Representation of results of particle size analysis

Représentation de données obtenues par analyse granulométrique

La présente partie de l'ISO 9276 a pour principal objet de fournir la base de calcul mathématique pour la caractérisation du processus de triage. La présente partie de l'ISO 9276 ne se limite pas à une application à l'analyse granulométrique, car le même mode opératoire peut être utilisé pour la caractérisation d'un processus de triage technique (par exemple triage par courant gazeux ou triage par centrifugation) ou d'un processus de séparation (par exemple cyclone gazeux ou hydrocyclone). À l'article 3, la caractérisation du processus de triage se fonde sur l'hypothèse que les courbes de distribution différentielle décrivant le matériau de charge et les fractions, ainsi que le bilan global des masses, sont exemptes d'erreurs. À l'article 4 est décrite l'influence des erreurs systématiques sur le rendement du processus de triage. L'effet des erreurs stochastiques sur la caractérisation d'un processus de triage est décrit à l'annexe A.

Predstavitev podatkov, dobljenih z granulometrijsko analizo - 4. del: Karakterizacija klasifikacijskega procesa

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Publication Date
25-Jul-2001
Current Stage
6060 - International Standard published
Start Date
08-Jun-2001
Completion Date
26-Jul-2001

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ISO 9276-4:2001 - Representation of results of particle size analysis
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ISO 9276-4:2001 - Représentation de données obtenues par analyse granulométrique
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INTERNATIONAL ISO
STANDARD 9276-4
First edition
2001-07-15
Representation of results of particle size
analysis —
Part 4:
Characterization of a classification process
Représentation de données obtenues par analyse granulométrique —
Partie 4: Caractérisation d'un processus de triage
Reference number
ISO 9276-4:2001(E)
ISO 2001
---------------------- Page: 1 ----------------------
ISO 9276-4:2001(E)
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that a problem relating to it is found, please inform the Central Secretariat at the address given below.

© ISO 2001

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Tel. + 41 22 749 01 11
Fax + 41 22 749 09 47
E-mail copyright@iso.ch
Web www.iso.ch
Printed in Switzerland
ii © ISO 2001 – All rights reserved
---------------------- Page: 2 ----------------------
ISO 9276-4:2001(E)
Contents Page

Foreword.....................................................................................................................................................................iv

Introduction.................................................................................................................................................................v

1 Scope ..............................................................................................................................................................1

2 Symbols ..........................................................................................................................................................2

2.1 Symbols for specific terms...........................................................................................................................2

2.2 Subscripts ......................................................................................................................................................3

3 Characterization of a classification process based on error-free distribution curves and mass

balances..........................................................................................................................................................3

3.1 Density distribution curves representing a classification process..........................................................3

3.2 Mass and number balances..........................................................................................................................4

3.3 Definitions of cut size, x ..............................................................................................................................5

3.4 Grade efficiency, T, the grade efficiency curve, T(x), (Tromp's curve).....................................................6

3.5 Measures of sharpness of cut......................................................................................................................7

4 The influence of systematic errors on the determination of grade efficiency curve..............................9

4.1 General............................................................................................................................................................9

4.2 Systematic error due to a splitting process in the classifier ..................................................................10

4.3 Incomplete dispersion of the feed material ..............................................................................................11

4.4 The influence of comminution of the feed in the classifier.....................................................................11

Annex A (informative) The influence of stochastic errors on the evaluation of grade efficiency curves........12

Bibliography..............................................................................................................................................................17

© ISO 2001 – All rights reserved iii
---------------------- Page: 3 ----------------------
ISO 9276-4:2001(E)
Foreword

ISO (the International Organization for Standardization) is a worldwide federation of national standards bodies (ISO

member bodies). The work of preparing International Standards is normally carried out through ISO technical

committees. Each member body interested in a subject for which a technical committee has been established has

the right to be represented on that committee. International organizations, governmental and non-governmental, in

liaison with ISO, also take part in the work. ISO collaborates closely with the International Electrotechnical

Commission (IEC) on all matters of electrotechnical standardization.

International Standards are drafted in accordance with the rules given in the ISO/IEC Directives, Part 3.

Draft International Standards adopted by the technical committees are circulated to the member bodies for voting.

Publication as an International Standard requires approval by at least 75 % of the member bodies casting a vote.

Attention is drawn to the possibility that some of the elements of this part of ISO 9276 may be the subject of patent

rights. ISO shall not be held responsible for identifying any or all such patent rights.

International Standard ISO 9276-4 was prepared by Technical Committee ISO/TC 24, Sieves, sieving and other

sizing methods, Subcommittee SC 4, Sizing by methods other than sieving.

ISO 9276 consists of the following parts, under the general title Representation of results of particle size analysis:

� Part 1: Graphical representation

� Part 2: Calculation of average particle sizes/diameters and moments from particle size distributions

� Part 3: Fitting of an experimental cumulative curve to a reference model
� Part 4: Characterization of a classification process

� Part 5: Validation of calculations relating to particle size analyses using the logarithmic normal probability

distribution
Annex A of this part of ISO 9276 is for information only.
iv © ISO 2001 – All rights reserved
---------------------- Page: 4 ----------------------
ISO 9276-4:2001(E)
Introduction

In classification processes used in particle size analysis, such as occurring in impactors, sieves, etc., the mass of

the supply or feed material, m , or its number, n , of particles, the particle size distribution of which is described by

s s

its density distribution, q (x), is separated into at least one fine fraction of mass, m , or number, n , and of density

r,s f f

distribution, q (x) and a coarse fraction of mass, m , or number, n , and a density distribution, q (x). Thetypeof

r,f c c r,c

quantity chosen in the analysis is described by the subscript, r, the supply or feed material and the fine and coarse

fractions by the additional subscripts: s; f and c respectively. See Figure 1.

