ISO 31-11:1978
(Main)Mathematical signs and symbols for use in the physical sciences and technology
Mathematical signs and symbols for use in the physical sciences and technology
Signes et symboles mathématiques à employer dans les sciences physiques et dans la technique
General Information
Relations
Standards Content (Sample)
INTERNATIONAL STANDARD
31 /XI
NORME INTERNATIONALE
INTERNATIONAL ORGANIZATION FOR STANDARDIZATION*MEWYHAPO4HAR OPrAHH3AUHR fl0 CTAH~APlH3AUHH.ORGANlSATlON INTERNATIONALE DE NORMALISATION
Mathematical signs and symbols for use in the physical
sciences and technology
First edition - 1978-03-15
Signes et symboles mathematiques à employer dans les
sciences physiques et dans la technique
Premiere hdition - 1978-03-15
---------------------- Page: 1 ----------------------
FOREWORD
IS0 (the International Organization for Standardization) is a worldwide federation
of national standards institutes (IS0 member bodies). The work of developing
International Standards is carried out through IS0 technical committees. Every
member body interested in a subject for which a technical committee has been set
up has the right to be represented on that committee. International organizations,
governmental and non-governmental, in liaison with ISO, also take part in the work.
Draft International Standards adopted by the technical committees are circulated
to the member bodies for approval before their acceptance as International
Standards by the IS0 Council.
International Standard IS0 31/XI was developed by Technical Committee
ISO/TC 12, Quantities, units, symbols, conversion factors and conversion tables,
and was circulated to the member bodies in July 1975.
It has been approved by the member bodies of the following countries :
Austria India South Africa, Rep. of
Belgium Ireland Sweden
Czechoslovakia Mexico Switzerland
Denmark Netherlands Turkey
Egypt, Arab Rep. of New Zealand United Kingdom
Finland Norway U.S.A.
France Poland U.S.S. R.
Germany Romania Yugoslavia
The member bodies of the following countries expressed disapproval of the
document on technical grounds :
Canada
Japan"
* Disagreement concerning the decimal marker only.
This International Standard cancels and replaces IS0 Recommendation
R 31/X1-1961, of which it constitutes a technical revision.
---------------------- Page: 2 ----------------------
AVANT-PROPOS
L'ISO (Organisation internationale de normalisation) est une fédération mondiale
d'organismes nationaux de normalisation (comités membres de I'ISO). L'élaboration
des Normes internationales est confiée aux comités techniques de I'ISO. Chaque
comité membre intéressé par une étude a le droit de faire partie du comité technique
correspondant. Les organisations internationales, gouvernementales et non
gouvernementales, en liaison avec I'ISO, participent également aux travaux.
les comités techniques sont
Les projets de Normes internationales adoptés par
soumis aux comités membres pour approbation, avant leur acceptation comme
Normes internationales par le Conseil de I'ISO.
La Norme internationale IS0 31/XI a été' élaborée par le comité technique
ISO/TC 12, Grandeurs, unit&, symboles, facteurs de conversion et tables de conver-
sions, et a été soumise aux comités membres en juillet 1975.
Les comités membres des pays suivants l'ont approuvée :
Afrique du Sud, Rép. d' Inde Royaume-Uni
Allemagne Irlande Suède
Autriche Suisse
Mexique
Belgique Norvège Tchécoslovaquie
Danemark Nouvelle-Zélande Turquie
kgypte, Rép. arabe d' Pays-Bas U.R.S.S.
Finlande Pologne U.S.A.
France Roumanie Yougoslavie
Les comités membres des pays suivants l'ont désapprouvée pour des raisons
techniques :
Canada
Japon*
* DBsaccord sur le signe decimal uniquement.
Recommandation
Cette Norme internationale annule et remplace la
ISO/R 31/1X-1961, dont elle constitue une révision technique.
