ISO 12857-2:1997
(Main)Optics and optical instruments — Geodetic instruments — Field procedures for determining accuracy — Part 2: Theodolites
Optics and optical instruments — Geodetic instruments — Field procedures for determining accuracy — Part 2: Theodolites
Optique et instruments d'optique — Instruments géodésiques — Méthodes de détermination sur site de la précision — Partie 2: Théodolites
General Information
Relations
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Standards Content (Sample)
IS0 12857-2: 1997(E)
0 IS0
4
0
0
0 Position of the instrument
u
0
’ 3
b
0 l Targets
0
Figure 1 - Test configuration
5.1.3 Observations
Four series of observations shall be performed. The observations shall be carried out under
various but not extreme weather conditions. Each series (k) of observations shall consist of
three sets (j) of directions to the five targets (i).
The five targets shall be observed in each set in face position I of the telescope in a clockwise
and in face position II of the telescope in an anticlockwise
sequence (0, (2), (39 (99 (39
sequence (5), (4), (3), (2), (1). The graduated circle shall be changed for 60’ (67 gon) after
each set. If physical rotation of the graduated circle is not possible, e.g. for electronic
theodolites, the lower part of the theodolite may be turned approximately 120’ (133 gon) on
the tribrach.
5.1.4 Calculations
The evaluation of the measured values is an adjustment of observation equations. Within a
series of observations k, one direction is marked by ri j I or ri j II9 the index i being the target
and the indexj being the number of the set. I or II points out the face position of the telescope.
Each series of observations is evaluated separately.
First of all the mean values
I
r + 200 gon
i jI +5 jII-
; i=
r.=” ”
1,2,3,4,5 ; j = 1,2,3
l>j
3
of the readings in both face positions I and II of the telescope are calculated. By reduction into
the direction to target No. 1 we obtain the results:
- rI,j; i = 1,2,3,4,5; j = 1,2,3
r’i j =‘;:j
9 f
---------------------- Page: 1 ----------------------
IS0 12857=2:1997(E)
0 IS0
The mean values of the directions resulting from three sets to target No. i are:
rli 1 +rli 2 +rli 3
t t
q= ’
; i = 1,2,3,4,5
3
From the differences
d =Y,-r’ij ; i = 1,2,3,4,5 ; j = 1,2,3
i,j ,
we obtain for each set of observations the arithmetic mean values
-
do j + d2 j + d3 j + d4 j + d5 j
e
, I , , ,
-
d = 1,2,3
; J
j-
5
from which the corrections result:
-
C. =dij -dj; i= 1,2,3,4,5; j = 1,2,3
iti t
Except for the rounding errors, each set must meet the condition:
5
C ij ~0; j = 1,2,3
c t
i=l
The square sum of the corrections of the series of observations No. k is:
3 5
2
cck =
ci,j
cc
j=l i=l
For three sets of directions to five targets in each case the degree of freedom is:
fk =(3-1)(5-l) = 8
and the standard deviation sk of a direction
ri j, taken in one set of the series of observations
9
No . k, amounts to:
standard deviation s, of a horizontal direction observed in one set (arithmetic mean of the
The
readings in both face positions of the telescope) according to this part of IS0 12857,
calculated from all four series of observations at a degree of freedom of
f =4; f,=32
amounts to:
k=l k=l
32
f
SISO-THEO-HZ = sO
---------------------- Page: 2 ----------------------
0 IS0 IS0 12857=2:1997(E)
5.1.5 Statistical tests
For interpretation of the results, statistical tests shall be carried out using the standard
deviation S, of a horizontal direction observed in one set in order to answer the following
questions.
Is the calculated standard deviation ~~~~~~~~~ smaller than the value o0 stated by the
4
manufacturer or smaller than another predetermined value o0 ?
Do two standard deviations s1 and s2, as determined from two different samples of
W
measurements, belong to the same population, assuming that both samples have the
same degree of freedomf?
The standard deviations s1 and S, may be obtained from:
- two series of measurements by the same instrument but different observers;
- two series of measurements by the same instrument at different times;
- two series of measurements by different instruments.
Table 1 - Statistical tests
Question Null hypothesis Alternative
hypothesis
A
s 00
SO
So ’ 00
B
= CT*
Ol
I I
For the following tests a confidence level of I- a = 0,95 and according to the design of
measurements a degree of freedomf= 32 are assumed.
A) The null hypothesis stating that the empirically determined standard deviation so is smaller
than or equal to a theoretical or predetermined value a0 is not rejected if the following
condition is fulfilled:
2
Xf,l-a
s() < - 00’ -
f
d
2
x 32;0,95
s() < 00 l
32
2
= 46,19
x 32;0,95
so < 00 l 1,20
Otherwise, the null hypothesis is rejected.
---------------------- Page: 3 ----------------------
IS0 12857-2: 1997(E)
0 IS0
B) In the case of two different samples No. 1 and No. 2, a test indicates whether the estimated
standard deviations ~1 and ~2 belong to the same population. The corresponding null
o2 is not rejected if the following condition is fulfilled:
hypothesis 0, =
2
1
Sl
<
-
' Fffl-a/2
2 J ,
F
f,f,l-a/2 S2
2
1
Sl
<
-
2 < 42.32-0975
, , ,
F
S2
32;32;0,975
F = 2,02
32;32;0,975
2
0,49 5 ; < 2,02
S2
Otherwise, the null hypothesis is rejected.
The degree of freedom and, thus, the corresponding test values ~2~ 1 a and Fr; f2 l-a,2 (taken from
reference books on statistics) change if a different number of observations isanalysed.
5.2 Measurements of vertical angles
5.2.1 General
The following field procedures shall be adopted for determining the accuracy of theodolites
for vertical angles measured by a single survey team with a single instrument and its ancillary
equipment.
The results of these tests are influenced by meteorological conditions. These conditions will
include different air temperatures and pressures, wind speed, cloud cover and visibility. An
overcast sky guarantees the most favourable weather conditions. Tests performed in
laboratories would provide results which are almost unaffected by atmospheric influences, but
the costs for such tests are very high and therefore they are not practicable for most users.
5.2.2 Test configuration
A precision invar levelling staff shall be set up vertically in a fixed position by means of struts
during every series of observations. When testing a theodolite with a resolution of 3” (1 mgon)
the distance x, should be approx. 5 m, and for theodolites with a resolution of 1” (0,3 mgon)
approx. 15 m (see figure 2).
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0 IS0 IS0 12857=2:1997(E)
Figure 2 - Test configuration
5.2.3 Observations
In total four series of observations shall be carried out under various but not extreme weather
conditions. The height difference between the instrument and the staff shall be varied in order
to cover a larger range of the vertical circle.
Each series of observations (k) shall comprise twelve vertical angle (zenith angle)
measurements taken to six graduation lines (i> on the precision invar staff, six angles in face
position I and six angles in face position II of the telescope. The graduation lines shall be
spread evenly over the staff, but sights near the ground shall be avoided.
5.2.4 Calculations
The evaluation of the measured angles is an adjustment of observation equations. Within a
series of observations NO. k, one zenith angle is denoted by ZiI or ziII, the index i being the
I
graduation line. I or II points out the face position of the telescope. Each series of observations
is evaluated separately.
NOTE - For facilitating the following calculations, a suitable computer program is given in
Annex B of this part of IS0 12857.
In the calculations all distances are in centimetres. The units of the observations z depend on
the type of the theodolite. If the reading is centesimal grades (gon) then we take for p = 200
gonk . If the reading is sexagesimal degrees (O), then we take p = 1 SOok
The non-linear observation equations of the adjustment are for measurement in face position I
---------------------- Page: 5 ----------------------
IS0 12857-2: 1997(E)
0 IS0
7c hi l COSX, -XI
Zi 1 + Ci 1 + 0 = p ’ - - arCtan
i= 1, . . . ,6
;
, ,
2 x2 + hi sinx,
and for measurements in face nosition II
hi l COSX, 0x1
Zi 1 + Ci I+ 0 = p ’
i= 1, . . . ,6
;
, ,
x2 + hi sinx,
where
.
1 \
0 is the unknown index correction (orientation of the vertical circle);
x, is the height of the tilting axis of the theodolite, related to the zero-point of the levelling
staff;
x2 is the distance of the theodolite from the levelling staff;
x3 is the inclination of the levelling staff against the vertical direction (angle between the
zenith and the levelling staff, this angle shall be the same over one series of observation).
Since the functional model is not linear in the three unknown parameters x, , x2 and x,, it is
necessary to determine approximate values xp and xi.
The approximate value for x, is zero. xp
and xi should be measured directly. Alternatively, they can be determined by measurements in
face I to the upper line h, and to the lowest line h, of the graduation:
(4 - h,) - sin zl,l
'=h6-COSZg,*
x1
,
sinfz6 1 - ZlI )
, ,
(hl - he) l sin zj,l
0
= sin zg,j ’
x2
sin& 1 - zll)
,
In order to get normal equations with appropriate units, we use in the following linearized
observation equations for the two angles to graduation line No. i a scaling factorfa, which is for
centesimal gradesfa = 100 and for sexagesimal degreesfa = 60:
0
x2
= r-
l fa
ai,
(hi -Xf)' +(Xg)2
hi-X?
= r-
l fa
ai,
(hi -Xy,' +(Xgj2
hi *ai
,
=-
ai,
r
I.
z,ll
---------------------- Page: 6 ----------------------
IS0 12857-2: 1997(E)
0 IS0
0
=x1 +dx,
x1
0
=x2+dx2
x2
With the twelve observation equations the normal equations are formed. If the observations in
both face positions of the telescope were taken symmetrically the system of the normals
consists of two independent parts:
6
120=-
‘i I + li II >
, ,
C(
i=l
2ATAex=AT(lI -l,,)
with
x=[t;
A;[;: :1; :::j ‘;i::) +[;]
They determine the four parameters:
6
1
=--
0 I
+ ‘ill>
i
C( 3
12
i=l
I
dx
1
dx + (2ATA)-’ l AT(l, - l,,)
2 =
. x3 1
.
The scaling with& gives o m cgon or in (9, dx, and dx, in cm, x3 in grads (gon) or degrees (“).
The square sum cck of the corrections of series No. k for the determination of the standard
deviation &!?k is calculated in two different ways, thus giving an effective check.
cck = (1; 4, +l; 41)-1202 -
All terms of this equation are in cgon or (9.
Alternatively, starting from the non-linear basic equations the corrections ciI and Ci,rI are
,
calculated for i = 1,.,6, squared and added:
hi .COSX~-XI
P
= r l - - arctan
- 0 - Zi,I
ci,l
2 ~2 + hi l sin ~3
l 1
hi l cosx~-X~
3P
= r-
ci,ll - O - G,ll
2 + arctan ~2 + hi l sin ~3
t
CCk = i(c; +$I,)
i=l
Except for rounding errors, the same result should be obtained.
