ISO 16269-7:2001

Statistical interpretation of data — Part 7: Median — Estimation and confidence intervals

Specifies procedures for establishing a point estimate and confidence intervals for the median of any continues probability of a population, based on a random sample of size n from the population. These procedures are distribution-free, i.e. they do not require knowledge of the family of distributions to which the population distribution belongs. Similar products can be applied to estimate quartiles and/or percentities.

Interprétation statistique des données — Partie 7: Médiane — Estimation et intervalles de confiance

La présente partie de l'ISO 16269 spécifie des procédures pour établir une estimation ponctuelle et des intervalles de confiance de la médiane d'une loi continue de probabilité d'une population, basée sur un effectif d'échantillon choisi au hasard. Ces procédures sont non paramétriques, c'est-à-dire qu'elles ne nécessitent pas de connaître la famille des lois à laquelle appartient la loi de probabilité de la population. Des procédures similaires peuvent être appliquées pour l'estimation des quartiles et des percentiles. NOTE : La médiane est le second quartile et le cinquantième percentile. Des procédures similaires utilisées pour d'autres quartiles ou percentiles ne sont pas décrites dans la présente partie de l'ISO 16269.

Statistično tolmačenje podatkov - 7. del: Mediana - Ocena in intervali zaupanja

Specificira postopke vzpostavljanja točkovne ocene in intervalov zaupanja za mediano katere koli stalne verjetnosti populacije, osnovane na naključnem vzorcu velikosti n iz populacije. Ti postopki ne vključujejo razporeditve, ne zahtevajo znanja o družini porazdelitev, kateri pripada porazdelitev populacije. Podobni produkti se lahko uporabljajo za ocenjevanje četrtinske in/ali odstotkovne vrednosti.

General Information

• Status: Published
• Publication Date: 14-Mar-2001
• ICS: 03.120.30 - Application of statistical methods
• Technical Committee: ISO/TC 69 - Applications of statistical methods
• Drafting Committee: ISO/TC 69 - Applications of statistical methods
• Current Stage: 9060 - Close of review
• Start Date: 03-Jun-2028
• Ref Project: SIST ISO 16269-7:2010 - Statistical interpretation of data - Part 7: Median - Estimation and confidence intervals

Standards Content (Sample)

INTERNATIONAL ISO
STANDARD 16269-7
First edition
2001-03-01
Statistical interpretation of data —
Part 7:
Median — Estimation and confidence
intervals
Interprétation statistique des données —
Partie 7: Médiane — Estimation et intervalles de confiance
Reference number
ISO 16269-7:2001(E)
©
ISO 2001

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ISO 16269-7:2001(E)
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be edited unless the typefaces which are embedded are licensed to and installed on the computer performing the editing. In downloading this
file, parties accept therein the responsibility of not infringing Adobe's licensing policy. The ISO Central Secretariat accepts no liability in this
area.
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Details of the software products used to create this PDF file can be found in the General Info relative to the file; the PDF-creation parameters
were optimized for printing. Every care has been taken to ensure that the file is suitable for use by ISO member bodies. In the unlikely event
that a problem relating to it is found, please inform the Central Secretariat at the address given below.
© ISO 2001
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or mechanical, including photocopying and microfilm, without permission in writing from either ISO at the address below or ISO's member body
in the country of the requester.
ISO copyright office
Case postale 56 � CH-1211 Geneva 20
Tel. + 41 22 749 01 11
Fax + 41 22 749 09 47
E-mail [e-mail]
Web www.iso.ch
Printed in Switzerland
ii © ISO 2001 – All rights reserved

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ISO 16269-7:2001(E)
Contents Page
1 Scope .1
2 Normative references .1
3 Terms, definitions and symbols.1
4 Applicability.2
5 Point estimation.2
6 Confidence interval .3
Annex A (informative) Classical method of determining confidence limits for the median.7
Annex B (informative) Examples .8
Forms
Form A — Calculation of an estimate of a median.9
Form B — Calculation of a confidence interval for a median .11
Table
Table 1 — Exact values of k for sample sizes varying from 5 to 100: one-sided case.4
Table 2 — Exact values of k for sample sizes varying from 5 to 100: two-sided case .5
Table 3 — Values of u and c for the one-sided case.6
Table 4 — Values of u and c for the two-sided case.6
© ISO 2001 – All rights reserved iii

