ISO/TS 16610-29:2006
(Main)Geometrical product specifications (GPS) — Filtration — Part 29: Linear profile filters: Spline wavelets
Geometrical product specifications (GPS) — Filtration — Part 29: Linear profile filters: Spline wavelets
ISO/TS 16610-29:2006 specifies spline wavelets for profiles, and contains the relevant concepts. It gives the basic terminology for spline wavelets of compact support, together with their usage.
Spécification géométrique des produits (GPS) — Filtrage — Partie 29: Filtres de profil linéaires: Ondelettes splines
L'ISO/TS 16610-29:2006 spécifie les ondelettes splines utilisées pour le filtrage des profils et expose les concepts sous-jacents. Elle définit également la terminologie élémentaire des ondelettes splines à support compact et précise leur utilisation.
General Information
Relations
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Standards Content (Sample)
TECHNICAL ISO/TS
SPECIFICATION 16610-29
First edition
2006-11-01
Geometrical product specifications
(GPS) — Filtration —
Part 29:
Linear profile filters: Spline wavelets
Spécification géométrique des produits (GPS) — Filtrage —
Partie 29: Filtres de profil linéaires: Ondelettes splines
Reference number
ISO/TS 16610-29:2006(E)
©
ISO 2006
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ISO/TS 16610-29:2006(E)
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Published in Switzerland
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ISO/TS 16610-29:2006(E)
Contents Page
Foreword. iv
Introduction . vi
1 Scope . 1
2 Normative references . 1
3 Terms and definitions. 1
4 General wavelet description . 3
4.1 General. 3
4.2 Basic usage of wavelets . 3
4.3 The wavelet transform. 4
4.4 Spline wavelets . 4
4.5 Nested mathematical models . 5
5 Recommendations. 5
5.1 Spline wavelet . 5
5.2 Nesting Index (cut-off values λ ). 5
c
6 Filter designation. 5
Annex A (normative) The family of interpolating spline wavelets . 6
Annex B (informative) Examples of the application of cubic of interpolating spline wavelets. 10
Annex C (informative) Concept diagram. 14
Annex D (informative) Relationship to the filtration matrix model. 15
Annex E (informative) Relation to the GPS matrix model . 16
Bibliography . 17
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ISO/TS 16610-29:2006(E)
Foreword
ISO (the International Organization for Standardization) is a worldwide federation of national standards bodies
(ISO member bodies). The work of preparing International Standards is normally carried out through ISO
technical committees. Each member body interested in a subject for which a technical committee has been
established has the right to be represented on that committee. International organizations, governmental and
non-governmental, in liaison with ISO, also take part in the work. ISO collaborates closely with the
International Electrotechnical Commission (IEC) on all matters of electrotechnical standardization.
International Standards are drafted in accordance with the rules given in the ISO/IEC Directives, Part 2.
The main task of technical committees is to prepare International Standards. Draft International Standards
adopted by the technical committees are circulated to the member bodies for voting. Publication as an
International Standard requires approval by at least 75 % of the member bodies casting a vote.
In other circumstances, particularly when there is an urgent market requirement for such documents, a
technical committee may decide to publish other types of normative document:
— an ISO Publicly Available Specification (ISO/PAS) represents an agreement between technical experts in
an ISO working group and is accepted for publication if it is approved by more than 50 % of the members
of the parent committee casting a vote;
— an ISO Technical Specification (ISO/TS) represents an agreement between the members of a technical
committee and is accepted for publication if it is approved by 2/3 of the members of the committee casting
a vote.
An ISO/PAS or ISO/TS is reviewed after three years in order to decide whether it will be confirmed for a
further three years, revised to become an International Standard, or withdrawn. If the ISO/PAS or ISO/TS is
confirmed, it is reviewed again after a further three years, at which time it must either be transformed into an
International Standard or be withdrawn.
Attention is drawn to the possibility that some of the elements of this document may be the subject of patent
rights. ISO shall not be held responsible for identifying any or all such patent rights.
