ISO 10110-12:1997

Optics and optical instruments — Preparation of drawings for optical elements and systems — Part 12: Aspheric surfaces

Optique et instruments d'optique — Indications sur les dessins pour éléments et systèmes optiques — Partie 12: Surfaces asphériques

General Information

• Status: Withdrawn
• Publication Date: 13-Aug-1997
• Withdrawal Date: 13-Aug-1997
• ICS: 01.100.20 - Mechanical engineering drawings
• ICS: 37.020 - Optical equipment
• Technical Committee: ISO/TC 172/SC 1 - Fundamental standards
• Drafting Committee: ISO/TC 172/SC 1/WG 2 - Preparation of drawings for optical elements and systems
• Current Stage: 9599 - Withdrawal of International Standard
• Completion Date: 23-Aug-2007

Relations

• Revised: ISO 10110-12:2007 - Optics and photonics — Preparation of drawings for optical elements and systems — Part 12: Aspheric surfaces
• Effective Date: 15-Apr-2008

Standards Content (Sample)

INTERNATIONAL IS0
STANDARD 10110-12
First edition
1997-08- 15
Optics and optical instruments -
Preparation of drawings for optical
elements and systems -
Part 12:
Aspheric surfaces
Optigue et instruments d’optigue - indications sur les dessins pour
&men ts et systkmes optiques -
Partie 12: Surfaces asphbriques
Reference number
IS0 10110-12:1997(E)

---------------------- Page: 1 ----------------------
IS0 10110-12:1997(E)
Foreword
IS0 (the International Organization for Standardization) is a worldwide
federation of national standards bodies (IS0 member bodies). The work of
preparing International Standards is normally carried out through IS0
technical committees. Each member body interested in a subject for which
a technical committee has been established has the right to be represented
on that committee. International organizations, governmental and non-
governmental, in liaison with ISO, also take part in the work. IS0
collaborates closely with the International Electrotechnical Commission
(IEC) on all matters of electrotechnical standardization.
Draft International Standards adopted by the technical committees are
circulated to the member bodies for voting. Publication as an International
Standard requires approval by at least 75 % of the member bodies casting
a vote.
International Standard IS0 101 IO-12 was prepared by Technical
Committee ISO/TC 172, Optics and optical instruments, Subcommittee
SC 1, Fundamental standards.
IS0 10110 consists of the following parts, under the general title Optics
and optical instruments - Preparation of drawings for optical elements and
sys terns:
- Part I: Genera/
- Part 2: Material imperfections - Stress birefringence
Pat? 3: Material imperfections - Bubbles and inclusions
Parf 4: Material imperfections - lnhomogeneity and striae
Parf 5: Surface form tolerances
Par? 6: Cen tring tolerances
Par? 7: Surface imperfection tolerances
- Part 8: Surface texture
0 IS0 1997
All rights reserved. Unless otherwise specified, no part of this publication may be reproduced
or utilized in any form or by any means, electronic or mechanical, including photocopying and
microfilm, without permission in writing from the publisher.
International Organization for Standardization
Case postale 56 l CH-1211 Geneve 20 l Switzerland
Internet central @ iso.ch
x.400 c=ch; a=400net; p=iso; o=isocs; s=central
Printed in Switzerland
ii

---------------------- Page: 2 ----------------------
@ IS0 IS010110=12:1997(E)
- Par? 9: Surface treatment and coating
- Parf IO: Table representing data of a lens element
- Part I I: Non-toleranced data
- Part 12: Aspheric surfaces
- Part 13: Laser irradiation damage threshold
Annex A forms an integral part of this part of IS0 10110.
. . .
III

---------------------- Page: 3 ----------------------
This page intentionally left blank