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ISO 16269-7:2001(E)
Foreword
ISO (the International Organization for Standardization) is a worldwide federation of national standards bodies (ISO
member bodies). The work of preparing International Standards is normally carried out through ISO technical
committees. Each member body interested in a subject for which a technical committee has been established has
the right to be represented on that committee. International organizations, governmental and non-governmental, in
liaison with ISO, also take part in the work. ISO collaborates closely with the International Electrotechnical
Commission (IEC) on all matters of electrotechnical standardization.
International Standards are drafted in accordance with the rules given in the ISO/IEC Directives, Part 3.
Draft International Standards adopted by the technical committees are circulated to the member bodies for voting.
Publication as an International Standard requires approval by at least 75 % of the member bodies casting a vote.
Attention is drawn to the possibility that some of the elements of this part of ISO 16269 may be the subject of
patent rights. ISO shall not be held responsible for identifying any or all such patent rights.
International Standard ISO 16269-7 was prepared by Technical Committee ISO/TC 69, Applications of statistical
methods, Subcommittee SC 3, Application of statistical methods in standaridization.
ISO 16269 consists of the following parts, under the general title Statistical interpretation of data:
� Part 7: Median — Estimation and confidence intervals
The following will be the subjects of future parts to ISO 16269:
� Part 1: Guide to statistical interpretation of data
� Part 2: Presentation of statistical data
� Part 3: Tests for departure from normality
� Part 4: Detection and treatment of outliers
� Part 5: Estimation and tests of means and variances for the normal distribution, with power functions for tests
� Part 6: Determination of statistical tolerance intervals
Annexes A and B of this part of ISO 16269 are for information only.
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INTERNATIONAL STANDARD ISO 16269-7:2001(E)
Statistical interpretation of data —
Part 7:
Median — Estimation and confidence intervals
1 Scope
This part of ISO 16269 specifies the procedures for establishing a point estimate and confidence intervals for the
median of any continuous probability distribution of a population, based on a random sample size from the
population. These procedures are distribution-free, i.e. they do not require knowledge of the family of distributions
to which the population distribution belongs. Similar procedures can be applied to estimate quartiles and
percentiles.
NOTE The median is the second quartile and the fiftieth percentile. Similar procedures for other quartiles or percentiles are
not described in this part of ISO 16269.
2 Normative references
The following normative documents contain provisions which, through reference in this text, constitute provisions of
this part of ISO 16269. For dated references, subsequent amendments to, or revisions of, any of these publications
do not apply. However, parties to agreements based on this part of ISO 16269 are encouraged to investigate the
possibility of applying the most recent editions of the normative documents indicated below. For undated
references, the latest edition of the normative document referred to applies. Members of ISO and IEC maintain
registers of currently valid International Standards.
ISO 2602, Statistical interpretation of test results — Estimation of the mean — Confidence interval.
ISO 3534-1, Statistics — Vocabulary and symbols — Part 1: Probability and general statistical terms.
3 Terms, definitions and symbols
3.1 Terms and definitions
For the purposes of this part of ISO 16269, the terms and definitions given in ISO 2602 and ISO 3534-1 and the
following apply.
3.1.1
kth order statistic of a sample
value of the kth element in a sample when the elements are arranged in non-decreasing order of their values
NOTE For a sample of n elements arranged in non-decreasing order, the kth order statistics is x where
[k]
xxuu .ux
[1] [2] [n]
© ISO 2001 – All rights reserved 1

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ISO 16269-7:2001(E)
3.1.2
median of a continuous probability distribution
value such that the proportions of the distribution lying on either side of it are both equal to one half
NOTE In this part of ISO 16269, the median of a continuous probability distribution is called the population median and is
denoted by M.
3.2 Symbols
a lower bound to the values of the variable in the population
b upper bound to the values of the variable in the population
C confidence level
c constant used for determining the value of k in equation (1)
k number of the order statistic used for the lower confidence limit
M population median
n sample size
T lower confidence limit derived from a sample
1
T upper confidence limit derived from a sample
2
u fractile of the standardized normal distribution
x ith smallest element in a sample when the elements are arranged in a non-decreasing order of their values
[i]
x� sample median
y intermediate value calculated to determine k using equation (1)
4 Applicability
The method described in this part of ISO 16269 is valid for any continuous population, provided that the sample is
drawn at random.
NOTE If the distribution of the population can be assumed to be approximately normal, the population median is
approximately equal to the population mean and the confidence limits should be calculated in accordance with ISO 2602.
5 Point estimation
�
A point estimate of the population median is given by the sample median, x . The sample median is obtained by
numbering the sample elements in non-decreasing order of their values and taking the value of
� the [(n� 1)/2]th order statistic, if n is odd, or
� the arithmetic mean of the (n/2)th and [(n/2)� 1]th order statistics, if n is even.
NOTE This estimator is in general biased for asymmetrical distributions, but an estimator that is unbiased for any
population does not exist.
2 © ISO 2001 – All rights reserved

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ISO 16269-7:2001(E)
6 Confidence interval
6.1 General
A two-sided confidence interval for the population median is a closed interval of the form [T , T ], where T � T ; T
1 2 1 2 1
and T arecalledthe lower and upper confidence limits, respectively.
2
If a and b are respectively the lower and upper bounds of the variable in the population, a one-sided confidence
interval will be of the form [T , b)orof theform (a, T ].
1 2
NOTE For practical purposes, a is often taken to be zero for variables that cannot be negative, and b is often taken to be
infinity for variables with no natural upper bound.
The practical meaning of a confidence interval is that the experimenter claims that the unknown M lies within the
interval, while admitting a small nominal probability that this assertion may be wrong. The probability that intervals
calculated in such a way cover the population median is called the confidence level.
6.2 Classical method
The classical method is described in annex A. It involves solving a pair of inequalities. Alternatives to solving these
inequalities are given below for a range of confidence levels.
6.3 Small samples (5uuuu nuuuu 100)
The values of k satisfying the equations in annex A for eight of the most commonly used confidence levels for
sample sizes varying from 5 to 100 sampling units are given in Table 1 for the one-sided case and in Table 2 for
the two-sided case. The values of k are given such that the lower confidence limit is
Tx�
1[k]
and the upper confidence limit is
Tx�
2[nk��1]
wherexx, ,.,x are the ordered observed values in the sample.
[1] [2] [n]
For small values of n, it can happen that confidence limits based on order statistics are unavailable at certain
confidence levels.
An example of the calculation of the confidence limits for small samples is given in B.1 and shown in Form A of
annex B.
© ISO 2001 – All rights reserved 3

