ISO 24185:2022
(Main)Evaluation of the uncertainty of measurements from a stationary autocorrelated process
Evaluation of the uncertainty of measurements from a stationary autocorrelated process
This document describes a method to evaluate the standard uncertainty for a process mean, arising from observable variation in successive possibly autocorrelated measurements. In this document, the successive measurements are restricted to stationary processes. This document also includes tests for validity of assumptions. The resulting uncertainty is related to that arising from observable measurements while other sources of uncertainty are also considered.
Évaluation de l'incertitude de mesure d'un processus stationnaire autocorrélé
Le présent document décrit une méthode pour évaluer l’incertitude-type de la moyenne d’un processus, qui provient d’une variation observable de mesurages successifs éventuellement autocorrélés. Dans le présent document, les mesurages successifs sont limités aux processus stationnaires. Le présent document comprend également des tests de validité des hypothèses. L’incertitude résultante est liée à l’incertitude provenant de mesurages observables, en tenant également compte d’autres sources d’incertitude.
General Information
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INTERNATIONAL ISO
STANDARD 24185
First edition
2022-08
Evaluation of the uncertainty of
measurements from a stationary
autocorrelated process
Évaluation de l'incertitude de mesure d'un processus stationnaire
autocorrélé
Reference number
ISO 24185:2022(E)
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ISO 24185:2022(E)
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CH-1214 Vernier, Geneva
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Published in Switzerland
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ISO 24185:2022(E)
Contents Page
Foreword .iv
Introduction .v
1 Scope . 1
2 Normative reference .1
3 Terms and definitions . 1
3.1 Terms. 1
3.2 Abbreviated terms and symbols. 1
3.2.1 Abbreviated terms . 1
3.2.2 Symbols. 2
4 Stochastic process and time series . .2
4.1 General . 2
4.2 Autocovariance and autocorrelation of a stochastic process . 3
4.3 Stationary process. 3
4.3.1 General . 3
4.3.2 White noise . . 3
4.4 Estimation of the mean, autocovariance, and autocorrelation for a stationary
process . 4
4.4.1 Estimation of μ . 4
4.4.2 Estimation of γ(τ) and ρ(τ) . 4
4.5 Tests of autocorrelation of stationary process data . 4
5 Uncertainty of a sample mean for stationary measurements . 5
6 Stationary measurements with Type B evaluation of uncertainty .7
7 The case of a weighted mean .8
Annex A (informative) Three practical examples . 9
Bibliography .15
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ISO 24185:2022(E)
Foreword
ISO (the International Organization for Standardization) is a worldwide federation of national standards
bodies (ISO member bodies). The work of preparing International Standards is normally carried out
through ISO technical committees. Each member body interested in a subject for which a technical
committee has been established has the right to be represented on that committee. International
organizations, governmental and non-governmental, in liaison with ISO, also take part in the work.
ISO collaborates closely with the International Electrotechnical Commission (IEC) on all matters of
electrotechnical standardization.
The procedures used to develop this document and those intended for its further maintenance are
described in the ISO/IEC Directives, Part 1. In particular, the different approval criteria needed for the
different types of ISO documents should be noted. This document was drafted in accordance with the
editorial rules of the ISO/IEC Directives, Part 2 (see www.iso.org/directives).
Attention is drawn to the possibility that some of the elements of this document may be the subject of
patent rights. ISO shall not be held responsible for identifying any or all such patent rights. Details of
any patent rights identified during the development of the document will be in the Introduction and/or
on the ISO list of patent declarations received (see www.iso.org/patents).
Any trade name used in this document is information given for the convenience of users and does not
constitute an endorsement.
For an explanation of the voluntary nature of standards, the meaning of ISO specific terms and
expressions related to conformity assessment, as well as information about ISO's adherence to
the World Trade Organization (WTO) principles in the Technical Barriers to Trade (TBT), see
www.iso.org/iso/foreword.html.
