ISO 24157:2008
(Main)Ophthalmic optics and instruments — Reporting aberrations of the human eye
Ophthalmic optics and instruments — Reporting aberrations of the human eye
ISO 24157:2008 specifies standardized methods for reporting aberrations of the human eye.
Optique et instruments ophtalmiques — Méthodes de présentation des aberrations de l'oeil humain
L'ISO 24157:2008 spécifie les méthodes normalisées permettant de consigner les aberrations de l'œil humain.
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INTERNATIONAL ISO
STANDARD 24157
First edition
2008-07-01
Ophthalmic optics and instruments —
Reporting aberrations of the human eye
Optique et instruments ophtalmiques — Méthodes de présentation des
aberrations de l'œil humain
Reference number
ISO 24157:2008(E)
©
ISO 2008
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ISO 24157:2008(E)
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ISO 24157:2008(E)
Contents Page
Foreword. iv
1 Scope . 1
2 Normative references . 1
3 Terms and definitions. 1
4 Coordinate system. 5
5 Representation of wavefront data. 6
5.1 Representation of wavefront data with the use of Zernike polynomial function coefficients. 6
5.2 Representation of wavefront data in the form of wavefront gradient fields or wavefront
error function values . 9
5.3 Gradient fit error . 10
6 Presentation of data representing the aberrations of the human eye . 10
6.1 General. 10
6.2 Aberration data presented in the form of normalized Zernike coefficients. 11
6.3 Aberration data presented in the form of normalized Zernike coefficients given in
magnitude/axis form. 11
6.4 Aberration data presented in the form of topographical maps . 12
6.5 Presentation of pooled aberration data. 14
Annex A (informative) Methods of generating Zernike coefficients . 15
Annex B (informative) Conversion of Zernike coefficients to account for differing aperture sizes,
decentration and coordinate system rotation . 17
Annex C (informative) Conversion between Zernike coefficients represented in different systems
of notation . 25
Annex D (informative) Computer algorithm to generate partial derivative weighting matrices for
un-normalized Zernike polynomial functions . 27
Annex E (informative) Table of normalized Zernike polynomial functions (to 6th radial order). 29
Bibliography . 31
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ISO 24157:2008(E)
Foreword
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(ISO member bodies). The work of preparing International Standards is normally carried out through ISO
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ISO 24157 was prepared by Technical Committee ISO/TC 172, Optics and photonics, Subcommittee SC 7,
Ophthalmic optics and instruments.
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INTERNATIONAL STANDARD ISO 24157:2008(E)
Ophthalmic optics and instruments — Reporting aberrations of
the human eye
1 Scope
This International Standard specifies standardized methods for reporting aberrations of the human eye.
2 Normative references
The following referenced documents are indispensable for the application of this document. For dated
references, only the edition cited applies. For undated references, the latest edition of the referenced
document (including any amendments) applies.
ISO 8429, Optics and optical instruments — Ophthalmology — Graduated dial scale
3 Terms and definitions
For the purposes of this document, the following terms and definitions apply. Symbols used are summarized
in Table 1.
3.1
line of sight
line from the point of interest in object space to the centre of the entrance pupil of the eye and continuing from
the centre of the exit pupil to the retinal point of fixation (generally the foveola)
3.2
Zernike polynomial function
one of a complete set of functions defined and orthogonal over the unit circle, the product of three terms, a
normalization term, a radial term and a meridional term, parameterized by a dimensionless radial parameter, ρ,
and a dimensionless meridional parameter, θ, designated by a non-negative radial integer index, n, and a
signed meridional index, m, and given by the equation
m
mm
Z =NR ρ M mθ (1)
() ( )
nnn
where
m
N is the normalization term;
n
m
R is the radial term;
n
M(mθ) is the meridional term;
the parameter ρ is a real number continuous over its range of 0 to 1,0;
the parameter θ is a real number continuous over its range of 0 to 2π.
NOTE For a given value of radial index n, the meridional index m may only take the values −n, −n+2, …, n−2 and n.
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3.2.1
radial term
Zernike polynomial function term with indices n and m given by the equation
0,5nm−
( ) s
()−−1!(ns)
m
ns−2
Rρρ= (2)
()
n ∑
⎡⎤⎡ ⎤
sn!0,5 +−m s ! 0,5n−m−s !
() ()
s=0
⎣⎦⎣ ⎦
where s is an integer summation index incremented by one unit
3.2.2
radial parameter
ρ
dimensionless number taking values between 0 and 1, its value at any radial distance, r, from the aperture
centre being given by the expression
r
ρ = (3)
a
where a is the value of the aperture radius
3.2.3
meridional term
Zernike polynomial function term with index m given by the equations
Mmmθ = cos θ if m W 0 (4)
( ) ( )
Mm()θ = sin m θ if m < 0 (5)
()
NOTE The meridional term is also known as the azimuthal term.
3.2.4
meridional parameter
θ
angular value taking values between 0 and 2π (0° and 360°), expressed in the coordinate system defined in
Clause 4
NOTE This is also called the azimuthal angle.
3.2.5
normalization term
Zernike polynomial function term with indices n and m, equal to 1,0 for “un-normalized” functions (3.2.7) and
for “normalized” functions (3.2.6) by the equation
m
Nn=−21δ + (6)
()
()
nm0,
where δ = 1 if m = 0, δ = 0 if m ≠ 0.
0,m 0,m
3.2.6
normalized Zernike polynomial function
Zernike polynomial function whose normalization term takes the form given in 3.2.5 for “normalized” functions
defined as orthogonal in the sense that it satisfies the following equation
12π
mm′
ρρdZZdθ =πδ δ (7)
′′′
nn n,,n mm
∫∫
00
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where
δ = 1 if n = n′, δ = 0 if n ≠ n′;
n,n′ n,n′
δ = 1 if m = m′, δ = 0 if m ≠ m′.
m,m′ m,m′
3.2.7
un-normalized Zernike polynomial function
Zernike polynomial function whose normalization term is equal to 1,0 and defined as orthogonal in the sense
that it satisfies the equation
12π
mm′
21−+δρndρZZdθ=πδδ (8)
()()
′′′
0,mnnn,nm,m
∫∫
00
where
δ = 1 if n = n′, δ = 0 if n ≠ n′;
n,n′ n,n′
δ = 1 if m = m′, δ = 0 if m ≠ m′;
m,m′ m,m′
δ = 1 if m = 0, δ = 0 if m ≠ 0.
