ISO/TR 23509-2:2026

• Abstract:

  This document provides sample calculations for different bevel gear designs, how the geometry is numerically determined according to the methods and formulae of ISO 23509-1:2025 . The term “bevel gear” is used to mean straight, helical (skew), spiral bevel, zerol and hypoid gear designs. Where this document pertains to one or more, but not all, the specific forms are identified. The manufacturing process of forming the desired tooth form is not intended to imply any specific process, but rather to be general in nature and applicable to all methods of manufacture. The geometry for the calculation of factors used in bevel gear rating, such as ISO 10300-1 [1], ISO 10300-2 [2], and ISO 10300-3 [3], is also included.

• Status: Published
• Publication Date: 30-Aug-2026
• ICS: 21.200 - Gears
• Technical Committee: ISO/TC 60/SC 2 - Gear capacity calculation
• Drafting Committee: ISO/TC 60/SC 2/WG 13 - Bevel gears
• Current Stage: 6060 - International Standard published
• Start Date: 31-Aug-2026
• Due Date: 07-Aug-2026
• Completion Date: 31-Aug-2026

Overview

ISO/TR 23509-2:2026, titled Bevel and hypoid gear geometry - Part 2: Sample calculations, is a technical report published by the International Organization for Standardization (ISO). This document provides comprehensive sample calculations for the geometric design of bevel and hypoid gears, utilizing the methods and formulae stated in ISO 23509-1:2025. The standard addresses different types of bevel gear configurations-including straight, helical (skew), spiral bevel, zerol, and hypoid gears-offering a unified and methodical approach to gear geometry calculation, independent of any specific manufacturing technology. Its content supports the determination of critical factors used in gear rating and aligns with rating standards such as ISO 10300-1, ISO 10300-2, and ISO 10300-3.

Key Topics

• Sample Calculations: The report offers step-by-step, formula-by-formula examples for various bevel and hypoid gear designs. These include calculations for both gear geometry definition and rating factors.
• Comprehensive Gear Types: The document covers calculations for:
  • Spiral bevel gear pairs (with and without hypoid offset)
  • Hypoid gear sets using multiple design methods
  • Straight bevel gear pairs
• Consistency and Terminology: Definitions, symbols, and abbreviations follow international standards, particularly those set by ISO 1122-1 and ISO 23509-1:2025.
• Versatile Application: Geometry and calculation methods provided are general and not tied to a single manufacturing method, making them broadly applicable.
• Data Tables: The document includes organized tables summarizing input parameters, intermediate steps, and final results for each sample, aiding clarity and reproducibility.

Applications

ISO/TR 23509-2:2026 delivers essential value for specialists in gear engineering, design, and analysis:

• Gear Design: Engineers can follow detailed calculation procedures to accurately determine bevel and hypoid gear geometry during initial design or optimization phases.
• Standardized Analysis: Use of the standardized approach supports comparison across multiple designs and ensures compatibility with global gear rating practices.
• Educational Tool: The document serves as a practical guide and teaching resource for training engineers in the application of ISO gear geometry methods.
• Quality Assurance: Manufacturers and quality engineers can reference these calculations to validate gear designs and ensure compliance with international standards.
• Integration in Software: The logical flow and clarity of the formulae makes them suitable for implementation in CAD, CAM, and gear calculation software tools.

Related Standards

Professionals using ISO/TR 23509-2:2026 should be aware of related documents and standards for broader context and compliance:

• ISO 23509-1:2025 - Bevel and hypoid gear geometry - Part 1: Basic methods (foundation for the calculation methods used)
• ISO 10300-1, ISO 10300-2, ISO 10300-3 - Series of standards specifying the calculation of load capacity and rating factors for bevel and hypoid gears
• ISO 1122-1 - Vocabulary of gear terms-establishing unified definitions and terminologies related to gear geometry

Practical Value

By providing practical, fully worked sample calculations, ISO/TR 23509-2:2026 enables engineers to:

• Avoid common errors in gear geometry computation
• Achieve design consistency and transparency
• Simplify training and onboarding for new specialists in bevel and hypoid gear engineering
• Support the use of advanced manufacturing technologies, including CNC machining, by abstracting calculations from specific tooling considerations

Adhering to ISO gear geometry standards ensures reliable performance, easier global collaboration, and streamlined product development cycles in gear design and manufacturing sectors.

Technical
Report
ISO/TR 23509-2
First edition
Bevel and hypoid gear geometry —
2026-08
Part 2:
Sample calculations
Géométrie des engrenages coniques et hypoïdes —
Partie 2: Exemples de calcul
Reference number
© ISO 2026
All rights reserved. Unless otherwise specified, or required in the context of its implementation, no part of this publication may
be reproduced or utilized otherwise in any form or by any means, electronic or mechanical, including photocopying, or posting on
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or ISO’s member body in the country of the requester.
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CH-1214 Vernier, Geneva
Phone: [phone]
Email: [e-mail]
Website: www.iso.org
Published in Switzerland
ii
Contents Page
Foreword .iv
Introduction .v
1 Scope . 1
2 Normative references . 1
3 Terms and definitions . 1
4 Symbols and abbreviated terms. 1
5 Application . 5
Annex A (informative) Sample 1: Calculation of geometry for a spiral bevel gear pair without
hypoid offset according to ISO 23509-1:2025 , Method 0 . 8
Annex B (informative) Sample 2: Rating of a hypoid gear set according to ISO 23509-1:2025,
Method 1 .23
Annex C (informative) Sample 3: Rating of a hypoid gear set according to ISO 23509-1:2025,
Method 2 .43
Annex D (informative) Sample 4: Rating of a hypoid gear set according to ISO 23509-1:2025 ,
Method 3 .65
Annex E (informative) Sample 5: Rating of a hypoid gear set with angle modification and 60°
shaft angle according to ISO 23509-1:2025, Method 3 .84
Annex F (informative) Sample 6: Calculation of geometry for a straight bevel gear pair without
hypoid offset according to ISO 23509-1:2025, Method 0 .103
Bibliography .117

iii
Foreword
ISO (the International Organization for Standardization) is a worldwide federation of national standards
bodies (ISO member bodies). The work of preparing International Standards is normally carried out through
ISO technical committees. Each member body interested in a subject for which a technical committee
has been established has the right to be represented on that committee. International organizations,
governmental and non-governmental, in liaison with ISO, also take part in the work. ISO collaborates closely
with the International Electrotechnical Commission (IEC) on all matters of electrotechnical standardization.
The procedures used to develop this document and those intended for its further maintenance are described
in the ISO/IEC Directives, Part 1. In particular, the different approval criteria needed for the different types
of ISO document should be noted. This document was drafted in accordance with the editorial rules of the
ISO/IEC Directives, Part 2 (see www.iso.org/directives).
ISO draws attention to the possibility that the implementation of this document may involve the use of (a)
patent(s). ISO takes no position concerning the evidence, validity or applicability of any claimed patent
rights in respect thereof. As of the date of publication of this document, ISO had not received notice of (a)
patent(s) which may be required to implement this document. However, implementers are cautioned that
this may not represent the latest information, which may be obtained from the patent database available at
www.iso.org/patents. ISO shall not be held responsible for identifying any or all such patent rights.
Any trade name used in this document is information given for the convenience of users and does not
constitute an endorsement. For an explanation of the voluntary nature of standards, the meaning of ISO
specific terms and expressions related to conformity assessment, as well as information about ISO's
adherence to the World Trade Organization (WTO) principles in the Technical Barriers to Trade (TBT), see
www.iso.org/iso/foreword.html.
This document was prepared by Technical Committee ISO/TC 60, Gears, Subcommittee SC 2, Gear capacity
calculation.
A list of all parts in the ISO 23509 series can be found on the ISO website.
Any feedback or questions on this document should be directed to the user’s national standards body. A
complete listing of these bodies can be found at www.iso.org/members.html.

iv
Introduction
For many decades, information on bevel, and especially hypoid, gear geometry has been developed and
published by the gear machine manufacturers. It is clear that the specific formulae for their respective
geometries were developed for the mechanical generation methods of their particular machines and tools.
In many cases, these formulae can not be used in general for all bevel gear types. This situation changed
with the introduction of universal, multi-axis, computerized numerical control (CNC)-machines, which
in principle are able to produce nearly all types of gearing. The manufacturers were, therefore, asked to
provide CNC programs for the geometries of different bevel gear generation methods on their machines.
This document integrates straight bevel gears and the three major design generation methods for spiral
bevel gears into one complete set of formulae. In only a few places, specific formulae for each method will
be applied. The structure of the formulae is such that they can be programmed directly, allowing the user to
compare the different designs.
The formulae of the three methods are developed for the general case of hypoid gears and to calculate
the specific case of spiral bevel gears by entering zero for the hypoid offset. Additionally, the geometries
correspond such that each gear set consists of a generated or non-generated wheel without offset and a
pinion which is generated and provided with the toral hypoid offset.
This document was prepared with sample calculations for different bevel gear designs. They are intended
for users of the ISO 23509 series to follow a whole calculation procedure formula by formula. Practical
experience has shown that this way, to get into a complex subject, is very helpful.
On the other hand, this document is not intended for use by the average engineer. Rather, it is aimed at the
well-versed engineer capable of selecting reasonable values for the parameters and factors in these formulae
based on knowledge of similar designs and on awareness of the effects behind these formulae.

v
Technical Report ISO/TR 23509-2:2026(en)
Bevel and hypoid gear geometry —
Part 2:
Sample calculations
1 Scope
This document provides sample calculations for different bevel gear designs, how the geometry is
numerically determined according to the methods and formulae of ISO 23509-1:2025 .
The term “bevel gear” is used to mean straight, helical (skew), spiral bevel, zerol and hypoid gear designs.
Where this document pertains to one or more, but not all, the specific forms are identified.
The manufacturing process of forming the desired tooth form is not intended to imply any specific process,
but rather to be general in nature and applicable to all methods of manufacture.
[1] [2]
The geometry for the calculation of factors used in bevel gear rating, such as ISO 10300-1 , ISO 10300-2 ,
[3]
and ISO 10300-3 , is also included.
2 Normative references
The following documents are referred to in the text in such a way that some or all of their content constitutes
requirements of this document. For dated references, only the edition cited applies. For undated references,
the latest edition of the referenced document (including any amendments) applies.
ISO 1122-1, Vocabulary of gear terms — Part 1: Definitions related to geometry
ISO 23509-1:2025, Bevel and hypoid gear geometry — Part 1: Basic methods
3 Terms and definitions
For the purposes of this document, the terms and definitions given in ISO 1122-1, ISO 23509-1:2025, and the
following apply.
ISO and IEC maintain terminological databases for use in standardization at the following addresses:
— ISO Online browsing platform: available at http:// www .iso .org/ obp
— IEC Electropedia: available at http:// www .electropedia .org/
4 Symbols and abbreviated terms
For the purposes of this document, the symbols and units given in Table 1 and Table 2 apply.