Figure 1 — Fractions and distributions produced in a one step classification process

For the characterization of processes with more than one coarse fraction, e.g. cascade impactors, s, f and c can be

replaced by numbers 0, 1 and 2. In this case e.g. number 3 describes a second coarse fraction containing larger

particles than fraction 2.

It is assumed that the size, x, of a particle is described by the diameter of a sphere. Depending on the problem, the

particle size, x, may also represent an equivalent diameter of a particle of any other shape.

© ISO 2001 – All rights reserved v
---------------------- Page: 5 ----------------------
INTERNATIONAL STANDARD ISO 9276-4:2001(E)
Representation of results of particle size analysis —
Part 4:
Characterization of a classification process
1 Scope

The main object of this part of ISO 9276 is to provide the mathematical background for the characterization of a

classification process. This part of ISO 9276 is not limited to an application in particle size analysis, the same

procedure may be used for the characterization of a technical classification process (e.g. air classification,

centrifugal classification) or a separation process (e.g. gas or hydrocyclones).

In clause 3 the characterization of a classification process is described under the presupposition that the density

distribution curves describing the feed material and the fractions, as well as the overall mass balance, are free from

errors. In clause 4 the influence of systematic errors on the efficiency of a classification process is described. The

effect of stochastic errors in the characterization of a classification process is described in annex A.

© ISO 2001 – All rights reserved 1
---------------------- Page: 6 ----------------------
ISO 9276-4:2001(E)
2 Symbols
2.1 Symbols for specific terms
See Table 1.
Table 1 — Symbols for specific terms
Symbol Term
A Parameters derived from cumulative distribution curves
E Mass balance error, cumulative distributions
I Imperfection
K(x) Corrected cumulative distribution
m Mass
Total number of size classes, number of particles
q (x) Density distribution curve
Q (x) Cumulative distribution curve

Difference of two cumulative distribution values, relative amount in the ith particle size

r,i
interval,�x
Variance
t Student's factor
Grade efficiency
T Overall classification or separation efficiency
T(x) Grade efficiency curve
Particle diameter, diameter of a sphere
x Analytical cut size
x Equiprobable cut size, median particle size of a grade efficiency curve
x Upper particle size of the ith particle size interval
x Lower particle size of the ith particle size interval
i�1
Width of the ith particle size interval
Particle size above which there are no particles in a given size distribution
max
x Particle size below which there are no particles in a given size distribution
min
Angle of slope, weighted sum of variances
� Mass balance error, density distributions
� � Q � Q Variable
r,i r,s,i r,c,i
Sharpness of cut parameters formed with characteristic particle sizes
v Relative amount
Variable
� � Q � Q
r,i r,f,i r,c,i
Amount of particles not participating in a classification process
� Variable
2 © ISO 2001 – All rights reserved
---------------------- Page: 7 ----------------------
ISO 9276-4:2001(E)
2.2 Subscripts
See Table 2.
Table 2 — Subscripts
Symbol Significance
c Coarse fraction (second subscript after r)
f Fine fraction (second subscript after r)
i Number of the size class with upper particle size: x
Type of quantity of a density distribution (general description)
Supply or feed material (second subscript after r)
0 Replaces s in case of more than one coarse fraction
1 Replaces f in case of more than one coarse fraction
2 Replaces c in case of more than one coarse fraction
For example, r � 3if typeof quantity � volume or mass.

3 Characterization of a classification process based on error-free distribution curves

and mass balances
3.1 Density distribution curves representing a classification process

In a classification process a given supply or feed material (subscript s) is classified into at least two parts, which are

called the fine (subscript f) and the coarse (subscript c) fractions. If an ideal classification were possible, the fine

fraction would, as shown in Figure 2, contain particles below or equal to a certain size, x , the so-called cut size,

and the coarse fraction would contain all particles above that size.

Figure 2 — Weighted density distributions of the feed material q (x) and the fine

r,s
and coarse fractions of an ideal classification process
© ISO 2001 – All rights reserved 3
---------------------- Page: 8 ----------------------
ISO 9276-4:2001(E)

The shaded areas beneath the weighted density distributions of the fine and the coarse product represent the

relative mass, v , or number, v , of the fine, v , and the coarse fraction, v , the sum which equals 100 % or

3,f 0,f r,f r,c
unity.

In reality, however, in a certain range of sizes x � x � x particles of the same size, x, are present in both the

min,c max,f

fine and the coarse fractions. The density distribution curves of the fine and the coarse fractions overlap and

intersect each other in this size range, The point of intersection as shown in Figure 3 corresponds to a cut size,

which is called the equiprobable cut size, x (see 3.3.2).

The particles below the cut size, x , in the coarse or above x in the fine fraction have been incorrectly classified.

e e

Figure 3 — Weighted density distributions of feed material, q (x),and thefine, v q (x),

r,s r,f r,f
and the coarse fraction, v q (x),of an real classification process
r,c r,c
3.2 Mass and number balances
3.2.1 Mass and number balance in the size range from x to x
min max

Due to the classification process, the mass, m , or number, n , of the feed material, is split into the mass, m,or

s s f

number, n , of the fine material and the mass, m , or number, n of the coarse material. One obtains:

f c c,
mm��m or nn��n (1)
sf c sf c
and
m m n n
f c f c
1�� or 1�� (2)
mm nn
ss ss
1��vv or 1��vv (3)
3,f 3,c 0,f 0,c

v represents the relative amount of the fine fraction, v the relative amount of the coarse fraction.

r,f r,c

In Figures 2 and 3, v and v are represented by the areas beneath the weighted density distribution curves of the

r,f r,c

fine, v q (x), and the coarse, v q (x), fractions. The area beneath the density distribution curve of the feed

r,f r,f r,c r,c
material, q (x), equals unity.
r,s
4 © ISO 2001 – All rights reserved
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ISO 9276-4:2001(E)
3.2.2 Mass and number balance in the size range from x to x� dx

