ISO 7870-6:2016
(Main)Control charts — Part 6: EWMA control charts
Control charts — Part 6: EWMA control charts
ISO 7870-6:2016 covers EWMA control charts as a statistical process control technique to detect small shifts in the process mean. It makes possible the faster detection of small to moderate shifts in the process average. In this chart, the process average is evaluated in terms of exponentially weighted moving average of all prior sample means. EWMA weights samples in geometrically decreasing order so that the most recent samples are weighted most highly while the most distant samples contribute very little depending upon the smoothing parameter (λ).
Cartes de contrôle — Partie 6: Cartes de contrôle de EWMA
L'ISO 7870-6:2015 traite des cartes de contrôle EWMA comme technique de maîtrise statistique des processus permettant de détecter des dérives/déréglages de petite amplitude dans la moyenne du processus. Elle permet de détecter plus rapidement des déréglages de petite et moyenne amplitude dans la moyenne du processus. Dans cette carte, la moyenne du processus est évaluée en termes de moyenne mobile pondérée exponentiellement de toutes les moyennes antérieures des échantillons. La carte EWMA pondère les échantillons par ordre décroissant selon une suite géométrique, de sorte que les échantillons les plus récents sont pondérés plus fortement tandis que les échantillons les plus anciens ont une très faible contribution en fonction du paramètre de lissage (λ).
General Information
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INTERNATIONAL ISO
STANDARD 7870-6
First edition
2016-02-15
Control charts —
Part 6:
EWMA control charts
Cartes de contrôle —
Partie 6: Cartes de contrôle de EWMA
Reference number
ISO 7870-6:2016(E)
©
ISO 2016
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www.iso.org
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ISO 7870-6:2016(E)
Contents Page
Foreword .iv
Introduction .v
1 Scope . 1
2 Normative references . 1
3 Symbols and abbreviated terms . 1
4 EWMA for inspection by variables . 2
4.1 General . 2
4.2 Weighted average explained. 3
4.3 Control limits for EWMA control chart . 4
4.4 Construction of EWMA control chart . 4
4.5 Example . 6
5 Choice of the control chart . 9
5.1 Shewhart control chart versus EWMA control chart . 9
5.2 Average run length .10
5.3 Choice of parameters for EWMA control chart .10
5.3.1 Choice of λ . 10
5.3.2 Choice of L .
z 11
5.3.3 Calculation for n. 11
5.3.4 Example .12
6 Procedure for implementing the EWMA control chart .12
7 Sensitivity of the EWMA to non-normality .13
8 Advantages and limitations .13
8.1 Advantages .13
8.2 Limitations .13
Annex A (informative) Application of the EWMA control chart .14
Annex B (normative) EWMA control chart for controlling a proportion of nonconforming units .18
Annex C (normative) EWMA control charts for a number of nonconformities .20
Annex D (informative) Control chart effectiveness .22
Bibliography .26
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ISO 7870-6:2016(E)
Foreword
ISO (the International Organization for Standardization) is a worldwide federation of national standards
bodies (ISO member bodies). The work of preparing International Standards is normally carried out
through ISO technical committees. Each member body interested in a subject for which a technical
committee has been established has the right to be represented on that committee. International
organizations, governmental and non-governmental, in liaison with ISO, also take part in the work.
ISO collaborates closely with the International Electrotechnical Commission (IEC) on all matters of
electrotechnical standardization.
The procedures used to develop this document and those intended for its further maintenance are
described in the ISO/IEC Directives, Part 1. In particular the different approval criteria needed for the
different types of ISO documents should be noted. This document was drafted in accordance with the
editorial rules of the ISO/IEC Directives, Part 2 (see www.iso.org/directives).
Attention is drawn to the possibility that some of the elements of this document may be the subject of
patent rights. ISO shall not be held responsible for identifying any or all such patent rights. Details of
any patent rights identified during the development of the document will be in the Introduction and/or
on the ISO list of patent declarations received (see www.iso.org/patents).
Any trade name used in this document is information given for the convenience of users and does not
constitute an endorsement.
For an explanation on the meaning of ISO specific terms and expressions related to conformity
assessment, as well as information about ISO’s adherence to the WTO principles in the Technical
Barriers to Trade (TBT), see the following URL: Foreword — Supplementary information.
The committee responsible for this document is ISO/TC 69, Applications of statistical methods,
Subcommittee SC 4, Applications of statistical methods in process management.
ISO 7870 consists of the following parts, under the general title Control charts:
— Part 1: General guidelines
— Part 2: Shewhart control charts
— Part 3: Acceptance control charts
— Part 4: Cumulative sum charts
— Part 5: Specialized control charts
— Part 6: EWMA control charts
A future part on charting techniques for short runs and small mixed batches is planned.
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ISO 7870-6:2016(E)
Introduction
Shewhart control charts are the most widespread statistical control methods used for controlling
a process, but they are slow in signalling shifts of small magnitude in the process parameters.
[10]
The exponentially weighted moving average (EWMA) control chart makes possible faster detection
of small to moderate shifts.
The Shewhart control chart is simple to implement and it rapidly detects shifts of major magnitude.
However, it is fairly ineffective for detecting shifts of small or moderate magnitude. It happens quite
often that the shift of the process is slow and progressive (in case of continuous processes in particular);
this shift has to be detected very early in order to react before the process deviates seriously from its
target value. There are two possibilities for improving the effectiveness of the Shewhart control charts
with respect to small and moderate shifts.
— The simplest, but not the most economical possibility is to increase the subgroup size. This may not
always be possible due to low production rate; time consuming or too costly testing. As a result, it
may not be possible to draw samples of size more than 1 or 2.
— The second possibility is to take into account the results preceding the control under way in order
to try to detect the existence of a shift in the production process. The Shewhart control chart
takes into account only the information contained in the last sample observation and it ignores
any information given by the entire sequence of points. This feature makes the Shewhart control
chart relatively insensitive to small process shifts. Its effectiveness may be improved by taking into
account the former results.
Where it is desired to detect slow, progressive shifts, it is preferable to use specific charts which take
into account the past data and which are effective with a moderate control cost. Two very effective
alternatives to the Shewhart control chart in such situations are
a) Cumulative Sum (CUSUM) control chart. This chart is described in ISO 7870-4. The CUSUM control
chart reacts more sensitively than the X-bar chart to a shift of the mean value in the range of half
or two sigma. If one plots the cumulative sum of deviations of successive sample means from a
specified target, even minor, permanent shifts in the process mean will eventually lead to a sizable
cumulative sum of deviations. Thus, this chart is particularly well-suited for detecting such small
permanent shifts that may go undetected when using the X-bar chart.
b) Exponentially Weighted Moving Average (EWMA) control chart which is covered by this document.
This chart is presented like the Shewhart control chart; however, instead of placing on the chart
the successive averages of the samples, one monitors a weighted average of the current average and
of the previous averages.
EWMA control charts are generally used for detecting small shifts in the process mean. They will detect
shifts of half sigma to two sigma much faster. They are, however, slower in detecting large shifts in the
process mean. EWMA control charts may also be preferred when the subgroups are of size n = 1.
The joint use of an EWMA control chart with a small value of lambda and a Shewhart control chart
has been recommended as a means of guaranteeing fast detection of both small and large shifts. The
EWMA control chart monitors only the process mean; monitoring the process variability requires the
use of some other technique.
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INTERNATIONAL STANDARD ISO 7870-6:2016(E)
Control charts —
Part 6:
EWMA control charts
1 Scope
This International Standard covers EWMA control charts as a statistical process control technique to
detect small shifts in the process mean. It makes possible the faster detection of small to moderate shifts
in the process average. In this chart, the process average is evaluated in terms of exponentially weighted
moving average of all prior sample means. EWMA weights samples in geometrically decreasing order
so that the most recent samples are weighted most highly while the most distant samples contribute
very little depending upon the smoothing parameter (λ).
NOTE 1 The basic objective is the same as that of the Shewhart control chart described in ISO 7870-2.
The Shewhart control chart’s application is worthwhile in the rare situations when
— production rate is slow,
— sampling and inspection procedure is complex and time consuming,
— testing is expensive, and
— it involves safety risks.
NOTE 2 Variables control charts can be constructed for individual observations taken from the production line,
rather than samples of observations. This is sometimes necessary when testing samples of multiple observations
would be too expensive, inconvenient, or impossible. For example, the number of customer complaints or product
returns may only be available on a monthly basis; yet, one would like to chart those numbers to detect quality
problems. Another common application of these charts occurs in cases when automated testing devices inspect
every single unit that is produced. In that case, one is often primarily interested in detecting small shifts in the
product quality (for example, gradual deterioration of quality due to machine wear).
2 Normative references
The following documents, in whole or in part, are normatively referenced in this document and are
indispensable for its application. For dated references, only the edition cited applies. For undated
references, the latest edition of the referenced document (including any amendments) applies.
ISO 7870-1, Control charts — Part 1: General guidelines
ISO 7870-2, Control charts — Part 2: Shewhart control charts
ISO 7870-4, Control charts — Part 4: Cumulative sum charts
3 Symbols and abbreviated terms
μ Target value for the average of the process
0
U , L Upper rejectable value of the average, lower rejectable value of the average
μ μ
Mean of the sample i
x
i
N Number of units in a sample (sample size)
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ISO 7870-6:2016(E)
z EWMA value placed on the control chart
i
z Initial value of z
0 i
λ Value of the smoothing parameter
L Parameter used to establish the control limit for z (expressed in number of standard deviations of z)
z i
s Estimator of the standard deviation σ
σ True standard deviation of the distribution of x
σ True standard deviation of binomial distribution for P = p
0 0
Standard deviation of the averages of n individual observations;
σ
x
σσ= / n
x
σ Standard deviation of z when i tends towards infinity
z i
δ Drift related to the average expressed in number of standard deviations
δ Maximum acceptable drift of the average, expressed in number of standard deviations
1
p Proportion of nonconforming units of the process
p Target value for the proportion of nonconforming units of the process
0
p Upper refusable value of the proportion of nonconforming units
1
p Proportion of nonconforming units in the ith sample
i
c Average number of nonconformities
c Target value for the average number of nonconformities
0
c Refusable average of nonconformities
1
c Number of nonconforming units in the ith sample
i
U Upper control limit value for the EWMA control chart
CL
L Lower control limit value for the EWMA control chart. If L is negative, then it is taken as zero
CL CL
ARL Average Run Length
ARL Average Run Length of the process in control
0
ARL Average Run Length of the process with setting drift
1
CL Centre line of the control limit
MAXRL Maximum Run Length (5 % overrun probability), expressed as an integer
4 EWMA for inspection by variables
4.1 General
An EWMA control chart plots geometric moving averages of past and current data in which the values
being averaged are assigned weights that decrease exponentially from the present into the past.
Consequently, the average values are influenced more by recent process performance. The exponentially
weighted moving average is defined as Formula (1):
z = λx + (1 - λ) z (1)
i i i-1
NOTE 1 When the EWMA control chart is used with rational subgroups of size n > 1 then x is simply
i
replaced with x .
i
Where 0 < λ < 1 is a constant and the starting value (required with the first sample at i = 1) is the
process target, so that z = μ .
0 0
NOTE 2 μ can be estimated by the average of preliminary data.
0
The EWMA control chart becomes an X chart for λ = 1.
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4.2 Weighted average explained
To demonstrate that the EWMA is a weighted average of all previous sample means, the right-hand side
of Formula (1) in 4.1 can be substituted with z to obtain Formula (2):
i-1
zx=+λλ11− λλxz+−
() ()
ii ii−−12
(2)
2
=+λλxx11−λλ+− z
() ()
ii−−1 i 22
Continuing to substitute recursively for z , where j = 2, 3, ., we obtain Formula (3):
i-j
i−1
i
j
zx=−λλ11+−λ z (3)
() ()
∑
i ij− 0
j=0
For i = 1, z = λx + (1 – λ)μ .
1 1 0
j
The weights, λ(1 – λ) , decrease geometrically with the age of the sample mean. Furthermore, the
weights sum to unity, since
i
i−1
11−−λ
()
j i
λλ1− =λ =−11−λ (4)
() ()
∑
11−−λ
()
j=0
If λ = 0,2, then the weight assigned to the current sample mean is 0,2 and the weights given to the
preceding means are 0,16; 0,128; 0,102 4 and so forth. These weights are shown in Figure 1. Because
these weights decline geometrically, the EWMA is sometimes called a geometric moving average (GMA).
Key
X age of sample mean (EWMA λ = 0,2)
j
Y weights λ(1-λ)
Figure 1 — Weights of past sample means
Since the EWMA value can be viewed as a weighted average of all past and current observations,
it is very insensitive to the normality assumption. It is, therefore an ideal control chart to use with
individual observations.
