Determination and use of straight-line calibration functions

ISO/TS 28037:2010 is concerned with linear, that is, straight-line, calibration functions that describe the relationship between two variables X and Y, namely, functions of the form Y = A + BX. Although many of the principles apply to more general types of calibration function, the approaches described exploit the simple form of the straight-line calibration function wherever possible. Values of the parameters A and B are determined on the basis of measured data points (xi, yi), i = 1, ... , m. Various cases are considered relating to the nature of the uncertainties associated with these data. No assumption is made that the errors relating to the yi are homoscedastic (having equal variance), and similarly for the xi when the errors are not negligible. Estimates of the parameters A and B are determined using least squares methods. The emphasis is on choosing the least squares method most appropriate for the type of measurement data, in particular methods that reflect the associated uncertainties. The most general type of covariance matrix associated with the measurement data is treated, but important special cases that lead to simpler calculations are described in detail. For all cases considered, methods for validating the use of the straight-line calibration functions and for evaluating the uncertainties and covariance associated with the parameter estimates are given. ISO/TS 28037:2010 also describes the use of the calibration function parameter estimates and their associated uncertainties and covariance to predict a value of X and its associated standard uncertainty given a measured value of Y and its associated standard uncertainty.

Détermination et utilisation des fonctions d'étalonnage linéaire

L'ISO/TS 28037:2010 traite des fonctions d'étalonnage linéaire, c'est-ŕ-dire une droite, qui décrivent la relation entre deux variables X et Y, notamment les fonctions de la forme Y = A + BX. Bien que de nombreux principes s'appliquent ŕ des types de fonction d'étalonnage plus généraux, les approches décrites utilisent dans la mesure du possible cette forme simple de la fonction d'étalonnage linéaire. Les valeurs des paramčtres A et B sont déterminées sur la base de paires de données mesurées (xi,yi), i = 1,?, m. Selon la nature des incertitudes associées ŕ ces données, différents cas sont considérés. Aucune hypothčse n'est faite sur les erreurs relatives ŕ yi pour savoir si elles sont homoscédastiques (de variances égales), et de męme pour xi lorsque les erreurs ne sont pas négligeables. Les estimations des paramčtres A et B sont déterminées par les méthodes des moindres carrés. La présente Spécification Technique met l'accent sur le choix de la méthode des moindres carrés la plus appropriée au type de données de mesure, notamment les méthodes qui reflčtent les incertitudes associées. Le cas le plus général de matrice de covariances associée aux données de mesure est traité, mais des cas particuliers importants, donnant lieu ŕ des calculs plus simples, sont décrits en détail. Pour tous les cas considérés, les méthodes de validation du choix de fonctions d'étalonnage linéaire et d'évaluation des incertitudes et de la covariance associées aux estimations des paramčtres sont données. L'ISO/TS 28037:2010 décrit aussi l'utilisation des estimations des paramčtres de fonction d'étalonnage et de leurs incertitudes et covariance associées dans la prédiction d'une valeur de X et son incertitude-type associée pour une valeur mesurée de Y donnée avec son incertitude-type associée.

General Information

Status
Published
Publication Date
29-Aug-2010
Current Stage
9020 - International Standard under periodical review
Start Date
15-Jul-2020
Ref Project

Buy Standard

Technical specification
ISO/TS 28037:2010 - Determination and use of straight-line calibration functions
English language
63 pages
sale 15% off
Preview
sale 15% off
Preview
Technical specification
ISO/TS 28037:2010 - Détermination et utilisation des fonctions d'étalonnage linéaire
French language
70 pages
sale 15% off
Preview
sale 15% off
Preview

Standards Content (sample)

TECHNICAL ISO/TS
SPECIFICATION 28037
First edition
2010-09-01
Determination and use of straight-line
calibration functions
Détermination et utilisation des fonctions d'étalonnage linéaire
Reference number
ISO/TS 28037:2010(E)
ISO 2010
---------------------- Page: 1 ----------------------
ISO/TS 28037:2010(E)
PDF disclaimer

This PDF file may contain embedded typefaces. In accordance with Adobe's licensing policy, this file may be printed or viewed but

shall not be edited unless the typefaces which are embedded are licensed to and installed on the computer performing the editing. In

downloading this file, parties accept therein the responsibility of not infringing Adobe's licensing policy. The ISO Central Secretariat

accepts no liability in this area.
Adobe is a trademark of Adobe Systems Incorporated.

Details of the software products used to create this PDF file can be found in the General Info relative to the file; the PDF-creation

parameters were optimized for printing. Every care has been taken to ensure that the file is suitable for use by ISO member bodies. In

the unlikely event that a problem relating to it is found, please inform the Central Secretariat at the address given below.

COPYRIGHT PROTECTED DOCUMENT
© ISO 2010

All rights reserved. Unless otherwise specified, no part of this publication may be reproduced or utilized in any form or by any means,

electronic or mechanical, including photocopying and microfilm, without permission in writing from either ISO at the address below or

ISO's member body in the country of the requester.
ISO copyright office
Case postale 56 • CH-1211 Geneva 20
Tel. + 41 22 749 01 11
Fax + 41 22 749 09 47
E-mail copyright@iso.org
Web www.iso.org
Published in Switzerland
ii © ISO 2010 – All rights reserved
---------------------- Page: 2 ----------------------
ISO/TS 28037:2010(E)
Contents Page

Foreword:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: v

Introduction::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: vi

1 Scope :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: 1

2 Normative references::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: 1

3 Terms and de nitions :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: 1

4 Conventions and notation ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: 4

5 Principles of straight-line calibration:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: 5

5.1 General . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

5.2 Inputs to determining the calibration function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

5.2.1 Measurement data . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

5.2.2 Associated uncertainties and covariances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

5.3 Determining the calibration function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

5.4 Numerical treatment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

5.5 Uncertainties and covariance associated with the calibration function parameters . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

5.6 Validation of the model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

5.7 Use of the calibration function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

5.8 Determining the ordinary least squares best- t straight line to data . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

