en termes de contraintes de temps, de
rigueur mathématique et de logiciels statistiques utilisés ont fini par bloquer les échanges, la synergie et
l'appréciation mutuelle entre les deux groupes.
Le présent document s'intéresse à un outil statistique particulier (le plan factoriel fractionnaire à deux niveaux)
et développe le sujet de manière relativement générique (dans l'esprit des Normes internationales) pour
ensuite le caractériser dans des exemples d'utilisation de six applications détaillées et distinctes. La
description générique se fonde sur les points communs existant entre les plans. Les annexes comprenant les
six illustrations suivent le cadre de base mais identifient également les nuances et les écarts que l'on observe
dans les applications spécifiques. Chaque exemple présente au moins une «facette» du problème qui se pose
généralement aux applications Six Sigma réelles. Cela devrait permettre aux intervenants intéressés de se
reconnaître dans au moins l'un des six exemples, ne serait-ce que pour leur rappeler les éléments de base
applicables aux plans factoriels fractionnaires qu'ils ont étudiés au cours de leur formation Six Sigma. Chacun
des six exemples est développé et analysé à l'aide d'un logiciel statistique d'utilisation courante. Les
explications données tout au long du document sont dépourvues de détails mathématiques; ces détails
peuvent être obtenus sans difficultés dans bon nombre d'ouvrages sur les plans d'expériences et leur analyse
(tels que ceux indiqués dans la Bibliographie).


1) Six Sigma est une marque commerciale de Motorola, Inc.
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RAPPORT TECHNIQUE ISO/TR 12845:2010(F)

Illustrations choisies de plans d'expériences factoriels
fractionnaires
1 Domaine d'application
Le présent Rapport technique décrit les étapes nécessaires à l'utilisation et à l'analyse des plans factoriels
fractionnaires à deux niveaux en les caractérisant par six applications distinctes de cette méthodologie.
NOTE 1 Chacune de ces six illustrations est fondée sur le fait similaire que des contraintes de ressource ne permettent
pas d'exécuter tout simplement les plans factoriels complets. D'autres éléments communs parmi les six exemples sont
relevés [par exemple objectif de l'étude, deux niveaux pour les facteurs, variable(s) de réponse, facteurs ayant une
incidence sur la réponse]. Par ailleurs, les illustrations présentent chacune des caractéristiques notables qui les
distinguent.
NOTE 2 Les exemples illustrent le spectre des possibilités que proposent tant le domaine d'application que le choix
des plans factoriels fractionnaires. Les plans factoriels fractionnaires peuvent être utilisés pour identifier les facteurs
importants à appliquer pour un examen ultérieur (plan de criblage) et peuvent dans certains cas permettre une
compréhension pratique du processus étudié. Les plans factoriels fractionnaires comprennent les plans de criblage et les
plans vulgarisés par Genichi Taguchi.
NOTE 3 Les plans d'expériences factoriels fractionnaires sont parfois utilisés par des personnes (désignées «ceintures
noires» ou «ceintures vertes») associés aux méthodes Six Sigma. Les méthodes Six Sigma concernent la résolution de
problème et l'amélioration continue. Un plan d'expériences factoriel fractionnaire peut constituer un outil économique pour
obtenir une amélioration régulière des processus ou des produits. Des discussions détaillées concernant d'autres outils, et
leur traitement, utilisés par les opérateurs Six Sigma peuvent être trouvés dans divers documents de l'ISO TC 69/SC 7.
2 Références normatives
Les documents de référence suivants sont indispensables pour l'application du présent document.
ISO 3534-1, Statistique — Vocabulaire et symboles — Partie 1: Termes statistiques généraux et termes
utilisés en calcul des probabilités
ISO 3534-2, Statistique — Vocabulaire et symboles — Partie 2: Statistique appliquée
ISO 3534-3, Statistique — Vocabulaire et symboles — Partie 3: Plans d'expériences
3 Termes et définitions
Pour les besoins du présent document, les termes et définitions donnés dans l'ISO 3534-1, l'ISO 3534-2,
l'ISO 3534-3 ainsi que les suivants s'appliquent.
3.1
analyse de la variance
ANOVA
méthode consistant à séparer la variation totale d'une variable de réponse en composantes associées à des
sources spécifiques de variation
2)
NOTE Adaptée de l'ISO 3534-3:— , définition 3.3.8. (Les notes et les exemples ne sont pas inclus ici.)

