IEC 60287-1-3:2002

Electric cables - Calculation of the current rating - Part 1-3: Current rating equations (100 % load factor) and calculation of losses - Current sharing between parallel single-core cables and calculation of circulating current losses

Provides a method for calculating the phase currents and circulating current losses in single-core cables arranged in parallel. The method described in this standard can be used for any number of cables per phase in parallel in any physical layout. The phase currents can be calculated for any arrangement of sheath bonding. For the calculation of sheath losses, it is assumed that the sheaths are bonded at both ends. A method for calculating sheath eddy current losses in two circuits in flat formation is given in IEC 60287-1-2.

Câbles électriques - Calcul du courant admissible - Partie 1-3: Équations de l'intensité du courant admissible (facteur de charge 100 %) et calcul des pertes - Répartition du courant entre des câbles unipolaires disposés en parallèle et calcul des pertes par courant de circulation

Fournit une méthode de calcul des courants de phase et des pertes par courant de circulation dans des câbles unipolaires disposés en parallèle. La méthode décrite dans cette norme peut être utilisée pour un nombre quelconque de câbles par phase lorsqu'ils sont disposés en parallèle, et quelle qu'en soit la disposition géométrique. Les courants de phase peuvent être calculés pour toutes les techniques de mise à la terre des gaines. Pour le calcul des pertes dans les gaines, l'hypothèse est faite que les gaines sont mises à la terre aux deux extrémités. La CEI 60287-1-2 donne une méthode de calcul des pertes dans les gaines par courants de Foucault pour deux circuits posés en nappe.

General Information

• Status: Published
• Publication Date: 20-May-2002
• ICS: 29.060.20 - Cables
• Technical Committee: TC 20 - Electric cables
• Drafting Committee: WG 19 - TC 20/WG 19
• Current Stage: DELPUB - Deleted Publication
• Start Date: 22-May-2023
• Completion Date: 29-Jan-2021

Relations

• Revised: IEC 60287-1-3:2023 - Electric cables - Calculation of the current rating - Part 1-3: Current rating equations (100 % load factor) and calculation of losses - Current sharing between parallel single-core cables and calculation of circulating current losses
• Effective Date: 05-Sep-2023

Overview

IEC 60287-1-3:2002 specifies a method for calculating current sharing and circulating current losses in parallel single‑core cables. The standard covers any number of cables per phase in any physical layout and for any sheath‑bonding arrangement. It provides the current‑sharing equations (100 % load factor), loss factors for sheaths, and guidance on assembling the simultaneous complex equations that describe phase and sheath currents. The document assumes sheath losses are calculated with sheaths bonded at both ends and recommends computer‑based matrix solutions for practical implementation.

Key Topics

• Current sharing between parallel single‑core cables: equations to determine how phase current divides among parallel conductors, including the effect of phase rotation.
• Circulating current losses: calculation of sheath circulating currents and the resulting losses expressed via a sheath loss factor (λ′).
• Impedance modelling: use of self and mutual reactance (dependant on conductor spacing and layout) and conductor/sheath resistances to form complex impedance matrices.
• Matrix solution: assembly and solution of the simultaneous complex equations (typically 6·n equations for n cables per phase) using linear algebra-manual solution is impractical; computer methods are recommended.
• Assumptions & limitations:
  • Conductors are assumed to have equal cross‑section for simplicity (adaptable for unequal resistances).
  • The method does not account for circulating current paths through earth or other external conductors.
  • Sheath loss calculations assume sheaths bonded at both ends; single‑point bonding and open‑end sheath voltages can be handled with adapted equations.
• Thermal coupling note: circulating current losses affect sheath temperatures and external thermal resistance; an iterative approach is recommended when combining electrical loss calculations with thermal resistance (see IEC 60287‑2‑1).

Applications

• Design and rating of parallel single‑core cable systems in power transmission and distribution.
• Evaluating unequal current sharing, optimizing cable layouts to minimize circulating currents and losses.
• Assessing sheath loss contributions when specifying cable bonding practices and route configurations.
• Useful for electrical engineers, cable designers, utilities, consultants, and researchers involved in cable system sizing, thermal design, and loss minimization.

Who uses it:

• Power utilities and network planners
• Cable manufacturers and system designers
• Consulting engineers performing ampacity and loss studies

Related Standards

• IEC 60287-1-2 - Sheath eddy current loss factors for two circuits in flat formation.
• IEC 60287-2-1 - Thermal resistance calculations (relevant when iterating losses and temperature).

Keywords: IEC 60287-1-3, current sharing, parallel single-core cables, circulating current losses, cable current rating, sheath losses, mutual reactance, matrix solution, sheath bonding.

Standards Content (Sample)

INTERNATIONAL IEC
STANDARD 60287-1-3
First edition
2002-05
Electric cables –
Calculation of the current rating –
Part 1-3:
Current rating equations (100 % load factor)
and calculation of losses –
Current sharing between parallel single-core
cables and calculation of circulating
current losses
This English-language version is derived from the original
bilingual publication by leaving out all French-language
pages. Missing page numbers correspond to the French-
language pages.
Reference number
Publication numbering
As from 1 January 1997 all IEC publications are issued with a designation in the

60000 series. For example, IEC 34-1 is now referred to as IEC 60034-1.

Consolidated editions
The IEC is now publishing consolidated versions of its publications. For example,

edition numbers 1.0, 1.1 and 1.2 refer, respectively, to the base publication, the

base publication incorporating amendment 1 and the base publication incorporating

amendments 1 and 2.
Further information on IEC publications
The technical content of IEC publications is kept under constant review by the IEC,
thus ensuring that the content reflects current technology. Information relating to
this publication, including its validity, is available in the IEC Catalogue of
publications (see below) in addition to new editions, amendments and corrigenda.
Information on the subjects under consideration and work in progress undertaken
by the technical committee which has prepared this publication, as well as the list
of publications issued, is also available from the following:
• IEC Web Site (www.iec.ch)
• Catalogue of IEC publications
The on-line catalogue on the IEC web site (www.iec.ch/searchpub) enables you to
search by a variety of criteria including text searches, technical committees
and date of publication. On-line information is also available on recently issued
publications, withdrawn and replaced publications, as well as corrigenda.
• IEC Just Published
This summary of recently issued publications (www.iec.ch/online_news/ justpub)
is also available by email. Please contact the Customer Service Centre (see
below) for further information.
• Customer Service Centre
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INTERNATIONAL IEC
STANDARD 60287-1-3
First edition
2002-05
Electric cables –
Calculation of the current rating –
Part 1-3:
Current rating equations (100 % load factor)
and calculation of losses –
Current sharing between parallel single-core
cables and calculation of circulating
current losses
 IEC 2002 Copyright - all rights reserved
No part of this publication may be reproduced or utilized in any form or by any means, electronic or mechanical,
including photocopying and microfilm, without permission in writing from the publisher.
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PRICE CODE
R
Commission Electrotechnique Internationale
International Electrotechnical Commission
МеждународнаяЭлектротехническаяКомиссия
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60287-1-3  IEC:2002 – 3 –
CONTENTS
FOREWORD.5

INTRODUCTION.7

1 Scope.9

2 Normative references .9

3 Symbols .9

4 Description of method.11

4.1 General .11

4.2 Outline of method.13
4.3 Matrix solution.19
Annex A (informative) Example calculations.21
Annex B (informative) Example of the computation of
the coefficient α for hollow core conductors .37
Bibliography.39
Figure B.1 – Representation of a hollow core conductor.37
Table 1 – Values of α for conductors .17
Table A.1 – Calculated values of d .29
j,k
Table A.2 – Calculated values of zz.29
Table A.3 – Array [Z] including coefficients for currents.31