6 Model for uncertainties associated with the y :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: 9

6.1 General . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

6.2 Calibration parameter estimates and associated standard uncertainties and covariance . . . . . . . . . . . . . 10

6.3 Validation of the model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

6.4 Organization of the calculations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

7 Model for uncertainties associated with the x and the y :::::::::::::::::::::::::::::::: 17

i i

7.1 General . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

7.2 Calibration parameter estimates and associated standard uncertainties and covariance . . . . . . . . . . . . . 18

7.3 Validation of the model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

7.4 Organization of the calculations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

8 Model for uncertainties associated with the x and the y and covariances associated with the

i i

pairs (x ;y ):::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: 24

i i

8.1 General . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

8.2 Calibration parameter estimates and associated standard uncertainties and covariance . . . . . . . . . . . . . 24

9 Model for uncertainties and covariances associated with the y :::::::::::::::::::::::::::: 25

9.1 General . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

9.2 Calibration parameter estimates and associated standard uncertainties and covariance . . . . . . . . . . . . . 25

9.3 Validation of the model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

9.4 Organization of the calculations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

10 Model for uncertainties and covariances associated with the x and the y :::::::::::::::::: 31

i i

10.1 General . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

10.2 Calibration parameter estimates and associated standard uncertainties and covariance . . . . . . . . . . . . . 31

10.3 Validation of the model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

11 Use of the calibration function::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: 37

11.1 Prediction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

11.2 Forward evaluation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

c ISO 2010 | All rights reserved iii
---------------------- Page: 3 ----------------------
ISO/TS 28037:2010(E)
Annexes

A (informative) Matrix operations:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: 41

A.1 General . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

A.2 Elementary operations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

A.2.1 Matrix-vector multiplication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

A.2.2 Matrix-matrix multiplication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

A.2.3 Matrix transpose . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

A.2.4 Identity matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

A.2.5 Inverse of a square matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

A.3 Elementary de nitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

A.3.1 Symmetric matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

A.3.2 Invertible matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

A.3.3 Lower-triangular and upper-triangular matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

A.3.4 Orthogonal matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

A.4 Cholesky factorization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

A.4.1 Cholesky factorization algorithms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

A.4.2 Interpretation of the Cholesky factorization of a covariance matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

A.4.3 Solution of a lower-triangular system . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

A.4.4 Solution of an upper-triangular system . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

A.5 Orthogonal factorization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

A.5.1 QR factorization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

A.5.2 RQ factorization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

B (informative) Application of the Gauss-Newton algorithm to generalized distance regression :: 46

C (informative) Orthogonal factorization approach to solving the generalized Gauss-Markov prob-

lem :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: 48

C.1 General . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

C.2 Calibration parameter estimates and associated standard uncertainties and covariance . . . . . . . . . . . . . 48

C.3 Validation of the model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

D (informative) Provision of uncertainties and covariances associated with the measured x- and

y-values ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: 52

D.1 General . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

D.2 Response data 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

D.2.1 General . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

D.2.2 Measurement model for uncertainties and covariances associated with the y . . . . . . . . . . . . . . . 52

D.3 Response data 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

D.4 Stimulus data 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

D.5 Stimulus data 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

D.6 Stimulus and response data . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

E (informative) Uncertainties known up to a scale factor :::::::::::::::::::::::::::::::::: 56

F (informative) Software implementation of described algorithms ::::::::::::::::::::::::::: 60

G (informative) Glossary of principal symbols :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: 61

Bibliography::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: 63

c ISO 2010 | All rights reserved
---------------------- Page: 4 ----------------------
ISO/TS 28037:2010(E)
Foreword

ISO (the International Organization for Standardization) is a worldwide federation of national standards bodies (ISO

member bodies). The work of preparing International Standards is normally carried out through ISO technical

committees. Each member body interested in a subject for which a technical committee has been established has the

right to be represented on that committee. International organizations, governmental and non-governmental, in liaison

with ISO, also take part in the work. ISO collaborates closely with the International Electrotechnical Commission

(IEC) on all matters of electrotechnical standardization.

International Standards are drafted in accordance with the rules given in the ISO/IEC Directives, Part 2.

The main task of technical committees is to prepare International Standards. Draft International Standards adopted

by the technical committees are circulated to the member bodies for voting. Publication as an International Standard

requires approval by at least 75 % of the member bodies casting a vote.

In other circumstances, particularly when there is an urgent market requirement for such documents, a technical

committee may decide to publish other types of normative document:

| an ISO Publicly Available Speci cation (ISO/PAS) represents an agreement between technical experts in an ISO

working group and is accepted for publication if it is approved by more than 50 % of the members of the parent

committee casting a vote;

| an ISO Technical Speci cation (ISO/TS) represents an agreement between the members of a technical committee

and is accepted for publication if it is approved by 2/3 of the members of the committee casting a vote.

An ISO/PAS or ISO/TS is reviewed after three years in order to decide whether it will be con rmed for a further

three years, revised to become an International Standard, or withdrawn. If the ISO/PAS or ISO/TS is con rmed, it is

reviewed again after a further three years, at which time it must either be transformed into an International Standard

or be withdrawn.

Attention is drawn to the possibility that some of the elements of this document may be the subject of patent rights.

ISO shall not be held responsible for identifying any or all such patent rights.

ISO/TS 28037:2010 was prepared by Technical Committee ISO/TC 69, Applications of statistical methods, Subcom-

mittee SC 6, Measurement methods and results.
c ISO 2010 | All rights reserved v
---------------------- Page: 5 ----------------------
ISO/TS 28037:2010(E)
Introduction

Calibration is an essential part of many measurement procedures and often involves tting to measured data a cali-

bration function that best describes the relationship of one variable to another. This Technical Speci cation considers

straight-line calibration functions that describe a dependent variable Y as a function of an independent variable X.

The straight-line relationship depends on the intercept A and the slope B of the line. A and B are referred to as the

parameters of the line. The purpose of a calibration procedure is to determine estimates a and b of A and B for a

particular measuring system under consideration on the basis of measurement data (x ; y ), i = 1;:::;m, provided

i i

by the measuring system. The measurement data have associated uncertainty, which means there will be uncertainty

associated with a and b. This Technical Speci cation describes how a and b can be determined given the data and

the associated uncertainty information. It also provides a means for evaluating the uncertainties associated with these

estimates. The treatment of uncertainty in this Technical Speci cation is carried out in a manner consistent with

ISO/IEC Guide 98-3:2008, \Guide to the expression of uncertainty in measurement" (GUM).