This document was prepared by Technical Committee ISO/TC 69, Applications of statistical methods,
Subcommittee SC 6, Measurement methods and results.
Any feedback or questions on this document should be directed to the user’s national standards body. A
complete listing of these bodies can be found at www.iso.org/members.html.
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ISO 24185:2022(E)
Introduction
In metrology, it is common practice that the dispersion or standard deviation of the average of
repeated measurements, i.e., the standard uncertainty of the sample mean, is calculated by the sample
standard deviation of the measurements divided by the square root of the sample size. The calculated
standard uncertainty is an estimator of the standard deviation of the sample mean when the repeated
measurements have the same mean and variance and are uncorrelated. However, it often happens that
the measurements are correlated. In continuous productions such as in the chemical industry, most
process data on quality characteristics are self-correlated over time or autocorrelated. In general,
autocorrelation can be caused by the measuring system, the dynamics of the process, or both. In many
cases, the data can exhibit a drifting behaviour. In biology, random biological variation, for example,
the random burst in the secretion of some substance that influences the blood pressure, can have a
sustained effect so that several consecutive measurements are all influenced by the same random
phenomenon. In data collection, when the sampling interval is short, autocorrelation, especially positive
autocorrelation of the data, is a concern.
When the measurements are from an autocorrelated process, it is inappropriate to evaluate the
standard uncertainty of the sample mean as described above. As stated in ISO/IEC Guide 98-3:2008,
4.2.7, “If the random variations in the observations of an input quantity are correlated, for example,
in time, the mean and experimental standard deviation of the mean as given in 4.2.1 and 4.2.3 may be
inappropriate estimators (C.2.25) of the desired statistics (C.2.23).”
Autocorrelated processes can be classified to be two kinds of processes based on whether they are
stationary or nonstationary:
a) Stationary process – a direct extension of an independent and identically distributed (i.i.d.)
sequence. An autocorrelated process is stationary if it is in a state of “statistical equilibrium”. This
implies that the basic behaviour of the process does not change in time. In particular, a stationary
process has a mean and variance that are constants over time;
b) Nonstationary process – a process that is not stationary.
The aim of this document is to provide a method to evaluate the standard uncertainty of the mean of
measurements from a stationary process.
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INTERNATIONAL STANDARD ISO 24185:2022(E)
Evaluation of the uncertainty of measurements from a
stationary autocorrelated process
1 Scope
This document describes a method to evaluate the standard uncertainty for a process mean, arising
from observable variation in successive possibly autocorrelated measurements. In this document,
the successive measurements are restricted to stationary processes. This document also includes
tests for validity of assumptions. The resulting uncertainty is related to that arising from observable
measurements while other sources of uncertainty are also considered.
2 Normative reference
The following documents are referred to in the text in such a way that some or all of their content
constitutes requirements of this document. For dated references, only the edition cited applies. For
undated references, the latest edition of the referenced document (including any amendments) applies.
ISO 3534-2, Statistics — Vocabulary and symbols — Part 2: Applied statistics
3 Terms and definitions
For the purposes of this document, the terms and definitions given in ISO 3534-2 and the following
apply.