0 Organisation internationale dm normalismtion, 1978
Imprime en Suisse
iii
---------------------- Page: 3 ----------------------
CONTENTS Paw
Introduction . 1
1 Theoryofsets . 3
2 Symbols of mathematical logic . 7
3 Miscellaneous symbols . 8
4 Operations . 10
5 Functions . 12
6 Exponential and logarithmic functions . 16
7 Circular and hyperbolic functions . 17
8 Complexnumbers . 21
9 Matrices . 22
10 Vectors and tensors . 24
11 Special functions . 27
iv
---------------------- Page: 4 ----------------------
SOMMAI RE Page
Introduction . 1
1 Théorie des ensembles . 3
2 Symboles de logique mathématique . 7
3 Symbolesdivers . 8
4 Opérations . 10
5 Fonctions . 12
6 Fonctions exponentielles et logarithmiques . 16
7 Fonctions circulaires et hyperboliques . 17
8 Nombres complexes . 21
9 Matrices . 22
10 Vecteurs et tenseurs . 24
11 Fonctions spéciales . 27
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INTERNATIONAL STANDARD
IS0 31/XI-1978 (E/F)
NORME INTERNATIONALE
Mathematical signs and symbols for Signes et symboles mathematiques
use in the physical sciences and
à employer dans les sciences
technology
physiques et dans la technique
INTRODUCTION
INTRODUCTION
a table of mathematical signs
This document, containing Le présent document, contenant un tableau de siSnes et
and symbols for use in the physical sciences and
0 symboles mathématiques a' employer dans les sciences
technology, is part XI of IS0 31, which deals with physiques et dans la technique, est la partie XI de I'ISO 31,
quantities and units in the various fields of science and
qui spécifie les grandeurs et unités dans différents domaines
technology. The complete list of parts of IS0 31 is as de la science et de la technique. La liste complète des par-
follows : ties de I'ISO 31 est la suivante :
Part O : General introduction - General principles Partie O : Introduction générale - Principes généraux
concerning quantities, units and symbols. concernant les grandeurs, les unités et les symboles.
Part I : Quantities and units of space and time. Partie I : Grandeurs et unités d'espace et de temps.
Part II : Quantities and units of periodic and related Partie II : Grandeurs et unités de phénomènes
phenomena. périodiques et connexes.
Part I I I : Quantities and units of mechanics. Partie I I I : Grandeurs et unités de mécanique.
Partie IV : Grandeurs et unités de chaleur.
Part IV : Quantities and units of heat.
Partie V : Grandeurs et unités d'électricité et de
Part V : Quantities and units of electricity and
magnétisme.
magnetism.
Part VI : Quantities and units of light and related Partie VI : Grandeurs et unités de lumière et de
electromagnetic radiations. rayonnements électromagnétiques connexes.
Partie VI I : Grandeurs et unités d'acoustique.
Part VI I : Quantities and units of acoustics.
Partie VI I I : Grandeurs et unités de chimie physique et
Part Vlll : Quantities and units of physical chemistry
de physique moléculaire.
and molecular physics.
Part IX : Quantities and units of atomic and nuclear Partie IX : Grandeurs et unités de physique atomique et
physics. nucléaire.
Partie X : Grandeurs et unités de réactions nucléaires et
Part X : Quantities and units of nuclear reactions and
rayonnements ionisants.
ionizing radiations.
Partie XI : Signes et symboles mathématiques a' employer
Part XI : Mathematical signs and symbols for use in the
dans les sciences physiques et dans la technique.
physical sciences and technology.
Partie XI I : Paramètres sans dimension.
Part XI I : Dimensionless parameters.
Partie XI I I : Grandeurs et unités de la physique de I'état
Part XI I I : Quantities and units of solid state physics.
solide.
Remarques sphiales
Special remarks
Les recommandations dans ce document sont préparées
principalement pour emploi dans les sciences physiques et
The recommendations in this document are prepared
dans la technique.
mainly for use in the physical sciences and technology.
Lorsque deux ou plusieurs signes, symboles ou expressions
If more than one sign, symbol or expression is given under
sont indiqués sous le mlme point, ils sont également
the same item, they are on an equal footing. Signs, symbols
admissibles. Signes, symboles et expressions dans la colonne
and expressions in the remarks column are given for
((Remarques)) sont donnés dans un but d'identification.
information.