Particles of a certain size, x, present in the feed material, are either transferred in the classification process to the

fine or to the coarse fractions. The amount of these particles in the feed material, dQ (x), is therefore split into two

r,s
fractions: v dQ (x) and v dQ (x).
r,f r,f r,c r,c
d(Qx)��v dQ(x) v dQ (x) (4)
rr,s ,fr,f r,cr,c
Replacing dQ (x) by equation 5:
d(Qx)�q(x)dx (5)
one obtains:
qx()��v q ()x v q (x) (6)
rr,s ,fr,f r,cr,c

Equation 6 must be used to construct the set of density distribution curves of Figure 3. It should be realized that in

plotting Figure 3 only three of the variables of equation 6 can be chosen arbitrarily. If, two density distributions and

the relative amount of the fine or the coarse material, e.g., q (x), q (x) and v are given, q (x), and v are fixed.

r,s r,f r,f r,c r,c
3.2.3 Mass and number balance in the size range from x to x
min
Integrating equation 6 between x and x yields:
min
Qx()�v Q ()x +v Q (x) (7)
rr,s ,fr,f r,cr,c
3.2.4 The indirect evaluation of v and v
r,f r,c

In many cases of practical application v and v cannot be calculated from the relevant masses or mass flow

r,f r,c

rates, due to the fact that these are not available or difficult to measure, etc. If however, representative samples of

the feed material and the fine and the coarse fraction have been measured equations 3 and 6 or 7 may be used to

calculate v or v . Introducing equation 3 into equations 6 and 7 and solving with respect to v yields:

r,f r,c r,f
Qx( )��Q ()x q ()x q (x)
rr,s ,c r,s r,c
vv��1 � � (8)
rr,f ,c
Qx( )��Q ()x q ()x q (x)
rr,f ,c r,f r,c

If the cumulative distributions Q (x), Q (x) and Q (x) are free from errors, i.e. the mass balance according to

r,s r,f r,c

equations 6 or 7 leave no remainder, v or v will be constant and independent of size x.

r,f r,c
3.3 Definitions of cut size, x
3.3.1 General

In principle, any value of x between x and x , i.e. the size range in which the density distributions of the fine

min c max f
and the coarse fractions overlap, can be used as cut size.
Two definitions are commonly used as described in 3.3.2 and 3.3.3.
3.3.2 The equiprobable cut size, x , the median of the grade efficiency curve

In Figure 3 the weighted density distribution curves of the fine and the coarse fraction intersect at a certain size x .

This particle size, which represents the median of the grade efficiency curve, T(x), as defined in 3.4, is the

equiprobable cut size, x :
xx��(0T ,5) (9)
© ISO 2001 – All rights reserved 5
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ISO 9276-4:2001(E)

Independently from other particle sizes, particles of this size have the equal probability of being classified into the

fine and into the coarse fraction. Therefore the length of the dashed vertical line from the intersection of the

weighted fine and coarse density distributions in Figure 3 is equal to the vertical distance of that point to the

weighted feed density distribution.

In the result particles of the equiprobable size are equally present in the fine and the coarse fraction:

vq ()x �v q ()x (10)
rr,f ,f e r,c r,c e
3.3.3 The analytical cut size, x

An analytical air classifier, e.g. a single stage of an impactor, represents itself to the user as a black box (see

Figure 1). A known mass, m , for example is supplied to the classifier. At the end of the classification process, one

quantitatively obtains, in most cases, the mass, m , of the coarse product only. The mass of the fine product m can

c f

be calculated from the difference from the supplied mass. Since the relative mass of the fine material, v � m / m ,

3,f f s

as determined by the experiment, is taken to be equal to the relative mass of the undersize material in the feed,

that is Q (x), a cut size x corresponding to this definition has to be found. This cut size is called the analytical cut

3,s
size, x . The general definition is:
1(��vv�Q x) (11)
rr,c ,f r,s a

For a given particle size distribution of the supply or feed material the known relative amount of the fine material

yields the analytical cut size
...

SLOVENSKI STANDARD
SIST ISO 9276-4:2002
01-junij-2002
Predstavitev podatkov, dobljenih z granulometrijsko analizo - 4. del:
Karakterizacija klasifikacijskega procesa

Representation of results of particle size analysis -- Part 4: Characterization of a

classification process
Représentation de données obtenues par analyse granulométrique -- Partie 4:
Caractérisation d'un processus de triage
Ta slovenski standard je istoveten z: ISO 9276-4:2001
ICS:
19.120 Analiza velikosti delcev. Particle size analysis. Sieving
Sejanje
SIST ISO 9276-4:2002 en

2003-01.Slovenski inštitut za standardizacijo. Razmnoževanje celote ali delov tega standarda ni dovoljeno.

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SIST ISO 9276-4:2002
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SIST ISO 9276-4:2002
INTERNATIONAL ISO
STANDARD 9276-4
First edition
2001-07-15
Representation of results of particle size
analysis —
Part 4:
Characterization of a classification process
Représentation de données obtenues par analyse granulométrique —
Partie 4: Caractérisation d'un processus de triage
Reference number
ISO 9276-4:2001(E)
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ISO 9276-4:2001(E)
Contents Page

Foreword.....................................................................................................................................................................iv

Introduction.................................................................................................................................................................v

1 Scope ..............................................................................................................................................................1

2 Symbols ..........................................................................................................................................................2

2.1 Symbols for specific terms...........................................................................................................................2

2.2 Subscripts ......................................................................................................................................................3

3 Characterization of a classification process based on error-free distribution curves and mass

balances..........................................................................................................................................................3

3.1 Density distribution curves representing a classification process..........................................................3

3.2 Mass and number balances..........................................................................................................................4

3.3 Definitions of cut size, x ..............................................................................................................................5

3.4 Grade efficiency, T, the grade efficiency curve, T(x), (Tromp's curve).....................................................6