2) À publier. (Révision de l'ISO 3534-3:1999)
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ISO/TR 12845:2010(F)
3.2
loi binomiale
distribution discrète avec pour fonction de masse de probabilité
n!
x nx−
PX()==x p(1−p)
xn!( −x)!
où x = 0, 1, …, n et avec les paramètres d'indexation n = 1, 2, …, et 0 < p <1
NOTE Adaptée de l'ISO 3534-1:2006, définition 2.46. (L'exemple et les notes ne sont pas inclus ici.)
3.3
bloc
groupement d'unités expérimentales
NOTE Adaptée de l'ISO 3534-3:—, définition 3.1.23. (Les notes ne sont pas incluses ici.)
3.4
point central
vecteur des valeurs de niveau des facteurs de la forme (a , a , …, a ), où tous les éléments a sont nuls,
1 2 k i
comme notation des niveaux codés des facteurs
NOTE Adaptée de l'ISO 3534-3:—, définition 3.1.38. (La note et l'exemple ne sont pas inclus ici.)
3.5
matrice de plan
matrice dotée de lignes représentant les traitements individuels (potentiellement transformés selon le modèle
présumé), éventuellement étendus par les niveaux déduits des autres fonctions des niveaux de facteur
(interactions, termes quadratiques, etc.), mais qui dépendent du modèle présumé
NOTE Adaptée de l'ISO 3534-3:—, définition 3.2.24. (Les notes ne sont pas incluses ici.)
3.6
plan factoriel complet
plan factoriel
expérience planifiée composée de tous les traitements potentiels formés de deux facteurs ou plus, chacun
étant étudié à deux niveaux ou plus
NOTE Adaptée de l'ISO 3534-3:—, définition 3.2.1. (Les notes ne sont pas incluses ici.)
3.7
interaction
combinaison de deux facteurs ou plus
NOTE Adaptée de l'ISO 3534-3:—, définition 3.1.15. (Les notes ne sont pas incluses ici.)
3.8
niveau de facteur
mise en œuvre, valeur ou affectation d'un facteur conformément au domaine expérimental
NOTE Adaptée de l'ISO 3534-3:—, définition 3.1.10. (Les notes ne sont pas incluses ici.)
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ISO/TR 12845:2010(F)
3.9
loi normale
loi de Gauss
distribution continue avec pour fonction de densité de probabilité:
2
()x−µ
−
1 2
2σ
fx() = e
σπ2
où −∞ < x < ∞ et avec les paramètres −∞ < µ < ∞ et σ > 0
NOTE Adaptée de l'ISO 3534-1:2006, définition 2.50. (Les notes ne sont pas incluses ici.)
3.10
variable de prédiction
facteur
variable susceptible de contribuer à l'explication du résultat d'une expérience
NOTE 1 Le degré auquel une variable de prédiction donnée peut être maîtrisée détermine son rôle potentiel dans une
expérience planifiée. Les variables de prédiction sont susceptibles d'être maîtrisées (fixes), modifiables (maîtrisées
uniquement pendant une courte période ou à un coût considérable) ou non maîtrisées (aléatoires).
NOTE 2 Une variable de prédiction peut comporter un élément aléatoire ou peut être, par exemple, un ensemble de
classes de qualité qui peuvent être observées ou affectées sans erreur aléatoire.
NOTE 3 Le terme variable de prédiction est généralement utilisé dans des contextes impliquant une relation
mathématique entre la variable de réponse et une (des) variable(s) de prédiction ou des fonctions de variables de
prédiction. Le terme facteur a tendance à être utilisé dans la pratique comme un moyen d'évaluer la variable de réponse
lorsque des facteurs particuliers varient.
NOTE 4 Un facteur peut être associé à la création de blocs.
NOTE 5 Le terme «variable indépendante» n'est pas recommandé comme synonyme en raison de la confusion
possible avec «indépendance» (voir l'ISO 3534-1:2006, 2.4). Les autres termes parfois utilisés en remplacement de
variable de prédiction comprennent «variable d'entrée», «variable descriptive» et «variable explicative».