Given the uncertainty information associated with the measurement data, an appropriate method can be speci ed

to determine estimates of the calibration function parameters. This uncertainty information may include quanti ed

covariance e ects, relating to dependencies among some or all of the quantities involved.

Once the straight-line model has been tted to the data, it is necessary to determine whether or not the model and

data are consistent with each other. In cases of consistency, the model so obtained can validly be used to predict a

value x of the variable X corresponding to a measured value y of the variable Y provided by the same measuring

system. It can also be used to evaluate the uncertainties associated with the calibration function parameters and the

uncertainty associated with the predicted value x.

The determination and use of a straight-line calibration function can therefore be considered to consist of ve steps:

1 Obtaining uncertainty and covariance information associated with the measurement data { although dependent

on the particular area of measurement, examples are provided within this Technical Speci cation;

2 Providing best estimates of the straight-line parameters;
3 Validating the model, both in terms of the functional form (does the data re
ect a straight-line relationship?)

and statistically (is the spread of the data consistent with their associated uncertainties?) using a chi-squared

test;

4 Obtaining the standard uncertainties and covariance associated with the estimate of the straight-line parameters.

5 Using the calibration function for prediction, that is, determining an estimatex of theX-variable and its associated

uncertainty corresponding to a measured value y of the Y -variable and its associated uncertainty.

The above steps are shown diagrammatically in Figure 1.

The main aim of this Technical Speci cation is to consider steps 2 to 5. Therefore, as part of step 1, before using this

Technical Speci cation, the user will need to provide standard uncertainties, and covariances if relevant, associated

with the measured Y -values and, as appropriate, those associated with the measured X-values. Account should be

taken of the principles of the GUM in evaluating these uncertainties on the basis of a measurement model that is

speci c to the area of concern.

ISO 11095:1996 [14] is concerned with linear calibration using reference materials. It di ers from this Technical

Speci cation in the ways given in Table 1.
The numerical methods given are based on reference [6].
c ISO 2010 | All rights reserved
---------------------- Page: 6 ----------------------
ISO/TS 28037:2010(E)
Inputs
measurement data (x ;y ), i = 1;:::;m,
i i
and associated covariance matrixU
model
Y =A +BX
Calibration
estimates a of A and b of B
Validation
model residuals and observed
chi-squared value 
obs
Uncertainty
standard uncertainties u(a) and
evaluation
u(b), and covariance cov(a;b)
Prediction
measured value y of Y and
associated standard uncertainty u(y)
predicted value x of X and
associated standard uncertainty u(x)

Figure 1 | Summary of the steps in the determination and use of straight-line calibration functions

Table 1 | Di erences between ISO 11095:1996 and ISO/TS 28037:2010
Feature ISO 11095:1996 ISO/TS 28037:2010
Speci cally addresses reference materials Yes More general
X-values assumed to be known exactly Yes More general uncertainty information

All measured values obtained independently Yes More general uncertainty information

Terminology aligned with GUM No Yes
Types of uncertainty structure treated Two Five, including the most general case

Only uncertainty associated with random errors Yes More general uncertainty information

Consistency test ANOVA Chi-squared
Uncertainty associated with predictions Ad hoc GUM compatible
c ISO 2010 | All rights reserved vii
---------------------- Page: 7 ----------------------
TECHNICAL SPECIFICATION ISO/TS 28037:2010(E)
Determination and use of straight-line calibration functions
1 Scope

This Technical Speci cation is concerned with linear, that is, straight-line, calibration functions that describe the

relationship between two variables X and Y , namely, functions of the form Y = A +BX. Although many of the

principles apply to more general types of calibration function, the approaches described exploit the simple form of the

straight-line calibration function wherever possible.

Values of the parametersA andB, are determined on the basis of measured data points (x ; y ),i = 1;:::;m. Various

i i

cases are considered relating to the nature of the uncertainties associated with these data. No assumption is made

that the errors relating to the y are homoscedastic (having equal variance), and similarly for the x when the errors

i i
are not negligible.

Estimates of the parameters A and B are determined using least squares methods. The emphasis of this Technical

Speci cation is on choosing the least squares method most appropriate for the type of measurement data, in particular

methods that re

ect the associated uncertainties. The most general type of covariance matrix associated with the

measurement data is treated, but important special cases that lead to simpler calculations are described in detail.

For all cases considered, methods for validating the use of the straight-line calibration functions and for evaluating

the uncertainties and covariance associated with the parameter estimates are given.

The Technical Speci cation also describes the use of the calibration function parameter estimates and their associated

uncertainties and covariance to predict a value of X and its associated standard uncertainty given a measured value

of Y and its associated standard uncertainty.

NOTE 1 The Technical Speci cation does not give a general treatment of outliers in measurement data, although the validation

tests given can be used as a basis for identifying discrepant data.

NOTE 2 The Technical Speci cation describes a method to evaluate the uncertainties associated with the measurement data

in the case that those uncertainties are known only up to a scale factor (Annex E).

2 Normative references

The following referenced documents are indispensable for the application of this document. For dated references,

only the edition cited applies. For undated references, the latest edition of the referenced document (including any

amendments) applies.