0,m 0,m
3.2.8
order
value of the radial index n of a Zernike polynomial function
3.3
Zernike coefficient
m
member of a set of real numbers, c , which is multiplied by its associated Zernike function to yield a term that
n
is subsequently used in a sum of terms to give a value equal to the best estimate of the surface, S(ρ,θ), that
has been fitted with Zernike terms, such a sum being represented by
mm
Scρθ, = Z (9)
()
∑ nn
all nmand
NOTE 1 Each set of Zernike coefficients has associated with it the aperture diameter that was used to generate the set
from surface elevation data. The set is incomplete without this aperture information.
NOTE 2 Annex A gives information on a method to find Zernike coefficients from wavefront slope (gradient) data.
3.3.1
normalized Zernike coefficient
Zernike coefficient generated using normalized Zernike functions and so designed to be used with them to
reconstruct a surface
NOTE Normalized Zernike coefficients have dimensional units of length.
3.3.2
un-normalized Zernike coefficient
Zernike coefficient generated using un-normalized Zernike functions and so designed to be used with them to
reconstruct a surface
NOTE Un-normalized Zernike coefficients have dimensional units of length.
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3.4
wavefront error (of an eye)
W(x,y) or W(r,θ)
optical path-length (i.e. physical distance times refractive index) between a plane wavefront in the eye’s
entrance pupil and the wavefront of light exiting the eye from a point source on the retina, and specified as a
function (wavefront error function) of the (x,y) (or r,θ) coordinates of the entrance pupil
NOTE 1 Wavefront error is measured in an axial direction (i.e. parallel to the z-axis defined in Clause 4) from the pupil
plane towards the wavefront.
NOTE 2 By convention, the wavefront error is set to zero at the pupil centre by subtracting the central value from
values at all other pupil locations.
NOTE 3 Wavefront error has physical units of metres (typically reported in micrometres) and pertains to a specified
wavelength.
3.5
optical path-length difference
OPD
negative of the wavefront error (3.4) at each point in a wavefront representing the correction of the optical
path-length needed to correct the wavefront error
3.6
root mean square wavefront error
RMS wavefront error
〈of an eye〉 quantity computed as the square root of the variance of the wavefront error (3.4) function and
defined as
2
⎡⎤Wx(,y) dxdy
⎣⎦
∫∫
pupil
(10)
RMS =
WFE
A
where A is the area of the pupil
or, if the wavefront error function is expressed in terms of normalized Zernike coefficients, a quantity equal to
the square root of the sum of the squares of the coefficients with radial indices 2 or greater
2
m
RMS = c (11)
WFE ∑ ()n
nm>1,all
NOTE 1 Piston and average tilt should be excluded from this calculation because they correspond to lateral
displacements of the image rather than image degradation per se.
NOTE 2 The RMS error can also be found using the discrete set of wavefront error values that were used to generate
the Zernike coefficients and standard statistical methods. When this is done it might be found that this RMS value does not
exactly match the value found using the formula given above. This is more likely to happen in cases where the locations in
the pupil used to sample the wavefront error form a non-uniformly spaced grid. Then the data set does not lead to the
formation of discrete, orthogonal Zernike functions.
3.7
higher-order aberrations
those aberrations experienced by the eye in addition to sphero-cylindrical refractive errors and prismatic error
and thus, if the wavefront error is expressed in terms of Zernike polynomial function coefficients, those of
order 3 and higher
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3.8
wavefront gradient
∂W(x,y)
vector giving the values of the gradient of the wavefront, ∂W(x,y)/∂x and ∂W(x,y)/∂y, at locations x and y and,
when expressed in terms of Zernike polynomial coefficients, given by:
m m
∂Wx,y ∂Wx,y
( ) ∂Z (,xy) ( ) ∂Z (,xy)
m m
n n
= c and = c (12)
∑ n ∑ n
∂∂xx ∂∂yy
all nmand all nmand
NOTE Measured gradient values are referred to by β (x,y) and β (x,y) at locations x,y.
x y
Table 1 — Symbols
Symbol Name Definition given in
Amθ,α meridional term for magnitude/axis Zernike functions 5.1.9
()
m
c Zernike coefficient 3.3
n
c Zernike coefficient – magnitude 5.1.9
nm
m meridional index for Zernike functions 3.2
m
M mθ meridional term for Zernike functions 3.2.3
()
n
n radial index for Zernike functions 3.2
m
N normalization term for Zernike functions 3.2.5
n
m
R ρ radial term for Zernike functions 3.2.1
()
n
m
Z Zernike function [alternate notation: Z(n,m)] 3.2
n
Z Zernike function – magnitude/axis form 5.1.9
nm
α axis parameter for magnitude/axis form Zernike functions 5.1.9
ρ radial parameter for Zernike functions 3.2.2
θ meridional parameter for Zernike functions 3.2.4
W(x,y) wavefront error 3.4
βx,y measured gradient at a location x,y 3.8
∂Wx,y wavefront gradient at a location x,y 3.8
β gradient fit error 5.3
fit
4 Coordinate system
The coordinate system used to represent wavefront surfaces shall be the standard ophthalmic coordinate
system in accordance with ISO 8429 in which the x-axis is local horizontal with its positive sense to the right
as the examiner looks at the eye under measurement, the y-axis is local vertical with its positive sense
superior with respect to the eye under measurement, the z-axis is the line of sight of the eye under
measurement with its positive sense in the direction from the eye toward the examiner. The horizontal and
vertical origin of the coordinate system is the centre of the visible pupil of the eye. The coordinate system
origin lies in the plane of the exit pupil of the eye (for light originating on the retina and passing out through the
pupil). This coordinate system is illustrated in Figure 1.
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The sign convention used for wavefront error values reported at any location on a wavefront shall be that used
for this coordinate system.