Table 1 — Symbols and units used in this document
Symbols Description or term Units
A intermediate variable -
a hypoid offset mm
b , b facewidth mm
1 2
b , b facewidth from calculation point to outside mm
e1 e2
b , b facewidth from calculation point to inside mm
i1 i2
c , c clearance mm
1 2
c facewidth factor -
be2
c mean addendum factor of wheel -
ham
d , d outside diameter mm
ae1 ae2
d , d inner outside diameter mm
ai1 ai2
d , d outer pitch diameter mm
e1 e2
d , d outer root diameter mm
fe1 fe2
d , d inner root diameter mm
fi1 fi2
d , d mean pitch diameter mm
m1 m2
F axial force N
ax
F , F tangential force at mean diameter N
mt1 mt2
F radial force N
rad
f influence factor of limit pressure angle -
αlim
h , h outer addendum mm
ae1 ae2
h , h inner addendum mm
ai1 ai2
h , h mean addendum mm
am1 am2
h , h mean chordal addendum mm
amc1 amc2
h , h outer whole depth mm
e1 e2
h , h outer dedendum mm
fe1 fe2
h , h inner dedendum mm
fi1 fi2
h , h mean dedendum mm
fm1 fm2
h Inner whole depth mm
i1,2
h mean whole depth mm
m
h mean working depth mm
mw
h pinion whole depth mm
t1
j outer normal backlash mm
en
j outer transverse backlash mm
et
j mean normal backlash mm
mn
j mean transverse backlash mm
mt
K , K , K approximate hypoid dimension factor (subscript indicates the method used) -
M1 M2 M3
k clearance factor -
c
k depth factor -
d
k basic crown gear addendum factor (related to m ) -
hap mn
k basic crown gear dedendum factor (related to m ) -
hfp mn
k circular thickness factor -
t
m outer transverse module mm
et
m mean normal module mm
mn
-1
n pinion speed min
P power kW
TTabablele 1 1 ((ccoonnttiinnueuedd))
Symbols Description or term Units
q angle modification °
k
R R outer cone distance mm
e1, e2
R R inner cone distance mm
i1, i2
R , R mean cone distance mm
m1 m2
r cutter radius mm
c0
s , s mean normal circular tooth thickness mm
mn1 mn2
s , s mean normal chordal tooth thickness mm
mnc1 mnc2
s , s mean transverse circular tooth thickness mm
mt1 mt2
T pinion torque Nm
t , t inner crown to crossing point mm
xi1 xi2
t , t outer crown to crossing point mm
xo1 xo2
t , t pitch apex beyond crossing point mm
z1 z2
t , t face apex beyond crossing point mm
zF1 zF2
t , t crossing point to mean point along axis mm
zm1 zm2
t , t root apex beyond crossing point mm
zR1 zR2
u gear ratio -
u equivalent ratio -
a
W wheel mean slot width mm
m2
x profile shift coefficient -
hm1
x , x thickness modification coefficient (backlash included) -
sm1 sm2
x thickness modification coefficient (theoretical) -
smn
z number of blade groups -
z , z number of teeth -
1 2
z number of crown gear teeth -
p
α nominal design pressure angle on coast side °
dC
α nominal design pressure angle on drive side °
dD
α effective pressure angle on coast side °
eC
α effective pressure angle on drive side °
eD
α generated pressure angle on coast side °
nC
α generated pressure angle on drive side °
nD
α limit pressure angle °
lim
β , β outer spiral angle °
e1 e2
β , β inner spiral angle °
i1 i2
β , β mean spiral angle °
m1 m2
Δb pinion face width increment mm
x1
Δg increment along pinion axis from calculation point to outside mm
xe
Δg increment along pinion axis from calculation point to inside mm
xi
ΔK incrementin hypoid dimension factor -
ΔΣ shaft angle departure from 90° °
δ , δ face angle °
a1 a2
δ , δ root angle °
f1 f2
δ , δ pitch angle °
1 2
ε face contact ratio -
β
η wheel offset angle in axial plane °

TTabablele 1 1 ((ccoonnttiinnueuedd))
Symbols Description or term Units
η second auxiliary angle (see ISO 23509-1:2025 , Figure 15) °
θ , θ addendum angle °
a1 a2
θ , θ dedendum angle °
f1 f2
ϑ auxiliary angle °
λ first auxiliary angle (see ISO 23509-1:2025 , Figure 15) °
ν lead angle of cutter °
ξ auxiliary angle °
ρ epicycloid base circle radius mm
b
ρ limit curvature radius mm
lim
ρ lengthwise tooth mean radius of curvature mm
mβ
ρ crown gear to cutter centre distance mm
P0
Σ shaft angle °
Σθ sum of dedendum angles °
f
Σθ sum of dedendum angles for constant slot width taper °
fC
Σθ sum of dedendum angles for modified slot width taper °
fM
Σθ sum of dedendum angles for standard taper °
fS
ζ pinion offset angle in face plane °
o
ζ ζ ζ pinion offset angle in axial plane (Method 1, Method 2, or Method 3) °
m,M1, m,M2, m,M3
ζ approximate pinion offset angle in axial plane (Method 2) °
mi,M2
ζ ζ pinion offset angle in pitch plane (Method 1, Method 2, or Method 3) °
mp,M1, mp,M2,
ζ
mp,M3
ζ approximate pinion offset angle in pitch plane (Method 1) °
mpi,M1
ζ' ζ' intermediate pinion offset angle in axial plane (Method 1, Method 2) °
m,M1, m,M2,
ζ' ζ' intermediate pinion offset angle in pitch plane (Method 1, Method 2) °
mp,M1, mp,M2,
ζ pinion offset angle in root plane °
R
φ intermediate or auxiliary angle °
Table 2 — General subscripts
Subscript Description
a addendum
b base
C coast side
D drive side
d nominal design
e effective, when used in connection with pressure angle outer, when used as a geomet-
ric reference
f dedendum
i inner, when used as a geometric reference approximate value, when used in connection
with pinion offset angle
lim limit
M1, M2, M3 Method 1, Method 2, Method 3
m mean
n normal
o face plane
p pitch plane
TTabablele 2 2 ((ccoonnttiinnueuedd))
Subscript Description
R root plane
t tangential, when used in connection with force transverse
1 refers to pinion
2 refers to wheel
5 Application
This document provides six sample calculations:
— Sample 1 (see Annex A) shows the geometry calculation of a spiral bevel gear pair without hypoid offset
according to Method 0;
— Sample 2 (see Annex B) shows the geometry calculation of a hypoid gear set according to Method 1;
— Sample 3 (see Annex C) shows the geometry calculation of a hypoid gear set according to Method 2;
— Sample 4 (see Annex D) shows the geometry calculation of a hypoid gear set according to Method 3;
— Sample 5 (see Annex E) shows the geometry calculation of a hypoid gear set according to Method 3;
— Sample 6 (see Annex F) shows the geometry calculation of a straight bevel gear pair without hypoid
offset according to Method 0.
Table 3 refers to each table of the annexes showing the input parameters and calculation results for the
different sample calculation steps.

Table 3 — Content of tables of Annexes A to F
Content of Table Sample 1 Sample 2 Sample 3 Sample 4 Sample 5 Sample 6
Initial data
Initial data for pitch cone parameters Table A.1 Table B.1 Table C.1 Table D.1 Table E.1 Table F.1
Input data for tooth profile param Table A.2 Table B.2 Table C.2 Table D.2 Table E.2 Table F.2
Transformation of data type II into data Table A.3 Table B.3 Table C.3 Table D.3 Table E.3 Table F.3
type I
Calculation of Samples
Determination of pitch cone parameters Table A.4 Table B.4 Table C.4 Table D.4 Table E.4 Table F.4
Determination of basic data Table A.5 Table B.5 Table C.5 Table D.5 Table E.5 Table F.5
Determination of root angles and face Table A.6 Table B.6 Table C.6 Table D.6 Table E.6 Table F.6
angles
Determination of tooth depth at calcula- Table A.7 Table B.7 Table C.7 Table D.7 Table E.7 Table F.7
tion point
Determination of root and face apexes Table A.8 Table B.8 Table C.8 Table D.8 Table E.8 Table F.8
Determination of pinion facewidth Table A.9 Table B.9 Table C.9 Table D.9 Table E.9 Table F.9
Determination of inner and outer spiral Table A.10 Table B.10 Table C.10 Table D.10 Table E.10 Table F.10
angles
Determination of tooth depth Table A.11 Table B.11 Table C.11 Table D.11 Table E.11 Table F.11
Determination of tooth thickness Table A.12 Table B.12 Table C.12 Table D.12 Table E.12 Table F.12
Determination of remaining gear dimen- Table A.13 Table B.13 Table C.13 Table D.13 Table E.13 Table F.13
sions
The symbols, terms and definitions used in this document are, wherever possible, consistent with other
international Standards. It is known, because of certain limitations, that some symbols, their terms and
definitions, as used in this document, are different from those used in similar literature pertaining to spur
and helical gearing.
Annex A
(informative)
Sample 1: Calculation of geometry for a spiral bevel gear pair without
hypoid offset according to ISO 23509-1:2025 , Method 0
A.1 Initial data
Sample 1 is for a spiral bevel gear pair without hypoid offset which uses Method 0 according to
ISO 23509-1:2025 .
Table A.1 — Initial data for calculation of pitch cone parameters
Symbol Description Method 0 Method 1 Method 2 Method 3
Σ shaft angle 90° X X X
a hypoid offset 0 mm X X X
z number of teeth 14/39 X X X
1,2
d mean pitch diameter of wheel - - X -
m2
d outer pitch diameter of wheel 176,893 mm X - X
e2
b wheel facewidth 25,4 mm X X X
β mean spiral angle of pinion - X - -
m1
β mean spiral angle of wheel 35° - X X
m2
r cutter radius 114,3 mm X X X
c0
z number of blade groups (only face - - X X
hobbing)
Table A.2 — Additional data for calculation of gear dimensions
Data type I Data type II
Symbol Value Symbol Value
α 20°
dD
α 20°
dC
f 0
αlim
x - c 0,247 37
hm1 ham
k - k 2,000
hap d
k - k 0,125
hfp c
x - k 0,091 5
smn t
W -
m2
j 0,127 mm
en
θ 2,134 2°
a2
θ 6,493 4°
f2
q 0°
k
Table A.3 — Transformation of data type II into data type I
Formula Result
0,505
1,25
0,046
A.2 Calculation of Sample 1 according to Method 0

Table A.4 — Determination of pitch cone parameters
References to ISO
Description Formula Result 23509-1:2025 E:For-
mula T:Table F:Figure
Determination of pitch cone parameters
Gear ratio 2,786 E: 1
(A.1)
Pinion pitch angle 19,747° E: 2

(A.2)
Wheel pitch angle 70,253° E: 3
(A.3)
Outer cone distance 93,973 mm E: 4

(A.4)
Mean cone distance 81,273 mm E: 5

(A.5)
Mean spiral angle pinion 35,000° E: 6
(A.6)
Facewidth factor 0,5 E: 7
(A.7)
Table A.5 — Determination of basic data
References to ISO
Description Formula Result 23509-1:2025 E:For-
mula T:Table F:Figure
Determination of basic data
Pinion mean pitch diameter 54,918 mm E: 110

(A.8)
Wheel mean pitch diameter 152,987 mm E: 111

(A.9)
Shaft angle departure from 90° 0° E: 112
(A.10)
Offset angle in the pinion axial 0,000° E: 113
plane
(A.11)
Offset angle in the pitch plane 0,000° E: 114