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ISO 16269-7:2001(E)
Table 1 — Exact values of k for sample sizes varying from 5 to 100: one-sided case
kk
Sample Sample
size size
Confidence level Confidence level
% %
n n
80 90 95 98 99 99,5 99,8 99,9 80 90 95 98 99 99,5 99,8 99,9
aa a a a
52 1 1 55 24 23 21 20 19 18 17 16
a a a a
6 2 1 1 1 56 25 23 22 20 19 18 17 17
a a a
7 2 2 1 1 1 57 25 24 22 21 20 19 18 17
a a
8 3 2 2 1 1 1 58 26 24 23 21 20 19 18 17
a
9 3 3 2 2 1 1 1 59 26 25 23 22 21 20 19 18
10 4 3 2 2 1 1 1 1 60 27 25 24 22 21 20 19 18
11 4 3 3 2 2 1 1 1 61 27 25 24 23 21 21 19 19
12 5 4 3 3 2 2 1 1 62 28 26 25 23 22 21 20 19
13 5 4 4 3 2 2 2 1 63 28 26 25 23 22 21 20 19
14 5 5 4 3 3 2 2 2 64 29 27 25 24 23 22 21 20
15 6 5 4 4 3 3 2 2 65 29 27 26 24 23 22 21 20
16 6 5 5 4 3 3 2 2 66 30 28 26 25 24 23 21 21
17 7 6 5 4 4 3 3 2 67 30 28 27 25 24 23 22 21
18 7 6 6 5 4 4 3 3 68 31 29 27 26 24 23 22 21
19 8 7 6 5 5 4 3 3 69 31 29 28 26 25 24 23 22
20 8 7 6 5 5 4 4 3 70 31 30 28 26 25 24 23 22
21 9 8 7 6 5 5 4 4 71 32 30 29 27 26 25 23 23
22 9 8 7 6 6 5 4 4 72 32 31 29 27 26 25 24 23
23 9 8 8 7 6 5 5 4 73 33 31 29 28 27 26 24 23
24 10 9 8 7 6 6 5 5 74 33 31 30 28 27 26 25 24
25 10 9 8 7 7 6 5 5 75 34 32 30 29 27 26 25 24
26 11 10 9 8 7 7 6 5 76 34 32 31 29 28 27 26 25
27 11 10 9 8 8 7 6 6 77 35 33 31 30 28 27 26 25
28 12 11 10 9 8 7 7 6 78 35 33 32 30 29 28 26 25
29 12 11 10 9 8 8 7 6 79 36 34 32 30 29 28 27 26
30 13 11 11 9 9 8 7 7 80 36 34 33 31 30 29 27 26
31 13 12 11 10 9 8 8 7 81 37 35 33 31 30 29 28 27
32 14 12 11 10 9 9 8 7 82 37 35 34 32 31 29 28 27
33 14 13 12 11 10 9 8 8 83 38 36 34 32 31 30 28 28
34 15 13 12 11 10 10 9 8 84 38 36 34 33 31 30 29 28
35 15 14 13 11 11 10 9 9 85 39 37 35 33 32 31 29 28
36 15 14 13 12 11 10 10 9 86 39 37 35 34 32 31 30 29
37 16 15 14 12 11 11 10 9 87 40 38 36 34 33 32 30 29
38 16 15 14 13 12 11 10 10 88 40 38 36 34 33 32 31 30
39 17 16 14 13 12 12 11 10 89 41 38 37 35 34 32 31 30
40 17 16 15 14 13 12 11 10 90 41 39 37 35 34 33 31 30
41 18 16 15 14 13 12 11 11 91 41 39 38 36 34 33 32 31
42 18 17 16 14 14 13 12 11 92 42 40 38 36 35 34 32 31
43 19 17 16 15 14 13 12 12 93 42 40 39 37 35 34 33 32
44 19 18 17 15 14 14 13 12 94 43 41 39 37 36 35 33 32
45 20 18 17 16 15 14 13 12 95 43 41 39 38 36 35 34 33
46 20 19 17 16 15 14 13 13 96 44 42 40 38 37 35 34 33
47 21 19 18 17 16 15 14 13 97 44 42 40 38 37 36 34 33
48 21 20 18 17 16 15 14 13 98 45 43 41 39 38 36 35 34
49 22 20 19 17 16 16 15 14 99 45 43 41 39 38 37
...

