ISO/TR 10657:2021

• Abstract:

  This document specifies supplementary background information regarding the derivation of formulae and factors given in ISO 76:2006.

• Status: Published
• Publication Date: 11-Nov-2021
• ICS: 21.100.20 - Rolling bearings
• Technical Committee: ISO/TC 4/SC 8 - Load ratings and life
• Drafting Committee: ISO/TC 4/SC 8 - Load ratings and life
• Current Stage: 6060 - International Standard published
• Start Date: 12-Nov-2021
• Completion Date: 12-Nov-2021
• Ref Project: SIST-TP ISO/TR 10657:2022 - Explanatory notes on ISO 76

• Revises: ISO/TR 10657:1991 - Explanatory notes on ISO 76
• Effective Date: 30-Nov-2013

Overview

ISO/TR 10657:2021 - "Explanatory notes on ISO 76" - is an ISO Technical Report that provides supplementary background and derivations for the formulae and factors used in ISO 76 (methods for evaluating static load ratings of rolling bearings). It documents the mathematical basis, symbols and assumptions behind the basic static load ratings and static equivalent-load calculations for ball and roller bearings, clarifying how the values and tables in ISO 76:2006 (and its amendments) were obtained.

Key topics

• Scope and purpose: explanatory background information supporting ISO 76:2006, not a normative standard itself.
• Symbols and definitions: complete list of symbols used in load-rating formulae (C0r, C0a, P0r, P0a, X, Y, f, γ, κ, E(κ), etc.).
• Basic static load ratings: derivation for point-contact and line-contact cases; treatment for radial ball bearings, thrust (axial) bearings, self-aligning types and roller bearings.
• Static equivalent load: theoretical and practical formulae for converting combined radial/axial loads into equivalent static radial or axial loads. Includes single- and double-row cases and approximate formulae.
• Load factors and coefficients: development and explanation of the static radial load factor (X), static axial load factor (Y) and the load rating factor (f). Tables and graphs referenced from ISO 76 are explained.
• Annex A: values for auxiliary parameters (γ, κ) and the complete elliptic integral E(κ) used in contact calculations.
• Historical context: explanatory notes on earlier editions and rationale for revisions (e.g., contact-stress basis and safety factor inclusion).

Applications and users

ISO/TR 10657:2021 is intended for:

• Bearing designers and mechanical engineers who need to understand and validate static load-rating calculations from ISO 76.
• Test laboratories and quality engineers performing static load evaluation and verification.
• OEMs and drivetrain, gearbox, automotive and industrial equipment manufacturers specifying bearing selection and safety factors.
• Standards developers and technical committees seeking the derivation and assumptions behind published tables and coefficients.

Practical uses include interpreting ISO 76 tables, implementing formulae in bearing-selection software, verifying static safety margins and documenting design justification.

Related standards

• ISO 76:2006 (Methods of evaluating static load ratings) - primary normative reference explained by this TR.
• ISO 76/Amd.1:2017 - amendment referenced and clarified in the report.
• Earlier editions and technical history (ISO/TR 10657:1991, ISO 76:1978/1987) are discussed for context.

Keywords: ISO/TR 10657:2021, ISO 76, rolling bearings, static load ratings, basic static load rating, static equivalent load, load rating factor f, static radial load factor X, static axial load factor Y.

SLOVENSKI STANDARD
01-april-2022
Zapisek razlag k standardu ISO 76
Explanatory notes on ISO 76
Notes explicatives sur l'ISO 76
Ta slovenski standard je istoveten z: ISO/TR 10657:2021
ICS:
21.100.20 Kotalni ležaji Rolling bearings
2003-01.Slovenski inštitut za standardizacijo. Razmnoževanje celote ali delov tega standarda ni dovoljeno.

TECHNICAL ISO/TR
REPORT 10657
Second edition
2021-11
Explanatory notes on ISO 76
Notes explicatives sur l'ISO 76
Reference number
© ISO 2021
All rights reserved. Unless otherwise specified, or required in the context of its implementation, no part of this publication may
be reproduced or utilized otherwise in any form or by any means, electronic or mechanical, including photocopying, or posting on
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CH-1214 Vernier, Geneva
Phone: [phone]
Email: [e-mail]
Website: www.iso.org
Published in Switzerland
ii
Contents Page
Foreword .iv
Introduction .v
1 Scope . 1
2 Normative references . 1
3 Terms, definitions and symbols . 1
3.1 Terms and definitions . 1
3.2 Symbols . 1
4 Basic static load ratings . 3
4.1 General . 3
4.1.1 Basic formula for point contact . 3
4.1.2 Basic formula for line contact . 5
4.2 Basic static radial load rating C for radial ball bearings . 6
0r
4.2.1 Radial and angular contact groove ball bearings . 6
4.2.2 Self-aligning ball bearings . 8
4.3 Basic static axial load rating C for thrust ball bearings . 8
0a
4.4 Basic static radial load rating C for radial roller bearings . 10
0r
4.5 Basic static axial load rating C for thrust roller bearings . 10
0a
5 Static equivalent load .11
5.1 Theoretical static equivalent radial load P for radial bearings . 11
0r
5.1.1 Single-row radial bearings and radial contact groove ball bearings
(nominal contact angle α = 0°) . 11
5.1.2 Double-row radial bearings . 17
5.2 Theoretical static equivalent axial load P for thrust bearings . 18
0a
5.2.1 Single-direction thrust bearings . 18
5.2.2 Double-direction thrust bearings . 21
5.3 Approximate formulae for theoretical static equivalent load . 23
5.3.1 Radial bearings . 23
5.3.2 Thrust bearings . . 24
5.4 Practical formulae of static equivalent load . 24
5.4.1 Radial bearings . 24
5.4.2 Thrust bearings . .28
5.5 Static radial load factor X and static axial load factor Y .29
0 0
5.5.1 Radial bearings .29
5.5.2 Thrust bearings . 33
Annex A (normative) Values for γ, κ and E(κ) .35
Bibliography .38
iii
Foreword
ISO (the International Organization for Standardization) is a worldwide federation of national standards
bodies (ISO member bodies). The work of preparing International Standards is normally carried out
through ISO technical committees. Each member body interested in a subject for which a technical
committee has been established has the right to be represented on that committee. International
organizations, governmental and non-governmental, in liaison with ISO, also take part in the work.
ISO collaborates closely with the International Electrotechnical Commission (IEC) on all matters of
electrotechnical standardization.
The procedures used to develop this document and those intended for its further maintenance are
described in the ISO/IEC Directives, Part 1. In particular, the different approval criteria needed for the
different types of ISO documents should be noted. This document was drafted in accordance with the
editorial rules of the ISO/IEC Directives, Part 2 (see www.iso.org/directives).
Attention is drawn to the possibility that some of the elements of this document may be the subject of
patent rights. ISO shall not be held responsible for identifying any or all such patent rights. Details of
any patent rights identified during the development of the document will be in the Introduction and/or
on the ISO list of patent declarations received (see www.iso.org/patents).
Any trade name used in this document is information given for the convenience of users and does not
constitute an endorsement.
For an explanation of the voluntary nature of standards, the meaning of ISO specific terms and
expressions related to conformity assessment, as well as information about ISO's adherence to
the World Trade Organization (WTO) principles in the Technical Barriers to Trade (TBT), see
www.iso.org/iso/foreword.html.
This document was prepared by Technical Committee ISO/TC 4, Rolling bearings, Subcommittee SC 8,
Load ratings and life.
This second edition cancels and replaces the first edition (ISO 10657:1991), which has been technically
revised.
The main changes compared to the previous edition are as follows:
— New subclause 0.4 and 0.5 included with explanations concerning the 2006 edition of ISO 76:2006
and ISO 76/Amd.1:2017;
— Inclusion of Clause 3 for symbols;
— Table 16 and Table 18 amended according to additional values in ISO 76:2006 (values of X and Y at
0 0
contact angles 5° and 10° of angular contact ball bearings).
Any feedback or questions on this document should be directed to the user’s national standards body. A
complete listing of these bodies can be found at www.iso.org/members.html.
iv
Introduction
0.1  ISO/R 76:1958
ISO/R 76, Ball and Roller Bearings — Methods of Evaluating Static Load Ratings, was drawn up by
Technical Committee ISO/TC 4, Ball and Roller Bearings.
[2],[3]
ISO/R 76 was based on the studies of A. Palmgren et al . The basic static load ratings were defined
to correspond to a total permanent deformation of rolling element and raceway at the most heavily
stressed rolling element/raceway contact of 0,000 1 of the rolling element diameter. Then the standard
values confined to the basic static load ratings for special inner design rolling bearings were laid down.
ISO/R 76:1958 was approved by 28 (out of a total of 38) member bodies and was then submitted to the
ISO Council, which decided, in December 1958, to accept it as an ISO Recommendation.
0.2  ISO 76:1978
ISO/TC 4 decided to include the revision of ISO/R 76 in its programme of work and ISO/TC 4/SC 8
secretariat was requested to prepare a draft proposal. As a result, the secretariat submitted a draft
[3]
proposal in January 1976.
The draft proposal was accepted by 6 of the 8 members of ISO/TC 4/SC 8. Of the remaining two, Japan
[4]
preferred further study and USA, its counter proposal, document ISO/TC 4/SC 8 N 64 . The draft was
then submitted to the ISO Central Secretariat. After the draft had been approved by the ISO member
bodies, the ISO Council decided in June 1978 to accept it as an International Standard.
ISO 76:1978 adopted the SI unit newton and was revised in total, but without essential changes of
substance. However, values of X and Y for the nominal contact angles 15° and 45° for angular contact
0 0
groove ball bearings were added to the table to calculate the static equivalent radial loads of radial ball
bearings (see ISO 76:1978, Table 2).
0.3  ISO 76:1987
[4]
During the revision of ISO/R 76:1958, USA had in 1975 submitted a counter proposal for the basic
static load ratings based on a calculated contact stress.
The secretariat requested a vote on the revision of the static load ratings based on a contact stress level
in January 1978 and afterward circulated the voted results in June 1978, and the item No. of revision
work had become No. 157 of the programme of work of TC 4.
[5] [6]
ISO/TC 4/SC 8, considering the proposals made in the documents TC 4/SC 8 N 75 and TC 4 N 865 ,
as well as the comments made by TC 4 members and that several SC 8 members expressed a need
for updating ISO 76, agreed to continue its study taking into account the possibility of using either
permanent deformation or stress level as a basis for static load ratings, and ISO/TC 4/SC 8 requested
its secretariat to prepare a new draft. The new draft was intended to be prepared with the principles
and formulae of the document TC 4/SC 8 N 75, and to include levels of contact stress for various rolling
element contact stated to be generally corresponding to a permanent deformation of 0,000 1 of the
rolling element diameter at the centre of the most heavily stressed rolling element/raceway contact.
For roller bearings a stress level of 4 000 MPa was agreed and then ISO/TC 4/SC 8 agreed, by a majority
vote, that static load ratings should correspond to calculated contact stresses of
4 000 MPa for roller bearings,
4 600 MPa for self-aligning ball bearings, and
4 200 MPa for all other ball bearings to which the standard applies.
For these calculated contact stresses, a total permanent deformation occurs at the centre of the most
heavily stressed rolling element/raceway contact, and its deformation is approximately 0,000 1 of the
rolling element diameter.
v
ISO 76 was submitted to the ISO Central Secretariat in 1985, and after it had been approved by the
ISO members, the ISO Council decided in February 1987 to accept it as an International Standard.
Furthermore, ISO/TC 4/SC 8 decided that supplementary background information, regarding the
derivation of formulae and factors given in ISO 76, should be published as a Technical Report. This
Technical report was published as ISO/TR 10657:1991.
An Amendment to ISO 76:1987 that explains the discontinuities in load ratings between radial- and
axial bearings was published as ISO 76:1987/Amd.1:1999.
0.4  ISO 76:2006
A systematic review of ISO 76:1987 was agreed in 2003, based on the prior held balloting process and
documents TC 4/SC 8 N 233 and N 235.
ISO 76:2006 includes editorial adaptations and updates as well as an extension by the static safety
factor S . Furthermore, ISO 76:1987/Amd.1:1999 was integrated and became the informative Annex A
“Discontinuities in the calculation of basic static load ratings”.
0.5  ISO 76:2006/Amd.1:2017
ISO 76:2006/Amd.1:2017 includes the following items:
— graphs for the factors f , X and Y taken from draft ÖNORM M 6320 to be included in an informative
0 0 0
annex;
— formulae for the calculation of the load rating factor f from ISO/TR 10657 to be introduced in the
normative part of the standard;
— the tables for the load rating factor f will stay in the normative part of the standard, however a
sentence will be introduced stating that the results obtained from formulae are preferred.
vi
TECHNICAL REPORT ISO/TR 10657:2021(E)
Explanatory notes on ISO 76
1 Scope
This document specifies supplementary background information regarding the derivation of formulae
and factors given in ISO 76:2006.
2 Normative references
There are no normative references in this document.
3 Terms, definitions and symbols
3.1 Terms and definitions
No terms and definitions are listed in this document.
ISO and IEC maintain terminology databases for use in standardization at the following addresses:
— ISO Online browsing platform: available at https:// www .iso .org/ obp
— IEC Electropedia: available at https:// www .electropedia .org/
3.2 Symbols
C basic static axial load rating, in newtons
0a
C basic static radial load rating, in newtons
0r
D pitch diameter of ball or roller set, in millimetres
pw
D nominal ball diameter, in millimetres
w
D roller diameter applicable in the calculation of load ratings, in millimetres
we
E modulus of elasticity (Young’ s modulus), in megapascals
E , E modulus of elasticity of body 1 (rolling element) and of body 2 (raceway), in megapascals
1 2
E(κ) complete elliptic integral of the second kind
E E/(1 − ν )
F bearing axial load (axial component of actual bearing load), in newtons
a
F bearing radial load (radial component of actual bearing load), in newtons
r
F(ρ) relative curvature difference
J (ε) axial load integral
a
J (ε) radial load integral
r
K(κ) complete elliptic integral of the first kind
L length of roller applicable in the calculation of load ratings, in millimetres
we
P theoretical static equivalent axial load for thrust bearing, general speaking, called static
0a
equivalent axial load, in newtons
P theoretical static equivalent radial load for radial bearing, general speaking, called static
0r
equivalent radial load, in newtons
Q normal force between rolling element and raceway, in newtons
Q maximum normal force between rolling element and raceway, in newtons
max
S Stribeck number
X static radial load factor
Y static axial load factor
Z number of balls carrying load in one direction, number of balls or rollers per row, or number
of rolling elements per row
a semi-major axis of the projected contact ellipse, semilength of the contact surface
b semi-minor axis of the projected contact ellipse, semi-width of the contact surface
2/3
c compression constant, in 1/megapascals
f osculation = r/D
w
f osculation at the outer ring = r /D
e e w
f osculation at the inner ring = r /D
i i w
f factor which depends on the geometry of the bearing components and on applicable stress level
i number of rows of balls or rollers in a bearing
k load distribution parameter
r curvature radius of a raceway cross-section, in millimetres
r outer ring groove radius, in millimetres
e
r inner ring groove radius, in millimetres
i
t exponent in load–deflection formula
x distance in direction of the semi-major axis, in millimetres
y distance in direction of the semi-minor axis, in millimetres
α nominal contact angle, in degrees
α′ actual contact angle, in degrees
γ auxiliary parameter, γ = D cos α /D for ball bearings with α ≠ 90°
w pw
γ = D /D for ball bearings with α = 90°
w pw
γ = D cos α /D for roller bearings with α ≠ 90°
we pw
γ = D /D for roller bearings with α = 90°
we pw
ε parameter indicating the width of the loaded zone
κ ratio of semi-major to semi-minor axis = a/b
ν Poisson’s ratio
ν Poisson’s ratio of body 1 (rolling element)
ν Poisson’s ratio of body 2 (raceway)
Σρ curvature sum
ρ , ρ principal curvature of body 1 (rolling element)
11 12
ρ , ρ principal curvature of body 2 (raceway)
21 22
σ calculated contact stress, in megapascals
σ maximum calculated contact stress, in megapascals
max
ϕ auxiliary angle, in radians
ψ one half of the loaded arc
4 Basic static load ratings
4.1 General
4.1.1 Basic formula for point contact
The relationship between a calculated contact stress and a rolling element load within an elliptical
contact area is given in Reference [8] as Formula (1),
12/
 
3Q x y
   
σ =−1 − (1)
 
   
2π ab a   b 
 
 
It is concluded that the maximum calculated contact stress (σ ) occurs at the point of x = 0 and y = 0,
max
3Q 2π ab
σσ== orQ (2)
maxmax
2π ab 3
According to the Hertz’s theory,
13/
113/
2 2 2
    
2κκE () 11−νν−
3Q
1 2
a =    +  (3)
 
   
πΣ2 ρ EE
 
1 2
    
13/
13/
2 2
  
2E κ
() 3Q 11−νν−
 
1 2
b= + (4)
  
 
 
πΣκρ2 EE
 
 1 2 
  
where
κ = a/b
12/
π/2
  1  
E(κ) 2
=−11− sin φφd
 
 
∫
   
κ
Σρ = ρ + ρ + ρ + ρ
11 12 21 22
ρρ=
11 12
=
D
w
Substituting Formula (3) and Formula (4) into Formula (2) for the case of E = E = E and ν = ν = ν,
1 2 1 2
E()κ
32π  
Q =σκ (5)
max  
Σρ
 
3E
and
2 K ()κ 
1− −10 −F ρ = (6)
()
 
E κ
()
κ −1 
where
E
E
=
1−ν
E = 2,07 × 10 MPa
ν = 0,3
−12/
π/2
  1  
K(κ)
=−11− sin φφd
 
∫  
   
κ
ρρ−+ρρ−
11 12 21 22
=
F()ρ
ρρ++ρρ+
11 12 21 22
Consequently, from Formula (5),
E ()κ
 
−10 3
Q =×6,476 20651 0 κ σ (7)
  max
Σρ
 
4.1.2 Basic formula for line contact
The relationship between a calculated contact stress and a rolling element load for a line contact is
given in Reference [9] as follows,
12/
 
2Q y
 
σ =−1 (8)
 
 
πLb b
 
we  
 
It is concluded that the maximum calculated contact stress (σ ) from Formula (8) occurs at the line of
max
y = 0,
2Q π Lb
we
σσ== orQ (9)
max max
π Lb 2
we
And also b is given by the following formula,
12/
2 2
  
4Q 11−νν−
1 2
b = + (10)
  
 
π LEΣρ E
 we 1 2 
  
where
Σρ = ρ + ρ + ρ + ρ
11 12 21 22
ρ
=
D
we
ρ
2 γ
=±  ; the upper sign applies to inner ring contact and the lower to outer ring contact;
D 1 γ
we
ρ
= 0
ρ
= 0
D cos α
we
γ =
D
pw
Substituting Formula (10) into Formula (9) for the case of E = E = E and ν = ν = ν,
1 2 1 2
L
2 we
Q=2πσ
max
E Σρ
where
E
E
=
1−ν
E = 2,07 × 10 MPa
ν = 0,3
Consequently,
L
−52we
Q =×2,762 173  210 σ (11)
max
Σρ
4.2 Basic static radial load rating C for radial ball bearings
0r
4.2.1 Radial and angular contact groove ball bearings
The curvature sum Σρ and the relative curvature difference F(ρ) of radial and angular contact groove
ball bearings is given by the following formulae,
 
2 γ 1
Σρ =±2 −  (12)
 
Df1γ 2
w ie()
 
γ 1
±+
1γ 2f
ie
()
F()ρ = (13)
γ 1
2±−
1γ 2f
ie
()
where
the upper sign applies to inner ring contact and the lower to outer ring contact;
D cos α
w
γ
=
D
pw
f denotes
i(e)
r
i
f
i = forinnerr ingcontact, and
D
w
r
e
= forouter ringcontact
f
e
D
w
Substituting Formula (12) into Formula (7),
 
 
D E ()κ
−10  w  3
Q =×6,476 206510 κ σ (14)
maax
 
2 γ 1
2 ±−
 
 
1 γ 2f
ie
()
 
Substituting Formula (12) and Formula (14) into Formula (15) (see Reference [10]), and furthermore
exchanging Q for Q , gives
max
C = ZQ cos (15)
0rmax
S
where S is a function of the loaded zone parameter ε. If one half of the balls are loaded then S = 4,37
applies. A common value used in general bearing calculations is S = 5, which leads to a rather
conservative estimate of the maximum ball load.
C = 0,2 Z Q cos α (16)
0r max
Consequently,
 
 
σ E ()κ
  1
−10 max 2
 
C =×02,,6 476 20651××04() 000 κ × ZD cos α
0r   w
 
γ 1
4 000 4
 
22 ±−
 
 
1 γ 2f
ie()
 
where the upper sign refers to the inner ring and the lower sign refers to the outer ring. Therefore,
introducing the number of rows, i, of balls gives Formula (17):
Cf= iZ D cos (17)
00rw
where f is the factor which depends on the geometry of the bearing components and on applicable
stress level:
 
 
σ E κ
()
 
max
 
f =2,072 κ (18)
 
 
γ 1
4 000
 
2 ±−
 
 
1 γ 2f
ie()
 
For an inner ring with f = 0,52, Formula (18) becomes,
i
 
 
σ E ()κ
 
max
 
f =2,072 κ (19)
0  
4 000 γ 1
 
 
2 + −
 
1 − γ 10, 4
 
and for an outer ring with f = 0,53,
e
 
 
σ E κ
()
 
max
 
f =2,072 κ (20)
0  
γ 1
4 000
   
2 − −
 
1 + γ 10, 6
 
The smaller value between the f values calculated from Formula (19) and Formula (20) is used in the
calculation of static load ratings.
The values of factor f in Table 1 of ISO 76:2006 are calculated from substituting the values for κ, E(κ)
and γ = D cos α/D shown in Table A.1, and σ = 4 200 MPa into the above formula.
w pw max
These values apply to bearings with a cross-sectional raceway groove radius not larger than 0,52 D in
w
radial and angular contact groove ball bearing inner rings, and 0,53 D in radial and angular contact
w
groove ball bearing outer rings and self-aligning ball bearing inner rings
The load-carrying ability of a bearing is not necessarily increased by the use of a smaller groove radius,
but is reduced by the use of a larger groove radius. In the latter case, a correspondingly reduced value
of f is used.
4.2.2 Self‑aligning ball bearings
The curvature sum Σρ of self-aligning ball bearings is given by the following formula for an outer ring:
 
Σρ = (21)
 
D 1+γ
 
w
Substituting Formula (21) into Formula (7),
D
 
−10 3
w
Q =×6,476 206510 κγ1 + E κσ (22)
() ()
max
 
 
In general, κ = a/b = 1 for the case of contact between an outer ring raceway and balls of self-aligning
ball bearings. Consequently,
12/
/ /
π 2 π 2
1 π
   
E κ =−11 − sin φφdd==φ
()
   