When Zernike coefficients are used to represent a wavefront or to report wavefront error, the sign convention
used to describe the individual Zernike functions shall be that used for this coordinate system.
a) Coordinate system b) Clinician's view of patient
Key
OD right eye
OS left eye
Figure 1 — Ophthalmic coordinate system (ISO 8429)
5 Representation of wavefront data
5.1 Representation of wavefront data with the use of Zernike polynomial function
coefficients
5.1.1 Symbols for Zernike polynomial functions
Zernike polynomial functions shall be designated by the upper case letter Z followed by a superscript and a
subscript. The superscript shall be a signed integer representing the meridional index of the function, m. The
subscript shall be a non-negative integer representing the radial index of the function, n. Therefore a Zernike
m
polynomial function shall be designated by the form Z .
n
If, for reasons of font availability, it is not possible to write superscript and subscripts, the Zernike polynomial
functions may be represented as a upper case letter Z followed by parentheses in which the radial index, n,
appears first, followed, after a comma, by the meridional index, m, thus Z(n,m).
5.1.2 Radial index
The radial index shall be designated by the lower case letter n.
5.1.3 Meridional index
The meridional index shall be designated by the lower case letter m.
5.1.4 Radial parameter
The radial parameter shall be designated by the Greek letter ρ.
5.1.5 Meridional parameter
The meridional parameter shall be designated by the Greek letter θ.
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ISO 24157:2008(E)
5.1.6 Coefficients
When a surface is represented by Zernike coefficients, these coefficients shall be designated by the lower
case letter c followed by a superscript and a subscript. The superscript shall be a signed integer representing
the meridional index of the function, m. The subscript shall be a non-negative integer representing the radial
m
index of the function, n. Therefore, a Zernike coefficient shall be designated by the form c .
n
5.1.7 Common names of Zernike polynomial functions
Zernike polynomial functions are often referred to by their common names. These names are given in Table 2
in so far as the functions have been given a common name.
Table 2 — Common names of Zernike polynomial functions
Zernike function Common name
0
Z piston
0
−1
Z vertical tilt
1
1
Z horizontal tilt
1
−2
Z oblique astigmatism
2
myopic defocus (positive coefficient value)
0
Z
2
hyperopic defocus (negative coefficient value)
against the rule astigmatism (positive coefficient value)
2
Z
2
with the rule astigmatism (negative coefficient value)
−3
Z oblique trefoil
3
vertical coma – superior steepening (positive coefficient value)
−1
Z
3
vertical coma – inferior steepening (negative coefficient value)
1
Z horizontal coma
3
3
Z horizontal trefoil
3
−4
Z oblique quatrefoil
4
−2
Z oblique secondary astigmatism
4
spherical aberration
0
Z positive coefficient value – pupil periphery more myopic than centre
4
negative coefficient value – pupil periphery more hyperopic than centre
2
Z with/against the rule secondary astigmatism
4
4
Z quatrefoil
4
−1
Z secondary vertical coma
5
1
Z secondary horizontal coma
5
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ISO 24157:2008(E)
5.1.8 Comparison of data expressed as Zernike coefficients generated using different aperture sizes
The Zernike coefficient values describing a given wavefront error depend on the aperture size used when they
are generated from measurement data. Due to this dependence on pupil diameter, different coefficient values
will be found to describe the wavefront error of a given eye if the pupil size changes from one measurement to
the next. Therefore, to adequately compare the wavefront error of the same eye at different times or to
compare the wavefront errors of two eyes using Zernike coefficients, the compared coefficients shall have
been generated using the same pupil diameter even though measurements were taken with different pupil
diameters. Zernike coefficients taken at one pupil diameter may be converted into values for a second, smaller
pupil diameter using either the method given in Annex B or a similar method.
Wavefront error comparisons using Zernike coefficients found in accordance with this International Standard
shall be made between sets of Zernike coefficients that have be converted to a common pupil diameter.
5.1.9 Representation of wavefront error data expressed as Zernike coefficients presented in
magnitude/axis form
Zernike terms of the same radial order, n, and having meridional indices, m, with the same magnitude but with
opposite signs may be considered to represent the two components of a vector in an angular space with a
multiplicity equal to the magnitude of m. It is therefore possible to define Zernike functions that combine the
functions defined in 3.2 having the same radial order, n, and meridional indices with the same magnitude into
a new set of functions defined by
m
m
ZNρ,,θα =R ρAmθ,α (13)
() () ( )
nm n n
where
m
R ()ρ is defined by 3.2.1;
n
m
N is defined by 3.2.5;
n
⎡⎤
Am()θ,cαθ=−os m(α)
⎣⎦
and where α is an angular parameter giving the orientation of the vector in space.
A surface, S(ρ,θ), such as a wavefront error, is expressed using these Zernike functions as
Scρθ,,= Z ρθ,α
( ) ()
∑ nm nm nm
all nmand
where the coefficients c and the angular parameters α are related to the coefficients defined in 3.3 by the
nm nm
equations
22
−mm
cc=+c (14)
() ( )
nm n n
−m
⎛⎞
c
n
⎜⎟
a tan
m
⎜⎟
c
⎝⎠n
α = (15)
nm
m
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ISO 24157:2008(E)
5.1.10 Common names of Zernike polynomial functions – magnitude/axis form
Zernike polynomial functions are often referred to by their common names. For the magnitude/axis Zernike
functions defined in 5.1.9, these names are given in Table 3 in so far as the functions have been given a
common name.
Table 3 — Common names of Zernike polynomial functions – magnitude/axis form
Zernike function Common name
Z piston
00
Z tilt
11
myopic defocus (positive coefficient value)
Z
20
hyperopic defocus (negative coefficient value)
astigmatism
Z against the rule, axis = 180°
22
with the rule, axis = 90°
Z coma
31
Z trefoil
33
spherical aberration
positive coefficient value – pupil periphery more myopic than
Z centre
40
negative coefficient value – pupil periphery more hyperopic
than centre
Z secondary astigmatism
42
Z quatrefoil
44
Z secondary coma
51
5.2 Representation of wavefront data in the form of wavefront gradient fields or wavefront
error function values
5.2.1 Gradient values
The measurements made of the aberrations of the eye by aberrometers are in general measurements of the
gradient of the wavefront error function. Measurements of this type may also be thought of as measurements
of the deflection of rays from an un-aberrated direction by the optical system of the eye. In the case of rays
originating at the retina and measured as they pass the exit pupil, the deflection is measured from the ray to a
ray at the same pupil location but parallel to the line of sight. In the case of rays entering the eye through its
entrance pupil, the deflection is measured from the ray to a ray that enters the eye parallel to the line of sight
and is refracted so that it intersects the retina at the point the line of sight intersects the retina. The gradient
information consists of the two-dimensional location of the measured ray in the plane of the exit pupil of the
eye and the two components of its deflection.