ISO/TS 16610-29 was prepared by Technical Committee ISO/TC 213, Dimensional and geometrical product
specifications and verification.
ISO/TS 16610 consists of the following parts, under the general title Geometrical product specifications
(GPS) — Filtration:
⎯ Part 1: Overview and basic concepts
⎯ Part 20: Linear profile filters: Basic concepts
⎯ Part 22: Linear profile filters: Spline filters
⎯ Part 29: Linear profile filters: Spline wavelets
⎯ Part 31: Robust profile filters: Gaussian regression filters
⎯ Part 32: Robust profile filters: Spline filters
⎯ Part 40: Morphological profile filters: Basic concepts
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ISO/TS 16610-29:2006(E)
⎯ Part 41: Morphological profile filters: Disk and horizontal line-segment filters
⎯ Part 49: Morphological profile filters: Scale space techniques
The following parts are under preparation:
⎯ Part 21: Linear profile filters: Gaussian filters
⎯ Part 26: Linear profile filters: Filtration on nominally orthogonal grid planar data sets
⎯ Part 27: Linear profile filters: Filtration on nominally orthogonal grid cylindrical data sets
⎯ Part 30: Robust profile filters: Basic concepts
⎯ Part 42: Morphological profile filters: Motif filters
⎯ Part 60: Linear areal filters: Basic concepts
⎯ Part 61: Linear areal filters: Gaussian filters
⎯ Part 62: Linear areal filters: Spline filters
⎯ Part 69: Linear areal filters: Spline wavelets
⎯ Part 70: Robust areal filters: Basic concepts
⎯ Part 71: Robust areal filters: Gaussian regression filters
⎯ Part 72: Robust areal filters: Spline filters
⎯ Part 80: Morphological areal filters: Basic concepts
⎯ Part 81: Morphological areal filters: Sphere and horizontal planar segment filters
⎯ Part 82: Morphological areal filters: Motif filters
⎯ Part 89: Morphological areal filters: Scale space techniques
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ISO/TS 16610-29:2006(E)
Introduction
This part of ISO/TS 16610 is a geometrical product specification (GPS) Technical Specification and is to be
regarded as a global GPS Technical Specification (see ISO/TR 14638). It influences the chain links 3 and 5 of
all chains of standards
For more detailed information of the relation of this part of ISO/TS 16610 to the GPS matrix model, see
Annex E.
This part of ISO/TS 16610 develops the terminology and concepts for spline wavelets.
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TECHNICAL SPECIFICATION ISO/TS 16610-29:2006(E)
Geometrical product specifications (GPS) — Filtration —
Part 29:
Linear profile filters: Spline wavelets
1 Scope
This part of ISO/TS 16610 specifies spline wavelets for profiles, and contains the relevant concepts. It gives
the basic terminology for spline wavelets of compact support, together with their usage.
2 Normative references
The following referenced documents are indispensable for the application of this document. For dated
references, only the edition cited applies. For undated references, the latest edition of the referenced
document (including any amendments) applies.
ISO/TS 16610-1:2006, Geometrical product specifications (GPS) — Filtration — Part 1: Overview and basic
terminology
ISO/TS 16610-20:2006, Geometrical product specifications (GPS) — Filtration — Part 20: Linear profile filters:
Basic concepts
ISO/TS 16610-22:2006, Geometrical product specifications (GPS) — Filtration — Part 22: Linear profile filters:
Spline filters
International vocabulary of basic and general terms in metrology (VIM). BIPM, IEC, IFCC, ISO, IUPAC, IUPAP,
OIML, 2nd ed., 1993
3 Terms and definitions
For the purposes of this document, the terms and definitions given in VIM, ISO/TS 16610-1, ISO/TS 16610-20
and ISO/TS 16610-22, and the following apply.
3.1
mother wavelet
function of one or more variables which forms the basic building block for wavelet analysis, related to a scalar
function
NOTE A mother wavelet usually integrates to zero, is localized in space and has a finite bandwidth. Figure 1 provides
an example of a real valued mother wavelet.