∫ ∫
0 0
  κ  
Therefore, Formula (22) is obtained
D
 
−10 w 3
Q =×6,476 206510 κγ1 + π σ (23)
()
  max
 
Substituting Formula (23) into Formula (16) and moreover exchanging Q for Q ,
max
σ
π
   
max 2
CZ=2,072 ()1 + γα D cos
0r   w
 
4 000 4 
 
Introducing the number of rows of balls i yields Formula (24)
Cf= iZ D cos (24)
00rw
where
σ
  π
 
max
f =2,072 ()1 + γ (25)
0  
 
4 000 4
 
 
The values of factor f in Table 1 of ISO 76:2006 are calculated from substituting σ = 4 600 MPa and
0 max
values of γ = D cos α/D shown in the Table 1 of ISO 76:2006 into Formula (25).
w pw
4.3 Basic static axial load rating C for thrust ball bearings
0a
The curvature sum Σρ and the relative curvature difference F(ρ) of thrust ball bearings is given by the
following formulae:
2  γ 1 
Σρ =±2 − (26)
 
Df1γ 2
 
w
γ 1
±+
1γ 2f
F()ρ = (27)
γ 1
2±−
1γ 2f
where the upper sign refers to the inner ring and the lower sign refers to the outer ring and
f = r/D
w
Substituting Formula (26) into Formula (7),
 
 
D E ()κ
−10 w 3
 
Q =×6,476 206510 κ σ (28)
max
γ 1
 
2 ±−
 
1 γ 2f
 
Substituting Formula (28) into the following Formula (29),
C = Z Q sin α (29)
0a max
Therefore,
 
 
σ E κ
()
 
max 2
 
C =10,362 κ ZD  sin α (30)
0a   ww
γ 1
4 000
   
2 ±−
 
1 γ 2f
 
The smaller value C calculated from Formula (30) is adopted. For washers with f = 0,54, using the
0a
upper sign gives Formula (31),
Cf= ZD sin (31)
00aw
where
 
 
σ E ()κ
 
max
=  
f 10,362 κ (32)
0  
γ 1
4 000
 
 
2 + −
 
1 − γ 10, 8
 
The values of factor f in Table 1 of ISO 76:2006 are calculated from substituting the values for κ, E(κ)
and γ = D cos α/D shown in Table A.2, and σ = 4 200 MPa into Formula (32).
w pw max
4.4 Basic static radial load rating C for radial roller bearings
0r
The curvature sum Σρ for radial roller bearings is given by the following formula,
Σ ρ = (33)
D 1 γ
we
Substituting Formula (33) into Formula (11) and adopting the smaller Q,
−52
QL=×1,381 0867101 − γσD (34)
()
we we max
Substituting Formula (34) into the following formula gives Formula (35),
C = ZQ cos (35)
0rmax
S
where S is a function of the loaded zone parameter ε. If one half of the rollers are loaded then S = 4,08
applies. A common value used in general bearing calculations is S = 5, which leads to a rather
conservative estimate of the maximum roller load.
σ
 
max
CZ=44,194 774 ()1 − γα LD cos
0r   we we
4 000
 
Consequently, adopting σ = 4 000 MPa and introducing the number of rows, i, of rollers gives
max
Formula (36),
 
D cos α
we
C =−44 1 iZ LD cos (36)
 
0r we we
 
D
pw
 
NOTE The value has been rounded for use in the final document.
4.5 Basic static axial load rating C for thrust roller bearings
0a
The curvature sum Σρ of thrust roller bearings is given by Formula (33) and Q is given by Formula (34).
Substituting Formula (33) and Formula (34) into Formula (29),
σ
 
max
CZ=220,973 87 ()1 − γα LD sin
0a   we we
4 000
 
Consequently, adopting σ = 4 000 MPa, gives Formula (37)
max
 
D cos α
we
C =−220 1 ZL D sin (37)
 
0a we we
 
D
pw
 
NOTE The value has been rounded for use in the final document.
5 Static equivalent load
5.1 Theoretical static equivalent radial load P for radial bearings
0r
5.1.1 Single‑row radial bearings and radial contact groove ball bearings (nominal contact
angle α = 0°)
Assuming both the bearing rings will yield a parallel displacement when a radial and axial loads act
simultaneously on single-row radial bearings, the maximum rolling element load, Q , is given by
max
Formula (38):
F F
r a
Q == (38)
max
ZJ cossαα ZJin
r a
The radial and axial load integrals are given by Formula (39)
t
+ψ 
1 1
o  
JJ= ()ε =−1 ()1 −cosd ψψcos ψ

rr
∫  
−ψ
2π  2ε 
o 
(39)

t
+ψ

1 1
o  
JJ= ()ε = 1 −−()1 cosd ψψ
aa 
∫  
−ψ
22π  2ε  
o
where t is the exponent in the deflection-load formula
t = 3/2 for point contact;
t = 1,1 for line contact.
Assuming the bearing has no radial internal clearance under mounting, the static equivalent radial load
becomes P = F when the rings displace in the radial direction (ε = 0,5). Consequently, the following
0r r
formula can be obtained from Formula (38)
P
0r
Q =
max
ZJ cosα 05,
()
r
the following relationship yields
F J
r r
= (40)
P J ()05,
0r r
F cot α J
a a
= (41)
P J ()05,
0r r
The values calculated from Formula (40) and Formula (41) for a constant contact angle α are given in
Table 1. In accordance with the functional relationship given in this table, the static equivalent radial
load P for the given values of F , F and α can be obtained. The relationship between F /P and F cot α/
0r r a r 0r a
P is also shown in Figure 1.
0r
Table 1 — Values for F /P and F cot α/P versus F tan α/F for single‑row radial bearings
r 0r a 0r r a
Ball bearings Roller bearings
ε
F tan α/F F /P F cot α/P F tan α/F F /P F cot α/P
r a r 0r a 0r r a r 0r a 0r
0,5 0,822 5 1 1,215 8 0,794 0 1 1,259 5
0,6 0,783 5 1,055 8 1,347 5 0,748 2 1,046 9 1,399 3
0,7 0,742 7 1,094 9 1,474 3 0,700 0 1,074 6 1,535 3
0,8 0,699 5 1,118 3 1,598 8 0,648 4 1,083 4 1,670 9
0,9 0,652 9 1,125 5 1,723 9 0,591 7 1,071 1 1,810 2
1 0,600 0 1,112 8 1,854 7 0,523 8 1,028 6 1,963 8
1,25 0,453 8 1,000 3 2,204 3 0,360 0 0,847 4 2,354 1
1,67 0,308 0 0,816 5 2,651 2 0,233 3 0,646 4 2,770 3
2,5 0,185 0 0,585 2 3,163 7 0,137 2 0,438 2 3,194 8
5 0,083 1 0,310 8 3,740 0 0,061 1 0,221 8 3,631 7
∞ 0 0 4,370 6 0 0 4,076 6
Key
1 ball bearing
2 roller bearing
NOTE A, B and C are used to define line segments.
Figure 1 — Theoretical relationship between radial and axial loads versus static equivalent
load for single‑row radial bearings
Table 1 and Figure 1 are calculated and plotted based on the assumption of a constant contact angle.
However, the above relationship is also approximately applicable to ball bearings (e.g. angular contact
groove ball bearings), a contact angle of which varies with the load, if cot α′ given by the following
[12]
Formula (42) is substituted for cot α
23/
 
F
cos α c
a
=+1   (42)
 2 
′ 2r
cos α
′
ZD sin α
 
w
−1
D
w
where
c is the compression constant depending on the elastic modulus and conformity 2 r/D ;
w
r is the curvature radius of a raceway cross-section;
D is the nominal ball diameter (see Table 2).
w
c
Table 2 — Values of c and
r
2 −1
D
w
2 r/D 1,032 5 1,035 1,037 5 1,06
w
c × 10 4,321 7 4,387 1 4,474 5 4,954 7
c
r 0,013 23 0,012 53 0,011 93 0,008 258
21−
D
w
2/3
NOTE The unit of c is "1/MPa ".
F
a
For an example of 2 r/D = 1,035, the values of cot α′ for each value of for angular contact groove
w
ZD
w
ball bearings with α = 15° ∼ 45° are given in Table 3.
Table 3 — Example of values of cot α´ for angular contact groove ball bearings
F
a
ZD
w
α
0,5 1 2 5 10
cot α´
15° 3,024 2,793 2,526 2,154 1,865
20° 2,450 2,322 2,164 1,905 1,691
25° 1,997 1,929 1,834 1,664 1,511
30° 1,651 1,613 1,552 1,444 1,337
35° 1,381 1,356 1,317 1,248 1,171
40° 1,163 1,146 1,122 1,072 1,018
45° 0,975 0,969 0,952 0,920 0,879
2 2
NOTE F /ZD = ( F / C ) f cos α, since C = f ZD cos α.
a w a 0r 0 0r 0 w
Furthermore, for single and double-row radial contact groove ball bearings, Table 4 can be obtained
[7]
from Formula (40), Formula (41) and the following Formula (43) :
38/
 
14/
  38/
 
F
2c 1
 
a
 
′′
sint αα≈≈an 1 −   (43)
 
 2 
r
  2 ε
 
Ji  ZD
 
a w
21−
 
D
 
w
For given values of F and F a provisional value of α′ is found using Formula (44). Next, Table 4 is used
r a
to find ε and F /P or F cot α′/P and then P can be determined.
r 0r a 0r 0r
Table 4 — Values of F /P and F cot α′/P versus F tan α′/F for radial contact groove ball
r 0r a 0r r a
bearings
ε F tan α′/Fa F / P F cot α´/ P
r r 0r a 0r
0,5 ∞ 1 0
0,6 1,143 2 1,055 8 0,923 8
0,7 0,905 5 1,094 9 1,209 6
0,8 0,785 9 1,118 3 1,423 1
0,9 0,701 3 1,125 5 1,605 1
1 0,628 0 1,112 8 1,772 1
1,25 0,463 2 1,000 3 2,160 0
1,67 0,310 5 0,816 5 2,603 5
2,5 0,185 5 0,585 2 3,154 8
5 0,083 1 0,310 8 3,737 7
∞ 0 0 4,370 6
38/
 
14/
 
 
F
2c
a
 
tan α ′ ≈ (44)
 
 
r
 
iZ D
 
w
21−
 
D
 
w
For 2 r/D = 1,035, for example, the values of tan α′ for each value of F /i Z D are given in Table 5.
w a w
Table 5 — Example of values of contact angle for radial contact groove ball bearings
0,5 1 2 5 10
F /i Z D
a w
tan α′ 0,211 0 0,251 0 0,298 5 0,375 3 0,446 3
NOTE F /i Z D = (F /C ) f
a w a 0r 0
Moreover, the relationship between F /P and F cot α′/P is given in Figure 2.
r 0r a 0r
NOTE A, B and C are used to define line segments.
Figure 2 — Theoretical relationship between radial and axial loads versus static equivalent
load for radial contact bearings
5.1.2 Double‑row radial bearings
Assuming both the bearing rings will yield a parallel displacement when a radial load and an axial load
act simultaneously on a double-row radial bearing and designating each row as I and II,
F = F + F ;  F = F + F
r rI rII a aI aII
and the maximum rolling element load for each row is given by Formulae (45), see Reference [16].
F F

r a
Q ==
max

ZJ cossαα ZJin
r a

(45)

t
 ε  
II
QQ=
maxIImaxI   
ε
  
I
where
t

ε 
II

JJ= ()ε + J ()ε
 
rr I rII
ε
  
I
(46)

t

ε
 
II
JJ= ()ε − J ()ε

aa I   aII
ε
  
I
where t is the exponent in the deflection-load formula
t = 3/2 for point contact;
t = 1,1 for line contact.
Assuming the bearing has no radial internal clearance, the static equivalent load P = F , when the
0r r
P
0r
bearing rings displace in the radial direction (ε = ε = 0,5), andQ = that is, in this
I II max
ZJ cosα ()05,
r
case Formula (40) and Formula (41) are valid. The values calculated from Formula (40) and Formula (41)
for a constant contact angle α are given in Table 6. In accordance with the functional relationship given
in this table, the static equivalent radial load, P , for the given values of F , F and α can be obtained.
0r r a
The relationship between F /P and F cot α/P is shown in Figure 3. Furthermore, for double-row
r 0r a 0r
radial contact groove ball bearings, the contact angle of which varies with the load, P can be obtained
0r
approximately by using α´ by Formula (42) instead of α in Table 6.
Table 6 — Values of F /P and F cot α/P versus F tan α/F for double‑row radial bearings
r 0r a 0r r a
Ball bearings Roller bearings
ε ε
I II
F tan α/F F /P F cot α/P F tan α/F F /P F cot α/P
r a r 0r a 0r r a r 0r a 0r
0,5 0,5 ∞ 1 0 ∞ 1 0
0,6 0,4 2,046 5 0,779 7 0,381 0 2,390 8 0,821 7 0,343 7
0,7 0,3 1,091 6 0,663 4 0,607 8 1,210 1 0,702 2 0,580 3
0,8 0,2 0,800 5 0,602 6 0,752 8 0,822 9 0,618 7 0,751 8
0,9 0,1 0,671 3 0,572 1 0,852 3 0,634 0 0,558 6 0,881 1
1 0 0,600 0 0,556 4 0,927 4 0,523 8 0,514 3 0,981 9
1,25 0 0,453 8 0,500 1 1,102 1 0,360 0 0,423 7 1,177 1
1,67 0 0,308 0 0,408 3 1,325 6 0,233 3 0,323 2 1,385 2
2,5 0 0,185 0 0,292 6 1,581 9 0,137 2 0,219 1 1,597 4
5 0 0,083 1 0,155 4 1,869 9 0,061 1 0,110 9 1,815 8
∞ 0 0 0 2,185 0 0 0 2,038 3
Key
1 ball bearing
2 roller bearing
NOTE A, B and C are used to define line segments.
Figure 3 — Theoretical relationship between radial and axial loads versus static equivalent
load for double‑row radial bearings
5.2 Theoretical static equivalent axial load P for thrust bearings
0a
5.2.1 Single‑direction thrust bearings
Single-direction thrust bearings which can support radial loads can be considered as single-row radial
contact bearings with a large contact angle.
When bearing washers displace in the axial direction in Formula (41) which is valid for single-row
radial contact bearings with a constant contact angle, ε = ∞ and J = 1, and since the static equivalent
a
axial load P = F , substituting this relationship, the following formula is obtained
0a a
P = P cot α J (0,5)
0r 0a r
Substituting this formula into Formula (40) and Formula (41), the following formulae yield
F tan α
r
= J (47)
r
P
0a
F
a
= J (48)
a
P
0a
The values in Table 7 can be obtained from Formula (47) and Formula (48). In accordance with the
functional relationship given in this table, the static equivalent axial load P for the given values of F ,
0a r
F and α can be obtained. The relationship between F /P and F tan α/P is given in Figure 4.
a a 0a r 0a
Key
1 ball bearing
2 roller bearing
NOTE A, B and C are used to define line segments.
Figure 4 — Theoretical relationship between axial and radial loads versus static equivalent
load for single‑direction thrust bearings
Table 7 — Values of F /P and F tan α/P versus F tan α/F for single‑direction thrust bearings
a 0a r 0a r a
Ball bearings Roller bearings
ε
F tan α/F F /P F tan α/P F tan α/F F /P F tan α/P
r a a 0a r 0a r a a 0a r 0a
0,5 0,822 5 0,278 2 0,228 8 0,794 0 0,309 0 0,245 3
0,6 0,783 5 0,308 4 0,241 6 0,748 2 0,343 3 0,256 8
0,7 0,742 7 0,337 4 0,250 5 0,700 0 0,376 6 0,263 6
0,8 0,699 5 0,365 8 0,255 9 0,648 4 0,409 9 0,265 8
0,9 0,652 9 0,394 5 0,257 6 0,591 7 0,444 1 0,262 8
1 0,600 0 0,424 4 0,254 6 0,523 8 0,481 7 0,252 3
1,25 0,453 8 0,504 4 0,228 9 0,360 0 0,577 5 0,207 9
1,67 0,308 0 0,606 7 0,186 8 0,233 3 0,679 6 0,158 6
2,5 0,185 0 0,724 0 0,133 9 0,137 2 0,783 7 0,107 5
5 0,083 1 0,855 8 0,071 1 0,061 1 0,890 9 0,054 4
∞ 0 1 0 0 1 0
5.2.2 Double‑direction thrust bearings
Double-direction thrust bearings which can support radial loads can be considered as double-row
radial contact bearings with a large contact angle.
For this case, the same Formula (47) and Formula (48) as for single-direction thrust bearings are valid
and Table 8 can be obtained. In accordance with the functional relationship given in this table, the static
equivalent axial load P for the given values of F , F and α can be obtained. The relationship between
0a r a
F /P and F tan α/P is given in Figure 5.
a 0a r 0a
Key
1 ball bearing
2 roller bearing
NOTE A, B and C are used to define line segments.
Figure 5 — Theoretical relationship between axial and radial loads versus static equivalent
load for double‑direction thrust bearings
Table 8 — Values of F /P and F tan α/P versus F tan α/F for double‑direction thrust bearings
a 0a r 0a r a
Ball bearings Roller bearings
ε ε
I II
F tan α/F F /P F tan α/P F tan α/F F /P F tan α/P
r a a 0a r 0a r a a 0a r 0a
0,5 0,5 ∞ 0 0,457 7 ∞ 0 0,490 6
0,6 0,4 2,046 5 0,174 4 0,356 8 2,390 8 0,168 6 0,403 1
0,7 0,3 1,091 6 0,278 2 0,303 6 1,210 1 0,284 7 0,344 5
0,8 0,2 0,800 5 0,344 5 0,275 8 0,822 9 0,368 9 0,303 5
0,9 0,1 0,671 3 0,390 0 0,261 8 0,634 0 0,432 3 0,274 1
1 0 0,600 0 0,424 4 0,254 6 0,523 8 0,481 7 0,252 3
1,25 0 0,453 8 0,504 4 0,228 9 0,360 0 0,577 5 0,207 9
1,67 0 0,308 0 0,606 7 0,186 8 0,233 3 0,679 6 0,158 6
2,5 0 0,185 0 0,724 0 0,133 9 0,137 2 0,783 7 0,107 5
5 0 0,083 1 0,855 8 0,071 1 0,061 1 0,890 9 0,054 4
∞ 0 0 1 0 0 1 0
5.3 Approximate formulae for theoretical static equivalent load
5.3.1 Radial bearings
From a practical standpoint, it is preferable to replace the theoretical curves in Figure 1 and Figure 3
for radial contact bearings with a constant contact angle by two straight line segments AB, BC and a
straight line AC, respectively.
The static equivalent radial load P given by the straight-line segments and straight lines is shown in
0r
Table 9 and Table 10, respectively.
For radial ball bearings the contact angle of which varies with the load, the formulae given in Table 9 and
Table 10 are approximately applicable if cot α´ by Formula (42) is substituted for cot α in the formulae.
Table 9 — Approximate formulae for theoretical static equivalent radial loads for single‑row
radial bearings (straight line segments AB and BC in Figure 1)
Abscissa Approximate formulae of P
0r
Bearing type
Point A Point B Point C Segment AB Segment BC
Single-row ball
(1,22, 1) (2,21, 1) (4,37, 0) P = F P = 0,494 F + 0,229 cot α F
0r r 0r r a
bearings
Single-row roller
(1,26, 1) (2,03, 1) (4,08, 0) P = F P = 0,502 F + 0,245 cot α F
0r r 0r r a
bearings
Tab
...