ISO/IEC Guide 99:2007, International vocabulary of metrology | Basic and general concepts and associated terms

(VIM)

ISO/IEC Guide 98-3:2008, Uncertainty of measurement | Part 3: Guide to the expression of uncertainty in measure-

ment (GUM:1995)
3 Terms and de nitions

For the purposes of this document, the terms and de nitions given in ISO/IEC Guide 98-3:2008 and ISO/IEC Guide

99:2007 and the following apply.
A glossary of principal symbols is given in Annex G.
c ISO 2010 | All rights reserved 1
---------------------- Page: 8 ----------------------
ISO/TS 28037:2010(E)
3.1
measured quantity value
quantity value representing a measurement result
[ISO/IEC Guide 99:2007 2.10]
3.2
measurement uncertainty

non-negative parameter characterizing the dispersion of the quantity values being attributed to a measurand, based

on the information used
[ISO/IEC Guide 99:2007 2.26]
3.3
standard measurement uncertainty
measurement uncertainty expressed as a standard deviation
[ISO/IEC Guide 99:2007 2.30]
3.4
covariance associated with two quantity values

parameter characterizing the interdependence of the quantity values being attributed to two measurands, based on

the information used
3.5
measurement covariance matrix
covariance matrix

matrix of dimension NN associated with a vector estimate of a vector quantity of dimension N 1, containing on

its diagonal the squares of the standard uncertainties associated with the respective components of the vector estimate

of the vector quantity, and, in its o -diagonal positions, the covariances associated with pairs of components of the

vector estimate of the vector quantity

NOTE 1 A covariance matrix U of dimension NN associated with the vector estimate x of a vector quantityX has the

representation
2 3
cov(x ;x )  cov(x ;x )
1 1 1 N
. .
4 5
U = . . . ;
. .
cov(x ;x )  cov(x ;x )
N 1 N N

where cov(x ;x ) = u (x ) is the variance (squared standard uncertainty) associated with x and cov(x ;x ) is the covariance

i i i i i j

associated with x and x . cov(x ;x ) = 0 if elements X and X ofX are uncorrelated.

i j i j i j
NOTE 2 Covariances are also known as mutual uncertainties.
NOTE 3 A covariance matrix is also known as a variance-covariance matrix.

NOTE 4 De nition adapted from ISO/IEC Guide 98-3:2008/Suppl. 1:2008, de nition 3.11 [13].

3.6
measurement model
mathematical relation among all quantities known to be involved in a measurement
[ISO/IEC Guide 99:2007 2.48]
3.7
functional model
statistical model involving errors associated with the dependent variable
c ISO 2010 | All rights reserved
---------------------- Page: 9 ----------------------
ISO/TS 28037:2010(E)
3.8
structural model

statistical model involving errors associated with the independent and dependent variables

3.9
calibration

operation that, under speci ed conditions, in a rst step, establishes a relation between the quantity values with

measurement uncertainties provided by measurement standards and corresponding indications with associated mea-

surement uncertainties and, in a second step, uses this information to establish a relation for obtaining a measurement

result from an indication

NOTE 1 A calibration may be expressed by a statement, calibration function, calibration diagram, calibration curve, or

calibration table. In some cases, it may consist of an additive or multiplicative correction of the indication with associated

measurement uncertainty.

NOTE 2 Calibration should not be confused with adjustment of a measuring system, often mistakenly called `self-calibration',

nor with veri cation of calibration.

NOTE 3 Often the rst step alone in the above de nition is perceived as being calibration.

[ISO/IEC Guide 99:2007 2.39]
3.10
probability distribution

hrandom variablei function giving the probability that a random variable takes any given value or belongs to a given

set of values

NOTE 1 The probability on the whole set of values of the random variable equals 1.

NOTE 2 A probability distribution is termed univariate when it relates to a single (scalar) random variable, and multivariate

when it relates to a vector of random variables. A multivariate probability distribution is also described as a joint distribution.

NOTE 3 A probability distribution can take the form of a distribution function or a probability density function.

NOTE 4 De nition and note 1 adapted from ISO 3534-1:1993, de nition 1.3 and ISO/IEC Guide 98-3:2008, de nition C.2.3;

notes 2 and 3 adapted from ISO/IEC Guide 98-3:2008/Suppl. 1:2008, de nition 3.1 [13].

3.11
normal distribution

probability distribution of a continuous random variable X having the probability density function

" #
 
1 1 
g () = p exp ;
2 
 2
for1<< +1
NOTE 1  is the expectation and  is the standard deviation of X.
NOTE 2 The normal distribution is also known as the Gaussian distribution.

NOTE 3 De nition and note 1 adapted from ISO 3534-1:1993, de nition 1.37; note 2 adapted from ISO/IEC Guide 98-3:2008,

de nition C.2.14.
3.12
t-distribution

probability distribution of a continuous random variable X having the probability density function

 
 + 1
 
(+1)=2
2 
g () =p 1 + ;
(=2) 
c ISO 2010 | All rights reserved 3
---------------------- Page: 10 ----------------------
ISO/TS 28037:2010(E)

for1<< +1, with parameter , a positive integer, the degrees of freedom of the distribution, where

z1 t
(z) = t e dt; z> 0;
is the gamma function
[ISO/IEC Guide 98-3:2008/Suppl. 1:2008 3.5]
3.13
chi-squared distribution
 distribution

probability distribution of a continuous random variable X having the probability density function

 
(=2)1
 
g () = exp ;
=2
2 (=2) 2
for 0<1, with parameter , a positive integer, where is the gamma function

NOTE The sum of the squares of independent standardized normal variables is a  random variable with parameter; is

then called the degrees of freedom.
3.14
positive de nite matrix

matrixM of dimension nn having the propertyz Mz> 0 for all non-zero vectorsz of dimension n 1

3.15
positive semi-de nite matrix

matrixM of dimension nn having the propertyz Mz 0 for all non-zero vectorsz of dimension n 1

4 Conventions and notation

For the purpose of this Technical Speci cation the following conventions and notations are adopted.

4.1 X is termed the independent variable and Y the dependent variable even when the knowledge of X and Y is

`interchangeable', as in Clause 7, for example.

4.2 The quantities A and B are termed the parameters of the straight-line calibration function Y =A +BX. A

and B are also used to denote (dummy) variables in expressions involving the calibration function parameters.