ISO and IEC maintain terminology databases for use in standardization at the following addresses:
— ISO Online browsing platform: available at https:// www .iso .org/ obp
— IEC Electropedia: available at https:// www .electropedia .org/
3.1 Terms
3.1.1
covariance stationary process
weakly stationary process
stationary process
stochastic process characterized by a constant process mean, a constant process variance and an
autocovariance function which only depends on the difference of the process indices and does not
depend on the process index
3.1.2
autocovariance
internal covariance between members of a sequence of ordered observations
3.2 Abbreviated terms and symbols
3.2.1 Abbreviated terms
i.i.d. independent and identically distributed
ACF autocorrelation function
1
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3.2.2 Symbols
T
index set for a stochastic process
random variable X at time t
X
t
X component of X which has the Type A uncertainty component of X
t,A t t
e component of X which has zero mean and the Type B uncertainty component of X
B t t
t
μ true mean of X
t t
μ
true process mean of a stationary process
σ true standard deviation of X
t t
σ
true process standard deviation of a stationary process {}X
t
σ true standard deviation of X for a stationary process {}X
A t,A t
σ true standard deviation of e for a stationary process {}X
B B t
u Type B evaluation of the standard uncertainty of {}X
B t
2 2
N μσ, normal distribution with mean μ and variance σ
()
γ(,tt ) autocovariance between X and X
12 t t
1 2
autocorrelation between X and X
ρ(,tt )
t t
12
1 2
τ
index lag between two process indices
autocovariance of a stationary process at lag τ
γτ()
ˆ
γτ() estimator of γτ()
autocorrelation of a stationary process at lag τ
ρτ()
ρτˆ() estimator of ρτ()
ˆ
estimator of standard deviation of ρ()i
ˆ
σ
ρˆ()i
x a value of X at index t
t t
x arithmetic mean value of a sequence of x
sample standard deviation of a sequence of x
s
x
4 Stochastic process and time series
4.1 General
[3]
A stochastic process {;Xt∈T} is a collection of random variables, where T is an index set of the
t
process. When T represents time, the stochastic process is referred as a time series. When T takes on
a discrete set of values, e.g. T ={,12 ,.}, the process is said to be a discrete time series. In this document,
only discrete time series that are equally spaced in time are considered. A discrete time series xx,.,
1 N
can be viewed as the values taken on by a sequence of random variables of XX,., . The sequence of
1 N
xx,., is called a realization of XX,., .
1 N 1 N
2
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ISO 24185:2022(E)
4.2 Autocovariance and autocorrelation of a stochastic process
If {;Xt∈T} is a stochastic process with mean μ and standard deviation σ at t ,
t t t
a) for any tt, ∈T , the autocovariance function γ()⋅ is:
12
γμ()tt,E =−XX − μ
()()
12 tt tt
1 12 2
b) for any tt, ∈T , the autocorrelation function ρ()⋅ is:
12
γ ()tt,
12
ρ tt, =
()
12
σσ
tt
12
For a stochastic process or a time series, if there exist non-zero ρ(,tt ) for any tt≠ , then the
12 12
stochastic process or the time series is called autocorrelated.
4.3 Stationary process
4.3.1 General
As defined in 3.1.1, a stationary process means a weakly stationary or covariance stationary process. A
stochastic process is said to be stationary if it is in a state of “statistical equilibrium”, See Reference [4],
p. 14. Namely, the basic behaviour of such a process does not change with the process index. The
stochastic process Xt; ∈T is said to be covariance stationary or weakly stationary, or stationary, in
{}
t
this document if:
a) E[]X =μ (constant for all t );
t
2
b) the variance Var X =<σ ∞ (i.e., a finite constant for all t );
[]
t
c) γ tt, depends only on lag τ =−tt and does not depend on t . In this case, γ tt, is denoted
() ()
12 12 12
by γτ = γγtt,| =−tt | .
() () ()
12 12
The first two requirements are that the stochastic process has constant mean and constant variance.
The third requirement is that the autocovariance function only depends on the lag and does not depend
on t . If one or more of these requirements are not met, the process is nonstationary. For a stationary
process, the autocovariance function at lag τ is denoted by γτ(). When the process is a time series, the
difference in process indices, tt− corresponds to a time difference.
12
The autocorrelation function (ACF) of a stationary process or a time series at lag τ is given by:
γτ()
ρτ()=
2
σ
Note that ρ()01= .
4.3.2 White noise
A time series is called white noise if:
a) {}X are identically distributed with a same mean and same finite variance for all t ;
t
b) the autocovariance γ ()tt, =0 when tt≠ for any t and t .