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ISO 7870-6:2016(E)
4.3 Control limits for EWMA control chart
2
If the observations x are independent random variables with variance σ , then the variance of z is
i i
represented by Formula (5):
λ 2i
22
σσ= 11−−λ (5)
()
z
i
2−λ
Therefore, the EWMA control chart would be constructed by plotting z versus the sample number i (or
i
time). The centre line and control limits for the EWMA control chart are as follows:
Centre line = μ
0
2i
σλ
UL=+μ 11−−λ (6)
()
CL 0 z
2−λ
n ()
2i
σλ
LL=−μ 11−−λ (7)
()
CL 0 z
2−λ
n ()
The factor L is the width of the control limits and its value depends upon the confidence level. In the
z
case of X - R charts, 3σ limits are plotted for 99,73 % (±3σ) confidence. Similarly, on EWMA control
chart, this confidence level can vary depending on the requirements (e.g. L = 2,7 gives the confidence of
z
99,307 %).
No action is taken as long as z falls between these limits, and the process is considered to be out of
i
control as soon as z overshoots the control limits. In this case, reset the process and resume the EWMA
i
control chart after reinitializing it, i.e. by not taking into account the results obtained prior to this
resetting, but by taking z as the initial value.
0
2i
The term [1 – (1 – λ) ] approaches unity as i gets larger. This means that after the EWMA control chart
has been running for several time periods, the control limits will approach steady state values obtained
using Formulae (8) and (9):
Centre line = μ
0
σλ
UL=−μ (8)
CL 0 z
2−λ
n ()
σλ
LL=−μ (9)
CL 0 z
2−λ
n ()
However, it is strongly recommended to use the exact control limits. This will greatly improve the
performance of the control chart in detecting an off-target process immediately after the EWMA control
chart is initiated.
NOTE For practical purposes, use the estimate of σ, denoted by s, estimated from the data.
4.4 Construction of EWMA control chart
To illustrate the construction of an EWMA control chart, consider a process with the following
parameters calculated from historical data:
μ = 50
0
s = 2,053 9
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with λ chosen to be 0,3; so that
λ 03,
==0,4201 (10)
17,
2−λ
()
The control limits at steady-state are given, obtained using Formulae (11) and (12):
U = 50 + 3 (0,420 1)(2,053 9) = 52,588 5 (11)
CL
L = 50 - 3 (0,420 1)(2,053 9) = 47,411 5 (12)
CL
Consider the data consisting of 20 points as given in Table 1.
Table 1 — Calculation of EWMA values
Sample X EWMA values
i
1 52,0 50,600 0
2 47,0 49,520 0
3 53,0 50,564 0
4 49,3 50,184 8
5 50,1 50,159 4
6 47,0 49,211 6
7 51,0 49,748 1
8 50,1 49,853 7
9 51,2 50,257 6
10 50,5 50,330 3
11 49,6 50,111 2
12 47,6 49,357 8
13 49,9 49,520 5
14 51,3 50,054 3
15 47,8 49,378 0
16 51,2 49,924 6
17 52,6 50,727 2
18 52,4 51,229 1
19 53,6 51,940 3
20 52,1 51,988 2
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ISO 7870-6:2016(E)
Key
1 U = 52,588 5
CL
2 CL = 50
3 L = 47,411 5
CL
Figure 2 — EWMA plot
The EWMA control chart in Figure 2 shows that the process is in control because all EWMA points lie
between the control limits.
4.5 Example
Consider the data in Table 2 (observations x ). The first 20 observations were drawn at random from
1
a normal distribution with mean μ = 10 and standard deviation σ = 1. The last 10 observations were
drawn from a normal distribution with mean μ = 11 and standard deviation σ = 1, i.e. after the process
has experienced a shift in the mean of one sigma.
Set up an EWMA control chart with λ = 0,10 and L = 2,7 to the data in Table 2.
z
The target value of the mean is μ = 10 and the standard deviation is σ = 1.
The calculations for EWMA control chart are summarized in Table 2 and the control chart is shown
in Figure 3.
To illustrate the calculations, consider the first observations, x = 9,45.
i
The first value of the EWMA statistic is shown in Formula (13):
zx=+λλ10− z =×,,19 45+×09, 10
()
11 0
(13)
=9,94500
Therefore, z = 9,945 00 is the first value plotted on the control chart in Figure 3.
1
The second value of the EWMA is shown in Formula (14):
zx=+λλ10− z =×,,17 99+×09,,9 945
()
22 1
(14)
=9,74950
The other values of the EWMA statistic are computed similarly.
The control limits are calculated following Formulae (15) and (16):
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For period i = 1:
2i
σλ
UL=+μ 11−−λ
()
CL 0 z
2−λ
n ()
21×
01,
=+10 27, ××1 11−−001, (15)
()
20− ,1
()
=10,27000
and
σλ 2i
LL=−μ 11−−λ
()
CL 0 z
2−λ
n ()
21×
01,
=−10 27, ××1 11−−001, (16)
()
20− ,1
()
=9,73000
For period i = 2, the limits are shown in Formulae (17) and (18):
2i
σλ
UL=+μ 11−−λ
()
CL 0 z
2−λ
n ()
01, 22×
=+10 27, ××1 11−−001, (17)
()
20− ,1
()
=
10,36325
and
σλ 2i
LL=−μ 11−−λ
()
CL 0 z
2−λ
n ()
22×
01,
=−10 27, ××1 11−−001, (18)
()
20− ,1
()
=9,63675
The calculation of control limits are also summarized in Table 2 and plotted in Figure 3.
Table 2 — EWMA calculations
Sample x EWMA z U L
i i CL CL
1 9,45 9,945 00 10,270 00 9,730 00
2 7,99 9,749 50 10,363 25 9,636 75
3 9,29 9,703 55 10,424 00 9,576 00
4 11,66 9,899 20 10,467 46 9,532 54
5 12,16 10,125 28 10,499 90 9,500 10
6 10,18 10,130 75 10,524 71 9,475 29
7 8,04 9,921 67 10,543 98 9,456 02
8 11,46 10,075 51 10,559 09 9,440 90
9 9,20 9,987 96 10,571 05 9,428 95
10 10,34 10,023 16 10,580 55 9,419 45
11 9,03 9,923 84 10,588 13 9,411 87
12 11,47 10,078 46 10,594 20 9,405 80
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Table 2 (continued)
Sample x EWMA z U L
i i CL CL
13 10,51 10,121 61 10,599 08 9,400 92
14 9,40 10,049 45 10,603 00 9,397 00
15 10,08 10,052 51 10,606 15 9,393 85
16 9,37 9,984 26 10,608 70 9,391 30
17 10,62 10,047 83 10,670 75 9,389 25
18 10,31 10,074 05 10,612 41 9,876 00
19 8,52 9,918 64 10,613 74 9,386 26
20 10,84 10,010 78 10,614 83 9,385 17
21 10,90 10,099 70 10,615 70 9,384 30
22 9,33 10,027 73 10,616 41 9,383 59
23 12,29 10,249 46 10,616 98 9,383 02
24 11,50 10,374 51 10,617 45 9,382 55
25 10,60 10,397 06 10,617 82 9,382 18
26 11,08 10,465 35 10,618 13 9,381 87
27 10,38 10,456 82 10,618 37 9,381 63
28 11,62 10,573 14 10,618 57 9,381 43
29 11,31 10,646 82 10,618 73 9,381 26
30 10,52 10,634 14 10,618 87 9,381 13
It may be noted from Figure 3 that the control limits increase in width as i increases from i = 1, 2, …,
until they stabilize at the steady-state values given in Formulae (19) and (20):
σλ
UL=+μ
CL 0 z
2−λ
n ()
01,
=+10 27, ××1 (19)
20− ,1
()
=10,61942
and
σλ
LL=−μ
CL 0 z
2−λ
n ()
01,
=−10 27, ××1 (20)
20− ,1
()
=9,38058
8 © ISO 2016 – All rights reserved
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ISO 7870-6:2016(E)
Key
1 U = 10,62
CL
2 CL = 10,00
3 L = 9,38
CL
Figure 3 — EWMA control chart
The EWMA control chart signals that observation 28 has gone beyond U . Hence it is conclude that the
CL
process is out of control.
5 Choice of the control chart
5.1 Shewhart control chart versus EWMA control chart
Unlike the Shewhart control chart, it is not possible to find the probability of detecting a shift in the
process on the basis of a sample because the probability is not constant. It depends on the number of the
samples. One can calculate this probability for each sample, but these probabilities are too numerous to
be used in practice.
The effectiveness of the EWMA technique is therefore judged according to the ARL, i.e. the average
number of successive samples required for detecting a shift.
If the process is under control, it is expected that there be few false alarms, i.e. that the average number
of samples prior to a false alarm be high (in general ARL is taken between 100 and 1 000).
0
On the other hand, in the event of a shift, it is expected that it be detected as quickly as possible, i.e. that
the number of samples between the moment the shift occurred and that of the first point outside the
control limits be the lowest possible (low ARL ).
1
Compared to the Shewhart control chart, the EWMA technique is extremely effective for minor or
moderate shifts: the lower λ is, better is the effectiveness. On the other hand, the Shewhart control
chart is more effective for sudden and high drifts.
The effectiveness of the chart depends on the size of the sample: the higher n is, better is the effectiveness
(see Annex D).
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ISO 7870-6:2016(E)
5.2 Average run length
Table 3 gives the ARL and the MAXRL of the chart as a function of the drift, δ n . Therefore, the
effectiveness for any value of n can be obtained.
For example, the EWMA control chart with λ = 0,5, L = 2,979 and n = 1 detects a shift of δ = 1 standard
z
deviation in 14,5 samples on average because δ n= 1 . Whereas, the same chart with n = 4 detects it in
3,2 samples, because δ n= 2 .
In Table 3, the values of L for the EWMA techniques have been chosen, so that the ARL (Average Run
z
Length) = 370 (i.e. the same as that of the Shewhart control chart), with control limits established at
±3σ n when the shift, δ , is equal to 0. Hence, you can compare the figures in the six columns directly
since it is a question of control procedures, which have the same number of false alarms. Table 3 shows
that the effectiveness for detecting minor shifts is better for small values of λ (e.g. the ARL goes from 14,9
to 7,6 for δ n= 1 ) ; and, is the contrary for major drifts (e.g. the ARL goes from 1,6 to 1,5 for δ n= 3 ).
The choice of λ and L is made so as to obtain an Average Run Length which one sets in an a priori
z
manner as the quality objective. One can therefore thus obtain charts which correspond to the practical
requirements of industry or services.
Table 3 — Comparison of mean operational periods of EWMA and Shewhart control chart
Shewhart con-
EWMA control charts
trol chart
Shift
λ = 1,0 λ = 0,5 λ = 0,4 λ = 0,3 λ = 0,2 λ = 0,1
L = 3,0 L = 2,979 L = 2,961 L = 2,928 L = 2,864 L = 2,715
z z z z z z
ARL MAXRL ARL MAXRL ARL MAXRL ARL MAXRL ARL MAXRL ARL MAXRL
δ n
0,00 370,4 370,4 370,8 370,9 370 370,9
0,25 281,2 842 195,7 584 173,8 518 148,5 441 119,6 353 86,3 248
0,50 155,2 464 71,3 211 58,0 170 45,8 132 35,0 97 25,7 66
0,75 81,2 242 29,9 86 24,0 67 19,2 52 15,4 39 12,5 29
1,00 43,9 130 14,9 41 12,3 33 10,3 26 8,8 21 7,6 17
1,25 25,0 74 8,7 23 7,5 18 6,6 15 5,9 13 5,3 11
1,50 15,0 44 5,7 14 5,1 12 4,7 10 4,3 9 3,9 8
1,75 9,5 27 4,1 9 3,8 8 3,6 7 3,4 7 3,1 6
2,00 6,3 18 3,2 7 3,0 6 2,9 6 2,7 5 2,5
...