TECHNICAL ISO/TR
REPORT 10657
Second edition
2021-11
Explanatory notes on ISO 76
Notes explicatives sur l'ISO 76
Reference number
© ISO 2021
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be reproduced or utilized otherwise in any form or by any means, electronic or mechanical, including photocopying, or posting on
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Website: www.iso.org
Published in Switzerland
ii
Contents Page
Foreword .iv
Introduction .v
1 Scope . 1
2 Normative references . 1
3 Terms, definitions and symbols . 1
3.1 Terms and definitions . 1
3.2 Symbols . 1
4 Basic static load ratings . 3
4.1 General . 3
4.1.1 Basic formula for point contact . 3
4.1.2 Basic formula for line contact . 5
4.2 Basic static radial load rating C for radial ball bearings . 6
0r
4.2.1 Radial and angular contact groove ball bearings . 6
4.2.2 Self-aligning ball bearings . 8
4.3 Basic static axial load rating C for thrust ball bearings . 8
0a
4.4 Basic static radial load rating C for radial roller bearings . 10
0r
4.5 Basic static axial load rating C for thrust roller bearings . 10
0a
5 Static equivalent load .11
5.1 Theoretical static equivalent radial load P for radial bearings . 11
0r
5.1.1 Single-row radial bearings and radial contact groove ball bearings
(nominal contact angle α = 0°) . 11
5.1.2 Double-row radial bearings . 17
5.2 Theoretical static equivalent axial load P for thrust bearings . 18
0a
5.2.1 Single-direction thrust bearings . 18
5.2.2 Double-direction thrust bearings . 21
5.3 Approximate formulae for theoretical static equivalent load . 23
5.3.1 Radial bearings . 23
5.3.2 Thrust bearings . . 24
5.4 Practical formulae of static equivalent load . 24
5.4.1 Radial bearings . 24
5.4.2 Thrust bearings . .28
5.5 Static radial load factor X and static axial load factor Y .29
0 0
5.5.1 Radial bearings .29
5.5.2 Thrust bearings . 33
Annex A (normative) Values for γ, κ and E(κ) .35
Bibliography .38
iii
Foreword
ISO (the International Organization for Standardization) is a worldwide federation of national standards
bodies (ISO member bodies). The work of preparing International Standards is normally carried out
through ISO technical committees. Each member body interested in a subject for which a technical
committee has been established has the right to be represented on that committee. International
organizations, governmental and non-governmental, in liaison with ISO, also take part in the work.
ISO collaborates closely with the International Electrotechnical Commission (IEC) on all matters of
electrotechnical standardization.
The procedures used to develop this document and those intended for its further maintenance are
described in the ISO/IEC Directives, Part 1. In particular, the different approval criteria needed for the
different types of ISO documents should be noted. This document was drafted in accordance with the
editorial rules of the ISO/IEC Directives, Part 2 (see www.iso.org/directives).
Attention is drawn to the possibility that some of the elements of this document may be the subject of
patent rights. ISO shall not be held responsible for identifying any or all such patent rights. Details of
any patent rights identified during the development of the document will be in the Introduction and/or
on the ISO list of patent declarations received (see www.iso.org/patents).
Any trade name used in this document is information given for the convenience of users and does not
constitute an endorsement.
For an explanation of the voluntary nature of standards, the meaning of ISO specific terms and
expressions related to conformity assessment, as well as information about ISO's adherence to
the World Trade Organization (WTO) principles in the Technical Barriers to Trade (TBT), see
www.iso.org/iso/foreword.html.
This document was prepared by Technical Committee ISO/TC 4, Rolling bearings, Subcommittee SC 8,
Load ratings and life.
This second edition cancels and replaces the first edition (ISO 10657:1991), which has been technically
revised.
The main changes compared to the previous edition are as follows:
— New subclause 0.4 and 0.5 included with explanations concerning the 2006 edition of ISO 76:2006
and ISO 76/Amd.1:2017;
— Inclusion of Clause 3 for symbols;
— Table 16 and Table 18 amended according to additional values in ISO 76:2006 (values of X and Y at
0 0
contact angles 5° and 10° of angular contact ball bearings).
Any feedback or questions on this document should be directed to the user’s national standards body. A
complete listing of these bodies can be found at www.iso.org/members.html.
iv
Introduction
0.1  ISO/R 76:1958
ISO/R 76, Ball and Roller Bearings — Methods of Evaluating Static Load Ratings, was drawn up by
Technical Committee ISO/TC 4, Ball and Roller Bearings.
[2],[3]
ISO/R 76 was based on the studies of A. Palmgren et al . The basic static load ratings were defined
to correspond to a total permanent deformation of rolling element and raceway at the most heavily
stressed rolling element/raceway contact of 0,000 1 of the rolling element diameter. Then the standard
values confined to the basic static load ratings for special inner design rolling bearings were laid down.
ISO/R 76:1958 was approved by 28 (out of a total of 38) member bodies and was then submitted to the
ISO Council, which decided, in December 1958, to accept it as an ISO Recommendation.
0.2  ISO 76:1978
ISO/TC 4 decided to include the revision of ISO/R 76 in its programme of work and ISO/TC 4/SC 8
secretariat was requested to prepare a draft proposal. As a result, the secretariat submitted a draft
[3]
proposal in January 1976.
The draft proposal was accepted by 6 of the 8 members of ISO/TC 4/SC 8. Of the remaining two, Japan
[4]
preferred further study and USA, its counter proposal, document ISO/TC 4/SC 8 N 64 . The draft was
then submitted to the ISO Central Secretariat. After the draft had been approved by the ISO member
bodies, the ISO Council decided in June 1978 to accept it as an International Standard.
ISO 76:1978 adopted the SI unit newton and was revised in total, but without essential changes of
substance. However, values of X and Y for the nominal contact angles 15° and 45° for angular contact
0 0
groove ball bearings were added to the table to calculate the static equivalent radial loads of radial ball
bearings (see ISO 76:1978, Table 2).
0.3  ISO 76:1987
[4]
During the revision of ISO/R 76:1958, USA had in 1975 submitted a counter proposal for the basic
static load ratings based on a calculated contact stress.
The secretariat requested a vote on the revision of the static load ratings based on a contact stress level
in January 1978 and afterward circulated the voted results in June 1978, and the item No. of revision
work had become No. 157 of the programme of work of TC 4.
[5] [6]
ISO/TC 4/SC 8, considering the proposals made in the documents TC 4/SC 8 N 75 and TC 4 N 865 ,
as well as the comments made by TC 4 members and that several SC 8 members expressed a need
for updating ISO 76, agreed to continue its study taking into account the possibility of using either
permanent deformation or stress level as a basis for static load ratings, and ISO/TC 4/SC 8 requested
its secretariat to prepare a new draft. The new draft was intended to be prepared with the principles
and formulae of the document TC 4/SC 8 N 75, and to include levels of contact stress for various rolling
element contact stated to be generally corresponding to a permanent deformation of 0,000 1 of the
rolling element diameter at the centre of the most heavily stressed rolling element/raceway contact.
For roller bearings a stress level of 4 000 MPa was agreed and then ISO/TC 4/SC 8 agreed, by a majority
vote, that static load ratings should correspond to calculated contact stresses of
4 000 MPa for roller bearings,
4 600 MPa for self-aligning ball bearings, and
4 200 MPa for all other ball bearings to which the standard applies.
For these calculated contact stresses, a total permanent deformation occurs at the centre of the most
heavily stressed rolling element/raceway contact, and its deformation is approximately 0,000 1 of the
rolling element diameter.
v
ISO 76 was submitted to the ISO Central Secretariat in 1985, and after it had been approved by the
ISO members, the ISO Council decided in February 1987 to accept it as an International Standard.
Furthermore, ISO/TC 4/SC 8 decided that supplementary background information, regarding the
derivation of formulae and factors given in ISO 76, should be published as a Technical Report. This
Technical report was published as ISO/TR 10657:1991.
An Amendment to ISO 76:1987 that explains the discontinuities in load ratings between radial- and
axial bearings was published as ISO 76:1987/Amd.1:1999.
0.4  ISO 76:2006
A systematic review of ISO 76:1987 was agreed in 2003, based on the prior held balloting process and
documents TC 4/SC 8 N 233 and N 235.
ISO 76:2006 includes editorial adaptations and updates as well as an extension by the static safety
factor S . Furthermore, ISO 76:1987/Amd.1:1999 was integrated and became the informative Annex A
“Discontinuities in the calculation of basic static load ratings”.
0.5  ISO 76:2006/Amd.1:2017
ISO 76:2006/Amd.1:2017 includes the following items:
— graphs for the factors f , X and Y taken from draft ÖNORM M 6320 to be included in an informative
0 0 0
annex;
— formulae for the calculation of the load rating factor f from ISO/TR 10657 to be introduced in the
normative part of the standard;
— the tables for the load rating factor f will stay in the normative part of the standard, however a
sentence will be introduced stating that the results obtained from formulae are preferred.
vi
TECHNICAL REPORT ISO/TR 10657:2021(E)
Explanatory notes on ISO 76
1 Scope
This document specifies supplementary background information regarding the derivation of formulae
and factors given in ISO 76:2006.
2 Normative references
There are no normative references in this document.
3 Terms, definitions and symbols
3.1 Terms and definitions
No terms and definitions are listed in this document.
ISO and IEC maintain terminology databases for use in standardization at the following addresses:
— ISO Online browsing platform: available at https:// www .iso .org/ obp
— IEC Electropedia: available at https:// www .electropedia .org/
3.2 Symbols
C basic static axial load rating, in newtons
0a
C basic static radial load rating, in newtons
0r
D pitch diameter of ball or roller set, in millimetres
pw
D nominal ball diameter, in millimetres
w
D roller diameter applicable in the calculation of load ratings, in millimetres
we
E modulus of elasticity (Young’ s modulus), in megapascals
E , E modulus of elasticity of body 1 (rolling element) and of body 2 (raceway), in megapascals
1 2
E(κ) complete elliptic integral of the second kind
E E/(1 − ν )
F bearing axial load (axial component of actual bearing load), in newtons
a
F bearing radial load (radial component of actual bearing load), in newtons
r
F(ρ) relative curvature difference
J (ε) axial load integral
a
J (ε) radial load integral
r
K(κ) complete elliptic integral of the first kind
L length of roller applicable in the calculation of load ratings, in millimetres
we
P theoretical static equivalent axial load for thrust bearing, general speaking, called static
0a
equivalent axial load, in newtons
P theoretical static equivalent radial load for radial bearing, general speaking, called static
0r
equivalent radial load, in newtons
Q normal force between rolling element and raceway, in newtons
Q maximum normal force between rolling element and raceway, in newtons
max
S Stribeck number
X static radial load factor
Y static axial load factor
Z number of balls carrying load in one direction, number of balls or rollers per row, or number
of rolling elements per row
a semi-major axis of the projected contact ellipse, semilength of the contact surface
b semi-minor axis of the projected contact ellipse, semi-width of the contact surface
2/3
c compression constant, in 1/megapascals
f osculation = r/D
w
f osculation at the outer ring = r /D
e e w
f osculation at the inner ring = r /D
i i w
f factor which depends on the geometry of the bearing components and on applicable stress level
i number of rows of balls or rollers in a bearing
k load distribution parameter
r curvature radius of a raceway cross-section, in millimetres
r outer ring groove radius, in millimetres
e
r inner ring groove radius, in millimetres
i
t exponent in load–deflection formula
x distance in direction of the semi-major axis, in millimetres
y distance in direction of the semi-minor axis, in millimetres
α nominal contact angle, in degrees
α′ actual contact angle, in degrees
γ auxiliary parameter, γ = D cos α /D for ball bearings with α ≠ 90°
w pw
γ = D /D for ball bearings with α = 90°
w pw
γ = D cos α /D for roller bearings with α ≠ 90°
we pw
γ = D /D for roller bearings with α = 90°
we pw
ε parameter indicating the width of the loaded zone
κ ratio of semi-major to semi-minor axis = a/b
ν Poisson’s ratio
ν Poisson’s ratio of body 1 (rolling element)
ν Poisson’s ratio of body 2 (raceway)
Σρ curvature sum
ρ , ρ principal curvature of body 1 (rolling element)
11 12
ρ , ρ principal curvature of body 2 (raceway)
21 22
σ calculated contact stress, in megapascals
σ maximum calculated contact stress, in megapascals
max
ϕ auxiliary angle, in radians
ψ one half of the loaded arc
4 Basic static load ratings
4.1 General
4.1.1 Basic formula for point contact
The relationship between a calculated contact stress and a rolling element load within an elliptical
contact area is given in Reference [8] as Formula (1),
12/
 
3Q x y
   
σ =−1 − (1)
 
   
2π ab a   b 
 
 
It is concluded that the maximum calculated contact stress (σ ) occurs at the point of x = 0 and y = 0,
max
3Q 2π ab
σσ== orQ (2)
maxmax
2π ab 3
According to the Hertz’s theory,
13/
113/
2 2 2
    
2κκE () 11−νν−
3Q
1 2
a =    +  (3)
 
   
πΣ2 ρ EE
 
1 2
    
13/
13/
2 2
  
2E κ
() 3Q 11−νν−
 
1 2
b= + (4)
  
 
 
πΣκρ2 EE
 
 1 2 
  
where
κ = a/b
12/
π/2
  1  
E(κ) 2
=−11− sin φφd
 
 
∫
   
κ
Σρ = ρ + ρ + ρ + ρ
11 12 21 22
ρρ=
11 12
=
D
w
Substituting Formula (3) and Formula (4) into Formula (2) for the case of E = E = E and ν = ν = ν,
1 2 1 2
E()κ
32π  
Q =σκ (5)
max  
Σρ
 
3E
and
2 K ()κ 
1− −10 −F ρ = (6)
()
 
E κ
()
κ −1 
where
E
E
=
1−ν
E = 2,07 × 10 MPa
ν = 0,3
−12/
π/2
  1  
K(κ)
=−11− sin φφd
 
∫  
   
κ
ρρ−+ρρ−
11 12 21 22
=
F()ρ
ρρ++ρρ+
11 12 21 22
Consequently, from Formula (5),
E ()κ
 
−10 3
Q =×6,476 20651 0 κ σ (7)
  max
Σρ
 
4.1.2 Basic formula for line contact
The relationship between a calculated contact stress and a rolling element load for a line contact is
given in Reference [9] as follows,
12/
 
2Q y
 
σ =−1 (8)
 
 
πLb b
 
we  
 
It is concluded that the maximum calculated contact stress (σ ) from Formula (8) occurs at the line of
max
y = 0,
2Q π Lb
we
σσ== orQ (9)
max max
π Lb 2
we
And also b is given by the following formula,
12/
2 2
  
4Q 11−νν−
1 2
b = + (10)
  
 
π LEΣρ E
 we 1 2 
  
where
Σρ = ρ + ρ + ρ + ρ
11 12 21 22
ρ
=
D
we
ρ
2 γ
=±  ; the upper sign applies to inner ring contact and the lower to outer ring contact;
D 1 γ
we
ρ
= 0
ρ
= 0
D cos α
we
γ =
D
pw
Substituting Formula (10) into Formula (9) for the case of E = E = E and ν = ν = ν,
1 2 1 2
L
2 we
Q=2πσ
max
E Σρ
where
E
E
=
1−ν
E = 2,07 × 10 MPa
ν = 0,3
Consequently,
L
−52we
Q =×2,762 173  210 σ (11)
max
Σρ
4.2 Basic static radial load rating C for radial ball bearings
0r
4.2.1 Radial and angular contact groove ball bearings
The curvature sum Σρ and the relative curvature difference F(ρ) of radial and angular contact groove
ball bearings is given by the following formulae,
 
2 γ 1
Σρ =±2 −  (12)
 
Df1γ 2
w ie()
 
γ 1
±+
1γ 2f
ie
()
F()ρ = (13)
γ 1
2±−
1γ 2f
ie
()
where
the upper sign applies to inner ring contact and the lower to outer ring contact;
D cos α
w
γ
=
D
pw
f denotes
i(e)
r
i
f
i = forinnerr ingcontact, and
D
w
r
e
= forouter ringcontact
f
e
D
w
Substituting Formula (12) into Formula (7),
 
 
D E ()κ
−10  w  3
Q =×6,476 206510 κ σ (14)
maax
 
2 γ 1
2 ±−
 
 
1 γ 2f
ie
()
 
Substituting Formula (12) and Formula (14) into Formula (15) (see Reference [10]), and furthermore
exchanging Q for Q , gives
max
C = ZQ cos (15)
0rmax
S
where S is a function of the loaded zone parameter ε. If one half of the balls are loaded then S = 4,37
applies. A common value used in general bearing calculations is S = 5, which leads to a rather
conservative estimate of the maximum ball load.
C = 0,2 Z Q cos α (16)
0r max
Consequently,
 
 
σ E ()κ
  1
−10 max 2
 
C =×02,,6 476 20651××04() 000 κ × ZD cos α
0r   w
 
γ 1
4 000 4
 
22 ±−
 
 
1 γ 2f
ie()
 
where the upper sign refers to the inner ring and the lower sign refers to the outer ring. Therefore,
introducing the number of rows, i, of balls gives Formula (17):
Cf= iZ D cos (17)
00rw
where f is the factor which depends on the geometry of the bearing components and on applicable
stress level:
 
 
σ E κ
()
 
max
 
f =2,072 κ (18)
 
 
γ 1
4 000
 
2 ±−
 
 
1 γ 2f
ie()
 
For an inner ring with f = 0,52, Formula (18) becomes,
i
 
 
σ E ()κ
 
max
 
f =2,072 κ (19)
0  
4 000 γ 1
 
 
2 + −
 
1 − γ 10, 4
 
and for an outer ring with f = 0,53,
e
 
 
σ E κ
()
 
max
 
f =2,072 κ (20)
0  
γ 1
4 000
   
2 − −
 
1 + γ 10, 6
 
The smaller value between the f values calculated from Formula (19) and Formula (20) is used in the
calculation of static load ratings.
The values of factor f in Table 1 of ISO 76:2006 are calculated from substituting the values for κ, E(κ)
and γ = D cos α/D shown in Table A.1, and σ = 4 200 MPa into the above formula.
w pw max
These values apply to bearings with a cross-sectional raceway groove radius not larger than 0,52 D in
w
radial and angular contact groove ball bearing inner rings, and 0,53 D in radial and angular contact
w
groove ball bearing outer rings and self-aligning ball bearing inner rings
The load-carrying ability of a bearing is not necessarily increased by the use of a smaller groove radius,
but is reduced by the use of a larger groove radius. In the latter case, a correspondingly reduced value
of f is used.
4.2.2 Self‑aligning ball bearings
The curvature sum Σρ of self-aligning ball bearings is given by the following formula for an outer ring:
 
Σρ = (21)
 
D 1+γ
 
w
Substituting Formula (21) into Formula (7),
D
 
−10 3
w
Q =×6,476 206510 κγ1 + E κσ (22)
() ()
max
 
 
In general, κ = a/b = 1 for the case of contact between an outer ring raceway and balls of self-aligning
ball bearings. Consequently,
12/
/ /
π 2 π 2
1 π
   
E κ =−11 − sin φφdd==φ
()
   
∫ ∫
0 0
  κ  
Therefore, Formula (22) is obtained
D
 
−10 w 3
Q =×6,476 206510 κγ1 + π σ (23)
()
  max
 
Substituting Formula (23) into Formula (16) and moreover exchanging Q for Q ,
max
σ
π
   
max 2
CZ=2,072 ()1 + γα D cos
0r   w
 
4 000 4 
 
Introducing the number of rows of balls i yields Formula (24)
Cf= iZ D cos (24)
00rw
where
σ
  π
 
max
f =2,072 ()1 + γ (25)
0  
 
4 000 4
 
 
The values of factor f in Table 1 of ISO 76:2006 are calculated from substituting σ = 4 600 MPa and
0 max
values of γ = D cos α/D shown in the Table 1 of ISO 76:2006 into Formula (25).
w pw
4.3 Basic static axial load rating C for thrust ball bearings
0a
The curvature sum Σρ and the relative curvature difference F(ρ) of thrust ball bearings is given by the
following formulae:
2  γ 1 
Σρ =±2 − (26)
 
Df1γ 2
 
w
γ 1
±+
1γ 2f
F()ρ = (27)
γ 1
2±−
1γ 2f
where the upper sign refers to the inner ring and the lower sign refers to the outer ring and
f = r/D
w
Substituting Formula (26) into Formula (7),
 
 
D E ()κ
−10 w 3
 
Q =×6,476 206510 κ σ (28)
max
γ 1
 
2 ±−
 
1 γ 2f
 
Substituting Formula (28) into the following Formula (29),
C = Z Q sin α (29)
0a max
Therefore,
 
 
σ E κ
()
 
max 2
 
C =10,362 κ ZD  sin α (30)
0a   ww
γ 1
4 000
   
2 ±−
 
1 γ 2f
 
The smaller value C calculated from Formula (30) is adopted. For washers with f = 0,54, using the
0a
upper sign gives Formula (31),
Cf= ZD sin (31)
00aw
where
 
 
σ E ()κ
 
max
=  
f 10,362 κ (32)
0  
γ 1
4 000
 
 
2 + −
 
1 − γ 10, 8
 
The values of factor f in Table 1 of ISO 76:2006 are calculated from substituting the values for κ, E(κ)
and γ = D cos α/D shown in Table A.2, and σ = 4 200 MPa into Formula (32).
w pw max
4.4 Basic static radial load rating C for radial roller bearings
0r
The curvature sum Σρ for radial roller bearings is given by the following formula,
Σ ρ = (33)
D 1 γ
we
Substituting Formula (33) into Formula (11) and adopting the smaller Q,
−52
QL=×1,381 0867101 − γσD (34)
()
we we max
Substituting Formula (34) into the following formula gives Formula (35),
C = ZQ cos (35)
0rmax
S
where S is a function of the loaded zone parameter ε. If one half of the rollers are loaded then S = 4,08
applies. A common value used in general bearing calculations is S = 5, which leads to a rather
conservative estimate of the maximum roller load.
σ
 
max
CZ=44,194 774 ()1 − γα LD cos
0r   we we
4 000
 
Consequently, adopting σ = 4 000 MPa and introducing the number of rows, i, of rollers gives
max
Formula (36),
 
D cos α
we
C =−44 1 iZ LD cos (36)
 
0r we we
 
D
pw
 
NOTE The value has been rounded for use in the final document.
4.5 Basic static axial load rating C for thrust roller bearings
0a
The curvature sum Σρ of thrust roller bearings is given by Formula (33) and Q is given by Formula (34).
Substituting Formula (33) and Formula (34) into Formula (29),
σ
 
max
CZ=220,973 87 ()1 − γα LD sin
0a   we we
4 000
 
Consequently, adopting σ = 4 000 MPa, gives Formula (37)
max
 
D cos α
we
C =−220 1 ZL D sin (37)
 
0a we we
 
D
pw
 
NOTE The value has been rounded for use in the final document.
5 Static equivalent load
5.1 Theoretical static equivalent radial load P for radial bearings
0r
5.1.1 Single‑row radial bearings and radial contact groove ball bearings (nominal contact
angle α = 0°)
Assuming both the bearing rings will yield a parallel displacement when a radial and axial loads act
simultaneously on single-row radial bearings, the maximum rolling element load, Q , is given by
max
Formula (38):
F F
r a
Q == (38)
max
ZJ cossαα ZJin
r a
The radial and axial load integrals are given by Formula (39)
t
+ψ 
1 1
o  
JJ= ()ε =−1 ()1 −cosd ψψcos ψ

rr
∫  
−ψ
2π  2ε 
o 
(39)

t
+ψ

1 1
o  
JJ= ()ε = 1 −−()1 cosd ψψ
aa 
∫  
−ψ
22π  2ε  
o
where t is the exponent in the deflection-load formula
t = 3/2 for point contact;
t = 1,1 for line contact.
Assuming the bearing has no radial internal clearance under mounting, the static equivalent radial load
becomes P = F when the rings displace in the radial direction (ε = 0,5). Consequently, the following
0r r
formula can be obtained from Formula (38)
P
0r
Q =
max
ZJ cosα 05,
()
r
the following relationship yields
F J
r r
= (40)
P J ()05,
0r r
F cot α J
a a
= (41)
P J ()05,
0r r
The values calculated from Formula (40) and Formula (41) for a constant contact angle α are given in
Table 1. In accordance with the functional relationship given in this table, the static equivalent radial
load P for the given values of F , F and α can be obtained. The relationship between F /P and F cot α/
0r r a r 0r a
P is also shown in Figure 1.
0r
Table 1 — Values for F /P and F cot α/P versus F tan α/F for single‑row radial bearings
r 0r a 0r r a
Ball bearings Roller bearings
ε
F tan α/F F /P F cot α/P F tan α/F F /P F cot α/P
r a r 0r a 0r r a r 0r a 0r
0,5 0,822 5 1 1,215 8 0,794 0 1 1,259 5
0,6 0,783 5 1,055 8 1,347 5 0,748 2 1,046 9 1,399 3
0,7 0,742 7 1,094 9 1,474 3 0,700 0 1,074 6 1,535 3
0,8 0,699 5 1,118 3 1,598 8 0,648 4 1,083 4 1,670 9
0,9 0,652 9 1,125 5 1,723 9 0,591 7 1,071 1 1,810 2
1 0,600 0 1,112 8 1,854 7 0,523 8 1,028 6 1,963 8
1,25 0,453 8 1,000 3 2,204 3 0,360 0 0,847 4 2,354 1
1,67 0,308 0 0,816 5 2,651 2 0,233 3 0,646 4 2,770 3
2,5 0,185 0 0,585 2 3,163 7 0,137 2 0,438 2 3,194 8
5 0,083 1 0,310 8 3,740 0 0,061 1 0,221 8 3,631 7
∞ 0 0 4,370 6 0 0 4,076 6
Key
1 ball bearing
2 roller bearing
NOTE A, B and C are used to define line segments.
Figure 1 — Theoretical relationship between radial and axial loads versus static equivalent
load for single‑row radial bearings
Table 1 and Figure 1 are calculated and plotted based on the assumption of a constant contact angle.
However, the above relationship is also approximately applicable to ball bearings (e.g. angular contact
groove ball bearings), a contact angle of which varies with the load, if cot α′ given by the following
[12]
Formula (42) is substituted for cot α
23/
 
F
cos α c
a
=+1   (42)
 2 
′ 2r
cos α
′
ZD sin α
 
w
−1
D
w
where
c is the compression constant depending on the elastic modulus and conformity 2 r/D ;
w
r is the curvature radius of a raceway cross-section;
D is the nominal ball diameter (see Table 2).
w
c
Table 2 — Values of c and
r
2 −1
D
w
2 r/D 1,032 5 1,035 1,037 5 1,06
w
c × 10 4,321 7 4,387 1 4,474 5 4,954 7
c
r 0,013 23 0,012 53 0,011 93 0,008 258
21−
D
w
2/3
NOTE The unit of c is "1/MPa ".
F
a
For an example of 2 r/D = 1,035, the values of cot α′ for each value of for angular contact groove
w
ZD
w
ball bearings with α = 15° ∼ 45° are given in Table 3.
Table 3 — Example of values of cot α´ for angular contact groove ball bearings
F
a
ZD
w
α
0,5 1 2 5 10
cot α´
15° 3,024 2,793 2,
...