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ISO/TS 16610-29:2006(E)
Figure 1 — Example of a real valued mother wavelet
3.2
wavelet family
g
a,b
family of functions generated from the mother wavelet (3.1) by dilation and translation
NOTE If g(x) is the mother wavelet, then the wavelet family g (x) is generated as follows:
a,b
⎛⎞xb−
−0,5
gx()=×a g (1)
ab, ⎜⎟
a
⎝⎠
where
a is the dilation parameter;
b is the translation parameter.
3.2.1
dilation
〈wavelet〉 transformation which scales the spatial variable x by a factor a
−0,5
NOTE 1 This transformation takes the function g(x) to a g(x/a) for an arbitrary positive real number a.
−0,5
NOTE 2 The factor a keeps the area under the function constant.
3.2.2
translation
transformation which shifts the spatial position of a function by a real number b
NOTE This transformation takes the function g(x) to g(x − b) for an arbitrary real number b.
3.3
discrete wavelet transform
unique decomposition of a profile into a linear combination of a wavelet family (3.2) where the translation
(3.2.2) parameters are integers and the dilation (3.2.1) parameters are powers of a fixed positive integer
greater than 1.
NOTE 1 The dilation parameters are usually powers of 2.
NOTE 2 Throughout the rest of this part of ISO/TS 16610, the discrete wavelet transform is referred to as the wavelet
transform.
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3.4
multiresolution analysis
decomposition of a profile by a filter bank into portions of different scales
NOTE 1 The portions at different scales are also referred to as resolutions.
[ISO/TS 16610-20:2006]
NOTE 2 See Figure 2.
NOTE 3 Since there is, by definition, no loss of information, it is possible to reconstruct the original profile from the
multiresolution ladder structure.
3.4.1
low-pass component
component obtained after convolution with a smoothing filter (low pass) and a decimation
3.4.2
high-pass component
component obtained after convolution with a difference filter (high pass) and a decimation
NOTE The weighting function of the difference filter is defined by the wavelet from a particular family of wavelets,
with a particular dilation parameter and no translation.
3.4.3
multiresolution ladder structure
structure consisting of all the orders of the difference components and the highest order smooth component
3.4.4
scalar function
function which defines the weighting function of the smoothing filter used to obtain the smooth component
NOTE In order to avoid loss of information on the multiresolution ladder structure, the wavelet and scaling function
are matched.
3.4.5
decimation
〈wavelet〉 action which samples every kth point in a sampled profile, where k is a positive integer
NOTE Typically k is equal to 2.
3.5
spline wavelet
wavelet family (3.2) whose corresponding reconstructing scalar functions (3.4.4) are splines
4 General wavelet description
4.1 General
A spline wavelet claiming to comply with this document shall satisfy the equations given in Annex A.
NOTE Examples of the application of cubic of interpolating spline wavelets are given in Annex B. A concept diagram
for the concepts for spline wavelet filters is given in Annex C, and the relationship to the filtration matrix model is given in
Annex D.
4.2 Basic usage of wavelets
Wavelet analysis consists of decomposing a profile into a linear combination of wavelets g (x), all generated
a,b
from a single mother wavelet (see [6]). This is similar to Fourier analysis, which decomposes a profile into a
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ISO/TS 16610-29:2006(E)
linear combination of sinewaves, but unlike Fourier analysis, wavelets can identify the location as well as the
scale of a feature in a profile. As a result, they can decompose profiles where the small-scale structure in one
portion of the profile is unrelated to the structure in a different portion, such as localized changes (i.e.
scratches). Wavelets are also ideally suited for non-stationary profiles. Basically, wavelets decompose a
profile into building blocks of constant shape, but of different scales.