---------------------- Page: 4 ----------------------
IS0 1011 O-1 2: 1997(E)
INTERNATIONAL STANDARD @ IS0
Optics and optical instruments - Preparation of drawings for
optical elements and systems -
Part 12:
Aspheric surfaces
1 Scope
IS0 101 IO specifies the presentation of design and functional requirements for optical elements in technical
drawings used for manufacturing and inspection.
This part of IS0 101 IO specifies rules for presentation, dimensioning and tolerancing of optically effective surfaces
of aspheric form.
This part of IS0 10110 does not apply to discontinuous surfaces such as Fresnel surfaces or gratings.
This part of IS0 10110 does not specify the method by which compliance with the specifications is to be tested.
2 Normative references
The following standards contain provisions which, through reference in this text, constitute provisions of this part of
IS0 10110. At the time of publication, the editions indicated were valid. All standards are subject to revision, and
parties to agreements based on this part of IS0 10110 are encouraged to investigate the possibility of applying the
most recent editions of the standards indicated below. Members of IEC and IS0 maintain registers of currently valid
International Standards.
IS0 1101: -11, Technical drawings - Geometrical tolerancing - Tolerancing of form, orientation, location and run-
out - Generalities, definitions, symbols, indications on drawings.
Preparation of drawings for optical elements and systems -
IS0 1011 O-l :I 996, Optics and optical instruments -
Part I: General.
Preparation of drawings for optical elements and systems -
IS0 1011 O-31 996, Optics and optical instruments
Part 5: Surface form tolerances.
Preparation of drawings for optical elements and systems -
IS0 1011 O-6:1 996, Optics and optical instruments
Part 6: Centring tolerances.
I) To be published. (Revision of IS0 1101:1983)

---------------------- Page: 5 ----------------------
0 IS0
lS010110=12:1997(E)
IS0 1011 O-7:1 996, Optics and optical instruments -
Preparation of drawings for optical elements and systems -
Par? 7: Surface imperfection tolerances.
IS0 1011 O-8:1 9972), Optics and optica/ instruments - Preparation of drawings for optical elements and systems -
Part 8: Surface texture.
3 Mathematical description of aspheric surfaces
3.1 General
Aspheric su r-faces described in a right-handed, orthogonal coordinate system in which the z axis is the
optical
axis.
Unless otherwise specified , the z axis is in the plane of the drawing and runs f rom left to right; if only one cross-
section is drawn, the y axis is in the plane of the drawing and is oriented upwards
If two cross-sections are drawn, the xz cross-section shall appear under the YZ cross-section (see figure 5). For
clarity the X- and y-axes may be shown on the drawing.
The origin of the coordinate system is at the vertex of the aspheric surface (figure 1).
X
/ ’
/ ’
2’
/
I /
/
“,--r-T
I
/
,
-Z
I
-p
/
I
Figure 1 - Coordinate system
2) To be published.

---------------------- Page: 6 ----------------------
0 IS0
IS0 10110-12:1997(E)
Surfaces fulfilling the equation
2 = f(x2 + y2)
are of special importance; they are rotationally symmetric about the z axis.
Two types of surface are of particular importance because of their common application in applied optics:
- generalized surfaces of second order, and
- toric surfaces.
3.2 Special surface types
3.2.1 Generalized surfaces of second order
In the coordinate system given in 3.1, the equation of the surfaces of second order which fall within the scope of this
part of IS0 10110 is
where
a and b are constants (possibly imaginary), with L? and 62 real);
c is a real constant.
With the substitutions
a2
- = Rx (radius of curvature in the xz plane for z = 0),
c
b2
-=
(radius of curvature in the YZ plane for z = 0),
RY
c
a2
=--
1,
K/Y
c2
b2
=--
1
KY
c2
where K,, ~~ are the conic constants,
equation (1) becomes
2 = f (A y) =
. . .
(2)
I+//