(A.12)
Offset in pitch plane 0,000 mm E: 115

(A.13)
Mean normal module 3,213 mm E: 116

(A.14)
Limit pressure angle 0° E: 117

(A.15)
Generated normal pressure 20° E: 118
angle, drive side
(A.16)
Generated normal pressure 20° E: 119
angle, coast side
(A.17)
Effective pressure angle, drive 20° E: 120
(A.18)
side
Effective pressure angle, coast 20° E: 121
(A.19)
side
Table A.5 (continued)
References to ISO
Description Formula Result 23509-1:2025 E:For-
mula T:Table F:Figure
Outer pitch cone distance, 93,973 mm E: 122
wheel (A.20)
Inner pitch cone distance, 68,573 mm E: 123
wheel
(A.21)
Outer pitch diameter, wheel 176,893 mm E: 124

(A.22)
Inner pitch diameter, wheel 129,080 mm E: 125

(A.23)
Outer transverse module 4,536 mm E: 126

(A.24)
Wheel face width from calcula- 12,700 mm E: 127
tion point to outside
(A.25)
Wheel face width from calcula- 12,700 mm E. 128
tion point to inside (A.26)
Crossing point to calculation 27,459 mm E: 129
point along wheel axis
(A.27)
Crossing point to calculation 76,493 mm E: 130
point along pinion axis
(A.28)
Pitch apex beyond crossing 0 mm E: 131

point along axis
(A.29)
Determination of tooth forces
Axial force on the pinion, drive E: D.3
side
(A.30)
Axial force on the wheel, drive E: D.4
side
(A.31)
Axial force on the pinion, coast E: D.5
side
(A.32)
Table A.5 (continued)
References to ISO
Description Formula Result 23509-1:2025 E:For-
mula T:Table F:Figure
Axial force on the wheel, coast E: D,.6
side
(A.33)
Radial force on the pinion, E: D.7
drive side
(A.34)
Radial force on the wheel, drive E: D.8
side
(A.35)
Radial force on the pinion, E: D.9
coast side
(A.36)
Radial force on the wheel, coast E: D.10
side
(A.37)
Table A.6 — Determination of root angles and face angles
References to ISO
Description Formula Result 23509-1:2025 E:For-
mula T:Table F:Figure
Determination of root angles and face angles (for non-uniform tooth depth)

Face angle, wheel 72,387° E: 132
(A.38)
Root angle, wheel 63,760° E: 133
(A.39)
Auxiliary angle for calculat- 0° E: 134
ing pinion offset angle in root

plane
(A.40)
Auxiliary angle for calculating 0° E: 135
pinion offset angle in face plane

(A.41)
Pinion offset angle in root 0° E: 136
plane
(A.42)
Pinion offset angle in face plane 0° E: 137

(A.43)
Face angle, pinion 26,240° E: 138

(A.44)
Root angle, pinion 17,613° E: 139

(A.45)
Addendum angle, pinion 6,493° E: 146
(A.46)
Dedendum angle, pinion 2,134° E: 147
(A.47)
Table A.7 — Determination of tooth depth at calculation point
References to ISO
Descritpion Formula Result 23509-1:2025 E:For-
mula T:Table F:Figure
Mean addendum, wheel 1,591 mm E: 148

(A.48)
Mean dedendum, wheel 5,639 mm E: 149

(A.49)
Mean addendum, pinion 4,836 mm E: 150

(A.50)
Mean dedendum, pinion 2,394 mm E: 151

(A.51)
Mean working depth 6,427 mm E: 152
(A.52)
Mean whole depth 7,230 mm E: 153

(A.53)
Clearance 0,803 mm E: 154
(A.54) 0,803 mm
Table A.8 — Determination of root and face apexes
References to ISO
Description Formula Result 23509-1:2025 E:For-
mula T:Table F:Figure
Wheel face apex beyond cross- -1,508 mm E: 155
ing point along wheel axis
(A.55)
Wheel root apex beyond cross- 3,999 mm E: 156
ing point along wheel axis
(A.56)
Pinion face apex beyond cross- -9,919 mm E: 157
ing point along pinion axis
(A.57)
Pinion root apex beyond cross- 2,095 mm E: 158
ing point along pinion axis
(A.58)
Table A.9 — Determination of pinion face width
References to ISO
Description Formula Result 23509-1:2025 E:For-
mula T:Table F:Figure
Determination of pinion face width
Pinion facewidth in pitch plane 25,400 mm E: 159

(A.59)
Pinion facewidth from calcula- 12,700 mm E: 160

tion point to front crown
(A.60)
Method 0
Pinion facewidth 25,400 mm E: 161
(A.61)
Pinion facewidth from calcula- 12,700 mm E: 162
tion point to outside
(A.62)
Pinion facewidth from calcula- 12,700 mm E: 163
tion point to inside (A.63)
Table A.10 — Determination of inner and outer spiral angles
References to ISO
Description Formula Result 23509-1:2025 E:For-
mula T:Table F:Figure
Determination of inner and outer spiral angles
Pinion
Wheel cone distance of outer 93,973 mm E: 179

pinion boundary point
(A.64)
Wheel cone distance of inner 68,573 mm E: 180

pinion boundary point
(A.65)
Face milling
Wheel spiral angle at outer 36,846° E: 188
boundary point
(A.66)
Wheel spiral angle at inner 33,946° E: 189
boundary point
(A.67)
Face hobbing and face milling
Pinion offset angle in pitch 0° E: 190
plane at outer boundary point
(A.68)
Pinion offset angle in pitch 0° E: 191
plane at inner boundary point
(A.69)
Outer pinion spiral angle 36,846° E: 192

(A.70)
Inner pinion spiral angle 33,946° E: 193

(A.71)
Wheel
Table A.10 (continued)
References to ISO
Description Formula Result 23509-1:2025 E:For-
mula T:Table F:Figure
Face milling
Outer wheel spiral angle 36,846° E: 198

(A.72)
Inner wheel spiral angle 33,946° E: 199

(A.73)
Table A.11 — Determination of tooth depth
References to ISO
Description Formula Result 23509-1:2025 E:For-
mula T:Table F:Figure
Determination of tooth depth
Outer addendum 6,281 mm E: 200

(A.74) 2,064 mm
Outer dedendum 2,867 mm E: 201

7,085 mm
(A.75)
Outer whole depth 9,149 mm E: 202
(A.76) 9,149 mm
Inner addendum 3,391 mm E: 203

(A.77) 1,117 mm
Inner dedendum 1,921 mm E: 204

4,194 mm
(A.78)
Inner whole depth 5,311 mm E: 205
(A.79)
5,311 mm
Table A.12 — Determination of tooth thickness
References to ISO
Description Formula Result 23509-1:2025 E:For-
mula T:Table F:Figure
Determination of tooth thickness
Mean normal pressure angle 20° E: 206

(A.80)
Thickness modification coeffi- with outer normal backlash, j 0,037 E: 207
en
cient, pinion
(A.81)
Mean normal circular tooth 6,465 mm E: 211
thickness, pinion
(A.82)
Thickness modification coeffi- with outer normal backlash, j -0,055 E: 212
en
cient, wheel
(A.83)
Mean normal circular tooth 3,511 mm E: 216
thickness, wheel
(A.84)
Mean transverse circular tooth 7,892 mm E: 217
thickness
4,286 mm
(A.85)
Mean normal diameter 82,241 mm E: 218
638,207 mm
(A.86)
Mean normal chordal tooth 6,458 mm E: 219
thickness
3,511 mm
(A.87)
Mean chordal addendum 4,963 mm E: 220
1,595 mm
(A.88)
Table A.13 — Determination of remaining gear dimensions
References to ISO
Description Formula Result 23509-1:2025 E:For-
mula T:Table F:Figure
Determination of remaining gear dimensions

Outer pitch cone distance, 93,973 mm E: 221
pinion (A.89)
Inner pitch cone distance, 68,573 mm E: 222
pinion (A.90)
Outer pitch diameter, pinion 63,500 mm E: 223

(A.91)
Inner pitch diameter, pinion 46,337 mm E: 224

(A.92)
Outside diameter 75,324 mm E: 225

(A.93) 178,288 mm
Outer root diameter 58,103 mm E: 226

172,106 mm
(A.94)
Inner outside diameter 52,719 mm E: 227

(A.95) 129,835 mm
Inner root diameter 42,721 mm E: 228

126,246 mm
(A.96)
Outer crown to crossing point 86,324 mm E: 229

(A.97) 29,808 mm
Inner crown to crossing point 63,395 mm E: 230

(A.98) 22,117 mm
Pinion whole depth, perpendic- 9,142 mm E: 231
ular to the root cone
(A.99)
Annex B
(informative)
Sample 2: Rating of a hypoid gear set according to ISO 23509-1:2025,
Method 1
B.1 Initial data
Sample 2 is for a hypoid gear pair which uses Method 1 according to ISO 23509-1:2025.
Table B.1 — Initial data for calculation of pitch cone parameters
Symbol Description Method 0 Method 1 Method 2 Method 3
Σ shaft angle X 90° X X
a hypoid offset 0,0 15 mm X X
z number of teeth X 13 / 42 X X
1,2
d mean pitch diameter of wheel - - X -
m2
d outer pitch diameter of wheel X 170 mm - X
e2
b wheel facewidth X 30 mm X X
β mean spiral angle of pinion - 50° - -
m1
β mean spiral angle of wheel X - X X
m2
r cutter radius X 63,5 mm X X
c0
z number of blade groups (only face X - X X
hobbing)
Table B.2 — Additional data for calculation of gear dimensions
Data type I Data type II
Symbol Value Symbol Value
α 20°
dD
α 20°
dC
f 1
αlim
x - c 0,35
hm1 ham
k - k 2,000
hap d
k - k 0,125
hfp c
x - k 0,1
smn t
W -
m2
j 0,2 mm
et2
θ 1°
a2
θ 4°
f2
q 0°
k
Table B.3 — Transformation of data type II into data type I
Formula Result
0,3
1,25
0,05
B.2 Calculation of Sample 2 according to Method 1

Table B.4 — Determination of pitch cone parameters
References to ISO
Description Formula Result 23509-1:2025 E:For-
mula T:Table F:Figure
Determination of pitch cone parameters
Gear ratio 3,231 E: 8
(B.1)
Desired pinion spiral angle 50° E. 9
(B.2)
Shaft angle departure from 90° 0° E: 10
(B.3)
Approximate wheel pitch angle 69,624° E: 11

(B.4)
Wheel mean pitch radius 70,939 mm E: 12

(B.5)
Approximate pinion offset 11,433° E: 13
angle in pitch plane
(B.6)
Approximate hypoid dimension 1,216 E: 14

factor
(B.7)
Approximate pinion mean 26,708 mm E: 15
radius
(B.8)
Start of iteration
- First trial -
Wheel offset angle in axial 3,942° E: 16
plane
(B.9)
Intermediate pinion offset 10,694° E: 17
angle in axial plane
(B.10)
Table B.4 (continued)
References to ISO
Description Formula Result 23509-1:2025 E:For-
mula T:Table F:Figure
Intermediate pinion pitch angle 20,001° E: 18

(B.11)
Intermediate pinion offset 11,390° E: 19
angle in pitch plane
(B.12)
Intermediate pinion mean 50,087° E: 20
spiral angle
(B.13)
Increment in hypoid dimension E: 21

factor
(B.14)
Pinion mean radius increment E: 22

(B.15)
Pinion offset angle in axial 10,695° E: 23
plane
(B.16)
Pinion pitch angle 20,000° E: 24