4.3 Wavelet transform
The discrete wavelet transform of a profile s(t) given at fixed intervals x = i∆x, (where ∆x is the sampling
i
interval and i = .,-2,-1,0,1,2,.) with the mother wavelet g(x ) is given by
⎡⎤
Si∆=x,a ∆x s i−j∆x g j∆x (2)
( ) ( ) ( )
∑ aj, ∆x
⎣⎦
j
The dilation parameter a is also restricted to discrete values. Consecutive values of a usually have a fixed ratio,
i.e. a / a = constant.
i i+1
NOTE 1 This constant is usually 2.
If the wavelet g(x) has a finite spatial extent, the number of sampling points of t(x) at the scale a grows linearly
with a, such that calculations of S with an algorithm based on the abov
...
SPÉCIFICATION ISO/TS
TECHNIQUE 16610-29
Première édition
2006-11-01
Spécification géométrique des produits
(GPS) — Filtrage —
Partie 29:
Filtres de profil linéaires: Ondelettes
splines
Geometrical product specifications (GPS) — Filtration —
Part 29: Linear profile filters: Spline wavelets
Numéro de référence
ISO/TS 16610-29:2006(F)
©
ISO 2006
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ISO/TS 16610-29:2006(F)
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peut être imprimé ou visualisé, mais ne doit pas être modifié à moins que l'ordinateur employé à cet effet ne bénéficie d'une licence
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Publié en Suisse
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ISO/TS 16610-29:2006(F)
Sommaire Page
Avant-propos. iv
Introduction . vi
1 Domaine d'application. 1
2 Références normatives . 1
3 Termes et définitions. 1
4 Description générale des ondelettes. 3
4.1 Généralité . 3
4.2 Utilisation élémentaire des ondelettes . 4
4.3 Transformation en ondelettes . 4
4.4 Ondelettes splines. 5
4.5 Modèles mathématiques imbriqués. 5
5 Recommandations. 5
5.1 Ondelette spline . 5
5.2 Indice d’imbrication (valeurs de coupure λ ). 5
c
6 Désignation du filtre . 5
Annexe A (normative) Famille d'ondelettes splines interpolantes . 6
Annexe B (informative) Exemples d'application d'ondelettes splines interpolantes cubiques. 10
Annexe C (informative) Vue d'ensemble des concepts. 14
Annexe D (informative) Relations avec la matrice de filtrage. 15
Annexe E (informative) Relations avec la matrice GPS. 16
Bibliographie . 17
© ISO 2006 – Tous droits réservés iii
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ISO/TS 16610-29:2006(F)
Avant-propos
L'ISO (Organisation internationale de normalisation) est une fédération mondiale d'organismes nationaux de
normalisation (comités membres de l'ISO). L'élaboration des Normes internationales est en général confiée
aux comités techniques de l'ISO. Chaque comité membre intéressé par une étude a le droit de faire partie du
comité technique créé à cet effet. Les organisations internationales, gouvernementales et non
gouvernementales, en liaison avec l'ISO participent également aux travaux. L'ISO collabore étroitement avec
la Commission électrotechnique internationale (CEI) en ce qui concerne la normalisation électrotechnique.
Les Normes internationales sont rédigées conformément aux règles données dans les Directives ISO/CEI,
Partie 2.
La tâche principale des comités techniques est d'élaborer les Normes internationales. Les projets de Normes
internationales adoptés par les comités techniques sont soumis aux comités membres pour vote. Leur
publication comme Normes internationales requiert l'approbation de 75 % au moins des comités membres
votants.
Dans d'autres circonstances, en particulier lorsqu'il existe une demande urgente du marché, un comité
technique peut décider de publier d'autres types de documents normatifs:
— une Spécification publiquement disponible ISO (ISO/PAS) représente un accord entre les experts dans
un groupe de travail ISO et est acceptée pour publication si elle est approuvée par plus de 50 % des
membres votants du comité dont relève le groupe de travail;
— une Spécification technique ISO (ISO/TS) représente un accord entre les membres d'un comité technique
et est acceptée pour publication si elle est approuvée par 2/3 des membres votants du comité.