3.5 Measures of sharpness of cut......................................................................................................................7

4 The influence of systematic errors on the determination of grade efficiency curve..............................9

4.1 General............................................................................................................................................................9

4.2 Systematic error due to a splitting process in the classifier ..................................................................10

4.3 Incomplete dispersion of the feed material ..............................................................................................11

4.4 The influence of comminution of the feed in the classifier.....................................................................11

Annex A (informative) The influence of stochastic errors on the evaluation of grade efficiency curves........12

Bibliography..............................................................................................................................................................17

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Foreword

ISO (the International Organization for Standardization) is a worldwide federation of national standards bodies (ISO

member bodies). The work of preparing International Standards is normally carried out through ISO technical

committees. Each member body interested in a subject for which a technical committee has been established has

the right to be represented on that committee. International organizations, governmental and non-governmental, in

liaison with ISO, also take part in the work. ISO collaborates closely with the International Electrotechnical

Commission (IEC) on all matters of electrotechnical standardization.

International Standards are drafted in accordance with the rules given in the ISO/IEC Directives, Part 3.

Draft International Standards adopted by the technical committees are circulated to the member bodies for voting.

Publication as an International Standard requires approval by at least 75 % of the member bodies casting a vote.

Attention is drawn to the possibility that some of the elements of this part of ISO 9276 may be the subject of patent

rights. ISO shall not be held responsible for identifying any or all such patent rights.

International Standard ISO 9276-4 was prepared by Technical Committee ISO/TC 24, Sieves, sieving and other

sizing methods, Subcommittee SC 4, Sizing by methods other than sieving.

ISO 9276 consists of the following parts, under the general title Representation of results of particle size analysis:

� Part 1: Graphical representation

� Part 2: Calculation of average particle sizes/diameters and moments from particle size distributions

� Part 3: Fitting of an experimental cumulative curve to a reference model
� Part 4: Characterization of a classification process

� Part 5: Validation of calculations relating to particle size analyses using the logarithmic normal probability

distribution
Annex A of this part of ISO 9276 is for information only.
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Introduction

In classification processes used in particle size analysis, such as occurring in impactors, sieves, etc., the mass of

the supply or feed material, m , or its number, n , of particles, the particle size distribution of which is described by

s s

its density distribution, q (x), is separated into at least one fine fraction of mass, m , or number, n , and of density

r,s f f

distribution, q (x) and a coarse fraction of mass, m , or number, n , and a density distribution, q (x). Thetypeof

r,f c c r,c

quantity chosen in the analysis is described by the subscript, r, the supply or feed material and the fine and coarse

fractions by the additional subscripts: s; f and c respectively. See Figure 1.

Figure 1 — Fractions and distributions produced in a one step classification process

For the characterization of processes with more than one coarse fraction, e.g. cascade impactors, s, f and c can be

replaced by numbers 0, 1 and 2. In this case e.g. number 3 describes a second coarse fraction containing larger

particles than fraction 2.

It is assumed that the size, x, of a particle is described by the diameter of a sphere. Depending on the problem, the

particle size, x, may also represent an equivalent diameter of a particle of any other shape.

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Representation of results of particle size analysis —
Part 4:
Characterization of a classification process
1 Scope

The main object of this part of ISO 9276 is to provide the mathematical background for the characterization of a

classification process. This part of ISO 9276 is not limited to an application in particle size analysis, the same

procedure may be used for the characterization of a technical classification process (e.g. air classification,

centrifugal classification) or a separation process (e.g. gas or hydrocyclones).

In clause 3 the characterization of a classification process is described under the presupposition that the density

distribution curves describing the feed material and the fractions, as well as the overall mass balance, are free from

errors. In clause 4 the influence of systematic errors on the efficiency of a classification process is described. The

effect of stochastic errors in the characterization of a classification process is described in annex A.

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ISO 9276-4:2001(E)
2 Symbols
2.1 Symbols for specific terms
See Table 1.
Table 1 — Symbols for specific terms
Symbol Term
A Parameters derived from cumulative distribution curves
E Mass balance error, cumulative distributions
I Imperfection
K(x) Corrected cumulative distribution
m Mass
Total number of size classes, number of particles
q (x) Density distribution curve
Q (x) Cumulative distribution curve

Difference of two cumulative distribution values, relative amount in the ith particle size

r,i
interval,�x
Variance
t Student's factor
Grade efficiency
T Overall classification or separation efficiency
T(x) Grade efficiency curve
Particle diameter, diameter of a sphere
x Analytical cut size
x Equiprobable cut size, median particle size of a grade efficiency curve
x Upper particle size of the ith particle size interval
x Lower particle size of the ith particle size interval
i�1
Width of the ith particle size interval
Particle size above which there are no particles in a given size distribution
max
x Particle size below which there are no particles in a given size distribution
min
Angle of slope, weighted sum of variances
� Mass balance error, density distributions
� � Q � Q Variable
r,i r,s,i r,c,i
Sharpness of cut parameters formed with characteristic particle sizes
v Relative amount
Variable
� � Q � Q
r,i r,f,i r,c,i
Amount of particles not participating in a classification process
� Variable
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ISO 9276-4:2001(E)
2.2 Subscripts
See Table 2.
Table 2 — Subscripts
Symbol Significance
c Coarse fraction (second subscript after r)
f Fine fraction (second subscript after r)
i Number of the size class with upper particle size: x
Type of quantity of a density distribution (general description)
Supply or feed material (second subscript after r)
0 Replaces s in case of more than one coarse fraction
1 Replaces f in case of more than one coarse fraction
2 Replaces c in case of more than one coarse fraction
For example, r � 3if typeof quantity � volume or mass.