So that this information may be conveyed in a standardized fashion, the data for each measured ray or
location in the wavefront will consist of four numbers. The first two are the horizontal (x) and vertical (y)
coordinates of the location given as Cartesian coordinates in the coordinate system specified in Clause 4 and
expressed in millimetres. The second two numbers are the horizontal and vertical component values of the
gradient or, to state this another way, the second two numbers are the horizontal and vertical deflections of
the ray given as tangent values.
A fifth, optional, number may be included giving the quality or certainty associated with the information given
at each data location.
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5.2.2 Wavefront error values
If the aberrations of the eye consist of the values of the wavefront error function itself, then the information
needed to express this at a given location in the wavefront consists of the location and the value of the
wavefront error functions at that location.
So that this information may be conveyed in a standardized fashion, the data for each measured ray or
location in the wavefront will consist of three numbers. The first two are the horizontal (x) and vertical (y)
coordinates of the location given as Cartesian coordinates in the coordinate system specified in Clause 4 and
expressed in millimetres. The third number is the value of the wavefront error (3.4) expressed in micrometres.
A fourth, optional, number may be included giving the quality or certainty associated with the information given
at each data location.
5.3 Gradient fit error
When the occasion arises that a wavefront error function has been reconstructed from measured wavefront
gradient data and the values for the reconstructed wavefront are conveyed either in the form of gradient fields
in accordance with 5.1 or the wavefront error function itself in accordance with 5.2, this information shall be
accompanied by two additional values for each data location that give information on the quality of the fit of
the data to the reconstruction. The first such value is the difference between the measured x gradient value
and the reconstructed x gradient value. The second value is the difference between the measured y gradient
value and reconstructed y gradient value. These two values are defined as the gradient fit error and constitute
the two components of an error gradient field. These two values are not to be taken as the same as the
optional quality values allowed for in 5.1 and 5.2 as those values refer to the quality of the measured data
themselves whereas the gradient fit values refer to the quality of the fit of the data to the reconstructed
wavefront.
The gradient fit parameter β is a metric measure that can be used to identify the overall quality of the fit. It is
fit
generally the merit function that is minimized in least-squares fitting. It is defined by:
2
2
⎡⎤
⎡⎤∂∂Wx(,y) W(x,y)
ββ(,xy)−−(x,y)
∑∑⎢⎥xy⎢⎥
∂∂xy
⎣⎦
⎣⎦
xy,,x y
β=+ (16)
fit
NN
The various parameters are defined in 3.8.
6 Presentation of data representing the aberrations of the human eye
6.1 General
The preferred method of communicating aberration data for the human eye to others so that they may analyse
them as they see them is in the form of a set of gradient components for each measured location as specified
in 5.2.1. These values fully characterize the measured wavefront error of the eye and may be used to
reconstruct that wavefront error surface using any method desired.
However, wavefront data in the form of gradient components do not convey the wavefront information in a
fashion that is easily understood nor in a form that lends itself for convenient use in papers, displays and other
common forms of communication. Thus the preferred methods for presenting aberration data of the human
eye are:
a) as a list of normalized Zernike coefficients;
b) as a bar chart showing the values of the normalized Zernike coefficients;
c) in the form of a topographical map of the wavefront surface.
10 © ISO 2008 – All rights reserved
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6.2 Aberration data presented in the form of normalized Zernike coefficients
6.2.1 Aperture information
When data representing the aberrations of the human eye are presented in the form of normalized Zernike
coefficients, the aperture diameter used in generating the coefficient shall form a part of the data set and shall
be the first member of the set.
6.2.2 Units
Coefficients shall be given in units of micrometres. Aperture size shall be given in millimetres.
6.2.3 Ordering of terms
When data representing the aberrations of the human ey
...
NORME ISO
INTERNATIONALE 24157
Première édition
2008-07-01
Optique et instruments ophtalmiques —
Méthodes de présentation des
aberrations de l'œil humain
Ophthalmic optics and instruments — Reporting aberrations of the
human eye
Numéro de référence
ISO 24157:2008(F)
©
ISO 2008
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ISO 24157:2008(F)
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ISO 24157:2008(F)
Sommaire Page
Avant-propos. iv
1 Domaine d'application. 1
2 Références normatives . 1
3 Termes et définitions. 1
4 Système de coordonnées . 5
5 Représentation des données relatives au front d'onde. 6
5.1 Représentation des données relatives au front d'onde au moyen des coefficients
de la fonction du polynôme de Zernike. 6
5.2 Représentation des données de front d'onde sous forme de gradients ou de valeurs
de fonction d'erreur de front d'onde. 9
5.3 Erreur d'ajustement du gradient . 10
6 Présentation des données représentant les aberrations de l'œil humain. 10
6.1 Généralités . 10
6.2 Données d'aberration présentées sous forme de coefficients de Zernike normalisés. 11
6.3 Données d'aberration présentées sous forme de coefficients de Zernike normalisés
par amplitude/axe . 12
6.4 Données d'aberration présentées sous forme de cartes topographiques . 12
6.5 Présentation des données d'aberration collectives. 14
Annexe A (informative) Méthodes de génération des coefficients de Zernike . 16
Annexe B (informative) Conversion des coefficients de Zernike prenant en compte les différences
de tailles d'ouverture, le décentrement et la rotation du système de coordonnées . 18
Annexe C (informative) Conversion entre les coefficients de Zernike représentés dans différents
systèmes de notation . 26
Annexe D (informative) Algorithme informatique permettant de générer des matrices
de pondération de dérivée partielle pour des fonctions polynomiales de Zernike
non normalisées . 28
e
Annexe E (informative) Tableau de fonctions polynomiales de Zernike normalisées (au 6 ordre
radial) . 30
Bibliographie . 32
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ISO 24157:2008(F)
Avant-propos
L'ISO (Organisation internationale de normalisation) est une fédération mondiale d'organismes nationaux de
normalisation (comités membres de l'ISO). L'élaboration des Normes internationales est en général confiée
aux comités techniques de l'ISO. Chaque comité membre intéressé par une étude a le droit de faire partie du
comité technique créé à cet effet. Les organisations internationales, gouvernementales et non
gouvernementales, en liaison avec l'ISO participent également aux travaux. L'ISO collabore étroitement avec
la Commission électrotechnique internationale (CEI) en ce qui concerne la normalisation électrotechnique.