SLOVENSKI STANDARD
SIST ISO 16269-7:2010
01-julij-2010
6WDWLVWLþQRWROPDþHQMHSRGDWNRYGHO0HGLDQD2FHQDLQLQWHUYDOL]DXSDQMD
Statistical interpretation of data - Part 7: Median - Estimation and confidence intervals
Interprétation statistique des données - Partie 7: Médiane - Estimation et intervalles de
confiance
Ta slovenski standard je istoveten z: ISO 16269-7:2001
ICS:
03.120.30 8SRUDEDVWDWLVWLþQLKPHWRG Application of statistical
methods
SIST ISO 16269-7:2010 en
2003-01.Slovenski inštitut za standardizacijo. Razmnoževanje celote ali delov tega standarda ni dovoljeno.

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SIST ISO 16269-7:2010

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SIST ISO 16269-7:2010
INTERNATIONAL ISO
STANDARD 16269-7
First edition
2001-03-01
Statistical interpretation of data —
Part 7:
Median — Estimation and confidence
intervals
Interprétation statistique des données —
Partie 7: Médiane — Estimation et intervalles de confiance
Reference number
ISO 16269-7:2001(E)
©
ISO 2001

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SIST ISO 16269-7:2010
ISO 16269-7:2001(E)
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ISO 16269-7:2001(E)
Contents Page
1 Scope .1
2 Normative references .1
3 Terms, definitions and symbols.1
4 Applicability.2
5 Point estimation.2
6 Confidence interval .3
Annex A (informative) Classical method of determining confidence limits for the median.7
Annex B (informative) Examples .8
Forms
Form A — Calculation of an estimate of a median.9
Form B — Calculation of a confidence interval for a median .11
Table
Table 1 — Exact values of k for sample sizes varying from 5 to 100: one-sided case.4
Table 2 — Exact values of k for sample sizes varying from 5 to 100: two-sided case .5
Table 3 — Values of u and c for the one-sided case.6
Table 4 — Values of u and c for the two-sided case.6
© ISO 2001 – All rights reserved iii

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SIST ISO 16269-7:2010
ISO 16269-7:2001(E)
Foreword
ISO (the International Organization for Standardization) is a worldwide federation of national standards bodies (ISO
member bodies). The work of preparing International Standards is normally carried out through ISO technical
committees. Each member body interested in a subject for which a technical committee has been established has
the right to be represented on that committee. International organizations, governmental and non-governmental, in
liaison with ISO, also take part in the work. ISO collaborates closely with the International Electrotechnical
Commission (IEC) on all matters of electrotechnical standardization.
International Standards are drafted in accordance with the rules given in the ISO/IEC Directives, Part 3.
Draft International Standards adopted by the technical committees are circulated to the member bodies for voting.
Publication as an International Standard requires approval by at least 75 % of the member bodies casting a vote.
Attention is drawn to the possibility that some of the elements of this part of ISO 16269 may be the subject of
patent rights. ISO shall not be held responsible for identifying any or all such patent rights.
International Standard ISO 16269-7 was prepared by Technical Committee ISO/TC 69, Applications of statistical
methods, Subcommittee SC 3, Application of statistical methods in standaridization.
ISO 16269 consists of the following parts, under the general title Statistical interpretation of data:
� Part 7: Median — Estimation and confidence intervals
The following will be the subjects of future parts to ISO 16269:
� Part 1: Guide to statistical interpretation of data
� Part 2: Presentation of statistical data
� Part 3: Tests for departure from normality
� Part 4: Detection and treatment of outliers
� Part 5: Estimation and tests of means and variances for the normal distribution, with power functions for tests
� Part 6: Determination of statistical tolerance intervals
Annexes A and B of this part of ISO 16269 are for information only.
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Statistical interpretation of data —
Part 7:
Median — Estimation and confidence intervals
1 Scope
This part of ISO 16269 specifies the procedures for establishing a point estimate and confidence intervals for the
median of any continuous probability distribution of a population, based on a random sample size from the
population. These procedures are distribution-free, i.e. they do not require knowledge of the family of distributions
to which the population distribution belongs. Similar procedures can be applied to estimate quartiles and
percentiles.
NOTE The median is the second quartile and the fiftieth percentile. Similar procedures for other quartiles or percentiles are
not described in this part of ISO 16269.
2 Normative references
The following normative documents contain provisions which, through reference in this text, constitute provisions of
this part of ISO 16269. For dated references, subsequent amendments to, or revisions of, any of these publications
do not apply. However, parties to agreements based on this part of ISO 16269 are encouraged to investigate the
possibility of applying the most recent editions of the normative documents indicated below. For undated
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registers of currently valid International Standards.
ISO 2602, Statistical interpretation of test results — Estimation of the mean — Confidence interval.
ISO 3534-1, Statistics — Vocabulary and symbols — Part 1: Probability and general statistical terms.
3 Terms, definitions and symbols
3.1 Terms and definitions
For the purposes of this part of ISO 16269, the terms and definitions given in ISO 2602 and ISO 3534-1 and the
following apply.
3.1.1
kth order statistic of a sample
value of the kth element in a sample when the elements are arranged in non-decreasing order of their values
NOTE For a sample of n elements arranged in non-decreasing order, the kth order statistics is x where
[k]
xxuu .ux
[1] [2] [n]
© ISO 2001 – All rights reserved 1