3 Characterization of a classification process based on error-free distribution curves

and mass balances
3.1 Density distribution curves representing a classification process

In a classification process a given supply or feed material (subscript s) is classified into at least two parts, which are

called the fine (subscript f) and the coarse (subscript c) fractions. If an ideal classification were possible, the fine

fraction would, as shown in Figure 2, contain particles below or equal to a certain size, x , the so-called cut size,

and the coarse fraction would contain all particles above that size.

Figure 2 — Weighted density distributions of the feed material q (x) and the fine

r,s
and coarse fractions of an ideal classification process
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ISO 9276-4:2001(E)

The shaded areas beneath the weighted density distributions of the fine and the coarse product represent the

relative mass, v , or number, v , of the fine, v , and the coarse fraction, v , the sum which equals 100 % or

3,f 0,f r,f r,c
unity.

In reality, however, in a certain range of sizes x � x � x particles of the same size, x, are present in both the

min,c max,f

fine and the coarse fractions. The density distribution curves of the fine and the coarse fractions overlap and

intersect each other in this size range, The point of intersection as shown in Figure 3 corresponds to a cut size,

which is called the equiprobable cut size, x (see 3.3.2).

The particles below the cut size, x , in the coarse or above x in the fine fraction have been incorrectly classified.

e e

Figure 3 — Weighted density distributions of feed material, q (x),and thefine, v q (x),

r,s r,f r,f
and the coarse fraction, v q (x),of an real classification process
r,c r,c
3.2 Mass and number balances
3.2.1 Mass and number balance in the size range from x to x
min max

Due to the classification process, the mass, m , or number, n , of the feed material, is split into the mass, m,or

s s f

number, n , of the fine material and the mass, m , or number, n of the coarse material. One obtains:

f c c,
mm��m or nn��n (1)
sf c sf c
and
m m n n
f c f c
1�� or 1�� (2)
mm nn
ss ss
1��vv or 1��vv (3)
3,f 3,c 0,f 0,c

v represents the relative amount of the fine fraction, v the relative amount of the coarse fraction.

r,f r,c

In Figures 2 and 3, v and v are represented by the areas beneath the weighted density distribution curves of the

r,f r,c

fine, v q (x), and the coarse, v q (x), fractions. The area beneath the density distribution curve of the feed

r,f r,f r,c r,c
material, q (x), equals unity.
r,s
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ISO 9276-4:2001(E)
3.2.2 Mass and number balance in the size range from x to x� dx

Particles of a certain size, x, present in the feed material, are either transferred in the classification process to the

fine or to the coarse fractions. The amount of these particles in the feed material, dQ (x), is therefore split into two

r,s
fractions: v dQ (x) and v dQ (x).
r,f r,f r,c r,c
d(Qx)��v dQ(x) v dQ (x) (4)
rr,s ,fr,f r,cr,c
Replacing dQ (x) by equation 5:
d(Qx)�q(x)dx (5)
one obtains:
qx()��v q ()x v q (x) (6)
rr,s ,fr,f r,cr,c

Equation 6 must be used to construct the set of density distribution curves of Figure 3. It should be realized that in

plotting Figure 3 only three of the variables of equation 6 can be chosen arbitrarily. If, two density distributions and

the relative amount of the fine or the coarse material, e.g., q (x), q (x) and v are given, q (x), and v are fixed.

r,s r,f r,f r,c r,c
3.2.3 Mass and number balance in the size range from x to x
min
Integrating equation 6 between x and x yields:
min
Qx()�v Q ()x +v Q (x) (7)
rr,s ,fr,f r,cr,c
3.2.4 The indirect evaluation of v and v
r,f r,c

In many cases of practical application v and v cannot be calculated from the relevant masses or mass flow

r,f r,c

rates, due to the fact that these are not available or difficult to measure, etc. If however, representative samples of

the feed material and the fine and the coarse fraction have been measured equations 3 and 6 or 7 may be used to

calculate v or v . Introducing equation 3 into equations 6 and 7 and solving with respect to v yields:

r,f r,c r,f
Qx( )��Q ()x q ()x q (x)
rr,s ,c r,s r,c
vv��1 � � (8)
rr,f ,c
Qx( )��Q ()x q ()x q (x)
rr,f ,c r,f r,c

If the cumulative distributions Q (x), Q (x) and Q (x) are free from errors, i.e. the mass balance according to

r,s r,f r,c

equations 6 or 7 leave no remainder, v or v will be constant and independent of size x.

r,f r,c
3.3 Definitions of cut size, x
3.3.1 General

In principle, any value of x between x and x , i.e. the size range in which the density distributions of the fine

min c max f
and the coarse fractions overlap, can be used as cut size.
Two definitions are commonly used as described in 3.3.2 and 3.3.3.
3.3.2 The equiprobable cut size, x , the median of the grade efficiency curve

In Figure 3 the weighted density distribution curves of the fine and the coarse fraction intersect at a certain size x .

This particle size, which represents the median of the grade efficiency curve, T(x), as defined in 3.4, is the

equiprobable cut size, x :
xx��(0T ,5) (9)
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Independently from other particle sizes, particles of this size have the equal probability of being classified into the

fine and into the coarse fraction. Therefore the length of the dashed vertical line from the intersection of the

weighted fine and coarse density distributions in Figure 3 is equal to the vertical distance of that point to the

weighted feed density distribution.

In the result particles of the equiprobable size are equally present in the fine and the coarse fraction:

vq ()x �v q ()x (10)
rr,f ,f e r,c r,c e
3.3.3 The analytical cut size, x

An analytical air classifier, e.g. a single stage of an impactor, represents itself to the user as a black box (see

Figure 1). A known mass, m , for example is supplied to the classifier. At the end of the classification process, one

quantitatively obtains, in most cases, the mass, m , of the coarse product only. The mass of the fine product m can

c f

be calculated from the difference from the supplied mass. Since the relative mass of the fine material, v � m / m ,

3,f f s
as determined by the experime
...