(B.17)
Pinion offset angle in pitch 11,391° E: 25
plane
(B.18)
Mean spiral angle, pinion 49,998° E: 26

(B.19)
Mean spiral angle, wheel 38,608° E: 27

(B.20)
Table B.4 (continued)
References to ISO
Description Formula Result 23509-1:2025 E:For-
mula T:Table F:Figure
Wheel pitch angle 69,631° E: 28

(B.21)
Mean cone distance, pinion 78,045 mm E: 29

(B.22)
Mean cone distance, wheel 75,670 mm E: 30

(B.23)
Mean pinion radius 26,692 mm E: 31

(B.24)
Limit pressure angle -3,098° E: 32

(B.25)
Limit radius of curvature 71,539 mm E: 33

(B.26)
Face milling
β
Lengthwise tooth mean radius 63,5 mm E: 40
of curvature
(B.27)
Table B.4 (continued)
References to ISO
Description Formula Result 23509-1:2025 E:For-
mula T:Table F:Figure
Here, the iteration is implemented using the Newton-Raphson method, with the termination criterion defined as a function of η.
The derivative at the point is formed using a finite difference quotient, assuming a fixed step size of . The determination of for
the subsequent iteration is given below.
1.)
2.)
3.)
4.)
The next iteration starts with .
- Last trial -
Wheel offset angle in axial 4,183° E: 16
plane
(B.28)
Intermediate pinion offset 10,602° E: 17
angle in axial plane
(B.29)
Intermediate pinion pitch angle 21,290° E: 18

(B.30)
Intermediate pinion offset 11,389° E: 19
angle in pitch plane
(B.31)
Intermediate pinion mean 50,089° E: 20
spiral angle
(B.32)
Increment in hypoid dimension E: 21

factor
(B.33)
Table B.4 (continued)
References to ISO
Description Formula Result 23509-1:2025 E:For-
mula T:Table F:Figure
Pinion mean radius increment E: 22

(B.34)
Pinion offset angle in axial 10,603° E: 23
plane
(B.35)
Pinion pitch angle 21,288° E: 24

(B.36)
Pinion offset angle in pitch 11,390° E: 25
plane
(B.37)
Mean spiral angle, pinion 49,998° E: 26

(B.38)
Mean spiral angle, wheel 38,609° E: 27
(B.39)
Wheel pitch angle 68,324° E: 28

(B.40)
Mean cone distance, pinion 73,521 mm E: 29

(B.41)
Mean cone distance, wheel 76,337 mm E: 30

(B.42)
Mean pinion radius 26,692 mm E: 31

(B.43)
Limit pressure angle -2,254° E: 32

(B.44)
Table B.4 (continued)
References to ISO
Description Formula Result 23509-1:2025 E:For-
mula T:Table F:Figure
Limit radius of curvature 63,500 mm E: 33

(B.45)
Face milling
β
Lengthwise tooth mean radius 63,5 mm E: 40
of curvature
(B.46)
Facewidth factor 0,504 E: 41
(B.47)
End of iteration
Table B.5 — Determination of basic data
References to ISO
Description Formula Result 23509-1:2025 E:For-
mula T:Table F:Figure
Determination of basic data
Pinion mean pitch diameter 53,384 mm E: 110

(B.48)
Wheel mean pitch diameter 141,877 mm E: 111

(B.49)
Shaft angle departure from 90° 0° E: 112
(B.50)
Offset angle in the pinion axial 10,603° E: 113
plane
(B.51)
Offset angle in the pitch plane 11,390° E: 114

(B.52)
Offset in pitch plane 15,075 mm E: 115

(B.53)
Mean normal module 2,640 mm E: 116

(B.54)
Limit pressure angle -2,254° E: 117

(B.55)
Generated normal pressure 17,746° E: 118
angle, drive side
(B.56)
Generated normal pressure 22,254° E: 119
angle, coast side
(B.57)
Effective pressure angle, drive 20° E: 120
(B.58)
side
Effective pressure angle, coast 20° E: 121
(B.59)
side
Table B.5 (continued)
References to ISO
Description Formula Result 23509-1:2025 E:For-
mula T:Table F:Figure
Outer pitch cone distance, 91,468 mm E: 122
wheel (B.60)
Inner pitch cone distance, 61,468 mm E: 123
wheel
(B.61)
Outer pitch diameter, wheel 170 mm E: 124

(B.62)
Inner pitch diameter, wheel 114,243 mm E: 125

(B.63)
Outer transverse module 4,048 mm E: 126

(B.64)
Wheel face width from calcula- 15,131 mm E: 127
tion point to outside
(B.65)
Wheel face width from calcula- 14,869 mm E. 128
tion point to inside (B.66)
Crossing point to calculation 26,621 mm E: 129
point along wheel axis
(B.67)
Crossing point to calculation 69,727 mm E: 130
point along pinion axis
(B.68)
Pitch apex beyond crossing -1,223 mm E: 131

point along axis
1,575 mm
(B.69)
Determination of tooth forces
Axial force on the pinion, drive E: D.3
side
(B.70)
Axial force on the wheel, drive E: D.4
side
(B.71)
Axial force on the pinion, coast E: D.5
side
(B.72)
Table B.5 (continued)
References to ISO
Description Formula Result 23509-1:2025 E:For-
mula T:Table F:Figure
Axial force on the wheel, coast E: D,.6
side
(B.73)
Radial force on the pinion, E: D.7
drive side
(B.74)
Radial force on the wheel, drive E: D.8
side
(B.75)
Radial force on the pinion, E: D.9
coast side
(B.76)
Radial force on the wheel, coast E: D.10
side
(B.77)
Table B.6 — Determination of root angles and face angles
References to ISO
Description Formula Result 23509-1:2025 E:For-
mula T:Table F:Figure
Determination of root angles and face angles (for non-uniform tooth depth)

Face angle, wheel 69,324° E: 132
(B.78)
Root angle, wheel 64,324° E: 133
(B.79)
Auxiliary angle for calculat- 0° E: 134
ing pinion offset angle in root

plane
(B.80)
Auxiliary angle for calculating 0° E: 135
pinion offset angle in face plane

(B.81)
Pinion offset angle in root 10,319° E: 136
plane
(B.82)
Pinion offset angle in face plane 10,674° E: 137

(B.83)
Face angle, pinion 25,231° E: 138

(B.84)
Root angle, pinion 20,302° E: 139

(B.85)
Addendum angle, pinion 3,944° E: 146
(B.86)
Dedendum angle, pinion 0,985° E: 147
(B.87)
Table B.7 — Determination of tooth depth at calculation point
References to ISO
Descritpion Formula Result 23509-1:2025 E:For-
mula T:Table F:Figure
Determination of tooth depth at calculation point
Mean addendum, wheel 1,848 mm E: 148

(B.88)
Mean dedendum, wheel 4,092 mm E: 149

(B.89)
Mean addendum, pinion 3,432 mm E: 150

(B.90)
Mean dedendum, pinion 2,508 mm E: 151

(B.91)
Mean working depth 5,279 mm E: 152
(B.92)
Mean whole depth 5,939 mm E: 153
(B.93)
Clearance 0,660 mm E: 154
(B.94)
0,660 mm
Table B.8 — Determination of root and face apexes
References to ISO
Description Formula Result 23509-1:2025 E:For-
mula T:Table F:Figure
Wheel face apex beyond cross- 2,125 mm E: 155
ing point along wheel axis
(B.95)
Wheel root apex beyond cross- 2,954 mm E: 156
ing point along wheel axis
(B.96)
Pinion face apex beyond cross- -5,053 mm E: 157
ing point along pinion axis
(B.97)
Pinion root apex beyond cross- -4,805 mm E: 158
ing point along pinion axis
(B.98)
Table B.9 — Determination of pinion face width
References to ISO
Description Formula Result 23509-1:2025 E:For-
mula T:Table F:Figure
Determination of pinion face width
Pinion facewidth in pitch plane 30,626 mm E: 159

(B.99)
Pinion facewidth from calcula- 15,243 mm E: 160

tion point to front crown
(B.100)
Method 1
Auxiliary angle 1,239° E: 164
(B.101)
Pinion facewidth 30,470 mm E: 165

(B.102)
Pinion facewidth increment 0,653 mm E: 166
along pinion axis
(B.103)
Increment along pinion axis 13,342 mm E: 167
from calculation point to out-

side
(B.104)
Increment along pinion axis 15,592 mm E: 168
from calculation point to inside

(B.105)
Pinion facewidth from calcula- 16,089 mm E: 169
tion point to outside
(B.106)
Pinion facewidth from calcula- 15,822 mm E: 170
tion point to inside
(B.107)
Pinion facewidth along pitch 31,910 mm E: 171
cone
(B.108)
Table B.10 — Determination of inner and outer spiral angles
References to ISO
Description Formula Result 23509-1:2025 E:For-
mula T:Table F:Figure
Determination of inner and outer spiral angles
Pinion
Wheel cone distance of outer 92,163 mm E: 179

pinion boundary point
(B.109)
Wheel cone distance of inner 60,907 mm E: 180

pinion boundary point
(B.110)
Face milling
Wheel spiral angle at outer 48,131° E: 188
boundary point
(B.111)
Wheel spiral angle at inner 30,551° E: 189
boundary point
(B.112)
Face hobbing and face milling
Pinion offset angle in pitch 9,414° E: 190
plane at outer boundary point
(B.113)
Pinion offset angle in pitch 14,330° E: 191
plane at inner boundary point
(B.114)
Outer pinion spiral angle 57,545° E: 192

(B.115)
Inner pinion spiral angle 44,881° E: 193

(B.116)
Wheel
Table B.10 (continued)
References to ISO
Description Formula Result 23509-1:2025 E:For-
mula T:Table F:Figure
Face milling
Outer wheel spiral angle 47,676° E: 198

(B.117)
Inner wheel spiral angle 30,828° E: 199

(B.118)
Table B.11 — Determination of tooth depth
References to ISO
Description Formula Result 23509-1:2025 E:For-
mula T:Table F:Figure
Determination of tooth depth
Outer addendum 4,541 mm E: 200

(B.119) 2,112 mm
Outer dedendum 2,784 mm E: 201

5,150 mm
(B.120)
Outer whole depth 7,325 mm E: 202
(B.121) 7,262 mm
Inner addendum 2,341 mm E: 203

(B.122) 1,588 mm
Inner dedendum 2,236 mm E: 204

3,052 mm
(B.123)
Inner whole depth 4,576 mm E: 205
(B.124)
4,640 mm
Table B.12 — Determination of tooth thickness
References to ISO
Description Formula Result 23509-1:2025 E:For-
mula T:Table F:Figure
Determination of tooth thickness
Mean normal pressure angle 20° E: 206

(B.125)
Thickness modification coeffi- with outer normal backlash, j 0,038 E: 208
et2
cient, pinion
(B.126)
Mean normal circular tooth 4,922 mm E: 211

thickness, pinion
(B.127)
Thickness modification coeffi- with o
...