4.3 The quantities X and Y are used as (dummy) variables to denote the co-ordinates of the ith data point.

i i
 
4.4 The constants A and B are (unknown) values of A
...

SPÉCIFICATION ISO/TS
TECHNIQUE 28037
Première édition
2010-09-01
Détermination et utilisation des
fonctions d’étalonnage linéaire
Determination and use of straight-line calibration functions
Numéro de référence
ISO/TS 28037:2010(F)
ISO 2010
---------------------- Page: 1 ----------------------
ISO/TS 28037:2010(F)
DOCUMENT PROTÉGÉ PAR COPYRIGHT
© ISO 2010

Droits de reproduction réservés. Sauf indication contraire, aucune partie de cette publication ne peut être reproduite ni utilisée

sous quelque forme que ce soit et par aucun procédé, électronique ou mécanique, y compris la photocopie, l’affichage sur

l’internet ou sur un Intranet, sans autorisation écrite préalable. Les demandes d’autorisation peuvent être adressées à l’ISO à

l’adresse ci-après ou au comité membre de l’ISO dans le pays du demandeur.
ISO copyright office
Case postale 56 • CH-1211 Geneva 20
Tel. + 41 22 749 01 11
Fax + 41 22 749 09 47
E-mail copyright@iso.org
Web www.iso.org
Version française parue en 2013
Publié en Suisse
ii © ISO 2010 – Tous droits réservés
---------------------- Page: 2 ----------------------
ISO/TS 28037:2010(F)
Sommaire Page

Avant-propos ................................................................................................................................................................................................................................v

Introduction ................................................................................................................................................................................................................................vi

1 Domaine d’application ................................................................................................................................................................................... 1

2 Références normatives ................................................................................................................................................................................... 1

3 Termes et définitions ....................................................................................................................................................................................... 1

4 Conventions et notation ................................................................................................................................................................................ 4

5 Principes de l’étalonnage linéaire ..................................................................................................................................................... 5

5.1 Généralités .................................................................................................................................................................................................. 5

5.2 Éléments d’entrée pour la détermination de la fonction d’étalonnage .................................................. 5

5.3 Détermination de la fonction d’étalonnage .................................................................................................................... 6

5.4 Traitement numérique ..................................................................................................................................................................... 7

5.5 Incertitudes et covariances associées aux paramètres de la fonction d’étalonnage .................. 7

5.6 Validation du modèle ......................................................................................................................................................................... 8

5.7 Utilisation de la fonction d’étalonnage ............................................................................................................................... 8

5.8 Détermination de la droite de meilleur ajustement des données par la méthode des

moindres carrés ordinaires .......................................................................................................................................................... 9

6 Modèle applicable aux incertitudes associées à y ............................................................................................................ 9

6.1 Généralités .................................................................................................................................................................................................. 9

6.2 Estimations des paramètres d’étalonnage, des incertitudes-types et de la

covariance associées .......................................................................................................................................................................10

6.3 Validation du modèle ......................................................................................................................................................................11

6.4 Organisation des calculs ..............................................................................................................................................................12

7 Modèle applicable aux incertitudes associées à x et y .............................................................................................16

i i

7.1 Généralités ...............................................................................................................................................................................................16

7.2 Estimations des paramètres d’étalonnage, des incertitudes-types et de la

covariance associées .......................................................................................................................................................................18

7.3 Validation du modèle ......................................................................................................................................................................19

7.4 Organisation des calculs ..............................................................................................................................................................20

8 Modèle applicable aux incertitudes associées à x et y et aux covariances associées aux

i i

paires (x , y ) ............................................................................................................................................................................................................24

i i

8.1 Généralités ...............................................................................................................................................................................................24

8.2 Estimations des paramètres d’étalonnage et incertitudes-types et covariance associées .25

9 Modèle applicable aux incertitudes et aux covariances associées à y ......................................................25

9.1 Généralités ...............................................................................................................................................................................................25

9.2 Estimations des paramètres d’étalonnage, incertitudes-types et covariance associées ......26

9.3 Validation du modèle ......................................................................................................................................................................28

9.4 Organisation des calculs ..............................................................................................................................................................28

10 Modèle applicable aux incertitudes et aux covariances associées à x et y ..........................................32

i i

10.1 Généralités ...............................................................................................................................................................................................32

10.2 Estimations des paramètres d’étalonnage, des incertitudes-types et

covariances associées .....................................................................................................................................................................33

10.3 Validation du modèle ......................................................................................................................................................................35

11 Utilisation de la fonction d’étalonnage ......................................................................................................................................39

11.1 Prédiction directe ..............................................................................................................................................................................39

11.2 Prédiction inverse .............................................................................................................................................................................40

Annexe A (informative) Opérations matricielles ..................................................................................................................................42

Annexe B (informative) Application de l’algorithme de Gauss-Newton à la régression selon le

critère de distance généralisée ..........................................................................................................................................................48

© ISO 2010 – Tous droits réservés iii
---------------------- Page: 3 ----------------------
ISO/TS 28037:2010(F)

Annexe C (informative) Approche de factorisation orthogonale pour résoudre le problème de

Gauss-Markov généralisé .........................................................................................................................................................................50

Annexe D (informative) Disposition relative aux incertitudes et covariances associées aux valeurs

mesurées x et y.....................................................................................................................................................................................................56

Annexe E (informative) Incertitudes connues avec un facteur d’échelle donné ..................................................61

Annexe F (informative) Application logicielle des algorithmes décrits........................................................................66

Annexe G (informative) Glossaire des principaux symboles ....................................................................................................68

Bibliographie ...........................................................................................................................................................................................................................70

iv © ISO 2010 – Tous droits réservés
---------------------- Page: 4 ----------------------
ISO/TS 28037:2010(F)
Avant-propos

L’ISO (Organisation internationale de normalisation) est une fédération mondiale d’organismes

nationaux de normalisation (comités membres de l’ISO). L’élaboration des Normes internationales est

en général confiée aux comités techniques de l’ISO. Chaque comité membre intéressé par une étude

a le droit de faire partie du comité technique créé à cet effet. Les organisations internationales,

gouvernementales et non gouvernementales, en liaison avec l’ISO participent également aux travaux.

L’ISO collabore étroitement avec la Commission électrotechnique internationale (CEI) en ce qui concerne

la normalisation électrotechnique.

Les Normes internationales sont rédigées conformément aux règles données dans les Directives

ISO/CEI, Partie 2.

La tâche principale des comités techniques est d’élaborer les Normes internationales. Les projets de

Normes internationales adoptés par les comités techniques sont soumis aux comités membres pour vote.

Leur publication comme Normes internationales requiert l’approbation de 75 % au moins des comités

membres votants.