DRAFT INTERNATIONAL STANDARD
ISO/DIS 7870-6
ISO/TC 69/SC 4 Secretariat: ANSI
Voting begins on: Voting terminates on:
2014-01-27 2014-04-27
Statistical Methods in Process Management — Control
Charts —
Part 6:
EWMA Control Charts
Cartes de contrôle de EWMA —
Partie 6: Cartes de contrôle de EWMA
ICS: 03.120.30
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FOR COMMENT AND APPROVAL. IT IS
THEREFORE SUBJECT TO CHANGE AND MAY
NOT BE REFERRED TO AS AN INTERNATIONAL
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IN ADDITION TO THEIR EVALUATION AS
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ISO/CD 7870-6
Contents Page
Foreword . iv
Introduction . v
1 Scope . 1
2 Normative references . 1
3 Symbols (and abbreviated terms) . 1
4 EWMA for variables . 2
4.1 General . 2
4.2 3
4.3 Error! Bookmark not defined.
4.4 Error! Bookmark not defined.
4.5 4
4.6 EWMA control chart for rational subgroups of size, n>1 . 4
4.7 Illustration 1 . 5
4.8 Construction of EWMA chart . 7
5 Choice of the control chart . 9
5.1 9
5.2 9
5.3 Choice of parameters for EWMA chart. 10
6 Procedure for implementing the EWMA control chart . 12
7 Advantages and limitations . 12
7.1 Advantages . 12
7.1 Limitations . 13
8 Robustness of the EWMA to non-normality . 13
Annex A (informative) Example of application of EWMA chart . 14
Annex B (normative) Combined Shewhart – EWMA chart . 18
Annex C (normative) EWMA chart for controlling a proportion of nonconforming units . 19
Annex D (normative) EWMA charts for a number of nonconformities . 22
Annex E (normative) Control chart effectiveness . 25
Annex F (normative) Analysis of trend . 29
Bibliography . 32
© ISO 2002 – All rights reserved iii
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ISO/CD 7870-6
Foreword
ISO (the International Organization for Standardization) is a worldwide federation of national standards bodies
(ISO member bodies). The work of preparing International Standards is normally carried out through ISO
technical committees. Each member body interested in a subject for which a technical committee has been
established has the right to be represented on that committee. International organizations, governmental and
non-governmental, in liaison with ISO, also take part in the work. ISO collaborates closely with the
International Electrotechnical Commission (IEC) on all matters of electrotechnical standardization.
International Standards are drafted in accordance with the rules given in the ISO/IEC Directives, Part 2.
The main task of technical committees is to prepare International Standards. Draft International Standards
adopted by the technical committees are circulated to the member bodies for voting. Publication as an
International Standard requires approval by at least 75 % of the member bodies casting a vote.
Attention is drawn to the possibility that some of the elements of this document may be the subject of patent
rights. ISO shall not be held responsible for identifying any or all such patent rights.
ISO 7870-6 was prepared by Technical Committee ISO/TC 69, TC Applications of statistical methods,
Subcommittee SC 4, SC Applications of statistical methods in process management.
ISO 7870 consists of the following parts, under the general title Control charts:
Part 1: General guidelines
Part 2: Shewhart control charts
Part 3: Acceptance control charts
Part 4: Cumulative sum charts
The following part is planned:
Part 5: Specialized control charts
iv © ISO 2002 – All rights reserved
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ISO/CD 7870-6
Introduction
Shewhart charts are the most widespread statistical control methods used for controlling a process, but they
are slow in signaling shifts of small magnitude in the process parameters. The exponentially weighted moving
average (EWMA) chart makes possible faster detection of small to moderate shifts.
The Shewhart chart is simple to implement and it rapidly detects shifts of major magnitude. However, it is fairly
ineffective for detecting shifts of small or moderate magnitude. It happens quite often that the shift of the
process is slow and progressive (in case of continuous processes in particular); this shift has to be detected
very early in order to react before the process deviates seriously from its target value. There are two
possibilities for improving the effectiveness of the Shewhart chart with respect to small and moderate shifts:
- The simplest, but not the most economical possibility, is to increase the sample size taken from each
rational subgroup. This may not always be possible due to low production rate; testing may be time
consuming or too costly. As a result it may not be possible to draw samples sizes of more than 1 or 2.
- The second possibility is to take into account the results preceding the control under way in order to
try to detect the existence of a shift in the production process. The Shewhart control chart takes into
account only the information contained in the last sample observation and it ignores any information
given by the entire sequence of points. This feature makes the Shewhart control chart relatively
insensitive to small process shifts. Its effectiveness may be improved by taking into account the former
results.
Where it is desired to detect slow, progressive shifts, it is preferable to use specific charts which take into
account the past data and which are effective with a moderate control cost. Two very effective alternatives to
the Shewhart control chart in such situations are:
a) Cumulative Sum (CUSUM) charts. These charts are described in ISO 7870-4. The CUSUM chart
reacts more sensitively than the X-bar chart to a shifting of the mean value in the range of 0.5-2
sigma. If one plots the cumulative sum of deviations of successive sample means from a target
specification, even minor, permanent shifts in the process mean will eventually lead to a sizable
cumulative sum of deviations. Thus, this chart is particularly well-suited for detecting such small
permanent shifts that may go undetected when using the X-bar chart.
b) Exponentially Weighted Moving Average (EWMA) chart, which is covered by this document. This
chart is presented like the Shewhart chart; however, instead of placing on the chart the successive
averages of the samples, one monitors a weighted average of the local average and of the previous
averages.
The performance of the EWMA control chart is approximately equivalent to that of the CUSUM chart and in
some ways it is easier to setup and operate.
EWMA Charts are generally used for detecting small shifts in the process mean. They will detect shifts of 0,5
sigma to 2 sigma much faster. They are, however, slower in detecting large shifts in the process mean.
EWMA Charts may also be preferred when the subgroups are of size n=1.
The joint use of an EWMA chart with a small value and a Shewhart chart has been recommended as a means
of guaranteeing fast detection of both small and large shifts. This was first proposed by Lucas and Saccucci
[13].
© ISO 2002 – All rights reserved v
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WORKING DRAFT
ISO/CD 7870-6
1 Scope
This International standard covers EWMA charts as a statistical process control technique to detect small
shifts in the process mean. It makes possible faster detection of small to moderate shifts in the process
average. In this chart, the process average is evaluated in terms of exponentially-weighted moving average of
current and all prior sample means. EWMA weights samples in geometrically decreasing order so that the
most recent samples are weighted most highly while the most distant samples contribute very little.
The basic objective is therefore the same as that of the Shewhart control chart described in ISO 7870-2.
Its application is worthwhile in the rare situations when:
StatiStatiststiicacall methmethoodds s iinn pprroocesscess manmanaaggemenementt — Control charts — Part 6:
- production rate is slow
- sampling and inspection procedure is complex and time consuming
- testing is expensive
- it involves safety risks
-
The EWMA is used extensively in time series modeling and in forecasting.
Variable control charts can by constructed for individual observations taken from the production line, rather
than samples of observations. This is sometimes necessary when testing samples of multiple observations
would be too expensive, inconvenient, or impossible. For example, the number of customer complaints or
product returns may only be available on a monthly basis; yet, one would like to chart those numbers to detect
quality problems. Another common application of these charts occurs in cases when automated testing
devices inspect every single unit that is produced. In that case, one is often primarily interested in detecting
small shifts in the product quality (for example, gradual deterioration of quality due to machine wear).
2 Normative references
The following referenced documents are indispensable for the application of this document. For dated
references, only the edition cited applies. For undated references, the latest edition of the referenced
document (including any amendments) applies.
ISO 3534-2, Statistics -- Vocabulary and symbols -- Part 2: Applied statistics
ISO 7870-1, Control charts -- Part 1: General guidelines
ISO 7870-2, Control charts -- Part 2: Shewhart control charts
ISO 7870-4, Control charts -- Part 4: Cumulative sum charts
3 Symbols (and abbreviated terms)
Target value for the average of the process
µ
0
'
Upper refusable value of the average, lower refusable value of the average
µ
,
1
x
Average of the sample i
i
© ISO 2002 – All rights reserved 1
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ISO/CD 7870-6
Number of samples
N
Number of units in a samples (sample size)
n
z EWMA value placed on the control chart
i
Initial value of z
z
i
Value of the smoothing parameter
L Value of the control limit for z (expressed in number of standard deviations of z, )
i z
True standard deviation of the distribution of x
s Estimation of the standard deviation
x
= / n
Standard deviation of the averages of n individual observations;
x
Standard deviation of z when i tends towards infinity
z i
Drift related to the average expressed in number of standard deviations
Maximum acceptable drift of the average, expressed in number of standard deviations
1
p Proportion of nonconforming units of the process
p Target value for the proportion of nonconforming units of the process
p Upper refusable value of the proportion of nonconforming units
True standard deviation of binomial distribution for p = p
0
p th
Proportion of nonconforming units in the i sample
i
c Average number of nonconformities
c Target value for the average number of nonconformities
0
c Refusable average of nonconformities
1
c th
i Number of nonconformities in the i sample
Upper control limit value for the EWMA chart
U
CL
Lower control limit value for the EWMA chart. If LCL is negative, then it is taken as zero
L
CL
Average Run Length
ARL
ARL Average Run Length of the controlled process
Average Run Length of the process with setting drift
ARL
1
Maximum Run Length (5 % overrun probability), expressed as an integer
MAXRL
.
4 EWMA for variables
4.1 General
An EWMA control chart plots geometric moving averages of past and current data in which the values being
averaged are assigned weights that decrease exponentially from the present into the past. Consequently, the
2 © ISO 2002 – All rights reserved
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ISO/CD 7870-6
average values are influenced more by recent process performance. The exponentially weighted moving
average is defined as
(1)
z x z
i i i1
where 0 << 1 is a constant and the starting value (required with the first sample at i=1), is the process target,
so that
z0
0
Sometimes the average of preliminary data is used as the starting value of the EWMA, so that x .
z0
The EWMA chart becomes an X chart for =1.
4.2 Weighted average explained
To demonstrate that the EWMA z is a weighted average of all previous sample means, we may substitute for
i
z on the right hand side of the equation in Clause4.1to obtain
i-1
(1) (1)
z x x z
i i i1 i2
2
= (1)
1
x x z
i i1 i2
Continuing to substitute recursively for , j =2,3,…t, we obtain
zi j
i1
j i
(1) (1)
z x z
i i j 0
j0
For i= 1, z =λx +(1-λ)µ
1 1 0
j
The weights decrease geometrically with the age of the sample mean. Furthermore, the weights
(1)
sum to unity, since
i
i1
1
j (1) i
1
(1) (1)
1 (1)
j0
If = 0,2, then the weight assigned to the current sample mean is 0,2 and the weights given to the preceding
means are 0,16; 0,128; 0,1024 and so forth. A comparison of these weights with those of a five-period moving
average is shown in Figure 1. Because these weights decline geometrically when connected by a smooth
curve, the EWMA is sometimes called a geometric moving average (GMA). The common use of the EWMA
chart is in the chemical industry where large day-to-day fluctuations are common but may not be indicative of
the lack of process predictability.
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
0
1 2 3 4 5 6 7 8 9
© ISO 2002 – All rights reserved 3
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ISO/CD 7870-6
Age of sample mean (EWMA, =0.2)
Figure 1 - Weights of past sample means
Since the EWMA can be viewed as a weighted average of all past and current observations, it is very
sensitive to the normality assumption. It is, therefore an ideal control chart to use with individual observations.
4.3 Control limits for the EWMA chart
2
If the observations are independent random variables with variance , then the variance of is
x zi
i
2i
2 2
1
(1)
zi
2
Therefore, the EWMA control chart would be constructed by plotting versus the sample number i (or time).
zi
The centre line and control limits for the EWMA control chart are as follows:
Centre Line =
0
2i
UCL L 1
(1)
0
(2)
2i
LCL L 1
1
0
(2)
The factor L is the width of the control limits and its value depends upon the confidence level. Like in case of
X-R charts, 3 limits are plotted for 99,73 % (3σ) confidence. Similarly, on EWMA chart, we can vary this
confidence level as per our requirements (e.g. L = 2,7 gives the confidence of 99,65 %).
No action is taken as long as z falls between these limits, and the process is considered to be out of control
i
as soon as z overshoots the control limits. in this case, reset the process and one resume the EWMA chart
i
after re-initialising it, i.e. by not taking into account the results obtained prior to this resetting, but by taking
z as the initial value.
2i
The term approaches unity as i gets larger. This means that after the EWMA control chart has
1
(1)
been running for several time periods, the control limits will approach steady state values given by
UCL L
0
(2)
CL= µ
0
LCL L
0
(2)
However, it is strongly recommended to use the exact control limits. This will greatly improve the performance
of the control chart in detecting an off-target process immediately after the EWMA is initiated.
NOTE For practical purposes the estimate of σ, denoted by s, estimated from the data.
4.4 EWMA control chart for rational subgroups of size, n>1
The EWMA control chart when used with rational subgroups of size n > 1, then x is simply replaced with ¯x
i i
and / n with σith.
x
4 © ISO 2002 – All rights reserved
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ISO/CD 7870-6
4.5 Illustration
Consider the data in Table 1 (observations x ). The first 20 observations were drawn at random from a normal
i
distribution with mean µ=10 and standard deviation σ=1. The last 10 observations were drawn from a normal
distribution with mean µ=11 and standard deviation σ=1, i.e, after the process has experienced a shift in the
mean of 1σ.