60287-1-3  IEC:2002 – 5 –
INTERNATIONAL ELECTROTECHNICAL COMMISSION

____________
ELECTRIC CABLES –
CALCULATION OF THE CURRENT RATING –

Part 1-3: Current rating equations (100 % load factor)

and calculation of losses –
Current sharing between parallel single-core cables

and calculation of circulating current losses

FOREWORD
1) The IEC (International Electrotechnical Commission) is a worldwide organization for standardization comprising
all national electrotechnical committees (IEC National Committees). The object of the IEC is to promote
international co-operation on all questions concerning standardization in the electrical and electronic fields. To
this end and in addition to other activities, the IEC publishes International Standards. Their preparation is
entrusted to technical committees; any IEC National Committee interested in the subject dealt with may
participate in this preparatory work. International, governmental and non-governmental organizations liaising
with the IEC also participate in this preparation. The IEC collaborates closely with the International
Organization for Standardization (ISO) in accordance with conditions determined by agreement between the
two organizations.
2) The formal decisions or agreements of the IEC on technical matters express, as nearly as possible, an
international consensus of opinion on the relevant subjects since each technical committee has representation
from all interested National Committees.
3) The documents produced have the form of recommendations for international use and are published in the form
of standards, technical specifications, technical reports or guides and they are accepted by the National
Committees in that sense.
4) In order to promote international unification, IEC National Committees undertake to apply IEC International
Standards transparently to the maximum extent possible in their national and regional standards. Any
divergence between the IEC Standard and the corresponding national or regional standard shall be clearly
indicated in the latter.
5) The IEC provides no marking procedure to indicate its approval and cannot be rendered responsible for any
equipment declared to be in conformity with one of its standards.
6) Attention is drawn to the possibility that some of the elements of this International Standard may be the subject
of patent rights. The IEC shall not be held responsible for identifying any or all such patent rights.
International Standard IEC 60287-1-3 has been prepared by IEC technical committee 20:
Electric cables.
The text of this standard is based on the following documents:
FDIS Report on voting
20/522/FDIS 20/535/RVD
Full information on the voting for the approval of this standard can be found in the report on
voting indicated in the above table.
This publication has been drafted in accordance with the ISO/IEC Directives, Part 3.
Annexes A and B are for information only.
The committee has decided that this publication remains valid until 2008. At this date, in
accordance with the committee’s decision, the publication will be
• reconfirmed;
• withdrawn;
• replaced by a revised edition, or
• amended.
60287-1-3  IEC:2002 – 7 –
INTRODUCTION
When single-core cables are installed in parallel the load current may not share equally

between the parallel cables. The circulating currents in the sheaths of the parallel cables will

also differ. This is because a significant proportion of the impedance of large conductors is

due to self reactance and mutual reactance. Hence the spacing and relative location of each

cable will have an effect on the current sharing and the circulating currents. The currents are

also affected by phase rotation. The method described in this standard can be used to

calculate the current sharing between conductors as well as the circulating current losses.

There is no simple rule by which the circulating current losses of parallel cables can be

estimated. Calculation for each cable configuration is necessary. The principles and
impedance formulae involved are straightforward but the difficulty arises in solving the large
number of simultaneous equations generated. The number of equations to be solved generally
precludes the use of manual calculations and solution by computer is recommended. For n
cables per phase having metallic sheaths in a three-phase system there are six n equations
containing the same number of complex variables.
For simplicity the equations set out in this standard assume that the parallel conductors all
have the same cross-sectional area. If this is not the case, the equations may be adapted to
allow for different resistances for each conductor. The effect of neutral and earth conductors
can also be calculated by including these conductors in the appropriate loops. The method set
out in this standard does not take account of any portion of the sheath circulating currents
that may flow through the earth or other extraneous paths.
The conductor currents and sheath circulating currents in parallel single-core cables are
unlikely to be equal. Because of this, the external thermal resistance for buried parallel cables
should be calculated using the method set out in 3.1 of IEC 60287-2-1. Because the external
thermal resistance and sheath temperatures are functions of the power dissipation from each
cable in the group it is necessary to adopt an iterative procedure to determine the circulating
current losses and the external thermal resistance.

60287-1-3  IEC:2002 – 9 –
ELECTRIC CABLES –
CALCULATION OF THE CURRENT RATING –

Part 1-3: Current rating equations (100 % load factor)

and calculation of losses –
Current sharing between parallel single-core cables

and calculation of circulating current losses

1 Scope
This part of IEC 60287 provides a method for calculating the phase currents and circulating
current losses in single-core cables arranged in parallel.
The method described in this standard can be used for any number of cables per phase in
parallel in any physical layout. The phase currents can be calculated for any arrangement of
sheath bonding. For the calculation of sheath losses, it is assumed that the sheaths are
bonded at both ends. A method for calculating sheath eddy current losses in two circuits in
flat formation is given in IEC 60287-1-2.
2 Normative references
The following referenced documents are indispensable for the application of this document.
For dated references, only the edition cited applies. For undated references, the latest edition
of the referenced document (including any amendments) applies.
IEC 60287-1-2:1993, Electric cables – Calculation of the current rating – Part 1: Current rating
equations (100 % load factor) and calculation of losses – Section 2: Sheath eddy current loss
factors for two circuits in flat formation
IEC 60287-2-1:1994, Electric cables – Calculation of the current rating – Part 2: Thermal
resistance – Section 1: Calculation of thermal resistance
3 Symbols
d diameter of the conductor, mm
c
d mean diameter of the sheath, mm
s
f frequency, Hz
i, k elements in the series of conductors
m, n elements in the series of cables
p number of cables per phase
D axial spacing between conductors, mm
mn
I current in the conductor of cable p, A
p
I circulating current in the sheath of cable p, A
sp
R
resistance of a conducting element, Ω/m

60287-1-3  IEC:2002 – 11 –
R
a.c. resistance of conductor at maximum operating temperature, Ω/m
c
R
resistance of sheath at operating temperature, Ω/m
s
X apparent mutual reactance of a pair of conductors
i,k
conductor voltage drop
ΔV
α coefficient depending on the construction of the conductor

sheath loss factor of cable p due to circulating currents
λ’
p
–1
ω angular frequency of system (2πf), s

4 Description of method
4.1 General
The method calculates the proportion of the phase current carried by each parallel conductor
and the circulating current in the sheath of each cable. The loss factor (λ) for each case is
then calculated as the ratio of the losses in a sheath caused by circulating currents to the
losses in the conductor of that cable.
The method of calculation set out below only considers voltage drop along the conductors.
Any unbalance in the load which would lead to unbalanced phase currents is ignored.
The equations to be solved for the unknown currents in the parallel conductors and their
sheaths are built up from a consideration of the basic formulae for the impedance associated
with a loop consisting of two long conductors lying parallel to each other and the formulae for
the mutual impedance between a loop and an adjacent conductor. Consideration of these
equations leads to a system of simultaneous equations for the impedance voltage for all the
conductors and sheaths in a three-phase parallel cable system. The impedance voltages for
all conductors in parallel in the same phase are equal. Also for the conductors representing
the bonded sheaths the voltages are equal. Hence the impedance voltages can be eliminated
from the equations. The sum of the currents in the parallel conductors is equal to either the
known phase current or zero for the sheaths. This provides the additional information needed
for solution of the simultaneous equations.
It should be noted that all the currents are complex quantities containing both real and
imaginary parts.
The mutual impedance between conductors is a function of their relative positions. Hence, if
the relative positions of the cables vary along the route, or the sheaths are cross-bonded,

then the impedance for each section shall be calculated individually and the vector results
summed in order to obtain the total impedance of each loop. If the route length is very short,
then significant errors may occur in the calculated result due to the change in the relative
positions of the cables as they approach the terminations.
The equations set out in this standard can also be used to calculate the current sharing
between cables without a metallic sheath or armour and between cables with the sheaths
connected together at one end only, single-point bonded. For such calculations, the
circulating current in each sheath is zero. Where cable sheaths are bonded at one end only,
the standing voltage at the open circuit end of the sheath can also be determined using this
method of calculation.
For the method set out in this standard, it is recommended that the solution of the equations is
achieved by a process of matrix algebra. This has the advantage that the solution achieved
is unique and not a function of an iterative process.

60287-1-3  IEC:2002 – 13 –
4.2 Outline of met
...

NORME CEI
INTERNATIONALE 60287-1-3
Première édition
2002-05
Câbles électriques –
Calcul du courant admissible –
Partie 1-3:
Equations de l’intensité du courant admissible
(facteur de charge 100 %) et calcul des pertes –
Répartition du courant entre des câbles
unipolaires disposés en parallèle et calcul
des pertes par courant de circulation

Cette version française découle de la publication d’origine
bilingue dont les pages anglaises ont été supprimées.
Les numéros de page manquants sont ceux des pages
supprimées.
Numéro de référence
CEI 60287-1-3:2002(F)
Numérotation des publications
Depuis le 1er janvier 1997, les publications de la CEI sont numérotées à partir de