Dans d’autres circonstances, en particulier lorsqu’il existe une demande urgente du marché, un comité

technique peut décider de publier d’autres types de documents normatifs:

— une Spécification publiquement disponible ISO (ISO/PAS) représente un accord entre les experts

dans un groupe de travail ISO et est acceptée pour publication si elle est approuvée par plus de 50 %

des membres votants du comité dont relève le groupe de travail;

— une Spécification technique ISO (ISO/TS) représente un accord entre les membres d’un comité technique

et est acceptée pour publication si elle est approuvée par 2/3 des membres votants du comité.

Une ISO/PAS ou ISO/TS fait l’objet d’un examen après trois ans afin de décider si elle est confirmée pour

trois nouvelles années, révisée pour devenir une Norme internationale, ou annulée. Lorsqu’une ISO/PAS

ou ISO/TS a été confirmée, elle fait l’objet d’un nouvel examen après trois ans qui décidera soit de sa

transformation en Norme internationale soit de son annulation.

L’attention est appelée sur le fait que certains des éléments du présent document peuvent faire l’objet de

droits de propriété intellectuelle ou de droits analogues. L’ISO ne saurait être tenue pour responsable de

ne pas avoir identifié de tels droits de propriété et averti de leur existence.

L’ISO/TS 28037:2010 a été élaborée par le comité technique ISO/TC 69, Applications des méthodes

statistiques, sous-comité SC 6, Méthodes et résultats de mesure.
© ISO 2010 – Tous droits réservés v
---------------------- Page: 5 ----------------------
ISO/TS 28037:2010(F)
Introduction

L’étalonnage est un élément essentiel de la plupart des méthodes de mesure qui consiste souvent à

ajuster des données mesurées au moyen d’une fonction d’étalonnage décrivant au mieux la relation d’une

variable à une autre. La présente Spécification Technique considère les fonctions d’étalonnage linéaire

qui décrivent une variable dépendante Y comme une fonction d’une variable indépendante X. La relation

linéaire dépend de l’ordonnée à l’origine A et de la pente B de la droite. A et B sont désignés sous le nom

de paramètres de la droite. Une procédure d’étalonnage a pour objet de déterminer des estimations

a et b de A et B pour un système de mesure particulier soumis à étude, sur la base des données de

mesure (x ,y ), i = 1,…, m, fournies par le système de mesure. Une incertitude est associée aux données

i i

de mesure, ce qui signifie qu’une incertitude sera associée à a et b. La présente Spécification Technique

décrit la manière dont a et b peuvent être déterminés sur la base des données et des informations

relatives à l’incertitude associée. Elle fournit aussi un moyen d’évaluation des incertitudes associées

à ces estimations. Le traitement de l’incertitude dans la présente Spécification Technique est effectué

conformément au Guide ISO/CEI 98-3:2008, « Guide pour l’expression de l’incertitude de mesure » (GUM).

Les informations sur l’incertitude associée aux données de mesure permettent de spécifier une méthode

appropriée pour déterminer les estimations des paramètres de la fonction d’étalonnage. Ces informations

sur l’incertitude peuvent inclure les effets de covariance quantifiés, concernant les dépendances entre

toutes ou certaines des grandeurs considérées.

Une fois le modèle linéaire ajusté aux données, il est nécessaire de déterminer si ce modèle et les données

sont cohérents entre eux ou non. En cas de cohérence, le modèle ainsi obtenu peut valablement être

utilisé pour prévoir une valeur x de la variable X correspondant à une valeur mesurée y de la variable Y

fournie par le même système de mesure. Il peut aussi être utilisé pour évaluer les incertitudes associées

aux paramètres de la fonction d’étalonnage et l’incertitude associée à la valeur prédite x.

Il est par conséquent possible de considérer que la détermination et l’utilisation d’une fonction

d’étalonnage linéaire se composent de cinq étapes:

1) Obtenir les informations relatives à l’incertitude et à la covariance associées aux données de

mesure – bien que dépendant d’un domaine spécifique de mesure, des exemples sont donnés dans la

présente Spécification Technique;
2) Fournir les meilleures estimations des paramètres de la droite;

3) Valider le modèle, aussi bien sur le plan fonctionnel (les données reflètent-elles bien une relation

linéaire ?) que statistique (l’étendue des données est-elle cohérente avec leurs incertitudes

associées ?) en utilisant un test de chi deux;

4) Obtenir les incertitudes-types et la covariance associées à l’estimation des paramètres de la droite;

5) Utiliser la fonction d’étalonnage pour la prédiction, c’est-à-dire déterminer une estimation x de la

variable X et son incertitude associée qui corresponde à une valeur mesurée y de la variable Y et à

son incertitude associée.
Les étapes ci-dessus sont illustrées schématiquement sur la Figure 1.

L’objectif principal de la présente Spécification Technique est de traiter les étapes 2 à 5. Par conséquent,

en ce qui concerne l’étape 1, l’utilisateur, avant d’utiliser la présente Spécification Technique, devra

fournir les incertitudes-types et les covariances le cas échéant, associées aux valeurs mesurées Y et,

selon le cas, celles associées aux valeurs mesurées X. Il convient de tenir compte des principes du GUM

pour l’évaluation de ces incertitudes sur la base d’un modèle de mesure spécifique au domaine d’étude.

[14]

L’ISO 11095:1996 traite de l’étalonnage linéaire utilisant des matériaux de référence. Il se différencie

de la présente Spécification technique par les points mentionnés dans le Tableau 1.

[6]
Les méthodes numériques fournies sont basées sur la référence.
vi © ISO 2010 – Tous droits réservés
---------------------- Page: 6 ----------------------
ISO/TS 28037:2010(F)
Éléments d’entrée
Données de mesure (x , y ), i = 1 …, m,
i i
et matrice de covariances associée U
Modèle
Y = A + BX
Étalonnage
Estimations a de A et b de B
Validation
Modèles des résidus et
valeur chi deux
obs
Évaluation
de l’incertitude
incertitudes-types u(a) et u(b),
et covariance cov(a,b)
Prédiction
valeur mesurée y de Y et
incertitude-type associée u(y)
valeur prédite x de X et
incertitude-type associée u(x)

Figure 1 — Résumé des étapes pour la détermination et l’utilisation des fonctions

d’étalonnage linéaire
© ISO 2010 – Tous droits réservés vii
---------------------- Page: 7 ----------------------
ISO/TS 28037:2010(F)
Tableau 1 — Différences entre l’ISO 11095:1996 et l’ISO/TS 28037:2010
Caractéristiques ISO 11095:1996 ISO/TS 28037:2010
Traite spécialement des matériaux de référence Oui Plus général