[ISO 3534-3:—, définition 3.1.4]
3.11
randomisation
stratégie dans laquelle chaque unité expérimentale a une chance égale de se voir affecter un traitement
particulier
NOTE Adaptée de l'ISO 3534-3:—, définition 3.1.26. (Les notes ne sont pas incluses ici.)
3.12
réplique
〈expérience〉 occurrences multiples d'une combinaison de traitements donnée ou de valeurs de variables de
prédiction
NOTE Adaptée de l'ISO 3534-3:—, définition 3.1.35. (Les notes ne sont pas incluses ici.)
3.13
répétition
réalisation répétée d'une expérience pour un ensemble donné de variables de prédiction mais pas
nécessairement avec une configuration complète des variables de prédiction
© ISO 2010 – Tous droits réservés 3

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ISO/TR 12845:2010(F)
3.14
plan en parcelles subdivisées
plan d'expériences dans lequel le groupe des unités expérimentales (parcelles) auquel le même niveau de
facteur que celui affecté au facteur principal est subdivisé de telle sorte qu'un ou plusieurs facteurs principaux
supplémentaires puissent être étudiés à l'intérieur de chaque niveau de ce facteur
NOTE Adaptée de l'ISO 3534-3:—, définition 3.2.16. (L'exemple et les notes ne sont pas inclus ici.)
3.15
résolution de plan
〈plans d'expériences; factoriels fractionnaires〉 longueur du terme le plus court de la relation de définition
NOTE 1 La résolution de plan indique l'étendue de l'aliase entre les effets principaux et les interactions doubles et
d'ordre supérieur.
NOTE 2 La résolution de plan décrit l'aliase dans un plan d'expériences particulier. La longueur numérique est
généralement donnée par des chiffres romains en majuscule. Les trois situations pratiques les plus courantes sont les
résolutions III, IV et V.
⎯ Pour un plan de résolution III, les effets principaux ne sont pas confondus avec d'autres effets principaux. Cette
observation peut être faite en examinant les expressions de la relation de définition. Par exemple,
I = ABD = BCE = ACDE inclut les expressions I, ABD, BCE et ACDE et le décompte du nombre de lettres pour chaque
terme (respectivement 1, 3, 3 et 4 pour cet exemple). La plus courte longueur, à part 1 (correspondant à I), est 3, qui
est connu comme la longueur de la plus courte «chaîne de caractères». Au moins un effet principal est confondu
avec une interaction double. Par exemple, dans le cas où I = ABD, A est confondu avec BD, B est confondu avec AD
et D est confondu avec AB.
⎯ Pour un plan de résolution IV, les effets principaux ne sont pas confondus avec d'autres effets principaux ou
interactions doubles. Au moins une interaction double est confondue avec une autre interaction double. Par exemple,
la relation de définition I = ABCE = BCDF = ADEF inclut les expressions I, ABCE, BCDF et ADEF et le décompte du
nombre de lettres pour chaque terme (respectivement 1, 4, 4 et 4). La plus petite valeur, à part 1 (correspondant à I),
est 4, qui est connue comme la longueur de la plus courte «chaîne de caractères» pour ce plan. Par exemple, dans
le cas où I = ABCE, AB est confondu avec CE, AC avec BE, AE avec BC, alors que A est confondu avec BCE, B est
confondu avec ACE, C est confondu avec ABE et E est confondu avec ABC.
⎯ Pour un plan de résolution V, les effets principaux et les interactions doubles ne sont pas confondus avec d'autres
effets principaux ou interactions doubles. Par exemple, avec I = ABCDE, il est clair que chaque effet principal est
confondu avec une interaction quadruple (A est confondu avec BCDE) et chaque interaction double est confondue
avec une interaction triple (AB est confondu avec CDE).
NOTE 3 Plus la résolution est élevée, plus les effets (principaux ou interactions) peuvent être estimés sans ambiguïté
à condition que les interactions d'ordre élevé soient négligeables. En présence d'un choix entre deux plans potentiels
faisant intervenir le même nombre de facteurs et d'unités expérimentales, il convient de choisir le plan ayant la résolution
la plus élevée. Heureusement, pour la plupart des cas de k et de p ayant un intérêt pratique, les relations de définition les
mieux appropriées sont disponibles.