Les Normes internationales sont rédigées conformément aux règles données dans les Directives ISO/CEI,
Partie 2.
La tâche principale des comités techniques est d'élaborer les Normes internationales. Les projets de Normes
internationales adoptés par les comités techniques sont soumis aux comités membres pour vote. Leur
publication comme Normes internationales requiert l'approbation de 75 % au moins des comités membres
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L'attention est appelée sur le fait que certains des éléments du présent document peuvent faire l'objet de
droits de propriété intellectuelle ou de droits analogues. L'ISO ne saurait être tenue pour responsable de ne
pas avoir identifié de tels droits de propriété et averti de leur existence.
L'ISO 24157 a été élaborée par le comité technique ISO/TC 172, Optique et photonique, sous-comité SC 7,
Optique et instruments ophtalmiques.
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NORME INTERNATIONALE ISO 24157:2008(F)
Optique et instruments ophtalmiques — Méthodes
de présentation des aberrations de l'œil humain
1 Domaine d'application
La présente Norme internationale spécifie les méthodes normalisées permettant de consigner les aberrations
de l'œil humain.
2 Références normatives
Les documents de référence suivants sont indispensables pour l'application du présent document. Pour les
références datées, seule l'édition citée s'applique. Pour les références non datées, la dernière édition du
document de référence s'applique (y compris les éventuels amendements).
ISO 8429, Optique et instruments d'optique — Ophtalmologie — Échelle graduée
3 Termes et définitions
Pour les besoins du présent document, les termes et définitions suivants s'appliquent. Les symboles utilisés
sont récapitulés dans le Tableau 1.
3.1
ligne de visée
ligne partant du point étudié dans l'espace objet au centre de la pupille d'entrée de l'œil et continuant du
centre de la pupille de la pupille de sortie au point de fixation rétinien (appelé foveola)
3.2
polynômes de Zernike
ensemble de fonctions définies et orthogonales sur un cercle de rayon unité, définies par le produit de trois
termes, un terme de normalisation, un terme radial et un terme méridien, paramétrées par un paramètre radial
sans dimension, ρ, ainsi que par un paramètre méridien sans dimension, θ, et par un indice entier positif ou
nul, n, et un indice méridien entier signé, m, obtenues par l'équation suivante:
m
mm
Z =NR ρ M mθ (1)
() ( )
nnn
où
m
N est le terme de normalisation;
n
m
R est le terme radial;
n
M(mθ) est le terme méridien;
le paramètre ρ est un nombre réel continu sur la plage de 0 à 1,0;
le paramètre θ est un nombre réel continu sur la plage de 0 à 2π;
NOTE Pour une valeur donnée d'indice radial, n, l'indice méridien, m, peut prendre uniquement les valeurs −n,
−n+2, …, n−2 et n.
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3.2.1
terme radial
terme de la fonction polynomiale de Zernike avec les indices n et m obtenus par l'équation suivante:
0,5nm−
( ) s
()−−1!(ns)
m
ns−2
Rρρ= (2)
()
n ∑
sn!0,5+−m s ! 0,5n−m−s !
()()()()
s=0
où s est un indice de sommation en nombre entier incrémenté par une unité.
3.2.2
paramètre radial
ρ
nombre sans dimension dont la valeur est comprise entre 0 et 1; sa valeur à une distance radiale, r, du centre
de l'ouverture est obtenue par l'expression
r
ρ= (3)
a
où a est la valeur du rayon de l'ouverture
3.2.3
terme méridien
terme de la fonction de polynôme de Zernike avec l'indice m obtenu par l'équation
Mmmθ = cos θ si m W 0 (4)
( ) ( )
Mmθ = sin mθ si m < 0 (5)
()
()
NOTE Le terme méridien est également désigné par le terme «azimutal».
3.2.4
paramètre méridien
θ
valeur angulaire dont les valeurs sont comprises entre 0 et 2π (0° et 360°), elles sont exprimées par le
système de coordonnées défini dans l'Article 4
NOTE Il peut également être désigné angle azimutal.
3.2.5
terme de normalisation
fonction polynomiale de Zernike dont les indices n et m sont égaux à 1,0 pour les fonctions «non normalisées»
(3.2.7) et pour les «fonctions normalisées» (3.2.6); elle est obtenue par l'équation suivante:
m
Nn=−21δ + (6)
()
()
nm0,
où δ = 1 si m = 0, δ = 0 si m ≠ 0
0,m 0,m
3.2.6
fonction polynomiale de Zernike normalisée
fonction polynomiale de Zernike dont le terme de normalisation prend la forme indiquée en 3.2.5 pour les
fonctions «normalisées» définies comme orthogonales dans le sens qu'elle satisfait l'équation suivante:
12π
′
mm
ρρdZZdθ=πδ δ (7)
nn′′n,,n mm′
∫∫
00
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où
δ = 1 si n = n′, δ = 0 si n ≠ n′,
n,n′ n,n′
δ = 1 si m = m′, δ = 0 si m ≠ m′.
m,m′ m,m′
3.2.7
fonction polynomiale de Zernike non normalisée
fonction polynomiale de Zernike dont le terme de normalisation est égal à 1,0 et défini comme orthogonal
dans le sens qu'il satisfait l'équation
12π
mm′
21−+δρndρZZdθ=πδδ (8)
()()
′′′
0,mnn n,nm,m
∫∫
00
où
δ = 1 si n = n′, δ = 0 si n ≠ n′;
n,n′ n,n′
δ = 1 si m = m′, δ = 0 si m ≠ m′;
m,m′ m,m′
δ = 1 si m = 0, δ = 0 si m ≠ 0.