60000. Ainsi, la CEI 34-1 devient la CEI 60034-1.

Editions consolidées
Les versions consolidées de certaines publications de la CEI incorporant les

amendements sont disponibles. Par exemple, les numéros d’édition 1.0, 1.1 et 1.2

indiquent respectivement la publication de base, la publication de base incorporant

l’amendement 1, et la publication de base incorporant les amendements 1 et 2

Informations supplémentaires sur les publications de la CEI
Le contenu technique des publications de la CEI est constamment revu par la CEI
afin qu'il reflète l'état actuel de la technique. Des renseignements relatifs à cette
publication, y compris sa validité, sont disponibles dans le Catalogue des
publications de la CEI (voir ci-dessous) en plus des nouvelles éditions, amende-
ments et corrigenda. Des informations sur les sujets à l’étude et l’avancement des
travaux entrepris par le comité d’études qui a élaboré cette publication, ainsi que la
liste des publications parues, sont également disponibles par l’intermédiaire de:
• Site web de la CEI (www.iec.ch)
• Catalogue des publications de la CEI
Le catalogue en ligne sur le site web de la CEI (www.iec.ch/searchpub) vous permet
de faire des recherches en utilisant de nombreux critères, comprenant des
recherches textuelles, par comité d’études ou date de publication. Des informations
en ligne sont également disponibles sur les nouvelles publications, les publications
remplacées ou retirées, ainsi que sur les corrigenda.
• IEC Just Published
Ce résumé des dernières publications parues (www.iec.ch/online_news/justpub)
est aussi disponible par courrier électronique. Veuillez prendre contact avec le
Service client (voir ci-dessous) pour plus d’informations.
• Service clients
Si vous avez des questions au sujet de cette publication ou avez besoin de
renseignements supplémentaires, prenez contact avec le Service clients:
Email: [e-mail]
Tél: [phone]
Fax: [phone]
NORME CEI
INTERNATIONALE 60287-1-3
Première édition
2002-05
Câbles électriques –
Calcul du courant admissible –
Partie 1-3:
Equations de l’intensité du courant admissible
(facteur de charge 100 %) et calcul des pertes –
Répartition du courant entre des câbles
unipolaires disposés en parallèle et calcul
des pertes par courant de circulation

 IEC 2002 Droits de reproduction réservés
Aucune partie de cette publication ne peut être reproduite ni utilisée sous quelque forme que ce soit et par aucun
procédé, électronique ou mécanique, y compris la photocopie et les microfilms, sans l'accord écrit de l'éditeur.
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R
Commission Electrotechnique Internationale
International Electrotechnical Commission
МеждународнаяЭлектротехническаяКомиссия
Pour prix, voir catalogue en vigueur

– 2 – 60287-1-3  CEI:2002
SOMMAIRE
AVANT-PROPOS .4

INTRODUCTION.6

1 Domaine d’application.8

2 Références normatives .8

3 Symboles.8
4 Description de la méthode .10
4.1 Généralités.10
4.2 Résumé de la méthode .12
4.3 Solution matricielle .18
Annexe A (informative) Exemple de calculs .20
Annexe B (informative) Exemple de calcul du coefficient α pour
les conducteurs à âme creuse.36
Bibliographie .38
Figure B.1 – Représentation d'un conducteur à âme creuse.36
Tableau 1 – Valeurs de α pour les âmes.16
Tableau A.1 – Valeurs calculées de d .28
j,k
Tableau A.2 – Valeurs calculées de zz .28
Tableau A.3 – Matrice [Z] comprenant les coefficients des courants.30

– 4 – 60287-1-3  CEI:2002
COMMISSION ÉLECTROTECHNIQUE INTERNATIONALE

____________
CÂBLES ÉLECTRIQUES –
CALCUL DU COURANT ADMISSIBLE –

Partie 1-3: Equations de l’intensité du courant admissible

(facteur de charge 100 %) et calcul des pertes –

Répartition du courant entre des câbles unipolaires disposés en parallèle

et calcul des pertes par courant de circulation

AVANT-PROPOS
1) La CEI (Commission Electrotechnique Internationale) est une organisation mondiale de normalisation composée
de l'ensemble des comités électrotechniques nationaux (Comités nationaux de la CEI). La CEI a pour objet de
favoriser la coopération internationale pour toutes les questions de normalisation dans les domaines de
l'électricité et de l'électronique. A cet effet, la CEI, entre autres activités, publie des Normes internationales.
Leur élaboration est confiée à des comités d'études, aux travaux desquels tout Comité national intéressé par le
sujet traité peut participer. Les organisations internationales, gouvernementales et non gouvernementales, en
liaison avec la CEI, participent également aux travaux. La CEI collabore étroitement avec l'Organisation
Internationale de Normalisation (ISO), selon des conditions fixées par accord entre les deux organisations.
2) Les décisions ou accords officiels de la CEI concernant les questions techniques représentent, dans la mesure
du possible un accord international sur les sujets étudiés, étant donné que les Comités nationaux intéressés
sont représentés dans chaque comité d’études.
3) Les documents produits se présentent sous la forme de recommandations internationales. Ils sont publiés
comme normes, spécifications techniques, rapports techniques ou guides et agréés comme tels par les Comités
nationaux.
4) Dans le but d'encourager l'unification internationale, les Comités nationaux de la CEI s'engagent à appliquer de
façon transparente, dans toute la mesure possible, les Normes internationales de la CEI dans leurs normes
nationales et régionales. Toute divergence entre la norme de la CEI et la norme nationale ou régionale
correspondante doit être indiquée en termes clairs dans cette dernière.
5) La CEI n’a fixé aucune procédure concernant le marquage comme indication d’approbation et sa responsabilité
n’est pas engagée quand un matériel est déclaré conforme à l’une de ses normes.
6) L’attention est attirée sur le fait que certains des éléments de la présente Norme internationale peuvent faire
l’objet de droits de propriété intellectuelle ou de droits analogues. La CEI ne saurait être tenue pour
responsable de ne pas avoir identifié de tels droits de propriété et de ne pas avoir signalé leur existence.
La Norme internationale CEI 60287-1-3 a été établie par le Comité d'études 20 de la CEI:
Câbles électriques.
Le texte de cette norme est issu des documents suivants:
FDIS Rapport de vote
20/522/FDIS 20/535/RVD
Le rapport de vote indiqué dans le tableau ci-dessus donne toute information sur le vote ayant
abouti à l'approbation de cette norme.
Cette publication a été rédigée selon les Directives ISO/CEI, Partie 3.
Les annexes A et B sont données uniquement à titre d’information.
Le comité a décidé que le contenu de cette publication ne sera pas modifié avant 2008. A cette
date, la publication sera
• reconduite;
• supprimée;
• remplacée par une édition révisée, ou
• amendée.
– 6 – 60287-1-3  CEI:2002
INTRODUCTION
Lorsque des câbles unipolaires sont installés en parallèle, le courant de charge peut ne pas

être réparti également entre les câbles. Les courants circulant dans les gaines des câbles

peuvent également être de valeur différente. Cela est dû au fait qu'une proportion non

négligeable de l'impédance des conducteurs de forte section provient de leur réactances

propre et mutuelle. Ainsi l'espacement et la position de chaque câble par rapport aux autres

auront un effet sur la répartition du courant et sur les courants de circulation. Les courants

dépendent aussi du sens de rotation des phases. La méthode décrite dans la présente norme

peut être utilisée pour le calcul de la répartition des courants entre les conducteurs de phase,

ainsi que pour les pertes par courant de circulation.

Il n'y a pas de règle simple permettant d'estimer les pertes par courant de circulation dans des
câbles parallèles: un calcul est nécessaire pour chaque configuration. Les principes et les
formules des impédances sont simples; la difficulté réside dans la résolution du grand nombre
d'équations simultanées ainsi générées. Le nombre d'équations à résoudre est généralement
trop élevé pour permettre l'utilisation du calcul manuel, et une solution informatique est
recommandée. Pour n câbles par phase dotés de gaines métalliques, dans un système
triphasé, il y a six n équations qui contiennent le même nombre de variables complexes.
Pour des raisons de simplicité, les équations proposées dans cette norme partent de l'hypo-
thèse que les conducteurs disposés en parallèle sont tous de même section. Si cette condition
n'est pas vérifiée, les équations peuvent être ajustées pour tenir compte de la différence des
résistances dans chaque conducteur. L'effet des conducteurs de neutre et de terre peut égale-
ment être pris en compte en incluant ces conducteurs dans le calcul des boucles appropriées.
La méthode proposée dans cette norme ne prend pas en compte la composante du courant
circulant dans la gaine qui pourrait s'écouler par le réseau de terre ou toute autre voie.
Les courants dans les âmes et les courants de circulation dans les gaines des câbles
unipolaires disposés en parallèle ont peu de risque d'être répartis de manière uniforme. Ainsi il
convient que la résistance thermique externe des câbles souterrains disposés en parallèle soit
calculée par la méthode décrite en 3.1 de la CEI 60287-2-1. En raison du fait que la résistance
thermique externe et la température de la gaine sont conditionnées par la dissipation des pertes
de chacun des câbles de l’ensemble, il est nécessaire de passer par une procédure itérative pour
déterminer les pertes par courant de circulation et la résistance thermique externe.