---------------------- Page: 7 ----------------------
IS0 10110=12:1997(E) @ IS0
If the su (2) is intersected with the planes x =
rface according to eq uation 0 (or y = 0), then, depending on the value
of ~~ (or K,), intersection lines of the following types are produced:
K>O oblate ellipse;
K=O circle;
-kK prolate ellipse;
K=-1
parabola;
K<-1
hyperbola.
The following special cases of equation (2) should be mentioned:
a) R = Rx = R,, K= K,= Kyand h2=x%$gives
h2
z= f(h)= . . .
(3)
R+,/w-
Equation (3) describes a surface rotationally symmetric about the z axis.
u2
b) z = f(u) = . . .
R, +JigGp-
This equation describes a cylinder (not necessarily of circular cross-section) the axis of which for u = x is
perpendicular to the xz plane, and the axis of which for u = y is perpendicular to the YZ plane.
2
X2
. l .
C>
z=fky)=c 7+$ (5)
i
This equation describes a cone with its tip at the origin with elliptical cross-section (if a f: 6) or with circular cross-
section (if a = 6).
If necessary, equation (2) can be modified by the addition of a power series fl(x,y) (see annex A). The equation of
the surface is then complete:
. . .
2 =fk Y> +.fi(x, Y)
(6)
where f(x, y) represents the basic form according to equation (2).
NOTE - Care should be taken that the signs of the coefficients in fi(x, y) are in accordance with the conventions defined in
figure 1.
3.2.2 Toric surfaces
A toric surface is generated by the
...

NORME ISO
INTERNATIONALE 10110-12
Première édition
1997-08-l 5
Optique et instruments d’optique -
Indications sur les dessins pour éléments
et systèmes optiques -
Partie 12:
Surfaces asphériques
Prepara tion of dra wings for optical
Optics and optical instruments -
elements and systems -
Part 12: Aspheric surfaces
Numéro de référence
ISO 10110-12:1997(F)

---------------------- Page: 1 ----------------------
ISO 10110-12:1997(F)
Avant-propos
L’ISO (Organisation internationale de normalisation) est une fédération mondiale d’organismes nationaux de
normalisation (comités membres de I’ISO). L’élaboration des Normes internationales est en général confiée aux
comités techniques de I’ISO. Chaque comité membre intéressé par une étude a le droit de faire partie du comité
technique créé à cet effet. Les organisations internationales, gouvernementales et non gouvernementales, en
liaison avec I’ISO participent également aux travaux. L’ISO collabore étroitement avec la Commission
électrotechnique internationale (CEI) en ce qui concerne la normalisation électrotechnique.
Les projets de Normes internationales adoptés par les comités techniques sont soumis aux comités membres pour
vote. Leur publication comme Normes internationales requiert l’approbation de 75 % au moins des comités
membres votants.
La Norme internationale ISO 1011 O-12 a été élaborée par le comité technique ISO/TC 172, Optique et instruments
d’optique, sous-comité 1, Normes fondamentales.
L’ISO 10110 comprend les parties suivantes, présentées sous le titre général Optique et instruments d’optique -
Indications sur les dessins pour éléments et systèmes optiques:
Partie 1: Généralités
matériaux - Biré fringence sous contrainte
Partie 2: Imperfections des
Partie 3: Imperfections des matériaux - Bulles et inclusions
matériaux - Hétérogénéité et stries
Partie 4: Imperfections des
Partie 5: Tolérances de forme de surface
Partie 6: Tolérances de centrage
Partie 7: Tolérances d’imperfection de surface
Partie 8: État de surface
Partie 9: Traitement de surface et revêtement
- Partie 10: Tableau représentant les données d’une lentille
- Partie 11: Données non tolérancées
- Partie 12: Surfaces asphériques
- Partie 13: Seuil de dommage au rayonnement laser
0 ISO 1997
Droits de reproduction réservés. Sauf prescription différente, aucune partie de cette publi-
cation ne peut être reproduite ni utilisée sous quelque forme que ce soit et par aucun pro-
cédé, électronique ou mécanique, y compris la photocopie et les microfilms, sans l’accord
écrit de l’éditeur.
Organisation internationale de normalisation
Case postal8 56 l CH-121 1 Genève 20 l Suisse
Internet central @ iso.ch
c=ch; a=400net; p=iso; o=isocs; s=central
x.400
Imprimé en Suisse
ii