Rapport
technique
ISO/TR 23509-2
Première édition
Géométrie des engrenages coniques
2026-08
et hypoïdes —
Partie 2:
Exemples de calcul
Bevel and hypoid gear geometry —
Part 2: Sample calculations
Numéro de référence
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CH-1214 Vernier, Genève
Tél.: [phone]
E-mail: [e-mail]
Web: www.iso.org
Publié en Suisse
ii
Sommaire Page
Avant-propos .iv
Introduction .v
1 Domaine d'application . 1
2 Références normatives . 1
3 Termes et définitions . 1
4 Symboles et termes abrégés . 1
5 Application . 5
Annexe A (informative) Exemple 1: Calcul de la géométrie pour un engrenage spiroconique
sans décalage hypoïde selon l'ISO 23509-1:2025, Méthode 0 . 8
Annexe B (informative) Exemple 2: Capacité de charge d'un train d'engrenages hypoïdes selon
l'ISO 23509-1:2025, Méthode 1 .23
Annexe C (informative) Exemple 3: Capacité de charge d'un train d'engrenages hypoïdes selon
l'ISO 23509-1:2025, Méthode 2 .43
Annexe D (informative) Exemple 4: Capacité de charge d'un train d'engrenages hypoïdes selon
l'ISO 23509-1:2025, Méthode 3 .65
Annexe E (informative) Exemple 5: Capacité de charge d'un train d'engrenages hypoïdes avec
modification d'angle et angle des axes de 60° selon l'ISO 23509-1:2025, Méthode 3 .83
Annexe F (informative) Exemple 6: Calcul de la géométrie pour un engrenage conique droit
sans décalage hypoïde selon l'ISO 23509-1:2025, Méthode 0 .101
Bibliographie .115

iii
Avant-propos
L'ISO (Organisation internationale de normalisation) est une fédération mondiale d'organismes nationaux
de normalisation (comités membres de l'ISO). L'élaboration des Normes internationales est en général
confiée aux comités techniques de l'ISO. Chaque comité membre intéressé par une étude a le droit de
faire partie du comité technique créé à cet effet. Les organisations internationales, gouvernementales
et non gouvernementales, en liaison avec l'ISO participent également aux travaux. L'ISO collabore
étroitement avec la Commission électrotechnique internationale (IEC) en ce qui concerne la normalisation
électrotechnique. Les procédures utilisées pour élaborer le présent document et celles destinées à sa mise
à jour sont décrites dans les Directives ISO/IEC, Partie 1. Il convient, en particulier, de prendre note des
différents critères d'approbation requis pour les différents types de documents ISO. Le présent document
a été rédigé conformément aux règles de rédaction données dans les Directives ISO/IEC, Partie 2 (voir
www.iso.org/directives).
L'ISO attire l'attention sur le fait que la mise en application du présent document peut entraîner l'utilisation
d'un ou de plusieurs brevets. L'ISO ne prend pas position quant à la preuve, à la validité et à l'applicabilité de
tout droit de brevet revendiqué à cet égard. À la date de publication du présent document, l'ISO n'avait pas
reçu notification qu'un ou plusieurs brevets pouvaient être nécessaires à sa mise en application. Toutefois,
il y a lieu d'avertir les responsables de la mise en application du présent document que des informations
plus récentes sont susceptibles de figurer dans la base de données de brevets, disponible à l'adresse
www.iso.org/brevets. L'ISO ne saurait être tenue pour responsable de ne pas avoir identifié tout ou partie de
tels droits de brevet.
Les appellations commerciales éventuellement mentionnées dans le présent document sont données pour
information, par souci de commodité, à l'intention des utilisateurs et ne sauraient constituer un engagement.
Pour une explication de la nature volontaire des normes, la signification des termes et expressions
spécifiques de l'ISO liés à l'évaluation de la conformité, ou pour toute information au sujet de l'adhésion de
l'ISO aux principes de l'Organisation mondiale du commerce (OMC) concernant les obstacles techniques au
commerce (OTC), voir www.iso.org/iso/fr/avant-propos.html.
Le présent document a été élaboré par le comité technique ISO/TC 60, Engrenages, sous-comité SC 2, Calcul
de la capacité des engrenages.
Une liste de toutes les parties de la série ISO 23509 se trouve sur le site web de l'ISO.
Il convient que l'utilisateur adresse tout retour d'information ou toute question concernant le présent
document à l'organisme national de normalisation de son pays. Une liste exhaustive desdits organismes se
trouve à l'adresse www.iso.org/fr/members.html.

iv
Introduction
Pendant plusieurs décennies, les informations relatives à la géométrie des engrenages coniques, et plus
particulièrement des engrenages hypoïdes, ont été collectées et publiées par les constructeurs de machines
à tailler les engrenages. Il est clair que les formules spécifiques à leur géométrie respective ont été établies
pour les méthodes de génération mécanique des machines et outils propres aux constructeurs. Dans de
nombreux cas, ces formules ne peuvent être utilisées pour tous les types d'engrenage conique. Cette situation
a évolué grâce à l'introduction des machines à commande numérique (CNC) universelles, multiaxes, qui en
principe sont capables de produire tous les types d'engrenage. En conséquence, les constructeurs ont dû
fournir des programmes CNC adaptés à la géométrie des différentes méthodes de génération d'engrenage
conique présentes sur leurs machines.
Le présent document intègre, dans un ensemble complet de formules, les engrenages coniques droits ainsi
que les trois principales méthodes de conception des engrenages spiroconiques. Seuls quelques aspects
particuliers nécessiteront l'application de formules propres à chaque méthode. La structure des formules
permet leur programmation directe, ce qui donne la possibilité à l'utilisateur de comparer les différentes
conceptions.
Les formules des trois méthodes sont élaborées pour le cas général des engrenages hypoïdes et le calcul
associé au cas particulier des engrenages spiroconiques s'effectue en définissant un décalage hypoïde égal
à zéro. Par ailleurs, les géométries sont telles que chaque paire de roues dentées est constituée d'une roue
générée ou non sans décalage et d'un pignon généré et associé au décalage hypoïde total.
Le présent document a été élaboré avec des exemples de calculs pour différentes conceptions d'engrenages
coniques. Ils sont destinés aux utilisateurs de la série ISO 23509, pour suivre un mode opératoire de calcul
complet, formule par formule. L'expérience pratique a montré que cette manière d'aborder un sujet complexe
est très utile.
D'autre part, le présent document n'est pas destiné à être utilisé par l'ingénieur moyen. Il s'adresse plutôt à
des ingénieurs expérimentés capables de sélectionner, pour chacun des paramètres et des facteurs employés
dans les formules, des valeurs raisonnables sur la base de leurs connaissances en matière de conception
d'engrenages similaires et conscients des effets de ces formules.