– 8 – 60287-1-3  CEI:2002
CÂBLES ÉLECTRIQUES –
CALCUL DU COURANT ADMISSIBLE –

Partie 1-3: Equations de l’intensité du courant admissible

(facteur de charge 100 %) et calcul des pertes –

Répartition du courant entre des câbles unipolaires disposés en parallèle

et calcul des pertes par courant de circulation

1 Domaine d’application
La présente partie de la CEI 60287 fournit une méthode de calcul des courants de phase et
des pertes par courant de circulation dans des câbles unipolaires disposés en parallèle.
La méthode décrite dans cette norme peut être utilisée pour un nombre quelconque de câbles
par phase lorsqu'ils sont disposés en parallèle, et quelle qu'en soit la disposition géométrique.
Les courants de phase peuvent être calculés pour toutes les techniques de mise à la terre des
gaines. Pour le calcul des pertes dans les gaines, l'hypothèse est faite que les gaines sont
mises à la terre aux deux extrémités. La CEI 60287-1-2 donne une méthode de calcul des
pertes dans les gaines par courants de Foucault pour deux circuits posés en nappe.
2 Références normatives
Les documents de référence suivants sont indispensables pour l'application du présent
document. Pour les références datées, seule l'édition citée s'applique. Pour les références non
datées, la dernière édition du document de référence s'applique (y compris les éventuels
amendements).
CEI 60287-1-2:1993, Câbles électriques – Calcul du courant admissible – Partie 1: Equations
de l’intensité du courant admissible (facteur de charge 100 %) et calcul des pertes – Section 2:
Facteurs de pertes par courants de Foucault dans les gaines dans le cas de deux circuits
disposés en nappe
CEI 60287-2-1:1994, Câbles électriques – Calcul du courant admissible – Partie 2: Résistance
thermique – Section 1: Calcul de la résistance thermique
3 Symboles
d diamètre de l’âme, mm
c
d diamètre moyen de la gaine, mm
s
f fréquence, Hz
i, k éléments de la série des conducteurs
m, n éléments de la série des câbles
p nombre de câbles par phase
D entraxe des câbles, mm
mn
courant du conducteur du câble p, A
I
p
I courant de circulation dans la gaine du câble p, A
sp
R
résistance d’un élément conducteur, Ω/m

– 10 – 60287-1-3  CEI:2002
R résistance en courant alternatif de l’âme à la température d'exploitation
c
maximale, Ω/m
R résistance de la gaine à la température d'exploitation, Ω/m
s
X réactance mutuelle apparente d'une paire de conducteurs
i,k
ΔV chute de tension dans un conducteur

coefficient dépendant de la structure de l’âme
α
facteur de pertes dans la gaine du câble p dû aux courants de circulation
λ’
p
–1
ω pulsation (fréquence angulaire) du système (2πf), s
4 Description de la méthode
4.1 Généralités
La méthode calcule la proportion du courant de phase transitée par chaque âme, ainsi que le
courant circulant dans la gaine de chacun des câbles en parallèle. Le facteur de pertes (λ)
pour chaque cas est ensuite calculé comme étant le rapport des pertes dans la gaine causées
par les courants de circulation, aux pertes dans l’âme de ce même câble.
La méthode de calcul décrite ci-dessous prend en compte uniquement les chutes de tension le
long des conducteurs. Elle n’intègre pas les déséquilibres de charge conduisant à des courants
de phase déséquilibrés.
Les équations à résoudre pour le calcul des courants inconnus dans les conducteurs parallèles
et leurs gaines sont construites à partir de formules de base donnant, d'une part, l'impédance
d'une boucle comprenant deux conducteurs longs disposés en parallèle et, d'autre part
l'impédance mutuelle entre une boucle et un conducteur avoisinant. La considération de ces
équations permet d'aboutir à un système d'équations simultanées pour la chute de tension
longitudinale dans les âmes et les gaines dans un système triphasé de câbles disposés en
parallèle. Les chutes de tension longitudinales dans toutes les âmes en parallèle de la même
phase sont égales, comme les chutes de tension longitudinales dans les gaines reliées entre
elles. De sorte que les chutes de tension peuvent être éliminées des équations. La somme des
courants dans les conducteurs parallèles est égale, soit au courant de phase connu, soit à zéro
en ce qui concerne les gaines, ce qui fournit les informations supplémentaires nécessaires à la
résolution des équations simultanées.
A noter que les courants en question sont des quantités complexes, contenant des compo-
santes à la fois réelles et imaginaires.
L'impédance mutuelle entre les conducteurs est fonction de leur positionnement l'un par
rapport à l'autre. Ainsi, lorsque le positionnement relatif des câbles varie le long du trajet ou

que les gaines sont permutées, l'impédance pour chaque tronçon doit être calculée individu-
ellement, avec sommation des résultats vectoriels, pour arriver à l'impédance totale pour
chaque boucle. Si la longueur de la liaison est très courte, des erreurs non négligeables
peuvent se produire au niveau du résultat calculé, en raison de la variation du positionnement
des câbles les uns par rapport aux autres à proximité des extrémités du système.
Les équations décrites dans cette norme peuvent également servir à calculer la répartition du
courant entre les câbles non pourvus de gaine métallique ou d’armure, et entre les câbles dont
les gaines sont mises à la terre en un point, à une seule extrémité. Pour de tels calculs, le
courant circulant dans chaque gaine est égal à zéro. Lorsque les gaines sont mises à la terre
en un point à une seule extrémité, la montée en potentiel des gaines à l'extrémité ouverte peut
également être déterminée par cette méthode.
En ce qui concerne la méthode décrite dans cette norme,
...

NORME CEI
INTERNATIONALE IEC
60287-1-3
INTERNATIONAL
Première édition
STANDARD
First edition
2002-05
Câbles électriques –
Calcul du courant admissible –
Partie 1-3:
Equations de l’intensité du courant admissible
(facteur de charge 100 %) et calcul des pertes –
Répartition du courant entre des câbles unipolaires
disposés en parallèle et calcul des pertes
par courant de circulation
Electric cables –
Calculation of the current rating –
Part 1-3:
Current rating equations (100 % load factor)
and calculation of losses –
Current sharing between parallel single-core cables
and calculation of circulating current losses
Numéro de référence
Reference number
CEI/IEC 60287-1-3:2002
Numérotation des publications Publication numbering
Depuis le 1er janvier 1997, les publications de la CEI As from 1 January 1997 all IEC publications are
sont numérotées à partir de 60000. Ainsi, la CEI 34-1 issued with a designation in the 60000 series. For
devient la CEI 60034-1. example, IEC 34-1 is now referred to as IEC 60034-1.
Editions consolidées Consolidated editions
Les versions consolidées de certaines publications de la The IEC is now publishing consolidated versions of its
CEI incorporant les amendements sont disponibles. Par publications. For example, edition numbers 1.0, 1.1
exemple, les numéros d’édition 1.0, 1.1 et 1.2 indiquent and 1.2 refer, respectively, to the base publication,
respectivement la publication de base, la publication de the base publication incorporating amendment 1 and
base incorporant l’amendement 1, et la publication de the base publication incorporating amendments 1
base incorporant les amendements 1 et 2. and 2.
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sur les publications de la CEI
Le contenu technique des publications de la CEI est The technical content of IEC publications is kept
constamment revu par la CEI afin qu'il reflète l'état under constant review by the IEC, thus ensuring that
actuel de la technique. Des renseignements relatifs à the content reflects current technology. Information
cette publication, y compris sa validité, sont dispo- relating to this publication, including its validity, is
nibles dans le Catalogue des publications de la CEI available in the IEC Catalogue of publications
(voir ci-dessous) en plus des nouvelles éditions, (see below) in addition to new editions, amendments
amendements et corrigenda. Des informations sur les and corrigenda. Information on the subjects under
sujets à l’étude et l’avancement des travaux entrepris consideration and work in progress undertaken by the
par le comité d’études qui a élaboré cette publication, technical committee which has prepared this
ainsi que la liste des publications parues, sont publication, as well as the list of publications issued,
également disponibles par l’intermédiaire de: is also available from the following:
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• Catalogue des publications de la CEI • Catalogue of IEC publications
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recherches en utilisant de nombreux critères, by a variety of criteria including text searches,
comprenant des recherches textuelles, par comité technical committees and date of publication. On-
d’études ou date de publication. Des informations line information is also available on recently
en ligne sont également disponibles sur les issued publications, withdrawn and replaced
nouvelles publications, les publications rempla- publications, as well as corrigenda.
cées ou retirées, ainsi que sur les corrigenda.
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• IEC Just Published
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Tél: [phone]
Tel: [phone]
Fax: [phone]
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NORME CEI
INTERNATIONALE IEC
60287-1-3
INTERNATIONAL
Première édition
STANDARD
First edition
2002-05
Câbles électriques –
Calcul du courant admissible –
Partie 1-3:
Equations de l’intensité du courant admissible
(facteur de charge 100 %) et calcul des pertes –
Répartition du courant entre des câbles unipolaires
disposés en parallèle et calcul des pertes
par courant de circulation
Electric cables –
Calculation of the current rating –
Part 1-3:
Current rating equations (100 % load factor)
and calculation of losses –
Current sharing between parallel single-core cables
and calculation of circulating current losses
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Международная Электротехническая Комиссия
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– 2 – 60287-1-3  CEI:2002
SOMMAIRE
AVANT-PROPOS .4
INTRODUCTION.6
1 Domaine d’application.8
2 Références normatives .8
3 Symboles.8
4 Description de la méthode .10
4.1 Généralités.10
4.2 Résumé de la méthode .12
4.3 Solution matricielle .18
Annexe A (informative) Exemple de calculs .20
Annexe B (informative) Exemple de calcul du coefficient α pour
les conducteurs à âme creuse.36
Bibliographie .38
Figure B.1 – Représentation d'un conducteur à âme creuse.36
Tableau 1 – Valeurs de α pour les âmes.16
Tableau A.1 – Valeurs calculées de d .28
j,k
Tableau A.2 – Valeurs calculées de zz .28
Tableau A.3 – Matrice [Z] comprenant les coefficients des courants.30