It is desired to set up an EWMA chart with =0,10 and L=2,7 to the data in Table 1.
The target value of the mean is and the standard deviation is .
10 1
0
The calculations for EWMA control chart are summarized in Table1 and the control chart is shown in Figure 2.
To illustrate the calculations, consider the first observations, . The first value of the EWMA is
9.45
x
1
(1)
x
z1 1 z0
=0,1(9,45)+0,9(10)
=9,945
Therefore, 9.945 is the first value plotted on the control chart in Figure 2. The second value of the
z1
EWMA is
(1)
z2 x2 z1
=0,1(7,99) + 0,9(9,945)
= 9,7495
The other values of the EWMA statistic are computed similarly.
Table 1 EWMA Calculations
S.No
EWMA z
i
x
i
1 9,45 9,945
2 7,99 9,7495
3 9,29 9,70355
4 11,66 9,8992
5 12,16 10,1253
6 10,18 10,1307
7 8,04 9,92167
8 11,46 10,0755
9 9,2 9,98796
10 10,34 10,0232
11 9,03 9,92384
12 11,47 10,0785
13 10,51 10,1216
14 9,4 10,0495
15 10,08 10,0525
© ISO 2002 – All rights reserved 5
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ISO/CD 7870-6
16 9,37 9,98426
17 10,62 10,0478
18 10,31 10,074
19 8,52 9,91864
20 10,84 10,0108
21 10,9 10,0997
22 9,33 10,0227
23 12,29 10,2495
24 11,5 10,3745
25 10,6 10,3971
26 11,08 10,4654
27 10,38 10,4568
28 11,62 10,5731
29 11,31 10,6468
30 10,52 10,6341
The control limits in Figure 2 are:
For period i =1
2i
UCL L 1
1
0
(2)
2(1)
0.1
= 10 +2.7 (1) 1
10.1
(2 0.1)
= 10.27
and
2i
LCL L 1
(1)
0
(2)
2(1)
0.1
= 10 –2.7 (1) 1
(10.1)
(2 0.1)
=9,73
For period i=2, the limits are
2i
UCL L 1
(1)
0
(2)
2(2)
0.1
=10 +2.7 (1) 1
(10.1)
(2 0.1)
= 10.36
2i
LCL L 1
(1)
0
(2)
6 © ISO 2002 – All rights reserved
---------------------- Page: 11 ----------------------
ISO/CD 7870-6
2(2)
0.1
=10-2.7 (1) 1
(10.1)
(20.1)
= 9.64
Note from Figure 2 that the control limits increase in width as i increases from i=1, 2, …., until they stabilize at
the steady-state values given by equations
UCL L
0
(2)
0.1
= 10 + 2.7(1)
(20.1)
=10.62
and
LCL L
0
(2)
0.1
= 102.7(1)
(20.1)
= 9,38
The EWMA control chart in Figure 2 signals at observation 28 beyond UCL, so we would conclude that the
process is out of control.
4.8 Construction of EWMA chart
To illustrate the construction of an EWMA control chart, consider a process with the following parameters
calculated from historical data:
µ = 50
0
s = 2,0539
with chosen to be 0,3; so that / (2- ) = 0,3 / 1,7 = 0,1765 and the square root = 0,4201. The control
limits at steady state are given by
UCL = 50 + 3 (0,4201) (2,0539) = 52,5884
LCL = 50 - 3 (0,4201) (2,0539) = 47,4115
Consider the following data consisting of 20 points where 1 - 10 are on the top row from left to right and 11-20
are on the bottom row from left to right:
52,0 47,0 53,0 49,3 50,1 47,0 51,0 50,1 51,2 50,5
49,6 47,6 49,9 51,3 47,8 51,2 52,6 52,4 53,6 52,1
These data represent control measurements from the process which is to be monitored using the EWMA
control chart technique.
The corresponding EWMA statistics that are computed from this data set are:
50,00 50,60 49,52 50,56 50,18 50,16 49,12 49,75 49,85 50,26
50,33 50,11 49,36 49,52 50,05 49,34 49,92 50,73 51,23 51,94
The control chart is given below:
© ISO 2002 – All rights reserved 7
---------------------- Page: 12 ----------------------
ISO/CD 7870-6
UCL
LCL
Figure 3– EWMA plot
The x dots are the raw data; the jagged line is the EWMA statistic over time. The chart tells us that the
process is in control because all EWMA points lie between the control limits. However, there seems to be a
trend upwards for the last 5 periods (see Annex F).
EWMA Chart of C1
10.8
UCL=10.688
10.6
10.4
10.2
_
_
10.0 X=10
9.8
9.6
9.4
LCL=9.312
9.2
1 4 7 10 13 16 19 22 25 28
Sample
Figure 2 – EWMA chart
8 © ISO 2002 – All rights reserved
EWMA
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ISO/CD 7870-6
5 Choice of the control chart
5.1 Shewhart vs. EWMA
Unlike the Shewhart chart, it is not possible to find the probability of detecting a shift for a sample because the
probability is not constant, it depends on the number of the samples, N; with the EWMA technique, it is more
probable to detect a shift after 10 controls than at the first one. One can calculate this probability for each
number of the sample, but these probabilities are too numerous to be used in practice.
The effectiveness of the EWMA technique is therefore judged according to the Average Run Length (ARL),
i.e. the average number of successive samples required for detecting a shift.
If the process is under control, it is expected that there be few false alarms, i.e. that the average number of
samples prior to a false alarm be high (in general ARL between 100 and 1000).
o
On the other hand, in the event of a shift, it is expected that it be detected as quickly as possible, i.e. that the
number of samples between the moment the shift occurred and that of the first point outside the control limits
be the lowest possible (low ARL ).
Compared to the Shewhart chart, the EWMA technique is extremely effective for minor or moderate shifts, this
being more marked, the lower is. On the other hand, the Shewhart chart is more effective for sudden and
high drifts.
The effectiveness of the chart depends on the size of the sample, the higher n is, the better the effectiveness
(see Annex E).
5.2 Average run length
Table 2 gives the Average Run Length (ARL) and the MAXRL of the chart as a function of the drift n ,
therefore the effectiveness for any value of n can be obtained.
For example, the EWMA chart with = 0,5 and n = 1 detects a shift of = 1 standard deviation in 15,2
samples on average because n= 1, whereas the same chart with n = 4 detects it in 3,4 samples, because
n= 2 .
In Table 2, the values ofL for the EWMA techniques have been chosen so that the Average Run Length is
equal to 370, (i.e. the same as that of the Shewhart chart with control limits established at 3 / n ) when
the shift is equal to 0. One can therefore compare the figures of the 6 columns directly since it is a
question of control procedures which have the same number of false alarms. This table shows that the
effectiveness for detecting minor shifts is better for small values of (e.g. the ARL goes from 15,2 to 10,3 for
n = 1); it is the contrary for major drifts (e.g.: the ARL goes from 1,3 to1,7 for n = 4).
The choice of and L is made so as to obtain an Average Run Length which one sets in an a priori manner as
the quality objective. One can therefore thus obtain charts which correspond to the practical requirements of
industry or services.
Table 2 - Comparison of mean operational periods
of EWMA and Shewhart charts
© ISO 2002 – All rights reserved 9
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ISO/CD 7870-6
Shewhart EWMA charts
chart
= 0,5 = 0,4 = 0,35 = 0,30 = 0,25
Shift L = 3,0
L = 2,978 L = 2,958 L = 2,9445 L = 2,925 L = 2,898
ARL MAXRL ARL MAXRL ARL MAXRL ARL MAXRL ARL MAXRL ARL MAXRL
n
0,00 370 370 370 370 370 370
0,25 281 841 196 584 174 515 162 479 149 439 135 397
0,50 155 464 72 210 58 169 52 150 46 132 41 114
0,75 81 242 30 86 24 67 22 60 20 52 18 46
1,00 44 130 15,2 41 12,7 33 11,7 29 10,9 26 10,3 24
1,50 15 44 6,0 14 5,5 12 5,3 11 5,2 11 5,2 10
2,00 6,3 18 3,4 7 3,3 6 3,4 6 3,4 6 3,5 6
2,50 3,2 9 2,4 4 2,4 4 2,5 4 2,9 4 2,6 4
3,00 2,0 5 1,9 3 1,9 3 2,0 3 2,1 3 2,2 3
4,00 1,2 2 1,3 2 1,39 2 1,46 2 1,55 2 1,7 2
5,00 1,03 1 1,07 1 1,10 1 1,13 2 1,18 2 1,27 2
5.3 Choice of parameters for EWMA chart
5.3.1 Choice of λ
The smaller is, the more the past is taken into account and the better minor drifts are detected; on the other
hand, major, sudden drifts are less well detected;
The higher is, the less the past is taken into account and the better the reactivity to major, sudden drifts will
be; on the other hand, minor drifts are less well detected.
The choice of shall be made on the basis of the experience that one has of the process. In general, 0,05
0,50works well in practice,
if slow drifts are expected, one will choose a value of between 0,05 toose0,25;
if one fears sudden, moderate magnitude shifts, one will choose rather a value of close to 0,5.
The most commonly used values of are between 0,25 and 0,5 inclusive. It is to be noted that one obtains the
Shewhart chart if one takes = 1.
5.3.2 Choice of L
The parameter L is the multiple of the rational subgroup standard deviation that establishes the control limits.
L is typically set at 3 to match other control charts, but it may be necessary to reduce L slightly for small
values of λ. L between 2,6 and 2,8 is useful when 0,1
NOTE Ideally, λ and L may be determined by plotting the data on exponential probability paper and using
Standard Normal Tables.
10 © ISO 2002 – All rights reserved
---------------------- P
...
NORME ISO
INTERNATIONALE 7870-6
Première édition
2016-02-15
Cartes de contrôle —
Partie 6:
Cartes de contrôle de EWMA
Control charts —
Part 6: EWMA control charts
Numéro de référence
ISO 7870-6:2016(F)
©
ISO 2016
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ISO 7870-6:2016(F)
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sous quelque forme que ce soit et par aucun procédé, électronique ou mécanique, y compris la photocopie, l’affichage sur
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www.iso.org
ii © ISO 2016 – Tous droits réservés
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ISO 7870-6:2016(F)
Sommaire Page
Avant-propos .iv
Introduction .v
1 Domaine d’application . 1
2 Références normatives . 1
3 Symboles et termes abrégés . 2
4 EWMA pour le contrôle par variables . 2
4.1 Généralités . 2
4.2 Explications relatives à la moyenne pondérée . 3
4.3 Limites de contrôle de la carte de contrôle EWMA . 4
4.4 Construction d’une carte de contrôle EWMA . 5
4.5 Exemple . 6
5 Choix de la carte de contrôle . 9
5.1 Comparaison de la carte de contrôle de Shewhart et de la carte contrôle EWMA . 9
5.2 Période opérationnelle moyenne .10
5.3 Choix des paramètres de la carte de contrôle EWMA .11
5.3.1 Choix de λ . 11
5.3.2 Choix de L .
z 11
5.3.3 Calcul de n . 11
5.3.4 Exemple .13
6 Procédure de mise en œuvre de la carte de contrôle EWMA .13
7 Sensibilité de la carte EWMA en cas de non-normalité .13
8 Avantages et limitations .13
8.1 Avantages .13
8.2 Limitations .13
Annexe A (informative) Application de la carte de contrôle EWMA .15
Annexe B (normative) Carte de contrôle EWMA pour contrôler une proportion d’unités
non conformes .19
Annexe C (normative) Cartes de contrôle EWMA pour un nombre de non-conformités .22
Annexe D (informative) Efficacité de la carte de contrôle .24
Bibliographie .28
© ISO 2016 – Tous droits réservés iii
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ISO 7870-6:2016(F)
Avant-propos
L’ISO (Organisation internationale de normalisation) est une fédération mondiale d’organismes
nationaux de normalisation (comités membres de l’ISO). L’élaboration des Normes internationales est
en général confiée aux comités techniques de l’ISO. Chaque comité membre intéressé par une étude
a le droit de faire partie du comité technique créé à cet effet. Les organisations internationales,
gouvernementales et non gouvernementales, en liaison avec l’ISO participent également aux travaux.
L’ISO collabore étroitement avec la Commission électrotechnique internationale (IEC) en ce qui
concerne la normalisation électrotechnique.
Les procédures utilisées pour élaborer le présent document et celles destinées à sa mise à jour sont
décrites dans les Directives ISO/IEC, Partie 1. Il convient, en particulier de prendre note des différents
critères d’approbation requis pour les différents types de documents ISO. Le présent document a été
rédigé conformément aux règles de rédaction données dans les Directives ISO/IEC, Partie 2 (voir www.
iso.org/directives).