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SIST ISO 16269-7:2010
ISO 16269-7:2001(E)
3.1.2
median of a continuous probability distribution
value such that the proportions of the distribution lying on either side of it are both equal to one half
NOTE In this part of ISO 16269, the median of a continuous probability distribution is called the population median and is
denoted by M.
3.2 Symbols
a lower bound to the values of the variable in the population
b upper bound to the values of the variable in the population
C confidence level
c constant used for determining the value of k in equation (1)
k number of the order statistic used for the lower confidence limit
M population median
n sample size
T lower confidence limit derived from a sample
1
T upper confidence limit derived from a sample
2
u fractile of the standardized normal distribution
x ith smallest element in a sample when the elements are arranged in a non-decreasing order of their values
[i]
x� sample median
y intermediate value calculated to determine k using equation (1)
4 Applicability
The method described in this part of ISO 16269 is valid for any continuous population, provided that the sample is
drawn at random.
NOTE If the distribution of the population can be assumed to be approximately normal, the population median is
approximately equal to the population mean and the confidence limits should be calculated in accordance with ISO 2602.
5 Point estimation
�
A point estimate of the population median is given by the sample median, x . The sample median is obtained by
numbering the sample elements in non-decreasing order of their values and taking the value of
� the [(n� 1)/2]th order statistic, if n is odd, or
� the arithmetic mean of the (n/2)th and [(n/2)� 1]th order statistics, if n is even.
NOTE This estimator is in general biased for asymmetrical distributions, but an estimator that is unbiased for any
population does not exist.
2 © ISO 2001 – All rights reserved

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SIST ISO 16269-7:2010
ISO 16269-7:2001(E)
6 Confidence interval
6.1 General
A two-sided confidence interval for the population median is a closed interval of the form [T , T ], where T � T ; T
1 2 1 2 1
and T arecalledthe lower and upper confidence limits, respectively.
2
If a and b are respectively the lower and upper bounds of the variable in the population, a one-sided confidence
interval will be of the form [T , b)orof theform (a, T ].
1 2
NOTE For practical purposes, a is often taken to be zero for variables that cannot be negative, and b is often taken to be
infinity for variables with no natural upper bound.
The practical meaning of a confidence interval is that the experimenter claims that the unknown M lies within the
interval, while admitting a small nominal probability that this assertion may be wrong. The probability that intervals
calculated in such a way cover the population median is called the confidence level.
6.2 Classical method
The classical method is described in annex A. It involves solving a pair of inequalities. Alternatives to solving these
inequalities are given below for a range of confidence levels.
6.3 Small samples (5uuuu nuuuu 100)
The values of k satisfying the equations in annex A for eight of the most commonly used confidence levels for
sample sizes varying from 5 to 100 sampling units are given in Table 1 for the one-sided case and in Table 2 for
the two-sided case. The values of k are given such that the lower confidence limit is
Tx�
1[k]
and the upper confidence limit is
Tx�
2[nk��1]
wherexx, ,.,x are the ordered observed values in the sample.
[1] [2] [n]
For small values of n, it can happen that confidence limits based on order statistics are unavailable at certain
confidence levels.
An example of the calculation of the confidence limits for small samples is given in B.1 and shown in Form A of
annex B.
© ISO 2001 – All rights reserved 3

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SIST ISO 16269-7:2010
ISO 16269-7:2001(E)
Table 1 — Exact values of k for sample sizes varying from 5 to 100: one-sided case
kk
Sample Sample
size size
Confidence level Confidence level
% %
n n
80 90 95 98 99 99,5 99,8 99,9 80 90 95 98 99 99,5 99,8 99,9
aa a a a
52 1 1 55 24 23 21 20 19 18 17 16
a a a a
6 2 1 1 1 56 25 23 22 20 19 18 17 17
a a a
7 2 2 1 1 1 57 25 24 22 21 20 19 18 17
a a
8 3 2 2 1 1 1 58 26 24 23 21 20 19 18 17
a
9 3 3 2 2 1 1 1 59 26 25 23 22 21 20 19 18
10 4 3 2 2 1 1 1 1 60 27 25 24 22 21 20 19 18
11 4 3 3 2 2 1 1 1 61 27 25 24 23 21 21 19 19
12 5 4 3 3 2 2 1 1 62 28 26 25 23 22 21 20 19
13 5 4 4 3 2 2 2 1 63 28 26 25 23 22 21 20 19
14 5 5 4 3 3 2 2 2 64 29 27 25 24 23 22 21 20
15 6 5 4 4 3 3 2 2 65 29 27 26 24 23 22 21 20
16 6 5 5 4 3 3 2 2 66 30 28 26 25 24 23 21 21
17 7 6 5 4 4 3 3 2 67 30 28 27 25 24 23 22 21
18 7 6 6 5 4 4 3 3 68 31 29 27 26 24 23 22 21
19 8 7 6 5 5 4 3 3 69 31 29 28 26 25 24 23 22
20 8 7 6 5 5 4 4 3 70 31 30 28 26 25 24 23 22
21 9 8 7 6 5 5 4 4 71 32 30 29 27 26 25 23 23
22 9 8 7 6 6 5 4 4 72 32 31 29 27 26 25 24 23
23 9 8 8 7 6 5 5 4 73 33 31 29 28 27 26 24 23
24 10 9 8 7 6 6 5 5 74 33 31 30 28 27 26 25 24
25 10 9 8 7 7 6 5 5 75 34 32 30 29 27 26 25 24
26 11 10 9 8 7 7 6 5 76 34 32 31 29 28 27 26 25
27 11 10 9 8 8 7 6 6 77 35 33 31 30 28 27 26 25
28 12 11 10 9 8 7 7 6 78 35 33 32 30 29 28 26 25
29 12 11 10 9 8 8 7 6 79 36 34 32 30 29 28 27 26
30 13 11 11 9 9 8 7 7 80 36 34 33 31 30 29 27 26
31 13 12 11 10 9 8 8 7 81 37 35 33 31 30 29 28 27
32 14 12 11 10 9 9 8 7 82 37 35 34 32 31 29 28 27
33 14 13 12 11 10 9 8 8 83 38 36 34 32 31 30 28 28
34 15 13 12 11 10 10 9 8 84 38 36 34 33 31 30 29 28
35 15 14 13 11 11 10 9 9 85 39 37 35 33 32 31 29 28
36 15 14 13 12 11 10 10 9 86 39 37 35 34 32 31 30 29
37 16 15 14 12 11 11 10 9 87 40 38 36 34 33 32 30 29
38 16 15 14 13 12 11 10 10 88 40 38 36 34 33 32 31 30
39 17 16 14 13 12 12 11 10 89 41 38 37 35 34 32 31 30
40 17 16 15 14 13 12 11 10 90 41 39 37 35 34 33 31 30
41 18 16 15 14 13 12 11 11 9
...