12 12 1 2
It follows from b) that all autocorrelations of white noise with non-zero lags are zero. From a) and b),
white noise is a special case of a stationary process. When {}X is white noise with the same
t
distribution for each t , it is an i.i.d. sequence.
3
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ISO 24185:2022(E)
4
...
NORME ISO
INTERNATIONALE 24185
Première édition
2022-08
Évaluation de l'incertitude de
mesure d'un processus stationnaire
autocorrélé
Evaluation of the uncertainty of measurements from a stationary
autocorrelated process
Numéro de référence
ISO 24185:2022(F)
© ISO 2022
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Tous droits réservés. Sauf prescription différente ou nécessité dans le contexte de sa mise en œuvre, aucune partie de cette
publication ne peut être reproduite ni utilisée sous quelque forme que ce soit et par aucun procédé, électronique ou mécanique,
y compris la photocopie, ou la diffusion sur l’internet ou sur un intranet, sans autorisation écrite préalable. Une autorisation peut
être demandée à l’ISO à l’adresse ci-après ou au comité membre de l’ISO dans le pays du demandeur.
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CH-1214 Vernier, Genève
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Publié en Suisse
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ISO 24185:2022(F)
Sommaire Page
Avant-propos .iv
Introduction .v
1 Domaine d’application . 1
2 Références normatives .1
3 Termes et définitions . 1
3.1 Termes . 1
3.2 Termes abrégés et symboles . 1
3.2.1 Termes abrégés . 1
3.2.2 Symboles . 2
4 Processus stochastique et série temporelle . 2
4.1 Généralités . 2
4.2 Autocovariance et autocorrélation d’un processus stochastique . 3
4.3 Processus stationnaire . 3
4.3.1 Généralités . 3
4.3.2 Bruit blanc . 3
4.4 Estimation de la moyenne, de l’autocovariance et de l’autocorrélation pour un
processus stationnaire . 4
4.4.1 Estimation de μ . 4
4.4.2 Estimation de γ(τ) et de ρ(τ) . 4
4.5 Tests d’autocorrélation des données d’un processus stationnaire . 4
5 Incertitude d’une moyenne d’échantillon pour des mesurages stationnaires .5
6 Mesurages stationnaires avec une évaluation de l’incertitude de Type B .7
7 Cas d’une moyenne pondérée .8
Annexe A (informative) Trois exemples pratiques. 9
Bibliographie .15
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ISO 24185:2022(F)
Avant-propos
L'ISO (Organisation internationale de normalisation) est une fédération mondiale d'organismes
nationaux de normalisation (comités membres de l'ISO). L'élaboration des Normes internationales est
en général confiée aux comités techniques de l'ISO. Chaque comité membre intéressé par une étude
a le droit de faire partie du comité technique créé à cet effet. Les organisations internationales,
gouvernementales et non gouvernementales, en liaison avec l'ISO participent également aux travaux.
L'ISO collabore étroitement avec la Commission électrotechnique internationale (IEC) en ce qui
concerne la normalisation électrotechnique.
Les procédures utilisées pour élaborer le présent document et celles destinées à sa mise à jour sont
décrites dans les Directives ISO/IEC, Partie 1. Il convient, en particulier, de prendre note des différents
critères d'approbation requis pour les différents types de documents ISO. Le présent document a
été rédigé conformément aux règles de rédaction données dans les Directives ISO/IEC, Partie 2 (voir
www.iso.org/directives).
L'attention est attirée sur le fait que certains des éléments du présent document peuvent faire l'objet de
droits de propriété intellectuelle ou de droits analogues. L'ISO ne saurait être tenue pour responsable
de ne pas avoir identifié de tels droits de propriété et averti de leur existence. Les détails concernant
les références aux droits de propriété intellectuelle ou autres droits analogues identifiés lors de
l'élaboration du document sont indiqués dans l'Introduction et/ou dans la liste des déclarations de
brevets reçues par l'ISO (voir www.iso.org/brevets).