9
---------------------- Page: 7 ----------------------
IS0 12857-2: 1997(E)
0 IS0
For each series of observations there are twelve measurements for the determination of four
unknown parameters. Thus the degree of freedom is
fk =12-4=8
The standard deviation of a zenith angle of the series of observations No. k once observed in
one face position amounts to
For the standard deviation so calculated from all series of observations the degree of freedom
is
j-=4&=32
and the standard deviation of unit weight
The standard deviation of a vertical angle observed once,
but in both face positions, calculated
from all series of observations is
SO
%so-THEO-V = -
&
5.2.5 Statistical tests
For interpretation of results, statistical tests shall be carried out using
-
the standard deviation so of a vertical angle observed in one face position
-
the orientation o of the vertical circle
in order to answer the following questions.
A) Is the computed standard deviation slso-THEo-v smaller than the value o stated by the
manufacturer or smaller than another predetermined value 0 ?
B) Do two standard deviations S, and s,,
as determined from two different samples of
measurements, belong to the same population, assuming that both samples have the same
degree of freedomf?
The standard deviations s1 and S, may be obtained from:
- two series of measurements by the same instrument but different observers;
- two series of measurements by the same instrument at different times;
- two series of measurements by different instruments.
10
---------------------- Page: 8 ----------------------
IS0 12857=2:1997(E)
0 IS0
C) Is the index correction o equal to zero?
Table 2 - Statistical tests
Null hypothesis Alternative
Question
hypothesis
A
Sol&~0 s,/Jz>o
=cT,
B
CT, % #%
I I
lo#O
lo=0
C
For the following tests a confidence level of 1-a = 0,95 and according to the design of
measurements a degree of freedom of f= 32 is assumed.
sIso-THEo v
A) The null hypothesis stating that the empirically determined standard deviation
-
of a vertical angle observed in both face positions is smaller than or equal to a theoretical
or a predetermined value G is not rejected if the following condition is fulfilled:
2
C
-a
fl 3
sol”0
f
d
2
’ 32; 0,95
so Is(y
32
S()IS()’ y
II
so Iso*1,20
Otherwise, the null hypothesis is rejected.
B) In the case of two different samples No. 1 and No. 2 a test indicates whether the estimated
standard deviations ~1 and ~2 belong to the same population. The corresponding null
= s, is not rejected if the following condition is fulfilled:
hypothesis s 1
1
Ffi ,f2 ,I-*
1
F
32; 32; 0,975
2
< 2,02
0,49 < $
s2
Otherwise, the null hypothesis is rejected.
11
---------------------- Page: 9 ----------------------
IS0 12857-2: 1997(E)
0 IS0
C) The hypothesis stating that the index correction o is equal to zero is not rejected if the
following condition is fulfilled:
a
0 IS*‘t
I I
9
fl
2
I o I s so l t32;0,975
t32;0,975 = 2,04
lol5-* au 2,04
J12
Otherwise, the null hypothesis is rejected.
The degree of freedom and, thus, the corresponding test values x: l-a , F’ f l-a/2 and tf,l-a,2
(taken from reference books on statistics) change if a different nkber bf! observations is
analysed.
12
---------------------- Page: 10 ----------------------
IS0 12857-2: 1997(E)
0 IS0
Annex A
(informative)
Examples of calculations
A.1 Horizontal directions
A.l.1 Observations
For the series of observations No. 1 the horizontal directions with two different theodolite
types (designated as A and B) are given in tables A.1 and A.2.
Table A.1 - Example of field observations and evaluation for theodolite type A
T’i j
r
j i r r F di j Ci j Cl’j
,
hj,I
WI bj , , ,
0 1 1t 0 1 11 0 1 0 0 1 0 0 1 11 11 1t
1 1 28 12 37 208 12 42 28 12 39,5 0 00 00,o 0 00 00,o 0,o 0,l 0,Ol
2 83 50 35 263 50 40 83 50 37,5 55 37 58,O 55 38 00,3 2,3 2,4 5,76
3 141 45 30 321 45 35 141 45 32,5 113 32 53,O 113 32 50,8 -2,2 -2,l 4,41
4 219 30 49 39 30 50 219 30 49,5 191 18 10,O 191 18 9,5 -0,5 -0,4 0,16
5 308 26 31 128 26 33 308 26 32,0 280 13 52,5 280 13 52,5 0,O 0,l 0,Ol
$8 51 1267 48 55 I87 48 53,O 1 0 00 00,o
2 1 87 L -1,7 2,89
090
12 1 143 26 52 I323 26 51 I143 26 51,5 155 37 58,5 1
1 13 1 w 1 O,Ol 1
13 I201 21 41 1 21 21 47 I201 21 44,0 Ill3 32 51,O 1 1 -0,2 1 -1,9 1 3,61 1
14 I279 07 01 ( 99 06 59 I279 07 00,O I191 18 07,O 1
1 23 1 03 1 044 1
5 8 02 42 188 02 40 8 02 41,0 280 13 48,0 4,5 2,8 7,84
I I
3 1 147 08 13 327 08 08 147 08 10,5 0 00 00,o 090 1,7 2,89
2 202 46 17 22 46 13 202 46 15,O 55 38 04,5 -4,2 -2,5 6,25
3 260 41 01 80 40 57 260 40 59,O 113 32 48,5 293 4,0 16,00
4 338 26 24 158 26 20 338 26 22,0 191 18 11,5 -2,0 -0,3 0,09
5 67 22 07 247 22 08 67 22 07,5 280 13 57,O -4,5 -2,8 7,84
c 1 -8,4 1 0,l 1 58,41 1
I I
NOTE - The series of observations No. 2, 3 and 4 are not printed.
I I
13
---------------------- Page: 11 ----------------------
IS0 12857=2:1997(E)
0 IS0
Table A.2 - Example of field observations and evaluation for theodolite type B
b
T’i j
r
.i i r I;- d
c2
,
M ri j II
b.i
i,j ‘i , j i,j
, ,
gon gon gon gon gon mgon mgon
mgon2
0,000 0,000 0 -2 4
1 1 310,475 110,470 3 10,472
-1 -3 9
2 366,131 166,126 366,128 55,656 55,655
30,479 120,007 120,006 -1 -3 9
3 30,48 1 230,477
188,403 188,405 2 0 0
4 98,878 298,872 98,875
8 6 36
5 210,347 10,341 210,344 299,872 299,880
I I
8 -2
c
0 1 1
2 1 376,749 176,744 376,746 0,000 I
1 2 4
2 32,403 232,398 32,400 55,654
2
96,753 296,749 96,75 1 120,005 1 4
3
4 165,154 365,148 165,151 188,405 0 1 1
-8 49
5 276,638 76,630 276,634 299,888 -7
I
-6 -1
c
0,000
3 1 42,049 242,044 42,046 0 0 0
2 97,705 297,700 97,702 55,656 -1 -1 1
-1 1
3 162,056 362,050 162,053 120,007 -1
4 230,454 30,449 230,452 188,406 -1 -1 1
299,879 1 1 1
5 341,929 141,921 341,925
-2
c -2 121
NOTE - The series of observations No. 2,3 and 4 are not printed.
A. 1.2 Results
Results for series of observations No. 1 for theodolite type A (see table A. 1):
cc, = 58,41 (“>2
1 II 2 711
-
- 1
s, = 2,7”
1st series of observations:
11
2nd series of observations*
. 5= 20 9
!I
3rd series of observations* 16
s,= 9
4th series of observations; sq = 2,3”
1934 yl 2 2"
so= -*
4 =j
d
fI
22
SISO-THEO-HZ = ’
Results for series of observations No. 1 for theodolite B (see table A.2):
14
---------------------- Page: 12 ----------------------
@IS0 IS0 12857-2: 1997(E)
= 121 mgon2
CC1
121
sj = = 3,9 mgon
8 mgon
J
s, = 3,9 mgon
1st series of observations:
s, = 2,7 mgon
2nd series of observations:
3rd series of observations: s3 = 3,l mgon
s, = 1,7 mgon
4th series of observations:
350
- mgon = 3,0 mgon
so =
4
d
SIS()-~O-~ = 390 won
A.1.3 Statistical tests
Example for a test according to question A for theodolite type A:
so = 2,O"
2,2 2 2,0"* I,20
Since the above inequality is true, the null hypothesis stating that the empirically determined
standard deviation so = 2,2” is smaller than or equal to the manufacturer’s value so = 2,O” is not
rejected.
Example for a test according to question B for theodolite type B:
sj = 3,0 mgon
s2 = 1,9 mgon
9,00 mgon2
5 2,02
0,49 5
3,61 mgon2
0,49 I 2,49 5 2,02
Since the above inequality is not true, the null hypothesis stating that the standard deviations
1,9 mgon obtained in the same manner from measurements by the same
s1 = 3,0 mgon and s, =
instrument at different times, belong to the same population is rejected.
A.2 Vertical directions
A.2.1 Observations
For the series of observations No. 1 the vertical angles with two different theodolite types
(designated as A and B) are given in tables A.3 and A.4.
15
---------------------- Page: 13 ----------------------
IS0 12857-2: 1997(E)
0 IS0
Table A.3 - Example of field observations for theodolite type A
i h z
i,I z (II
i
cm
wn gon
1 295
85,511 314,481
2 245 91,678
308,321
3 195 98,005
301,993
4
145 104,368 295,626
5 95 110,640
289,355
6 45 116,720
283,280
NOTE - The series of observations No. 2, 3 and 4 are
not printed.
Table A.4 - Example of field observations for theodolite type B
i h
i z i,I
z I,11
cm
1 295 85O 04’ 41,O”
274’ 56’ 41,8”
/
2 245 86’ 58’ 33,9” 273’ 02’ 45,7”
3 195 88’ 52’ 55,2” 271 O 08’ 24,7”
4 145 90’ 47’ 26,3”
269’ 13’ 52,7”
5 95 92’ 41’ 48,9” 267O 19’ 3 1 ,O”
6 45 94’ 35’ 53,8” 265’ 25’ 29,7”
NOTE - The series of observ
...
NORME ISO
INTERNATIONALE 12857-2
Première Édition
1997-08-l 5
Optique et instruments d’optique -
Instruments géodésiques - Méthodes de
détermination sur site de la précision -
Partie 2:
Théodolites
Optics and optical instruments - Geodetic instruments - Field
procedures for determining accuracy -
Part 2: Theodolites
Numéro de référence
ISO 12857-2: 1997(F)
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ISO 12857-2: 1997(F)
Page
Sommaire
Introduction
1
.........................................................................................................................
1 Domaine d’application
1
........................................................................................................................
2 Références normatives
1
Définitions .
3
1
4 Généralités .
2
Techniques .
5
2
.................................................................................................
51 . Mesurage des directions horizontales
5
...........................................................................................................
52 . Mesurage des angles verticaux
Annexes
11
..,....***.........................................,....~..~....................,.............................................