1
---------------------- Page: 6 ----------------------
IS0 31/XI-1978 (E/F)
1 Theory of sets / Thborie des ensembles
- -
Symbol,
Item
Sign Application
Meaning, Reading
Remarks and Examples
Symbole,
No. Utilisation
Sens, énonce
Remarques et exemples
signe
-
-
11-1.1 E
x belongs to A, x is an element of the
set A
z appartient B A, z est un élément de
l’ensemble A
11-1.2
y does not belong to A, y is not an ele-
+
ment of the set A
yn’appartient pas zt A, y n’est pas un
élément de l’ensemble A
11-1.3 3
the set A contains z (as element)
l’ensemble A contient x (comme élément)
11-1.4
the set A does not contain y (as element)
+
l’ensemble A ne contient pas y (comme
élément)
11-1.5
set with elements x1,x2,. . . , x, Also {xd, i E I}, where I denotes a set of
9. .,>
indices
ensemble dont les éléments sont
S’Bcrit aussi {xt, i~q oh I est un en-
t1,52,. * .,x,
semble d’indices
11-1.6 1: set of those elements of A for which Example:
{I)
{XER Ixg6)
the proposition p(x) is true Exemple :
ensemble des éléments de A pour les- If it is clear from the context which set
quels la proposition p(x) est vraie A is considered, the notation {x I p(x)}
can be used
Example : {x I x < 5)
Si le contexte permet de savoir claire-
ment quel est l’ensemble A considhé,
on peut utiliser la notation {x Ip(x)}
Exemple : {x I x Q 6)
11-1.7 0 the empty set
l’ensemble vide
N={O,1,2,3, . .}
11-1.8 NN the set of positive integers and zero
Exclusion of zero from the sets 11-1.8
l’ensemble des (nombres) entiers positif8
to 11-1.12 is denoted by an asterisk,
et zéro
e.g. N*
L’exclusion de zero des ensembles 1 1 - 1.8
h 11-1.12 est notee par un astBrisque,
exemple N*
- -
3
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IS0 31/Xl-1978 (E/F)
1 Theory of sets (continued) / Thhorie des ensembles (suite)
- -
Symbol,
Item Sign Application
Meaning, Reading
Remarks and Examples
Symbole
No. Utilisation
Sens, Cnoncd
Remarques et exemples
signe
- -
~~
11-1.9 zz
:he set of integers
Z={ ., -2,-1,0,1,2 ,. }
:’ensemble des (nombres) entiers
See remark to 11-1.8
Voir remarque de 11-1.8
Il -1.1(
;he set of rational numbers
QQ See remark to 11-1.8
.’ensemble des (nombres) rationnels Voir remarque de 11-1.8
11-1.11 RW
;he set of real numbers See remark to 11-1.8
’ensemble des (nombres) reels
Voir remarque de 11-1.8
11-1.1: cc ;he set of complex numbers See remark to 11-1.8
.’ensemble des (nombres) complexes
Voir remarque de 11-1.8
11-1.1:
c B is included in A, B is a subset of A Every element of B belongs to A.
c isalsoused, but see remark to 11-1.14
B eat inclus dans A, B est contenu dans
A, R est une parrtie de A Tout element de B appartient It A.
c est aussi utilise, mais voir remarque
de 11-1.14
c
11-1.11 73 is properly included in A, B is a Every element of B belongs to A, but
proper subset of A B is not equal to A.
If c is used for 11 -1.13, then 2 should
B est strictement inclue dans A, B est
be used for 11-1.14
rtrictement contenu dans A
Tout Blément de B appartient 8. A, mais
B n’est pas Bgal It A.
Si c est utilise pour 11-1.13,s doit être
11-1.14
utilise pour
Il-l.l! 3 is not included in A, C is not a subset Q: is also used
B
)f A
Q: est aussi utilise
7 n’est pas inclus dans A, C n’est pas
A, C n’est pas une partie
:ontenu dans
ici A
A contains every element of B.