---------------------- Page: 2 ----------------------
NORME INTERNATIONALE o ISO ISO 10110~12:1997(F)
Optique et instruments d’optique - Indications sur les dessins
pour éléments et systèmes optiques -
Partie 12:
Surfaces asphériques
1 Domaine d’application
L’ISO 10110 prescrit la représentation des exigences de conception et des exigences fonctionnelles des éléments
et systèmes optiques, dans les dessins techniques utilisés pour la fabrication et le contrôle.
La présente partie de I’ISO 10110 prescrit les règles de représentation, de dimensionnement et de tolérancement
des parties optiques utiles des surfaces de forme asphérique.
La présente partie de I’ISO 10110 ne s’applique pas aux surfaces discontinues comme les surfaces de Fresnel ou
les réseaux de diffraction.
La présente partie de I’ISO 10110 ne prescrit pas la méthode selon laquelle la conformité aux spécifications doit
être vérifiée.
2 Références normatives
Les normes suivantes contiennent des dispositions qui, par suite de la référence qui en est faite, constituent des
dispositions valables pour la présente partie de I’ISO 10110. Au moment de la publication, les éditions indiquées
étaient en vigueur. Toute norme est sujette à révision et les parties prenantes des accords fondés sur la présente
partie de I’ISO 10110 sont invitées à rechercher la possibilité d’appliquer les éditions les plus récentes des normes
indiquées ci-après. Les membres de la CEI et de I’ISO possèdent le registre des Normes internationales en vigueur
à un moment donné.
ISO 1101: -l) , Spécifica tion géométrique des produits - Tolérancement géométrique - Généralités, définitions,
symboles, indications sur les dessins.
Indications sur les dessins pour éléments et systèmes
ISO 1011 O-l :1996, Optique et instruments d’optique -
optiques - Partie 1: Généralités.
Indications sur les dessins pour éléments et systèmes
ISO 1011 O-31 996, Optique et instruments d’optique -
optiques - Partie 5: Tolérances de forme de surface.
ISO 1011 O-6:1 996, Optique et instruments d’optique - Indications sur les dessins pour éléments et systèmes
optiques - Partie 6: Tolérances de centrage.
‘1 À publier . (Révision de I’ISO 11 OI :1983)

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0 ISO
ISO 10110~12:1997( F)
Indications sur les dessins pour éléments et systèmes
ISO 1 OI 1 O-7:1 996, Optique et instruments d’optique -
optiques - Partie 7: Tolérances d’imperfections de surface.
Indications sur les dessins pour éléments et systèmes
ISO 1011 O-8:1 997*) , Optique et instruments d’optique -
optiques - Partie 8: État de surface.
3 Description mathématique des surfaces asphériques
3.1 Généralités
Les surfaces asphériques sont représentées dans un système de coordonnées orthogonales à droite dans lequel
l’axe des z est l’axe optique.
Sauf indication contraire, l’axe des z se trouve sur le plan du dessin et part de la gauche vers la droite. Si une seule
coupe transversale est tracée, l’axe des y se trouve dans le plan du dessin et est orienté vers le haut.
Si les deux coupes transversales sont tracées, la coupe transversale xz doit apparaître sous la coupe transversale
y~ (voir la figure 5). Pour plus de clarté, les axes des x et des y peuvent être représentés sur le dessin.
L’origine du système de coordonnées se situe au sommet de la surface asphérique (figure 1).
Figure 1 - Système de coordonnées
*) À publier.
2