NORME ISO
INTERNATIONALE 9276-4
Première édition
2001-07-15
Représentation de données obtenues par
analyse granulométrique —
Partie 4:
Caractérisation d'un processus de triage
Representation of results of particle size analysis —
Part 4: Characterization of a classification process
Numéro de référence
ISO 9276-4:2001(F)
ISO 2001
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ISO 9276-4:2001(F)
Sommaire Page

Avant-propos..............................................................................................................................................................iv

Introduction.................................................................................................................................................................v

1 Domaine d'application...................................................................................................................................1

2 Symboles et termes abrégés........................................................................................................................2

2.1 Symboles pour les termes spécifiques .......................................................................................................2

2.2 Indices.............................................................................................................................................................3

3Caractérisation d'un processus de triage reposant sur des courbes de distribution exemptes

d'erreurs et des bilans de masses ...............................................................................................................3

3.1 Courbes de distribution différentielle représentant un processus de triage ..........................................3

3.2 Bilans des masses et des nombres de particules......................................................................................4

3.3 Définitions du diamètre de coupure, x .......................................................................................................5

3.4 Rendement de séparation, T, courbe de rendement de séparation (courbe de Tromp), T(x) ................7

3.5 Mesures de la résolution de coupure ..........................................................................................................8

4 Influence des erreurs systématiques sur la détermination de la courbe de rendement de

séparation.....................................................................................................................................................10

4.1 Généralités ...................................................................................................................................................10

4.2 Erreur systématique due à un processus de partage dans le séparateur.............................................10

4.3 Dispersion incomplète du matériau de charge.........................................................................................11

4.4 Influence de la comminution de la charge dans le séparateur ...............................................................11

Annexe A (informative) Influence des erreurs stochastiques sur l'évaluation des courbes de

rendement de séparation ............................................................................................................................13

Bibliographie .............................................................................................................................................................18

© ISO 2001 – Tous droits réservés iii
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ISO 9276-4:2001(F)
Avant-propos

L'ISO (Organisation internationale de normalisation) est une fédération mondiale d'organismes nationaux de

normalisation (comités membres de l'ISO). L'élaboration des Normes internationales est en général confiéeaux

comités techniques de l'ISO. Chaque comité membre intéressé par une étude aledroit de faire partie ducomité

technique créé à cet effet. Les organisations internationales, gouvernementales et non gouvernementales, en

liaison avec l'ISO participent également aux travaux. L'ISO collabore étroitement avec la Commission

électrotechnique internationale (CEI) en ce qui concerne la normalisation électrotechnique.

Les Normes internationales sont rédigées conformément aux règles données dans les Directives ISO/CEI,

Partie 3.

Les projets de Normes internationales adoptés par les comités techniques sont soumis aux comités membres pour

vote. Leur publication comme Normes internationales requiert l'approbation de 75 % au moins des comités

membres votants.

L’attention est appelée sur le fait que certains des éléments delaprésente partie de l’ISO 9276 peuvent faire

l’objet de droits de propriété intellectuelle ou de droits analogues. L’ISO ne saurait être tenue pour responsable de

ne pas avoir identifié de tels droits de propriété et averti de leur existence.

La Norme internationale ISO 9276-4 a étéélaboréepar le comité technique ISO/TC 24, Tamis, tamisage et autres

méthodes de séparation granulométrique, sous-comité SC 4, Granulométrie par procédésautresquetamisage.

L'ISO 9276 comprend les parties suivantes, présentées sous le titre général Représentation de données obtenues

par analyse granulométrique:
� Partie 1: Représentation graphique

� Partie 2: Calculs des tailles/diamètres moyens des particules et des moments à partir de distributions

granulométriques

� Partie 3: Ajustement d'une courbe cumulative expérimentale à un modèle de référence

� Partie 4: Caractérisation d'un processus de triage

� Partie 5: Validation des calculs liés aux analyses granulométriques utilisant une représentation de distribution

granulométrique log-normale (conversion dimensionnelle)

L’annexe A de la présente partie de l’ISO 9276 est donnée uniquement à titre d’information.

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ISO 9276-4:2001(F)
Introduction

Les processus de triage utilisés pour l'analyse granulométrique, comme les impacteurs, les tamis, etc.,

décomposent la masse de la charge ou du matériau de charge, m , ou le nombre de particules correspondant, n ,

s s

dont la distribution granulométrique est décrite par sa distribution différentielle, q (x), en une fraction fine de

r,s

masse, m , ou de nombre, n , et de distribution différentielle, q (x), et en une fraction grossière de masse, m ,oude

f f r,f c

nombre, n , et de distribution différentielle, q (x). Le type de grandeur choisi pour l'analyse est désigné par l'indice,

c r,c

r, etla chargeoule matériau de charge et les fractions fine et grossière sont respectivement indiqués par les

indices complémentaires suivants: s, f et c. Voir Figure 1.

Figure 1 — Fractions et distributions obtenues par un processus de triage en une étape

Pour caractériser des processus aboutissant à plusieurs fractions grossières, par exemple les impacteurs à

cascade, s, f et c peuvent être remplacés par les chiffres 0, 1 et 2. Dans ce cas, le chiffre 3 par exemple indique

une deuxième fraction grossière contenant des particules plus grosses que la fraction 2.

On prendra pour hypothèse que la taille, x, d'une particule est décrite par le diamètre d'une sphère. Selon le

problème rencontré, la taille, x, peut néanmoins aussi représenter le diamètre équivalent d'une particule d'une

autre forme quelconque.
© ISO 2001 – Tous droits réservés v
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NORME INTERNATIONALE ISO 9276-4:2001(F)
Représentation de données obtenues par analyse
granulométrique —
Partie 4:
Caractérisation d'un processus de triage
1 Domaine d'application

La présente partie de l’ISO 9276 a pour principal objet de fournir la base de calcul mathématique pour la

caractérisation du processus de triage. La présente partie de l’ISO 9276 ne se limite pas à une application à

l'analyse granulométrique, car le même mode opératoire peut être utilisé pour la caractérisation d'un processus de

triage technique (par exemple triage par courant gazeux ou triage par centrifugation) ou d'un processus de

séparation (par exemple cyclone gazeux ou hydrocyclone).