Une ISO/PAS ou ISO/TS fait l'objet d'un examen après trois ans afin de décider si elle est confirmée pour trois
nouvelles années, révisée pour devenir une Norme internationale, ou annulée. Lorsqu'une ISO/PAS ou
ISO/TS a été confirmée, elle fait l'objet d'un nouvel examen après trois ans qui décidera soit de sa
transformation en Norme internationale soit de son annulation.
L'attention est appelée sur le fait que certains des éléments du présent document peuvent faire l'objet de
droits de propriété intellectuelle ou de droits analogues. L'ISO ne saurait être tenue pour responsable de ne
pas avoir identifié de tels droits de propriété et averti de leur existence.
L'ISO/TS 16610-29 a été élaborée par le comité technique ISO/TC 213, Spécification et vérification
dimensionnelles et géométriques des produits.
L'ISO/TS 16610 comprend les parties suivantes, présentées sous le titre général Spécification géométrique
des produits (GPS) — Filtrage:
⎯ Partie 1: Vue d'ensemble et concepts de base
⎯ Partie 20: Filtres de profil linéaires: Concepts de base
⎯ Partie 22: Filtres de profil linéaires: Filtres splines
⎯ Partie 29: Filtres de profil linéaires: Ondelettes splines
⎯ Partie 31: Filtres de profil robustes: Filtres de régression gaussiens
⎯ Partie 32: Filtres de profil robustes: Filtres splines
iv © ISO 2006 – Tous droits réservés
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ISO/TS 16610-29:2006(F)
⎯ Partie 40: Filtres de profil morphologiques: Concepts de base
⎯ Partie 41: Filtres de profil morphologiques: Filtre disque et filtre segment de droite horizontal
⎯ Partie 49: Filtres de profil morphologiques: Techniques d’analyse par espace d'échelle
Les parties suivantes sont en cours d’élaboration:
⎯ Partie 21: Filtres de profil linéaires: Filtres gaussiens
⎯ Partie 26: Filtres de profil linéaires: Filtrage selon une grille nominalement orthogonale de données
planes
⎯ Partie 27: Filtres de profil linéaires: Filtrage selon une grille nominalement orthogonale de données
cylindriques
⎯ Partie 30: Filtres de profil robustes: Concepts de base
⎯ Partie 42: Filtres de profil morphologiques: Filtres des motifs
⎯ Partie 60: Filtres de surface linéaires: Concepts de base
⎯ Partie 61: Filtres de surface linéaires: Filtres gaussiens
⎯ Partie 62: Filtres de surface linéaires: Filtres splines
⎯ Partie 69: Filtres de surface linéaires: Ondelettes splines
⎯ Partie 70: Filtres de surface robustes: Concepts de base
⎯ Partie 71: Filtres de surface robustes: Filtres de régression gaussiens
⎯ Partie 72: Filtres de surface robustes: Filtres splines
⎯ Partie 80: Filtres de surface morphologiques: Concepts de base
⎯ Partie 81: Filtres de surface morphologiques: Filtres à sphères et segments horizontaux plans
⎯ Partie 82: Filtres de surface morphologiques: Filtres des motifs
⎯ Partie 89: Filtres de surface morphologiques: Techniques d’échelle d’analyse
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ISO/TS 16610-29:2006(F)
Introduction
La présente partie de l'ISO/TS 16610, qui traite de la spécification géométrique des produits (GPS), est une
Spécification technique GPS globale (voir l’ISO/TR 14638). Elle influence les maillons 3 et 5 de toutes les
chaînes de normes.
Pour de plus amples informations sur les relations entre la présente partie de l’ISO/TS 16610 et la matrice
GPS, voir l’Annexe E.