A Exemples de calcul
17
..*...........................
B Exemple de programme informatique adapté aux calculs, conformément à 5.2.4
0 ISO 1997
Droits de reproduction réservés. Sauf prescription différente, aucune partie de cette
publication ne peut être reproduite ni utilisée sous quelque forme que ce soit et par aucun
procede, electronique ou mécanique, y compris la photocopie et les microfilms, sans l’accord
Ecrit de I’editeur.
Organisation internationale de normalisation
Case postale 56 l CH-121 1 Genève 20 l Suisse
Internet central @ iso.ch
x.400 c=ch; a=400net; p=iso; o=isocs; s=central
Imprime en Suisse
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0 ISO ISO 12857-2: 1997(F)
Avant-propos
L’ISO (Organisation internationale de normalisation) est une fédération mondiale d’organismes
nationaux de normalisation (comités membres de I’ISO). L’élaboration des Normes internationales
est en général confiée aux comités techniques de I’ISO. Chaque comité membre intéressé par une
étude a le droit de faire partie du comité technique créé à cet effet. Les organisations
internationales, gouvernementales et non gouvernementales, en liaison avec I’ISO participent
également aux travaux. L’ISO collabore étroitement avec la Commission électrotechnique
internationale (CEI) en ce qui concerne la normalisation électrotechnique.
Les projets de Normes internationales adoptés par les comités techniques sont soumis aux comités
membres pour vote. Leur publication comme Normes internationales requiert l’approbation de 75 %
au moins des comités mambres votants.
La Norme internationale ISO 12857-2 a été élaborée par le comité technique ISOTTC 172, Optique
et instruments d’optique, sous-comité SC 6, Instruments géodésiques et et d’obsewation.
L’ISO 12857 comprend les parties suivantes, présentées sous le titre général Optique et
instruments d’optique - Instruments géodésiques - Méthode de détermination sur site de la
précision :
- Partie 1 : Niveaux
Partie 2 : Théodolites
-
Partie 2 : Télémètres électro-optiques (instruments MED)
-
Les annexes A et B de la présente partie de I’ISO 12857 sont données uniquement à titre
d’information.
. . .
III
---------------------- Page: 3 ----------------------
Page blanche
---------------------- Page: 4 ----------------------
NORME INTERNATIONALE @ ISO ISO 12857-2: 1997(F)
Optique et instruments d’optique - Instruments géodésiques -
Méthodes de détermination sur site de la précision -
Partie 2 :
Théodolites
1 Domaine d’application
La présente partie de I’ISO 12857 spécifie des techniques sur site à adopter pour déterminer et évaluer la
précision des théodolites utilisés pour la surveillance.
Ces essais sont destinés à avoir un caractère opérationnel et ce ne sont ni des essais d’acceptation, ni des
essais de performance.
Les techniques sont appliquées pour déterminer la précision de différents instruments en une seule fois, ou
celle d’un seul instrument en plusieurs fois.
Les techniques sur site peuvent être appliquées n’importe où, sans nécessiter d’équipement particulier ; elles
sont conçues pour limiter les influences atmosphériques.
NOTE - D’autres Normes internationales sur les essais des instruments de mesure dans le domaine de la construction
immobiliaire sont disponibles.
2 Références normatives
Les normes suivantes contiennent des dispositions qui, par suite de la référence qui en est faite, constituent
des dispositions valables pour la présente norme internationale. Au moment de la publication, les éditions
indiquées étaient en vigueur. Toute norme est sujette à révision et les parties prenantes des accords fondés
sur la présente norme internationale sont invitées à rechercher la possibilité d’appliquer les éditions les plus
récentes des normes indiquées ci-après. Les membres de la CEI et de I’ISO possèdent le registre des
normes internationales en vigueur à un moment donné.
ISO 3534-1 :1993, Statistique - Vocabulaire et symboles - Parlie 1 : Probabilité et termes
statistiques généraux.
ISO 9849:1991, Optique et instruments d’optique - Instruments géodésiques - Vocabulaire.
3 Définitions
Pour les besoins de la présente partie de I’ISO 12857, les termes et définitions donnés dans I’ISO 3534-l et
I’ISO 9849 s’appliquent.
4 Généralités
L’état de réglage par l’utilisateur du théodolite et de l’équipement auxiliaire associé, doit être connu et
acceptable, et doit correspondre aux méthodes spécifiées dans les manuels de l’utilisateur.
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ISO 12857-2: 1997(F) 0 ISO
La précision des théodolites est exprimée en termes d’écart-type d’une direction horizontale (HZ), observée
dans les deux positions faciales du télescope, ou d’angle vertical (V) observé en une fois dans les deux
positions faciales du télescope.
Les méthodes d’essai indiquées dans la présente partie de I’ISO 12857 ont pour but de déterminer I’écat-t-
ou s
type s ISO-THEO-HZ ISO-THEO-V’
II convient d’appliquer les essais statistiques afin de déterminer si l’écart-type s obtenu appartient à la
population de l’écart-type d’instrumentation, si deux échantillons essayés appartiennent à la même population
ou si l’indice de correction o du cercle vertical est égal à zéro.
5 Techniques
5.1 Mesurage des directions horizontales
5.1.1 Généralités
Les techniques sur site suivantes doivent être adoptées afin de déterminer la précision des théodolites pour
des directions horizontales, mesurée par une seule équipe de surveillance avec un seul instrument et son
équipement annexe.
Les résultats d’essai sont influencés par les conditions météorologiques. Ces conditions comprennent les
différences au niveau de la température de l’air et de la pression, de la vitesse du vent, de la couverture
nuageuse et de la visibilité. Un ciel couvert garantit les conditions atmosphériques les plus favorables. Les
résultats obtenus à partir d’essais en laboratoire ne seraient pratiquement pas affectés par une influence
atmosphérique ; cependant, ils présentent un coût élevé et ne sont pas pratiques pour la plupart des
utilisateurs.
5.1.2 Configuration d’essai
Cinq cibles, distantes de 100 m et 250 m, doivent être placées approximativement sur le même plan que
l’instrument, à intervalles les plus réguliers possible par rapport à l’horizon. II faut utiliser des cibles qui
puissent être observées sans erreur, de préférence des plaques.
1
0
Position de I’instrument-
0
l
Cibles
0
Figure 1 - Configuration d’essai
---------------------- Page: 6 ----------------------
0 ISO
ISO 12857.2: 1997(F)
5.1.3 Observations
Quatre séries d’observations doivent être effectuées, dans des conditions climatiques variées mais sans
atteindre d’extrême. Chaque série d’observations (k) doit comporter trois jeux de directions 0’) vers les cinq
cibles (i).
Dans chacun des jeux, les cinq cibles doivent être observées en position 1 face au télescope dans le sens
des aiguilles d’une montre (l), (2), (3), (4), (5) et en position Il face au télescope dans le sens contraire aux
aiguilles d’une montre (5), (4), (3), (2), (1). Le cercle gradué doit être changer en position 60° (67 gon) après
chaque jeu. S’il est impossible de faire effectuer au cercle gradué une rotation physique, par exemple pour
des théodolites électroniques, on peut faire subir à la partie inférieure du théodolite une rotation d’environ
120’ (133 gon) sur le trépied.
5.1.4 Calculs
L’évaluation des valeurs mesurées correspond à un ajustement des équations d’observation. Dans une série
d’observations, de nombre k, chaque direction est indiquée par ri i I ou rj i II,
l’indice i correspondant à la cible
et l’indice j au numéro du jeu. 1 et II correspondent à la position faciale du télescope. Chaque série
d’observations est évaluée séparément.
On calcule les valeurs moyennes des relevés
~jI+~,j,II+200gon ; i = 1
1 j
q,j = 9 2 9 3 9 4 9 5 . 9 j = 1, 2, 3
2
dans les deux positions faciales du télescope, 1 et II. Si on se limite à la cible no 1, on obtient les résultats
suivants :
I
r i,j = ri,j - rl,j; i = 1, 2, 3, 4, 5 ; j = 1, 2, 3
Les valeurs moyennes correspondant aux directions résultant des trois jeux, pour la cible no i, sont les
suivantes :
r’i,l +r)i,* +‘li,3
+
3 ; i = 1, 2, 3, 4, 5
A partir des différences
.=
de l,J j: -r’i , j ; i = 1, 2, 3, 4, 5 ; j = 1, 2, 3
on obtient, pour chaque jeu d’observations, la moyenne arithmétique suivante :
d,,j +dz,j + d3Jj +d4J +d5J
zj =
= 1,u
; j
5
d’où résultent les corrections :
-Jj =
da 1, 2, 3, 4, 5; j = 1, 2, 3
ci,j = l,j
Aux erreurs d’arrondi près, chaque jeu doit remplir la condition suivante :
5
Cij=O; j = 1,2,3
c I
i=l
La somme par carrées des corrections de la série d’observations no k est égale à :
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ISO 12857-2: 1997(F)
j=li=l
Pour les trois jeux de directions vers les cinq cibles, le degré de liberté est, dans chacun des cas :
fk =(3-1)‘(5-1)=8
et l’écart-type d’une direction ri j pour la série d’observations no k, dans un jeu, est le suivant :
* ,
D’après la présente partie de I’ISO 12857, l’écart-type S, d’une direction horizontale observé dans un jeu
(moyenne arithmétique des relevés dans les deux positions faciales du télescope) et calculé pour les quatre
séries d’observations’ avec un degré de liberté
j-=4; fk=32
s’élève à :
ccck
k=l
32
5.1.5 Essais statistiques
Pour interpréter les résultats, il convient d’effectuer des essais statistiques au moyen de l’écart-type S, d’une
direction horizontale observée dans un jeu d’essai, pour pouvoir répondre aux questions suivantes.
A) L’écart-type calculé s,,,,,, HZ est-il inférieur à la valeur o0 mentionnée par le fabricant ou inférieur à une
-
autre valeur prédéterminée o,?
B) Les deux écarts-types S, et ~2, déterminés à partir de deux échantillons de mesure différents,
appartiennent-ils à la même population, en supposant qu’ils ont le même degré de libertéf?
Les écarts-types S, et ~2 peuvent être obtenus à partir de :
- deux séries de mesures avec le même instrument et des observateurs différents ;
- deux séries de mesures avec le même instrument, à des moments différents ;
- deux séries de mesures avec des instruments différents.
Tableau 1 - Essais statistiques
Question Hypothèse nulle
Autre hypothèse
A s SO
s >o
0 0 0 0
B
O=CT O#CT
1 2 12
Pour les essais suivants, on suppose le niveau de confiance égal à 1
- a = 0,95 et un degré de liberté f = 32,
en fonction du type de mesurage.