60287-1-3  IEC:2002 – 3 –
CONTENTS
FOREWORD.5
INTRODUCTION.7
1 Scope.9
2 Normative references .9
3 Symbols .9
4 Description of method.11
4.1 General .11
4.2 Outline of method.13
4.3 Matrix solution.19
Annex A (informative) Example calculations.21
Annex B (informative) Example of the computation of
the coefficient α for hollow core conductors .37
Bibliography.39
Figure B.1 – Representation of a hollow core conductor.37
Table 1 – Values of α for conductors .17
Table A.1 – Calculated values of d .29
j,k
Table A.2 – Calculated values of zz.29
Table A.3 – Array [Z] including coefficients for currents.31

– 4 – 60287-1-3  CEI:2002
COMMISSION ÉLECTROTECHNIQUE INTERNATIONALE
____________
CÂBLES ÉLECTRIQUES –
CALCUL DU COURANT ADMISSIBLE –
Partie 1-3: Equations de l’intensité du courant admissible
(facteur de charge 100 %) et calcul des pertes –
Répartition du courant entre des câbles unipolaires disposés en parallèle
et calcul des pertes par courant de circulation
AVANT-PROPOS
1) La CEI (Commission Electrotechnique Internationale) est une organisation mondiale de normalisation composée
de l'ensemble des comités électrotechniques nationaux (Comités nationaux de la CEI). La CEI a pour objet de
favoriser la coopération internationale pour toutes les questions de normalisation dans les domaines de
l'électricité et de l'électronique. A cet effet, la CEI, entre autres activités, publie des Normes internationales.
Leur élaboration est confiée à des comités d'études, aux travaux desquels tout Comité national intéressé par le
sujet traité peut participer. Les organisations internationales, gouvernementales et non gouvernementales, en
liaison avec la CEI, participent également aux travaux. La CEI collabore étroitement avec l'Organisation
Internationale de Normalisation (ISO), selon des conditions fixées par accord entre les deux organisations.
2) Les décisions ou accords officiels de la CEI concernant les questions techniques représentent, dans la mesure
du possible un accord international sur les sujets étudiés, étant donné que les Comités nationaux intéressés
sont représentés dans chaque comité d’études.
3) Les documents produits se présentent sous la forme de recommandations internationales. Ils sont publiés
comme normes, spécifications techniques, rapports techniques ou guides et agréés comme tels par les Comités
nationaux.
4) Dans le but d'encourager l'unification internationale, les Comités nationaux de la CEI s'engagent à appliquer de
façon transparente, dans toute la mesure possible, les Normes internationales de la CEI dans leurs normes
nationales et régionales. Toute divergence entre la norme de la CEI et la norme nationale ou régionale
correspondante doit être indiquée en termes clairs dans cette dernière.
5) La CEI n’a fixé aucune procédure concernant le marquage comme indication d’approbation et sa responsabilité
n’est pas engagée quand un matériel est déclaré conforme à l’une de ses normes.
6) L’attention est attirée sur le fait que certains des éléments de la présente Norme internationale peuvent faire
l’objet de droits de propriété intellectuelle ou de droits analogues. La CEI ne saurait être tenue pour
responsable de ne pas avoir identifié de tels droits de propriété et de ne pas avoir signalé leur existence.
La Norme internationale CEI 60287-1-3 a été établie par le Comité d'études 20 de la CEI:
Câbles électriques.
Le texte de cette norme est issu des documents suivants:
FDIS Rapport de vote
20/522/FDIS 20/535/RVD
Le rapport de vote indiqué dans le tableau ci-dessus donne toute information sur le vote ayant
abouti à l'approbation de cette norme.
Cette publication a été rédigée selon les Directives ISO/CEI, Partie 3.
Les annexes A et B sont données uniquement à titre d’information.
Le comité a décidé que le contenu de cette publication ne sera pas modifié avant 2008. A cette
date, la publication sera
• reconduite;
• supprimée;
• remplacée par une édition révisée, ou
• amendée.
60287-1-3  IEC:2002 – 5 –
INTERNATIONAL ELECTROTECHNICAL COMMISSION
____________
ELECTRIC CABLES –
CALCULATION OF THE CURRENT RATING –
Part 1-3: Current rating equations (100 % load factor)
and calculation of losses –
Current sharing between parallel single-core cables
and calculation of circulating current losses
FOREWORD
1) The IEC (International Electrotechnical Commission) is a worldwide organization for standardization comprising
all national electrotechnical committees (IEC National Committees). The object of the IEC is to promote
international co-operation on all questions concerning standardization in the electrical and electronic fields. To
this end and in addition to other activities, the IEC publishes International Standards. Their preparation is
entrusted to technical committees; any IEC National Committee interested in the subject dealt with may
participate in this preparatory work. International, governmental and non-governmental organizations liaising
with the IEC also participate in this preparation. The IEC collaborates closely with the International
Organization for Standardization (ISO) in accordance with conditions determined by agreement between the
two organizations.
2) The formal decisions or agreements of the IEC on technical matters express, as nearly as possible, an
international consensus of opinion on the relevant subjects since each technical committee has representation
from all interested National Committees.
3) The documents produced have the form of recommendations for international use and are published in the form
of standards, technical specifications, technical reports or guides and they are accepted by the National
Committees in that sense.
4) In order to promote international unification, IEC National Committees undertake to apply IEC International
Standards transparently to the maximum extent possible in their national and regional standards. Any
divergence between the IEC Standard and the corresponding national or regional standard shall be clearly
indicated in the latter.
5) The IEC provides no marking procedure to indicate its approval and cannot be rendered responsible for any
equipment declared to be in conformity with one of its standards.
6) Attention is drawn to the possibility that some of the elements of this International Standard may be the subject
of patent rights. The IEC shall not be held responsible for identifying any or all such patent rights.
International Standard IEC 60287-1-3 has been prepared by IEC technical committee 20:
Electric cables.
The text of this standard is based on the following documents:
FDIS Report on voting
20/522/FDIS 20/535/RVD
Full information on the voting for the approval of this standard can be found in the report on
voting indicated in the above table.
This publication has been drafted in accordance with the ISO/IEC Directives, Part 3.
Annexes A and B are for information only.
The committee has decided that this publication remains valid until 2008. At this date, in
accordance with the committee’s decision, the publication will be
• reconfirmed;
• withdrawn;
• replaced by a revised edition, or
• amended.
– 6 – 60287-1-3  CEI:2002
INTRODUCTION
Lorsque des câbles unipolaires sont installés en parallèle, le courant de charge peut ne pas
être réparti également entre les câbles. Les courants circulant dans les gaines des câbles
peuvent également être de valeur différente. Cela est dû au fait qu'une proportion non
négligeable de l'impédance des conducteurs de forte section provient de leur réactances
propre et mutuelle. Ainsi l'espacement et la position de chaque câble par rapport aux autres
auront un effet sur la répartition du courant et sur les courants de circulation. Les courants
dépendent aussi du sens de rotation des phases. La méthode décrite dans la présente norme
peut être utilisée pour le calcul de la répartition des courants entre les conducteurs de phase,
ainsi que pour les pertes par courant de circulation.
Il n'y a pas de règle simple permettant d'estimer les pertes par courant de circulation dans des
câbles parallèles: un calcul est nécessaire pour chaque configuration. Les principes et les
formules des impédances sont simples; la difficulté réside dans la résolution du grand nombre
d'équations simultanées ainsi générées. Le nombre d'équations à résoudre est généralement
trop élevé pour permettre l'utilisation du calcul manuel, et une solution informatique est
recommandée. Pour n câbles par phase dotés de gaines métalliques, dans un système
triphasé, il y a six n équations qui contiennent le même nombre de variables complexes.
Pour des raisons de simplicité, les équations proposées dans cette norme partent de l'hypo-
thèse que les conducteurs disposés en parallèle sont tous de même section. Si cette condition
n'est pas vérifiée, les équations peuvent être ajustées pour tenir compte de la différence des
résistances dans chaque conducteur. L'effet des conducteurs de neutre et de terre peut égale-
ment être pris en compte en incluant ces conducteurs dans le calcul des boucles appropriées.
La méthode proposée dans cette norme ne prend pas en compte la composante du courant
circulant dans la gaine qui pourrait s'écouler par le réseau de terre ou toute autre voie.
Les courants dans les âmes et les courants de circulation dans les gaines des câbles
unipolaires disposés en parallèle ont peu de risque d'être répartis de manière uniforme. Ainsi il
convient que la résistance thermique externe des câbles souterrains disposés en parallèle soit
calculée par la méthode décrite en 3.1 de la CEI 60287-2-1. En raison du fait que la résistance
thermique externe et la température de la gaine sont conditionnées par la dissipation des pertes
de chacun des câbles de l’ensemble, il est nécessaire de passer par une procédure itérative pour
déterminer les pertes par courant de circulation et la résistance thermique externe.