v
Rapport technique ISO/TR 23509-2:2026(fr)
Géométrie des engrenages coniques et hypoïdes —
Partie 2:
Exemples de calcul
1 Domaine d'application
Le présent document fournit des exemples de calculs pour différentes conceptions d'engrenages coniques,
expliquant comment la géométrie est déterminée numériquement selon les méthodes et les formules de
l'ISO 23509-1:2025.
Le terme «engrenage conique» est utilisé pour désigner les engrenages coniques droits, hélicoïdaux (lignes
de flancs obliques), spiroconiques, coniques Zerol et hypoïdes. Lorsque le présent document ne fait référence
qu'à certains de ces types d'engrenage, les formes spécifiques sont alors identifiées.
Il n'est pas prévu que le procédé d'usinage de la forme de denture souhaitée implique un procédé spécifique.
Il est, au contraire, de nature générale et applicable à toutes les méthodes de fabrication.
La géométrie pour le calcul des facteurs utilisés pour la capacité de charge des engrenages coniques, tel que
spécifié dans les références [1], [2] et [3], est également incluse.
2 Références normatives
Les documents suivants sont cités dans le texte de sorte qu'ils constituent, pour tout ou partie de leur
contenu, des exigences du présent document. Pour les références datées, seule l'édition citée s'applique. Pour
les références non datées, la dernière édition du document de référence s'applique (y compris les éventuels
amendements).
ISO 1122-1, Vocabulaire des engrenages — Partie 1: Définitions géométriques
ISO 23509-1:2025, Géométrie des engrenages coniques et hypoïdes — Partie 1: Méthodes de base
3 Termes et définitions
Pour les besoins du présent document, les termes et définitions donnés dans l'ISO 1122-1, l'ISO 23509-1:2025
ainsi que les suivants, s'appliquent.
L'ISO et l'IEC tiennent à jour des bases de données terminologiques destinées à être utilisées en normalisation,
consultables aux adresses suivantes:
— ISO Online browsing platform: disponible à l'adresse http:// www .iso .org/ obp
— IEC Electropedia: disponible à l'adresse http:// www .electropedia .org/
4 Symboles et termes abrégés
Pour les besoins du présent document, les symboles et les unités donnés dans le Tableau 1 et le Tableau 2
s'appliquent.
Tableau 1 — Symboles et unités utilisés dans le présent document
Symboles Description ou terme Unités
A variable intermédiaire -
a décalage hypoïde mm
b , b largeur de denture mm
1 2
b , b largeur de denture du point de calcul vers l'extérieur mm
e1 e2
b , b largeur de denture du point de calcul vers l'intérieur mm
i1 i2
c , c vide à fond de dent mm
1 2
c facteur de largeur de denture -
be2
c facteur de saillie de la roue moyen -
ham
d , d diamètre extérieur mm
ae1 ae2
d , d diamètre de tête intérieur mm
ai1 ai2
d , d diamètre primitif de fonctionnement extérieur mm
e1 e2
d , d diamètre de pied extérieur mm
fe1 fe2
d , d diamètre de pied intérieur mm
fi1 fi2
d , d diamètre primitif de fonctionnement moyen mm
m1 m2
F axial force N
ax
F , F force tangentielle au niveau du diamètre moyen N
mt1 mt2
F force radiale N
rad
f facteur d'influence de l'angle de pression limite -
αlim
h , h saillie extérieure mm
ae1 ae2
h , h saillie intérieure mm
ai1 ai2
h , h saillie moyenne mm
am1 am2
h , h saillie moyenne à la corde mm
amc1 amc2
h , h hauteur de dent extérieure mm
e1 e2
h , h creux extérieur mm
fe1 fe2
h , h creux intérieur mm
fi1 fi2
h , h creux moyen mm
fm1 fm2
h hauteur de dent intérieure mm
i1,2
h hauteur de dent moyenne mm
m
h hauteur utile moyenne mm
mw
h hauteur de dent total du pignon mm
t1
j jeu de battement normal extérieur mm
en
j jeu de battement apparent extérieur mm
et
j jeu de battement normal moyen mm
mn
j jeu de battement apparent moyen mm
mt
K , K , K approximation du facteur de dimension hypoïde (l'indice indique la méthode -
M1 M2 M3
utilisée)
k facteur de vide à fond de dent -
c
k facteur de hauteur de dent -
d
k facteur de saillie de la roue plate virtuelle de référence (par rapport à m ) -
hap mn
k facteur de creux de la roue plate virtuelle de référence (par rapport à m ) -
hfp mn
k facteur d'épaisseur de dent apparente -
t
m module apparent extérieur mm
et
m module normal moyen mm
mn
−1
n vitesse du pignon min
TTabableleaauu 1 1 ((ssuuiitte)e)
Symboles Description ou terme Unités
P puissance kW
q modification d'angle °
k
R R génératrice extérieure du cône primitif de fonctionnement mm
e1, e2
R R génératrice intérieure du cône primitif de fonctionnement mm
i1, i2
R , R génératrice moyenne du cône primitif de fonctionnement mm
m1 m2
r rayon de l'outil mm
c0
s , s épaisseur de dent circulaire normale moyenne mm
mn1 mn2
s , s épaisseur de dent normale moyenne à la corde mm
mnc1 mnc2
s , s épaisseur de dent circulaire apparente moyenne mm
mt1 mt2
T couple du pignon Nm
t , t distance du point intérieur du cône de tête au sommet du cône au point d'inter- mm
xi1 xi2
section
t , t distance du point extérieur du cône de tête au sommet du cône au point mm
xo1 xo2
d'intersection
t , t sommet primitif de fonctionnement au-delà du point d'intersection mm
z1 z2
t , t sommet du cône de tête au-delà du point d'intersection mm
zF1 zF2
t , t distance entre le point d'intersection et un point moyen le long de l'axe mm
zm1 zm2
t , t sommet du cône de pied au-delà du point d'intersection mm
zR1 zR2
u rapport d'engrenage -
u rapport équivalent -
a
W largeur de rainure moyenne de la roue mm
m2
x coefficient de déport -
hm1
x , x coefficient de modification de l'épaisseur de dent (jeu de battement inclus) -
sm1 sm2
x coefficient de modification de l'épaisseur de dent (théorique) -
smn
z nombre de groupes de lames -
z , z nombre de dents -
1 2
z nombre de dents de la roue plate virtuelle -
p
α angle de pression nominal de conception flanc convexe pignon en prise °
dC
α angle de pression nominal de conception flanc concave pignon en prise °
dD
α angle de pression effectif flanc convexe pignon en prise °
eC
α angle de pression effectif flanc concave pignon en prise °
eD
α angle de pression normal généré flanc convexe pignon en prise °
nC
α angle de pression normal généré flanc concave pignon en prise °
nD
α angle de pression limite °
lim
β , β angle de spirale extérieur °
e1 e2
β , β angle de spirale intérieur °
i1 i2
β , β angle de spirale moyen °
m1 m2
Δb incrément de largeur de denture du pignon mm
x1
Δg incrément le long de l'axe du pignon à partir du point de calcul vers l'extérieur mm
xe
Δg incrément le long de l'axe du pignon à partir du point de calcul vers l'intérieur mm
xi
ΔK incrément du facteur de dimension hypoïde -
ΔΣ écart de l'angle des axes à partir de 90° °
δ , δ angle de tête °
a1 a2
δ , δ angle de pied °
f1 f2
δ , δ angle primitif de fonctionnement °
1 2
TTabableleaauu 1 1 ((ssuuiitte)e)
Symboles Description ou terme Unités
ε rapport de conduite -
β
η angle de décalage de la roue dans le plan axial °
η deuxième angle auxiliaire (voir ISO 23509-1:2025, Figure 15) °
θ , θ angle de saillie °
a1 a2
θ , θ angle de creux °
f1 f2
ϑ angle auxiliaire °
λ premier angle auxiliaire (voir ISO 23509-1:2025, Figure 15) °
ν inclinaison de l'outil °
ξ angle auxiliaire °
ρ rayon du cercle de base épicycloïde mm
b
ρ rayon de courbure limite mm
lim
ρ rayon de courbure moyen de la denture dans le sens longitudinal mm
mβ
ρ entraxe roue plate virtuelle - outil de taillage mm
P0
Σ angle des axes °
Σθ somme des angles de creux °
f
Σθ somme des angles de creux pour une largeur de rainure constante °
fC
Σθ somme des angles de creux pour une largeur de rainure modifiée °
fM
Σθ somme des angles de creux pour une hauteur de denture standard °
fS
ζ angle de décalage du pignon au niveau du plan de tête °
o
ζ ζ ζ angle de décalage du pignon dans le plan axial (Méthode 1, Méthode 2, ou °
m,M1, m,M2, m,M3
Méthode 3)
ζ approximation de l'angle de décalage du pignon dans le plan axial (Méthode 2) °
mi,M2
ζ ζ angle de décalage du pignon dans le plan primitif de fonctionnement (Mé- °
mp,M1, mp,M2,
ζ thode 1, Méthode 2, ou Méthode 3)
mp,M3
ζ approximation de l'angle de décalage du pignon dans le plan primitif de fonc- °
mpi,M1
tionnement (Méthode 1)
ζ' ζ' valeur intermédiaire de l'angle de décalage du pignon dans le plan axial °
m,M1, m,M2,
(Méthode 1, Méthode 2)
ζ' ζ' valeur intermédiaire de l'angle de décalage du pignon dans le plan primitif de °
mp,M1, mp,M2,
fonctionnement (Méthode 1, Méthode 2)
ζ angle de décalage du pignon au niveau du plan de pied °
R
φ angle intermédiaire ou auxiliaire °
Tableau 2 — Indices courants
Indice Description
a de tête
b de base
C flanc convexe pignon en prise
D flanc concave pignon en prise
d nominal de conception
e effectif, quand utilisé avec un angle de pression
extérieur, quand utilisé avec une référence géométrique
f de pied
i intérieur, quand utilisé avec une référence géométrique
valeur approximative, quand utilisé en rapport avec l'angle de décalage du pignon
lim limite
TTabableleaauu 2 2 ((ssuuiitte)e)
Indice Description
M1, M2, M3 Méthode 1, Méthode 2, Méthode 3
m moyen
n normal
o face plane
p plan primitif
R plan de pied
t tangentiel quand utilisé avec une force apparente
1 se réfère au pignon
2 se réfère à la roue
5 Application
Le présent document fournit six exemples de calculs:
— L'exemple 1 (voir Annexe A) montre le calcul de la géométrie d'engrenage spiroconique sans décalage
hypoïde selon la Méthode 0;
— L'exemple 2 (voir Annexe B) montre le calcul de la géométrie d'un train d'engrenages hypoïdes selon la
Méthode 1;
— L'exemple 3 (voir Annexe C) montre le calcul de la géométrie d'un train d'engrenages hypoïdes selon la
Méthode 2;
— L'exemple 4 (voir Annexe D) montre le calcul de la géométrie d'un train d'engrenages hypoïdes selon la
Méthode 3;
— L'exemple 5 (voir Annexe E) montre le calcul de la géométrie d'un train d'engrenages hypoïdes selon la
Méthode 3;
— L'exemple 6 (voir Annexe F) montre le calcul de la géométrie d'un engrenage conique droit sans décalage
hypoïde selon la Méthode 0.
Le Tableau 3 se réfère à chaque tableau des annexes montrant les paramètres d'entrée et les résultats de
calcul pour les différentes étapes des exemples de calcul.

Tableau 3 — Contenu des tableaux des Annexes A à F
Contenu du tableau Exemple 1 Exemple 2 Exemple 3 Exemple 4 Exemple 5 Exemple 6
Données initiales
Données initiales des paramètres du cône Tableau A.1 Tableau B.1 Tableau C.1 Tableau D.1 Tableau E.1 Tableau F.1
primitif de fonctionnement
Données d'entrée des paramètres de pro- Tableau A.2 Tableau B.2 Tableau C.2 Tableau D.2 Tableau E.2 Tableau F.2
fil de dent
Transformation des données de type II en Tableau A.3 Tableau B.3 Tableau C.3 Tableau D.3 Tableau E.3 Tableau F.3
données de type I
Exemples de calcul
Détermination des paramètres du cône Tableau A.4 Tableau B.4 Tableau C.4 Tableau D.4 Tableau E.4 Tableau F.4
primitif de fonctionnement
Détermination des données de base Tableau A.5 Tableau B.5 Tableau C.5 Tableau D.5 Tableau E.5 Tableau F.5
Détermination des angles de cône de pied Tableau A.6 Tableau B.6 Tableau C.6 Tableau D.6 Tableau E.6 Tableau F.6
et de tête
Détermination de la hauteur de dent au Tableau A.7 Tableau B.7 Tableau C.7 Tableau D.7 Tableau E.7 Tableau F.7
point de calcul
Détermination des sommets des cônes de Tableau A.8 Tableau B.8 Tableau C.8 Tableau D.8 Tableau E.8 Tableau F.8
pied et de tête
Détermination de la largeur de denture du Tableau A.9 Tableau B.9 Tableau C.9 Tableau D.9 Tableau E.9 Tableau F.9
pignon
Détermination des angles de spirale inté- Tableau A.10 Tableau B.10 Tableau C.10 Tableau D.10 Tableau E.10 Tableau F.10
rieur et extérieur
Détermination de la hauteur de dent Tableau A.11 Tableau B.11 Tableau C.11 Tableau D.11 Tableau E.11 Tableau F.11
Détermination de l'épaisseur de dent Tableau A.12 Tableau B.12 Tableau C.12 Tableau D.12 Tableau E.12 Tableau F.12
Détermination des autres dimensions de Tableau A.13 Tableau B.13 Tableau C.13 Tableau D.13 Tableau E.13 Tableau F.13
l'engrenage
Les symboles, termes et définitions utilisés dans le présent document sont, dans la mesure du possible,
cohérents avec d'autres Normes internationales. Toutefois, en raison de certaines limitations, il est reconnu
que certains symboles, leurs termes et définitions, tels qu'utilisés dans le présent document, diffèrent de
ceux utilisés dans certains documents relatifs aux engrenages cylindriques à dentures droites et hélicoïdales.

Annexe A
(informative)
Exemple 1: Calcul de la géométrie pour un engrenage spiroconique
sans décalage hypoïde selon l'ISO 23509-1:2025, Méthode 0
A.1 Données initiales
L'exemple 1 concerne un engrenage spiroconique sans décalage hypoïde qui utilise la Méthode 0 selon
l'ISO 23509-1:2025.
Tableau A.1 — Données initiales pour le calcul des paramètres du cône primitif de fonctionnement
Symbole Description Méthode 0 Méthode 1 Méthode 2 Méthode 3
Σ angle des axes 90° X X X
a décalage hypoïde 0 mm X X X
z nombre de dents 14/39 X X X
1,2
d diamètre primitif de fonctionne- - - X -
m2
ment moyen de la roue
d diamètre primitif de fonctionne- 176,893 mm X - X
e2
ment extérieur de la roue
b largeur de denture de la roue 25,4 mm X X X
β angle de spirale moyen du pignon - X - -
m1
β angle de spirale moyen de la roue 35° - X X
m2
r rayon de l'outil 114,3 mm X X X
c0
z nombre de groupes de lames (tail- - - X X
lage par génération uniquement)
Tableau A.2 — Données supplémentaires pour le calcul des dimensions de l'engrenage
Données de type I Données de type II
Symbole Valeur Symbole Valeur
α 20°
dD
α 20°
dC
f 0
αlim
x - c 0,247 37
hm1 ham
k - k 2,000
hap d
k - k 0,125
hfp c
x - k 0,091 5
smn t
W -
m2
j 0,127 mm
en
θ 2,134 2°
a2
θ 6,493 4°
f2
q 0°
k
Tableau A.3 — Transformation des données de type II en données de type I
Formule Résultat
0,505
1 
xk· c
 
hm1 dham
 
k
d
k =
hap
1,25
 1
kk· k
 
hfpd c
 
0,046
k
t
x =
smn
A.2 Calcul de l'exemple 1 selon la Méthode 0

Tableau A.4 — Détermination des paramètres du cône primitif de fonctionnement
Description Formule Résultat Références à
l'ISO 23509-1:2025, E:
Formule, T: Tableau,
F: Figure
Détermination des paramètres du cône primitif de fonctionnement
Rapport d'engrenage 2,786 E: 1
z
u= (A.1)
z
Angle primitif de fonctionne- 19,747° E: 2
 sin  

 arctan (A.2)
ment du pignon  
 
cos   u

 
Angle primitif de fonctionne- 70,253° E: 3
 (A.3)
ment de la roue
Génératrice extérieure du cône 93,973 mm E: 4
d
e2
primitif de fonctionnement R  (A.4)
e12,
2·sin 