4
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ISO 12857-2: 1997(F)
L’hypothèse nulle, d’après laquelle l’écart-type s,, déterminé de façon empirique, est inférieur ou égal à
A)
une valeur 00, théorique ou prédéterminée, n’est pas rejeté à partir du moment où la condition suivante est
remplie :
2
-a
Xfl >
50 -
sO 0
i f
2
x32,0,95
sO 50 0
32
2
x32; 0,95 = 46,1 g
5 a0 *1,20
sO
Sinon, l’hypothèse nulle est rejetée.
B) Dans le cas de deux échantillons différents, no 1 et no 2, un essai indique si les écarts-types estimés S, et
S, appartiennent à la même population. L’hypothèse nulle correspondante, O, = CT,, n’est pas rejetée si
la condition suivante est remplie :
1
SF
<
32-O 9 9 975
F32; 32; 0,975 2 < F32° 1
s2
F32; 32; 0,975 = 2,02
2
0,49 < 2 < 2,02
$2
Sinon, l’hypothèse nulle est rejetée.
Le degré de liberté varie ainsi que les valeurs d’essai correspondantes, $f; 1-a et Ff1 f2; +a/2 (provenant de
. 1.
manuels de statistiques de référence) à partir du moment où un nombre différent d’observations est analysé.
52 . Mesurage des angles verticaux
5.2.1 Généralités
Les techniques sur site suivante doivent être adoptées afin de déterminer la précision des théodolites pour
les angles verticaux mesurés par une seule équipe de surveillance avec un seul instrument et son
équipement annexe.
Les résultats d’essai sont influencés par les conditions météorologiques : différences au niveau de la
température de l’air et de la pression, de la vitesse du vent, de la couverture nuageuse et de la visibilité. Un
ciel couvert garantit les conditions atmosphériques les plus favorables. Les résultats obtenus à partir d’essais
en laboratoire ne seraient pratiquement pas affectés par une influence atmosphérique ; cependant, ils
présentent un coût élevé et ne sont pas pratiques pour la plupart des utilisateurs.
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5.2.2 Configuration d’essai
Une mire graduée en invar doit être installée verticalement, dans une position fixe, au moyen d’étais, à
chaque série d’observations. Pour les essais d’un théodolite présentant une résolution de 3” (1 mgon), il est
recommandé que la distance X, soit environ égale à 5 m ; si leur résolution est de 1” (0,3 mgon), il est
recommandé qu’elle soit d’environ 15 m (voir figure 2).
Figure 2 - Configuration d’essai
5.2.3 Observations
II faut effectuer un total de quatre séries d’observations dans des conditions climatiques variées mais sans
extrêmes. La différence de hauteur entre l’instrument et la mire doit varier afin de couvrir une plus grande
plage du cercle vertical.
Chaque série d’observations (k) doit comporter douze mesures des angles verticaux (angle zénithal)
correspondant à six lignes de graduation (i) sur la mire invar, six angles en position faciale I et six angles
position faciale Il du télescope. Les lignes de graduation doivent être espacées régulièrement sur la mire et
les visions proches du sol doivent être évitées.
5.2.4 Calculs
Les évaluations des angles mesurés correspondent à un ajustement des équations d’observation. dans une
série d’observations no k, un angle zénithal est noté z,., I ou z,., II,
l’indice i étant la ligne de graduation. 1 et II
indiquent la position faciale du télescope. Chaque série d’observations est évaluée séparément.
NOTE - Pour faciliter les calculs, un programme informatique adapté est donné en annexe B de la présente partie de
I’ISO 12857.
Toutes les distances sont calculées en centimètres. Les unités des observations z dépendent du type de
théodolite. Si les relevés sont exprimés en grades (son), on considère que p = 200 go&. S’ils sont exprimés
en degrés hexadécimaux (O), on considère que p = 180°/?t.
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Les équations d’observations non linéaires d’ajustement correspondent à des mesures en position faciale 1
Zi 1 + Ci,1 * 0 = p (:--arctan( ~~~~~~jf~~)); i = 1, . . . ,6
#
et à des mesures en position faciale II
[‘il+arc~an(~~~~~~~~~~)]; i= 1, . . . ,6.
Zi,I + Ci,1 + 0 = p
o est l’orientation inconnue du cercle vertical (correction d’indice) ;
X, est la hauteur de l’axe d’inclinaison du théodolite, par rapport au point zéro de la mire graduée ;
x2 est la distance entre le théodolite et la mire graduée ;
x3 est l’inclinaison de la mire graduée par rapport à la direction verticale (angle entre le zénith et la mire
graduée, cet angle devant être le même pour une série complète d’observations).
Le modèle fonctionnel n’étant pas linéaire avec les trois paramètres inconnus X, , x2 et x3, il est nécessaire de
déterminer des valeurs approximatives x,’ et x2’.
La valeur approximative de x3 est zéro. II convient de
mesurer x,’ et x2’ directement. Sinon, ils peuvent l’être par mesurage facial I par rapport à la ligne supérieure
h, et la ligne inférieure h, de graduation :
(h, - h6) l Sh z1,1
X7 = h6 - cosz6,J l
sinfz6,1 - zl,I )
(h, - h6). Sh qI
0
= sin te,1 l
x2
sin(z6,1 - zl,I )
Pour obtenir des équations normales avec les unités appropriées, utiliser unn facteur d’échelle fa dans les
équations d’observation linéarisées suivantes, pour les deux angles, par rapport à la ligne de graduation no i ;
pour les grades,fa = 100 et pour les degrés hexadécimaux,fa = 60 :
-0 + ai,ldXj + ai,2dX2 - ai,3 X3 - li,I
ci,I =
ci,II = -O - ai,lhl - ai,2dlc2 - ai,3x3 - 4,II
où
0
X2
=p*
l fa
ai,l
(hi - XF)2 + (Xi)2
hi -xy
=p.
ai,2 ’ fa
(hi - Xf)' + (Xi)2
hi l ai 2
=A
ai,3
---------------------- Page: 11 ----------------------
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0
=x1 +dr,
x1
0
=x2 +dx2
x2
Les équations normales sont constituées à partir des douze équations d’obsewation. Si les observations
dans les deux positions faciales du télescope ont été considérées en symétrie, le système est composé de
deux parties distinctes :
6
i20=-C(li, +ZiII)
1 #
i=l
2ATA-x = AT(II -III)
Elles déterminent les quatre paramètres :
l6
=a-
0
C (4 1 + 4 II J
12izl ' '
0
&l “1
1
-7 1
+ ak2 = xg - A (1, - l,,)
+ (2A A)
0
x3
1
L II
La graduatior avec fa indique o en cgon ou en (‘), d X, et d x2 en centimètres, X, en grades (gon) ou en degrés
0
.
0
La somme carrée CC~ des corrections de séries no k pour déterminer l’écart-type sk est calculée de deux
façons différentes, donnant ainsi une vérification efficace.
T T
CCk = (1, ’ 1, + 11, l 11,) - 120 2 -(I; -I;)Ax
Les termes de l’équation sont exprimés en cgon ou en (‘).
Sinon, à partir des équations de base non linéaires, ci I et C, II sont calculés pour i = 1,.,6, mis au carré et
,
ajoutés :
hi sCOSx3 -Xl
= p. % - arctan - 0 - Zi,I
ci,I
~2 +hi *siru
(
37r hi l COSx3 -Xl
=p.
ci, II - O - zi,II
2 + arctan ~2 +hi *siru
2 2
CCk =
ci,I + ci,II
Aux erreurs d’arrondi près, il convient d’obtenir des résultats identiques.
Chaque série d’observations comporte douze mesures permettant de déterminer quatre paramètres
inconnus. Le degré de liberté est :
---------------------- Page: 12 ----------------------
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0 ISO
L’écart-type de l’angle zénithal d’une série d’observations no k, observé une fois en position faciale, est :
Pour l’écart-type s. calculé à partir de toutes les séries d’observations, le degré de liberté est :
f =hfk =32
et l’écart type du poids volumique :
L’écart-type d’un angle vertical observé une fois, dans les deux positions faciales, calculé à partir de toutes
les séries d’observations, est :
SO
sIso-THEo-v = -
IE
5.2.5 Essais statistiques
Pour interpréter les résultats, il convient d’effectuer des essais statistiques au moyen de :
- l’écart-type s. d’un angle vertical observé dans une position faciale,
- l’orientation o du cercle vertical,
pour pouvoir répondre aux questions suivantes.
A) L’écart-type calculé s,,,,,, V est-il inférieur à la valeur 0 mentionnée par le fabricant ou inférieur à une
-
autre valeur prédéterminée CT ?
B) Les deux écarts-types S, et s,, déterminés à partir de deux échantillons de mesure différents,
appartiennent-ils à la même population, en supposant qu’ils ont le même degré de libertéf?
Les écarts-types S, et S, peuvent être obtenus à partir de :
- deux séries de mesures avec le même instrument et des observateurs différents ;
- deux séries de mesures avec le même instrument, à des moments différents ;
- deux séries de mesures avec des instruments différents.
C) L’orientation 0 est-elle égale à zéro ?
Tableau 2 - Essais statistiques
Question Hypothèse nulle Autre hypothèse
I I
I 1. I - I 7
I Cl o=o I o#O
I
.
Pour les essais suivants, on suppose le niveau de confiance égal à 1 - a = 0,95 et un degré de libertéf= 32,
fonction du type de mesurage.
---------------------- Page: 13 ----------------------
0 ISO
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déterminé de façon empirique, est inférieur ou
A) L’hypothèse nulle, d’après laquelle l’écart-type ~~~~~~~~~~
égal à une valeur 0, théorique ou prédéterminée, n’est pas rejeté à partir du moment où la condition
suivante est remplie :
2
XfJ-a
SO SQ*
f
d
2
x
32; 0,95
SO Iao-
32
d
Sinon, l’hypothèse nulle est rejetée.
B) Dans le cas de deux échantillons différents’ no 1 et no 2, un essai indique si les écarts-types estimés S,
et s,appartiennent à la même population. L’hypothèse nulle correspondante, CT, = CT,, n’est pas rejetée si la
condition suivante est remplie :
2
1
s1
-
fbf291-$
F
< s;
hf2J$
1
F
32;32; 0,975
2
SI
0,49 c yj- < 2,02
s2
Sinon, l’hypothèse nulle est rejetée.
C) L’hypothèse d’après laquelle l’orientation o est égale à zéro n’est pas rejetée si la conditions suivante
est remplie :
1015 SO ’ t a
--
>
fi
2
loi s s. l t32;0,975
t32;0,975 = 2~04
0 5-0 SO 2,04
I I
J12
Sinon, l’hypothèse nulle est rejetée.
Le degré de liberté varie ainsi que les valeurs d’essai correspondantes xf l-a, Ff f l-a/2 et Cf 1-a/2
(provenant de manuels de référence sur les statistiques) à partir du moment où un ‘nombre différent
d’observations est analysé.
10
---------------------- Page: 14 ----------------------
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Annexe A
(informative)
Exemples de calcul
A.1 Directions horizontales
A.1 .l Observations
Pour la série d’observations no 1, les directions horizontales avec deux théodolites de types différents
(désignés par A et B) sont indiquées aux tableaux 2 et 3.