I 1 -1 .I A includes B (as subset)
2
=I is also used, but see remarls. to 1 1 - 1.17
A contient B (comme pzrtie)
A contient tout Blement de B.
3 est aussi utilise, mais voir remarque
de 11-1.1ï
A contains every element of B, but A is
3 A includes B properly
1 1 -1 .I ;
not equal to B.
A contient B strictement
If 3 is used for 11-1.16, then $ should
be used for 11-1.17
A contient tout 616ment de B, mais A
n’est pas Bgal 8. B.
Si 3 est utilise pour 11-1.16, $ doit être
utilise pour 11-1.17
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IS0 31/XI-1978 (E/F)
1 Theory of sets (continued) / Thbrie des ensembles (suite)
- -
iyrnbol,
Item Application
dgn Meaning, Reading
Remarks and Examples
symbole,
No. Utilisation
Sens, 6noncC
Remarques et exemples
line
- -
1-1.li 1 does not include C (as subset)
B ABC $ is also used
1 ne contient pas C (comme sous-
+ est aussi utilise
nsemble)
1-1.1' U AuB .nion of A and B
The set of all elements which belong
to A or to B or to A and B
Bunion de A et de B
AU B={z~zEA VXEB}
L'ensemble des BlBments appartenant
b A, ou 8. B ou 8. A et 8. B
AuB= (zIzEAvxEB}
n
1-1.21 .nion of a collection of sets A,, . . . ,A,
ci Ai U Ai=Alu A,u . . . U A,, the set of
U
i- 1
i-1
. . . , A,n
Bunion des ensembles A,, all elements belonging at least to one
of the sets A,, . . . , A,
Ur-, and U, U isz are also used, where
ieZ
1 denotes a set of indices
n
U A, = A, U A, U . . . U A,,, l'ensemble
:=I
des BMments appartenant au moins 8.
un des ensembles A,, . . . , A,,
Ur-, ot U, Uiez sont aussi utilis&s,
ioZ
oh I est un ensemble d'indices
nterseotion of A and B, A inter B
1-1.2' n AnB The set of all elements which belong to
both A and B
nterseotion de A et de B, A inter B
AnB= {z~zEAAxEB)
O
L'ensemble des BlBments appartenant 8.
la fois 8. A et 8. B
AnB= {z/zEAAxEB)
n
nterseotion of a collection of sets n A, = A, n A, n . . . n An, the set of
1-1.2
ii Ai
n
i=l ill
* .,A,
11,
all elements belonging to all sets
. . . and A,,
ntersection des ensembles A,, . . . ,A, A,, A,,
are also used, where
nr-, and n,
ieZ
I denotes a set of indices
n
n A, = A, n A, n . . . n A,,, ensemble
i-1
des 6lBments appartenant B la fois h
A,, A,, . . . et A,,
--
et ieZ n, niez sont aussi utilisds,
oh I est un ensemble d'indices
7 -
5
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IS0 31/XI-1978 (E/F)
1 Theory of sets (concluded) / Théorie des ensembles (fin)
- -
Symbol,
Item
Sign Application Meaning, Reading
Remarks and Examples
Symbole
No. Utilisation
Sens, enoncd
Remarques et exemples
signe
-
-
I 1 -1.2:
\ lifference of A and B, A minus B
The set of all elements which belong
to A, but not to B
lifférence de A et de B, A moins B
A\B={zIx€A and z+B}
A- B is also used
L’ensemble des éléments de A n’ap-
partenant pas à B
A\B= {zlz~A et z+B}
A - B est aussi utilisé
The symmetrical difference
(A UB) \(A nB) = (A \ B) U (B \ A)
may be denoted by A A B
La différence symétrique
(A UBI \ (A nB) = (A \ B) u (B \A)
peut être notke A AB
1-1.24 :amplement of subset A of U The set of all elements of U which do
c
not belong to the subset A.
:ompldmentaire de la partie A de U
If it is clear from the context which set
U is considered, the symbol U is often
omitted.
AlsocUA = U\A
L’ensemble des éléments (d’un ensemble
U) n’appartenant pas i la partieA de U.