60287-1-3  IEC:2002 – 7 –
INTRODUCTION
When single-core cables are installed in parallel the load current may not share equally
between the parallel cables. The circulating currents in the sheaths of the parallel cables will
also differ. This is because a significant proportion of the impedance of large conductors is
due to self reactance and mutual reactance. Hence the spacing and relative location of each
cable will have an effect on the current sharing and the circulating currents. The currents are
also affected by phase rotation. The method described in this standard can be used to
calculate the current sharing between conductors as well as the circulating current losses.
There is no simple rule by which the circulating current losses of parallel cables can be
estimated. Calculation for each cable configuration is necessary. The principles and
impedance formulae involved are straightforward but the difficulty arises in solving the large
number of simultaneous equations generated. The number of equations to be solved generally
precludes the use of manual calculations and solution by computer is recommended. For n
cables per phase having metallic sheaths in a three-phase system there are six n equations
containing the same number of complex variables.
For simplicity the equations set out in this standard assume that the parallel conductors all
have the same cross-sectional area. If this is not the case, the equations may be adapted to
allow for different resistances for each conductor. The effect of neutral and earth conductors
can also be calculated by including these conductors in the appropriate loops. The method set
out in this standard does not take account of any portion of the sheath circulating currents
that may flow through the earth or other extraneous paths.
The conductor currents and sheath circulating currents in parallel single-core cables are
unlikely to be equal. Because of this, the external thermal resistance for buried parallel cables
should be calculated using the method set out in 3.1 of IEC 60287-2-1. Because the external
thermal resistance and sheath temperatures are functions of the power dissipation from each
cable in the group it is necessary to adopt an iterative procedure to determine the circulating
current losses and the external thermal resistance.

– 8 – 60287-1-3  CEI:2002
CÂBLES ÉLECTRIQUES –
CALCUL DU COURANT ADMISSIBLE –
Partie 1-3: Equations de l’intensité du courant admissible
(facteur de charge 100 %) et calcul des pertes –
Répartition du courant entre des câbles unipolaires disposés en parallèle
et calcul des pertes par courant de circulation
1 Domaine d’application
La présente partie de la CEI 60287 fournit une méthode de calcul des courants de phase et
des pertes par courant de circulation dans des câbles unipolaires disposés en parallèle.
La méthode décrite dans cette norme peut être utilisée pour un nombre quelconque de câbles
par phase lorsqu'ils sont disposés en parallèle, et quelle qu'en soit la disposition géométrique.
Les courants de phase peuvent être calculés pour toutes les techniques de mise à la terre des
gaines. Pour le calcul des pertes dans les gaines, l'hypothèse est faite que les gaines sont
mises à la terre aux deux extrémités. La CEI 60287-1-2 donne une méthode de calcul des
pertes dans les gaines par courants de Foucault pour deux circuits posés en nappe.
2 Références normatives
Les documents de référence suivants sont indispensables pour l'application du présent
document. Pour les références datées, seule l'édition citée s'applique. Pour les références non
datées, la dernière édition du document de référence s'applique (y compris les éventuels
amendements).
CEI 60287-1-2:1993, Câbles électriques – Calcul du courant admissible – Partie 1: Equations
de l’intensité du courant admissible (facteur de charge 100 %) et calcul des pertes – Section 2:
Facteurs de pertes par courants de Foucault dans les gaines dans le cas de deux circuits
disposés en nappe
CEI 60287-2-1:1994, Câbles électriques – Calcul du courant admissible – Partie 2: Résistance
thermique – Section 1: Calcul de la résistance thermique
3 Symboles
d diamètre de l’âme, mm
c
d diamètre moyen de la gaine, mm
s
f fréquence, Hz
i, k éléments de la série des conducteurs
m, n éléments de la série des câbles
p nombre de câbles par phase
D entraxe des câbles, mm
mn
courant du conducteur du câble p, A
I
p
I courant de circulation dans la gaine du câble p, A
sp
R
résistance d’un élément conducteur, Ω/m

60287-1-3  IEC:2002 – 9 –
ELECTRIC CABLES –
CALCULATION OF THE CURRENT RATING –
Part 1-3: Current rating equations (100 % load factor)
and calculation of losses –
Current sharing between parallel single-core cables
and calculation of circulating current losses
1 Scope
This part of IEC 60287 provides a method for calculating the phase currents and circulating
current losses in single-core cables arranged in parallel.
The method described in this standard can be used for any number of cables per phase in
parallel in any physical layout. The phase currents can be calculated for any arrangement of
sheath bonding. For the calculation of sheath losses, it is assumed that the sheaths are
bonded at both ends. A method for calculating sheath eddy current losses in two circuits in
flat formation is given in IEC 60287-1-2.
2 Normative references
The following referenced documents are indispensable for the application of this document.
For dated references, only the edition cited applies. For undated references, the latest edition
of the referenced document (including any amendments) applies.
IEC 60287-1-2:1993, Electric cables – Calculation of the current rating – Part 1: Current rating
equations (100 % load factor) and calculation of losses – Section 2: Sheath eddy current loss
factors for two circuits in flat formation
IEC 60287-2-1:1994, Electric cables – Calculation of the current rating – Part 2: Thermal
resistance – Section 1: Calculation of thermal resistance
3 Symbols
d diameter of the conductor, mm
c
d mean diameter of the sheath, mm
s
f frequency, Hz
i, k elements in the series of conductors
m, n elements in the series of cables
p number of cables per phase
D axial spacing between conductors, mm
mn
I current in the conductor of cable p, A
p
I circulating current in the sheath of cable p, A
sp
R
resistance of a conducting element, Ω/m