Génératrice moyenne du cône 81,273 mm E: 5
b
RR (A.5)
primitif de fonctionnement
me12, 2
Angle de spirale moyen du 35,000° E: 6
 (A.6)
mm12
pignon
Facteur de largeur de denture 0,5 E: 7
c =05, (A.7)
be2
Tableau A.5 — Détermination des données de base
Description Formule Résultat Références à
l'ISO 23509-1:2025, E:
Formule, T: Tableau,
F: Figure
Détermination des données de base
Diamètre primitif de fonction- 54,918 mm E: 110
dR2··sin  (A.8)

mm11 1
nement moyen du pignon
Diamètre primitif de fonction- 152,987 mm E: 111
dR2··sin  (A.9)

mm22 2
nement moyen de la roue
Écart de l'angle des axes à par- 90 (A.10) 0° E: 112
tir de 90°
Angle de décalage dans le plan 0,000° E: 113
 
axial du pignon  
 
2·a
 arcsin (A.11)
 
m
cos 

 2 
dd ·
mm21
 
cos 

 1 
Angle de décalage dans le plan 0,000° E: 114
sins · in  
 
m
primitif de fonctionnement  arcsin  (A.12)
mp
 
cos 

 
Décalage dans le plan primitif 0,000 mm E: 115
aR ·sin  (A.13)

pm2 mp
de fonctionnement
Module normal moyen 3,213 mm E: 116
2··R sinc· os
 
mm22 2
m  (A.14)
mn
z
Angle de pression limite 0° E: 117

tant· an  RR··sins in 
   
12 mm11 mm2 22

 arctan ·  (A.15)
lim
 
 RR··tant an
 
cos 

 mm11 22 
mp

Angle de pression normal 20° E: 118
 f · (A.16)
nD dD limlim
généré, flanc concave pignon
en prise
Angle de pression normal 20° E: 119
 f · (A.17)
nC dC limlim
généré, flanc convexe pignon
en prise
Angle de pression effectif flanc 20° E: 120
 (A.18)
eD nD lim
concave pignon en prise
Angle de pression effectif flanc 20° E: 121
 (A.19)
eC nC lim
convexe pignon en prise
Tableau A.5 (suite)
Description Formule Résultat Références à
l'ISO 23509-1:2025, E:
Formule, T: Tableau,
F: Figure
Génératrice extérieure du cône 93,973 mm E: 122
RRcb· (A.20)
em22 be22
primitif de fonctionnement,
roue
Génératrice intérieure du cône 68,573 mm E: 123
RRb (A.21)
ie22 2
primitif de fonctionnement,
roue
Diamètre primitif de fonction- 176,893 mm E: 124
dR2··sin  (A.22)

ee22 2
nement extérieur, roue
Diamètre primitif de fonction- 129,080 mm E: 125
dR2··sin  (A.23)

ii22 2
nement intérieur, roue
Module apparent extérieur 4,536 mm E: 126
d
e2
m = (A.24)
et2
z
Largeur de denture de roue du 12,700 mm E: 127
bRR (A.25)
ee22 m2
point de calcul vers l'extérieur
Largeur de denture de roue du 12,700 mm E. 128
bRR (A.26)
im22 i2
point de calcul vers l'intérieur
Distance entre le point d'inter- 27,459 mm E: 129
d ·sin   dc· os  
 
m12 m1 22
section et le point de calcul le t  05,·cost ··an  d   (A.27)
 
zm2 mm2
 
2·cos  cos 
 
long de l'axe de la roue
1  1 
Distance entre le point d'inter- 76,493 mm E: 130
d
m2
section et le point de calcul le t  ··cosc os t ·sin (A.28)
  
zm1 mzm2
long de l'axe du pignon
Sommet primitif de fonctionne- 0 mm E: 131
tR ·cos  t (A.29)

zm12,,12 12,,zm12
ment au-delà du point d'inter-
section le long de l'axe
Détermination des forces exercées sur la denture
Force axiale sur le pignon, flanc E: D.3
 sin  
 08,·1 F
1 mt1
concave pignon en prise FFtan  ··tancos · (A.30)
  
ax1,DnD m11 mmt1
 
cos 

 
m1
Force axiale sur la roue, flanc E: D.4
 sin   01,·8 F

mt2
concave pignon en prise FF tan  ··tancos · (A.31)
   
ax2,DnD m22 mmt2
 
cos 

 m2 
Tableau A.5 (suite)
Description Formule Résultat Références à
l'ISO 23509-1:2025, E:
Formule, T: Tableau,
F: Figure
Force axiale sur le pignon, flanc E: D.5
 sin   −05,·1 F

1 mt1
FF tan  ··tancos · (A.32)
convexe pignon en prise    
ax1,CnC m11 mmt1
 
cos 

 
m1
Force axiale sur la roue, flanc E: D,.6
 sin  
 06,·6 F
mt2
convexe pignon en prise FFtan  ··tancos · (A.33)
  
ax2,CnC m22 mmt2
 
cos 

 m2 
Force radiale sur le pignon, E: D.7
 cos   01,·8 F

1 mt1
F  tan  ··tansin ·FF (A.34)
flanc concave pignon en prise    
radD1, nD m11 mt1
 
cos 

 
m1
Force radiale sur la roue, flanc E: D.8
 cos  
 08,·1 F
mt2
concave pignon en prise F tan  ··tansin ·FF (A.35)
  
radD2, nD m22 mt2
 
cos 

 m2 
Force radiale sur le pignon, E: D.9
 cos   06,·6 F

1 mt1
F  tan  ··tansin ·FF (A.36)
flanc convexe pignon en prise    
radC1, nC m11 mt1
 
cos 

 
m1
Force radiale sur la roue, flanc E: D.10
 cos  
 −05,·1 F
mt2
convexe pignon en prise F tan  ··tansin ·FF (A.37)
  
radC2, nC m22 mt2
 
cos 

 m2 
Tableau A.6 — Détermination des angles de cône de pied et de tête
Description Formule Résultat Références à
l'ISO 23509-1:2025, E:
Formule, T: Tableau,
F: Figure
Détermination des angles de cône de pied et de tête (pour une profondeur de dent non uniforme)
Angle de tête, roue 72,387° E: 132
 (A.38)
aa22 2
Angle de pied, roue 63,760° E: 133
 (A.39)
ff22 2
Angle auxiliaire pour le calcul 0° E: 134
 a··tanc os  
 
f2
de l'angle de décalage du  arctan  (A.40)
R
 
Rt··cosc os
 
pignon dans le plan de pied  
mf22 zf22
Angle auxiliaire pour le calcul 0° E: 135
 a··tanc os  
 
a2
de l'angle de décalage du  arctan  (A.41)
o
 
Rt··cosc os
 
pignon dans le plan de tête
 ma22 za22 
Angle de décalage du pignon au 0° E: 136
 a··cossin 
 
Rf2
niveau du plan de pied  arcsin  (A.42)
R R
 
Rt··cosc os
 
 mf22 zf22 
Angle de décalage du pignon au 0° E: 137
 a··cossin 
 
oa2
 arcsin  (A.43)
niveau du plan de tête  
o o
 
Rt··cosc os
 
 
ma22 za22
Angle de tête, pignon 26,240° E: 138
arcsin sins ··in cosc os ·cos (A.44)
    
af12 fR2
Angle de pied, pignon 17,613° E: 139
arcsin sins ··in cosc os ·cos (A.45)
    
fa12 ao2
Angle de saillie, pignon 6,493° E: 146
 (A.46)
aa11 1
Angle de creux, pignon 2,134° E: 147
 (A.47)
ff11 1
Tableau A.7 — Détermination de la hauteur de dent au point de calcul
Description Formule Résultat Références à
l'ISO 23509-1:2025, E:
Formule, T: Tableau,
F: Figure
Saillie moyenne, roue 1,591 mm E: 148
mk· x

mn haphm1
h  (A.48)
am2
  
tan q

k
  
cosarctan
  
cos 

mp
  
Creux moyen, roue 5,639 mm E: 149
mk· x

mn hfphm1
h  (A.49)
fm2
  
tan q

k
  
cosarctan
  
cos 

  mp 
Saillie moyenne, pignon 4,836 mm E: 150
mk· x

mn haphm1
h  (A.50)
am1
cos q

k
Creux moyen, pignon 2,394 mm E: 151
mk· x

mn hfphm1
h  (A.51)
fm1
cos q

k
Hauteur utile moyenne 6,427 mm E: 152
hh h (A.52)
mw am12am
Hauteur de dent moyenne 7,230 mm E: 153
hh h (A.53)
ma12,,mf12 m12,
Vide à fond de dent 0,803 mm E: 154
chh (A.54)
12,,fm12 am21,
0,803 mm
Tableau A.8 — Détermination des sommets des cônes de pied et de tête
Description Formule Résultat Références à
l'ISO 23509-1:2025, E:
Formule, T: Tableau,
F: Figure
Sommet du cône de tête de la −1,508 mm E: 155
Rh··sinc os
 
ma22 am22a
roue au-delà du point d'inter- tt (A.55)
zF22z
sin 

section le long de l'axe de la
a2
roue
Sommet du cône de pied de la 3,999 mm E: 156
Rh··sinc os
 
mf22 fm22f
roue au-delà du point d'inter- tt (A.56)
zR22z
sin 

section le long de l'axe de la
f2
roue
Sommet du cône de tête −9,919 mm E: 157
Rh··sinc os
 
ma11 am11a
du pignon au-delà du point tt (A.57)
zF11z
sin 

d'intersection le long de l'axe
a1
du pignon
Sommet du cône de pied 2,095 mm E: 158
Rh··sinc os
 
mf11 fm11f
tt (A.58)
du pignon au-delà du point
zR11z
sin 

d'intersection le long de l'axe
f1
du pignon
Tableau A.9 — Détermination de la largeur de denture du pignon
Description Formule Résultat Références à
l'ISO 23509-1:2025, E:
Formule, T: Tableau,
F: Figure
Détermination de la largeur de denture du pignon
Largeur de denture du pignon 25,400 mm E: 159
22 22
bRaRa (A.59)
pe12 pi2 p
dans le plan primitif de fonc-
tionnement
Largeur de denture du pignon 12,700 mm E: 160
22 22
bRaRa (A.60)
du point de calcul vers le 12Am pi2 p
bombé avant
Méthode 0
Largeur de denture du pignon 25,400 mm E: 161
bb= (A.61)
Largeur de denture du pignon 12,700 mm E: 162
bc= ·b (A.62)
eb12e 1
du point de calcul vers l'exté-
rieur
Largeur de denture du pignon 12,700 mm E: 163
bb b (A.63)
ie11 1
du point de calcul vers l'inté-
rieur
Tableau A.10 — Détermination des angles de spirale intérieur et extérieur
Description Formule Résultat Références à
l'ISO 23509-1:2025, E:
Formule, T: Tableau,
F: Figure
Détermination des angles de spirale intérieur et extérieur
Pignon
Génératrice extérieure du cône 93,973 mm E: 179
2 2
RRbR2··b ·cos  (A.64)

primitif de fonctionnement de em21 2 em1 21emp
la roue du point limite exté-
rieur du pignon
Génératrice intérieure du cône 68,573 mm E: 180
2 2
RRbR2··b ·cos  (A.65)

primitif de fonctionnement de im21 2 im1 21imp
la roue du point limite intérieur
du pignon
Taillage dent par dent
Angle de spirale de la roue au 2 2 36,846° E: 188
 