NORME ISO
INTERNATIONALE 16269-7
Première édition
2001-03-01
Interprétation statistique des données —
Partie 7:
Médiane — Estimation et intervalles de
confiance
Statistical interpretation of data —
Part 7: Median — Estimation and confidence intervals
Numéro de référence
ISO 16269-7:2001(F)
©
ISO 2001

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ISO 16269-7:2001(F)
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Imprimé en Suisse
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ISO 16269-7:2001(F)
Sommaire Page
1 Domaine d'application.1
2Références normatives .1
3 Termes, définitions et symboles.1
4 Applicabilité.2
5 Estimation ponctuelle .3
6 Intervalle de confiance .3
Annexe A (informative) Méthode classique de détermination des limites de confiance de la médiane.7
Annexe B (informative) Exemples .8
Formulaires
Formulaire A — Calcul de l'estimation d'une médiane.9
Formulaire B — Calcul de l'intervalle de confiance d'une médiane.11
Tableaux
Tableau 1 — Valeurs exactes de k pour des effectifs d’échantillon de 5 à 100: cas unilatéral .4
Tableau 2 — Valeurs exactes de k pour des effectifs d’échantillon de 5 à 100: cas bilatéral .5
Tableau 3 — Valeurs de u et de c pour le cas unilatéral .6
Tableau 4 — Valeurs de u et de c pour le cas bilatéral .6
© ISO 2001 – Tous droits réservés iii

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ISO 16269-7:2001(F)
Avant-propos
L'ISO (Organisation internationale de normalisation) est une fédération mondiale d'organismes nationaux de
normalisation (comités membres de l'ISO). L'élaboration des Normes internationales est en général confiéeaux
comités techniques de l'ISO. Chaque comité membre intéressé par une étude aledroit de fairepartie ducomité
technique créé à cet effet. Les organisations internationales, gouvernementales et non gouvernementales, en
liaison avec l'ISO participent également aux travaux. L'ISO collabore étroitement avec la Commission
électrotechnique internationale (CEI) en ce qui concerne la normalisation électrotechnique.
Les Normes internationales sont rédigées conformément aux règles données dans les Directives ISO/CEI, Partie 3.
Les projets de Normes internationales adoptés par les comités techniques sont soumis aux comités membres pour
vote. Leur publication comme Normes internationales requiert l'approbation de 75 % au moins des comités
membres votants.
L’attention est appelée sur le fait que certains des éléments delaprésente partie de l’ISO 16269 peuvent faire
l’objet de droits de propriété intellectuelle ou de droits analogues. L’ISO ne saurait être tenue pour responsable de
ne pas avoir identifié de tels droits de propriété et averti de leur existence.
La Norme internationale ISO 16269-7 a étéélaborée par le comité technique ISO/TC 69, Application des méthodes
statistiques, sous-comité SC 3, Application des méthodes statistiques en normalisation.
L'ISO 16269 comprend les parties suivantes, présentées sous le titre général Interprétation statistique des
données:
� Partie 7: Médiane — Estimation et intervalles de confiance
Les parties énumérés ci-dessous, portant des titres de travail provisoires sujets à modification, sont en préparation
et seront publiées au fur et à mesure de leur avancement:
� Partie 1: Guide pour l’interprétation statistique des donnéee
� Partie 2: Présentation des données statistiques
� Partie 3: Essais pour les écarts par rapport à la normalité
� Partie 4: Détection et traitement des valeurs aberrantes
� Partie 5: Estimation et essais des moyennes et variances pour la loi normale, avec fonctions puissance pour
tests
� Partie 6: Détermination des intervalles statistiques de dispersion
Les annexes A et B de la présente partie de l’ISO 16269 sont données uniquement à titre d’information.
iv © ISO 2001 – Tous droits réservés