À l'article 3, la caractérisation du processus de triage se fonde sur l'hypothèse que les courbes de distribution

différentielle décrivant le matériau de charge et les fractions, ainsi que le bilan global des masses, sont exemptes

d'erreurs. À l'article 4 est décrite l'influence des erreurs systématiques sur le rendement du processus de triage.

L'effet des erreurs stochastiques sur la caractérisation d'un processus de triage est décrit à l'annexe A.

© ISO 2001 – Tous droits réservés 1
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ISO 9276-4:2001(F)
2 Symboles et termes abrégés
2.1 Symboles pour les termes spécifiques
Voir Tableau 1.
Tableau 1 — Symboles pour les termes spécifiques
Symbole Terme
A Paramètres dérivés des courbes de distribution cumulative
E Erreur de bilan des masses, distributions cumulatives
I Imperfection
K(x) Distribution cumulative corrigée
m Masse
n Nombre total de classes granulométriques, nombre de particules
q (x) Courbe de distribution différentielle
Q (x) Courbe de distribution cumulative
ème

Différence entre deux valeurs de distribution cumulative, quantité relative de la i classe

r,i
granulométrique, �x
s Variance
t Coefficient de Student
Rendement de séparation
T Triage global ou rendement de séparation
T(x) Courbe de rendement de séparation
x Diamètrede laparticule, diamètre d'une sphère
x Diamètre de coupure analytique

x Diamètre de coupure équiprobable, valeur médiane d'une dimension particulaire sur une

courbe de rendement de séparation
ème
Limite supérieuredela i classe granulométrique
ème
Limite inférieure de la i classe granulométrique
i�1
ème
�x Étendue de la i classe granulométrique

x Taille au-dessus de laquelle il n'y a pas de particules dans une distribution granulométrique

max
donnée
x Taille au-dessous de laquelle il n'y a pas de particules dans une distribution
min
granulométrique donnée
Angle de pente, somme pondérée des variances
Erreur de bilan des masses, distribution différentielle
� � Q � Q Variable
r,i r,s,i r,c,i
Résolution des paramètres de coupure obtenus pour les tailles granulométriques
caractéristiques
v Quantité relative
Variable
� � Q � Q
r,i r,f,i r,c,i
� Quantité de particules ne participant pas au processus de triage
Variable
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ISO 9276-4:2001(F)
2.2 Indices
Voir Tableau 2.
Tableau 2 — Indices
Symbole Signification
c Fraction grossière (deuxième indice après r)
f Fraction fine (deuxième indice après r)
i Numéro de classe granulométrique avec limite supérieure: x
Type de grandeur d'une distribution différentielle (description
générale)
s Charge ou matériau de charge (deuxième indice après r)
0 Remplace s dans le cas où il y a plus d’une fraction grossière
1 Remplace f dans le cas où il y a plus d’une fraction grossière
2 Remplace c dans le cas où il y a plus d’une fraction grossière
Par exemple r � 3si typedegrandeur � volume ou masse.

3 Caractérisation d'un processus de triage reposant sur des courbes de distribution

exemptes d'erreurs et des bilans de masses
3.1 Courbes de distribution différentielle représentant un processus de triage

Dans un processus de triage, une charge ou un matériau de charge donné (indice s) est séparé au minimum en

deux parties, appelées fraction fine (indice f) et fraction grossière (indice c). S'il était possible d'obtenir un triage

idéal, la fraction fine contiendrait, comme le montre la Figure 2, des particules inférieures ou égales à une certaine

classe, x , appeléediamètre de coupure, et la fraction grossière contiendrait toutes les particules supérieures à

cette classe.
Figure 2 — Distributions différentielles pondérées du matériau de charge q (x)
r,s
et des fractions fine et grossière d'un processus de triage idéal
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ISO 9276-4:2001(F)

Les aires hachurées situées sous la courbe des distributions différentielles pondérées du produit fin et du produit

grossier représentent la masse relative, v , ou le nombre de particules, v ,de lafractionfine, v ,etde lafraction

3,f 0,f r,f
grossière, v , dont la somme est égale à 100 % ou à 1.
r,c

Toutefois, dans la réalité, sur une étendue granulométrique telle que x � x � x , des particules de même

min,c max,f

taille, x, sont présentes à la fois dans la fraction fine et dans la fraction grossière. Les courbes de distribution

différentielle des fractions fine et grossière se chevauchent et se coupent dans cette étendue granulométrique. Le

point d'intersection, tel qu’il est représentéà la Figure 3, correspond à un diamètre de coupure, appelé diamètre de

coupure équiprobable, x (voir 3.3.2).

Les particules de taille inférieureaudiamètredecoupure, x , dans la fraction grossière,oudetaille supérieure à x

e e
dans la fraction fine, ont été mal triées.