Valeurs X supposées connues avec exactitude Oui Informations d’incertitude plus géné-

rales

Toutes les valeurs mesurées obtenues séparément Oui Informations d’incertitude plus géné-

rales
Terminologie en accord avec celle du GUM Non Oui

Types de structure d’incertitude traités Deux Cinq, y compris le cas le plus général

Incertitude seulement associée à des erreurs aléa- Oui Informations d’incertitude plus géné-

toires rales
Essai de cohérence ANOVA Chi deux
Incertitude associée à des prédictions Ad hoc Compatible avec le GUM
viii © ISO 2010 – Tous droits réservés
---------------------- Page: 8 ----------------------
SPÉCIFICATION TECHNIQUE ISO/TS 28037:2010(F)
Détermination et utilisation des fonctions d’étalonnage
linéaire
1 Domaine d’application

La présente Spécification Technique traite des fonctions d’étalonnage linéaire, c’est-à-dire une droite, qui

décrivent la relation entre deux variables X et Y, notamment les fonctions de la forme Y = A + BX. Bien que

de nombreux principes s’appliquent à des types de fonction d’étalonnage plus généraux, les approches

décrites utilisent dans la mesure du possible cette forme simple de la fonction d’étalonnage linéaire.

Les valeurs des paramètres A et B sont déterminées sur la base de paires de données mesurées (x ,y ),

i i

i = 1,…, m. Selon la nature des incertitudes associées à ces données, différents cas sont considérés.

Aucune hypothèse n’est faite sur les erreurs relatives à y pour savoir si elles sont homoscédastiques (de

variances égales), et de même pour x lorsque les erreurs ne sont pas négligeables.

Les estimations des paramètres A et B sont déterminées par les méthodes des moindres carrés. La

présente Spécification Technique met l’accent sur le choix de la méthode des moindres carrés la plus

appropriée au type de données de mesure, notamment les méthodes qui reflètent les incertitudes

associées. Le cas le plus général de matrice de covariances associée aux données de mesure est traité,

mais des cas particuliers importants, donnant lieu à des calculs plus simples, sont décrits en détail.

Pour tous les cas considérés, les méthodes de validation du choix de fonctions d’étalonnage linéaire et

d’évaluation des incertitudes et de la covariance associées aux estimations des paramètres sont données.

La présente Spécification Technique décrit aussi l’utilisation des estimations des paramètres de fonction

d’étalonnage et de leurs incertitudes et covariance associées dans la prédiction d’une valeur de X et son

incertitude-type associée pour une valeur mesurée de Y donnée avec son incertitude-type associée.

NOTE 1 La Spécification Technique ne spécifie pas un traitement général des valeurs aberrantes parmi les

données de mesure, bien que les essais de validation puissent être utilisés comme base d’identification des

données divergentes.

NOTE 2 La Spécification Technique décrit une méthode d’évaluation des incertitudes associées aux données de

mesure lorsque ces incertitudes ne sont connues qu’avec un facteur d’échelle (Annexe E).

2 Références normatives

Les documents de référence suivants sont indispensables pour l’application du présent document. Pour

les références datées, seule l’édition citée s’applique. Pour les références non datées, la dernière édition

du document de référence s’applique (y compris les éventuels amendements).

Guide ISO/CEI 99:2007, Vocabulaire international de métrologie — Concepts fondamentaux et généraux et

termes associés (VIM)

Guide ISO/CEI 98-3:2008, Incertitude de mesure — Partie 3: Guide pour l’expression de l’incertitude de

mesure (GUM:1995)
3 Termes et définitions

Pour les besoins du présent document, les termes et définitions donnés dans le Guide ISO/CEI 98-3:2008

et le Guide ISO/CEI 99:2007 ainsi que les suivants s’appliquent.
Un glossaire des principaux symboles est donné dans l’Annexe G.
© ISO 2010 – Tous droits réservés 1
---------------------- Page: 9 ----------------------
ISO/TS 28037:2010(F)
3.1
valeur mesurée
valeur d’une grandeur représentant un résultat de mesure
[SOURCE: Guide ISO/CEI 99:2007, 2.10]
3.2
incertitude de mesure

paramètre non négatif qui caractérise la dispersion des valeurs attribuées à un mesurande, à partir des

informations utilisées
[SOURCE: Guide ISO/CEI 99:2007, 2.26]
3.3
incertitude-type
incertitude de mesure exprimée sous la forme d’un écart-type
[SOURCE: Guide ISO/CEI 99:2007, 2.30]
3.4
covariance associée à deux valeurs

paramètre qui caractérise l’interdépendance des valeurs attribuées à deux mesurandes, à partir des

informations utilisées
3.5
matrice de covariances de mesure
matrice de covariances

matrice de dimension N × N, associée à une estimation vectorielle d’un vecteur de grandeurs de dimension

N × 1, qui comporte sur sa diagonale, les carrés des incertitudes-types associées aux composantes

respectives de l’estimation vectorielle du vecteur des grandeurs, et dans ses positions hors diagonale, les

covariances associées à des paires de composantes de l’estimation vectorielle du vecteur des grandeurs

Note 1 à l’article: Une matrice de covariances U de dimension N × N associée à l’estimation vectorielle x d’un

vecteur de grandeurs X se présente sous la forme
cov,xx cov,xx
 () ()
11  1 N
U =    
cov,xx …cov,xx
 () ()
NN1 N
 

où cov(x , x ) = u (x ) est la variance (incertitude-type au carré) associée à x et cov(x ,x ) est la covariance

i i i i i j

associée à x et x . cov(x ,x ) = 0 si les éléments X et X de X n’ont pas de corrélation.

i j i j i j
Note 2 à l’article: Les covariances sont aussi appelées incertitudes mutuelles.

Note 3 à l’article: Une matrice de covariances est aussi appelée matrice de variances-covariances.

[13]

Note 4 à l’article: Définition adaptée du Guide ISO/CEI 98-3:2008, définition 3.11/Suppl.1:2008.