La présente partie de l'ISO/TS 16610 expose la terminologie et les concepts des ondelettes splines.
vi © ISO 2006 – Tous droits réservés
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SPÉCIFICATION TECHNIQUE ISO/TS 16610-29:2006(F)
Spécification géométrique des produits (GPS) — Filtrage —
Partie 29:
Filtres de profil linéaires: Ondelettes splines
1 Domaine d'application
La présente partie de l'ISO/TS 16610 spécifie les ondelettes splines utilisées pour le filtrage des profils et
expose les concepts sous-jacents. Elle définit également la terminologie élémentaire des ondelettes splines à
support compact et précise leur utilisation.
2 Références normatives
Les documents de référence suivants sont indispensables pour l'application du présent document. Pour les
références datées, seule l'édition citée s'applique. Pour les références non datées, la dernière édition du
document de référence s'applique (y compris les éventuels amendements).
ISO/TS 16610-1:2006, Spécification géométrique des produits (GPS) — Filtrage — Partie 1: Vue d’ensemble
et concepts de base
ISO/TS 16610-20:2006, Spécification géométrique des produits (GPS) — Filtrage — Partie 20: Filtres de profil
linéaires: Concepts de base
ISO/TS 16610-22:2006, Spécification géométrique des produits (GPS) — Filtrage — Partie 22: Filtres de profil
linéaires: Filtres splines
Vocabulaire international des termes fondamentaux et généraux de métrologie (VIM). BIPM, CEI, FICC, ISO,
ème
UICPA, UIPPA, OIML, 2 édition, 1993
3 Termes et définitions
Pour les besoins du présent document, les termes et définitions donnés dans le VIM, l’ISO/TS 16610-1,
l’ISO/TS 16610-20, l’ISO/TS 16610-22, ainsi que les suivants s'appliquent.
3.1
ondelette mère
fonction à une ou plusieurs variables, qui forme le bloc de construction élémentaire pour l’analyse
d’ondelettes, associée à une fonction d’échelle
NOTE En général, une ondelette mère s’intègre en donnant une valeur nulle, est localisée dans l’espace et a une
largeur de bande finie (voir exemple à la Figure 1).
© ISO 2006 – Tous droits réservés 1
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ISO/TS 16610-29:2006(F)
Figure 1 — Exemple d'une ondelette mère à valeurs réelles
3.2
famille d’ondelettes
g
a,b
famille de fonctions obtenues par dilatation et translation de l’ondelette mère (3.1)
NOTE Si g(x) est l’ondelette mère, la famille d’ondelettes g (x) est alors obtenue par l’équation:
a,b
xb−
⎛⎞
−0,5
gx()=×a g (1)
ab, ⎜⎟
a
⎝⎠
où
a est le paramètre de dilatation;
b est le paramètre de translation.
3.2.1
dilatation
〈ondelette〉 transformation qui consiste à changer l’échelle de la variable spatiale x d’un facteur a
−0,5
NOTE 1 Cette transformation appliquée à la fonction g(x) donne a g(x/a) pour un nombre réel positif arbitraire a.
−0,5
NOTE 2 Le facteur a a pour but de maintenir l’aire sous la fonction constante.
3.2.2
translation
transformation qui consiste à décaler la position spatiale d’une fonction d’un nombre réel b
NOTE Cette transformation appliquée à la fonction g(x) donne g(x − b) pour un nombre réel arbitraire b.
3.3
transformation en ondelettes discrètes
décomposition unique d’un profil en une combinaison linéaire de famille d’ondelettes (3.2), dans laquelle les
paramètres de translation (3.2.2) sont des entiers et les paramètres de dilatation (3.2.1) sont les puissances
d’un entier positif donné supérieur à un
NOTE 1 Les paramètres de dilatation sont généralement des puissances de 2.
NOTE 2 Dans le reste de la présente partie de l’ISO/TS 16610, la transformation en ondelettes discrètes sera appelée
«transformation en ondelettes».
2 © ISO 2006 – Tous droits réservés
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ISO/TS 16610-29:2006(F)
3.4
analyse multirésolution
décomposition d’un profil en portions à différentes échelles au moyen d’un banc de filtres
NOTE 1 Les portions à différentes échelles sont aussi appelées résolutions.