Les appellations commerciales éventuellement mentionnées dans le présent document sont données
pour information, par souci de commodité, à l’intention des utilisateurs et ne sauraient constituer un
engagement.
Pour une explication de la nature volontaire des normes, la signification des termes et expressions
spécifiques de l'ISO liés à l'évaluation de la conformité, ou pour toute information au sujet de l'adhésion
de l'ISO aux principes de l’Organisation mondiale du commerce (OMC) concernant les obstacles
techniques au commerce (OTC), voir www.iso.org/avant-propos.
Le présent document a été élaboré par le comité technique ISO/TC 69, Application des méthodes
statistiques, sous-comité SC 6, Méthodes et résultats de mesure.
Il convient que l’utilisateur adresse tout retour d’information ou toute question concernant le présent
document à l’organisme national de normalisation de son pays. Une liste exhaustive desdits organismes
se trouve à l’adresse www.iso.org/fr/members.html.
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ISO 24185:2022(F)
Introduction
En métrologie, il est courant de calculer la dispersion ou l’écart-type de la moyenne de mesurages
répétés, à savoir l’incertitude de mesure de la moyenne de l’échantillon, en utilisant l’écart-type de
l’échantillon des mesurages divisé par la racine carrée de l’effectif de l’échantillon. L’incertitude-type
calculée est un estimateur de l’écart-type de la moyenne de l’échantillon lorsque les mesurages répétés
ont la même moyenne et la même variance et qu’ils ne sont pas corrélés. Cependant, il arrive souvent
que les mesurages soient corrélés. Dans des productions continues, comme dans l’industrie chimique,
la plupart des données de processus sur les caractéristiques qualité sont autocorrélées. En général,
l’autocorrélation peut être causée par le système de mesure, la dynamique du processus, ou les deux.
Dans de nombreux cas, les données peuvent présenter un comportement de dérive. En biologie, la
variation biologique aléatoire, par exemple l’augmentation aléatoire de la sécrétion d’une substance
qui influence la pression artérielle, peut avoir un effet durable, de sorte que plusieurs mesurages
consécutifs soient influencés par le même phénomène aléatoire. En matière de collecte des données,
lorsque l’intervalle d’échantillonnage est court, l’autocorrélation, en particulier l’autocorrélation
positive des données, est un problème.
Lorsque les mesurages proviennent d’un processus autocorrélé, il est inapproprié d’évaluer
l’incertitude-type de la moyenne de l’échantillon comme décrit ci-dessus. Comme stipulé dans
le Guide ISO/IEC 98-3:2008, 4.2.7, «S’il existe une corrélation entre les variations aléatoires des
observations d’une grandeur d’entrée, par exemple en fonction du temps, la moyenne et l’écart-type
expérimental de la moyenne donnés en 4.2.1 et 4.2.3, peuvent être des estimateurs (C.2.25) impropres
des statistiques recherchées (C.2.23)».
Les processus autocorrélés peuvent être classés dans deux types de processus selon qu’ils sont
stationnaires ou non stationnaires:
a) processus stationnaire – extension directe d’une séquence indépendante et identiquement
distribuée (i.i.d.). Un processus autocorrélé est stationnaire s’il est à un état «d’équilibre
statistique». Cela implique que le comportement de base du processus ne varie pas dans le temps.
En particulier, un processus stationnaire a une moyenne et une variance qui sont constantes dans
le temps;
b) processus non stationnaire – processus qui n’est pas stationnaire.
Le présent document a pour but de fournir une méthode pour évaluer l’incertitude-type de la moyenne
des mesurages provenant d’un processus stationnaire.
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NORME INTERNATIONALE ISO 24185:2022(F)
Évaluation de l'incertitude de mesure d'un processus
stationnaire autocorrélé
1 Domaine d’application
Le présent document décrit une méthode pour évaluer l’incertitude-type de la moyenne d’un processus,
qui provient d’une variation observable de mesurages successifs éventuellement autocorrélés. Dans
le présent document, les mesurages successifs sont limités aux processus stationnaires. Le présent
document comprend également des tests de validité des hypothèses. L’incertitude résultante est liée
à l’incertitude provenant de mesurages observables, en tenant également compte d’autres sources
d’incertitude.