TECHNICAL ISO/TR
REPORT 10657
Second edition
2021-11
Explanatory notes on ISO 76
Notes explicatives sur l'ISO 76
Reference number
© ISO 2021
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be reproduced or utilized otherwise in any form or by any means, electronic or mechanical, including photocopying, or posting on
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Phone: [phone]
Email: [e-mail]
Website: www.iso.org
Published in Switzerland
ii
Contents Page
Foreword .iv
Introduction .v
1 Scope . 1
2 Normative references . 1
3 Terms, definitions and symbols . 1
3.1 Terms and definitions . 1
3.2 Symbols . 1
4 Basic static load ratings . 3
4.1 General . 3
4.1.1 Basic formula for point contact . 3
4.1.2 Basic formula for line contact . 5
4.2 Basic static radial load rating C for radial ball bearings . 6
0r
4.2.1 Radial and angular contact groove ball bearings . 6
4.2.2 Self-aligning ball bearings . 8
4.3 Basic static axial load rating C for thrust ball bearings . 8
0a
4.4 Basic static radial load rating C for radial roller bearings . 10
0r
4.5 Basic static axial load rating C for thrust roller bearings . 10
0a
5 Static equivalent load .11
5.1 Theoretical static equivalent radial load P for radial bearings . 11
0r
5.1.1 Single-row radial bearings and radial contact groove ball bearings
(nominal contact angle α = 0°) . 11
5.1.2 Double-row radial bearings . 17
5.2 Theoretical static equivalent axial load P for thrust bearings . 18
0a
5.2.1 Single-direction thrust bearings . 18
5.2.2 Double-direction thrust bearings . 21
5.3 Approximate formulae for theoretical static equivalent load . 23
5.3.1 Radial bearings . 23
5.3.2 Thrust bearings . . 24
5.4 Practical formulae of static equivalent load . 24
5.4.1 Radial bearings . 24
5.4.2 Thrust bearings . .28
5.5 Static radial load factor X and static axial load factor Y .29
0 0
5.5.1 Radial bearings .29
5.5.2 Thrust bearings . 33
Annex A (normative) Values for γ, κ and E(κ) .35
Bibliography .38
iii
Foreword
ISO (the International Organization for Standardization) is a worldwide federation of national standards
bodies (ISO member bodies). The work of preparing International Standards is normally carried out
through ISO technical committees. Each member body interested in a subject for which a technical
committee has been established has the right to be represented on that committee. International
organizations, governmental and non-governmental, in liaison with ISO, also take part in the work.
ISO collaborates closely with the International Electrotechnical Commission (IEC) on all matters of
electrotechnical standardization.
The procedures used to develop this document and those intended for its further maintenance are
described in the ISO/IEC Directives, Part 1. In particular, the different approval criteria needed for the
different types of ISO documents should be noted. This document was drafted in accordance with the
editorial rules of the ISO/IEC Directives, Part 2 (see www.iso.org/directives).
Attention is drawn to the possibility that some of the elements of this document may be the subject of
patent rights. ISO shall not be held responsible for identifying any or all such patent rights. Details of
any patent rights identified during the development of the document will be in the Introduction and/or
on the ISO list of patent declarations received (see www.iso.org/patents).
Any trade name used in this document is information given for the convenience of users and does not
constitute an endorsement.
For an explanation of the voluntary nature of standards, the meaning of ISO specific terms and
expressions related to conformity assessment, as well as information about ISO's adherence to
the World Trade Organization (WTO) principles in the Technical Barriers to Trade (TBT), see
www.iso.org/iso/foreword.html.
This document was prepared by Technical Committee ISO/TC 4, Rolling bearings, Subcommittee SC 8,
Load ratings and life.
This second edition cancels and replaces the first edition (ISO 10657:1991), which has been technically
revised.
The main changes compared to the previous edition are as follows:
— New subclause 0.4 and 0.5 included with explanations concerning the 2006 edition of ISO 76:2006
and ISO 76/Amd.1:2017;
— Inclusion of Clause 3 for symbols;
— Table 16 and Table 18 amended according to additional values in ISO 76:2006 (values of X and Y at
0 0
contact angles 5° and 10° of angular contact ball bearings).
Any feedback or questions on this document should be directed to the user’s national standards body. A
complete listing of these bodies can be found at www.iso.org/members.html.
iv
Introduction
0.1  ISO/R 76:1958
ISO/R 76, Ball and Roller Bearings — Methods of Evaluating Static Load Ratings, was drawn up by
Technical Committee ISO/TC 4, Ball and Roller Bearings.
[2],[3]
ISO/R 76 was based on the studies of A. Palmgren et al . The basic static load ratings were defined
to correspond to a total permanent deformation of rolling element and raceway at the most heavily
stressed rolling element/raceway contact of 0,000 1 of the rolling element diameter. Then the standard
values confined to the basic static load ratings for special inner design rolling bearings were laid down.
ISO/R 76:1958 was approved by 28 (out of a total of 38) member bodies and was then submitted to the
ISO Council, which decided, in December 1958, to accept it as an ISO Recommendation.
0.2  ISO 76:1978
ISO/TC 4 decided to include the revision of ISO/R 76 in its programme of work and ISO/TC 4/SC 8
secretariat was requested to prepare a draft proposal. As a result, the secretariat submitted a draft
[3]
proposal in January 1976.
The draft proposal was accepted by 6 of the 8 members of ISO/TC 4/SC 8. Of the remaining two, Japan
[4]
preferred further study and USA, its counter proposal, document ISO/TC 4/SC 8 N 64 . The draft was
then submitted to the ISO Central Secretariat. After the draft had been approved by the ISO member
bodies, the ISO Council decided in June 1978 to accept it as an International Standard.
ISO 76:1978 adopted the SI unit newton and was revised in total, but without essential changes of
substance. However, values of X and Y for the nominal contact angles 15° and 45° for angular contact
0 0
groove ball bearings were added to the table to calculate the static equivalent radial loads of radial ball
bearings (see ISO 76:1978, Table 2).
0.3  ISO 76:1987
[4]
During the revision of ISO/R 76:1958, USA had in 1975 submitted a counter proposal for the basic
static load ratings based on a calculated contact stress.
The secretariat requested a vote on the revision of the static load ratings based on a contact stress level
in January 1978 and afterward circulated the voted results in June 1978, and the item No. of revision
work had become No. 157 of the programme of work of TC 4.
[5] [6]
ISO/TC 4/SC 8, considering the proposals made in the documents TC 4/SC 8 N 75 and TC 4 N 865 ,
as well as the comments made by TC 4 members and that several SC 8 members expressed a need
for updating ISO 76, agreed to continue its study taking into account the possibility of using either
permanent deformation or stress level as a basis for static load ratings, and ISO/TC 4/SC 8 requested
its secretariat to prepare a new draft. The new draft was intended to be prepared with the principles
and formulae of the document TC 4/SC 8 N 75, and to include levels of contact stress for various rolling
element contact stated to be generally corresponding to a permanent deformation of 0,000 1 of the
rolling element diameter at the centre of the most heavily stressed rolling element/raceway contact.
For roller bearings a stress level of 4 000 MPa was agreed and then ISO/TC 4/SC 8 agreed, by a majority
vote, that static load ratings should correspond to calculated contact stresses of
4 000 MPa for roller bearings,
4 600 MPa for self-aligning ball bearings, and
4 200 MPa for all other ball bearings to which the standard applies.
For these calculated contact stresses, a total permanent deformation occurs at the centre of the most
heavily stressed rolling element/raceway contact, and its deformation is approximately 0,000 1 of the
rolling element diameter.
v
ISO 76 was submitted to the ISO Central Secretariat in 1985, and after it had been approved by the
ISO members, the ISO Council decided in February 1987 to accept it as an International Standard.
Furthermore, ISO/TC 4/SC 8 decided that supplementary background information, regarding the
derivation of formulae and factors given in ISO 76, should be published as a Technical Report. This
Technical report was published as ISO/TR 10657:1991.
An Amendment to ISO 76:1987 that explains the discontinuities in load ratings between radial- and
axial bearings was published as ISO 76:1987/Amd.1:1999.
0.4  ISO 76:2006
A systematic review of ISO 76:1987 was agreed in 2003, based on the prior held balloting process and
documents TC 4/SC 8 N 233 and N 235.
ISO 76:2006 includes editorial adaptations and updates as well as an extension by the static safety
factor S . Furthermore, ISO 76:1987/Amd.1:1999 was integrated and became the informative Annex A
“Discontinuities in the calculation of basic static load ratings”.
0.5  ISO 76:2006/Amd.1:2017
ISO 76:2006/Amd.1:2017 includes the following items:
— graphs for the factors f , X and Y taken from draft ÖNORM M 6320 to be included in an informative
0 0 0
annex;
— formulae for the calculation of the load rating factor f from ISO/TR 10657 to be introduced in the
normative part of the standard;
— the tables for the load rating factor f will stay in the normative part of the standard, however a
sentence will be introduced stating that the results obtained from formulae are preferred.
vi
TECHNICAL REPORT ISO/TR 10657:2021(E)
Explanatory notes on ISO 76
1 Scope
This document specifies supplementary background information regarding the derivation of formulae
and factors given in ISO 76:2006.
2 Normative references
There are no normative references in this document.
3 Terms, definitions and symbols
3.1 Terms and definitions
No terms and definitions are listed in this document.
ISO and IEC maintain terminology databases for use in standardization at the following addresses:
— ISO Online browsing platform: available at https:// www .iso .org/ obp
— IEC Electropedia: available at https:// www .electropedia .org/
3.2 Symbols
C basic static axial load rating, in newtons
0a
C basic static radial load rating, in newtons
0r
D pitch diameter of ball or roller set, in millimetres
pw
D nominal ball diameter, in millimetres
w
D roller diameter applicable in the calculation of load ratings, in millimetres
we
E modulus of elasticity (Young’ s modulus), in megapascals
E , E modulus of elasticity of body 1 (rolling element) and of body 2 (raceway), in megapascals
1 2
E(κ) complete elliptic integral of the second kind
E E/(1 − ν )
F bearing axial load (axial component of actual bearing load), in newtons
a
F bearing radial load (radial component of actual bearing load), in newtons
r
F(ρ) relative curvature difference
J (ε) axial load integral
a
J (ε) radial load integral
r
K(κ) complete elliptic integral of the first kind
L length of roller applicable in the calculation of load ratings, in millimetres
we
P theoretical static equivalent axial load for thrust bearing, general speaking, called static
0a
equivalent axial load, in newtons
P theoretical static equivalent radial load for radial bearing, general speaking, called static
0r
equivalent radial load, in newtons
Q normal force between rolling element and raceway, in newtons
Q maximum normal force between rolling element and raceway, in newtons
max
S Stribeck number
X static radial load factor
Y static axial load factor
Z number of balls carrying load in one direction, number of balls or rollers per row, or number
of rolling elements per row
a semi-major axis of the projected contact ellipse, semilength of the contact surface
b semi-minor axis of the projected contact ellipse, semi-width of the contact surface
2/3
c compression constant, in 1/megapascals
f osculation = r/D
w
f osculation at the outer ring = r /D
e e w
f osculation at the inner ring = r /D
i i w
f factor which depends on the geometry of the bearing components and on applicable stress level
i number of rows of balls or rollers in a bearing
k load distribution parameter
r curvature radius of a raceway cross-section, in millimetres
r outer ring groove radius, in millimetres
e
r inner ring groove radius, in millimetres
i
t exponent in load–deflection formula
x distance in direction of the semi-major axis, in millimetres
y distance in direction of the semi-minor axis, in millimetres
α nominal contact angle, in degrees
α′ actual contact angle, in degrees
γ auxiliary parameter, γ = D cos α /D for ball bearings with α ≠ 90°
w pw
γ = D /D for ball bearings with α = 90°
w pw
γ = D cos α /D for roller bearings with α ≠ 90°
we pw
γ = D /D for roller bearings with α = 90°
we pw
ε parameter indicating the width of the loaded zone
κ ratio of semi-major to semi-minor axis = a/b
ν Poisson’s ratio
ν Poisson’s ratio of body 1 (rolling element)
ν Poisson’s ratio of body 2 (raceway)
Σρ curvature sum
ρ , ρ principal curvature of body 1 (rolling element)
11 12
ρ , ρ principal curvature of body 2 (raceway)
21 22
σ calculated contact stress, in megapascals
σ maximum calculated contact stress, in megapascals
max
ϕ auxiliary angle, in radians
ψ one half of the loaded arc
4 Basic static load ratings
4.1 General
4.1.1 Basic formula for point contact
The relationship between a calculated contact stress and a rolling element load within an elliptical
contact area is given in Reference [8] as Formula (1),
12/
 
3Q x y
   
σ =−1 − (1)
 
   
2π ab a   b 
 
 
It is concluded that the maximum calculated contact stress (σ ) occurs at the point of x = 0 and y = 0,
max
3Q 2π ab
σσ== orQ (2)
maxmax
2π ab 3
According to the Hertz’s theory,
13/
113/
2 2 2
    
2κκE () 11−νν−
3Q
1 2
a =    +  (3)
 
   
πΣ2 ρ EE
 
1 2
    
13/
13/
2 2
  
2E κ
() 3Q 11−νν−
 
1 2
b= + (4)
  
 
 
πΣκρ2 EE
 
 1 2 
  
where
κ = a/b
12/
π/2
  1  
E(κ) 2
=−11− sin φφd
 
 
∫
   
κ
Σρ = ρ + ρ + ρ + ρ
11 12 21 22
ρρ=
11 12
=
D
w
Substituting Formula (3) and Formula (4) into Formula (2) for the case of E = E = E and ν = ν = ν,
1 2 1 2
E()κ
32π  
Q =σκ (5)
max  
Σρ
 
3E
and
2 K ()κ 
1− −10 −F ρ = (6)
()
 
E κ
()
κ −1 
where
E
E
=
1−ν
E = 2,07 × 10 MPa
ν = 0,3
−12/
π/2
  1  
K(κ)
=−11− sin φφd
 
∫  
   
κ
ρρ−+ρρ−
11 12 21 22
=
F()ρ
ρρ++ρρ+
11 12 21 22
Consequently, from Formula (5),
E ()κ
 
−10 3
Q =×6,476 20651 0 κ σ (7)
  max
Σρ
 
4.1.2 Basic formula for line contact
The relationship between a calculated contact stress and a rolling element load for a line contact is
given in Reference [9] as follows,
12/
 
2Q y
 
σ =−1 (8)
 
 
πLb b
 
we  
 
It is concluded that the maximum calculated contact stress (σ ) from Formula (8) occurs at the line of
max
y = 0,
2Q π Lb
we
σσ== orQ (9)
max max
π Lb 2
we
And also b is given by the following formula,
12/
2 2
  
4Q 11−νν−
1 2
b = + (10)
  
 
π LEΣρ E
 we 1 2 
  
where
Σρ = ρ + ρ + ρ + ρ
11 12 21 22
ρ
=
D
we
ρ
2 γ
=±  ; the upper sign applies to inner ring contact and the lower to outer ring contact;
D 1 γ
we
ρ
= 0
ρ
= 0
D cos α
we
γ =
D
pw
Substituting Formula (10) into Formula (9) for the case of E = E = E and ν = ν = ν,
1 2 1 2
L
2 we
Q=2πσ
max
E Σρ
where
E
E
=
1−ν
E = 2,07 × 10 MPa
ν = 0,3
Consequently,
L
−52we
Q =×2,762 173  210 σ (11)
max
Σρ
4.2 Basic static radial load rating C for radial ball bearings
0r
4.2.1 Radial and angular contact groove ball bearings
The curvature sum Σρ and the relative curvature difference F(ρ) of radial and angular contact groove
ball bearings is given by the following formulae,
 
2 γ 1
Σρ =±2 −  (12)
 
Df1γ 2
w ie()
 
γ 1
±+
1γ 2f
ie
()
F()ρ = (13)
γ 1
2±−
1γ 2f
ie
()
where
the upper sign applies to inner ring contact and the lower to outer ring contact;
D cos α
w
γ
=
D
pw
f denotes
i(e)
r
i
f
i = forinnerr ingcontact, and
D
w
r
e
= forouter ringcontact
f
e
D
w
Substituting Formula (12) into Formula (7),
 
 
D E ()κ
−10  w  3
Q =×6,476 206510 κ σ (14)
maax
 
2 γ 1
2 ±−
 
 
1 γ 2f
ie
()
 
Substituting Formula (12) and Formula (14) into Formula (15) (see Reference [10]), and furthermore
exchanging Q for Q , gives
max
C = ZQ cos (15)
0rmax
S
where S is a function of the loaded zone parameter ε. If one half of the balls are loaded then S = 4,37
applies. A common value used in general bearing calculations is S = 5, which leads to a rather
conservative estimate of the maximum ball load.
C = 0,2 Z Q cos α (16)
0r max
Consequently,
 
 
σ E ()κ
  1
−10 max 2
 
C =×02,,6 476 20651××04() 000 κ × ZD cos α
0r   w
 
γ 1
4 000 4
 
22 ±−
 
 
1 γ 2f
ie()
 
where the upper sign refers to the inner ring and the lower sign refers to the outer ring. Therefore,
introducing the number of rows, i, of balls gives Formula (17):
Cf= iZ D cos (17)
00rw
where f is the factor which depends on the geometry of the bearing components and on applicable
stress level:
 
 
σ E κ
()
 
max
 
f =2,072 κ (18)
 
 
γ 1
4 000
 
2 ±−
 
 
1 γ 2f
ie()
 
For an inner ring with f = 0,52, Formula (18) becomes,
i
 
 
σ E ()κ
 
max
 
f =2,072 κ (19)
0  
4 000 γ 1
 
 
2 + −
 
1 − γ 10, 4
 
and for an outer ring with f = 0,53,
e
 
 
σ E κ
()
 
max
 
f =2,072 κ (20)
0  
γ 1
4 000
   
2 − −
 
1 + γ 10, 6
 
The smaller value between the f values calculated from Formula (19) and Formula (20) is used in the
calculation of static load ratings.
The values of factor f in Table 1 of ISO 76:2006 are calculated from substituting the values for κ, E(κ)
and γ = D cos α/D shown in Table A.1, and σ = 4 200 MPa into the above formula.
w pw max
These values apply to bearings with a cross-sectional raceway groove radius not larger than 0,52 D in
w
radial and angular contact groove ball bearing inner rings, and 0,53 D in radial and angular contact
w
groove ball bearing outer rings and self-aligning ball bearing inner rings
The load-carrying ability of a bearing is not necessarily increased by the use of a smaller groove radius,
but is reduced by the use of a larger groove radius. In the latter case, a correspondingly reduced value
of f is used.
4.2.2 Self‑aligning ball bearings
The curvature sum Σρ of self-aligning ball bearings is given by the following formula for an outer ring:
 
Σρ = (21)
 
D 1+γ
 
w
Substituting Formula (21) into Formula (7),
D
 
−10 3
w
Q =×6,476 206510 κγ1 + E κσ (22)
() ()
max
 
 
In general, κ = a/b = 1 for the case of contact between an outer ring raceway and balls of self-aligning
ball bearings. Consequently,
12/
/ /
π 2 π 2
1 π
   
E κ =−11 − sin φφdd==φ
()
   
∫ ∫
0 0
  κ  
Therefore, Formula (22) is obtained
D
 
−10 w 3
Q =×6,476 206510 κγ1 + π σ (23)
()
  max
 
Substituting Formula (23) into Formula (16) and moreover exchanging Q for Q ,
max
σ
π
   
max 2
CZ=2,072 ()1 + γα D cos
0r   w
 
4 000 4 
 
Introducing the number of rows of balls i yields Formula (24)
Cf= iZ D cos (24)
00rw
where
σ
  π
 
max
f =2,072 ()1 + γ (25)
0  
 
4 000 4
 
 
The values of factor f in Table 1 of ISO 76:2006 are calculated from substituting σ = 4 600 MPa and
0 max
values of γ = D cos α/D shown in the Table 1 of ISO 76:2006 into Formula (25).
w pw
4.3 Basic static axial load rating C for thrust ball bearings
0a
The curvature sum Σρ and the relative curvature difference F(ρ) of thrust ball bearings is given by the
following formulae:
2  γ 1 
Σρ =±2 − (26)
 
Df1γ 2
 
w
γ 1
±+
1γ 2f
F()ρ = (27)
γ 1
2±−
1γ 2f
where the upper sign refers to the inner ring and the lower sign refers to the outer ring and
f = r/D
w
Substituting Formula (26) into Formula (7),
 
 
D E ()κ
−10 w 3
 
Q =×6,476 206510 κ σ (28)
max
γ 1
 
2 ±−
 
1 γ 2f
 
Substituting Formula (28) into the following Formula (29),
C = Z Q sin α (29)
0a max
Therefore,
 
 
σ E κ
()
 
max 2
 
C =10,362 κ ZD  sin α (30)
0a   ww
γ 1
4 000
   
2 ±−
 
1 γ 2f
 
The smaller value C calculated from Formula (30) is adopted. For washers with f = 0,54, using the
0a
upper sign gives Formula (31),
Cf= ZD sin (31)
00aw
where
 
 
σ E ()κ
 
max
=  
f 10,362 κ (32)
0  
γ 1
4 000
 
 
2 + −
 
1 − γ 10, 8
 
The values of factor f in Table 1 of ISO 76:2006 are calculated from substituting the values for κ, E(κ)
and γ = D cos α/D shown in Table A.2, and σ = 4 200 MPa into Formula (32).
w pw max
4.4 Basic static radial load rating C for radial roller bearings
0r
The curvature sum Σρ for radial roller bearings is given by the following formula,
Σ ρ = (33)
D 1 γ
we
Substituting Formula (33) into Formula (11) and adopting the smaller Q,
−52
QL=×1,381 0867101 − γσD (34)
()
we we max
Substituting Formula (34) into the following formula gives Formula (35),
C = ZQ cos (35)
0rmax
S
where S is a function of the loaded zone parameter ε. If one half of the rollers are loaded then S = 4,08
applies. A common value used in general bearing calculations is S = 5, which leads to a rather
conservative estimate of the maximum roller load.
σ
 
max
CZ=44,194 774 ()1 − γα LD cos
0r   we we
4 000
 
Consequently, adopting σ = 4 000 MPa and introducing the number of rows, i, of rollers gives
max
Formula (36),
 
D cos α
we
C =−44 1 iZ LD cos (36)
 