Tableau A.1 - Exemple d’observations sur site et d’évaluations pour des théodolites
de type A
.
r’i j
> d C. c2
J
4.i bJ* i,j
I
I II I II II I II I II II
0 0 0 0 0
L
00,o
1 28 12 37 208 12 42 28 12 39,5 0 00 00,o 0 00 0,o 0.1
2 83 50 35 263 50 40 83 50 37,5 55 37 58,0 55 38 00,3 2,3 5.76
2.4
3 141 45 30 321 45 35 141 45 32,5 113 32 53,0 113 32 50,8 -2,2 -2,l 4,41
9,5
4 219 30 49 39 30 50 219 30 49,5 19% 18 lO,O 191 18 -0,5 0.16
-094
5 -308 26 31 J28 26 33 .308 26 32,0 280 13 52,5 280 13 52,5 0,O 0.01
0.1
-0.4
091
1 87 48 51 267 48 55 87 48 53,0 0 00 00,o
-197 239
2 143 26 52 323 26 51 143 26 51,5 55 37 58,5 0.01
091
21 44,0 113 32 51,0
3 201 21 41 21 21 47 201 -1,9 3.61
OI 06 59 279 07 00,O 191 18 07,O 2.5
4 279 07 99 098
0964
5 8 02 42 188 02 40 8 02 41,0 280 13 48,0 2,8 7.84
43
P
8.6
091
00,o
3 1 147 08 13 327 08 08 147 08 10,5 0 00 0.0 2,89
197
55 38 04,5 -4,2
2 202 46 17 22 46 13 202 46 15,0
-295 6925
3 260 41 OI 80 40 57 260 40 59,0 113 32 48,5 16.00
2.3 40
4 338 26 24 158 26 20 338 26 22,0 191 18 Il,5 -2.0 0.09
-093
5 67 22 07 247 22 08 67 22 07,5 280 13 57,0 7,84
-495 -298
c -8,4 58.41
0’1
NC TE - Les séries d’observations no 2, 3 et 4 n’ont pas été imprimées.
---------------------- Page: 15 ----------------------
ISO 12857-2: 1997(F)
0 ISO
Tableau A.2 - Exemple d’observations sur site et d’évaluations pour des théodolites
de type B
.
r r
r r’i j F d c. c2
j 1
wJ wJ l,j > 4j bj Li
gon gon gon gon
gon mgon mgon mgon2
1 1 310,475 110,470 310,472 0,000 0,000 0 -2 4
2 366,131 166,126 366,128 55,656 55,655 -1 -3 9
3 30,481 230,477 30,479 120,007 120,006 -1 -3 9
4 98,878 298,872 98,875 188,403 188,405 2 0 0
5 210,347 10,341 210,344 299,872 299,880 8 6 36
c 8 -2
2 1 376,749 176,744 376,746 0,000 0 1 1
2 32,403 232,398 32,400 55,654 a 2 4
1 2 4
3 96,753 296,749 96,751 120,005
4 165,154 365,148 165,151 188,405 0 1 1
5 276,638 76,630 276,634 299,888 -8 -7 49
c -6 -1
31 42,049 242,044 42,046 0,000 0 0 0
297,700 97,702 55,656 -1 -1 1
2 97,705
3 162,056 362,050 162,053 120,007 -1 -1 1
4 230,454 30,449 230,452 188,406 -1 -1 1
/
299,879 1 1 1
5 341,929 141,921 341,925
c -2 -2 121
NOTE - Les séries d'observations no 2,3 et4 n'ont pas été imprimées.
A.l.2 Résultats
Résultats de la série d’observations no 1 pour les théodolites de type A (voir tableau A.l) :
cc, = 58,41 (“)2
lère série d’observations : s,= 2,7"
2ème série d’observations : S, = 2,O”
3ème série d’observations :
S, = 1,6”
4ème série d’observations : s4 = 2,3”
w4 x 1” = 2 y
SO= -
9
d 4
II
22
SISCHHEO-HZ = ’
Résultats de la série d’observations no 1 pour les théodolites de type B (voir tableau A.2) :
CC,= 121 mgon2
121
s, =
- mgon = 3,9 mgon
d 8
12
---------------------- Page: 16 ----------------------
43 ISO
ISO12857-2:1997( F)
Ière série d’observations : s,= 3,9”
2ème série d’observations : sz = 2,7”
3ème série d’observations : s, = 3,l”
4ème série d’observations : Sd = 1,7”
35,0
SO = - mgon = 3,0 mgon
4
ll
= 3,0 mgon
SISO-MEO-HZ
A.l.3 Essais statistiques
Exemple d’essai répondant à la question A) for un théodolite de type A :
ao” 2,O”
2,2 I 2,O” x 1,20
Si cette inégalité est vraie, l’hypothèse nulle mentionnant que l’écart-type déterminé de façon empirique, s. =
2,2 mm, est inférieur ou égal à la valeur indiquée par le fabricant, o0= 2,O” n’est pas rejetée.
Exemple d’essai répondant à la question B) for un théodolite de type B :
5 = 3,0 mgon
S 2 = 1,9 mgon
049 9 < - 9900mgon2 3,Ol mgon2 5 202 '
0,49 5 2,49 I 2,02
Si cette inégalité n’est pas vraie, l’hypothèse nulle mentionnant que les écarts-types s,= 3,0 mgon et S, = 1,9
mgon appartiennent à la même population s’ils sont obtenus de la même manière à partir de mesurages
effectués avec le même instrument, à des moments différents, est rejetée.
A.2 Angles verticaux
A.2.1 Observations
Pour la série d’observations no 1, les résultats de mesure de douze angles zénithaux sont donnés par deux
types de théodolites (désignés comme A et B) aux tableaux A.3 et A.4.
Tableau A.3 - Exemple d’observations sur site pour le théodolite de type A
i hi 2. z
i. II
cm gon
gon
1 295 85,511 314,481
91,678 308,321
2 245
3 195 98,005 301,993
4 145 104.368 295.626
5
95 110,640 289,355
6 45 116,720 283,280
NOTE - Les séries d’observations no 2, 3 et 4 n’ont pas été
imprimées.
.
13
---------------------- Page: 17 ----------------------
0 ISO
ISO 12857-2: 1997(F)
Tableau A.4 - Exemple d’obsewations sur site pour le théodolite de type B
2 2
i. 1 i. II
I 1 1 295 1 85O 04'41.0" 1 274O 56'41.8" 1
245 86' 58' 33,9" 273O 02'45,7"
2
3 195 88O 52'55,2" 271° 08'24,7"
I 4 1 145 1 90° 47'26,3" 1 269O 13' 52,7" 1
95 1 92O 41'48.9" 1 267O 19'31.0" 1
I 5 I
6 I 45 1 94O 35'53,8" 1 265O 25'29,7"
NOTE - Les séries cl’ohsetvations no 2. 3 et 4 n'ont pas été imtximées.
A.2.2 Résultats
Résultats pour la série d’observations no 1 pour le théodolite de type A (voir tableau A.3):
Valeurs approximatives des paramètres X, et x2:
- hauteur de l’axe d’inclinaison x,’ = 179 cm
- distance O= 500cm
X2
Matrices et vecteurs des équations d’observations linéarisées :
'12,0821 2,803O 12,9889‘ '2,3835' -3,1835'
12,5143 1,6519 6,3572 3,3078 -3,4078
12,7194 0,407O 1,2467 4,1488 -4,3488
A= II =
III =
12,6738 -0,8618 -1,9629 4,564O -5,164O
12,3829 -2,0803 -3,1044 4,3738 -4,8738
11,8792 -3,1836 -2,2504 5,0316 -5,0316
I
Equations normales :
12 0 = 2,200 (0 en cgon)
1838,88959 -29,57151 324,58909 616,73206
-29,57151 5191378 125,46167, x=
-29,50225
324,58909 125,46167 458,46870 55,146Ol
i 1
1
Inconnues d’ajustement et CC :
0
= + 0,1833333 cgon
dx = +0,3417051 cm
1
dx2 = -0,2352838 cm
x3 =
- 0,0572529
wn
CC = 215,51003 cgon2 - 0,40333 cgon2 - 214,52462 cgon’ = 0,58208 cgon2
Résultat de la série no 1 :
o, = 1,8 mgon
1.1 = 179,34 cm
X
X 2.1 = 499,76 cm
X 3.1 =-57,3 mgon
14
---------------------- Page: 18 ----------------------
0 ISO
ISO 12857=2:1997(F)
= 58,21 mgon2
CC1
mgon
s, = 2,7
1 Ale série d’observations : S, = 2,7 mgon; O, = 1,8 mgon
28” série d’observations : s2 = 2,l mgon; 0, = 2,0 mgon
S, = 1,3 mgon; 0, = 1,7 mgon
3- série d’observations :
s4 = 1,8 mgon; o4 = 2,2 mgon
4*m série d’observations :
16,6
SO = - mgon = 2,04 mgon
4
d
77
0 = - mgon = 1,9 mgon
4
S,SC)mmEO - V = ' 144 mgon
Résultats pour la série d’observations no 1 pour le théodolite de type B (voir tableau A.4):
Valeurs approximatives des paramètres xl et x2:
- hauteur de l’axe d’inclinaison xl0 = 165 cm
xz” = 1500 cm
- distance
Matrices et vecteurs des équations d’observations linéarisées :
'22747 0,1971 lOISO
'18788‘ -0,4988
2,2853 0,1219 0,5212
17380 -0,4113
22909 0,045s 0,1559 16658 -0,334l
A= 1, = 1, =
22914 -0,0306 -0,0773 16044 -0,2878
15031 -0J715
2,2869 -0,1067 -0,1769
14614 -0,0697
22773 -0,1822 -0,143l
,
Equations normales :
120= - 8,0783 (0 en ‘)
62,62320 0,20558 5,89902 26,55390
=
0,20558 0,20265 0,63609 X 0,30667 .
5,89902 0,63609 2,76785 3,18366
Inconnues de l’ajustement et CC :
0
= a,6731916 ’
dx = +0,4173667 cm
1
dx = +0,9745900 cm
2
= +0,0367355 O
X3
cc = 16,94121 (')2 - 5,43824 (')2 - Il,49855 (')2 = 0,00442 (')2
Résultats de la série no 1 :
I
0, = - 0,67
x L1 = 165,4
...
NORME ISO
INTERNATIONALE 12857-2
Première Édition
1997-08-l 5
Optique et instruments d’optique -
Instruments géodésiques - Méthodes de
détermination sur site de la précision -
Partie 2:
Théodolites
Optics and optical instruments - Geodetic instruments - Field
procedures for determining accuracy -
Part 2: Theodolites
Numéro de référence
ISO 12857-2: 1997(F)
---------------------- Page: 1 ----------------------
ISO 12857-2: 1997(F)
Page
Sommaire
Introduction
1
.........................................................................................................................