Si le contexte permet de savoir claire-
ment quel est l’ensemble U considéré,
le symbole U est souvent omis.
Onaaussi cuA =U\A
1-1.25 wdered pair a, b, couple a, b (a, b) = (c,d) if and only if a =c and b =d
(’1
(a,b) is also used
:ouple a, b
(a, b) = (c,d) si et seulement si a =c et
b=d
(a, b) est aussi utilise
mdered n-tuplet
1-1.26
,.**,
i-uplet, multiplet
The set of all ordered pairs (a, b) such
jartesian product of A and B
1-1.27 X
thataEA and bEB
Iroduit (cartdsien) de A et de B
AxB= {(a,b)I aEAnbEB}
L’ensemble des couples (a,b) pour les-
quels aE A et bE B
AxB = {(a,b)I aE A=bEB}
A x A x . . . x A is denoted An, where n
is the number of factors in the product
A x A x . . . x A est noté A* où TL est le
nombre de facteurs du produit
-
-
l6
---------------------- Page: 10 ----------------------
IS0 31/XI-1978 (E/F)
2 Symbols of mathematical logic / Symboles de logique mathematique
- ~~
Item Symbol Application
Name of Symbol Meaning, Reading and Remarks
No. Symbole
Utilisation Nom du symbole
Sens, Cnonct et remarques
-
1-2.1 A
conjunction sign
signe de conjonction
1-2.2 V
disjunction sign p or q or both
signe de disjonction
p ou q ou les deux
1-2.3 1 negation sign
Negation of p, not p, nonp
signe de negation Negation de p, nonp
1-2.4 j. implication sign
If p then q, p implies q
Can also be written p e p
signe d’implication
Sometimes + is used
p entraîne q, p implique q
Peut aussi s’ecrire q -e p
3 est parfois utilise
1-2.5 -3 equivalence sign p j. q and q => p; p is equivalent to q
Sometimes f* is used
signe d’équivalence
p => q et q j. p; p 6quivaut zt q
H est parfois utilise
For every x belonging to A the propo-
1-2.6 V unirersal quantifier
sition p(x) is true.
quantificateur universel
The comma before p(x) is sometimes
; if danger of confusion arises,
omitted
parentheses shall be used
Pour tout x appartenant zt A, la pro-
position p(~) est vraie.
La virgule est parfois omise avant p(x) ;
s’il existe un danger de confusion, des
parenthhses doivent Qtre utilisees
There exists an x belonging to A for
3 existential quantifier
I1 -2.7
which p(x) is true.
quantificateur existentiel
The comma before p(x) ia sometimes
omitted; if danger of confusion arises,
parentheses shall be used
Pour au moins un element x de A, p(x)
est vrai.
La virgule est parfois omise avant p(x) ;
s’il existe un danger de confusion, des
parenthhses doivent Qtre utilisees
1
3 ! or 3 is used to indicate the existence
of one and only one element with the
property in question
1
3! ou 3 est utilise pour indiquer l’exi-
stence d’un Blément et d’un seul avec
la propriete en question
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3 Miscellaneous symbols / Symboles divers
-
Item Application
Meaning, Reading
Remarks and Examples
No. Utilisation
Sens, enonce Remarques et exemples
-
11 -3.1 a=b a is equal to b
= may be used to emphasize that an
equality is a mathematical identity
a est égal B b
= peut être utilise pour souligner le fait
qu'une BgalitB est une identit6 ma-
thematique
11 -3.2 a is not equal to b
a#b
a est different de b
def b
11 -3.3 a= a is by definition equal to h
Example : p '&! mv, where p is momen-
tum, m is mass and v is velocity
a est Bgal par definition 21 b
Exemple: p !2! mv, où p est la quantite
O
de mouvement, m la masse et v la vitesse
11 -3.4 akb a corresponds to b Since E=kT, leV&11604,5K
When 1 cm on a map corresponds to a
a correspond & b
length of 10 km, one may write 1 cma
10 km
Etant donne que E = kT,
1 eV & 11604,5 K
Lorsque 1 cm sur une carte correspond