0r we we
 
D
pw
 
NOTE The value has been rounded for use in the final document.
4.5 Basic static axial load rating C for thrust roller bearings
0a
The curvature sum Σρ of thrust roller bearings is given by Formula (33) and Q is given by Formula (34).
Substituting Formula (33) and Formula (34) into Formula (29),
σ
 
max
CZ=220,973 87 ()1 − γα LD sin
0a   we we
4 000
 
Consequently, adopting σ = 4 000 MPa, gives Formula (37)
max
 
D cos α
we
C =−220 1 ZL D sin (37)
 
0a we we
 
D
pw
 
NOTE The value has been rounded for use in the final document.
5 Static equivalent load
5.1 Theoretical static equivalent radial load P for radial bearings
0r
5.1.1 Single‑row radial bearings and radial contact groove ball bearings (nominal contact
angle α = 0°)
Assuming both the bearing rings will yield a parallel displacement when a radial and axial loads act
simultaneously on single-row radial bearings, the maximum rolling element load, Q , is given by
max
Formula (38):
F F
r a
Q == (38)
max
ZJ cossαα ZJin
r a
The radial and axial load integrals are given by Formula (39)
t
+ψ 
1 1
o  
JJ= ()ε =−1 ()1 −cosd ψψcos ψ

rr
∫  
−ψ
2π  2ε 
o 
(39)

t
+ψ

1 1
o  
JJ= ()ε = 1 −−()1 cosd ψψ
aa 
∫  
−ψ
22π  2ε  
o
where t is the exponent in the deflection-load formula
t = 3/2 for point contact;
t = 1,1 for line contact.
Assuming the bearing has no radial internal clearance under mounting, the static equivalent radial load
becomes P = F when the rings displace in the radial direction (ε = 0,5). Consequently, the following
0r r
formula can be obtained from Formula (38)
P
0r
Q =
max
ZJ cosα 05,
()
r
the following relationship yields
F J
r r
= (40)
P J ()05,
0r r
F cot α J
a a
= (41)
P J ()05,
0r r
The values calculated from Formula (40) and Formula (41) for a constant contact angle α are given in
Table 1. In accordance with the functional relationship given in this table, the static equivalent radial
load P for the given values of F , F and α can be obtained. The relationship between F /P and F cot α/
0r r a r 0r a
P is also shown in Figure 1.
0r
Table 1 — Values for F /P and F cot α/P versus F tan α/F for single‑row radial bearings
r 0r a 0r r a
Ball bearings Roller bearings
ε
F tan α/F F /P F cot α/P F tan α/F F /P F cot α/P
r a r 0r a 0r r a r 0r a 0r
0,5 0,822 5 1 1,215 8 0,794 0 1 1,259 5
0,6 0,783 5 1,055 8 1,347 5 0,748 2 1,046 9 1,399 3
0,7 0,742 7 1,094 9 1,474 3 0,700 0 1,074 6 1,535 3
0,8 0,699 5 1,118 3 1,598 8 0,648 4 1,083 4 1,670 9
0,9 0,652 9 1,125 5 1,723 9 0,591 7 1,071 1 1,810 2
1 0,600 0 1,112 8 1,854 7 0,523 8 1,028 6 1,963 8
1,25 0,453 8 1,000 3 2,204 3 0,360 0 0,847 4 2,354 1
1,67 0,308 0 0,816 5 2,651 2 0,233 3 0,646 4 2,770 3
2,5 0,185 0 0,585 2 3,163 7 0,137 2 0,438 2 3,194 8
5 0,083 1 0,310 8 3,740 0 0,061 1 0,221 8 3,631 7
∞ 0 0 4,370 6 0 0 4,076 6
Key
1 ball bearing
2 roller bearing
NOTE A, B and C are used to define line segments.
Figure 1 — Theoretical relationship between radial and axial loads versus static equivalent
load for single‑row radial bearings
Table 1 and Figure 1 are calculated and plotted based on the assumption of a constant contact angle.
However, the above relationship is also approximately applicable to ball bearings (e.g. angular contact
groove ball bearings), a contact angle of which varies with the load, if cot α′ given by the following
[12]
Formula (42) is substituted for cot α
23/
 
F
cos α c
a
=+1   (42)
 2 
′ 2r
cos α
′
ZD sin α
 
w
−1
D
w
where
c is the compression constant depending on the elastic modulus and conformity 2 r/D ;
w
r is the curvature radius of a raceway cross-section;
D is the nominal ball diameter (see Table 2).
w
c
Table 2 — Values of c and
r
2 −1
D
w
2 r/D 1,032 5 1,035 1,037 5 1,06
w
c × 10 4,321 7 4,387 1 4,474 5 4,954 7
c
r 0,013 23 0,012 53 0,011 93 0,008 258
21−
D
w
2/3
NOTE The unit of c is "1/MPa ".
F
a
For an example of 2 r/D = 1,035, the values of cot α′ for each value of for angular contact groove
w
ZD
w
ball bearings with α = 15° ∼ 45° are given in Table 3.
Table 3 — Example of values of cot α´ for angular contact groove ball bearings
F
a
ZD
w
α
0,5 1 2 5 10
cot α´
15° 3,024 2,793 2,
...

Rapport
technique
ISO/TR 10657
Deuxième édition
Notes explicatives sur l'ISO 76
2021-11
Explanatory notes on ISO 76
Numéro de référence
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Publié en Suisse
ii
Sommaire Page
Avant-propos .iv
Introduction .v
1 Domaine d'application . 1
2 Références normatives . 1
3 Termes, définitions et symboles . 1
3.1 Termes et définitions .1
3.2 Symboles .1
4 Charge statique de base . 3
4.1 Généralités .3
4.1.1 Formule de base pour le contact ponctuel.3
4.1.2 Formule de base pour le contact linéaire .4
4.2 Charge radiale statique de base C des roulements radiaux à billes .6
0r
4.2.1 Roulements à billes, à gorges, à contact radial et oblique.6
4.2.2 Roulements à rotule sur billes.8
4.3 Charge axiale statique de base C pour les butées à billes .8
0a
4.4 Charge radiale statique de base C pour les roulements radiaux à rouleaux .9
0r
4.5 Charge axiale statique de base C pour les butées sur rouleaux .10
0a
5 Charge statique équivalente .11
5.1 Charge radiale équivalente statique théorique P pour les roulements radiaux .11
0r
5.1.1 Roulements radiaux à une rangée et roulements à billes, à gorges, à contact
radial (angle de contact nominal α = 0°) .11
5.1.2 Roulements radiaux à deux rangées .17
5.2 Charge axiale équivalente statique théorique P pour les butées .19
0a
5.2.1 Butées à simple effet .19
5.2.2 Butées à double effet .21
5.3 Formules approximatives pour la charge équivalente statique théorique . 23
5.3.1 Roulements radiaux . 23
5.3.2 Butées .24
5.4 Formules pratiques pour la charge équivalente statique .24
5.4.1 Roulements radiaux .24
5.4.2 Butées .27
5.5 Facteur de charge radiale statique X et facteur de charge axiale statique Y . 28
0 0
5.5.1 Roulements radiaux . 28
5.5.2 Butées .32
Annexe A (normative) Valeurs pour γ, κ et E(κ) .34
Bibliographie .37

iii
Avant-propos
L'ISO (Organisation internationale de normalisation) est une fédération mondiale d'organismes nationaux
de normalisation (comités membres de l'ISO). L'élaboration des Normes internationales est en général
confiée aux comités techniques de l'ISO. Chaque comité membre intéressé par une étude a le droit de faire
partie du comité technique créé à cet effet. Les organisations internationales, gouvernementales et non
gouvernementales, en liaison avec l'ISO participent également aux travaux. L'ISO collabore étroitement avec
la Commission électrotechnique internationale (IEC) en ce qui concerne la normalisation électrotechnique.
Les procédures utilisées pour élaborer le présent document et celles destinées à sa mise à jour sont
décrites dans les Directives ISO/IEC, Partie 1. Il convient, en particulier, de prendre note des différents
critères d'approbation requis pour les différents types de documents ISO. Le présent document a
été rédigé conformément aux règles de rédaction données dans les Directives ISO/IEC, Partie 2 (voir
www.iso.org/directives).
L’ISO attire l’attention sur le fait que la mise en application du présent document peut entraîner l’utilisation
d’un ou de plusieurs brevets. L’ISO ne prend pas position quant à la preuve, à la validité et à l’applicabilité de
tout droit de propriété revendiqué à cet égard. Les détails concernant les références aux droits de propriété
intellectuelle ou autres droits analogues identifiés lors de l'élaboration du document sont indiqués dans
l'Introduction et/ou dans la liste des déclarations de brevets reçues par l'ISO (voir www.iso.org/brevets).
Les appellations commerciales éventuellement mentionnées dans le présent document sont données pour
information, par souci de commodité, à l’intention des utilisateurs et ne sauraient constituer un engagement.
Pour une explication de la nature volontaire des normes, la signification des termes et expressions
spécifiques de l'ISO liés à l'évaluation de la conformité, ou pour toute information au sujet de l'adhésion de
l'ISO aux principes de l’Organisation mondiale du commerce (OMC) concernant les obstacles techniques au
commerce (OTC), voir www.iso.org/avant-propos.
Le présent document a été élaboré par le comité technique ISO/TC 4, Roulements, sous-comité SC 8, Charges
de base et durée.
Cette deuxième édition annule et remplace la première édition (ISO 10657:1991), qui a fait l’objet d’une
révision technique.
Les principales modifications par rapport à l'édition précédente sont les suivantes:
— inclusion de nouveaux paragraphes 0.4 et 0.5 avec des explications concernant l'édition 2006 de la norme
ISO 76:2006 et l'ISO 76/Amd.1:2017;
— inclusion de l’Article 3 pour les symboles;
— modification du Tableau 16 et du Tableau 18 conformément aux valeurs supplémentaires de l’ISO 76:2006
(valeurs de X et Y pour des angles de contact de 5° et 10° des roulements à billes à contact oblique).
0 0
Il convient que l’utilisateur adresse tout retour d’information ou toute question concernant le présent
document à l’organisme national de normalisation de son pays. Une liste exhaustive desdits organismes se
trouve à l’adresse www.iso.org/fr/members.html.

iv
Introduction
0.1  ISO/R 76:1958
L'ISO/R 76, Roulements à billes et à rouleaux — Méthodes d'évaluation des charges statiques admissibles, a été
élaborée par le Comité technique ISO/TC 4, Roulements
[2],[3]
L’ISO/R 76 s'appuie sur les études d'A. Palmgren et al . Les charges statiques de base ont été définies de
manière à correspondre à une déformation permanente totale de l'élément roulant et de la piste, au point
de contact le plus sollicité entre l'élément roulant et le chemin de roulement, égale à 0,000 1 du diamètre de
l'élément roulant. Les valeurs de base relatives aux charges statiques de base pour les roulements à rouleaux
à conception interne spéciale ont ensuite été définies.
L’ISO/R 76:1958 a été approuvée par 28 comités membres (sur un total de 38) et a ensuite été soumise au
Conseil de l'ISO, qui a décidé, en décembre 1958, de l'adopter en tant que Recommandation ISO.
0.2  ISO 76:1978
L’ISO/TC 4 a décidé d'inscrire la révision de l’ISO/R 76 à son programme de travail et a demandé au
secrétariat du sous-comité ISO/TC 4/SC 8 de préparer une proposition de projet. En conséquence, le
[3]
secrétariat a présenté une proposition de projet en janvier 1976.
La proposition de projet a été acceptée par 6 des 8 membres de l’ISO/TC 4/SC 8. Parmi les deux propositions
restantes, le Japon a préféré poursuivre l'étude, tandis que les États-Unis ont présenté leur contre-
[4]
proposition, le document ISO/TC 4/SC 8 N 64. Le projet a ensuite été soumis au Secrétariat central de l’ISO.
Une fois le projet approuvé par les comités membres de l'ISO, le Conseil de l'ISO a décidé, en juin 1978, de
l'adopter en tant que norme internationale.
L’ISO 76:1978 a adopté l'unité SI «newton» et a fait l'objet d'une révision complète, sans toutefois apporter de
modifications substantielles. Cependant, les valeurs de X et Y pour les angles de contact nominaux de 15°
0 0
et 45° des roulements à billes, à gorges, à contact radial et oblique ont été ajoutées au tableau afin de calculer
les charges radiales statiques équivalentes des roulements à billes radiaux (voir ISO 76:1978, Tableau 2).
0.3  ISO 76:1987
[4]
Lors de la révision de l’ISO/R 76:1958, les États-Unis avaient présenté en 1975 une contre-proposition
concernant les charges statiques de base, fondée sur une contrainte de contact calculée.
En janvier 1978, le secrétariat a demandé un vote sur la révision des charges statiques admissibles en
fonction du niveau de contrainte de contact puis a ensuite diffusé les résultats du vote en juin 1978, et le
numéro de ce projet de révision est devenu le n° 157 du programme de travail du TC 4.
[5]
L'ISO/TC 4/SC 8, après avoir examiné les propositions formulées dans les documents TC 4/SC 8 N 75 et
[6]
TC 4 N 865, ainsi que les commentaires formulés par les membres du TC 4 et le fait que plusieurs membres
du SC 8 ont exprimé la nécessité de mettre à jour ISO 76, a convenu de poursuivre son étude en tenant compte
de la possibilité d'utiliser soit la déformation permanente, soit le niveau de contrainte comme base pour les
charges statiques, et l'ISO/TC 4/SC 8 a demandé à son secrétariat de préparer un nouveau projet. Il était
prévu que le nouveau projet soit élaboré selon les principes et les formules du document TC 4/SC 8 N 75, et
inclure des niveaux de contrainte de contact pour différents types de contact entre les éléments roulants,
correspondant généralement à une déformation permanente de 0,000 1 du diamètre de l'élément roulant au
centre du contact le plus soumis à des contraintes entre l'élément roulant/le chemin de roulement. Pour les
roulements à rouleaux, un niveau de contrainte de 4 000 MPa a été convenu puis l’ISO/TC 4/SC 8 a ensuite
décidé, à la majorité, qu’il convient que les charges statiques correspondent à des contraintes de contact
calculées de
4 000 MPa pour les roulements à rouleaux,
4 600 MPa pour les roulements à rotule sur billes, et
4 200 MPa pour tous les autres roulements à billes auxquels s'applique la norme.

v
Pour ces contraintes de contact calculées, une déformation permanente totale se produit au centre du contact
le plus soumis à des contraintes entre l'élément roulant/le chemin de roulement, et cette déformation est
d'environ 0,000 1 du diamètre de l'élément roulant.
L’ISO 76 a été soumise au Secrétariat central de l'ISO en 1985 et, après avoir été approuvée par les membres
de l'ISO, le Conseil de l'ISO a décidé en février 1987 de l'adopter en tant que norme internationale.
Par ailleurs, l'ISO/TC 4/SC 8 a décidé qu’il convenait que les informations complémentaires concernant la
dérivation des formules et des facteurs figurant dans l’ISO 76 soient publiées sous la forme d'un rapport
technique. Ce rapport technique a été publié en tant qu’ISO/TR 10657:1991.
Un amendement à l’ISO 76:1987, qui explique les différences de charges entre les roulements radiaux et les
roulements axiaux, a été publié en tant qu’ISO 76:1987/Amd.1:1999.
0.4  ISO 76:2006
Une révision systématique de l’ISO 76:1987 a été décidée en 2003, sur la base du procédé de vote préalable et
des documents TC 4/SC 8 N 233 et N 235.
L’ISO 76:2006 comprend des adaptations rédactionnelles et des mises à jour, ainsi qu'une extension par le
facteur de sécurité statique S . De plus, l’ISO 76:1987/Amd.1:1999 a été intégrée et est devenue l'Annexe A
informative «Discontinuités dans le calcul des charges statiques de base».
0.5  ISO 76:2006/Amd.1:2017
L’ISO 76:2006/Amd.1:2017 comprend les éléments suivants:
— des graphiques pour les facteurs f , X et Y tirés du projet ÖNORM M 6320 à inclure dans une annexe
0 0 0
informative;
— des formules de calcul du facteur de charge f issues de l’ISO/TR 10657 à introduire dans la partie
normative de la norme;
— les tableaux relatifs au facteur de charge f resteront dans la partie normative de la norme; toutefois, une
phrase sera ajoutée pour préciser que les résultats obtenus à partir des formules sont privilégiés.

vi
Rapport technique ISO/TR 10657:2021(fr)
Notes explicatives sur l'ISO 76
1 Domaine d'application
Le présent document fournit des informations complémentaires sur la dérivation des formules et des
facteurs figurant dans l’ISO 76:2006.
2 Références normatives
Il n'y a pas de références normatives dans le présent document.
3 Termes, définitions et symboles
3.1 Termes et définitions
Aucun terme n'est défini dans le présent document.
L’ISO et l’IEC tiennent à jour des bases de données terminologiques destinées à être utilisées en normalisation,
consultables aux adresses suivantes:
— ISO Online browsing platform: disponible à l'adresse https:// www .iso .org/ obp
— IEC Electropedia: disponible à l'adresse https:// www .electropedia .org/
3.2 Symboles
C charge axiale statique de base, en newtons
0a
C charge radiale statique de base, en newtons
0r
D diamètre primitif, sur billes ou rouleaux, en millimètres
pw
D diamètre nominal de la bille, en millimètres
w
D diamètre du rouleau à utiliser dans les calculs de charges de base, en millimètres
we
E module d’élasticité (ou module d'Young), en mégapascals
E , E module d'élasticité du corps 1 (élément roulant) et du corps 2 (chemin de roulement), en
1 2
mégapascals
E(κ) intégrale elliptique complète de la deuxième espèce
E E/(1 − ν )
F charge axiale (composante axiale de la charge appliquée), en newtons
a
F charge radiale (composante radiale de la charge appliquée), en newtons
r
F(ρ) différence de courbure relative
J (ε) intégrale de charge axiale
a
J (ε) intégrale de charge radiale
r
K(κ) intégrale elliptique complète de la première espèce
L longueur de rouleau à utiliser dans les calculs de charges, en millimètres
we
P charge axiale statique équivalente théorique pour une butée, généralement appelée charge
0a
axiale statique équivalente, en newtons
P charge radiale statique équivalente théorique pour un roulement radial, généralement appelée
0r
charge radiale statique équivalente, en newtons
Q force normale entre l'élément roulant et le chemin de roulement, en newtons
Q force normale maximale entre l'élément roulant et le chemin de roulement, en newtons
max
S nombre de Stribeck
X facteur de charge radiale statique
Y facteur de charge axiale statique
Z nombre de billes supportant la charge dans une direction, nombre de billes ou de rouleaux par
rangée, ou nombre d'éléments roulants par rangée
a demi-grand axe de l'ellipse de contact projetée, demi-longueur de la surface de contact
b demi-petit axe de l'ellipse de contact projetée, demi-largeur de la surface de contact
2/3
c constante de compression, en 1/mégapascal
f osculation = r/D
w
f osculation au niveau de la bague extérieure = r /D
e e w
f osculation au niveau de la bague intérieure = r /D
i i w
f facteur qui dépend de la géométrie des composants du roulement et du niveau de contrainte
appliqué
i nombre de rangées de billes ou de rouleaux dans un roulement
k paramètre de distribution de charge.
r rayon de courbure d'une section transversale d'un chemin de roulement, en millimètres
r rayon de la gorge de la bague extérieure, en millimètres
e
r rayon de la gorge de la bague intérieure, en millimètres
i
t exposant dans la formule charge-déflexion
x distance dans la direction du demi-grand axe, en millimètres
y distance dans la direction du demi-petit axe, en millimètres
α angle de contact nominal, en degrés
α′ angle réel de contact nominal, en degrés

γ paramètre auxiliaire, γ = D cos α /D pour roulements à billes avec α ≠ 90°
w pw
γ = D /D pour roulements à billes avec α = 90°
w pw
γ = D cos α /D pour roulements à rouleaux avec α ≠ 90°
we pw
γ = D /D pour roulements à rouleaux avec α = 90°
we pw
ε paramètre caractéristique de la grandeur de la zone chargée
κ rapport entre l'axe semi-majeur et l'axe semi-mineur = a/b
ν coefficient de Poisson
ν coefficient de Poisson du corps 1 (élément roulant)
ν coefficient de Poisson du corps 2 (chemin de roulement)
Σρ somme des courbures
ρ , ρ courbure principale du corps 1 (élément roulant)
11 12
ρ , ρ courbure principale du corps 2 (chemin de roulement)
21 22
σ contrainte de contact calculée, en mégapascals
σ contrainte de contact maximale calculée, en mégapascals
max
ϕ angle auxiliaire, en radians
ψ moitié de l'arc chargé
4 Charge statique de base
4.1 Généralités
4.1.1 Formule de base pour le contact ponctuel
La relation entre la contrainte de contact calculée et la charge de l'élément roulant au sein d'une zone de
contact elliptique est présentée dans la Référence [8] en tant que Formule (1),
12/
 
3Q  x   y 
 
 1  (1)
   
2ab  a b 
   
 
Il est conclu que la contrainte de contact maximale calculée (σ ) se produit au point x = 0 et y = 0,
max
3Q 2�ab
 �ouQ  (2)
maxmax
2�ab 3
Selon la théorie de Hertz,
13/ 113/
2 2 2
    
2E 11

3Q
1 2
   
 
a   (3)
 
2
 EE 
1 2
  
 
1/33
13/
2 2
  
2E   11

3Q
1 2
 
 
b  (4)
 
 
 

2 EE 
  1 2
  
où
κ = a/b
12/
/2
  1  
E(κ)
11 sin d
   

0 2
    
Σρ = ρ + ρ + ρ + ρ
11 12 21 22
 2
11 12
=
D
w
En substituant la Formule (3) et la Formule (4) par la Formule (2) pour le cas où E = E = E et ν = ν = ν,
1 2 1 2
E  

32
Q  (5)
 
max
 

3E
 
et
K 
 

1 10 F   (6)
  
 
E 

 1  
où
E
E

1
E = 2,07 × 10 MPa
ν = 0,3
12/
/2
  1  
K(κ)
11 sin d
 
 

   


11 12 21 22

F 


11 12 21 22
Par conséquent, d'après la Formule (5),
E  

10 3
Q 6,47620651 0   (7)
 
max
 

 
4.1.2 Formule de base pour le contact linéaire
La relation entre la contrainte de contact calculée et la charge de l'élément roulant pour un contact linéaire
est présentée dans la Référence [9] comme suit,

12/
 
2Q  y 
 
 1 (8)
 
Lb  b 
 
we
 
Il est conclu que la contrainte de contact maximale calculée (σ ) de la Formule (8) se produit à la ligne
max
y = 0,
��Lb
2Q
we
 �ouQ  (9)
max max
��Lb 2
we
De plus, b est donné par la formule suivante:
12/
2 2
  
11
Q
1 2
  
b  (10)
 
LE
E 
we 1 2
  
où
Σρ = ρ + ρ + ρ + ρ
11 12 21 22
ρ =
D
we
ρ
2 
  ; le signe du haut s'applique au contact avec la bague intérieure et celui du bas au
D 1
we
contact avec la bague extérieure;
= 0
ρ
= 0
ρ
D cos
we
γ 
D
pw
En substituant la Formule (10) par la Formule (9) pour le cas où E = E = E et ν = ν = ν,
1 2 1 2
L
2 we
Q2
max
E 
où
E
E