2 Références normatives
Les documents suivants cités dans le texte constituent, pour tout ou partie de leur contenu, des
exigences du présent document. Pour les références datées, seule l’édition citée s’applique. Pour les
références non datées, la dernière édition du document de référence s’applique (y compris les éventuels
amendements).
ISO 3534-2, Statistique — Vocabulaire et symboles — Partie 2: Statistique appliquée
3 Termes et définitions
Pour les besoins du présent document, les termes et définitions donnés dans l’ISO 3534-2 ainsi que les
suivants, s’appliquent.
L’ISO et l’IEC tiennent à jour des bases de données terminologiques destinées à être utilisées en
normalisation, consultables aux adresses suivantes:
— ISO Online browsing platform: disponible à l’adresse https:// www .iso .org/ obp
— IEC Electropedia: disponible à l’adresse https:// www .electropedia .org/
3.1 Termes
3.1.1
processus stationnaire en covariance
processus faiblement stationnaire
processus stationnaire
processus stochastique caractérisé par une moyenne de processus constante, une variance de processus
constante et une fonction d’autocovariance, qui dépend uniquement de la différence des indices du
processus et qui ne dépend pas de l’indice du processus
3.1.2
autocovariance
covariance interne entre les membres d’une séquence d’observations ordonnées
3.2 Termes abrégés et symboles
3.2.1 Termes abrégés
i.i.d. indépendant et identiquement distribué
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ISO 24185:2022(F)
FAC fonction d’autocorrélation
3.2.2 Symboles
T
ensemble d’indices pour un processus stochastique
variable aléatoire X au temps t
X
t
X composante de X qui correspond à la composante d’incertitude de Type A de X
t,A t t
e composante de X qui a une moyenne nulle et qui correspond à la composante d’incerti-
B t
t
tude de Type B de X
t
μ moyenne vraie de X
t t
μ
moyenne vraie d’un processus stationnaire
σ écart-type vrai de X
t t
σ
écart-type vrai d’un processus stationnaire {}X
t
σ écart-type vrai de X pour un processus stationnaire {}X
A t,A t
σ écart-type vrai de e pour un processus stationnaire {}X
B B t
u évaluation de Type B de l’incertitude-type de {}X
B t
2 2
N μσ, distribution normale avec une moyenne μ et une variance σ
()
γ(,tt ) autocovariance entre X et X
12 t t
1 2
autocorrélation entre X et X
ρ(,tt )
t t
12
1 2
τ
décalage entre deux indices de processus
autocovariance d’un processus stationnaire au décalage τ
γτ()
ˆ
γτ() estimateur de ρτ()
autocorrélation d’un processus stationnaire au décalage τ
ρτ()
ρτˆ() estimateur de γτ()
ˆ
estimateur de l’écart-type de ρ()i
ˆ
σ
ρˆ()i
x une valeur de X pour l’indice t
t t
x valeur moyenne arithmétique d’une séquence de x
écart-type empirique d’une séquence de x
s
x
4 Processus stochastique et série temporelle
4.1 Généralités
Un processus stochastique {;Xt∈T} est une collection de variables aléatoires, où T est un ensemble
t
[3]
d’indices du processus. Lorsque T représente le temps, le processus stochastique est une série
temporelle. Lorsque T prend un ensemble discret de valeurs, par exemple T ={,12 ,.} , le processus est
appelé série temporelle discrète. Dans le présent document, seules les séries temporelles discrètes qui
sont espacées de manière égale dans le temps sont prises en considération. Une série temporelle
2
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ISO 24185:2022(F)
discrète xx,., peut être considérée comme les valeurs prises par une séquence de variables
1 N
aléatoires de XX,., . . La séquence de xx,., est appelée réalisation de XX,., .