1 Domaine d’application
1
........................................................................................................................
2 Références normatives
1
Définitions .
3
1
4 Généralités .
2
Techniques .
5
2
.................................................................................................
51 . Mesurage des directions horizontales
5
...........................................................................................................
52 . Mesurage des angles verticaux
Annexes
11
..,....***.........................................,....~..~....................,.............................................
A Exemples de calcul
17
..*...........................
B Exemple de programme informatique adapté aux calculs, conformément à 5.2.4
0 ISO 1997
Droits de reproduction réservés. Sauf prescription différente, aucune partie de cette
publication ne peut être reproduite ni utilisée sous quelque forme que ce soit et par aucun
procede, electronique ou mécanique, y compris la photocopie et les microfilms, sans l’accord
Ecrit de I’editeur.
Organisation internationale de normalisation
Case postale 56 l CH-121 1 Genève 20 l Suisse
Internet central @ iso.ch
x.400 c=ch; a=400net; p=iso; o=isocs; s=central
Imprime en Suisse
---------------------- Page: 2 ----------------------
0 ISO ISO 12857-2: 1997(F)
Avant-propos
L’ISO (Organisation internationale de normalisation) est une fédération mondiale d’organismes
nationaux de normalisation (comités membres de I’ISO). L’élaboration des Normes internationales
est en général confiée aux comités techniques de I’ISO. Chaque comité membre intéressé par une
étude a le droit de faire partie du comité technique créé à cet effet. Les organisations
internationales, gouvernementales et non gouvernementales, en liaison avec I’ISO participent
également aux travaux. L’ISO collabore étroitement avec la Commission électrotechnique
internationale (CEI) en ce qui concerne la normalisation électrotechnique.
Les projets de Normes internationales adoptés par les comités techniques sont soumis aux comités
membres pour vote. Leur publication comme Normes internationales requiert l’approbation de 75 %
au moins des comités mambres votants.
La Norme internationale ISO 12857-2 a été élaborée par le comité technique ISOTTC 172, Optique
et instruments d’optique, sous-comité SC 6, Instruments géodésiques et et d’obsewation.
L’ISO 12857 comprend les parties suivantes, présentées sous le titre général Optique et
instruments d’optique - Instruments géodésiques - Méthode de détermination sur site de la
précision :
- Partie 1 : Niveaux
Partie 2 : Théodolites
-
Partie 2 : Télémètres électro-optiques (instruments MED)
-
Les annexes A et B de la présente partie de I’ISO 12857 sont données uniquement à titre
d’information.
. . .
III
---------------------- Page: 3 ----------------------
Page blanche
---------------------- Page: 4 ----------------------
NORME INTERNATIONALE @ ISO ISO 12857-2: 1997(F)
Optique et instruments d’optique - Instruments géodésiques -
Méthodes de détermination sur site de la précision -
Partie 2 :
Théodolites
1 Domaine d’application
La présente partie de I’ISO 12857 spécifie des techniques sur site à adopter pour déterminer et évaluer la
précision des théodolites utilisés pour la surveillance.
Ces essais sont destinés à avoir un caractère opérationnel et ce ne sont ni des essais d’acceptation, ni des
essais de performance.
Les techniques sont appliquées pour déterminer la précision de différents instruments en une seule fois, ou
celle d’un seul instrument en plusieurs fois.
Les techniques sur site peuvent être appliquées n’importe où, sans nécessiter d’équipement particulier ; elles
sont conçues pour limiter les influences atmosphériques.
NOTE - D’autres Normes internationales sur les essais des instruments de mesure dans le domaine de la construction
immobiliaire sont disponibles.
2 Références normatives
Les normes suivantes contiennent des dispositions qui, par suite de la référence qui en est faite, constituent
des dispositions valables pour la présente norme internationale. Au moment de la publication, les éditions
indiquées étaient en vigueur. Toute norme est sujette à révision et les parties prenantes des accords fondés
sur la présente norme internationale sont invitées à rechercher la possibilité d’appliquer les éditions les plus
récentes des normes indiquées ci-après. Les membres de la CEI et de I’ISO possèdent le registre des
normes internationales en vigueur à un moment donné.
ISO 3534-1 :1993, Statistique - Vocabulaire et symboles - Parlie 1 : Probabilité et termes
statistiques généraux.
ISO 9849:1991, Optique et instruments d’optique - Instruments géodésiques - Vocabulaire.
3 Définitions
Pour les besoins de la présente partie de I’ISO 12857, les termes et définitions donnés dans I’ISO 3534-l et
I’ISO 9849 s’appliquent.
4 Généralités
L’état de réglage par l’utilisateur du théodolite et de l’équipement auxiliaire associé, doit être connu et
acceptable, et doit correspondre aux méthodes spécifiées dans les manuels de l’utilisateur.
---------------------- Page: 5 ----------------------
ISO 12857-2: 1997(F) 0 ISO
La précision des théodolites est exprimée en termes d’écart-type d’une direction horizontale (HZ), observée
dans les deux positions faciales du télescope, ou d’angle vertical (V) observé en une fois dans les deux
positions faciales du télescope.
Les méthodes d’essai indiquées dans la présente partie de I’ISO 12857 ont pour but de déterminer I’écat-t-
ou s
type s ISO-THEO-HZ ISO-THEO-V’
II convient d’appliquer les essais statistiques afin de déterminer si l’écart-type s obtenu appartient à la
population de l’écart-type d’instrumentation, si deux échantillons essayés appartiennent à la même population
ou si l’indice de correction o du cercle vertical est égal à zéro.
5 Techniques
5.1 Mesurage des directions horizontales
5.1.1 Généralités
Les techniques sur site suivantes doivent être adoptées afin de déterminer la précision des théodolites pour
des directions horizontales, mesurée par une seule équipe de surveillance avec un seul instrument et son
équipement annexe.
Les résultats d’essai sont influencés par les conditions météorologiques. Ces conditions comprennent les
différences au niveau de la température de l’air et de la pression, de la vitesse du vent, de la couverture
nuageuse et de la visibilité. Un ciel couvert garantit les conditions atmosphériques les plus favorables. Les
résultats obtenus à partir d’essais en laboratoire ne seraient pratiquement pas affectés par une influence
atmosphérique ; cependant, ils présentent un coût élevé et ne sont pas pratiques pour la plupart des
utilisateurs.
5.1.2 Configuration d’essai
Cinq cibles, distantes de 100 m et 250 m, doivent être placées approximativement sur le même plan que
l’instrument, à intervalles les plus réguliers possible par rapport à l’horizon. II faut utiliser des cibles qui
puissent être observées sans erreur, de préférence des plaques.
1
0
Position de I’instrument-
0
l
Cibles
0
Figure 1 - Configuration d’essai
---------------------- Page: 6 ----------------------
0 ISO
ISO 12857.2: 1997(F)
5.1.3 Observations
Quatre séries d’observations doivent être effectuées, dans des conditions climatiques variées mais sans
atteindre d’extrême. Chaque série d’observations (k) doit comporter trois jeux de directions 0’) vers les cinq
cibles (i).
Dans chacun des jeux, les cinq cibles doivent être observées en position 1 face au télescope dans le sens
des aiguilles d’une montre (l), (2), (3), (4), (5) et en position Il face au télescope dans le sens contraire aux
aiguilles d’une montre (5), (4), (3), (2), (1). Le cercle gradué doit être changer en position 60° (67 gon) après
chaque jeu. S’il est impossible de faire effectuer au cercle gradué une rotation physique, par exemple pour
des théodolites électroniques, on peut faire subir à la partie inférieure du théodolite une rotation d’environ
120’ (133 gon) sur le trépied.
5.1.4 Calculs
L’évaluation des valeurs mesurées correspond à un ajustement des équations d’observation. Dans une série
d’observations, de nombre k, chaque direction est indiquée par ri i I ou rj i II,
l’indice i correspondant à la cible
et l’indice j au numéro du jeu. 1 et II correspondent à la position faciale du télescope. Chaque série
d’observations est évaluée séparément.
On calcule les valeurs moyennes des relevés
~jI+~,j,II+200gon ; i = 1
1 j
q,j = 9 2 9 3 9 4 9 5 . 9 j = 1, 2, 3
2
dans les deux positions faciales du télescope, 1 et II. Si on se limite à la cible no 1, on obtient les résultats
suivants :
I
r i,j = ri,j - rl,j; i = 1, 2, 3, 4, 5 ; j = 1, 2, 3
Les valeurs moyennes correspondant aux directions résultant des trois jeux, pour la cible no i, sont les
suivantes :
r’i,l +r)i,* +‘li,3
+
3 ; i = 1, 2, 3, 4, 5
A partir des différences
.=
de l,J j: -r’i , j ; i = 1, 2, 3, 4, 5 ; j = 1, 2, 3
on obtient, pour chaque jeu d’observations, la moyenne arithmétique suivante :
d,,j +dz,j + d3Jj +d4J +d5J
zj =
= 1,u
; j
5
d’où résultent les corrections :
-Jj =
da 1, 2, 3, 4, 5; j = 1, 2, 3
ci,j = l,j
Aux erreurs d’arrondi près, chaque jeu doit remplir la condition suivante :
5
Cij=O; j = 1,2,3
c I
i=l
La somme par carrées des corrections de la série d’observations no k est égale à :
---------------------- Page: 7 ----------------------
ISO 12857-2: 1997(F)
j=li=l
Pour les trois jeux de directions vers les cinq cibles, le degré de liberté est, dans chacun des cas :
fk =(3-1)‘(5-1)=8
et l’écart-type d’une direction ri j pour la série d’observations no k, dans un jeu, est le suivant :
* ,
D’après la présente partie de I’ISO 12857, l’écart-type S, d’une direction horizontale observé dans un jeu
(moyenne arithmétique des relevés dans les deux positions faciales du télescope) et calculé pour les quatre
séries d’observations’ avec un degré de liberté
j-=4; fk=32
s’élève à :
ccck
k=l
32
5.1.5 Essais statistiques
Pour interpréter les résultats, il convient d’effectuer des essais statistiques au moyen de l’écart-type S, d’une
direction horizontale observée dans un jeu d’essai, pour pouvoir répondre aux questions suivantes.
A) L’écart-type calculé s,,,,,, HZ est-il inférieur à la valeur o0 mentionnée par le fabricant ou inférieur à une
-
autre valeur prédéterminée o,?
B) Les deux écarts-types S, et ~2, déterminés à partir de deux échantillons de mesure différents,
appartiennent-ils à la même population, en supposant qu’ils ont le même degré de libertéf?
Les écarts-types S, et ~2 peuvent être obtenus à partir de :
- deux séries de mesures avec le même instrument et des observateurs différents ;
- deux séries de mesures avec le même instrument, à des moments différents ;
- deux séries de mesures avec des instruments différents.