0,m 0,m
3.2.8
ordre
valeur de l'indice radial, n, d'une fonction polynomiale de Zernike
3.3
coefficient de Zernike
m
membre d'un ensemble de nombres réels, c , multiplié par la fonction de Zernike qui lui est associée pour
n
fournir un terme qui est, par la suite, utilisé dans une somme de termes permettant d'obtenir une valeur égale
à la meilleure estimation de la surface S(ρ,θ), qui utilise les termes de Zernike, cette somme est représentée
par
mm
Scρθ, = Z (9)
( )
∑ nn
tout etnm
NOTE 1 Chaque ensemble de coefficients de Zernike est associé au diamètre de l'ouverture qui a été utilisé pour
générer l'ensemble à partir des données relative à l'élévation de la surface. L'ensemble est incomplet s'il manque
l'information relative à l'ouverture.
NOTE 2 L'Annexe A regroupe des informations concernant une méthode permettant de trouver les coefficients de
Zernike à partir des données de la pente d'un front d'onde (gradient).
3.3.1
coefficient de Zernike normalisé
coefficient de Zernike généré à l'aide des fonctions de Zernike normalisées et conçu pour être utilisé avec eux
pour reconstruire une surface
NOTE Les coefficients de Zernike normalisés ont des unités dimensionnelles de longueur.
3.3.2
coefficient de Zernike non normalisé
coefficient de Zernike généré à l'aide des fonctions de Zernike non normalisées et conçu pour être utilisé avec
eux pour reconstruire une surface
NOTE Les coefficients de Zernike non normalisés ont des unités dimensionnelles de longueur.
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3.4
erreur de front d'onde
W(x,y) ou W(r,θ)
〈œil〉 longueur du chemin optique (c'est-à-dire l'indice de réfraction multiplié par la distance de propagation)
entre un front d'onde plan dans la pupille, à l'entrée de l'œil, et le front d'onde de la lumière, à la sortie de l'œil,
provenant d'une source ponctuelle sur la rétine et qui est spécifiée comme une fonction (fonction d'erreur de
front d'onde) des coordonnées (x,y) ou (r,θ) de la pupille d'entrée
NOTE 1 L'erreur de front d'onde est mesurée dans la direction axiale (c'est-à-dire parallèlement à l'axe Z défini dans
l'Article 4) depuis le plan contenant la pupille vers le front d'onde.
NOTE 2 Par convention, l'erreur de front d'onde est réglée à zéro au centre de la pupille en retranchant la valeur
centrale à partir des valeurs à tous les autres emplacements de la pupille.
NOTE 3 L'erreur de front d'onde s'exprime en unités physiques métriques (généralement consignées en micromètres)
et se rapporte à une longueur d'onde spécifiée.
3.5
différence de marche
OPD
négatif de l'erreur de front d'onde (3.4) en chaque point d'un front d'onde (3.4), représentant la correction de
la longueur de parcours optique nécessaire pour corriger l'erreur de front d'onde
3.6
moyenne quadratique de l'erreur de front d'onde
〈œil〉 quantité calculée comme étant la racine carrée de l'écart de la fonction d'erreur de front d'onde (3.4) et
définie comme étant
2
⎡⎤Wx(,y) dxdy
⎣⎦
∫∫
pupille
RMS = (10)
WFE
A
où A est la surface de la pupille
ou bien, si la fonction d'erreur de front d'onde est exprimée en termes de coefficients de Zernike normalisés,
une quantité égale à la racine carrée de la somme des carrés des coefficients avec un indice radial supérieur
ou égal à 2
2
m
RMS = c (11)
WFE ∑ ()n
nm>1, tout
NOTE 1 Il convient que la valeur de piston et l'inclinaison moyenne soient exclues de ce calcul, car elles correspondent
plus à des déplacements latéraux de l'image qu'à une dégradation de l'image en tant que telle.
NOTE 2 La moyenne quadratique de l'erreur peut également être calculée en utilisant un ensemble discret de valeurs
d'erreur de front d'onde qui avaient été utilisées pour obtenir les coefficients de Zernike et les méthodes statistiques
normalisées. Le calcul ainsi effectué, il peut s'avérer que cette valeur de moyenne quadratique ne correspond pas
exactement à la valeur obtenue à l'aide de la formule figurant ci-dessus. Cette situation tend surtout à se produire lorsque
les points de la pupille utilisés pour échantillonner l'erreur de front d'onde ne sont pas répartis de manière uniforme. Les
données établies ne résultent donc pas en des fonctions de Zernike orthogonales, discrètes.
3.7
aberrations d'ordre supérieur
aberrations subies par l'œil en plus des erreurs de réfraction sphéro-cylindriques et prismatiques et donc, si
l'erreur de front d'onde est exprimée en termes de coefficients de fonction polynomiale de Zernike, aberrations
d'ordre supérieur ou égal à 3
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3.8
gradient du front d'onde
∂W(x,y)
vecteur donnant les valeurs du gradient du front d'onde ∂W(x,y)/∂x et ∂W(x,y)/∂y aux emplacements x et y et
lorsqu'il est exprimé en termes de coefficients de polynôme de Zernike, il est obtenu par les formules
suivantes
m m
∂Wx,y ∂Wx,y
() ∂Z (,xy) ( ) ∂Z (,xy)
m n m n
et (12)
= c = c
∑ n ∑ n
∂∂xx ∂∂yy
toutnmet toutnmet
NOTE β (x,y) et β (x,y) aux emplacements x, y font référence aux valeurs du gradient mesurées.