2··Rr ·sin  RR

mc20 mm22 e21
point limite extérieur  
 arcsin (A.66)
e21
 
2··Rr
ec21 0
 
Angle de spirale de la roue au 33,946° E: 189
2 2
 
2··Rr ·sin  RR

mc20 mm22 i21
point limite intérieur
 
 arcsin (A.67)
i21
 
2··Rr
ic21 0
 
Taillage par génération et taillage dent par dent
Angle de décalage du pignon 0° E: 190
 a 
p
dans le plan primitif de fonc-  arcsin  (A.68)
ep21
 
R
tionnement au point limite
e21
 
extérieur
Angle de décalage du pignon 0° E: 191
 a 
p
dans le plan primitif de fonc-  
 arcsin (A.69)
ip21
 
R
tionnement au point limite
i21
 
intérieur
Angle de spirale extérieur du 36,846° E: 192
 (A.70)
ee1212ep 1
pignon
Angle de spirale intérieur du 33,946° E: 193
 (A.71)
ii1212ip 1
pignon
Roue
Tableau A.10 (suite)
Description Formule Résultat Références à
l'ISO 23509-1:2025, E:
Formule, T: Tableau,
F: Figure
Taillage dent par dent
Angle de spirale extérieur de 36,846° E: 198
2 2
 
2··Rr ·sin  RR

mc20 mm22 e2
la roue  
 arcsin (A.72)
e2
 
2··Rr
ec20
 
Angle de spirale intérieur de la 33,946° E: 199
2 2
 
2··Rr ·sin  RR

mc20 mm22 i2
roue
 
 arcsin (A.73)
i2
 
2··Rr
ic20
 
Tableau A.11 — Détermination de la hauteur de dent
Description Formule Résultat Références à
l'ISO 23509-1:2025, E:
Formule, T: Tableau,
F: Figure
Détermination de la hauteur de dent
Saillie extérieure 6,281 mm E: 200
hhb ·tan  (A.74)

ae12,,am12 ea12,,12
2,064 mm
Creux extérieur 2,867 mm E: 201
hhb ·tan  (A.75)

fe12,,fm12 ef12,,12
7,085 mm
Hauteur de dent extérieure 9,149 mm E: 202
hh h (A.76)
ea12,,ef12 e12,
9,149 mm
Saillie intérieure 3,391 mm E: 203
hhb ·tan  (A.77)

ai12,,am12 ia12,,12
1,117 mm
Creux intérieur 1,921 mm E: 204
hhb ·tan  (A.78)

fi12,,fm12 if12,,12
4,194 mm
Hauteur de dent intérieure 5,311 mm E: 205
hh h (A.79)
ia12,,if12 i12,
5,311 mm
Tableau A.12 — Détermination de l'épaisseur de dent
Description Formule Résultat Références à
l'ISO 23509-1:2025, E:
Formule, T: Tableau,
F: Figure
Détermination de l'épaisseur de dent
Angle de pression normal 20° E: 206

nD nC
moyen   (A.80)
n
Coefficient de modification de avec jeu de battement normal extérieur, j 0,037 E: 207
en
l'épaisseur de dent, pignon
R ·cos 

mm22
xx j · · (A.81)
sm1 smnen
4··m cos  R ·cos 
 
mn n ee22
Épaisseur de dent circulaire 6,465 mm E: 211
sm05,· ··2mx··x tan (A.82)

mn11mn mn sm hm1 n
normale moyenne, pignon
Coefficient de modification de avec jeu de battement normal extérieur, j −0,055 E: 212
en
l'épaisseur de dent, roue
R ·cos 

mm22
xx  j · · (A.83)
sm2 smnen
4··m cos  R ·cos 
 
mn n ee22
Épaisseur de dent circulaire 3,511 mm E: 216
sm05,· ··2mx··x tan (A.84)

mn22mn mn sm hm1 n
normale moyenne, roue
Épaisseur de dent circulaire 7,892 mm E: 217
s
mn12,
apparente moyenne s  (A.85)
4,286 mm
mt12,
cos 

m12,
Diamètre normal moyen 82,241 mm E: 218
d
m12,
d  (A.86)
638,207 mm
mn12,
2 2
1sinc··os cos 

 
mn12,,12
Épaisseur de dent normale 6,458 mm E: 219
 s 
mn12,
moyenne à la corde sd ·sin  (A.87)
3,511 mm
mncm12,,n12
 
d
 mn12, 
Saillie moyenne à la corde 4,963 mm E: 220
  s 
mn12,
 
hh05,·d ·1cos  (A.88)
1,595 mm
amca12,,mm12 n12,
 
d
 
mn12,
  
Tableau A.13 — Détermination des autres dimensions de l'engrenage
Description Formule Résultat Références à
l'ISO 23509-1:2025, E:
Formule, T: Tableau,
F: Figure
Détermination des autres dimensions de l'engrenage
Génératrice extérieure du cône 93,973 mm E: 221
RRb (A.89)
em11 e1
primitif de fonctionnement,
pignon
Génératrice intérieure du cône 68,573 mm E: 222
RRb (A.90)
im11 i1
primitif de fonctionnement,
pignon
Diamètre primitif de fonction- 63,500 mm E: 223
dR2··sin  (A.91)

ee11 1
nement extérieur, pignon
Diamètre primitif de fonction- 46,337 mm E: 224
dR2··sin  (A.92)

ii11 1
nement intérieur, pignon
Diamètre extérieur 75,324 mm E: 225
dd2··h cos  (A.93)

ae12,,ea12 e12,,12
178,288 mm
Diamètre de pied extérieur 58,103 mm E: 226
dd2··h cos  (A.94)

fe12,,ef12 e12,,12
172,106 mm
Diamètre de tête intérieur 52,719 mm E: 227
dd2··h cos  (A.95)

ai12,,ia12 i12,,12
129,835 mm
Diamètre de pied intérieur 42,721 mm E: 228
dd2··h cos  (A.96)

fi12,,if12 i12,,12
126,246 mm
Distance du point extérieur du 86,324 mm E: 229
ttbh··coss in (A.97)
 
xo12,,zm12 ea12,,12 e12,,12
cône de tête au sommet du cône
29,808 mm
au point d'intersection
Distance du point intérieur du 63,395 mm E: 230
ttbh··coss in (A.98)
 
xi12,,zm12 ia12,,12 i12,,12
cône de tête au sommet du cône
22,117 mm
au point d'intersection
Hauteur de dent du pignon, 9,142 mm E: 231
tt
zF11xo
h  ··sins tt in  (A.99)
perpendiculaire au cône de   
t1 af11 zR11zF f1
cos 

pied
a1
Annexe B
(informative)
Exemple 2: Capacité de charge d'un train d'engrenages hypoïdes
selon l'ISO 23509-1:2025, Méthode 1
B.1 Données initiales
L'exemple 2 concerne un engrenage hypoïde qui utilise la Méthode 1 selon l'ISO 23509-1:2025.
Tableau B.1 — Données initiales pour le calcul des paramètres du cône primitif de fonctionnement
Symbole Description Méthode 0 Méthode 1 Méthode 2 Méthode 3
Σ angle des axes X 90° X X
a décalage hypoïde 0,0 15 mm X X
z nombre de dents X 13 / 42 X X
1,2
d diamètre primitif de fonctionne- - - X -
m2
ment moyen de la roue
d diamètre primitif de fonctionne- X 170 mm - X
e2
ment extérieur de la roue
b largeur de denture de la roue X 30 mm X X
β angle de spirale moyen du pignon - 50° - -
m1
β angle de spirale moyen de la roue X - X X
m2
r rayon de l'outil X 63,5 mm X X
c0
z nombre de groupes de lames (tail- X - X X
lage par génération uniquement)
Tableau B.2 — Données supplémentaires pour le calcul des dimensions de lengrenage
Données de type I Données de type II
Symbole Valeur Symbole Valeur
α 20°
dD
α 20°
dC
f 1
αlim
x - c 0,35
hm1 ham
k - k 2,000
hap d
k - k 0,125
hfp c
x - k 0,1
smn t
W -
m2
j 0,2 mm
et2
θ 1°
a2
θ 4°
f2
q 0°
k
Tableau B.3 — Transformation des données de type II en données de type I
Formule Résultat
0,3
1 
xk· c
 
hm1 dham
 
k
d
k =
hap
1,25
 1
kk· k
 
hfpd c
 
0,05
k
t
x =
smn
B.2 Calcul de l'exemple 2 selon la Méthode 1

Tableau B.4 — Détermination des paramètres du cône primitif de fonctionnement
Description Formule Résultat Références à l'ISO 23509-
1:2025, E: Formule, T:
Tableau, F: Figure
Détermination des paramètres du cône primitif de fonctionnement
Rapport d'engrenage 3,231 E: 8
z
u= (B.1)
z
Angle de spirale du pignon souhaité 50° E. 9
 (B.2)
11m
Écart de l'angle des axes à partir de 0° E: 10
90 (B.3)
90°
Approximation de l'angle primitif de 69,624° E: 11
 u·cos  

fonctionnement de la roue
 arctan (B.4)
 
int2
 
12,· 1 u·sin 

 
Rayon moyen primitif de fonctionne- 70,939 mm E: 12
db ·sin 

ei22 nt2
ment de la roue
r  (B.5)
mpt2
Approximation de l'angle de décalage 11,433° E: 13
 
a·sin 

int2
du pignon dans le plan primitif de
 
 arcsin (B.6)
mp,,iM1
fonctionnement
 
r
 mpt2 
Approximation du facteur de dimen- 1,216 E: 14
K tans· in cos  (B.7)
  
Mm11 pi,,Mm11pi,,M
sion hypoïde
Approximation du rayon moyen du 26,708 mm E: 15
rK·
mptM21
pignon
r = (B.8)
mn1
u
Début de l'itération
- Premier essai -
Angle de décalage de la roue par rap- 3,942° E: 16
 
a
port au plan axial
 arctan  (B.9)
rr··tanc os sin 
    
mpti22nt mn1
 
Angle de décalage intermédiaire du 10,694° E: 17
 
ar ·sin 

 mn1
pignon dans le plan axial
 
 arcsin (B.10)
mM, 1
 
r
mpt2
 
Valeur intermédiaire de l'angle primi- 20,001° E: 18
 
tif de fonctionnement du pignon sin 

 
 arctan tanc · os  (B.11)
 
int1
 

 
tanc · os 


mM, 1
 
Valeur intermédiaire de l'angle de 11,390° E: 19

 
sinc · os 


décalage du pignon dans le plan primi-
mM, 1
  
 arcsin (B.12)
tif de fonctionnement
mp,M1
 
cos 

 
int1
 
Tableau B.4 (suite)
Description Formule Résultat Références à l'ISO 23509-
1:2025, E: Formule, T:
Tableau, F: Figure
Valeur intermédiaire de l'angle de 50,08
...