– 10 – 60287-1-3  CEI:2002
R résistance en courant alternatif de l’âme à la température d'exploitation
c
maximale, Ω/m
R résistance de la gaine à la température d'exploitation, Ω/m
s
X réactance mutuelle apparente d'une paire de conducteurs
i,k
ΔV chute de tension dans un conducteur
coefficient dépendant de la structure de l’âme
α
facteur de pertes dans la gaine du câble p dû aux courants de circulation
λ’
p
–1
ω pulsation (fréquence angulaire) du système (2πf), s
4 Description de la méthode
4.1 Généralités
La méthode calcule la proportion du courant de phase transitée par chaque âme, ainsi que le
courant circulant dans la gaine de chacun des câbles en parallèle. Le facteur de pertes (λ)
pour chaque cas est ensuite calculé comme étant le rapport des pertes dans la gaine causées
par les courants de circulation, aux pertes dans l’âme de ce même câble.
La méthode de calcul décrite ci-dessous prend en compte uniquement les chutes de tension le
long des conducteurs. Elle n’intègre pas les déséquilibres de charge conduisant à des courants
de phase déséquilibrés.
Les équations à résoudre pour le calcul des courants inconnus dans les conducteurs parallèles
et leurs gaines sont construites à partir de formules de base donnant, d'une part, l'impédance
d'une boucle comprenant deux conducteurs longs disposés en parallèle et, d'autre part
l'impédance mutuelle entre une boucle et un conducteur avoisinant. La considération de ces
équations permet d'aboutir à un système d'équations simultanées pour la chute de tension
longitudinale dans les âmes et les gaines dans un système triphasé de câbles disposés en
parallèle. Les chutes de tension longitudinales dans toutes les âmes en parallèle de la même
phase sont égales, comme les chutes de tension longitudinales dans les gaines reliées entre
elles. De sorte que les chutes de tension peuvent être éliminées des équations. La somme des
courants dans les conducteurs parallèles est égale, soit au courant de phase connu, soit à zéro
en ce qui concerne les gaines, ce qui fournit les informations supplémentaires nécessaires à la
résolution des équations simultanées.
A noter que les courants en question sont des quantités complexes, contenant des compo-
santes à la fois réelles et imaginaires.
L'impédance mutuelle entre les conducteurs est fonction de leur positionnement l'un par
rapport à l'autre. Ainsi, lorsque le positionnement relatif des câbles varie le long du trajet ou
que les gaines sont permutées, l'impédance pour chaque tronçon doit être calculée individu-
ellement, avec sommation des résultats vectoriels, pour arriver à l'impédance totale pour
chaque boucle. Si la longueur de la liaison est très courte, des erreurs non négligeables
peuvent se produire au niveau du résultat calculé, en raison de la variation du positionnement
des câbles les uns par rapport aux autres à proximité des extrémités du système.
Les équations décrites dans cette norme peuvent également servir à calculer la répartition du
courant entre les câbles non pourvus de gaine métallique ou d’armure, et entre les câbles dont
les gaines sont mises à la terre en un point, à une seule extrémité. Pour de tels calculs, le
courant circulant dans chaque gaine est égal à zéro. Lorsque les gaines sont mises à la terre
en un point à une seule extrémité, la montée en potentiel des gaines à l'extrémité ouverte peut
également être déterminée par cette méthode.
En ce qui concerne la méthode décrite dans cette norme, il est recommandé d’effectuer la
résolution des équations par un processus d'algèbre matriciel, dont un des avantages est que
la solution est unique, et non fonction d'un processus itératif.

60287-1-3  IEC:2002 – 11 –
R
a.c. resistance of conductor at maximum operating temperature, Ω/m
c
R
resistance of sheath at operating temperature, Ω/m
s
X apparent mutual reactance of a pair of conductors
i,k
conductor voltage drop
ΔV
α coefficient depending on the construction of the conductor
sheath loss factor of cable p due to circulating currents
λ’
p
–1
ω angular frequency of system (2πf), s
4 Description of method
4.1 General
The method calculates the proportion of the phase current carried by each parallel conductor
and the circulating current in the sheath of each cable. The loss factor (λ) for each case is
then calculated as the ratio of the losses in a sheath caused by circulating currents to the
losses in the conductor of that cable.
The method of calculation set out below only considers voltage drop along the conductors.
Any unbalance in the load which would lead to unbalanced phase currents is ignored.
The equations to be solved for the unknown currents in the parallel conductors and their
sheaths are built up from a consideration of the basic formulae for the impedance associated
with a loop consisting of two long conductors lying parallel to each other and the formulae for
the mutual impedance between a loop and an adjacent conductor. Consideration of these
equations leads to a system of simultaneous equations for the impedance voltage for all the
conductors and sheaths in a three-phase parallel cable system. The impedance voltages for
all conductors in parallel in the same phase are equal. Also for the conductors representing
the bonded sheaths the voltages are equal. Hence the impedance voltages can be eliminated
from the equations. The sum of the currents in the parallel conductors is equal to either the
known phase current or zero for the sheaths. This provides the additional information needed
for solution of the simultaneous equations.
It should be noted that all the currents are complex quantities containing both real and
imaginary parts.
The mutual impedance between conductors is a function of their relative positions. Hence, if
the relative positions of the cables vary along the route, or the sheaths are cross-bonded,
then the impedance for each section shall be calculated individually and the vector results
summed in order to obtain the total impedance of each loop. If the route length is very short,
then significant errors may occur in the calculated result due to the change in the relative
positions of the cables as they approach the terminations.
The equations set out in this standard can also be used to calculate the current sharing
between cables without a metallic sheath or armour and between cables with the sheaths
connected together at one end only, single-point bonded. For such calculations, the
circulating current in each sheath is zero. Where cable sheaths are bonded at one end only,
the standing voltage at the open circuit end of the sheath can also be determined using this
method of calculation.
For the method set out in this standard, it is recommended that the solution of the equations is
achieved by a process of matrix algebra. This has the advantage that the solution achieved
is unique and not a function of an iterative process.

– 12 – 60287-1-3  CEI:2002
4.2 Résumé de la méthode
Le facteur de pertes dans la gaine, dans un câble donné, pour un circuit constitué de plusieurs
câbles en parallèle, est représenté par:
 I 
R
sp
s
 
λ′ = (1)
p
 
I R
p c
 
où
′
λ est le facteur de pertes dans la gaine du câble p dû aux courants de circulation;
p
I est le courant circulant dans la gaine du câble p, en A;
sp
I est le courant dans l’âme du câble p, en A;
p
R est la résistance de la gaine à la température d'exploitation, en Ω/m;
s
R est la résistance en courant alternatif de l’âme à la température d'exploitation, en Ω/m.
c
Les valeurs des courants I et I sont obtenues par la résolution des équations ayant la forme
sp p
indiquée ci-dessous, où il existe p conducteurs en parallèle et un nombre total de n
conducteurs. Pour des raisons de commodité, les âmes et les gaines sont considérées comme
autant de conducteurs simples. Les courants des conducteurs de phase sont I , I , etc. Les
1 2
courants dans les gaines sont I , I , I , etc.
3p+1 3p+2 3p+3
La notation suivante est utilisée par souci de simplicité dans les calculs:
Référence de câbles
Circuit 1 …i …p
Phase R 1 … i … p
Phase S p + 1 … p + i … 2p
Phase T 2p + 1 … 2p + i … 3p
Les conducteurs peuvent être identifiés comme suit:
Référence d'un conducteur de phase = référence du câble
Référence d'une gaine de conducteur = référence du câble + 3p
Pour chaque phase le courant est représenté par:
p
I[]1+ j0      = I
R k
∑
k=1
2p
I[]− 0,5 − j0,866 = I (2)
S k
∑
k=p+1
3p
I[]− 0,5 + j0,866 = I
T ∑ k
k=2p+1
60287-1-3  IEC:2002 – 13 –
4.2 Outline of method
The loss factor for the sheath in a given cable in a parallel circuit is given by:
 I 
R
sp
s
 
′
λ = (1)
p
 
I R
p c
 
where
λ′ is the sheath loss factor of cable p due to circulating currents;
p
I is the circulating current in the sheath of cable p, in A;
sp
I is the current in the conductor of cable p, in A;
p
R is the resistance of sheath at operating temperature, in Ω/m;
s
R is the a.c. resistance of conductor at operating temperature, in Ω/m.
c
The currents I and I are obtained by solution of equations of the following form where there
sp p
are p conductors in parallel and a total of n conductors. To simplify matters, both the phase
conductors and the sheaths are referred to as conductors. The phase conductor currents are
I , I etc. The sheath currents are I , I , I , etc.
1 2 3p+1 3p+2 3p+3
For convenience in the calculations, the following notation is used:
Cable references
Circuit 1 …i …p
Phase R 1 … i … p
Phase S p + 1 … p + i … 2p
Phase T 2p + 1 … 2p + i … 3p
The conductors can then be identified as follows:
Reference of a phase conductor = reference of the cable
Reference of a sheath conductor = reference of the cable + 3p
For each phase the current is given by:
p
I[]1 + j 0      = I
R ∑ k
k =1
2 p
I[]− 0,5 − j 0,866 = I (2)
S k
∑
k =p+1
3 p
I[]− 0,5 + j 0,866 = I
T k
∑
k =2 p+1
– 14 – 60287-1-3  CEI:2002
Les équations ci-dessus partent de l'hypothèse d'une rotation de phase directe. Si la rotation
de phase n'est pas connue, le calcul doit être effectué pour les rotations directe et inverse.
Pour les boucles concernant les gaines, le courant est donné par:
6p
0 + j0 = I (3)
k
∑
k=3p+1
La chute de tension dans chaque conducteur est ainsi
– pour les conducteurs de la phase R:
6p
ΔV = Z ×I (4)
R i,k k
∑
k=1
où i = 1 à p,
– pour les conducteurs de la phase S:
6p
ΔV = Z ×I (5)
S i,k k
∑
k=1
où i = p + 1 à 2p,
– pour les conducteurs de la phase T:
6p
ΔV = Z ×I (6)
T i,k k
∑
k=1
où i = 2p+1 à 3p;
– pour les gaines:
6p
ΔV = Z ×I (7)
A i,k k
∑
k=1
où i = 3p+1 à 6p.
L'élimination de la chute de tension pour cet ensemble d'équations donne (6p – 4) équations
de la forme suivante:
6p
0 + j0 = zz ×I (8)
i,k k
∑
k=3p+1
où zz = Z −Z = R + j X
i,k i,k i+1,k i,k i,k
et R est défini comme suit:
R = 0 si i ≠ k   R = 0 si i ≠ k −1