---------------------- Page: 4 ----------------------
0 ISO
ISO 10110-12:1997(F)
Les surfaces qui vérifient l’équation:
2 2
z=
x +Y
f( 1
sont particulièrement importantes; elles sont symétriques par rapport à l’axe de rotation 2.
Deux types de surfaces sont particulièrement importants car couramment employés en optique appliquée:
les surfaces généralisées du second ordre; et
- les surfaces toriques.
3.2 Types de surfaces spéciales
3.2.1 Surfaces généralisées du second ordre
Dans le système de coordonnées présenté en 3.1, l’équation (1) des surfaces de second ordre qui sont concernées
par la présente partie de NS0 10110 est la suivante:
x2
Y2
-+-
a2 b2
z=f(x,y)=c . . .
(1)
où
a et b sont des constantes (peut-être imaginaires, avec a* et b2 réelles);
c est une constante réelle.
En substituant:
a2
- = Rx (rayon de courbure dans le plan xz pour z = 0),
C
b2
- = Ry (rayon de courbure dans le plan YZ pour z = 0),
c
a2
=--
1
KX
C2
b2
=--
1
5 c2
où Kx, 5 sont les constantes coniques,
l’équation (1) devient
. . .
(2)

---------------------- Page: 5 ----------------------
0 ISO
ISO 1011042:1997(F)
la surface définie par l’équation les plans x = 0 (ou y = 0), alors, en fonction de la valeur de ~~ (ou K,),
(2)
d’intersection des suivants:
obtient les lignes
K>O ellipsoïde de révolution allongé,
K=O cercle,
-l K=-1
K<-1 hyperbole.
II convient de mentionner les cas particuliers suivants pour l’équation (2):
=Ryet K-= KX= Kyet h* =~*+y* donne
a) R = Rx
h*
z = f(h) = . . .
(3)
R+d-
L’équation (3) décrit une surface qui est symétrique par rapport à l’axe de rotation Z.
u*
. . .
b) z = f(u) =
(4)
Ru +JW
Cette équation décrit u n cylindre nécessai rement de coupe transversale circulaire) dont l’axe pour u = x est
(pas
ndiculaire XZ, et dont pour u = y est perpendiculaire au plan YZ
PerPe
. . .
c) (5)
Cette équation décrit un cône dont la pointe est à l’origine et dont la coupe
transversale est elliptique (si a # 6) ou
circulaire (si a = b).
Si nécessaire, il est possible de modifier l’équation (2) en y ajoutant une série de puissances &(~,y) (voir
l’annexe A).
L’équation de la surface est alors complète:
. . .
2 = fbY) + fi (x,Y) (6)
où f(x,y) représente la forme de base conformément à l’équation (2).
NOTE - II convient de veiller à ce que le signe des coefficients defi (~,y) soit conforme aux conventions définies à la figure 1.
3.2.2 Surfaces toriques
Une surface torique est générée par la rotation d’une courbe de définition contenue dans un plan autour d’un axe
situé dans le même plan. L’équation d’une surface torique dont la courbe de définition z = g(x) dans le plan xz et dont
l
...

NORME ISO
INTERNATIONALE 10110-12
Première édition
1997-08-l 5
Optique et instruments d’optique -
Indications sur les dessins pour éléments
et systèmes optiques -
Partie 12:
Surfaces asphériques
Prepara tion of dra wings for optical
Optics and optical instruments -
elements and systems -
Part 12: Aspheric surfaces
Numéro de référence
ISO 10110-12:1997(F)