21 une longueur de 10 km, on peut Bcrire
1 cma 10 km
11 -3.5 awb a is approximately equal to b
a est approximativement Bgal B b
CD
11 -3.6 a-b a is proportional to b
accb
a est proportionnel B b
a
11 -3.7
a est strictement infBrieur B b
a is greater than b
11 -3.8 a>b
a est strictement supérieur B b
a6b a is less than or equal to b
11 -3.9
a est inferrieur ou &gal B h
---------------------- Page: 12 ----------------------
IS0 31/XI-1978 (E/F)
3 Miscellaneous symbols (concluded) /Symboles divers (fin)
- -
item Symbol Application
Meaning, Reading
Remarks and Examples
No. Symbol
Utilisation
Sens, dnonce
Remarques et exemples
- -
11 -3.1 C
z is greater than or equal to b
2
z est superieur ou égal iI b
11 -3.1 1
<< z is much less than b
z est trds inférieur iI b
I1 -3.1 2
>> z is much greater than b
z est très supérieur ti b
I1 -3.1 3 00
nfinity
infini
9
---------------------- Page: 13 ----------------------
IS0 31/XI-1978 (E/F)
4 Operations / Opérations
Item Symbol, Application Meaning, Reading
Remarks and Examples
No. Symbole, utilisation
Sens, Cnonce
Remarques et exemples
11 -4.1
a+b x plus b
z plus b
11 -4.2 a-b z minus b
z moins b
11 -4.3 a-b axb ab z multiplied by b
See also 11-1.27, 11-10.6 and 11-10.7
The sign for multiplication of numbers
I. multiplié par b
is a cross (x) or a dot half high (e). If a
dot is used as the decimal sign, only the
cross should be used for multiplication
of numbers
Voir aussi 11-1.27, 11-10.6 et 11-10.7
Le signe de multiplication des nombres
est une croix (x) ou un point B mi-
hauteur (*). Si un point est utilisé
comme signe décimal, seule la croix
doit être utilisée pour la multiplication
des nombres
a
11 -4.4 - a/b ab-1
z divided by b See also IS0 31/0
b
z divis6 par b Voir aussi IS0 3110
II
11 -4.5
zl+a2+. . . +a,
i- 1
11 -4.6 zl.aa* . . . *a,
11 -4.7 ap z to the power p
z puissance p
See remark to 11-4.9
11 -4.8 x to the power 4, square root of a
Voir remarque de 11-4.9
x puissance 3, racine carrbe de a
If the symbol 1/ or 7 acts on a com-
11 -4.9 sc to the power l/n, nth root of a
posite expression, parentheses should be
a puissance l/n, racine n-ième de a
used to avoid ambiguity
Si les symboles 1/ ou 7 s’appliquent ii
une expression composée, il faut em-
ployer des parenthèses pour éviter
toute ambiguïtb
i 10
---------------------- Page: 14 ----------------------
IS0 31/Xl-1978 (E/F)
4 Operations (concluded) / Optkations (fin)
-
~~~
Item
Symbol. Application
Meaning, Reading
Remarks and Examples
No.
Symbole, utilisation Sens, Cnonci
Remarques et exemples
-
1-4.1
absolute value of a, magnitude of a,
I4 abs a is also used
modulus of a
abs a est aussi utilisé
valeur absolue de a, module de a
1-4.1 sgn a
signum a
For real a:
1 for a>O
signum a
sgna = O for a=O
[ - 1 for a< O
For complex a, see 11-8.7
Pour a rQel:
1 pour a>O
sgn a = O pour a= O
[ -1 pour acO
Pour a complexe, voir 11-8.7
1-4.1 mean value of a
The method of forming the mean should
(a>
be stated if not clear from the context
valeur moyenne de a
la moyen-
La méthode de formation de
ne doit &re spécifiée si elle ne ressort
pa8 du contexte
n
14.1, n! factorial n Forn21: n!=r][k=lx2x3x . xn
k- 1
factorielle n
Forn=O: n!=l
n
Pourn21: n!=nk=lx2x3x . xn
k= 1
Pourn=O: n!=l
1-4.1 I binomial coefficient
(3
coefficient binomial
ent a the greatest integer less than or equal ent 2,4 = 2
1-4.1
ent(-2,4) = -3
to a
E(a) is also used.
caractéristique de a; le plus grand nom-
[a] is sometimes used for enta, but is
bre entier inférieur ou égal B a
now often used with the meaning “in-
teger part of a”, e.g.