Tableau 1 - Essais statistiques
Question Hypothèse nulle
Autre hypothèse
A s SO
s >o
0 0 0 0
B
O=CT O#CT
1 2 12
Pour les essais suivants, on suppose le niveau de confiance égal à 1
- a = 0,95 et un degré de liberté f = 32,
en fonction du type de mesurage.
4
---------------------- Page: 8 ----------------------
0 ISO
ISO 12857-2: 1997(F)
L’hypothèse nulle, d’après laquelle l’écart-type s,, déterminé de façon empirique, est inférieur ou égal à
A)
une valeur 00, théorique ou prédéterminée, n’est pas rejeté à partir du moment où la condition suivante est
remplie :
2
-a
Xfl >
50 -
sO 0
i f
2
x32,0,95
sO 50 0
32
2
x32; 0,95 = 46,1 g
5 a0 *1,20
sO
Sinon, l’hypothèse nulle est rejetée.
B) Dans le cas de deux échantillons différents, no 1 et no 2, un essai indique si les écarts-types estimés S, et
S, appartiennent à la même population. L’hypothèse nulle correspondante, O, = CT,, n’est pas rejetée si
la condition suivante est remplie :
1
SF
<
32-O 9 9 975
F32; 32; 0,975 2 < F32° 1
s2
F32; 32; 0,975 = 2,02
2
0,49 < 2 < 2,02
$2
Sinon, l’hypothèse nulle est rejetée.
Le degré de liberté varie ainsi que les valeurs d’essai correspondantes, $f; 1-a et Ff1 f2; +a/2 (provenant de
. 1.
manuels de statistiques de référence) à partir du moment où un nombre différent d’observations est analysé.
52 . Mesurage des angles verticaux
5.2.1 Généralités
Les techniques sur site suivante doivent être adoptées afin de déterminer la précision des théodolites pour
les angles verticaux mesurés par une seule équipe de surveillance avec un seul instrument et son
équipement annexe.
Les résultats d’essai sont influencés par les conditions météorologiques : différences au niveau de la
température de l’air et de la pression, de la vitesse du vent, de la couverture nuageuse et de la visibilité. Un
ciel couvert garantit les conditions atmosphériques les plus favorables. Les résultats obtenus à partir d’essais
en laboratoire ne seraient pratiquement pas affectés par une influence atmosphérique ; cependant, ils
présentent un coût élevé et ne sont pas pratiques pour la plupart des utilisateurs.
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0 ISO
ISO 12857-2: 1997(F)
5.2.2 Configuration d’essai
Une mire graduée en invar doit être installée verticalement, dans une position fixe, au moyen d’étais, à
chaque série d’observations. Pour les essais d’un théodolite présentant une résolution de 3” (1 mgon), il est
recommandé que la distance X, soit environ égale à 5 m ; si leur résolution est de 1” (0,3 mgon), il est
recommandé qu’elle soit d’environ 15 m (voir figure 2).
Figure 2 - Configuration d’essai
5.2.3 Observations
II faut effectuer un total de quatre séries d’observations dans des conditions climatiques variées mais sans
extrêmes. La différence de hauteur entre l’instrument et la mire doit varier afin de couvrir une plus grande
plage du cercle vertical.
Chaque série d’observations (k) doit comporter douze mesures des angles verticaux (angle zénithal)
correspondant à six lignes de graduation (i) sur la mire invar, six angles en position faciale I et six angles
position faciale Il du télescope. Les lignes de graduation doivent être espacées régulièrement sur la mire et
les visions proches du sol doivent être évitées.
5.2.4 Calculs
Les évaluations des angles mesurés correspondent à un ajustement des équations d’observation. dans une
série d’observations no k, un angle zénithal est noté z,., I ou z,., II,
l’indice i étant la ligne de graduation. 1 et II
indiquent la position faciale du télescope. Chaque série d’observations est évaluée séparément.
NOTE - Pour faciliter les calculs, un programme informatique adapté est donné en annexe B de la présente partie de
I’ISO 12857.
Toutes les distances sont calculées en centimètres. Les unités des observations z dépendent du type de
théodolite. Si les relevés sont exprimés en grades (son), on considère que p = 200 go&. S’ils sont exprimés
en degrés hexadécimaux (O), on considère que p = 180°/?t.
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Les équations d’observations non linéaires d’ajustement correspondent à des mesures en position faciale 1
Zi 1 + Ci,1 * 0 = p (:--arctan( ~~~~~~jf~~)); i = 1, . . . ,6
#
et à des mesures en position faciale II
[‘il+arc~an(~~~~~~~~~~)]; i= 1, . . . ,6.
Zi,I + Ci,1 + 0 = p
o est l’orientation inconnue du cercle vertical (correction d’indice) ;
X, est la hauteur de l’axe d’inclinaison du théodolite, par rapport au point zéro de la mire graduée ;
x2 est la distance entre le théodolite et la mire graduée ;
x3 est l’inclinaison de la mire graduée par rapport à la direction verticale (angle entre le zénith et la mire
graduée, cet angle devant être le même pour une série complète d’observations).
Le modèle fonctionnel n’étant pas linéaire avec les trois paramètres inconnus X, , x2 et x3, il est nécessaire de
déterminer des valeurs approximatives x,’ et x2’.
La valeur approximative de x3 est zéro. II convient de
mesurer x,’ et x2’ directement. Sinon, ils peuvent l’être par mesurage facial I par rapport à la ligne supérieure
h, et la ligne inférieure h, de graduation :
(h, - h6) l Sh z1,1
X7 = h6 - cosz6,J l
sinfz6,1 - zl,I )
(h, - h6). Sh qI
0
= sin te,1 l
x2
sin(z6,1 - zl,I )
Pour obtenir des équations normales avec les unités appropriées, utiliser unn facteur d’échelle fa dans les
équations d’observation linéarisées suivantes, pour les deux angles, par rapport à la ligne de graduation no i ;
pour les grades,fa = 100 et pour les degrés hexadécimaux,fa = 60 :
-0 + ai,ldXj + ai,2dX2 - ai,3 X3 - li,I
ci,I =
ci,II = -O - ai,lhl - ai,2dlc2 - ai,3x3 - 4,II
où
0
X2
=p*
l fa
ai,l
(hi - XF)2 + (Xi)2
hi -xy
=p.
ai,2 ’ fa
(hi - Xf)' + (Xi)2
hi l ai 2
=A
ai,3
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0
=x1 +dr,
x1
0
=x2 +dx2
x2
Les équations normales sont constituées à partir des douze équations d’obsewation. Si les observations
dans les deux positions faciales du télescope ont été considérées en symétrie, le système est composé de
deux parties distinctes :
6
i20=-C(li, +ZiII)
1 #
i=l
2ATA-x = AT(II -III)
Elles déterminent les quatre paramètres :
l6
=a-
0
C (4 1 + 4 II J
12izl ' '
0
&l “1
1
-7 1
+ ak2 = xg - A (1, - l,,)
+ (2A A)
0
x3
1
L II
La graduatior avec fa indique o en cgon ou en (‘), d X, et d x2 en centimètres, X, en grades (gon) ou en degrés
0
.
0
La somme carrée CC~ des corrections de séries no k pour déterminer l’écart-type sk est calculée de deux
façons différentes, donnant ainsi une vérification efficace.
T T
CCk = (1, ’ 1, + 11, l 11,) - 120 2 -(I; -I;)Ax
Les termes de l’équation sont exprimés en cgon ou en (‘).
Sinon, à partir des équations de base non linéaires, ci I et C, II sont calculés pour i = 1,.,6, mis au carré et
,
ajoutés :
hi sCOSx3 -Xl
= p. % - arctan - 0 - Zi,I
ci,I
~2 +hi *siru
(
37r hi l COSx3 -Xl
=p.
ci, II - O - zi,II
2 + arctan ~2 +hi *siru
2 2
CCk =
ci,I + ci,II
Aux erreurs d’arrondi près, il convient d’obtenir des résultats identiques.
Chaque série d’observations comporte douze mesures permettant de déterminer quatre paramètres
inconnus. Le degré de liberté est :
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0 ISO
L’écart-type de l’angle zénithal d’une série d’observations no k, observé une fois en position faciale, est :
Pour l’écart-type s. calculé à partir de toutes les séries d’observations, le degré de liberté est :
f =hfk =32
et l’écart type du poids volumique :
L’écart-type d’un angle vertical observé une fois, dans les deux positions faciales, calculé à partir de toutes
les séries d’observations, est :
SO
sIso-THEo-v = -
IE
5.2.5 Essais statistiques
Pour interpréter les résultats, il convient d’effectuer des essais statistiques au moyen de :
- l’écart-type s. d’un angle vertical observé dans une position faciale,
- l’orientation o du cercle vertical,
pour pouvoir répondre aux questions suivantes.
A) L’écart-type calculé s,,,,,, V est-il inférieur à la valeur 0 mentionnée par le fabricant ou inférieur à une
-
autre valeur prédéterminée CT ?
B) Les deux écarts-types S, et s,, déterminés à partir de deux échantillons de mesure différents,
appartiennent-ils à la même population, en supposant qu’ils ont le même degré de libertéf?
Les écarts-types S, et S, peuvent être obtenus à partir de :
- deux séries de mesures avec le même instrument et des observateurs différents ;
- deux séries de mesures avec le même instrument, à des moments différents ;
- deux séries de mesures avec des instruments différents.
C) L’orientation 0 est-elle égale à zéro ?
Tableau 2 - Essais statistiques
Question Hypothèse nulle Autre hypothèse
I I
I 1. I - I 7
I Cl o=o I o#O
I
.
Pour les essais suivants, on suppose le niveau de confiance égal à 1 - a = 0,95 et un degré de libertéf= 32,
fonction du type de mesurage.
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0 ISO
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déterminé de façon empirique, est inférieur ou
A) L’hypothèse nulle, d’après laquelle l’écart-type ~~~~~~~~~~
égal à une valeur 0, théorique ou prédéterminée, n’est pas rejeté à partir du moment où la condition
suivante est remplie :
2
XfJ-a
SO SQ*
f
d
2
x
32; 0,95
SO Iao-
32
d
Sinon, l’hypothèse nulle est rejetée.
B) Dans le cas de deux échantillons différents’ no 1 et no 2, un essai indique si les écarts-types estimés S,
et s,appartiennent à la même population. L’hypothèse nulle correspondante, CT, = CT,, n’est pas rejetée si la
condition suivante est remplie :
2
1
s1
-
fbf291-$
F
< s;
hf2J$
1
F
32;32; 0,975
2
SI
0,49 c yj- < 2,02
s2
Sinon, l’hypothèse nulle est rejetée.
C) L’hypothèse d’après laquelle l’orientation o est égale à zéro n’est pas rejetée si la conditions suivante
est remplie :
1015 SO ’ t a
--
>
fi
2
loi s s. l t32;0,975
t32;0,975 = 2~04
0 5-0 SO 2,04
I I
J12
Sinon, l’hypothèse nulle est rejetée.