1
E = 2,07 × 10 MPa
ν = 0,3
Par conséquent,
L
52we
Q2,762173210  (11)
max

4.2 Charge radiale statique de base C des roulements radiaux à billes
0r
4.2.1 Roulements à billes, à gorges, à contact radial et oblique
La somme des courbures Σρ et la différence de courbure relative F(ρ) des roulements à billes, à gorges, à
contact radial et oblique sont données par les formules suivantes
 
2  1
 
 2  (12)
 
Df1 2
wi e

 
 1

1 2f
ie
F   (13)

 1
2
1 2f
ie

où
le signe du haut s'applique au contact avec la bague intérieure et celui du bas au contact avec la bague
extérieure;
D cos
w
γ

D
pw
f signifie
i(e)
r
i
f
 pourlecontactaveclabagueintérieure,et
i
D
w
r
e
f  pourlecontactaveclabagueextérieure.
e
D
w
En substituant la Formule (12) par la Formule (7),
 
 
D E 
  
10 w 3
Q 6,476206510   (14)
 
maax
2  1
 
2
 
1 2f
ie
 
En substituant la Formule (12) et la Formule (14) par la Formule (15) (voir Référence [10]), puis en remplaçant
Q par Q , cela donne
max
C ZQ cos (15)
0rmax
S
où S est une fonction du paramètre de zone de charge ε. Si la moitié des billes sont chargées, alors
S = 4,37 s'applique. Une valeur couramment utilisée dans les calculs des roulements est S = 5, ce qui conduit
à une estimation plutôt prudente de la charge maximale de la bille.
C = 0,2 Z Q cos α (16)
0r max
Par conséquent,
 
 
  E 
  
3 1
10 max 2
C 02,,6 4762065104000  ZDcos
  
 
0r w
 
4000 4  1
  

2
 
1 2f
ie

 
lorsque le signe du haut désigne la bague intérieure et celui du bas la bague extérieure. Par conséquent,
introduire le nombre de rangées, i, de billes, a pour résultat la Formule (17):
CfiZD cos (17)
00rw
lorsque f facteur qui dépend de la géométrie des composants du roulement et du niveau de contrainte
appliqué:
 
 
  E 
  
max
f 2,072  (18)
 
 
 
4000  1
   
2
 
1 2f
ie

 
Pour une bague intérieure avec f = 0,52, la Formule (18) devient,
i
 
 
E 
 

max
 
f 2,072  (19)
 
 
 
4000  1
 
2 
 
1 10, 4
 
et pour une bague extérieure avec f = 0,53,
e
 
 
  E 

max
 
f 2,072  (20)
 
 
 
4000  1
 
2 
 
1 10, 6
 
La plus petite des valeurs f calculées à partir de la Formule (19) et de la Formule (20) est utilisée pour le
calcul des charges statiques.
Les valeurs du facteur f dans le Tableau 1 de l'ISO 76:2006 sont calculées en substituant les valeurs de κ,
E(κ) et γ = D cos α/D indiqués dans le Tableau A.1, et σ = 4 200 MPa dans la formule ci-dessus.
w pw max
Ces valeurs s’appliquent aux roulements avec un rayon de courbure transversal d'un chemin de roulement
inférieurs à 0,52 D pour les bagues intérieures des roulements à billes, à gorges, à contact radial et oblique,
w
et à 0,53 D pour les bagues extérieures des roulements à billes, à gorges, à contact radial et oblique ainsi
w
que pour les bagues intérieures des roulements à rotules sur billes.
L'aptitude d’un roulement à supporter les charges n'est pas nécessairement améliorée par l'emploi d’un
rayon de gorge plus petit, mais décroît par l'emploi d’un rayon de gorge plus grand. Dans le dernier cas, une
valeur de f réduite en conséquence est utilisée.
4.2.2 Roulements à rotule sur billes
La somme des courbures Σρ des roulements à rotules sur billes est donnée par la formule suivante pour une
bague extérieure:
41 
  (21)
 
D 1
 
w
En substituant la Formule (21) par la Formule (7),
D 
10 w 3
Q 6,476206510 1 E  (22)
  
max
 
 
En général, κ = a/b = 1 dans le cas d'un contact entre le chemin de roulement de la bague extérieure et les
billes des roulements à rotules sur billes. Par conséquent,
12/
/2 /2
   
E  11 sin dd

 
 
0 2 0
   

Par conséquent, la Formule (22) est obtenue

D 
10 w 3
Q 6,476206510 1   (23)
  
max
 
 
En substituant la Formule (23) par la Formule (16) et en remplaçant de plus Q par Q ,
max
 
 
max 2
CZ2,072  1
D cos
  
 
0r w
 
4000 4
 
 
L'introduction du nombre de rangées de billes i, a pour résultat la Formule (24)
CfiZD cos (24)
00rw
où


 
max
f 2,072 1 (25)
  
0  
 
4000 4
 
 
Les valeurs du facteur f figurant dans le Tableau 1 de l'ISO 76:2006 sont calculées en substituant
σ = 4 600 MPa et les valeurs de γ = D cos α/D indiquées dans le Tableau 1 de l'ISO 76:2006 dans la
max w pw
Formule (25).
4.3 Charge axiale statique de base C pour les butées à billes
0a
La somme des courbures Σρ et la différence de courbure relative F(ρ) des butées à billes est donnée par les
formules suivantes:
2   1 
 2  (26)
 
Df1 2
 
w
 1

1 2f
F   (27)

 1
2
1 2f
où le signe du haut désigne la bague intérieure et celui du bas la bague extérieure et
f = r/D
w
En substituant la Formule (26) par la Formule (7),
 
 
D E 

10 w 3
 
Q 6,476206510    (28)
max
 
2  1
2
 
1 2f
 
En substituant la Formule (28) par la Formule (29) suivante,
C = Z Q sin α (29)
0a max
Donc,
 
 
  E 

max
 
C 10,362  ZD sin (30)
 
0a w
 
 
4000  1

 
2
 
1 2f
 
La valeur C la plus faible calculée à partir de la Formule (30) est adoptée. Pour les rondelles avec f = 0,54,
0a
l'utilisation du signe supérieur donne la Formule (31),
CfZDsin (31)
00aw
où
 
 
  E 

max
 
f 10,362  (32)
 
 
 
4000  1
 
2 
 
1 10, 8
 
Les valeurs du facteur f dans le Tableau 1 de l'ISO 76:2006 sont calculées en substituant les valeurs de κ,
E(κ) et γ = D cos α/D indiqués dans le Tableau A.2, et σ = 4 200 MPa dans la Formule (32).
w pw max
4.4 Charge radiale statique de base C pour les roulements radiaux à rouleaux
0r
La somme des courbures Σρ pour les roulements à rouleaux radiaux est donnée par la formule suivante,
  (33)
D 1
we
En substituant la Formule (33) par la Formule (11) et en retenant le Q le plus faible,

52
QL1,3810867101D  (34)

we we max
En substituant la Formule (34) par la formule suivante donnant la Formule (35),
C ZQ cos (35)
0rmax
S
où S est une fonction du paramètre de zone de charge ε. Si la moitié des rouleaux sont chargés, alors
S = 4,08 s'applique. Une valeur couramment utilisée dans les calculs des roulements est S = 5, ce qui conduit
à une estimation plutôt prudente de la charge maximale du rouleau.
 
max
CZ44,194774 1LD cos
  
0r we we
 
4000
 
Par conséquent, l'adoption de σ = 4 000 MPa et l'introduction du nombre de rangées, i, de rouleaux, a pour
max
résultat la Formule (36),
 
D cos
we
C 441   cos (36)
iZ LD
0r we we
 
D
pw
 
NOTE La valeur a été arrondie pour être utilisée dans le document final.
4.5 Charge axiale statique de base C pour les butées sur rouleaux
0a
La somme des courbures Σρ des butées sur rouleaux est donnée par la Formule (33) et Q est donné par la
Formule (34).
En substituant la Formule (33) et la Formule (34) par la Formule (29),
 
max
CZ220,97387 1LDsin
  
0a we we
 
4000
 
Par conséquent, adopter σ = 4 000 MPa, a pour résultat la Formule (37)
max
 
D cos
we
C 2201 ZL D sin (37)
0a we we
 
D
pw
 
NOTE La valeur a été arrondie pour être utilisée dans le document final.

5 Charge statique équivalente
5.1 Charge radiale équivalente statique théorique P pour les roulements radiaux
0r
5.1.1 Roulements radiaux à une rangée et roulements à billes, à gorges, à contact radial (angle de
contact nominal α = 0°)
En supposant que les deux bagues de roulement subissent un déplacement parallèle lorsqu'une charge
radiale et une charge axiale s'exercent simultanément sur des roulements radiaux à une rangée, la charge
maximale sur l’élément roulant, Q , est donnée par la Formule (38):
max
F F
r a
Q  (38)
max
ZJcossZJin
r a
Les intégrales de charges radiale et axiale sont données par la Formule (39)
t


1  1 
o
JJ  1 1cosdcos  
 
rr  


2 2
o  
(39)

t

1  1 
o
JJ   11 cosd
 
 
aa 

22 2
o  
où t est l'exposant dans la formule charge-déflexion
t = 3/2 pour un contact ponctuel;
t = 1,1 pour un contact linéaire.
En supposant que le roulement ne présente aucun jeu radial interne lors du montage, la charge radiale
équivalente statique devient P = F lorsque les bagues se déplacent dans la direction radiale (ε = 0,5). Par
0r r
conséquent, la formule suivante peut être obtenue à partir de la Formule (38)
P
0r
Q 
max
ZJcos 05,

r
la relation suivante donne
F J
r r
 (40)
P J 05,

0r r
F cot J
a a
 (41)
P J 05,

0r r
Les valeurs calculées à partir de la Formule (40) et de la Formule (41) pour un angle de contact constant α
sont présentées dans le Tableau 1. Conformément à la relation fonctionnelle indiquée dans ce tableau, la
charge radiale équivalente statique, P , pour les valeurs données de F , F et α peut être obtenue. La relation
0r r a
entre F /P et F cot α/P est également illustrée à la Figure 1.
r 0r a 0r
Tableau 1 — Valeurs pour F /P et F cot α/P par rapport à F tan α/F pour les roulements radiaux à
r 0r a 0r r a
une rangée
Roulements à billes Roulements à rouleaux
ε
F tan α/F F /P F cot α/P F tan α/F F /P F cot α/P
r a r 0r a 0r r a r 0r a 0r
0,5 0,822 5 1 1,215 8 0,794 0 1 1,259 5
0,6 0,783 5 1,055 8 1,347 5 0,748 2 1,046 9 1,399 3
0,7 0,742 7 1,094 9 1,474 3 0,700 0 1,074 6 1,535 3
0,8 0,699 5 1,118 3 1,598 8 0,648 4 1 083 4 1,670 9
0,9 0,652 9 1,125 5 1 723 9 0,591 7 1,071 1 1,810 2
1 0,600 0 1,112 8 1,854 7 0,523 8 1,028 6 1,963 8
1,25 0,453 8 1,000 3 2,204 3 0,360 0 0,847 4 2,354 1
1,67 0,308 0 0,816 5 2,651 2 0,233 3 0,646 4 2,770 3
2,5 0,185 0 0,585 2 3,163 7 0,137 2 0,438 2 3,194 8
5 0,083 1 0,310 8 3,740 0 0,061 1 0,221 8 3,631 7
∞ 0 0 4,370 6 0 0 4,076 6
Légende
1 roulement à billes
2 roulement à rouleaux
NOTE A, B et C servent à définir des segments linéaires.
Figure 1 — Relation théorique entre les charges radiales et axiales en fonction de la charge
équivalente statique pour les roulements radiaux à une rangée

Le Tableau 1 et la Figure 1 ont été calculés et représentés graphiquement en partant de l'hypothèse d'un
angle de contact constant. Cependant, la relation ci-dessus s'applique également, de manière approximative,
aux roulements à billes (par exemple, les roulements à billes, à gorges, à contact oblique), dont l'angle de
[12]
contact varie en fonction de la charge, si cot α′, donné par la Formule (42) est substitué à cot α
23/
 
F
cos c
a
 
1 (42)
cos 2r  

ZDsin
 
1 w
D
w
où
c est la constante de compression qui dépend du module d'élasticité et de conformité 2 r/D ;
w
r est le rayon de courbure d'une section transversale du chemin de roulement;
D est le diamètre nominal de la bille (voir Tableau 2).
w
c
Tableau 2 — Valeurs de c et
r
2 −1
D
w
2 r/D 1,032 5 1,035 1,037 5 1,06
w
c × 10 4,321 7 4,387 1 4,474 5 4,954 7
c
r 0,013 23 0,012 53 0,011 93 0,008 258
21−
D
w
2/3
NOTE L'unité de c est «1/MPa ».
F
a
À titre d’exemple de 2 r/D = 1 035, les valeurs de cot α′ pour chaque valeur de pour les roulements à
w
ZD
w
billes, à gorges, à contact oblique avec α = 15° ∼ 45° sont indiquées dans le Tableau 3.
Tableau 3 — Exemple de valeurs de cot α´ pour les roulements à billes, à gorges, à contact oblique
F
a
ZD
w
α
0,5 1 2 5 10
cot α´
15° 3,024 2,793 2,526 2,154 1,865
20° 2,450 2,322 2,164 1,905 1,691
25° 1,997 1,929 1,834 1,664 1,511
30° 1,651 1,613 1,552 1,444 1,337
35° 1,381 1,356 1,317 1,248 1,171
40° 1,163 1,146 1,122 1,072 1,018
45° 0,975 0,969 0,952 0,920 0,879
2 2
NOTE F /ZD = ( F / C ) f cos α, étant donné que C = f ZD cos α.
a w a 0r 0 0r 0 w
De plus, pour les roulements à une ou deux rangées de billes, à gorges, à contact radial, le Tableau 4 peut être
[7]
obtenu à partir de la Formule (40), de la Formule (41) et de la Formule (43) suivante :

38/
 
14/
 
38/
 
F
2c  1 
  a
 

sintan 1 (43)
 
 
 
r 2
 
J iZD
 
21  a w


D
 
w
Pour des valeurs données de F et F , une valeur provisoire de α′ est obtenue à l'aide de la Formule (44).
r a
Ensuite, le Tableau 4 est utilisé pour déterminer ε et F /P ou F cot α′/P , puis P peut être déterminé.
r 0r a 0r 0r
Tableau 4 — Valeurs de F /P et F cot α'/P par rapport à F tan α/F pour les roulements à billes, à
r 0r a 0r r a
gorges, à contact radial
ε
F tan α′/Fa F / P F cot α´/ P
r r 0r a 0r
0,5 ∞ 1 0
0,6 1,143 2 1,055 8 0,923 8
0,7 0,905 5 1,094 9 1,209 6
0,8 0,785 9 1,118 3 1,423 1
0,9 0,701 3 1,125 5 1,605 1
1 0,628 0 1,112 8 1,772 1
1,25 0,463 2 1,000 3 2,160 0
1,67 0,310 5 0,816 5 2,603 5
2,5 0,185 5 0,585 2 3,154 8
5 0,083 1 0,310 8 3,737 7
∞ 0 0 4,370 6
38/
 
14/
 
 
F
2c
  a
 
tan (44)
 
r  
iZD
21  
  w
 
D
 
w
À titre d’exemple, pour 2 r/D = 1,035, les valeurs de tan α′ pour chaque valeur de F /i Z D sont indiquées
w a
w
dans le Tableau 5.
Tableau 5 — Exemple de valeurs de cot α´ pour les roulements à billes, à gorges, à contact radial
0,5 1 2 5 10
F /i Z D
a
w
tan α′ 0,211 0 0,251 0 0,298 5 0,375 3 0,446 3
NOTE F /i Z D = (F /C ) f
a a 0r 0
w
De plus, la relation entre F /P et F cot α'/P est indiquée à la Figure 2.
r 0r a 0r
NOTE A, B et C servent à définir des segments linéaires.
Figure 2 — Relation théorique entre les charges radiales et axiales en fonction de la charge
équivalente statique pour les roulements à contact radial

5.1.2 Roulements radiaux à deux rangées
En supposant que les deux bagues de roulement subissent un déplacement parallèle lorsqu'une charge radiale
et une charge axiale s'exercent simultanément sur un roulement radial à deux rangées, et en désignant
chaque rangée par I et II,
F = F + F ;  F = F + F
r rI rII a aI aII
et la charge maximale par élément roulant pour chaque rangée est donnée par la Formule (45), voir la
Référence [16].
F F 
r a
Q 

max
ZJcossZJin

r a
(45)

t
 

II
QQ
 

maxIImaxI
 

 I  
où
t

 
II

JJ   J 
   
rr I rII
 



 
I
(46)

t

 
II
JJ   J  
   
aa I a III
 


  
I
où t est l'exposant dans la formule charge-déflexion
t = 3/2 pour un contact ponctuel;
t = 1,1 pour un contact linéaire.
En supposant que le roulement ne présente aucun jeu interne radial, la charge équivalente statique P = F ,
0r r
P
0r
lorsque les bagues de roulement se déplacent dans la direction radiale (ε = ε = 0,5), et Q 
I II
max
ZJcos 05,

r
c'est-à-dire que, dans ce cas, la Formule (40) et la Formule (41) sont valables. Les valeurs calculées à partir
de la Formule (40) et de la Formule (41) pour un angle de contact constant α sont indiquées dans le Tableau 6.
Conformément à la relation fonctionnelle indiquée dans ce tableau, la charge radiale équivalente statique,
P , pour les valeurs données de F , F et α, peut être obtenue. La relation entre F /P et F cot α/P est
0r r a r 0r a 0r
illustrée à la Figure 3. De plus, pour les roulements à deux rangées de billes, à gorges, à contact radial, dont
l'angle de contact varie en fonction de la charge, P peut être obtenu approximativement en utilisant α´ selon
0r
la Formule (42) à la place de α dans le Tableau 6.
Tableau 6 — Valeurs de F /P et F cot α/P par rapport à F tan α/F pour les roulements radiaux à
r 0r a 0r r a
deux rangées
Roulements à billes Roulements à rouleaux
ε ε
I II
F tan α/F F /P F cot α/P F tan α/F F /P F cot α/P
r a r 0r a 0r r a r 0r a 0r
0,5 0,5 ∞ 1 0 ∞ 1 0
0,6 0,4 2,046 5 0,779 7 0,381 0 2,390 8 0,821 7 0,343 7
0,7 0,3 1,091 6 0,663 4 0,607 8 1,210 1 0,702 2 0,580 3
0,8 0,2 0,800 5 0,602 6 0,752 8 0,822 9 0,618 7 0,751 8
0,9 0,1 0,671 3 0,572 1 0,852 3 0,634 0 0,558 6 0,881 1
1 0 0,600 0 0,556 4 0,927 4 0,523 8 0,514 3 0,981 9
1,25 0 0,453 8 0,500 1 1,102 1 0,360 0 0,423 7 1,177 1
1,67 0 0,308 0 0,408 3 1,325 6 0,233 3 0,323 2 1,385 2

TTaabblleeaauu 66 ((ssuuiitte)e)
Roulements à billes Roulements à rouleaux
ε ε
I II
F tan α/F F /P F cot α/P F tan α/F F /P F cot α/P
r a r 0r a 0r r a r 0r a 0r
2,5 0 0,185 0 0,292 6 1,581 9 0,137 2 0,219 1 1,597 4
5 0 0,083 1 0,155 4 1,869 9 0,061 1 0,110 9 1,815 8
∞ 0 0 0 2,185 0 0 0 2,038 3
Légende
1 roulement à billes
2 roulement à rouleaux
NOTE A, B et C servent à définir des segments linéaires.
Figure 3 — Relation théorique entre les charges radiales et axiales en fonction de la charge
équivalente statique pour les roulements radiaux à deux rangées

5.2 Charge axiale équivalente statique théorique P pour les butées
0a
5.2.1 Butées à simple effet
Les butées à simple effet qui peuvent supporter des charges radiales peuvent être considérés comme des
roulements à une rangée à contact radial avec un grand angle de contact.
Lorsque les rondelles de roulement se déplacent dans la direction axiale dans la Formule (41), qui s'applique
aux roulements à une rangée à contact radial avec un angle de contact constant, ε = ∞ et J = 1, et puisque la
a
charge axiale équivalente statique P = F , en substituant cette relation, on obtient la formule suivante
0a a
P = P cot α J (0,5)
0r 0a r
En substituant cette formule par la Formule (40) et la Formule (41), les formules suivantes sont obtenues:
F tan
r
 J (47)
r
P
0a
F
a
= J (48)
a
P
0a
Les valeurs du Tableau 7 peuvent être obtenues à partir de la Formule (47) et de la Formule (48).
Conformément à la relation fonctionnelle indiquée dans ce tableau, la charge axiale statique équivalente, P ,
0a
pour les valeurs données de F , F et α, peut être obtenue. La relation entre F /P et F tan α/P est indiquée
r a a 0a r 0a
à la Figure 4.
Légende
1 roulement à billes
2 roulement à rouleaux
NOTE A, B et C servent à définir des segments linéaires.
Figure 4 — Relation théorique entre les charges axiales et radiales en fonction de la charge statique
équivalente pour les butées à simple effet

Tableau 7 — Valeurs de F /P et F tan α/P par rapport à F tan α/F pour les butées à simple effet
a 0a r 0a r a
Roulements à billes Roulements à rouleaux
ε
F t
...