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NORME INTERNATIONALE ISO 16269-7:2001(F)
Interprétation statistique des données —
Partie 7:
Médiane — Estimation et intervalles de confiance
1 Domaine d'application
La présente partie de l’ISO 16269 spécifie des procédures pour établir une estimation ponctuelle et des intervalles
de confiance de la médiane d’une loi continue de probabilité d’une population, basée sur un effectif d’échantillon
choisi au hasard. Ces procédures sont non paramétriques, c’est-à-dire qu’elles ne nécessitent pas de connaître la
famille des lois à laquelle appartient la loi de probabilité de la population. Des procédures similaires peuvent être
appliquées pour l’estimation des quartiles et des percentiles.
NOTE La médiane est le second quartile et le cinquantième percentile. Des procédures similaires utilisées pour d’autres
quartiles ou percentiles ne sont pas décrites dans la présente partie de l’ISO 16269.
2Références normatives
Les documents normatifs suivants contiennent des dispositions qui, par suite de la référence qui y est faite,
constituent des dispositions valables pour la présente partie de l'ISO 16269. Pour les références datées, les
amendements ultérieurs ou les révisions de ces publications ne s’appliquent pas. Toutefois, les parties prenantes
aux accords fondés sur la présente partie de l'ISO 16269 sont invitées à rechercher la possibilité d'appliquer les
éditions les plus récentes des documents normatifs indiqués ci-après. Pour les références non datées, la dernière
édition du document normatif en référence s’applique. Les membres de l'ISO et de la CEI possèdent le registre des
Normes internationales en vigueur.
ISO 2602, Interprétation statistique de résultats d’essai — Estimation de la moyenne — Intervalle de confiance.
ISO 3534-1, Statistique — Vocabulaire et symboles — Partie 1: Probabilitéset termesstatistiquesgénéraux.
3 Termes, définitions et symboles
3.1 Termes et définitions
Pour les besoins de la présente partie de l'ISO 16269, les termes et définitions donnés dans l’ISO 2602 et dans
l’ISO 3534-1 ainsi que les termes et définitions suivants s'appliquent.
3.1.1
statistique d’ordre k d’un échantillon
valeur de l’élément de rang k d’un échantillon quand les éléments sont classés par ordre non décroissant de leurs
valeurs
NOTE Pour un échantillon de n éléments classés par ordre non décroissant, la statistique d’ordre k est x ,où
[k]
xxuu.ux
[1] []2 []n
© ISO 2001 – Tous droits réservés 1

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ISO 16269-7:2001(F)
3.1.2
médiane d’une loi de probabilité continue
valeur telle que les pourcentages de la loi de chaque côté de la médiane soient tous deux égaux à 50 %.
NOTE Dans la présente partie de l’ISO 16269, la médiane d’une loi de probabilité continue est appeléelamédiane d’une
population et est désignée par M.
3.2 Symboles
a limite inférieure des valeurs de la variable dans la population
b limite supérieure des valeurs de la variable dans la population
C niveau de confiance
c constante utilisée pour déterminer la valeur de k dans l'équation (1)
k numéro de la statistique d’ordre utilisé pour la limite de confiance inférieure
M médiane de la population
n effectif d’échantillon
T limite de confiance inférieure déduite d’un échantillon
1
T limite de confiance supérieure déduite d’un échantillon
2
u
fractile de la loi normale normalisée
x plus petit élément de rang i dans un échantillon lorsque les éléments sont disposés dans l’ordre non
[i]
décroissant de leurs valeurs
~
x médiane de l’échantillon
y valeur intermédiaire observée dans la détermination de kaumoyendel'équation (1)
4 Applicabilité
La méthode décritedanslaprésente partie de l’ISO 16269 est valable pour n’importe quelle population continue, à
condition que l’échantillon soit pris au hasard.
NOTE Si la loi d’une population peut être estimée comme approximativement normale, la médiane de la population est
approximativement égale à la moyenne de la population et il convient de calculer les limites de confiance conformément à
l’ISO 2602.
2 © ISO 2001 – Tous droits réservés