x y
Tableau 1 — Symboles
Symbole Nom Définition donnée en
A(mθ,α) terme méridien pour les fonctions de Zernike forme amplitude/axe 5.1.9
m
c coefficient de Zernike 3.3
n
c
coefficient de Zernike – amplitude 5.1.9
nm
m indice méridien pour les fonctions de Zernike 3.2
m
M mθ indice méridien pour les fonctions de Zernike 3.2.3
()
n
n indice radial pour les fonctions de Zernike 3.2
m
N terme de normalisation pour les fonctions de Zernike 3.2.5
n
m
terme radial pour les fonctions de Zernike 3.2.1
R ρ
()
n
m
fonction de Zernike [notation alternée: Z(n,m)] 3.2
Z
n
Z
fonction de Zernike – forme amplitude/axe 5.1.9
nm
α paramètre de l'axe pour les fonctions de Zernike de forme amplitude/axe 5.1.9
ρ paramètre radial pour les fonctions de Zernike 3.2.2
paramètre du méridien pour les fonctions de Zernike 3.2.4
θ
W(x,y) erreur de front d'onde 3.4
βx,y gradient mesuré à un emplacement x,y 3.8
∂Wx,y gradient du front d'onde à un emplacement x,y 3.8
β
erreur d'ajustement du gradient 5.3
fit
4 Système de coordonnées
Le système de coordonnées utilisé pour représenter les surfaces de front d'onde doit correspondre au
système de coordonnées ophtalmique normalisé conformément à l'ISO 8429, dans lequel l'axe X
correspondant à l'horizontale locale avec son sens positif étant vers la droite lorsque l'examinateur observe
l'œil mesuré, l'axe Y correspondant à l'horizontale locale avec son sens positif supérieur par rapport à l'œil
mesuré et l'axe Z étant la ligne de visée de l'œil mesuré, avec son sens positif vers la droite lorsque
l'examinateur regarde l'œil mesuré. L'origine horizontale et verticale du système de coordonnées est le centre
de la pupille visible de l'œil. L'origine du système de coordonnées se trouve dans le plan de la pupille de
sortie de l'œil (la lumière se forme dans la rétine et passe à travers la pupille). La Figure 1 illustre ce système
de coordonnées.
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La convention des signes utilisée pour les valeurs d'erreur de front d'onde reportée à un quelconque
emplacement sur le front d'onde doit être utilisée pour ce système de coordonnées.
Lorsque les coefficients de Zernike sont utilisés pour représenter un front d'onde ou pour consigner une erreur
de front d'onde, la convention des signes utilisée pour décrire chaque fonction de Zernike doit être celle qui
est utilisée pour ce système de coordonnées.
a) Système de coordonnées b) Vue du patient par le clinicien
Légende
OD œil droit
OS œil gauche
Figure 1 — Système de coordonnées ophtalmiques (ISO 8429)
5 Représentation des données relatives au front d'onde
5.1 Représentation des données relatives au front d'onde au moyen des coefficients
de la fonction du polynôme de Zernike
5.1.1 Symboles des fonctions du polynôme de Zernike
Les fonctions du polynôme de Zernike doivent être désignées par la lettre majuscule Z suivie d'un indice
supérieur et d'un indice inférieur L'indice supérieur doit être un nombre entier signé représentant l'indice
méridien de la fonction, m. L'indice inférieur doit être un entier non négatif représentant l'indice radial de la
fonction, n. Une fonction polynomiale de Zernike doit, par conséquent, être représentée comme suit:
m
Z
n
Si, pour des raisons de police, il n'est pas possible d'écrire l'indice supérieur et les indices inférieurs, les
fonctions polynomiales de Zernike peuvent être représentés par une lettre majuscule Z, suivie de parenthèses
dans lesquelles l'indice radial, n, apparaît en premier, suivi après une virgule de l'indice méridien, m.
Z(n,m)
5.1.2 Indice radial
L'indice radial doit être désigné par la lettre minuscule, n.
5.1.3 Indice méridien
L'indice méridien doit être désigné par la lettre minuscule, m.
5.1.4 Paramètre radial
Le paramètre radial doit être désigné par la lettre grecque ρ.
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5.1.5 Paramètre méridien
Le paramètre méridien doit être désigné par la lettre grecque θ.
5.1.6 Coefficients
Lorsqu'une surface est représentée par les coefficients de Zernike, ces coefficients doivent être désignés par
la lettre minuscule, c, suivie d'un indice supérieur et d'un indice inférieur. L'indice supérieur doit être un
nombre entier signé représentant l'indice méridien de la fonction, m. L'indice inférieur doit être un entier non
négatif représentant l'indice radial de la fonction, n. Un coefficient de Zernike doit, par conséquent, être
représenté comme suit:
m
c
n
5.1.7 Désignations courantes des fonctions polynomiales de Zernike
Les fonctions polynomiales de Zernike sont généralement désignées par leur désignation courante Ces
désignations figurent dans le Tableau 2, à condition qu'une désignation courante ait été attribuée aux
fonctions.
Tableau 2 — Désignations courantes des fonctions polynomiales de Zernike
Fonction de Zernike Désignation courante
0
Z piston
0
−1
Z inclinaison verticale
1
1
Z inclinaison horizontale
1
−2
Z astigmatisme oblique
2
défocalisation myopique (valeur positive du coefficient)
0
Z
2
défocalisation hypermétrope (valeur négative du coefficient)
astigmatisme inverse (valeur positive du coefficient)
2
Z
2
astigmatisme direct (valeur négative du coefficient)
−3
Z astigmatisme en trèfle oblique
3
coma vertical – raidissement supérieur (valeur positive du coefficient)
−1
Z
3
coma vertical – raidissement inférieur (valeur négative du coefficient)
1
Z coma horizontal
3
3
Z astigmatisme en trèfle horizontal
3
−4
Z astigmatisme quadratique oblique
4
−2
Z astigmatisme secondaire oblique
4
aberration sphérique
0
Z valeur positive du coefficient – contour de la pupille plus myope que le centre
4
valeur négative du coefficient – contour de la pupille plus hypermétrope que le centre
2
Z astigmatisme secondaire
4
4
Z astigmatisme quadratique
4
−1
Z verticale secondaire
5
1
Z horizontale secondaire
5
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5.1.8 Comparaison des données exprimées comme étant des coefficients de Zernike générés à l'aide
de tailles d'ouverture différentes
Les valeurs du coefficient de Zernike décrivant une erreur de front d'onde donnée dépendent de la taille de
l'ouverture utilisée lorsqu'elles sont générées à partir des données de mesure. En raison de cette dépendance
par rapport au diamètre de la pupille, les différentes valeurs du coefficient seront calculées afin de décrire
l'erreur de front d'onde d'un œil donné si la taille de la pupille change d'un mesurage à l'autre. Par conséquent,
pour pouvoir comparer l'erreur de front d'onde d'un même œil à des moments différents ou pour comparer les
erreurs de front d'onde de deux yeux à l'aide des coefficients de Zernike, les coefficients comparés doivent
avoir été générés avec le même diamètre de pupille même si les mesurages ont été effectués avec des
diamètres différents. Les coefficients de Zernike relevés à un diamètre de pupille donné peuvent être
convertis en des valeurs pour un second diamètre plus petit, au moyen de la méthode indiquée à l'Annexe B
ou d'une méthode similaire.