[2,4] = 2
[-2,4] = -2
E(a) est aussi utilisé.
[a] est parfois employé pour enta, mais
est souvent utilisé actuellement avec la
signification “partie entiPre de a”, par
exemple :
[2,4] = 2
[-2,4] = -2
-
11
---------------------- Page: 15 ----------------------
IS0 31/Xl-1978 (E/F)
5 Functions / Fonctions
-
Item Symbol, Application Meaning
Remarks and Examples
No. Symbole, utilisation
Sens
Remarques et exemples
-
11 -5.1 Eunction J!
A function may also be denoted by
x H f (4
Eonction f
Une fonction peut aussi s’6crire x H f (2)
11 -5.2 valueof thefunctionfatxorat @,y,. . .)
respeotively
valeur de la fonction f respectivement
:n x ou en (x, y,. . .)
11 -5.3 This notation is used mainly when
evaluating integrals
Cette notation est principalement uti-
lisde pour le calcul des integrales
the composite function off and g
11 -5.4
Eonction compos6e de f et g
1: tends to a
11 -5.5
1: tend vers a
limit of f(x) as x tends to a lim,+u f (x) = b may be written f (2) -+ b
11 -5.6
as x4a
limite de f(x) quand x tend vers a
Limits “from the right” (x>a) and
“from the left” (x e a) may be denoted
1imwa+ f (x) and lim,+,-f(x) respec-
tively
lim,+a f(x) = b peut s’&rire f(x) 4 b
quand x + a
Les limites “A droite” (x>a) et “b
gauche” (x < a) peuvent s’&rire respec-
tivement limx+a+ f (x) et lim,+a- f (x)
1 as x+a
is asymptotioally equal to 1
11 -5.7
21-
sin(x-a) x-a quand x-ta
est asymptotiquement 6gal B,
of order comparable with or inferior to
11 -5.8 f(x) = O(g(x)) means If(x)/g(x)l is
bounded above in the limit implied by
9@)
the context
d’ordre comparable ou infdrieur B, g(x)
f(x) = O(g(4) signifie que If(x)/g(x)l
est born6 supdrieurement dans la limite
impliqude par le contexte
-
I ’*
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IS0 31/Xl-1978 (E/F)
5 Functions (continued) /Fonctions (suite)
Item Symbol, Application
Meaning
Remarks and Examples
No.
Symbole, utilisation
Sens Remarques et exemples
11 -5.5
of order inferior to g(x)
f(x) = o(g(x)) means f (x)/g(x) -+ O in
the limit implied by the context
d'ordre inférieur ti g(x)
f (x) = o(g(x)) signifie f (x)/g(x) + O dans
la limite impliquee par le contexte
11-5.1( (finite) increment of x
accroissement de x
Il -5.1 1
derivative of the function f of ont
variable
derivée de la fonction f d'une variablf
If the independent variable is time t,f is
also used for - df
dt
Si la variable indépendante est le
temps t, f est aussi utilise pour - df
dt
1-51 2
value at a of the derivative of the
function f ,
valeur de la dérivée de la fonction J
pour la valeur a de la variable
1-5.1 3 ath derivative of the function f of one For n = 2'3, f 'I, f 'I' are also used for f(n)
variable [f the independent variable is time t, f is
-
d2f
lérivée n-idme de la fonction f d'une
&O used for -
dt2
variable
Pour n = 2, 3, f It, f ''I sont aussi utilises
?our fn). Si la, variable indépendante
!st le temps t, j est aussi utilise pour
g
it2
13
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IS0 31/XI-1978 (E/F)
5 Functions (continued) / Fonctions (suite)
Item Symbol, Application Meaning
Remarks and Examples
No. Symbole, utilisation Sens Remarques et exemples
1-5.14 hartial derivative of the function f of
everal variables x, y,. . . with respect
ox
axf(x,Y,. - .) Dzf(X,Y, ’ * .)
lérivée partielle de la fonction f de
The other independent variables may
dusieurs variables z,y,. . . par rapport
8X
be shown as subscripts, e.g.