L’attention est appelée sur le fait que certains des éléments du présent document peuvent faire l’objet de
droits de propriété intellectuelle ou de droits analogues. L’ISO ne saurait être tenue pour responsable
de ne pas avoir identifié de tels droits de propriété et averti de leur existence. Les détails concernant
les références aux droits de propriété intellectuelle ou autres droits analogues identifiés lors de
l’élaboration du document sont indiqués dans l’Introduction et/ou dans la liste des déclarations de
brevets reçues par l’ISO (voir www.iso.org/brevets).
Les appellations commerciales éventuellement mentionnées dans le présent document sont données
pour information, par souci de commodité, à l’intention des utilisateurs et ne sauraient constituer un
engagement.
Pour une explication de la signification des termes et expressions spécifiques de l’ISO liés à
l’évaluation de la conformité, ou pour toute information au sujet de l’adhésion de l’ISO aux principes
de l’OMC concernant les obstacles techniques au commerce (OTC), voir le lien suivant: Avant-propos —
Informations supplémentaires.
Le comité chargé de l’élaboration du présent document est l’ISO/TC 69, Application des méthodes
statistiques, sous-comité SC 4, Application de méthodes statistiques au management de processus.
L’ISO 7870 comprend les parties suivantes, présentées sous le titre général Cartes de contrôle:
— Partie 1: Lignes directrices générales
— Partie 2: Cartes de contrôle de Shewhart
— Partie 3: Cartes de contrôle pour acceptation
— Partie 4: Cartes de contrôle des sommes cumulées (CUSUM)
— Partie 5: Cartes de contrôle particulières
— Partie 6: Carte de contrôle EWMA
Une future partie est prévue pour les techniques de cartes pour petites séries et pour petits lots
combinés.
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ISO 7870-6:2016(F)
Introduction
Les cartes de contrôle de Shewhart sont les méthodes statistiques de contrôle les plus répandues pour
maîtriser un processus, mais elles mettent du temps à signaler des déréglages de faible amplitude dans
[10]
les paramètres de processus. La carte de contrôle à moyenne mobile pondérée exponentiellement
(EWMA) permet la détection plus rapide de dérives/déréglages de petite et moyenne amplitude.
La carte de contrôle de Shewhart est simple à mettre en œuvre et elle détecte rapidement les déréglages
de grande amplitude. Elle est par contre assez peu efficace pour détecter les déréglages de petite ou
moyenne amplitude. Or il arrive assez souvent que le déréglage du processus soit lent et progressif (cas
des procédés continus en particulier); il faut détecter très tôt ce déréglage pour réagir avant que le
processus ne s’écarte fortement de sa valeur cible. Il y a deux possibilités pour améliorer l’efficacité de
la carte de contrôle de Shewhart vis-à-vis des déréglages de petite et moyenne amplitude:
— la plus simple, mais non la plus économique, consiste à augmenter l’effectif de l’échantillon. Ce n’est
pas toujours possible car le taux de production peut être trop faible et les essais peuvent prendre
du temps ou être trop onéreux. Par conséquent, il n’est pas toujours possible de constituer des
échantillons comprenant plus de 1 ou 2 unités;
— la seconde possibilité est de tenir compte des résultats précédant le contrôle en cours pour tenter
de déceler l’existence d’une dérive du processus de production. La carte de contrôle de Shewhart
ne tient compte que des informations contenues dans l’observation du dernier échantillon et elle
ignore toute information donnée par la séquence complète de points. Cette caractéristique fait que
la carte de contrôle de Shewhart est relativement insensible à de faibles déréglages du processus.
Son efficacité peut être améliorée en prenant en compte les résultats antérieurs.
Lorsqu’on veut détecter des dérives lentes et progressives, il est préférable d’utiliser des cartes
spécifiques qui tiennent compte des données antérieures et qui ont une bonne efficacité pour un coût
de contrôle modéré. Deux alternatives très efficaces à la carte de contrôle de Shewhart dans de telles
situations sont:
a) la carte de contrôle des sommes cumulées (CUSUM). Cette carte est décrite dans l’ISO 7870-4.
La carte de contrôle CUSUM réagit de manière plus sensible que la carte X-bar en cas de
dérive/déréglage de la valeur moyenne dans la plage de 0,5 sigma à 2 sigma. Si l’on reporte la somme
cumulée des écarts des moyennes d’échantillon successives par rapport à une cible spécifiée, des
déréglages permanents, même mineurs, de la moyenne du processus finiront par conduire à une
somme cumulée d’écarts quantifiable. Cette carte est donc particulièrement adaptée pour détecter
de tels déréglages permanents de petite amplitude pouvant ne pas être décelés par une carte X-bar;
b) la carte de contrôle à moyenne mobile pondérée exponentiellement (EWMA), qui est traitée dans le
présent document. Cette carte se présente comme la carte de contrôle de Shewhart; cependant, au
lieu de placer sur la carte les moyennes successives des échantillons, on suit une moyenne pondérée
de la moyenne du dernier échantillon et des moyennes des échantillons antérieures.
Les cartes de contrôle EWMA sont généralement utilisées pour détecter des déréglages de petite
amplitude de la moyenne du processus. Elles détectent beaucoup plus rapidement des déréglages allant
de 0,5 sigma à 2 sigma. Elles mettent toutefois plus de temps à détecter les déréglages importants
de la moyenne du processus. Les cartes de contrôle EWMA peuvent aussi être conseillées lorsque les
échantillons sont d’effectif n = 1.
L’utilisation conjointe d’une carte de contrôle EWMA avec une petite valeur de lambda (λ) et d’une carte
de contrôle de Shewhart est recommandée comme moyen de garantir la détection rapide à la fois des
déréglages de petite et grande amplitude. La carte de contrôle EWMA surveille uniquement la moyenne
du processus; la surveillance de la variabilité du processus nécessite l’utilisation d’autres techniques.
© ISO 2016 – Tous droits réservés v
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NORME INTERNATIONALE ISO 7870-6:2016(F)
Cartes de contrôle —
Partie 6:
Cartes de contrôle de EWMA
1 Domaine d’application
La présente Norme internationale traite des cartes de contrôle EWMA comme technique de maîtrise
statistique des processus permettant de détecter des dérives/déréglages de petite amplitude dans la
moyenne du processus. Elle permet de détecter plus rapidement des déréglages de petite et moyenne
amplitude dans la moyenne du processus. Dans cette carte, la moyenne du processus est évaluée
en termes de moyenne mobile pondérée exponentiellement de toutes les moyennes antérieures
des échantillons. La carte EWMA pondère les échantillons par ordre décroissant selon une suite
géométrique, de sorte que les échantillons les plus récents sont pondérés plus fortement tandis que les
échantillons les plus anciens ont une très faible contribution en fonction du paramètre de lissage (λ).
NOTE 1 L’objectif de base est le même que pour la carte de contrôle de Shewhart décrite dans l’ISO 7870-2.
L’application de la carte de contrôle de Shewhart est utile dans les rares situations où:
— le taux de production est lent;
— le mode opératoire d’échantillonnage et de contrôle est complexe et laborieux;
— les essais sont onéreux; et
— il y a des risques pour la sécurité.
NOTE 2 Les cartes de contrôle pour les variables peuvent être construites pour des observations individuelles
faites à partir de la ligne de production plutôt que pour des échantillons d’observations. Cela est parfois nécessaire
lorsqu’il serait trop coûteux, peu pratique, voire impossible de soumettre à essai des échantillons d’observations
multiples. Par exemple, le nombre de réclamations client ou de retours de produits peut n’être disponible que
sur une base mensuelle; or, on voudrait mettre sous carte de contrôle ces chiffres pour déceler les problèmes
de qualité. Ces cartes sont également couramment utilisées dans les cas où des dispositifs d’essai automatisés
inspectent chaque unité individuelle qui est produite. Dans ce cas, on est souvent principalement intéressé par la
détection de déréglages de petite amplitude dans la qualité du produit (par exemple, une détérioration graduelle
de la qualité due à l’usure de la machine).
2 Références normatives
Les documents suivants, en tout ou partie, sont référencés de façon normative dans le présent document
et sont indispensables pour son application. Pour les références datées, seule l’édition citée s’applique.
Pour les références non datées, la dernière édition du document de référence s’applique (y compris les
éventuels amendements).
ISO 7870-1, Cartes de contrôle — Partie 1: Lignes directrices générales
ISO 7870-2, Cartes de contrôle — Partie 2: Cartes de contrôle de Shewhart
ISO 7870-4, Cartes de contrôle — Partie 4: Cartes de contrôle de l’ajustement de processus
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ISO 7870-6:2016(F)
3 Symboles et termes abrégés
μ Valeur cible pour la moyenne du processus
0
U , L Valeur refusable supérieure de la moyenne, valeur refusable inférieure de la moyenne
μ μ
Moyenne de l’échantillon i
x
i
N Nombre d’unités dans un échantillon (effectif des échantillons)
z valeur de moyenne mobile pondérée exponentiellement placée sur la carte de contrôle
i
z Valeur initiale de z
0 i
λ Paramètre de lissage
L Paramètre utilisé pour établir les limites de contrôle pour z (exprimé en nombre d’écarts-types de z)
z i
s Estimation de l’écart-type σ
σ Écart-type vrai de la distribution de x
σ Écart-type vrai de la loi binomiale pour P = p
0 0
Écart-type des moyennes de n observations individuelles
σ
x
σσ= / n
x
σ Écart-type de z quand i tend vers l’infini
z i
δ Déréglage relatif à la moyenne, exprimé en nombre d’écarts-types
δ Déréglage maximal acceptable de la moyenne, exprimé en nombre d’écarts-types
1
p Proportion d’unités non conformes dans le processus
p Valeur cible de la proportion d’unités non conformes dans le processus
0
p Valeur refusable supérieure de la proportion d’unités non conformes
1
ème
p Proportion d’unités non conformes dans le i échantillon
i
c Nombre moyen de non-conformités
c Valeur cible du nombre moyen de non-conformités
0
c Moyenne refusable de non-conformités
1
ème
c Nombre d’unités non conformes dans le i échantillon
i
U Limite de contrôle supérieure pour la carte de contrôle EWMA
CL
L Limite de contrôle inférieure pour la carte de contrôle EWMA. Si la L est négative, alors elle est
CL CL
prise égale à zéro
POM Période opérationnelle moyenne
POM Période opérationnelle moyenne du processus sous maîtrise
0
POM Période opérationnelle moyenne du processus de l’apparition de déréglage
1
CL Ligne centrale de la limite de contrôle
POMAX Période opérationnelle maximale (probabilité de dépassement de 5 %), exprimée en nombre entier
4 EWMA pour le contrôle par variables
4.1 Généralités
Une carte de contrôle EWMA reporte les moyennes mobiles géométriques des données du passé et
du présent, et attribue aux valeurs moyennées des pondérations qui diminuent exponentiellement du
présent au passé. Par conséquent, les valeurs moyennes sont davantage influencées par la performance
récente du processus. La moyenne mobile pondérée exponentiellement est définie par la Formule (1):
z = λx + (1 - λ) z (1)
i i i-1
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ISO 7870-6:2016(F)
NOTE 1 Quand la carte de contrôle EWMA est utilisée avec des échantillons rationnels d’effectif n > 1, x est
i
simplement remplacé par x .
i
où 0 < λ < 1 est une constante et la valeur de départ (requise pour le premier échantillon à i = 1) est la
cible du processus, de sorte que z = μ .
0 0
NOTE 2 μ peut être estimé par la moyenne des données préliminaires.
0
La carte de contrôle EWMA devient une carte X quand λ = 1.
4.2 Explications relatives à la moyenne pondérée
Pour démontrer que la z EWMA est une moyenne pondérée de toutes les moyennes des échantillons
i
antérieurs, on peut remplacer la partie droite de la Formule (1) en 4.1 par z pour obtenir la Formule (2):
i-1
zx=+λλ11− λλxz+−
() ()
ii ii−−12
(2)
2
=+λλxx11−λλ+− z
() ()
ii−−1 i 22
En continuant à remplacer de manière récursive z , avec j = 2, 3, …, t, on obtient la Formule (3):
i-j
i−1
j i
zx=−λλ11+−λ z (3)
() ()
∑
i ij− 0
j=0
Pour i = 1, z = λx + (1 – λ)μ .