1 N 1 N 1 N
4.2 Autocovariance et autocorrélation d’un processus stochastique
Si {;Xt∈T} est un processus stochastique avec une moyenne μ et un écart-type σ à t ,
t t t
a) pour tout tt, ∈T , la fonction d’autocovariance γ()⋅ est:
12
γμtt,E =− XX − μ
()
()()
12 tt tt
1 12 2
b) pour tout tt, ∈T , la fonction d’autocorrélation ρ()⋅ est:
12
γ ()tt,
12
ρ tt, =
()
12
σσ
tt
12
Pour un processus stochastique ou une série temporelle, s’il existe un ρ(,tt ) non nul pour tout
12
tt≠ , alors le processus stochastique ou la série temporelle est dit(e) autocorrélé(e).
12
4.3 Processus stationnaire
4.3.1 Généralités
Comme défini en 3.1.1, un processus stationnaire désigne un processus faiblement stationnaire ou
stationnaire en covariance. Un processus stochastique est dit stationnaire s’il est à un état «d’équilibre
statistique». Voir la Référence [4], p. 14. En effet, le comportement de base d’un tel processus ne varie
pas avec l’indice du processus. Dans le présent document, le processus stochastique Xt; ∈T est dit
{}
t
stationnaire en covariance, faiblement stationnaire ou stationnaire si:
a) E X =μ (constant pour tous les t );
[]
t
2
b) variance Var[]X =<σ ∞ (c’est-à-dire une constante finie pour tous les t );
t
c) γ ()tt, dépend uniquement du décalage τ =−tt et ne dépend pas de t . Dans ce cas, γ ()tt,
12 12 12
est donné par γτ = γγtt,| =−tt | .
() () ()
12 12
Les deux premières exigences sont que le processus stochastique ait une moyenne constante et une
variance constante. La troisième exigence est que la fonction d’autocovariance ne dépende que du
décalage et ne dépende pas de t . Si une ou plusieurs de ces exigences ne sont pas satisfaites, le process
est non stationnaire. Pour un processus stationnaire, la fonction d’autocovariance au décalage τ est
donnée par γτ(). Lorsque le processus est une série temporelle, la différence dans les indices de
processus, tt− , correspond à un écart dans le temps.
12
La fonction d’autocorrélation (FAC) d’un processus stationnaire ou d’une série temporelle au décalage
τ est donnée par:
γτ()
ρτ()=
2
σ
Noter que ρ()01= .
4.3.2 Bruit blanc
Une série temporelle est appelée bruit blanc si:
a) {}X sont distribués de manière identique avec la même moyenne et la même variance finie pour
t
tous les t ;
3
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ISO 24185:2022(F)
b) l’autocovariance γ ()tt, =0 lorsque tt≠ pour tout t et t .
12 12 1 2
On déduit de b) que toutes les autocorrélations de bruit blanc avec des décalages non nuls sont nulles.
D’après a) et b), le bruit blanc est un cas particulier de processus stationnaire. Lorsque {}X est un
t
bruit blanc avec la même distribution pour chaque t , il s’agit d’une séquence i.i.d.
4.4 Estimation de la moyenne, de l’autocovariance et de l’autocorrélation pour un
processus stationnaire
4.4.1 Estimation de μ
Étant donnée une réalisation xt;,=12,.,N d’un processus stationnaire {}X , une pratique courante
{}
t t
consiste à estimer la moyenne du processus μ par la moyenne arithmétique ou la moyenne de
N
1
l’échantillon x= x .
t
∑
N
t=1
4.4.2 Estimation de γ(τ) et de ρ(τ)
Étant donnée une réalisation d’un processus stationnaire, xt;,=12,.,N , l’autocovariance à τ est
{}
t
estimée par:
N−τ
1
[3]
ˆ
...
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