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ISO 10110-12:1997(F)
Avant-propos
L’ISO (Organisation internationale de normalisation) est une fédération mondiale d’organismes nationaux de
normalisation (comités membres de I’ISO). L’élaboration des Normes internationales est en général confiée aux
comités techniques de I’ISO. Chaque comité membre intéressé par une étude a le droit de faire partie du comité
technique créé à cet effet. Les organisations internationales, gouvernementales et non gouvernementales, en
liaison avec I’ISO participent également aux travaux. L’ISO collabore étroitement avec la Commission
électrotechnique internationale (CEI) en ce qui concerne la normalisation électrotechnique.
Les projets de Normes internationales adoptés par les comités techniques sont soumis aux comités membres pour
vote. Leur publication comme Normes internationales requiert l’approbation de 75 % au moins des comités
membres votants.
La Norme internationale ISO 1011 O-12 a été élaborée par le comité technique ISO/TC 172, Optique et instruments
d’optique, sous-comité 1, Normes fondamentales.
L’ISO 10110 comprend les parties suivantes, présentées sous le titre général Optique et instruments d’optique -
Indications sur les dessins pour éléments et systèmes optiques:
Partie 1: Généralités
matériaux - Biré fringence sous contrainte
Partie 2: Imperfections des
Partie 3: Imperfections des matériaux - Bulles et inclusions
matériaux - Hétérogénéité et stries
Partie 4: Imperfections des
Partie 5: Tolérances de forme de surface
Partie 6: Tolérances de centrage
Partie 7: Tolérances d’imperfection de surface
Partie 8: État de surface
Partie 9: Traitement de surface et revêtement
- Partie 10: Tableau représentant les données d’une lentille
- Partie 11: Données non tolérancées
- Partie 12: Surfaces asphériques
- Partie 13: Seuil de dommage au rayonnement laser
0 ISO 1997
Droits de reproduction réservés. Sauf prescription différente, aucune partie de cette publi-
cation ne peut être reproduite ni utilisée sous quelque forme que ce soit et par aucun pro-
cédé, électronique ou mécanique, y compris la photocopie et les microfilms, sans l’accord
écrit de l’éditeur.
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NORME INTERNATIONALE o ISO ISO 10110~12:1997(F)
Optique et instruments d’optique - Indications sur les dessins
pour éléments et systèmes optiques -
Partie 12:
Surfaces asphériques
1 Domaine d’application
L’ISO 10110 prescrit la représentation des exigences de conception et des exigences fonctionnelles des éléments
et systèmes optiques, dans les dessins techniques utilisés pour la fabrication et le contrôle.
La présente partie de I’ISO 10110 prescrit les règles de représentation, de dimensionnement et de tolérancement
des parties optiques utiles des surfaces de forme asphérique.
La présente partie de I’ISO 10110 ne s’applique pas aux surfaces discontinues comme les surfaces de Fresnel ou
les réseaux de diffraction.
La présente partie de I’ISO 10110 ne prescrit pas la méthode selon laquelle la conformité aux spécifications doit
être vérifiée.
2 Références normatives
Les normes suivantes contiennent des dispositions qui, par suite de la référence qui en est faite, constituent des
dispositions valables pour la présente partie de I’ISO 10110. Au moment de la publication, les éditions indiquées
étaient en vigueur. Toute norme est sujette à révision et les parties prenantes des accords fondés sur la présente
partie de I’ISO 10110 sont invitées à rechercher la possibilité d’appliquer les éditions les plus récentes des normes
indiquées ci-après. Les membres de la CEI et de I’ISO possèdent le registre des Normes internationales en vigueur
à un moment donné.
ISO 1101: -l) , Spécifica tion géométrique des produits - Tolérancement géométrique - Généralités, définitions,
symboles, indications sur les dessins.
Indications sur les dessins pour éléments et systèmes
ISO 1011 O-l :1996, Optique et instruments d’optique -
optiques - Partie 1: Généralités.
Indications sur les dessins pour éléments et systèmes
ISO 1011 O-31 996, Optique et instruments d’optique -
optiques - Partie 5: Tolérances de forme de surface.
ISO 1011 O-6:1 996, Optique et instruments d’optique - Indications sur les dessins pour éléments et systèmes
optiques - Partie 6: Tolérances de centrage.
‘1 À publier . (Révision de I’ISO 11 OI :1983)