1 1 0
j
Les pondérations λ(1 – λ) diminuent selon une suite géométrique en fonction de l’âge de la moyenne de
l’échantillon. En outre, la somme des pondérations converge vers 1 étant donné que:
i
i−1
11−−λ
()
j i
λλ1− =λ =−11−λ (4)
() ()
∑
11−−λ
()
j=0
Si λ = 0,2, alors la pondération attribuée à la moyenne de l’échantillon présent est de 0,2 et les
pondérations attribuées aux moyennes antérieures sont de 0,16; 0,128; 0,102 4 et ainsi de suite. Ces
pondérations sont représentées à la Figure 1. Comme ces pondérations diminuent selon une suite
géométrique, la valeur EWMA est parfois appelée moyenne mobile géométrique (GMA).
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ISO 7870-6:2016(F)
Légende
X âge de la moyenne de l’échantillon (EWMA λ = 0,2)
j
Y pondérations λ(1-λ)
Figure 1 — Pondérations des moyennes d’échantillons passés
Étant donné que la valeur EWMA peut être considérée comme une moyenne pondérée de toutes les
observations du présent et du passé, elle est très insensible à l’hypothèse de normalité. C’est donc une
carte de contrôle idéale pour des observations individuelles.
4.3 Limites de contrôle de la carte de contrôle EWMA
2
Si les observations x sont des variables aléatoires indépendantes, avec une variance σ , alors la variance
i
de z est représentée par la Formule (5):
i
2i
λ
22
σσ= 11−−λ (5)
()
z
i
2−λ
La carte de contrôle EWMA pourrait donc être construite en traçant une courbe de z en fonction du
i
numéro de l’échantillon i (ou en fonction du temps). La ligne centrale et les limites de contrôle de la
carte de contrôle EWMA sont les suivantes:
Ligne centrale = μ
0
2i
σλ
UL=+μ 11−−λ (6)
()
CL 0 z
2−λ
n ()
σλ 2i
LL=−μ 11−−λ (7)
()
CL 0 z
2−λ
n ()
Le facteur L est la largeur des limites de contrôle et sa valeur dépend du niveau de confiance. Dans le
z
cas des cartes X - R, les limites à 3σ sont tracées pour un niveau de confiance de 99,73 % (± 3σ). De
même, sur la carte de contrôle EWMA, ce niveau de confiance peut varier en fonction des besoins (par
exemple L = 2,7 conduit à un niveau de confiance de 99,307 %).
z
On ne fait rien tant que z est situé entre ces limites et l’on décide que le processus est hors maîtrise dès
i
que z sort de ces limites. Dans ce cas, on règle le processus et on reprend la carte de contrôle EWMA
i
après l’avoir réinitialisée, c’est-à-dire qu’on ne tient pas compte des résultats obtenus avant ce réglage.
On prend z comme valeur initiale.
0
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ISO 7870-6:2016(F)
2i
Le terme [1 – (1 – λ) ] tend vers l’unité au fur et à mesure que i augmente. Cela signifie qu’une fois
que la carte de contrôle EWMA a été utilisée sur plusieurs périodes de temps, les limites de contrôle
avoisinent des valeurs en régime établi données par les Formules (8) et (9):
Ligne centrale = μ
0
σλ
UL=−μ (8)
CL 0 z
2−λ
n ()
σλ
LL=−μ (9)
CL 0 z
2−λ
n ()
Il est toutefois vivement recommandé d’utiliser les limites de contrôle exactes. Cela améliorera
nettement la performance de la carte de contrôle en matière de détection des processus hors cible
immédiatement après l’initialisation de la carte de contrôle EWMA.
NOTE Pour des raisons pratiques, l’estimation de σ par s est calculée à partir des données.
4.4 Construction d’une carte de contrôle EWMA
Pour illustrer la construction d’une carte de contrôle EWMA, on considère un processus dont les
paramètres suivants ont été calculés à partir de données historiques:
μ = 50
0
s = 2,053 9
avec λ pris égal à 0,3; de sorte que:
λ 03,
==0,4201 (10)
17,
2−λ
()
Les limites de contrôle en régime établi sont données par les Formules (11) et (12):
U = 50 + 3 (0,420 1)(2,053 9) = 52,588 5 (11)
CL
L = 50 - 3 (0,420 1)(2,053 9) = 47,411 5 (12)
CL
On considère les données consistant en 20 échantillons, comme indiqué dans le Tableau 1.
Tableau 1 — Calcul des valeurs EWMA
Échantillon x Valeurs EWMA
i
1 52,0 50,600 0
2 47,0 49,520 0
3 53,0 50,564 0
4 49,3 50,184 8
5 50,1 50,159 4
6 47,0 49,211 6
7 51,0 49,748 1
8 50,1 49,853 7
9 51,2 50,257 6
10 50,5 50,330 3
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Tableau 1 (suite)
Échantillon x Valeurs EWMA
i
11 49,6 50,111 2
12 47,6 49,357 8
13 49,9 49,520 5
14 51,3 50,054 3
15 47,8 49,378 0
16 51,2 49,924 6
17 52,6 50,727 2
18 52,4 51,229 1
19 53,6 51,940 3
20 52,1 51,988 2
Légende
1 U = 52,588 5
CL
2 CL = 50
3 L = 47,411 5
CL
Figure 2 — Courbe de la valeur EWMA
La carte de contrôle EWMA de la Figure 2 montre que le processus est sous maîtrise car tous les points
EWMA sont situés entre les limites de contrôle.
4.5 Exemple
On considère les données du Tableau 2 (observations x ). Les 20 premières observations ont été
1
prélevées au hasard dans une distribution normale avec une moyenne µ = 10 et un écart-type σ = 1. Les
10 dernières observations ont été prélevées dans une distribution normale avec une moyenne µ = 11 et
un écart-type σ = 1, c’est-à-dire après que le processus a dérivé de la moyenne de 1 sigma.
Appliquer une carte de contrôle EWMA avec λ = 0,10 et L = 2,7 aux données du Tableau 2.
z
La valeur cible pour la moyenne est μ = 10 et l’écart-type est σ = 1.
Les calculs de la carte de contrôle EWMA sont résumés dans le Tableau 2 et la carte de contrôle est
illustrée à la Figure 3.
Pour illustrer les calculs, on considère les premières observations, x = 9,45.
i
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La première valeur de la statistique EWMA est donnée par la Formule (13):
zx=+λλ10− z =×,,19 45+×09, 10
()
11 0
(13)
=9,94500
Par conséquent, z = 9,945 00 est la première valeur reportée sur la carte de contrôle de la Figure 3.
1
La deuxième valeur EWMA est donnée par la Formule (14):
zx=+λλ10− z =×,,17 99+×09,,9 945
()
22 1
(14)
=9,74950
Les autres valeurs de la statistique EWMA sont calculées de manière similaire.
Les limites de contrôle sont calculées à l’aide des Formules (15) et (16):
Pour la période i = 1:
2i
σλ
UL=+μ 11−−λ
()
CL 0 z
2−λ
n ()
21×
01,
=+10 27, ××1 11−−001, (15)
()
20− ,1
()
=10,27000
et
2i
σλ
LL=−μ 11−−λ
()
CL 0 z
2−λ
n ()
21×
01,
=−10 27, ××1 11−−001, (16)
()
20− ,1
()
=9,73000
Pour la période i = 2, les limites sont données par les Formules (17) et (18):
σλ 2i
UL=+μ 11−−λ
()
CL 0 z
2−λ
n ()
22×
01,
=+10 27, ××1 11−−001, (17)
()
20− ,1
()
=10,36325
et
2i
σλ
LL=−μ 11−−λ
()
CL 0 z
2−λ
n ()
01, 22×
=−10 27, ××1 11−−001, (18)
()
20− ,1
()
=9,63675
Les calculs des limites de contrôle sont également résumés dans le Tableau 2 et illustrés à la Figure 3.
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ISO 7870-6:2016(F)
Tableau 2 — Calculs de la valeur EWMA
Échantillon x z EWMA U L
i i CL CL
1 9,45 9,945 00 10,270 00 9,730 00
2 7,99 9,749 50 10,363 25 9,636 75
3 9,29 9,703 55 10,424 00 9,576 00
4 11,66 9,899 20 10,467 46 9,532 54
5 12,16 10,125 28 10,499 90 9,500 10
6 10,18 10,130 75 10,524 71 9,475 29
7 8,04 9,921 67 10,543 98 9,456 02
8 11,46 10,075 51 10,559 09 9,440 90
9 9,20 9,987 96 10,571 05 9,428 95
10 10,34 10,023 16 10,580 55 9,419 45
11 9,03 9,923 84 10,588 13 9,411 87
12 11,47 10,078 46 10,594 20 9,405 80
13 10,51 10,121 61 10,599 08 9,400 92
14 9,40 10,049 45 10,603 00 9,397 00
15 10,08 10,052 51 10,606 15 9,393 85
16 9,37 9,984 26 10,608 70 9,391 30
17 10,62 10,047 83 10,670 75 9,389 25
18 10,31 10,074 05 10,612 41 9,876 00
19 8,52 9,918 64 10,613 74 9,386 26
20 10,84 10,010 78 10,614 83 9,385 17
21 10,90 10,099 70 10,615 70 9,384 30
22 9,33 10,027 73 10,616 41 9,383 59
23 12,29 10,249 46 10,616 98 9,383 02
24 11,50 10,374 51 10,617 45 9,382 55
25 10,60 10,397 06 10,617 82 9,382 18
26 11,08 10,465 35 10,618 13 9,381 87
27 10,38 10,456 82 10,618 37 9,381 63
28 11,62 10,573 14 10,618 57 9,381 43
29 11,31 10,646 82 10,618 73 9,381 26
30 10,52 10,634 14 10,618 87 9,381 13
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ISO 7870-6:2016(F)
On peut remarquer sur la Figure 3 que les limites de contrôle augmentent en largeur au fur et à mesure
que i augmente de i = 1, 2, …, puis qu’elles se stabilisent aux valeurs en régime établi données par les
Formules (19) et (20):
σλ
UL=+μ
CL 0 z
2−λ
n ()
01,
=+10 27, ××1 (19)
20− ,1
()
=10,61942
et
σλ
LL=−μ
CL 0 z
2−λ
n ()
01,
=−10 27, ××1 (20)
20− ,1
()
=9,38058
Légende
1 U = 10,62
CL
2 CL = 10,00
3 L = 9,38
CL
Figure 3 — Carte de contrôle EWMA
La carte de contrôle EWMA signale que l’observation 28 dépasse U . On en conclut donc que le
CL
processus est hors maîtrise.
5 Choix de la carte de contrôle
5.1 Comparaison de la carte de contrôle de Shewhart et de la carte contrôle EWMA
À la différence de la carte de Shewhart, il n’est pas possible de donner la probabilité de déceler un
déréglage dans le processus basé sur un échantillon car cette probabilité n’est pas constante. Elle
dépend du nombre d’échantillons. On peut calculer cette probabilité pour chaque échantillon, mais ces
probabilités sont trop nombreuses pour être utilisables dans la pratique.
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ISO 7870-6:2016(F)
L’efficacité de la procédure EWMA se juge donc d’après la POM, c’est-à-dire le nombre moyen
d’échantillons successifs nécessaires pour détecter un déréglage.
Si le pr
...
PROJET DE NORME INTERNATIONALE
ISO/DIS 7870-6
ISO/TC 69/SC 4 Secrétariat: ANSI
Début de vote: Vote clos le:
2014-01-27 2014-04-27
Méthodes statistiques en management de processus —
Cartes de contrôle —
Partie 6:
Cartes de contrôle de EWMA
Statistical Methods in Process Management — Control Charts —
Part 6: EWMA Control Charts
ICS: 03.120.30
CE DOCUMENT EST UN PROJET DIFFUSÉ POUR
OBSERVATIONS ET APPROBATION. IL EST DONC
SUSCEPTIBLE DE MODIFICATION ET NE PEUT
ÊTRE CITÉ COMME NORME INTERNATIONALE
AVANT SA PUBLICATION EN TANT QUE TELLE.
OUTRE LE FAIT D’ÊTRE EXAMINÉS POUR
ÉTABLIR S’ILS SONT ACCEPTABLES À DES
FINS INDUSTRIELLES, TECHNOLOGIQUES ET
COMMERCIALES, AINSI QUE DU POINT DE VUE
DES UTILISATEURS, LES PROJETS DE NORMES
INTERNATIONALES DOIVENT PARFOIS ÊTRE
CONSIDÉRÉS DU POINT DE VUE DE LEUR
POSSIBILITÉ DE DEVENIR DES NORMES
POUVANT SERVIR DE RÉFÉRENCE DANS LA
RÉGLEMENTATION NATIONALE.