NOTE 4 Les plans factoriels complets n'ont pas de concomitance. Pour la plupart des applications pratiques, un plan
de résolution V est excellent et un plan de résolution IV peut être adéquat. Les plans de résolution III sont utilisés comme
plans de criblage économiques.
[ISO 3534-3:—, définition 3.2.6]
4 Symboles et termes abrégés
Les symboles et abréviations utilisés dans le présent Rapport technique sont les suivants:
Y Variable de réponse
A, B, C, D Facteurs
AB, AC, AD, BC, BD, CD Interactions doubles
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ISO/TR 12845:2010(F)
ABC, ACD, BCD Interactions triples
ABCD Interactions quadruples
Niveaux haut et bas des facteurs
+1, −1
4
2 Plan factoriel complet à quatre facteurs, chacun à deux niveaux
σ Écart-type
5 Description générique des plans factoriels fractionnaires
5.1 Vue d'ensemble de la structure des exemples donnés dans les Annexes A à F
Le présent Rapport technique donne des lignes directrices générales sur la conception, l'exécution et les
analyses des plans factoriels fractionnaires à deux niveaux et en illustre les étapes avec six applications
distinctes données dans les annexes. Chacun des six exemples donnés dans les Annexes A à F suit la
structure de base définie dans le Tableau 1.
Les étapes données dans le Tableau 1 s'appliquent à la conception et à l'analyse des plans de criblage de
manière générale. Chacune des sept étapes est expliquée ci-dessous.
Tableau 1 — Étapes de base d'un plan d'expérience
Étape 1 Détermination du ou des objectifs généraux de l'expérience
Étape 2 Description de la ou des variables de réponse
Étape 3 Énumération des facteurs susceptibles d'avoir une incidence sur la ou les réponses
Étape 4 Sélection d'un plan factoriel fractionnaire
Étape 5 Analyse des résultats - synthèses numériques et affichages graphiques
Étape 6 Présentation des conclusions
Étape 7 Réalisation d'un essai de validation

5.2 Objectifs généraux de l'expérience (Étape 1)
Les expériences sont réalisées pour de nombreuses raisons. Il convient de clairement déterminer la raison
principale motivant l'expérience et d'en convenir avec toutes les parties impliquées dans la conception,
l'exécution, l'analyse et les implications du travail expérimental. Des objectifs secondaires peuvent être traités
par cette expérience mais en règle générale le centre d'intérêt porte sur l'identification d'un sous-ensemble
des facteurs ayant une incidence sur la variable de réponse.
Le résultat final de l'expérience peut donner lieu à une action immédiate sur les niveaux des facteurs ou
permettre d'établir un modèle de prédiction, mesures qui dans les deux cas régissent certains éléments des
analyses. L'expérience peut ultérieurement être considérée comme la première étape d'une séquence
continue d'expériences réalisées pour déterminer les améliorations à apporter au produit ou au processus.
5.3 Variable(s) de réponse (Étape 2)
L'objectif associé à celui de l'expérience réalisée est de parvenir à un résultat mesurable ou une mesure de
performance. On peut souhaiter maximiser une réponse, la minimiser ou atteindre une valeur cible. Il convient
que la variable de réponse (exprimée ici par la variable Y) soit étroitement (si elle ne l'est pas directement) liée
à l'objectif de l'expérience. Dans certaines situations, il peut exister plusieurs caractéristiques d'intérêt à
prendre en compte, bien que de manière générale une variable de réponse principale soit associée à
l'expérience. Dans d'autres cas, il faut considérer plusieurs réponses.
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ISO/TR 12845:2010(F)
5.4 Facteurs ayant une incidence sur la ou les réponses (Étape 3)
La variable de réponse dépend très probablement et de façon inconnue d'un grand nombre de conditions.
Ces conditions peuvent être établies lors de la génération d'un résultat de variable de réponse tel qu'un
paramètre de température ou de temps. Ces conditions sont supposées liées à des facteurs contrôlables qui
peuvent être continus (température, concentration) ou discrets (deux lignes d'ensemble A ou B, deux
vendeurs, deux modèles d'emballage, etc.). Pour les plans d'expériences factoriels fractionnaires considérés
dans le présent Rapport technique, le processus du plan d'expériences est simplifié en sélectionnant deux
niveaux pour chaque facteur qui varient au cours de l'expérience.