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0 ISO
ISO 10110~12:1997( F)
Indications sur les dessins pour éléments et systèmes
ISO 1 OI 1 O-7:1 996, Optique et instruments d’optique -
optiques - Partie 7: Tolérances d’imperfections de surface.
Indications sur les dessins pour éléments et systèmes
ISO 1011 O-8:1 997*) , Optique et instruments d’optique -
optiques - Partie 8: État de surface.
3 Description mathématique des surfaces asphériques
3.1 Généralités
Les surfaces asphériques sont représentées dans un système de coordonnées orthogonales à droite dans lequel
l’axe des z est l’axe optique.
Sauf indication contraire, l’axe des z se trouve sur le plan du dessin et part de la gauche vers la droite. Si une seule
coupe transversale est tracée, l’axe des y se trouve dans le plan du dessin et est orienté vers le haut.
Si les deux coupes transversales sont tracées, la coupe transversale xz doit apparaître sous la coupe transversale
y~ (voir la figure 5). Pour plus de clarté, les axes des x et des y peuvent être représentés sur le dessin.
L’origine du système de coordonnées se situe au sommet de la surface asphérique (figure 1).
Figure 1 - Système de coordonnées
*) À publier.
2

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0 ISO
ISO 10110-12:1997(F)
Les surfaces qui vérifient l’équation:
2 2
z=
x +Y
f( 1
sont particulièrement importantes; elles sont symétriques par rapport à l’axe de rotation 2.
Deux types de surfaces sont particulièrement importants car couramment employés en optique appliquée:
les surfaces généralisées du second ordre; et
- les surfaces toriques.
3.2 Types de surfaces spéciales
3.2.1 Surfaces généralisées du second ordre
Dans le système de coordonnées présenté en 3.1, l’équation (1) des surfaces de second ordre qui sont concernées
par la présente partie de NS0 10110 est la suivante:
x2
Y2
-+-
a2 b2
z=f(x,y)=c . . .
(1)
où
a et b sont des constantes (peut-être imaginaires, avec a* et b2 réelles);
c est une constante réelle.
En substituant:
a2
- = Rx (rayon de courbure dans le plan xz pour z = 0),
C
b2
- = Ry (rayon de courbure dans le plan YZ pour z = 0),
c
a2
=--
1
KX
C2
b2
=--
1
5 c2
où Kx, 5 sont les constantes coniques,
l’équation (1) devient
. . .
(2)

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0 ISO
ISO 1011042:1997(F)
la surface définie par l’équation les plans x = 0 (ou y = 0), alors, en fonction de la valeur de ~~ (ou K,),
(2)
d’intersection des suivants:
obtient les lignes
K>O ellipsoïde de révolution allongé,
K=O cercle,
-l K=-1
K<-1 hyperbole.
II convient de mentionner les cas particuliers suivants pour l’équation (2):
=Ryet K-= KX= Kyet h* =~*+y* donne
a) R = Rx
h*
z = f(h) = . . .
(3)
R+d-
L’équation (3) décrit une surface qui est symétrique par rapport à l’axe de rotation Z.
u*
. . .
b) z = f(u) =
(4)
Ru +JW
Cette équation décrit u n cylindre nécessai rement de coupe transversale circulaire) dont l’axe pour u = x est
(pas
ndiculaire XZ, et dont pour u = y est perpendiculaire au plan YZ
PerPe
. . .
c) (5)
Cette équation décrit un cône dont la pointe est à l’origine et dont la coupe
transversale est elliptique (si a # 6) ou
circulaire (si a = b).
Si nécessaire, il est possible de modifier l’équation (2) en y ajoutant une série de puissances &(~,y) (voir
l’annexe A).
L’équation de la surface est alors complète:
. . .
2 = fbY) + fi (x,Y) (6)
où f(x,y) représente la forme de base conformément à l’équation (2).
NOTE - II convient de veiller à ce que le signe des coefficients defi (~,y) soit conforme aux conventions définies à la figure 1.
3.2.2 Surfaces toriques
Une surface torique est générée par la rotation d’une courbe de définition contenue dans un plan autour d’un axe
situé dans le même plan. L’équation d’une surface torique dont la courbe de définition z = g(x) dans le plan xz et dont
l
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