Le degré de liberté varie ainsi que les valeurs d’essai correspondantes xf l-a, Ff f l-a/2 et Cf 1-a/2
(provenant de manuels de référence sur les statistiques) à partir du moment où un ‘nombre différent
d’observations est analysé.
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Annexe A
(informative)
Exemples de calcul
A.1 Directions horizontales
A.1 .l Observations
Pour la série d’observations no 1, les directions horizontales avec deux théodolites de types différents
(désignés par A et B) sont indiquées aux tableaux 2 et 3.
Tableau A.1 - Exemple d’observations sur site et d’évaluations pour des théodolites
de type A
.
r’i j
> d C. c2
J
4.i bJ* i,j
I
I II I II II I II I II II
0 0 0 0 0
L
00,o
1 28 12 37 208 12 42 28 12 39,5 0 00 00,o 0 00 0,o 0.1
2 83 50 35 263 50 40 83 50 37,5 55 37 58,0 55 38 00,3 2,3 5.76
2.4
3 141 45 30 321 45 35 141 45 32,5 113 32 53,0 113 32 50,8 -2,2 -2,l 4,41
9,5
4 219 30 49 39 30 50 219 30 49,5 19% 18 lO,O 191 18 -0,5 0.16
-094
5 -308 26 31 J28 26 33 .308 26 32,0 280 13 52,5 280 13 52,5 0,O 0.01
0.1
-0.4
091
1 87 48 51 267 48 55 87 48 53,0 0 00 00,o
-197 239
2 143 26 52 323 26 51 143 26 51,5 55 37 58,5 0.01
091
21 44,0 113 32 51,0
3 201 21 41 21 21 47 201 -1,9 3.61
OI 06 59 279 07 00,O 191 18 07,O 2.5
4 279 07 99 098
0964
5 8 02 42 188 02 40 8 02 41,0 280 13 48,0 2,8 7.84
43
P
8.6
091
00,o
3 1 147 08 13 327 08 08 147 08 10,5 0 00 0.0 2,89
197
55 38 04,5 -4,2
2 202 46 17 22 46 13 202 46 15,0
-295 6925
3 260 41 OI 80 40 57 260 40 59,0 113 32 48,5 16.00
2.3 40
4 338 26 24 158 26 20 338 26 22,0 191 18 Il,5 -2.0 0.09
-093
5 67 22 07 247 22 08 67 22 07,5 280 13 57,0 7,84
-495 -298
c -8,4 58.41
0’1
NC TE - Les séries d’observations no 2, 3 et 4 n’ont pas été imprimées.
---------------------- Page: 15 ----------------------
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0 ISO
Tableau A.2 - Exemple d’observations sur site et d’évaluations pour des théodolites
de type B
.
r r
r r’i j F d c. c2
j 1
wJ wJ l,j > 4j bj Li
gon gon gon gon
gon mgon mgon mgon2
1 1 310,475 110,470 310,472 0,000 0,000 0 -2 4
2 366,131 166,126 366,128 55,656 55,655 -1 -3 9
3 30,481 230,477 30,479 120,007 120,006 -1 -3 9
4 98,878 298,872 98,875 188,403 188,405 2 0 0
5 210,347 10,341 210,344 299,872 299,880 8 6 36
c 8 -2
2 1 376,749 176,744 376,746 0,000 0 1 1
2 32,403 232,398 32,400 55,654 a 2 4
1 2 4
3 96,753 296,749 96,751 120,005
4 165,154 365,148 165,151 188,405 0 1 1
5 276,638 76,630 276,634 299,888 -8 -7 49
c -6 -1
31 42,049 242,044 42,046 0,000 0 0 0
297,700 97,702 55,656 -1 -1 1
2 97,705
3 162,056 362,050 162,053 120,007 -1 -1 1
4 230,454 30,449 230,452 188,406 -1 -1 1
/
299,879 1 1 1
5 341,929 141,921 341,925
c -2 -2 121
NOTE - Les séries d'observations no 2,3 et4 n'ont pas été imprimées.
A.l.2 Résultats
Résultats de la série d’observations no 1 pour les théodolites de type A (voir tableau A.l) :
cc, = 58,41 (“)2
lère série d’observations : s,= 2,7"
2ème série d’observations : S, = 2,O”
3ème série d’observations :
S, = 1,6”
4ème série d’observations : s4 = 2,3”
w4 x 1” = 2 y
SO= -
9
d 4
II
22
SISCHHEO-HZ = ’
Résultats de la série d’observations no 1 pour les théodolites de type B (voir tableau A.2) :
CC,= 121 mgon2
121
s, =
- mgon = 3,9 mgon
d 8
12
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43 ISO
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Ière série d’observations : s,= 3,9”
2ème série d’observations : sz = 2,7”
3ème série d’observations : s, = 3,l”
4ème série d’observations : Sd = 1,7”
35,0
SO = - mgon = 3,0 mgon
4
ll
= 3,0 mgon
SISO-MEO-HZ
A.l.3 Essais statistiques
Exemple d’essai répondant à la question A) for un théodolite de type A :
ao” 2,O”
2,2 I 2,O” x 1,20
Si cette inégalité est vraie, l’hypothèse nulle mentionnant que l’écart-type déterminé de façon empirique, s. =
2,2 mm, est inférieur ou égal à la valeur indiquée par le fabricant, o0= 2,O” n’est pas rejetée.
Exemple d’essai répondant à la question B) for un théodolite de type B :
5 = 3,0 mgon
S 2 = 1,9 mgon
049 9 < - 9900mgon2 3,Ol mgon2 5 202 '
0,49 5 2,49 I 2,02
Si cette inégalité n’est pas vraie, l’hypothèse nulle mentionnant que les écarts-types s,= 3,0 mgon et S, = 1,9
mgon appartiennent à la même population s’ils sont obtenus de la même manière à partir de mesurages
effectués avec le même instrument, à des moments différents, est rejetée.
A.2 Angles verticaux
A.2.1 Observations
Pour la série d’observations no 1, les résultats de mesure de douze angles zénithaux sont donnés par deux
types de théodolites (désignés comme A et B) aux tableaux A.3 et A.4.
Tableau A.3 - Exemple d’observations sur site pour le théodolite de type A
i hi 2. z
i. II
cm gon
gon
1 295 85,511 314,481
91,678 308,321
2 245
3 195 98,005 301,993
4 145 104.368 295.626
5
95 110,640 289,355
6 45 116,720 283,280
NOTE - Les séries d’observations no 2, 3 et 4 n’ont pas été
imprimées.
.
13
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0 ISO
ISO 12857-2: 1997(F)
Tableau A.4 - Exemple d’obsewations sur site pour le théodolite de type B
2 2
i. 1 i. II
I 1 1 295 1 85O 04'41.0" 1 274O 56'41.8" 1
245 86' 58' 33,9" 273O 02'45,7"
2
3 195 88O 52'55,2" 271° 08'24,7"
I 4 1 145 1 90° 47'26,3" 1 269O 13' 52,7" 1
95 1 92O 41'48.9" 1 267O 19'31.0" 1
I 5 I
6 I 45 1 94O 35'53,8" 1 265O 25'29,7"
NOTE - Les séries cl’ohsetvations no 2. 3 et 4 n'ont pas été imtximées.
A.2.2 Résultats
Résultats pour la série d’observations no 1 pour le théodolite de type A (voir tableau A.3):
Valeurs approximatives des paramètres X, et x2:
- hauteur de l’axe d’inclinaison x,’ = 179 cm
- distance O= 500cm
X2
Matrices et vecteurs des équations d’observations linéarisées :
'12,0821 2,803O 12,9889‘ '2,3835' -3,1835'
12,5143 1,6519 6,3572 3,3078 -3,4078
12,7194 0,407O 1,2467 4,1488 -4,3488
A= II =
III =
12,6738 -0,8618 -1,9629 4,564O -5,164O
12,3829 -2,0803 -3,1044 4,3738 -4,8738
11,8792 -3,1836 -2,2504 5,0316 -5,0316
I
Equations normales :
12 0 = 2,200 (0 en cgon)
1838,88959 -29,57151 324,58909 616,73206
-29,57151 5191378 125,46167, x=
-29,50225
324,58909 125,46167 458,46870 55,146Ol
i 1
1
Inconnues d’ajustement et CC :
0
= + 0,1833333 cgon
dx = +0,3417051 cm
1
dx2 = -0,2352838 cm
x3 =
- 0,0572529
wn
CC = 215,51003 cgon2 - 0,40333 cgon2 - 214,52462 cgon’ = 0,58208 cgon2
Résultat de la série no 1 :
o, = 1,8 mgon
1.1 = 179,34 cm
X
X 2.1 = 499,76 cm
X 3.1 =-57,3 mgon
14
---------------------- Page: 18 ----------------------
0 ISO
ISO 12857=2:1997(F)
= 58,21 mgon2
CC1
mgon
s, = 2,7
1 Ale série d’observations : S, = 2,7 mgon; O, = 1,8 mgon
28” série d’observations : s2 = 2,l mgon; 0, = 2,0 mgon
S, = 1,3 mgon; 0, = 1,7 mgon
3- série d’observations :
s4 = 1,8 mgon; o4 = 2,2 mgon
4*m série d’observations :
16,6
SO = - mgon = 2,04 mgon
4
d
77
0 = - mgon = 1,9 mgon
4
S,SC)mmEO - V = ' 144 mgon
Résultats pour la série d’observations no 1 pour le théodolite de type B (voir tableau A.4):
Valeurs approximatives des paramètres xl et x2:
- hauteur de l’axe d’inclinaison xl0 = 165 cm
xz” = 1500 cm
- distance
Matrices et vecteurs des équations d’observations linéarisées :
'22747 0,1971 lOISO
'18788‘ -0,4988
2,2853 0,1219 0,5212
17380 -0,4113
22909 0,045s 0,1559 16658 -0,334l
A= 1, = 1, =
22914 -0,0306 -0,0773 16044 -0,2878
15031 -0J715
2,2869 -0,1067 -0,1769
14614 -0,0697
22773 -0,1822 -0,143l
,
Equations normales :
120= - 8,0783 (0 en ‘)
62,62320 0,20558 5,89902 26,55390
=
0,20558 0,20265 0,63609 X 0,30667 .
5,89902 0,63609 2,76785 3,18366
Inconnues de l’ajustement et CC :
0
= a,6731916 ’
dx = +0,4173667 cm
1
dx = +0,9745900 cm
2
= +0,0367355 O
X3
cc = 16,94121 (')2 - 5,43824 (')2 - Il,49855 (')2 = 0,00442 (')2
Résultats de la série no 1 :
I
0, = - 0,67
x L1 = 165,4
...
Questions, Comments and Discussion
Ask us and Technical Secretary will try to provide an answer. You can facilitate discussion about the standard in here.