3.6
modèle de mesure

relation mathématique entre toutes les grandeurs qui interviennent dans un mesurage

[SOURCE: Guide ISO/CEI 99:2007, 2.48]
3.7
modèle fonctionnel

modèle statistique prenant en compte des erreurs associées à la variable dépendante

3.8
modèle structurel

modèle statistique prenant en compte des erreurs associées aux variables indépendantes et dépendantes

2 © ISO 2010 – Tous droits réservés
---------------------- Page: 10 ----------------------
ISO/TS 28037:2010(F)
3.9
étalonnage

opération qui, dans des conditions spécifiées, établit en une première étape une relation entre les

valeurs et les incertitudes de mesure associées qui sont fournies par des étalons et les indications

correspondantes avec les incertitudes associées, puis utilise en une seconde étape cette information

pour établir une relation permettant d’obtenir un résultat de mesure à partir d’une indication

Note 1 à l’article: Un étalonnage peut être exprimé sous la forme d’un énoncé, d’une fonction d’étalonnage, d’un

diagramme d’étalonnage, d’une courbe d’étalonnage ou d’une table d’étalonnage. Dans certains cas, il peut

consister en une correction additive ou multiplicative de l’indication avec une incertitude de mesure associée.

Note 2 à l’article: Il convient de ne pas confondre l’étalonnage avec l’ajustage d’un système de mesure, souvent

appelé improprement «auto-étalonnage», ni avec la vérification de l’étalonnage.

Note 3 à l’article: La seule première étape dans la définition est souvent perçue comme étant l’étalonnage.

[SOURCE: Guide ISO/CEI 99:2007, 2.39]
3.10
loi de probabilité

〈variable aléatoire〉 fonction donnant la probabilité qu’une variable aléatoire prenne toute valeur donnée

ou appartienne à un ensemble donné de valeurs

Note 1 à l’article: La probabilité pour un ensemble de valeurs de la variable aléatoire est égale à 1.

Note 2 à l’article: Une loi de probabilité est dite à une variable lorsqu’elle est relative à une seule variable aléatoire

(scalaire), et à plusieurs variables lorsqu’elle est relative à un vecteur de variables aléatoires. Une loi de probabilité

à plusieurs variables est aussi décrite comme distribution combinée.

Note 3 à l’article: Une loi de probabilité peut prendre la forme d’une fonction de répartition ou d’une fonction de

densité de probabilité.

Note 4 à l’article: Définition et note 1 adaptées de l’ISO 3534-1:1993, définition 1.3 et du Guide ISO/CEI 98-3:2008,

[13]

définition C.2.3; notes 2 et 3 adaptées du Guide ISO/CEI 98-3:2008, définition 3.1/Suppl.1:2008.

3.11
loi normale

loi de probabilité d’une variable aléatoire continue X avec pour fonction de densité de probabilité

 
1 1 ξμ−
 
 
g×=()ξ exp −
 
2 σ
σπ2
   
 
pour −∞ < ξ < +∞
Note 1 à l’article: μ est l’espérance mathématique et σ est l’écart-type de X.
Note 2 à l’article: La loi normale est aussi appelée loi de Gauss.

Note 3 à l’article: Définition et NOTE 1 adaptées de l’ISO 3534-1:1993, définition 1.37; NOTE 2 adaptée du

Guide ISO/CEI 98-3:2008, définition C.2.14.
3.12
distribution t

loi de probabilité d’une variable aléatoire continue X avec pour fonction de densité de probabilité

v+1
−+(/v 12)
  2
 
2 ξ
 
g×=()ξ 1+
 
 
πvvΓ(/2)
 
© ISO 2010 – Tous droits réservés 3
---------------------- Page: 11 ----------------------
ISO/TS 28037:2010(F)

pour −∞ < ξ < +∞, avec le paramètre ν, un entier positif, les degrés de liberté de la loi, où

zt−−1
Γ ()zt=>etd, z 0,
est la fonction gamma
[SOURCE: Guide ISO/CEI 98-3:2008, 3.5/Suppl.1:2008]
3.13
loi de chi deux
distribution χ

loi de probabilité d’une variable aléatoire continue X avec pour fonction de densité de probabilité

(/v 21)−
g×=()ξ exp(− )
v/2
22Γ(/v )

pour 0 ≤ ξ < ∞, avec le paramètre ν, un entier positif, où Γ est la fonction gamma

Note 1 à l’article: La somme des carrés des variables normales centrées réduites indépendantes ν est une variable

aléatoire χ ayant pour paramètre ν; ν est alors appelé degrés de liberté.
3.14
matrice définie positive

matrice M de dimension n × n ayant la propriété z M z > 0 pour tous les vecteurs z non nuls de

dimension n × 1
3.15
matrice semi-définie positive

matrice M de dimension n × n ayant la propriété z M z ≥ 0 pour tous les vecteurs z non nuls de

dimension n × 1
4 Conventions et notation

Pour les besoins de la présente Spécification technique, les conventions et notations suivantes sont adoptées.

4.1 X est appelé variable indépendante et Y, variable dépendante même lorsque le contenu de X et Y

est « interchangeable », comme décrit dans l’Article 7, par exemple.

4.2 Les grandeurs A et B sont appelées les paramètres de la fonction d’étalonnage linéaire Y = A + BX.

A et B sont aussi utilisées pour désigner des variables (virtuelles) dans les expressions impliquant les

paramètres de la fonction d’étalonnage.

4.3 Les grandeurs X et Y sont utilisées comme variables (virtuelles) pour désigner les coordonnées

i i
ème
du i point de données.
* *

4.4 Les constantes A et B sont des valeurs (inconnues) de A et B qui caractérisent la fonction

* *

d’étalonnage linéaire Y = A + B X pour un système de mesure spécifique considéré.

4.5 Les constantes XY et sont les coordonnées (inconnues) du ième point de données fournies

par le système de mesure satisfaisant à YA=+**BX .
4.6 x et y sont les valeurs mesurées des coordonnées du ième point de données.
i i

4.7 a et b sont les estimations des paramètres de la fonction d’étalonnage relatives au système de mesure.

...

Questions, Comments and Discussion

Ask us and Technical Secretary will try to provide an answer. You can facilitate discussion about the standard in here.