Numéro de référence
LES DESTINATAIRES DU PRÉSENT PROJET
ISO/DIS 7870-6:2014(F)
SONT INVITÉS À PRÉSENTER, AVEC LEURS
OBSERVATIONS, NOTIFICATION DES DROITS
DE PROPRIÉTÉ DONT ILS AURAIENT
ÉVENTUELLEMENT CONNAISSANCE ET À
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FOURNIR UNE DOCUMENTATION EXPLICATIVE. ISO 2014
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ISO/DIS 7870-6
Sommaire Page
Avant-propos . iv
Introduction . v
1 Domaine d’application . 1
2 Références normatives . 1
3 Symboles (et termes abrégés) . 2
4 Carte EWMA pour les variables . 3
4.1 Généralités . 3
4.2 Explications relatives à la moyenne pondérée . 3
4.3 Limites de contrôle de la carte EWMA . 4
4.4 Carte de contrôle EWMA pour des sous-groupes rationnels d’effectif n > 1 . 5
4.5 Illustration . 5
4.6 Construction d’une carte EWMA . 8
5 Choix de la carte de contrôle . 9
5.1 Shewhart / EWMA . 9
5.2 Période opérationnelle moyenne . 10
5.3 Choix des paramètres de la carte EWMA . 11
6 Procédure de mise en œuvre de la carte de contrôle EWMA . 13
7 Avantages et limitations . 14
7.1 Avantages . 14
7.2 Limitations . 14
8 Robustesse de la carte EWMA en cas de non-normalité . 14
Annexe A (informative) Exemple d’application d’une carte EWMA . 15
Annexe B (normative) Carte combinée Shewhart-EWMA . 19
Annexe C (normative) Carte EWMA pour contrôler une proportion d’unités non conformes . 20
Annexe D (normative) Cartes EWMA pour un nombre de non-conformités . 23
Annexe E (normative) Efficacité de la carte de contrôle . 26
Annexe F (normative) Analyse de la tendance . 30
Bibliographie . 32
© ISO 2013 – Tous droits réservés iii
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ISO/DIS 7870-6
Avant-propos
L’ISO (Organisation internationale de normalisation) est une fédération mondiale d’organismes nationaux de
normalisation (comités membres de l’ISO). L’élaboration des Normes internationales est en général confiée
aux comités techniques de l’ISO. Chaque comité membre intéressé par une étude a le droit de faire partie du
comité technique créé à cet effet. Les organisations internationales, gouvernementales et non
gouvernementales, en liaison avec l’ISO participent également aux travaux. L’ISO collabore étroitement avec
la Commission électrotechnique internationale (CEI) en ce qui concerne la normalisation électrotechnique.
Les Normes internationales sont rédigées conformément aux règles données dans les Directives ISO/CEI,
Partie 2.
La tâche principale des comités techniques est d’élaborer les Normes internationales. Les projets de Normes
internationales adoptés par les comités techniques sont soumis aux comités membres pour vote. Leur
publication comme Normes internationales requiert l’approbation de 75 % au moins des comités membres
votants.
L’attention est appelée sur le fait que certains des éléments du présent document peuvent faire l’objet de
droits de propriété intellectuelle ou de droits analogues. L’ISO ne saurait être tenue pour responsable de ne
pas avoir identifié de tels droits de propriété et averti de leur existence.
L’ISO 7870-6 a été élaborée par le comité technique ISO/TC 69, Application des méthodes statistiques,
sous-comité SC 4, Application de méthodes statistiques au management de processus.
L’ISO 7870 comprend les parties suivantes, présentées sous le titre général Méthodes statistiques en
management de processus — Cartes de contrôle :
Partie 1 : Lignes directrices générales
Partie 2 : Cartes de contrôle de Shewhart
Partie 3 : Cartes de contrôle pour acceptation
Partie 4 : Cartes de contrôle des sommes cumulées (CUSUM)
La partie suivante est en préparation :
Partie 5 : Cartes de contrôle particulières
iv © ISO 2013 – Tous droits réservés
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ISO/DIS 7870-6
Introduction
Les cartes de contrôle de Shewhart sont les méthodes statistiques de contrôle les plus répandues pour
maîtriser un processus, mais elles mettent du temps à signaler des déréglages de faible amplitude dans les
paramètres de processus. La carte de contrôle à moyenne mobile avec pondération exponentielle (EWMA)
permet la détection plus rapide de dérives/déréglages de petite et moyenne amplitude.
La carte de Shewhart est simple à mettre en œuvre et elle détecte rapidement les déréglages de grande
amplitude. Elle est par contre assez peu efficace pour détecter les déréglages de petite ou moyenne
amplitude. Or il arrive assez souvent que le déréglage du processus soit lent et progressif (cas des
procédés continus en particulier) ; il faut détecter très tôt ce déréglage pour réagir avant que le processus
ne s’écarte fortement de sa valeur cible. Il y a deux possibilités pour améliorer l’efficacité de la carte de
Shewhart vis-à-vis des déréglages de petite et moyenne amplitude :
la plus simple, mais non la plus économique, consiste à augmenter l’effectif des échantillons prélevés dans
chaque sous-groupe rationnel. Ce n’est pas toujours possible car le taux de production peut être trop faible
et les essais peuvent prendre du temps ou être trop onéreux. Par conséquent, il n’est pas toujours
possible de constituer des échantillons comprenant plus de 1 ou 2 unités ;
la seconde possibilité est de tenir compte des résultats précédant le contrôle en cours pour tenter de déceler
l’existence d’une dérive du processus de production. La carte de contrôle de Shewhart ne tient compte que
des informations contenues dans l’observation du dernier échantillon et elle ignore toute information
donnée par la séquence complète de points. Cette caractéristique fait que la carte de Shewhart est
relativement insensible à de faibles déréglages du processus. Son efficacité peut être améliorée en
prenant en compte les résultats antérieurs.
Lorsqu’on veut détecter des dérives lentes et progressives, il est préférable d’utiliser des cartes spécifiques qui
tiennent compte des données antérieures et qui ont une bonne efficacité pour un coût de contrôle modéré.
Deux alternatives très efficaces à la carte de contrôle de Shewhart dans de telles situations sont :
a) les cartes de contrôle des sommes cumulées (CUSUM). Ces cartes sont décrites dans l’ISO 7870-4. La
carte CUSUM réagit de manière plus sensible que la carte X-bar en cas de dérive/déréglage de la valeur
moyenne dans la plage de 0,5 sigma à 2 sigma. Si l’on reporte la somme cumulée des écarts des
moyennes d’échantillon successives par rapport à une spécification cible, des déréglages permanents,
même mineurs, de la moyenne du processus finiront par conduire à une somme cumulée d’écarts
quantifiable. Cette carte est donc particulièrement adaptée pour détecter de tels déréglages permanents
de petite amplitude pouvant ne pas être décelés par une carte X-bar.
b) la carte de contrôle à moyenne mobile avec pondération exponentielle (EWMA), qui est traitée dans le
présent document. Cette carte se présente comme la carte de Shewhart ; cependant, au lieu de placer
sur la carte les moyennes successives des échantillons, on suit une moyenne pondérée de la moyenne
présente et des moyennes antérieures.
La performance de la carte de contrôle EWMA est presque équivalente à celle de la carte CUSUM et elle est
d’une certaine manière plus simple à initialiser et à utiliser.
Les cartes EWMA sont généralement utilisées pour détecter des déréglages de petite amplitude de la
moyenne du processus. Elles détectent beaucoup plus rapidement des déréglages allant de 0,5 sigma à
2 sigma. Elles mettent toutefois plus de temps à détecter les déréglages importants de la moyenne du
processus. Les cartes EWMA peuvent aussi être conseillées lorsque les sous-groupes sont d’effectif n = 1.
L’utilisation conjointe d’une carte EWMA avec une petite valeur et d’une carte de Shewhart est recommandée
comme moyen de garantir la détection rapide à la fois des déréglages de petite et grande amplitude. Cette
recommandation a été proposée pour la première fois par Lucas et Saccucci [13].
© ISO 2013 – Tous droits réservés v
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PROJET DE NORME INTERNATIONALE ISO/DIS 7870-6
Méthodes statistiques en management de processus — Cartes
de contrôle — Partie 6: Cartes de contrôle EWMA
1 Domaine d’application
La présente Norme internationale traite des cartes EWMA comme technique de maîtrise statistique des
processus permettant de détecter des dérives/déréglages de petite amplitude dans la moyenne du processus.
Elle permet de détecter plus rapidement des déréglages de petite et moyenne amplitude dans la moyenne du
processus. Dans cette carte, la moyenne du processus est évaluée en termes de moyenne mobile avec
pondération exponentielle de la moyenne présente et de toutes les moyennes antérieures des échantillons.
La carte EWMA pondère les échantillons par ordre décroissant selon une suite géométrique, de sorte que les
échantillons les plus récents sont pondérés plus fortement tandis que les échantillons les plus anciens ont une
très faible contribution.
L’objectif de base est donc le même que pour la carte de contrôle de Shewhart décrite dans l’ISO 7870-2.
Son application est utile dans les rares situations où :
le taux de production est lent ;
le mode opératoire d’échantillonnage et de contrôle est complexe et laborieux ;
les essais sont onéreux ;
il y a des risques pour la sécurité.
La carte EWMA est largement utilisée pour la modélisation de séries temporelles et les prévisions.
Les cartes de contrôle pour les variables peuvent être construites pour des observations individuelles faites à
partir de la ligne de production plutôt que pour des échantillons d’observations. Cela est parfois nécessaire
lorsqu’il serait trop coûteux, peu pratique, voire impossible de soumettre à essai des échantillons
d’observations multiples. Par exemple, le nombre de réclamations client ou de retours de produits peut n’être
disponible que sur une base mensuelle ; or, on voudrait mettre sous carte de contrôle ces chiffres pour
déceler les problèmes de qualité. Ces cartes sont également couramment utilisées dans les cas où des
dispositifs d’essai automatisés inspectent chaque unité individuelle qui est produite. Dans ce cas, on est
souvent principalement intéressé par la détection de déréglages de petite amplitude dans la qualité du produit
(par exemple, une détérioration graduelle de la qualité due à l’usure de la machine).
2 Références normatives
Les documents de référence suivants sont indispensables pour l’application du présent document. Pour les
références datées, seule l’édition citée s’applique. Pour les références non datées, la dernière édition du
document de référence s’applique (y compris les éventuels amendements).
3534-2, Statistique — Vocabulaire et symboles — Partie 2 : Statistique appliquée.
ISO 7870-1, Cartes de contrôle — Partie 1 : Lignes directrices générales.
ISO 7870-2, Cartes de contrôle — Partie 2: Cartes de contrôle de Shewhart.
ISO 7870-4, Cartes de contrôle — Partie 4 : Cartes de contrôle de l'ajustement de processus.
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ISO/DIS 7870-6
3 Symboles (et termes abrégés)
µ Valeur cible pour la moyenne du processus
0
'
Valeur refusable supérieure de la moyenne, valeur refusable inférieure de la moyenne
µ
1,
1
x
i Moyenne de l’échantillon i
N Nombre d’échantillons
n Nombre d’unités dans un échantillon (effectif des échantillons)
Valeur EWMA, valeur de moyenne mobile pondérée exponentiellement placée sur la carte de contrôle
z
i
z Valeur initiale de z
i
0
Valeur du paramètre de lissage
L
Valeur de la limite de contrôle pour z (exprimée en nombre d’écarts-types de z, )
z
i
Écart-type vrai de la distribution de x
s
Estimation de l’écart-type
x
= / n
Écart-type des moyennes de n observations individuelles ;
x
Écart-type de z quand i tend vers l’infini
z
i
Déréglage relatif à la moyenne, exprimé en nombre d’écarts-types
Déréglage maximal acceptable de la moyenne, exprimé en nombre d’écarts-types
1
p Proportion d’unités non conformes dans le processus
p Valeur cible de la proportion d’unités non conformes dans le processus
0
p Valeur refusable supérieure de la proportion d’unités non conformes
1
Écart-type vrai de la loi binomiale pour p = p
0
0
ème
p Proportion d’unités non conformes dans le i échantillon
i
Nombre moyen de non-conformités
c
c
0
Valeur cible du nombre moyen de non-conformités
c
1
Moyenne refusable de non-conformités
c
i
ème
Nombre de non-conformités dans le i échantillon
LCS Limite de contrôle supérieure pour la carte EWMA
LCI Limite de contrôle inférieure pour la carte EWMA. Si la LCI est négative, alors elle est prise égale à zéro
POM Période opérationnelle moyenne
POM Période opérationnelle moyenne du processus maîtrisé
0
POM Période opérationnelle moyenne du processus déréglé
1
POMAX Période opérationnelle maximale (probabilité de dépassement de 5 %), exprimée en nombre entier
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2
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ISO/DIS 7870-6
4 Carte EWMA pour les variables
4.1 Généralités
Une carte de contrôle EWMA reporte les moyennes mobiles géométriques des données du passé et du
présent, et attribue aux valeurs moyennées des pondérations qui diminuent exponentiellement du présent au
passé. Par conséquent, les valeurs moyennes sont davantage influencées par la performance récente du
processus. La moyenne mobile pondérée exponentiellement est définie comme suit :
1
1
λ ( λ)
z x z
i i i
où 0 < < 1 est une constante et la valeur de départ (requise pour le premier échantillon à i = 1) est la cible
du processus, de sorte que :
0
0
z
La moyenne des données préliminaires est parfois utilisée comme valeur de départ de la valeur EWMA, de
sorte que x .
z 0
La carte EWMA devient une carteX pour = 1.