60287-1-3  IEC:2002 – 15 –
The above equations assume forward phase rotation. If the phase rotation is not known, the
calculation shall be carried out for both forward and reverse phase rotations.
For conductor loops representing the sheaths, the current is given by:
6 p
0 + j 0 = I (3)
∑ k
k =3 p+1
The voltage drop in each conductor is then
– for the conductors of phase R:
6 p
ΔV = Z × I (4)
R ∑ i,k k
k =1
for i = 1 to p;
– for the conductors of phase S:
6 p
ΔV = Z × I (5)
S ∑ i,k k
k =1
for i = p + 1 to 2p;
– for the conductors of phase T:
6 p
ΔV = Z × I (6)
T ∑ i,k k
k =1
for i = 2p + 1 to 3p;
– for the sheath conductors:
6 p
ΔV = Z × I (7)
A ∑ i,k k
k =1
for i = 3p + 1 to 6p.
Eliminating the voltage drop from this set of equations leads to (6p – 4) equations having the
following form:
6 p
0 + j 0 = zz × I (8)
i,k k
∑
k =3 p+1
where zz = Z − Z = R + jX
i,k i,k i+1,k i,k i,k
and R is defined as follows:
R = 0 if i ≠ k   R = 0 if i ≠ k− 1

– 16 – 60287-1-3  CEI:2002
Pour les conducteurs de phase
R = R si i = k et i ≤ 3p R = –R si i = k – 1 et i ≤ 3p
c c
Pour les gaines
R = R si i = k et i > 3p R = –R si i = k – 1 et i > 3p
s s
X est considéré comme une réactance et défini comme suit:
i,k
 d 
− i +1,k
 
X = 2ω10 ln (9)
i,k
 
d
i,k
 
où, si i ≠ k , alors d = D = espacement axial entre les câbles m et n,
i,k m,n
avec m = i si i ≤ 3p m = i – 3p si i > 3p
et n = k si k ≤ 3p n = k – 3p si k > 3p
d
c
d
Si i = k   et  i ≤ 3p alors  = α
i,k
d
s
si i = k   et  i > 3p alors  d =
i,k
où
ω est égale à 2πf;
f est la fréquence, en Hz;
d est le diamètre de l’âme, en mm;
c
d est le diamètre moyen de la gaine, en mm;
s
α est le coefficient dépendant de la structure de l’âme, voir tableau 1.
Tableau 1 – Valeurs de αααα pour les âmes
Nombre de brins Valeur de αααα
1 (âme massive) 0,779
3 0,678
7 0,726
19 0,758
37 0,768
61 0,772
91 0,774
127 0,776
Les valeurs données dans le tableau 1 sont applicables aux conducteurs non compactés. Pour
les conducteurs compactés α = 0,779 est recommandé. Les valeurs pour les conducteurs
creux dépendent du diamètre intérieur et extérieur du conducteur. Un exemple de calcul de la
valeur de α pour les conducteurs creux est donné à l'annexe B.

60287-1-3  IEC:2002 – 17 –
For the phase conductors
R = R if i = k and i ≤ 3 p R = – R if i = k – 1 and i ≤ 3 p
c c
For the sheath conductors
R = R if i = k and i > 3 p R = – R if i = k – 1 and i > 3 p
s s
X is regarded as a reactance and is defined as follows:
i,k
 d 
7 i+1,k
−
 
X = 2ω10 ln (9)
i,k
 
d
i,k
 
where, if, i ≠ k , then d = D = axial spacing between cables m and n,
i,k m,n
with m = i if i ≤ 3 p m = i – 3p if i > 3 p
and n = k if k ≤ 3 p n = k – 3p if k > 3 p
d
c
If i = k  and  i ≤ 3 p  then  d = α
i,k
d
s
if i = k  and  i ≤ 3 p  then  d =
i,k
where
ω = 2πf
f is the frequency, in Hz;
d is the diameter of the conductor, in mm;
c
d is the mean diameter of the sheath, in mm;
s
α is the coefficient depending on the construction of the conductor, see table 1.
Table 1 – Values of αααα for conductors
Number of wires Value of α α
α α
1 (solid) 0,779
30,678
70,726
19 0,758
37 0,768
61 0,772
91 0,774
127 0,776
The values given in table 1 are applicable to non-compacted conductors. For compacted
conductors α = 0,779 should be used. The values for hollow conductors are dependant on the
inner and outer diameter of the conductor. An example of the calculation of α for hollow
conductors is given in annex B.

– 18 – 60287-1-3  CEI:2002
4.3 Solution matricielle
D'une manière générale, les équations développées auront la forme suivante:
Q = f()Z ×I
n n n
où les valeurs de Q sont données par le côté gauche des équations (2), (3) et (8). Les valeurs
de Z sont les coefficients multiplicatifs de I dans les équations, et les valeurs de I sont les
n n
courants inconnus des âmes et des gaines.
Sous forme matricielle, les équations deviennent:
[]Q =[Z]×[I]
où [Z] est la matrice carrée des coefficients I à I dans les équations (2), (3) et (8).
1 n
Pour résoudre l'équation permettant de déterminer les courants inconnus [I], celle-ci est écrite:
−1
[]I =[Z] ×[Q]
–1
où [Z] est la matrice inverse de [Z].
Des exemples de calcul utilisant la solution matricielle sont donnés à l'annexe A.

60287-1-3  IEC:2002 – 19 –
4.3 Matrix solution
In general the equations developed will be of the form:
Q = f()Z × I
n n n
where the values for Q are given by the left-hand side of equations (2), (3) and (8). The value
for Z are the coefficients of I in these equations, and the values for I are the unknown
n n
currents in the conductors and sheaths.
In matrix form the equations become:
[]Q =[Z] ×[I]
where [Z] is a square matrix of the coefficients of I to I in equations (2), (3) and (8).
1 n
In order to solve for the unknown currents [I] the equation is written as:
−1
[]I = [Z] ×[Q]
–1
where [Z] is the inverse matrix of [Z].
Example calculations using the matrix solution are given in annex A.

– 20 – 60287-1-3  CEI:2002
Annexe A
(informative)
Exemple de calculs
A.1 Introduction
Les dimensions des câbles dans ces exemples sont arbitraires, et ne sont représentatives
d’aucun type particulier de câble.
L'hypothèse est faite que le positionnement relatif des câbles est constant le long du parcours.
L'hypothèse est également faite que les câbles de mise à la terre des gaines ont une
impédance négligeable comparée à celle des gaines. Les effets de peau et de proximité sur la
résistance en courant alternatif sont ignorés. Les différentes valeurs d'impédance calculées
dans ces exemples le sont pour des câbles de longueur de 1 000 m.
Dans ces exemples, on a supposé une fréquence d'alimentation de 50 Hz.
Les paramètres des câbles et de l'installation sont les suivants:
Diamètre de l’âme en cuivre: 32,8 mm
–6
Résistance de l’âme à 20 °C: 28,3 × 10 Ω/m
Température d'exploitation maximale: 70 °C
–6
Résistance de l’âme à 70 °C:
33,86 × 10 Ω/m
Nombre de brins de l’âme: 127
Coefficient de l’âme pour 127 brins: 0,776
–3
Résistance de la gaine en
0,18 × 10 Ω/m
aluminium à 20 °C:
Diamètre moyen de la gaine: 48 mm
Température de la gaine: 60 °C
–3
Résistance de la gaine à 60 °C: 0,209 × 10 Ω/m
A.2 Exemple 1
Les câbles sont posés en nappe avec un entraxe de 200 mm, à raison de deux câbles par
phase, sans neutres. L’affectation des câbles est comme suit:
Câble 1 Câble 3 Câble 5 Câble 6 Câble 4 Câble 2
R1 S1 T1 T2 S2 R2
Pour la commodité du calcul, l’âme et la gaine de chaque câble sont numérotés de telle
manière que les âmes ont des numéros entre 1 et 6 et les gaines entre 7 et 12. Le premier
câble comporte ainsi l’âme 1 et la gaine 7, le deuxième câble 2, 8, etc., donnant un total de
12 conducteurs dans cet exemple.
...