⎯ Pour les facteurs discrets ayant uniquement deux modalités possibles, les niveaux correspondent à ces
deux modalités.
⎯ Pour les facteurs continus, le choix des deux valeurs spécifiques est laissé à l'appréciation des
personnes connaissant le mieux le phénomène à étudier. Dans certains cas, l'un des paramètres peut
être constitué de la valeur historique, l'autre étant une valeur proposée. Dans d'autres cas, les deux
niveaux peuvent être des ajustements nominaux issus des valeurs historiques. Dans tous les cas, il
convient que les niveaux soient suffisamment séparés pour pouvoir détecter une incidence liée à
l'incertitude propre sans pour autant être trop éloignés au risque de devenir inacceptables du point de
vue pratique ou en termes de sécurité ou de sensibilité. Les niveaux des facteurs continus sont d'autant
plus fiables qu'ils sont établis en collaboration avec un expert participant à l'expérience.
Des facteurs supplémentaires peuvent avoir une incidence sur la variable de réponse mais ils peuvent être
considérés comme beaucoup moins importants que les facteurs choisis ou se révéler trop difficiles ou
onéreux à contrôler. Enfin, les facteurs doivent varier indépendamment les uns des autres. Il est cependant
possible de constater une interaction entre les facteurs (le paramètre d'un facteur a une incidence sur la
manière dont un deuxième facteur affecte la réponse).
5.5 Sélection d'un plan factoriel fractionnaire (Étape 4)
Le nombre de facteurs considérés comme importants pour l'expérience est généralement important, par
exemple 10 ou davantage. Un plan d'expériences conçu pour étudier tous les facteurs possibles ainsi que
leurs interactions impliquerait un nombre d'expériences trop élevé. Par exemple, pour l'étude de seulement
huit facteurs à deux niveaux chacun, le nombre d'essais nécessaire est de 256. Pour trois niveaux, le nombre
d'essais atteindrait 6 561! Pour la plupart des organismes, cela représente un gaspillage de ressources. Il
s'agit par conséquent de planifier les expériences sur la base d'un nombre moins important d'essais
permettant cependant à l'expérimentateur d'obtenir tous les résultats expérimentaux importants. Tout en
donnant des informations complètes sur les effets des facteurs, cela fournit également des informations sur
des combinaisons de facteurs d'ordre supérieur présentant une utilité pratique mineure. Il s'agit par
conséquent de parvenir à un équilibre permettant de réduire la tâche expérimentale sans sacrifier les
informations sur les principaux facteurs d'intérêt lors de la réalisation d'un plan d'expériences factoriel
fractionnaire.
Les exemples donnés dans les annexes considèrent de 6 à 15 facteurs en utilisant au maximum 40 essais
pour identifier les facteurs critiques.
Un plan classique comprend 16 essais obtenus en considérant toutes les combinaisons de quatre facteurs
avec deux niveaux potentiels. Voir l'ISO/TR 29901 pour une description. Le Tableau 3 ci-après fournit la
configuration de base dans un ordre de construction standard afin d'en faciliter la compréhension. Chaque
ligne du tableau représente un ensemble de conditions expérimentales qui, lorsqu'elles sont appliquées,
fournissent une valeur de la variable de réponse Y. Les quatre facteurs sont respectivement désignés A, B, C
et D. Pour un facteur individuel, la valeur «−1» est le niveau «bas», ou l'un des deux niveaux si le facteur est
catégoriel (codé). La valeur «+1» est le niveau «haut», ou l'autre niveau du facteur catégoriel. La colonne «Y»
est un paramètre fictif pour la valeur de la réponse après réalisation de l'essai.
Cela fournit des informations non ambiguës sur les facteurs suivants et leurs interactions, à savoir:
A, B, C, D, AB, AC, AD, BC, BD, CD, ABC, ABD, ACD, BCD et ABCD.
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ISO/TR 12845:2010(F)
Pour la plupart des applications pratiques, les interactions d'ordre supérieur, par exemple ABC, sont souvent
considérées comme négligeables et on peut, de ce fait, ne pas les prendre en compte dans le modèle. Par
conséquent, cela favorise l'intégration possible d'un plus grand nombre de facteurs dans les plans factoriels
complets, bien que pour un nombre réduit de facteurs.
L'expérimentateur doit être parfaitement conscient des aliases cr
...