Figure 3 — Distributions différentielles pondérées du matériau de charge, q (x), de la fraction fine,

r,s
v q (x), et de la fraction grossière, v q (x),d’un processus de triage réel
r,f r,f r,c r,c
3.2 Bilans des masses et des nombres de particules

3.2.1 Bilan des masses et des nombres de particules dans la classe granulométrique de x à x

min max

Le processus de triage divise la masse, m , ou le nombre de particules correspondant, n ,dumatériau de charge

s s

en une masse, m , ou un nombre de particules, n,dematériau fin et en une masse, m ,ouunnombredeparticules

f f c
correspondant, n ,dematériau grossier. On obtient alors:
m �m �m ou n � n � n (1)
s f c s f c
m m n n
f c f c
1� � ou 1� � (2)
m m n n
s s s s
1� v � v ou 1� v � v (3)
3,f 3,c 0,f 0,c

v représente la quantité relative de la fraction fine, et v la quantité relative de la fraction grossière.

r,f r,c
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ISO 9276-4:2001(F)

Sur les Figures 2 et 3, v et v sont représentéspar lesaires situées sous les courbes de distribution différentielle

r,f r,c

pondérée des fractions fine, v q (x), et grossière, v q (x). L’aire située sous la courbe de distribution

r,f r,f r,c r,c
différentielle du matériau de charge, q (x), est égale à 1.
r,s

3.2.2 Bilan des masses et des nombres de particules dans la classe granulométrique de x à x� dx

Le processus de triage affecte les particules d'une certaine taille, x,présentes dans le matériau de charge soit dans

la fraction fine, soit dans la fraction grossière. La quantité de particules du matériau de charge, dQ (x), est par

r,s
conséquent divisée en deux fractions: v dQ (x)et v dQ (x).
r,f r,f r,c r,c
d(Qx) �v dQ(x)+v dQ (x) (4)
rr,s ,fr,f r,cr,c
En remplaçant dQ (x) par l'équation 5
ddQx()�q ()x x (5)
on obtient:
qx()�v q (x)+v q (x) (6)
rr,s ,fr,f r,cr,c

L'équation 6 doit être utilisée pour tracer l’ensemble des courbes de distribution différentielledelaFigure3. Il

convient de noter que, sur la Figure 3, seules trois des variables de l'équation 6 peuvent être choisies de manière

arbitraire. Si, par exemple, deux distributions différentielles et la quantité relative de matériau finougrossier, q (x),

r,s
q (x)et v sont données, alors q (x)et v sont fixes.
r,f r,f r,c r,c

3.2.3 Bilan des masses et des nombres de particules dans l'étendue granulométrique de x à x

min
Le calcul de l'intégraledel'équation 6 entre x et x donne:
min
Qx()�v Q (x)+v Q (x) (7)
rr,s ,fr,f r,cr,c
3.2.4 Évaluation indirecte de v et de v
r,f r,c

Dans de nombreux cas d'application pratique, v et v ne peuvent pas être calculés à partir des masses ou débits

r,f r,c

massiques appropriés, car ces données ne sont pas disponibles, difficiles à mesurer, etc. Cependant, si des

échantillons représentatifs du matériau de charge, de la fraction fine et de la fraction grossière ont été mesurés, les

équations 3 et 6 ou 7 peuvent être utilisées pour le calcul de v ou de v . On obtient en introduisant l'équation 3

r,f r,c

dans les équations 6 et 7 et en les résolvant par rapport à v l'équation suivante:

r,f
Q (x)� Q (x) q (x)� q (x)
r,s r,c r,s r,c
v � 1� v � � (8)
r,f r,c
Q (x)� Q (x) q (x)� q (x)
r,f r,c r,f r,c

Si les distributions cumulatives Q (x), Q (x)et Q (x) sont exemptes d'erreurs, c'est-à-diresilebilandes masses

r,s r,f r,c

selon les équations 6 et 7 ne laisse pas de reste, v ou v seront constants et indépendants de la taille x.

r,f r,c
3.3 Définitions du diamètre de coupure, x
3.3.1 Généralités

En principe, toute valeur de x comprise entre x et x ,c’est-à-dire dans la classe granulométrique dans

min c max f

laquelle les distributions différentielles des fractions fine et grossière se chevauchent, peut être utiliséecomme

diamètre de coupure.

Deux définitions suivantes sont généralement utilisées, comme indiqué en 3.3.2 et 3.3.3.

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ISO 9276-4:2001(F)

3.3.2 Diamètre de coupure équiprobable, x , valeur médiane de la courbe de rendement de séparation

Sur la Figure 3, les courbes de distribution différentielle pondérée des fractions fine et grossière se coupent en un

point x . Cette taille de particule, qui représente la valeur médiane de la courbe de rendement de séparation, T(x),

telle que définie en 3.4, est le diamètre de coupure équiprobable, x :
xx��(,T 05) (9)

Contrairement aux autres tailles de particules, les particules de cette taille ont la même probabilité d’être triées en

fraction fine ou en fraction grossière. Par conséquent, la longueur du trait vertical interrompu sur la Figure 3,

abaissé du point d’intersection entre la courbe de distribution différentielle pondéréedela fraction fineet la courbe

de distribution différentielle pondéréedelafractiongrossière sur l’axe des x,est égale à la distance verticale entre

ce point et la courbe de distribution différentielle pondéréedumatériau de charge.

Il en résulte que les particules de cette taille sont présentes de manière équiprobable dans les fractions fine et

grossière:
v q (x )� v q (x ) (10)
r,f r,f e r,c r,c e
3.3.3 Diamètre de coupure analytique, x

Un séparateur par courant gazeux analytique, par exemple un seul étage d'impacteur, se présente pour l'utilisateur

comme une boîte noire (voir Figure 1). Si par exemple on introduit dans le séparateur une masse connue, m , à la

fin du processus de triage, on obtient quantitativement, dans la plupart des cas, la masse, m , du produit grossier

uniquement. La masse du produit fin m peut être calculée à partirdeladifférence entre la masse de charge

introduite, m , et la masse, m , du produit grossier. Étant donné qu'on choisit une masse relative du matériau fin,

s c

v � m / m ,telle quedéterminée par l'expérience, égale à la masse relative passant dans la charge, à savoir

3,f f s

Q (x), on doit trouver un diamètre de coupure x correspondant à cette définition. Ce diamètredecoupureest

3,s
appelé diamètre de coupure analytique, x .Sadéfinition générale est alors:
1� v � v � Q (x ) (11)
r,c r,f r,s a

Pour une distribution granulométrique donnée de la charge ou du matériau de charge, la quantité relative connue

du matériau fi
...

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