Les autres variables indépendantes peu-
vent être indiquées en indices, par
exemple (g)
Y,.
This partial derivative notation is ex-
tended to derivatives of higher order, e.g.
a2f a2f
--
ax2 ’ axay
La notation de la dérivée partielle peut
aussi s’employer pour les dérivbes d’or-
dre supbrieur, par exemple
a2.f a2.f
--
az’ axay
1 -SA! ,otal differential of the function f
Lifférentielle de la fonction f, diffbren
,ielle totale de la fonction f
infinitesimal) variation of the functionj
1-5.1
rariation (infinit6simale) de la fonction j
bn indefinite integral of the function
1-5.1:
Ir the set of indefinite integrals of tht
‘unction f
me primitive de la fonction f ou l’en
iemble des primitives de la fonction f
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IS0 31/XI-1978 (E/F)
5 Functions (concluded) / Fonctions (fin)
-
Item Symbol, Application
Meaning
Remarks and Examples
No.
Symbole, utilisation
Sens
Remarques It exempiet
-
1-5.1
definite integral of the function f fron
Special notations
z to b
n a
int,égrale de la fonction f de a 8, b
Jc Js s, Q
are used for integration over a curve C,
a surface S and a volume V, and over a
closed curve or surface, respectively
Les notations spbciales
L Js IV Q
sont utilisées respectivement pour l'in-
tégration sur une courbe C, une surface
S, un volume V, et sur une courbe ou
une surface fermee
1-5.1 9 Kronecker delta symbol 1 for i=k
6,, =
O for i#k
iymbole delta de Kronecker
where i and k are integers
1 pour i=k
'{k = 1 O pour i#k
oh i et k sont entiers
= 1 for (i,j, k) = (1,2,3) and is com-
1-5.20 Levi-Civita symbol
pletely antisymmetric in the indices
iymbole de Levi-Civita
est Bgale & 1 pour (i,j, k) = (1,2,3)
et est totalement antisymbtrique par
rapport aux indioes
1-5.21 Dirac delta distribution (function)
iistribution (delta) de Dirac
1 for x>O
mit step function, Heaviside function
1-5.22
E(X) =
O for x
ionction Bchelon unit6, fonction de
H(x) and Y (x) are also usel
Heaviside
e(x) is used for unit step function of trime
1 pour x>O
E(X) =
O pour x
H(x) et Y (2) sont aussi utilif&
e(z) est utilise pour la fonction Bchelon
du temps
oonvolution product off and g
1-5.23
f*9
produit de convolution de f et g
-
15
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IS0 31/XI-1978 (E/F)
6 Exponential and logarithmic functions / Fonctions exponentielles et logarithmiques
-
Item gn, Symbol, Expression
Meaning Remarks and Examples
No. gne, symbole, expressioi
Sens
Remarques et exemples
-
~
11 -6.1
e base of natural logarithms
base des logarithmes népériens
11 -6.2 es expx sxponential function (to the base e) of 2
lxponentielle (de base e) de x
11 -6.3 ogarithm to the base a of x
ogarithme de base a de x
11 -6.4 latural logarithm of z logx is often used in place of lnz or
Igx. It should then be made clear from
Dgarithme ndpkrien de x
the context which base is implied
logs est souvent utilise h la place de
11 -6.5 ommon (Briggsian) logarithm of x
lnz ou lgx. Le contexte doit indiquer
clairement quelle est la base employee
Dgarithme decimal (briggsien) de x
11 -6.6 binary logarithm of x
ogarithme binaire de x
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IS0 31/Xl-1978 (E/F)
7 Circ
...
Questions, Comments and Discussion
Ask us and Technical Secretary will try to provide an answer. You can facilitate discussion about the standard in here.