[ISO/TS 16610-20:2006]
NOTE 2 Voir Figure 2.
NOTE 3 Par définition, comme aucune perte d’information ne se produit, il est possible de reconstruire le profil
d’origine à partir de la structure en échelle de multirésolution.
3.4.1
composante passe-bas
composante obtenue après la convolution avec un filtre de lissage (passe-bas) et une décimation
3.4.2
composante passe-haut
composante obtenue après la convolution avec un filtre différentiel (passe-haut) et une décimation
NOTE La fonction de pondération du filtre différentiel est définie par l’ondelette issue d’une famille d’ondelettes
spécifique, ayant un paramètre de dilatation particulier et sans paramètre de translation.
3.4.3
structure en échelle de multirésolution
structure constituée de tous les ordres des composantes différentielles et de la composante de lissage ayant
l’ordre le plus élevé
3.4.4
fonction d’échelle
fonction qui définit la fonction de pondération du filtre de lissage utilisé pour obtenir la composante de lissage
NOTE Pour éviter de perdre toute information dans la structure en échelle de multirésolution, l’ondelette et la fonction
de changement d’échelle doivent être appariés.
3.4.5
décimation
ième
〈ondelette〉 action qui consiste à échantillonner chaque k point dans un profil échantillonné, où k est un
entier positif
NOTE k est généralement égal à 2.
3.5
ondelette spline
famille d’ondelettes (3.2) dont les fonctions d’échelles (3.4.4) de reconstruction correspondantes sont des
splines
4 Description générale des ondelettes
4.1 Généralité
Une ondelette spline revendiquant la conformité à la présente partie de l’ISO/TS 16610 doit satisfaire aux
équations données dans l’Annexe A.
NOTE Des exemples d’application d’ondelettes splines interpolantes cubiques sont donnés dans l’Annexe B. Une
vue d’ensemble des concepts est donnée dans l’Annexe C, et les relations avec la matrice de filtrage sont données dans
l’Annexe D.
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ISO/TS 16610-29:2006(F)
4.2 Utilisation élémentaire des ondelettes
Une analyse par ondelettes consiste à décomposer un profil en une combinaison linéaire d’ondelettes g (x)
a,b
générées à partir d’une seule ondelette mère (voir [6]). Elle s’apparente à une analyse de Fourier qui
décompose un profil en une combinaison linéaire d’ondes sinusoïdales mais, contrairement à celle-ci, les
ondelettes peuvent identifier la position et l’échelle d’un élément dans un profil. Elles peuvent donc
décomposer des profils où la structure à petite échelle dans une partie du profil n’a aucun rapport avec celle
d’une autre partie (changements localisés dus à des rayures, par exemple). De plus, les ondelettes
conviennent parfaitement aux profils non stationnaires. Par principe, les ondelettes décomposent un profil en
blocs de construction ayant une forme constante mais des échelles différentes.
4.3 Transformation en ondelettes
La transformation en ondelettes discrètes d’un profil s(t) donnée à intervalles fixes x = i∆x, (où ∆x est
i
l’intervalle d’échantillonnage et i = .,−2,−1,0,1,2,.) avec l’ondelette mère g(x ) est donnée par:
⎡⎤
Si∆=x,a ∆x s i−j∆x g j∆x (2)
( ) ( ) ( )
∑ aj,∆x
⎣⎦
j
Le paramètre de dilatation a est également limité à des valeurs discrètes. En général, les valeurs
consécutives de a ont un rapport fixe, c’est-à-dire que le rapport a / a est constant.
i i+1
NOTE 1 Cette constante est généralement égale à 2.
Si l’ondelette g(x) a une étendue spatiale finie, le nombre de points d’échantillonnage de t(x) à l’échelle a croît
linéairement avec a et, de ce fait, il est généralement impossible de calculer S en utilisant un algorithme basé
sur l’équation ci-dessus. L’efficacité des algorit
...
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