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ISO 16269-7:2001(F)
5 Estimation ponctuelle
�
Une estimation ponctuelle de la médiane de la population est donnéepar la médiane de l'échantillon, x.La
médiane de l’échantillon est obtenue en numérotant les éléments de l’échantillon par ordre non décroissant de
leurs valeurs et en prenant la valeur
� de la statistique d’ordre [(n+1)/2] si n est impair, ou
� de la moyenne arithmétique des statistiques d’ordre (n/2) et [(n/2) +1]si n est pair.
NOTE Cet estimateur est généralement biaisé pour les distributions asymétriques, mais un estimateur qui serait non biaisé
pour toute population n’existe pas.
6 Intervalle de confiance
6.1 Généralités
Un intervalle de confiance bilatéral pour la médiane de la population est un intervalle fermé de la forme [T , T ], où
1 2
T < T ; T et T sont appelés, respectivement, les limites de confiance inférieure et supérieure.
1 2 1 2
Si a et b sont respectivement les limites inférieure et supérieure de la variable dans la population, un intervalle de
confiance unilatéral sera soit de la forme [T , b)soitdelaforme(a, T ].
1 2
NOTE Pour des raisons pratiques, a est souvent considérée égale à zéro pour les variables qui ne peuvent être négatives,
et b est souvent considérée égale à l’infini pour les variables n’ayant aucune limite supérieure naturelle.
La signification pratique d’un intervalle de confiance est que l’expérimentateur prétend que la valeur inconnue M
est contenue dans l’intervalle, tout en admettant une petite probabilité nominale que cette affirmation soit erronée.
La probabilité que les intervalles ainsi calculés contiennent la médiane de la population est appeléeleniveaude
confiance.
6.2 Méthode classique
La méthode classique est décrite à l’annexe A. Elle implique la résolution d’une paire d’inégalités. Les méthodes
alternatives à la résolution de ces inégalités sont données ci-dessous pour une gamme d’intervalles de confiance.
6.3 Petits échantillons (5uuuu nuuuu 100)
Les valeurs de k satisfaisant les équations données à l'annexe A pour huit des intervalles de confiance le plus
couramment utilisés pour les effectifs d’échantillon compris entre 5 et 100 unitésd'échantillonnage sont données
dans le Tableau 1 pour le cas unilatéral et dans le Tableau 2 pour le cas bilatéral. Les valeurs de k sont données
de telle façon que la limite de confiance inférieure sera
T = x
1 [k]
et la limite de confiance supérieure sera
T = x
2 [n–k+1]
où x , x , ., x , sont les valeurs observées ordonnées de l’échantillon.
[1] [2] [n]
Pour de petites valeurs de n, il peut arriver qu’il n’y ait pas de limites de confiance fondées sur la statistique d’ordre
à certains niveaux de confiance.
Un exemple de calcul des limites de confiance pour petits échantillons est donné en B.1 et présenté dans le
formulaire A de l’annexe B.
© ISO 2001 – Tous droits réservés 3

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ISO 16269-7:2001(F)
Tableau 1 — Valeurs exactes de k pour des effectifs d’échantillon de 5 à 100: cas unilatéral
Effectif Effectif
kk
d'échan- d'échan-
tillon tillon
Niveau de confiance Niveau de confiance
n n
% %
80 90 95 98 99 99,5 99,8 99,9 80 90 95 98 99 99,5 99,8 99,9
aa aa a
52 1 1 55 24 23 21 20 19 18 17 16
a a a a
6 2 1 1 1 56 25 23 22 20 19 18 17 17
a a a
7 2 2 1 1 1 57 25 24 22 21 20 19 18 17
a a
8 3 2 2 1 1 1 58 26 24 23 21 20 19 18 17
a
9 3 3 2 2 1 1 1 59 26 25 23 22 21 20 19 18
10 4 3 2 2 1 1 1 1 60 27 25 24 22 21 20 19 18
11 4 3 3 2 2 1 1 1 61 27 25 24 23 21 21 19 19
12 5 4 3 3 2 2 1 1 62 28 26 25 23 22 21 20 19
13 5 4 4 3 2 2 2 1 63 28 26 25 23 22 21 20 19
14 5 5 4 3 3 2 2 2 64 29 27 25 24 23 22 21 20
15 6 5 4 4 3 3 2 2 65 29 27 26 24 23 22 21 20
16 6 5 5 4 3 3 2 2 66 30 28 26 25 24 23 21 21
17 7 6 5 4 4 3 3 2 67 30 28 27 25 24 23 22 21
18 7 6 6 5 4 4 3 3 68 31 29 27 26 24 23 22 21
19 8 7 6 5 5 4 3 3 69 31 29 28 26 25 24 23 22
20 8 7 6 5 5 4 4 3 70 31 30 28 26 25 24 23 22
21 9 8 7 6 5 5 4 4 71 32 30 29 27 26 25 23 23
22 9 8 7 6 6 5 4 4 72 32 31 29 27 26 25 24 23
23 9 8 8 7 6 5 5 4 73 33 31 29 28 27 26 24 23
24 10 9 8 7 6 6 5 5 74 33 31 30 28 27 26 25 24
25 10 9 8 7 7 6 5 5 75 34 32 30 29 27 26 25 24
26 11 10 9 8 7 7 6 5 76 34 32 31 29 28 27 26 25
27 11 10 9 8 8 7 6 6 77 35 33 31 30 28 27 26 25
28 12 11 10 9 8 7 7 6 78 35 33 32 30 29 28 26 25
29 12 11 10 9 8 8 7 6 79 36 34 32 30 29 28 27 26
30 13 11 11 9 9 8 7 7 80 36 34 33 31 30 29 27 26
31 13 12 11 10 9 8 8 7 81 37 35 33 31 30 29 28 27
32 14 12 11 10 9 9 8 7 82 37 35 34 32 31 29 28 27
33 14 13 12 11 10 9 8 8 83 38 36 34 32 31 30 28 28
34 15 13 12 11 10 10 9 8 84 38 36 34 33 31 30 29 28
35 15 14 13 11 11 10 9 9 85 39 37 35 33 32 31 29 28
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