ISO TC 4/SC 8
Secrétariat : DIN
Deuxième édition
2021-11
Notes explicatives sur l'ISO 76
Explanatory notes on ISO 76
fr)
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de cette publication ne peut être reproduite ni utilisée sous quelque forme que ce soit et par aucun procédé, électronique
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E-mail: [e-mail]
Site web : www.iso.org
Website: www.iso.org
Publié en Suisse
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ii
fr)
Sommaire
page
Avant-propos . iv
Introduction . v
1 Domaine d'application . 1
2 Références normatives . 1
3 Termes, définitions et symboles . 1
3.1 Termes et définitions . 1
3.2 Symboles . 1
4 Charge statique de base . 3
4.1 Généralités . 3
4.2 Charge radiale statique de base C des roulements radiaux à billes . 5
0r
4.3 Charge axiale statique de base C0a pour les butées à billes . 8
4.4 Charge radiale statique de base C pour les roulements radiaux à rouleaux . 9
0a
4.5 Charge axiale statique de base C pour les butées sur rouleaux . 10
0a
5 Charge statique équivalente . 10
5.1 Charge radiale équivalente statique théorique P pour les roulements radiaux . 10
0r
5.2 Charge axiale équivalente statique théorique P pour les butées . 24
0a
5.3 Formules approximatives pour la charge équivalente statique théorique . 30
5.4 Formules pratiques pour la charge équivalente statique . 31
5.5 Facteur de charge radiale statique X et facteur de charge axiale statique Y . 40
0 0
Annexe A (normative) Valeurs pour γ, κ et E(κ) . 47
Bibliographie . 50

iii© ISO 2021 – Tous droits réservés iii

fr)
Avant-propos
L'ISO (Organisation internationale de normalisation) est une fédération mondiale d'organismes nationaux de
normalisation (comités membres de l'ISO). L'élaboration des Normes internationales est en général confiée
aux comités techniques de l'ISO. Chaque comité membre intéressé par une étude a le droit de faire partie du
comité technique créé à cet effet. Les organisations internationales, gouvernementales et non
gouvernementales, en liaison avec l'ISO participent également aux travaux. L'ISO collabore étroitement avec
la Commission électrotechnique internationale (IEC) en ce qui concerne la normalisation électrotechnique.
Les procédures utilisées pour élaborer le présent document et celles destinées à sa mise à jour sont décrites
dans les Directives ISO/IEC, Partie 1. Il convient, en particulier, de prendre note des différents critères
d'approbation requis pour les différents types de documents ISO. Le présent document a été rédigé
conformément aux règles de rédaction données dans les Directives ISO/IEC, Partie 2 (voir
www.iso.org/directives).
Field Code Changed
L’ISO attire l’attention sur le fait que la mise en application du présent document peut entraîner l’utilisation
d’un ou de plusieurs brevets. L’ISO ne prend pas position quant à la preuve, à la validité et à l’applicabilité de
tout droit de propriété revendiqué à cet égard. Les détails concernant les références aux droits de propriété
intellectuelle ou autres droits analogues identifiés lors de l'élaboration du document sont indiqués dans
l'Introduction et/ou dans la liste des déclarations de brevets reçues par l'ISO (voir www.iso.org/brevets).
Les appellations commerciales éventuellement mentionnées dans le présent document sont données pour
information, par souci de commodité, à l’intention des utilisateurs et ne sauraient constituer un engagement.
Pour une explication de la nature volontaire des normes, la signification des termes et expressions spécifiques
de l'ISO liés à l'évaluation de la conformité, ou pour toute information au sujet de l'adhésion de l'ISO aux
principes de l’Organisation mondiale du commerce (OMC) concernant les obstacles techniques au commerce
(OTC), voir www.iso.org/avant-propos.
Le présent document a été élaboré par le comité technique ISO/TC 4, Roulements, sous-comité SC 8, Charges
de base et durée.
Cette deuxième édition annule et remplace la première édition (ISO 10657:1991), qui a fait l’objet d’une
révision technique.
Les principales modifications par rapport à l'édition précédente sont les suivantes:
— —  Inclusioninclusion de nouveaux paragraphes 0.4 et 0.5 avec des explications concernant l'édition 2006
de la norme ISO 76:2006 et l'ISO 76/Amd.1:2017;
— — Inclusioninclusion de 3l’Article 3 pour les symboles;
— — Modificationmodification du Tableau 16 Tableau 16 et du Tableau 18 Tableau 18 conformément aux
valeurs supplémentaires de l’ISO 76:2006 (valeurs de X et Y pour des angles de contact de 5° et 10° des
0 0
roulements à billes à contact oblique).
Il convient que l’utilisateur adresse tout retour d’information ou toute question concernant le présent
document à l’organisme national de normalisation de son pays. Une liste exhaustive desdits organismes se
trouve à l’adresse www.iso.org/fr/members.html.
Field Code Changed
iv © ISO 2021 – Tous droits réservés
iv
fr)
Introduction
0.1 0.1  ISO/R 76:1958
L'ISO/R 76, Roulements à billes et à rouleaux — Méthodes d'évaluation des charges statiques admissibles, a été
élaborée par le Comité technique ISO/TC 4, Roulements
[2],[3] ],[
L’ISO/R 76 s'appuie sur les études d'A. Palmgren et al.[2] . [3] Les charges statiques de base ont été
définies de manière à correspondre à une déformation permanente totale de l'élément roulant et de la piste,
au point de contact le plus sollicité entre l'élément roulant et le chemin de roulement, égale à 0,000 1 du
diamètre de l'élément roulant. Les valeurs de base relatives aux charges statiques de base pour les roulements
à rouleaux à conception interne spéciale ont ensuite été définies.
L’ISO/R 76:1958 a été approuvée par 28 comités membres (sur un total de 38) et a ensuite été soumise au
Conseil de l'ISO, qui a décidé, en décembre 1958, de l'adopter en tant que Recommandation ISO.
0.2 0.2  ISO 76:1978
L’ISO/TC 4 a décidé d'inscrire la révision de l’ISO/R 76 à son programme de travail et a demandé au secrétariat
du sous-comité ISO/TC 4/SC 8 de préparer une proposition de projet. En conséquence, le secrétariat a
[3]
présenté une proposition de projet[3] en janvier 1976.
La proposition de projet a été acceptée par 6 des 8 membres de l’ISO/TC 4/SC 8. Parmi les deux propositions
restantes, le Japon a préféré poursuivre l'étude, tandis que les États-Unis ont présenté leur contre-proposition,
[4]
le document ISO/TC 4/SC 8 N 64 .[4] Le projet a ensuite été soumis au Secrétariat central de l’ISO. Une fois
le projet approuvé par les comités membres de l'ISO, le Conseil de l'ISO a décidé, en juin 1978, de l'adopter en
tant que norme internationale.
L’ISO 76:1978 a adopté l'unité SI «newton» et a fait l'objet d'une révision complète, sans toutefois apporter de
modifications substantielles. Cependant, les valeurs de X et Y pour les angles de contact nominaux de 15° et
0 0
45° des roulements à billes, à gorges, à contact radial et oblique ont été ajoutées au tableau afin de calculer les
charges radiales statiques équivalentes des roulements à billes radiaux (voir ISO 76:1978, Tableau 2).
0.3 0.3  ISO 76:1987
[4]
Lors de la révision de l’ISO/R 76:1958, les États-Unis avaient présenté en 1975 une contre-proposition[4]
concernant les charges statiques de base, fondée sur une contrainte de contact calculée.
En janvier 1978, le secrétariat a demandé un vote sur la révision des charges statiques admissibles en fonction
du niveau de contrainte de contact puis a ensuite diffusé les résultats du vote en juin 1978, et le numéro de ce
projet de révision est devenu le n° 157 du programme de travail du TC 4.
[5]
L'ISO/TC 4/SC 8, après avoir examiné les propositions formulées dans les documents TC 4/SC 8 N 75[5] et
[6]
TC 4 N 865 ,,[6] ainsi que les commentaires formulés par les membres du TC 4 et le fait que plusieurs
membres du SC 8 ont exprimé la nécessité de mettre à jour ISO 76, a convenu de poursuivre son étude en
tenant compte de la possibilité d'utiliser soit la déformation permanente, soit le niveau de contrainte comme
v© ISO 2021 – Tous droits réservés v

fr)
base pour les charges statiques, et l'ISO/TC 4/SC 8 a demandé à son secrétariat de préparer un nouveau projet.
Il était prévu que le nouveau projet soit élaboré selon les principes et les formules du document TC 4/SC 8 N
75, et inclure des niveaux de contrainte de contact pour différents types de contact entre les éléments roulants,
correspondant généralement à une déformation permanente de 0,000 1 du diamètre de l'élément roulant au
centre du contact le plus soumis à des contraintes entre l'élément roulant/le chemin de roulement. Pour les
roulements à rouleaux, un niveau de contrainte de 4 000 MPa a été convenu puis l’ISO/TC 4/SC 8 a ensuite
décidé, à la majorité, qu’il convient que les charges statiques correspondent à des contraintes de contact
calculées de
4 000 MPa pour les roulements à rouleaux,
4 600 MPa pour les roulements à rotule sur billes, et
4 200 MPa pour tous les autres roulements à billes auxquels s'applique la norme.
Pour ces contraintes de contact calculées, une déformation permanente totale se produit au centre du contact
le plus soumis à des contraintes entre l'élément roulant/le chemin de roulement, et cette déformation est
d'environ 0,000 1 du diamètre de l'élément roulant.
L’ISO 76 a été soumis au Secrétariat central de l'ISO en 1985 et, après avoir été approuvé par les membres de
l'ISO, le Conseil de l'ISO a décidé en février 1987 de l'adopter en tant que norme internationale.
Par ailleurs, l'ISO/TC 4/SC 8 a décidé qu’il convenait que les informations complémentaires concernant la
dérivation des formules et des facteurs figurant dans l’ISO 76 soient publiées sous la forme d'un rapport
technique. Ce rapport technique a été publié en tant qu’ISO/TR 10657:1991.
Un amendement à l’ISO 76:1987, qui explique les différences de charges entre les roulements radiaux et les
roulements axiaux, a été publié en tant qu’ISO 76:1987/Amd.1:1999.
0.4 0.4  ISO 76:2006
Une révision systématique de l’ISO 76:1987 a été décidée en 2003, sur la base du procédé de vote préalable et
des documents TC 4/SC 8 N 233 et N 235.
L’ISO 76:2006 comprend des adaptations rédactionnelles et des mises à jour, ainsi qu'une extension par le
facteur de sécurité statique S . De plus, l’ISO 76:1987/Amd.1:1999 a été intégrée et est devenue l'Annexe
Al'Annexe A informative «Discontinuités dans le calcul des charges statiques de base».
0.5 0.5  ISO 76:2006/Amd.1:2017
L’ISO 76:2006/Amd.1:2017 comprend les éléments suivants:
— — des graphiques pour les facteurs f0, X0 et Y0 tirés du projet ÖNORM M 6320 à inclure dans une annexe
informative;
— —  des formules de calcul du facteur de charge f issues de l’ISO/TR 10657 à introduire dans la partie
normative de la norme;
— —  les tableaux relatifs au facteur de charge f resteront dans la partie normative de la norme; toutefois,
une phrase sera ajoutée pour préciser que les résultats obtenus à partir des formules sont privilégiés.
vi © ISO 2021 – Tous droits réservés
vi
RAPPORT TECHNIQUE ISO/TR 10657:2021(F)

Notes explicatives sur l’ISO l'ISO 76
1 Domaine d'application
Le présent document fournit des informations complémentaires sur la dérivation des formules et des facteurs
figurant dans l’ISO 76:2006.
2 Références normatives
Il n'y a pas de références normatives dans le présent document.
3 Termes, définitions et symboles
3.1 Termes et définitions
Aucun terme n'est défini dans le présent document.
L’ISO et l’IEC tiennent à jour des bases de données terminologiques destinées à être utilisées en normalisation,
consultables aux adresses suivantes:
— — ISO Online browsing platform: disponible à l'adresse https://www.iso.org/obp
— — IEC Electropedia: disponible à l'adresse https://www.electropedia.org/
3.2 Symboles
C charge axiale statique de base, en newtons
0a
C charge radiale statique de base, en newtons
0r
Dpw diamètre primitif, sur billes ou rouleaux, en millimètres
D diamètre nominal de la bille, en millimètres
w
D diamètre du rouleau à utiliser dans les calculs de charges de base, en millimètres
we
E module d’élasticité (ou module d'Young), en mégapascals
E1, E2 module d'élasticité du corps 1 (élément roulant) et du corps 2 (chemin de roulement), en
mégapascals
E(κ) intégrale elliptique complète de la deuxième espèce
E0 E/(1 − ν )
F charge axiale (composante axiale de la charge appliquée), en newtons
a
F charge radiale (composante radiale de la charge appliquée), en newtons
r
F(ρ) différence de courbure relative
J (ε) intégrale de charge axiale
a
J (ε) intégrale de charge radiale
r
K(κ) intégrale elliptique complète de la première espèce
L longueur de rouleau à utiliser dans les calculs de charges, en millimètres
we
P charge axiale statique équivalente théorique pour une butée, généralement appelée charge axiale
0a
statique équivalente, en newtons
P charge radiale statique équivalente théorique pour un roulement radial, généralement appelée
0r
charge radiale statique équivalente, en newtons
Q force normale entre l'élément roulant et le chemin de roulement, en newtons
Q force normale maximale entre l'élément roulant et le chemin de roulement, en newtons
max
S nombre de Stribeck
X0 facteur de charge radiale statique
Y facteur de charge axiale statique
Z nombre de billes supportant la charge dans une direction, nombre de billes ou de rouleaux par
rangée, ou nombre d'éléments roulants par rangée
a demi-grand axe de l'ellipse de contact projetée, demi-longueur de la surface de contact
b demi-petit axe de l'ellipse de contact projetée, demi-largeur de la surface de contact
2/3
c constante de compression, en 1/mégapascal
f osculation = r/D
w
f osculation au niveau de la bague extérieure = r /D
e e w
f osculation au niveau de la bague intérieure = r /D
i i w
f0 facteur qui dépend de la géométrie des composants du roulement et du niveau de contrainte
appliqué
i nombre de rangées de billes ou de rouleaux dans un roulement
k paramètre de distribution de charge.
r rayon de courbure d'une section transversale d'un chemin de roulement, en millimètres
r rayon de la gorge de la bague extérieure, en millimètres
e
ri rayon de la gorge de la bague intérieure, en millimètres
t exposant dans la formule charge-déflexion
x distance dans la direction du demi-grand axe, en millimètres
y distance dans la direction du demi-petit axe, en millimètres
α angle de contact nominal, en degrés
α′ angle réel de contact nominal, en degrés
γ paramètre auxiliaire, γ = D cos α /D pour roulements à billes avec α ≠ 90°
we pw
γ = D /D pour roulements à billes avec α = = 90°
w pw
γ = D cos α /D pour roulements à rouleaux avec α ≠ 90°
we pw
γ = D /D pour roulements à rouleaux avec α = 90°
we pw
ε paramètre caractéristique de la grandeur de la zone chargée
κ rapport entre l'axe semi-majeur et l'axe semi-mineur = a/b
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ν coefficient de Poisson
ν coefficient de Poisson du corps 1 (élément roulant)
ν coefficient de Poisson du corps 2 (chemin de roulement)
Σρ somme des courbures
ρ , ρ courbure principale du corps 1 (élément roulant)
11 12
ρ , ρ courbure principale du corps 2 (chemin de roulement)
21 22
σ contrainte de contact calculée, en mégapascals
σmax contrainte de contact maximale calculée, en mégapascals
ϕ angle auxiliaire, en radians
ψ moitié de l'arc chargé
4 Charge statique de base
4.1 Généralités
4.1.1 Formule de base pour le contact ponctuel
La relation entre la contrainte de contact calculée et la charge de l'élément roulant au sein d'une zone de
contact elliptique est présentée dans la Référence Error! Reference source not found. [8] en tant que Error!
Reference source not found.Formule (1),,
(1)
3𝑄 𝑥 𝑦
2 2 1⁄2
𝜎 = [1 − ( ) − ( ) ] (1)
2𝜋𝑎𝑏 𝑎 𝑏
Il est conclu que la contrainte de contact maximale calculée (σmax) se produit au point x = 0 et y = 0,
3𝑄 3𝑄 2𝜋 𝑎𝑏 2𝜋 𝑎𝑏
𝜎 = ou 𝑄ou𝑄 = 𝜎 (2)
max max
2𝜋 𝑎𝑏 2𝜋 𝑎𝑏 3 3
Selon la théorie de Hertz,
(3)
(4)
2 2 2
2𝜅 𝐸(𝜅) 3𝑄 1−𝜈 1−𝜈
1⁄3 1 2 1⁄3
𝑎 = ( ) [ ( + )] (3)
𝜋 2𝛴𝜌 𝐸 𝐸
1 2
2 2
2𝐸(𝜅) 3𝑄 1−𝜈 1−𝜈
1⁄3 1 2 1⁄3
𝑏 = ( ) [ ( + )] (4)
𝜋𝜅 2𝛴𝜌 𝐸 𝐸
1 2
où
κ = a/b
𝜋⁄2
2 1⁄2
E(κ)
= ∫ [1 − (1 − ) sin 𝜙] d𝜙
𝜅
Σρ = ρ + ρ + ρ + ρ
11 12 21 22
𝜌 = 𝜌
11 12
=
𝐷
w
En substituant la Error! Reference source not found.Formule (3) et la Error! Reference source not
found.Formule (4) par la Error! Reference source not found.Formule (2) pour le cas où E = E = E et
1 2
ν = ν = ν,
1 2
(5)
32𝜋 𝐸(𝜅)
3 2
𝑄 = 𝜎 𝜅( ) (5)
max 2
3𝐸 𝛴𝜌
et
(6)
2 𝐾(𝜅)
1 − ( − 1) − 𝐹(𝜌) = 0 (6)
𝜅 −1 𝐸(𝜅)
où
𝐸
𝐸 =
1 − 𝜈
E = 2,07 × 10 MPa
ν = 0,3
𝜋⁄2
2 −1/2
K(κ) = ∫ [1 − (1 − ) sin 𝜙] d𝜙
𝜅
𝜌 − 𝜌 + 𝜌 − 𝜌
11 12 21 22
=
𝐹(𝜌)
𝜌 + 𝜌 + 𝜌 + 𝜌
11 12 21 22
Par conséquent, d'après la Error! Reference source not found.Formule (5),,
(7)
𝐸(𝜅)
−10 2 3
𝑄 = 6,4762065 × 10 𝜅( ) 𝜎 (7)
max
𝛴𝜌
4.1.2 Formule de base pour le contact linéaire
La relation entre la contrainte de contact calculée et la charge de l'élément roulant pour un contact linéaire
est présentée dans la Référence Error! Reference source not found. [9] comme suit,
2𝑄 𝑦
2 1⁄2
𝜎 = [1 − ( ) ] (8)
𝜋𝐿 𝑏 𝑏
we
Il est conclu que la contrainte de contact maximale calculée (σ ) de la Error! Reference source not
max
found.Formule (8) se produit à la ligne y = 0,
2𝑄 𝜋 𝐿 𝑏
we
𝜎 = ou 𝑄ou𝑄 = 𝜎 (9)
max max
𝜋 𝐿 𝑏 2
we
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De plus, b est donné par la formule suivante:
(10)
2 2
4𝑄 1−𝜈 1−𝜈
1 2 1⁄2
𝑏 = [ ( + )] (10)
𝜋𝐿 𝛴𝜌 𝐸 𝐸
we 1 2
où
Σρ = ρ + ρ + ρ + ρ
11 12 21 22
𝜌 =
𝐷
we
2 𝛾
𝜌
21 = ± ; le signe du haut s'applique au contact avec la bague intérieure et celui du bas au
𝐷 1∓𝛾
we
contact avec la bague extérieure;
𝜌 = 0
𝜌 = 0
𝐷 cos𝛼
we
=
𝛾
𝐷
pw
En substituant la Error! Reference source not found.Formule (10) par la Error! Reference source not
found.Formule (9) pour le cas où E = E = E et ν = ν = ν,
1 2 1 2
𝐿
we
𝑄 = 2𝜋𝜎
max
𝐸 𝛴𝜌
où
𝐸
𝐸
=
1 − 𝜈
E = 2,07 × 10 MPa
ν = 0,3
Par conséquent,
(11)
𝐿
we
−5 2
𝑄 = 2,7621732 × 10 𝜎 (11)
max
𝛴𝜌
4.2 Charge radiale statique de base, C des roulements radiaux à billes
0r
4.2.1 Roulements à billes, à gorges, à contact radial et oblique
La somme des courbures Σρ et la différence de courbure relative F(ρ) des roulements à billes, à gorges, à
contact radial et oblique sont données par les formules suivantes:
(12)
(13)
où
2 𝛾 1
𝛴𝜌 = (2 ± − ) (12)
𝐷 1∓𝛾 2𝑓
w i(e)
𝛾 1
± +
1∓𝛾 2𝑓
i(e)
𝐹(𝜌) = (13)
𝛾 1
2± −
1∓𝛾 2𝑓
i(e)
où
le signe du haut s'applique au contact avec la bague intérieure et celui du bas au contact avec la bague
extérieure;
𝐷 cos𝛼
w
𝛾 =
𝐷
pw
fi(e) signifie
𝑟
𝑖
= pour le contact avec la bague inte rieure, et
𝑓
𝑖
𝐷
𝑤
𝑟
𝑒
= pour le contact avec la bague exte rieure.
𝑓
𝑒
𝐷
𝑤
En substituant la Error! Reference source not found.Formule (12) par la Error! Reference source not
found.Formule (7),,
(14)
𝐷 𝐸(𝜅)
−10 w 2 3
𝑄 = 6,4762065 × 10 𝜅( ) 𝜎 (14)
𝛾 1
max
2± −
1∓𝛾 2𝑓
i(e)
En substituant la Error! Reference source not found.Formule (12) et la Error! Reference source not
found.Formule (14) par la Error! Reference source not found.Formule (15) (voir Référence Error!
Reference source not found. [10]),), puis en remplaçant Q par Qmax, cela donne
𝐶 = 𝑍𝑄 cos (15)
0r max
𝑆
où S est une fonction du paramètre de zone de charge ε. Si la moitié des billes sont chargées, alors
S = 4,37 s'applique. Une valeur couramment utilisée dans les calculs des roulements est S = 5, ce qui conduit à
une estimation plutôt prudente de la charge maximale de la bille.
C = 0,2 Z Q cos α (16)
0r max
Par conséquent,
𝜎 1 𝐸(𝜅)
max
−10 3 3 2 2
𝐶 = 0,2 × 6,4762065 × 10 × (4000) ( ) 𝜅 × ( ) 𝑍𝐷 cos𝛼
0r w
𝛾 1
4000 4
2 ± −
1 ∓ 𝛾 2𝑓
i(e)
6 © ISO 2021 – Tous droits réservés
lorsque le signe du haut désigne la bague intérieure et celui du bas la bague extérieure. Par conséquent,
introduire le nombre de rangées, i, de billes, a pour résultat la Error! Reference source not found.Formule
(17)::
𝐶 = 𝑓 𝑖𝑍𝐷 cos (17)
0r 0 w
lorsque f0 facteur qui dépend de la géométrie des composants du roulement et du niveau de contrainte
appliqué:
(18)
𝜎 𝐸(𝜅)
max
3 2
𝑓 = 2,072( ) 𝜅( ) (18)
𝛾 1
2± −
1∓𝛾 2𝑓
i(e)
Pour une bague intérieure avec f = 0,52, la Error! Reference source not found.Formule (18) devient,
i
(19)
𝜎 𝐸(𝜅)
max
3 2
𝑓 = 2,072( ) 𝜅( ) (19)
0 𝛾 1
4000 2+ −
1−𝛾 1,04
et pour une bague extérieure avec fe = 0,53,
(20)
𝜎 𝐸(𝜅)
max
3 2
𝑓 = 2,072( ) 𝜅( ) (20)
0 𝛾 1
4000 2− −
1+𝛾 1,06
La plus petite des valeurs f0 calculées à partir de la Formule (19)(19) et de la Formule (20)(20) est utilisée
pour le calcul des charges statiques.
Les valeurs du facteur f dans le Tableau 1 de l'ISO 76:2006 sont calculées en substituant les valeurs de κ, E(κ)
et γ = Dw cos α/Dpw indiqués dans le Tableau A.1 Tableau A.1,, et σmax = 4 200 MPa dans la formule ci-dessus.
Ces valeurs s’appliquent aux roulements avec un rayon de courbure transversal d'un chemin de roulement
inférieurs à 0,52 D pour les bagues intérieures des roulements à billes, à gorges, à contact radial et oblique,
w
et à 0,53 D pour les bagues extérieures des roulements à billes, à gorges, à contact radial et oblique ainsi que
w
pour les bagues intérieures des roulements à rotules sur billes.
L'aptitude d’un roulement à supporter les charges n'est pas nécessairement améliorée par l'emploi d’un rayon
de gorge plus petit, mais décroît par l'emploi d’un rayon de gorge plus grand. Dans le dernier cas, une valeur
de f0 réduite en conséquence est utilisée.
4.2.2 Roulements à rotule sur billes
La somme des courbures Σρ des roulements à rotules sur billes est donnée par la formule suivante pour une
bague extérieure:
4 1
𝛴𝜌 = ( ) (21)
𝐷 1+𝛾
w
En substituant la Error! Reference source not found.Formule (21) par la Error! Reference source not
found.Formule (7),,
(22)
𝐷
w
−10 2 3
𝑄 = 6,4762065 × 10 𝜅( (1 + 𝛾)𝐸(𝜅)) 𝜎 (22)
max
En général, κ = a/b = 1 dans le cas d'un contact entre le chemin de roulement de la bague extérieure et les
billes des roulements à rotules sur billes. Par conséquent,
⁄
𝜋 2
𝜋⁄2
1 𝜋
2 1⁄2
𝐸(𝜅) = ∫ [1 − (1 − ) sin 𝜙] d𝜙 = ∫ d𝜙 =
𝜅 2
Par conséquent, la Error! Reference source not found.Formule (22) est obtenue
(23)
𝐷
w
−10 2 3
𝑄 = 6,4762065 × 10 𝜅( (1 + 𝛾)𝜋) 𝜎 (23)
max
En substituant la Error! Reference source not found.Formule (23) par la Error! Reference source not
found.Formule (16) et en remplaçant de plus Q par Q ,
max
𝜎 𝜋
max
3 2 2
𝐶 = 2,072( ) [ (1 + 𝛾)] 𝑍𝐷 cos𝛼
0r w
4000 4
L'introduction du nombre de rangées de billes i, a pour résultat la Error! Reference source not
found.Formule (24)
𝐶 = 𝑓 𝑖𝑍𝐷 cos
0r 0 w
(24)
où
(25)
𝜎 𝜋
max 3 2
𝑓 = 2,072( ) [ (1 + 𝛾)] (25)
4000 4
Les valeurs du facteur f figurant dans le Tableau 1 de l'ISO 76:2006 sont calculées en substituant
σ = 4 600 MPa et les valeurs de γ = D cos α/D indiquées dans le Tableau 1 de l'ISO 76:2006 dans la
max w pw
Formule (25) (25).
4.3 Charge axiale statique de base C pour les butées à billes
0a
La somme des courbures Σρ et la différence de courbure relative F(ρ) des butées à billes est donnée par les
formules suivantes:
2 𝛾 1
𝛴𝜌 = (2 ± − ) (26)
𝐷 1∓𝛾 2𝑓
w
𝛾 1
± +
1∓𝛾 2𝑓
𝐹(𝜌) = (27)
𝛾 1
2± −
1∓𝛾 2𝑓
où le signe du haut désigne la bague intérieure et celui du bas la bague extérieure et
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f = r/D
w
En substituant la Error! Reference source not found.Formule (26) par la Error! Reference source not
found.Formule (7),,
(28)
𝐷 𝐸(𝜅)
w
−10 2 3
𝑄 = 6,4762065 × 10 𝜅( ) 𝜎 (28)
𝛾 1
max
2± −
1∓𝛾 2𝑓
En substituant la Error! Reference source not found.Formule (28) par la Error! Reference source not
found.Formule (29) suivante,
C0a = Z Qmax sin α (29)
Donc,
(30)
𝜎 𝐸(𝜅)
max
3 2 2
𝐶 = 10,362( ) 𝜅( ) 𝑍𝐷 sin𝛼 (30)
0a 𝛾 1 w
2± −
1∓𝛾 2𝑓
La valeur C la plus faible calculée à partir de la Error! Reference source not found.Formule (30) est
0a
adoptée. Pour les rondelles avec f = 0,54, l'utilisation du signe supérieur donne la Error! Reference source
not found.Formule (31),,
𝐶 = 𝑓 𝑍𝐷 sin (31)
0a 0 w
où
(32)
𝜎 𝐸(𝜅)
max 3 2
𝑓 = 10,362( ) 𝜅( ) (32)
0 𝛾 1
2+ −
1−𝛾 1,08
Les valeurs du facteur f dans le Tableau 1 de l'ISO 76:2006 sont calculées en substituant les valeurs de κ, E(κ)
et γ = Dw cos α/Dpw indiqués dans le Tableau A.2 Tableau A.2,, et σmax = 4 200 MPa dans la Formule (32)(32).
4.4 Charge radiale statique de base C0a pour les roulements radiaux à rouleaux
La somme des courbures Σρ pour les roulements à rouleaux radiaux est donnée par la formule suivante,
2 1
𝛴𝜌 = (33)
𝐷 1∓𝛾
we
En substituant la Error! Reference source not found.Formule (33) par la Error! Reference source not
found.Formule (11) et en retenant le Q le plus faible,
(34)
−5 2
𝑄 = 1,3810867 × 10 (1 − 𝛾)𝐿 𝐷 𝜎 (34)
we we max
En substituant la Error! Reference source not found.Formule (34) par la Error! Reference source not
found.Formule (35) suivante,,
𝐶 = 𝑍𝑄 cos (35)
0r max
𝑆
où S est une fonction du paramètre de zone de charge ε. Si la moitié des rouleaux sont chargés, alors
S = 4,08 s'applique. Une valeur couramment utilisée dans les calculs des roulements est S = 5, ce qui conduit à
une estimation plutôt prudente de la charge maximale du rouleau.
𝜎
max
𝐶 = 44,194774( ) (1 − 𝛾)𝑍𝐿 𝐷 cos𝛼
0r we we
Par conséquent, l'adoption de σmax = 4 000 MPa et l'introduction du nombre de rangées, i, de rouleaux, a pour
résultat la Error! Reference source not found.Formule (36),,
(36)
𝐷 cos𝛼
we
𝐶 = 44(1 − )𝑖𝑍𝐿 𝐷 cos (36)
0r we we
𝐷
pw
NOTE La valeur a été arrondie pour être utilisée dans le document final.
4.5 Charge axiale statique de base C0a pour les butées sur rouleaux
La somme des courbures Σρ des butées sur rouleaux est donnée par la Error! Reference source not
found.Formule (33) et Q est donné par la Error! Reference source not found.Formule (34).
En substituant la Error! Reference source not found.Formule (33) et la Error! Reference source not
found.Formule (34) par la Error! Reference source not found.Formule (29),,
𝜎
max
𝐶 = 220,97387( ) (1 − 𝛾)𝑍𝐿 𝐷 sin𝛼
0a we we
Par conséquent, adopter σmax = 4 000 MPa, à pour résultat la Error! Reference source not found.Formule
(37)
(37)
𝐷 cos𝛼
we
𝐶 = 220(1 − )𝑍𝐿 𝐷 sin (37)
0a we we
𝐷
pw
NOTE La valeur a été arrondie pour être utilisée dans le document final.
5 Charge statique équivalente
5.1 Charge radiale équivalente statique théorique P0r pour les roulements radiaux
5.1.1 Roulements radiaux à une rangée et roulements à billes, à gorges, à contact radial (angle de
contact nominal α = 0°)
En supposant que les deux bagues de roulement subissent un déplacement parallèle lorsqu'une charge radiale
et une charge axiale s'exercent simultanément sur des roulements radiaux à une rangée, la charge maximale
sur l’élément roulant, Q , est donnée par la Error! Reference source not found.Formule (38)::
max
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𝐹 𝐹
r a
𝑄 = = (38)
max
𝑍cos𝛼𝐽 𝑍sin𝛼𝐽
r a
Les intégrales de charges radiale et axiale sont données par la Error! Reference source not
found.Formule (39)
(39)
+𝜓
o
1 1
𝑡
𝐽 = 𝐽 (𝜀) = ∫ [1 − (1 −cos𝜓)] 𝑐𝑜𝑠𝜓d𝜓
r r
2𝜋 2𝜀
−𝜓
o
}
+𝜓
o
1 1
𝑡
𝐽 = 𝐽 (𝜀) = ∫ [1 − (1 −cos𝜓)] d𝜓
a a
2𝜋 2𝜀
−𝜓
o
(39)
où t est l'exposant dans la formule charge-déflexion
t = 3/2 pour un contact ponctuel;
t = 3/2 pour un contact ponctuel;