Les comparaisons d'erreur de front d'onde s'appuyant sur les coefficients de Zernike trouvés conformément à
la présente Norme internationale doivent être effectuées entre des ensembles de coefficients de Zernike qui
ont été convertis en un diamètre de pupille commun.
5.1.9 Représentation des données d'erreur de front d'onde comme coefficients de Zernike sous
forme d'amplitude/d'axe
Les termes de Zernike du même ordre radial, n, et présentant les indices méridiens, m, avec une amplitude
similaire, mais des signes opposés, peuvent être considérés comme représentant les deux composants d'un
vecteur dans un espace angulaire avec une multiplicité égale à l'amplitude de m. Il est donc possible de définir
les fonctions de Zernike combinant les fonctions définies en 3.2 avec le même ordre radial, n, et les indices
méridiens présentant la même amplitude dans un nouvel ensemble de fonctions définies par
m
m
ZNρ,,θα =R ρAmθ,α (13)
() ()( )
nm n n
où
m
R ()ρ est défini par 3.2.1;
n
m
N est défini par 3.2.5;
n
et
Amθ,cαθ=−os⎡⎤mα
() ( )
⎣⎦
où α est un paramètre angulaire indiquant l'orientation du vecteur dans l'espace.
Une surface S(ρ,θ), telle qu'une erreur de front d'onde, est exprimée en utilisant ces fonctions de Zernike telles
que
Scρθ,,= Z ρθ,α
( ) ()
∑ nm nm nm
toutnmet
où les coefficients c et les paramètres angulaires α sont liés aux coefficients définis en 3.3 par les
nm nm
équations suivantes:
22
−mm
cc=+c (14)
() ()
nm n n
−m
⎛⎞
c
n
⎜⎟
a tan
m
⎜⎟
c
⎝⎠n
α = (15)
nm
m
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5.1.10 Désignations courantes des fonctions polynomiales de Zernike – forme d'amplitude/d'axe
Les fonctions polynomiales de Zernike sont généralement désignées par leur désignation courante. Pour les
fonctions de Zernike amplitude/axe définies en 5.1.9, ces désignations figurent dans le Tableau 3 dans la
mesure où une désignation courante leur a été attribuée.
Tableau 3 — Désignations courantes des fonctions polynomiales de Zernike – forme
d'amplitude/d'axe
Fonction de Zernike Désignation courante
Z
Piston
00
Z
Inclinaison
11
Défocalisation myopique (valeur positive du coefficient)
Z
20
Défocalisation hypermétrope (valeur négative du coefficient)
Astigmatisme
Z
inverse, axe = 180°
22
direct, axe = 90°
Z
Coma
31
Z Astigmatisme en trèfle
33
Aberration sphérique
Z
Valeur positive du coefficient – contour de la pupille plus myope que le centre
40
Valeur négative de coefficient – contour de la pupille plus hypermétrope que le centre
Z Astigmatisme secondaire
42
Z
Astigmatisme quadratique
44
Z
Coma secondaire
51
5.2 Représentation des données de front d'onde sous forme de gradients ou de valeurs
de fonction d'erreur de front d'onde
5.2.1 Valeurs de gradients
Les mesurages des aberrations de l'œil effectués à l'aide d'un aberromètre sont généralement des mesurages
du gradient de la fonction d'erreur de front d'onde. Les mesurages de ce type peuvent également être
considérés comme des mesurages de la déviation des rayons à partir d'une direction sans aberration par le
système optique de l'œil. Dans le cas de rayons provenant de la rétine et mesurés lorsqu'ils traversent la
pupille de sortie, la déviation est mesurée à partir du rayon au même emplacement de la pupille, mais
parallèlement à la ligne de visée. Dans le cas de rayons entrant dans l'œil par la pupille d'entrée, la déviation
est mesurée à partir du rayon vers un rayon qui entre dans l'œil parallèlement à la ligne de visée et qui est
réfracté de sorte qu'il coupe la rétine en un point où la ligne de visée croise la rétine. Les informations de
gradient se composent de deux emplacements dimensionnels de rayon mesuré dans le plan de la pupille de
sortie de l'œil et des deux composants de sa première déviation.
Pour que cette information soit transmise de manière normalisée, les données relatives à chaque rayon ou
emplacement mesuré dans le front d'onde se composent de quatre nombres. Les deux premiers sont les
coordonnées horizontales (x) et verticales (y) de l'emplacement, indiquées comme coordonnées cartésiennes
dans le système de coordonnées spécifié dans l'Article 4 et exprimées en millimètres. Les deux chiffres
suivants représentent les valeurs horizontales et verticales des composants du gradient. En d'autres termes,
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les deux chiffres suivants représentent les déviations horizontales et verticales du rayon, données comme
valeurs tangentes.
Un cinquième chiffre facultatif peut être inclus, précisant le coefficient de confiance ou de certitude associé
aux informations données à chaque emplacement de données.
5.2.2 Valeurs d'erreur de front d'onde
Si les aberrations de l'œil se composent des valeurs de fonction d'erreur de front d'onde, alors les
informations requises pour l'exprimer en un emplacement donné dans le front d'onde se composent d'un
emplacement et de la valeur des fonctions de l'erreur de front d'onde à cet emplacement.
Pour que cette information soit transmise de manière normalisée, les données relatives à chaque rayon
mesuré ou à l'emplacement dans le front d'onde se composeront de trois chiffres. Les deux premiers sont les
coordonnées horizontales (x) et verticales (y) de l'emplacement indiquées comme coordonnées cartésiennes
dans le système de coordonnées spécifié dans l'Article 4 et exprimées en millimètres. Le troisième
correspond à la valeur de l'erreur de front d'onde (3.4) exprimée en
...
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