4.2 Explications relatives à la moyenne pondérée
Pour démontrer que la z EWMA est une moyenne pondérée de toutes les moyennes des échantillons
i
antérieurs, on peut remplacer z dans la partie droite de l’équation en 4.1 pour obtenir :
-1
i
(1) (1)
z i xi xi1 z i2
2
=
(1)
1
xi xi1 zi2
z
i j
En continuant à remplacer de manière récursive , j = 2,3,…t, on obtient :
i1
j i
(1) (1)
zi xi j z0
j0
Pour i = 1, z x +(1-)µ
1 = 1 0
j
(1)
Les pondérations diminuent selon une suite géométrique en fonction de l’âge de la moyenne de
l’échantillon.
En outre, la somme des pondérations converge vers 1 étant donné que :
1
1 i
1
1 1
i
j () 1 i
1 1
() ()
0
( )
j
Si = 0,2, alors la pondération attribuée à la moyenne de l’échantillon présent est de 0,2 et les pondérations
attribuées aux moyennes antérieures sont de 0,16 ; 0,128 ; 0,1024 et ainsi de suite. Une comparaison de ces
pondérations avec celles d’une moyenne mobile sur cinq périodes est représentée à la Figure 1. Comme ces
pondérations diminuent selon une suite géométrique quand elles sont liées par une courbe lissée, la valeur
EWMA est parfois appelée moyenne mobile géométrique (GMA). La carte EWMA est couramment employée
dans l’industrie chimique où de grandes fluctuations sont courantes d’un jour sur l’autre, mais peuvent ne pas
être indicatrices d’un manque de prévisibilité du processus.
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0,2
0,15
0,1
0,05
0
123456789
Âge de la moyenne de l’échantillon (EWMA, = 0,2)
Figure 1 — Pondérations des moyennes d’échantillons passés
Étant donné que la valeur EWMA peut être considérée comme une moyenne pondérée de toutes les
observations du présent et du passé, elle est très sensible à l’hypothèse de normalité. C’est donc une carte
de contrôle idéale pour des observations individuelles.
4.3 Limites de contrôle de la carte EWMA
2
Si les observations sont des variables aléatoires indépendantes, avec une variance , alors la variance
x
i
z
i
de est :
2i
2 2
1
(1)
zi
2
La carte de contrôle EWMA pourrait donc être construite en traçant une courbe de en fonction du numéro
zi
de l’échantillon i (ou en fonction du temps). La ligne centrale et les limites de contrôle de la carte de contrôle
EWMA sont les suivantes :
Ligne centrale =
0
2i
LCS L 1
(1)
0
(2)
2i
LCI L 1
1
0
(2)
Le facteur L est la largeur des limites de contrôle et sa valeur dépend du niveau de confiance. Comme dans le
cas des cartesX-R, les limites de 3 sont reportées avec un niveau de confiance de 99,73 % (3σ). De même,
sur la carte EWMA, on peut faire varier ce niveau de confiance en fonction des besoins (par exemple L = 2,7
conduit à un niveau de confiance de 99,65 %).
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On ne fait rien tant que z est situé entre ces limites et on décide que le processus est non maîtrisé dès que z
i i
sort de ces limites. Dans ce cas, on règle le processus et on reprend la carte EWMA après l’avoir réinitialisée,
c’est-à-dire qu’on ne tient pas compte des résultats obtenus avant ce réglage. On prend z comme valeur
0
initiale.
2
1
1 i
()
Le terme tend vers l’unité au fur et à mesure que i augmente. Cela signifie qu’une fois que la carte
de contrôle EWMA a été utilisée sur plusieurs périodes de temps, les limites de contrôle avoisinent des
valeurs en régime établi données par :
LCS L
0
(2)
CL = µ
0
LCI L
0
(2)
Il est toutefois vivement recommandé d’utiliser les limites de contrôle exactes. Cela améliorera nettement la
performance de la carte de contrôle en matière de détection des processus hors cible immédiatement après
l’initialisation de la valeur EWMA.
NOTE Pour des raisons pratiques, l’estimation de σ, notée s, est réalisée à partir des données.
4.4 Carte de contrôle EWMA pour des sous-groupes rationnels d’effectif n > 1
Quand la carte de contrôle EWMA est utilisée avec des sous-groupes rationnels d’effectif n > 1, x est
i
ème
simplement remplacé par ¯x et par σi .
i / n
x
4.5 Illustration
On considère les données du Tableau 1 (observations x). Les 20 premières observations ont été prélevées
i
au hasard dans une distribution normale avec une moyenne µ = 10 et un écart-type σ = 1. Les 10 dernières
observations ont été prélevées dans une distribution normale avec une moyenne µ = 11 et un écart-type
σ = 1, c’est-à-dire après que le processus a dérivé de la moyenne de 1σ.
On souhaite appliquer une carte EWMA avec = 0,10 et L = 2,7 aux données du Tableau 1.
10
0
1
La valeur cible pour la moyenne est et l’écart-type est .
Les calculs de la carte de contrôle EWMA sont résumés dans le Tableau 1 et la carte de contrôle est illustrée
à la Figure 2.
945
Pour illustrer les calculs, on considère les premières observations, 1 . La première valeur EWMA est :
.
x
(1)
z x z
1 1 0
= 0,1(9,45) + 0,9(10)
= 9,945
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5
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Par conséquent, 9.945 est la première valeur reportée sur la carte de contrôle de la Figure 2. La
z
1
deuxième valeur EWMA est :
1
2 2 1
( )
z x z
= 0,1(7,99) + 0,9(9,945)
= 9,7495
Les autres valeurs de la statistique EWMA sont calculées de manière similaire.
Tableau 1 — Calculs de la valeur EWMA
z EWMA
Échantillon
i
x
i
1 9,45 9,945
2 7,99 9,7495
3 9,29 9,70355
4 11,66 9,8992
5 12,16 10,1253
6 10,18 10,1307
7 8,04 9,92167
8 11,46 10,0755
9 9,2 9,98796
10 10,34 10,0232
11 9,03 9,92384
12 11,47 10,0785
13 10,51 10,1216
14 9,4 10,0495
15 10,08 10,0525
16 9,37 9,98426
17 10,62 10,0478
18 10,31 10,074
19 8,52 9,91864
20 10,84 10,0108
21 10,9 10,0997
22 9,33 10,0227
23 12,29 10,2495
24 11,5 10,3745
25 10,6 10,3971
26 11,08 10,4654
27 10,38 10,4568
28 11,62 10,5731
29 11,31 10,6468
30 10,52 10,6341
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Les limites de contrôle de la Figure 2 sont les suivantes :
Pour la période i = 1
2
1
1 i
LCS L 2
0
( )
01
21
101
1 ( )
.
= 10 + 2,7 (1)
2 01
.
( . )
= 10,27
et
2
1
1 i
2
LCI 0 L
()
( )
01 21
101
1
( )
= 10 – 2,7 (1) .
2 01
( . )
( . )
= 9,73
Pour la période i = 2, les limites sont :
2
1
1 i
2
LCS L
0
()
( )
01
22
101
1
= 10 + 2,7 (1) ( )
.
2 01
( . )
( . )
= 10,36
2
1
1 i
2
LCI 0 L
()
( )
01 22
1 01
= 10 – 2,7 (1) 1 ( )
.
2 01
( . )
( . )
= 9,64
On remarque sur la Figure 2 que les limites de contrôle augmentent en largeur au fur et à mesure que i
augmente de i = 1, 2, …, puis qu’elles se stabilisent aux valeurs en régime établi données par les équations
2
LCS 0 L
( )
01
.
2 01
= 10 + 2,7(1)
( . )
= 10,62
et
2
LCI L
0
( )
0.1
= 10 2.7(1)
(2 0.1)
= 9,38
La carte de contrôle EWMA de la Figure 2 signale que l’observation 28 dépasse la LCS. On peut donc en
conclure que le processus est non maîtrisé.
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4.6 Construction d’une carte EWMA
Pour illustrer la construction d’une carte de contrôle EWMA, on considère un processus dont les paramètres
suivants ont été calculés à partir de données historiques :
µ = 50
0
s = 2,0539
avec pris égal à 0,3 ; de sorte que / (2 - ) = 0,3 / 1,7 = 0,1765 et la racine carrée = 0,4201. Les limites de
contrôle en régime établi sont données par :
LCS = 50 + 3 (0,4201) (2,0539) = 52,5884
LCI = 50 - 3 (0,4201) (2,0539) = 47,4115
On considère les données suivantes consistant en 20 points, les points 1 à 10 étant situés sur la rangée
supérieure de gauche à droite et les points 11 à 20 sur la rangée inférieure de gauche à droite :
52,0 47,0 53,0 49,3 50,1 47,0 51,0 50,1 51,2 50,5
49,6 47,6 49,9 51,3 47,8 51,2 52,6 52,4 53,6 52,1
Ces données représentent les mesures de contrôle du processus qui est surveillé selon la procédure de la
carte de contrôle EWMA.
Les statistiques EWMA correspondantes qui sont calculées à partir de ces ensembles de données sont :
50,00 50,60 49,52 50,56 50,18 50,16 49,12 49,75 49,85 50,26
50,33 50,11 49,36 49,52 50,05 49,34 49,92 50,73 51,23 51,94
La carte de contrôle est représentée ci-dessous :
UCL
LCL
Légende
Data Données
EWMA values Valeurs EWMA
Lower EWMA Limit Limite inférieure de la valeur EWMA
Upper EWMA Limit Limite supérieure de la valeur EWMA
Observation number Nombre d’observations
EWMA plot Courbe de la valeur EWMA
Figure 3 — Courbe de la valeur EWMA
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Les points x sont les données brutes ; la ligne en zigzag est la statistique EWMA dans le temps. La carte nous
indique que le processus est maîtrisé car tous les points EWMA sont situés entre les limites de contrôle.
Cependant, il semble qu’il y ait une tendance à la hausse sur les 5 dernières périodes (voir l’Annexe F).
EWMA Chart of C1
10.8
UCL=10.688
10.6
10.4
10.2
_
_
10.0 X=10
9.8
9.6
9.4
LCL=9.312
9.2
1 4 7 10 13 16 19 22 25 28
Sample
Légende
EWMA Chart of C1 Carte EWMA de C1
EWMA EWMA
Sample Échantillon
Figure 2 — Carte EWMA
5 Choix de la carte de contrôle
5.1 Shewhart / EWMA
À la différence de la carte de Shewhart, il n’est pas possible de donner la probabilité de déceler un
déréglage pour un échantillon car elle n’est pas constante : elle dépend du nombre d’échantillons, N ;
avec la procédure EWMA, il est plus probable de déceler un déréglage au bout de 10 contrôles que lors du
premier d’entre eux. On peut calculer cette probabilité pour chaque numéro d’échantillon, mais ces
probabilités sont trop nombreuses pour être utilisables dans la pratique.
L’efficacité de la procédure EWMA se juge donc d’après la période opérationnelle moyenne (POM),
c’est-à-dire le nombre moyen d’échantillons successifs nécessaires pour détecter un déréglage.
Si le processus est maîtrisé, on souhaite que les fausses alarmes soient peu nombreuses, c’est-à-dire que
le nombre moyen d’échantillons avant une fausse alarme soit élevé (en général POM entre 100 et 1 000).
0
Par contre, s’il y a un déréglage, on souhaite qu’il soit décelé le plus vite possible, c’est-à-dire que le
nombre d’échantillons se situant entre le moment du déréglage et celui du premier point hors des limites de
contrôle soit le plus faible possible (POM faible).
1
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9
EWMA
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Pour des déréglages de faible ou moyenne importance, la procédure EWMA a une très bonne efficacité
comparée à la carte de Shewhart, ceci étant d’autant plus marqué que est
...
Questions, Comments and Discussion
Ask us and Technical Secretary will try to provide an answer. You can facilitate discussion about the standard in here.