t = = 1,1 pour un contact linéaire.
En supposant que le roulement ne présente aucun jeu radial interne lors du montage, la charge radiale
équivalente statique devient P0r = Fr lorsque les bagues se déplacent dans la direction radiale (ε = 0,5). Par
conséquent, la formule suivante peut être obtenue à partir de la Error! Reference source not found.Formule
(38)
𝑃
0r
𝑄 =
max
𝑍cos𝛼𝐽 (0,5)
r
la relation suivante donne
𝐹 𝐽
r r
= (40)
𝑃 𝐽 (0,5)
0r r
(41)
𝐹 cot𝛼 𝐽
a a
= (41)
𝑃 𝐽 (0,5)
0r r
Les valeurs calculées à partir de la Error! Reference source not found.Formule (40) et de la Error!
Reference source not found.Formule (41) pour un angle de contact constant α sont présentées dans le
Error! Reference source not found.Tableau 1. Conformément à la relation fonctionnelle indiquée dans ce
tableau, la charge radiale équivalente statique, P , pour les valeurs données de F , F et α , peut être obtenue.
0r r a
La relation entre Fr/P0r et Fa cot α/P0r est également illustrée à la Error! Reference source not found.Figure
1.
Tableau 1 — Valeurs pour F /P et F cot α/P par rapport à F tan α/F pour les roulements radiaux à
r 0r a 0r r a
une rangée
Roulements à billes Roulements à rouleaux
ε
Fr tan α/Fa Fr/P0r Fa cot α/P0r Fr tan α/Fa Fr/P0r Fa cot α/P0r
0,5 0,822 5 1 1,215 8 0,794 0 1 1,259 5
0,6 0,783 5 1,055 8 1,347 5 0,748 2 1,046 9 1,399 3
0,7 0,742 7 1,094 9 1,474 3 0,700 0 1,074 6 1,535 3
0,8 0,699 5 1,118 3 1,598 8 0,648 4 1 083 4 1,670 9
0,9 0,652 9 1,125 5 1 723 9 0,591 7 1,071 1 1,810 2
1 0,600 0 1,112 8 1,854 7 0,523 8 1,028 6 1,963 8
1,25 0,453 8 1,000 3 2,204 3 0,360 0 0,847 4 2,354 1
1,67 0,308 0 0,816 5 2,651 2 0,233 3 0,646 4 2,770 3
2,5 0,185 0 0,585 2 3,163 7 0,137 2 0,438 2 3,194 8
5 0,083 1 0,310 8 3,740 0 0,061 1 0,221 8 3,631 7
∞ 0 0 4,370 6 0 0 4,076 6
12 © ISO 2021 – Tous droits réservés
Légende
1 roulement à billes
2 roulement à rouleaux
1 roulement à billes
2 roulement à rouleaux
NOTE A, B et C servent à définir des segments linéaires.
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Figure 1 — Relation théorique entre les charges radiales et axiales en fonction de la charge
équivalente statique pour les roulements radiaux à une rangée
Le Error! Reference source not found.Tableau 1 et la Error! Reference source not found.Figure 1 ont été
calculés et représentés graphiquement en partant de l'hypothèse d'un angle de contact constant. Cependant,
la relation ci-dessus s'applique également, de manière approximative, aux roulements à billes (par exemple,
les roulements à billes, à gorges, à contact oblique), dont l'angle de contact varie en fonction de la charge, si
cot α′ ,′, donné par la Error! Reference source not found.Formule (42) est substitué à cot αError! Reference
[12]
source not found.
cos𝛼 𝑐 𝐹
a 2⁄3
= 1 + ( ) (42)
2𝑟
′ 2 ′
cos 𝛼 𝑍𝐷 sin 𝛼
−1 w
𝐷
w
où
c est la constante de compression qui dépend du module d'élasticité et de conformité 2 r/D ;
w
r est le rayon de courbure d'une section transversale du chemin de roulement;
Dw est le diamètre nominal de la bille (voir Error! Reference source not found.
(42)
où
c est la constante de compression qui dépend du module d'élasticité et de conformité 2 r/Dw;
r est le rayon de courbure d'une section transversale du chemin de roulement;
Dw est le diamètre nominal de la bille (voir Tableau 2).
).
𝒄
Tableau 2 — Valeurs de c et
𝒓
2 −𝟏
𝑫
w
2 r/Dw 1,032 5 1,035 1,037 5 1,06
c × 10 4,321 7 4,387 1 4,474 5 4,954 7
𝑐
𝑟
0,013 23 0,012 53 0,011 93 0,008 258
2 − 1
𝐷
w
2/3
NOTE L'unité de c est «1/MPa ».
𝐹
a
AÀ titre d’exemple de 2 r/D = 1 035, les valeurs de cot α′ pour chaque valeur de pour les roulements à
w
𝑍𝐷
w
billes, à gorges, à contact oblique avec α = 15° ∼ 45° sont indiquées dans le Error! Reference source not
found.Tableau 3.
Tableau 3 — Exemple de valeurs de cot α´ pour les roulements à billes, à gorges, à contact oblique
𝐹
a
𝑍𝐷
w
α
0,5 1 2 5 10
cot α´
15° 3,024 2,793 2,526 2,154 1,865
20° 2,450 2,322 2,164 1,905 1,691
25° 1,997 1,929 1,834 1,664 1,511
30° 1,651 1,613 1,552 1,444 1,337
35° 1,381 1,356 1,317 1,248 1,171
40° 1,163 1,146 1,122 1,072 1,018
45° 0,975 0,969 0,952 0,920 0,879
2 2
NOTE /= (/) 𝐹 /𝑍𝐷 = (𝐹 /𝐶 ) 𝑓 cos α, étant donné que = 𝐶 = 𝑓 𝑍𝐷 cos α.
a w a 0r 0 0r 0 w
De plus, pour les roulements à une ou deux rangées de billes, à gorges, à contact radial, le Error! Reference
source not found.Tableau 4 peut être obtenu à partir de la Error! Reference source not found.Formule
(40),, de la Error! Reference source not found.Formule (41) et de la Error! Reference source not found.
[7]
Formule (43)suivanteError! Reference source not found. ::
(43)
2𝑐 1 𝐹
a
′ ′ 3⁄8 3⁄8 1⁄4
sin 𝛼 ≈ tan 𝛼 ≈ ( ) (1 − ) ( ) (43)
𝑟
2 −1 2𝜀 𝐽 𝑖𝑍𝐷
a w
𝐷
w
Pour des valeurs données de Fr et Fa, une valeur provisoire de α′ est obtenue à l'aide de la Error! Reference
source not found.Formule (44). Ensuite, le Error! Reference source not found.Tableau 4 est utilisé pour
déterminer ε et F /P ou F cot α′/P , puis P peut être déterminé.
r 0r a 0r 0r
Tableau 4 — Valeurs de F /P et F cot α/P par rapport à F tan α/F pour les roulements à billes, à
r 0r a 0r r a
gorges, à contact radial
ε 𝐹 tan α′/Fa /𝐹 /𝑃 𝐹 cot α´/´/𝑃
𝑟 𝑟 0𝑟 𝑎 0𝑟
0,5 ∞ 1 0
0,6 1,143 2 1,055 8 0,923 8
0,7 0,905 5 1,094 9 1,209 6
0,8 0,785 9 1,118 3 1,423 1
0,9 0,701 3 1,125 5 1,605 1
1 0,628 0 1,112 8 1,772 1
1,25 0,463 2 1,000 3 2,160 0
1,67 0,310 5 0,816 5 2,603 5
2,5 0,185 5 0,585 2 3,154 8
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ε 𝐹 tan α′/Fa /𝐹 /𝑃 𝐹 cot α´/´/𝑃
𝑟 𝑟 0𝑟 𝑎 0𝑟
5 0,083 1 0,310 8 3,737 7
∞ 0 0 4,370 6
(44)
2𝑐 𝐹
a
′ 3⁄8 1⁄4
Atan 𝛼 ≈ ( ) ( ) (44)
𝑟
2 −1 𝑖𝑍𝐷
w
𝐷
w
À titre d’exemple, pour 2 r/D = 1,035, les valeurs de tan α′ pour chaque valeur deF de F /i Z𝐷 sont indiquées
w a a w
dans le Tableau 5 Tableau 5.
Tableau 5 — Exemple de valeurs de cot α´ pour les roulements à billes, à gorges, à contact radial
F /i Z𝐷 0,5 1 2 5 10
a
w
tan α′ 0,211 0 0,251 0 0,298 5 0,375 3 0,446 3
NOTE F /i Z𝐷 = (F /C ) f
a a 0r 0
w
De plus, la relation entre F /P et F cot α/P est indiquée à la Figure 2 Figure 2.
r 0r a 0r
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NOTE A, B et C servent à définir des segments linéaires.
Figure 2 — Relation théorique entre les charges radiales et axiales en fonction de la charge
équivalente statique pour les roulements à contact radial
5.1.2 Roulements radiaux à deux rangées
En supposant que les deux bagues de roulement subissent un déplacement parallèle lorsqu'une charge radiale
et une charge axiale s'exercent simultanément sur un roulement radial à deux rangées, et en désignant chaque
rangée par I et II,
F = F + F ;  F = F + F
r rI rII a aI aII
et la charge maximale par élément roulant pour chaque rangée est donnée par la Error! Reference source
not found.Formule (45),, voir la Référence [16].
(45)
𝐹 𝐹
r a
𝑄 = =
max
𝑍cos𝛼𝐽 𝑍sin𝛼𝐽
r a
} (45)
𝜀
II
𝑡
𝑄 = 𝑄 ( )
maxII maxI
𝜀
I
où
(46)
𝜀
II 𝑡
𝐽 = 𝐽 (𝜀 ) + ( ) 𝐽 (𝜀 )
r r I r II
𝜀
I
} (46)
𝜀
II
𝑡
𝐽 = 𝐽 (𝜀 ) − ( ) 𝐽 (𝜀 )
a a I a II
𝜀
I
où t est l'exposant dans la formule charge-déflexion
t = 3/2 pour un contact ponctuel;
t = 3/2 pour un contact ponctuel;

t = = 1,1 pour un contact linéaire.
En supposant que le roulement ne présente aucun jeu interne radial, la charge équivalente statique P0r = Fr,
𝑃
0r
lorsque les bagues de roulement se déplacent dans la direction radiale (εI = εII = 0,5), et𝑄 = c'est-
max
𝑍cos𝛼𝐽 (0,5)
r
à-dire que, dans ce cas, la Formule (40)(40) et la Formule (41)(41) sont valables. Les valeurs calculées à partir
de la Formule (40)(40) et de la Formule (41)(41) pour un angle de contact constant α sont indiquées dans le
Tableau 6 Tableau 6. Conformément à la relation fonctionnelle indiquée dans ce tableau, la charge radiale
équivalente statique, P , pour les valeurs données de F , F et α, peut être obtenue. La relation entre F /P et
0r r a r 0r
F cot α/P est illustrée à la Figure 3 Figure 3. De plus, pour les roulements à deux rangées de billes, à gorges,
a 0r
à contact radial, dont l'angle de contact varie en fonction de la charge, P0r peut être obtenu approximativement
en utilisant α´ selon la Formule (42) (42) à la place de α dans le Tableau 6 Tableau 6.
Tableau 6 — Valeurs de F /P et F cot α/P par rapport à F tan α/F pour les roulements radiaux à
r 0r a 0r r a
deux rangées
Roulements à billes Roulements à rouleaux
ε ε
I II
Fr tan α/Fa Fr/P0r Fa cot α/P0r Fr tan α/Fa Fr/P0r Fa cot α/P0r
0,5 0,5 ∞ 1 0 ∞ 1 0
0,6 0,4 2,046 5 0,779 7 0,381 0 2,390 8 0,821 7 0,343 7
0,7 0,3 1,091 6 0,663 4 0,607 8 1,210 1 0,702 2 0,580 3
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Roulements à billes Roulements à rouleaux
ε ε
I II
Fr tan α/Fa Fr/P0r Fa cot α/P0r Fr tan α/Fa Fr/P0r Fa cot α/P0r
0,8 0,2 0,800 5 0,602 6 0,752 8 0,822 9 0,618 7 0,751 8
0,9 0,1 0,671 3 0,572 1 0,852 3 0,634 0 0,558 6 0,881 1
1 0 0,600 0 0,556 4 0,927 4 0,523 8 0,514 3 0,981 9
1,25 0 0,453 8 0,500 1 1,102 1 0,360 0 0,423 7 1,177 1
1,67 0 0,308 0 0,408 3 1,325 6 0,233 3 0,323 2 1,385 2
2,5 0 0,185 0 0,292 6 1,581 9 0,137 2 0,219 1 1,597 4
5 0 0,083 1 0,155 4 1,869 9 0,061 1 0,110 9 1,815 8
∞ 0 0 0 2,185 0 0 0 2,038 3
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Légende
1 roulement à billes
2 roulement à rouleaux
1 roulement à billes
2 roulement à rouleaux
NOTE A, B et C servent à définir des segments linéaires.
Figure 3 — Relation théorique entre les charges radiales et axiales en fonction de la charge
équivalente statique pour les roulements radiaux à deux rangées
5.2 Charge axiale équivalente statique théorique P0a pour les butées
5.2.1 Butées à simple effet
Les butées à simple effet qui peuvent supporter des charges radiales peuvent être considérés comme des
roulements à une rangée à contact radial avec un grand angle de contact.
Lorsque les rondelles de roulement se déplacent dans la direction axiale dans la Error! Reference source not
found.Formule (41),, qui s'applique aux roulements à une rangée à contact radial avec un angle de contact
constant, ε = ∞ et J = 1, et puisque la charge axiale équivalente statique P = F , en substituant cette relation,
a 0a a
on obtient la formule suivante
P = P cot α J (0,5)
0r 0a r
En substituant cette formule par la Error! Reference source not found.Formule (40) et la Error! Reference
source not found.Formule (41),, les formules suivantes sont obtenues:
𝐹 tan𝛼
r
= 𝐽 (47)
r
𝑃
0a
𝐹
a
= 𝐽 (48)
a
𝑃
0a
Les valeurs du Tableau 7 Tableau 7 peuvent être obtenues à partir de la Formule (47)(47) et de la Formule
(48)(48). Conformément à la relation fonctionnelle indiquée dans ce tableau, la charge axiale statique
équivalente, P , pour les valeurs données de F , F et α, peut être obtenue. La relation entre F /P et
0a r a a 0a
F tan α/P est indiquée à la Figure 4 Figure 4.
r 0a
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