ISO 7066-2:1988

Assessment of uncertainty in the calibration and use of flow measurement devices - Part 2: Non-linear calibration relationships

Describes the procedures for fitting a quadratic, cubic or higher degree polynomial expression to a non-linear set of calibration data, using the least-squares criterion, and of assessing the uncertainty associated with the resulting calibration curve. The method of fitting a straight line to flow measurement calibration data is dealt with in ISO 7066-1.

Évaluation de l'incertitude dans l'étalonnage et l'utilisation des appareils de mesure du débit — Partie 2: Relations d'étalonnage non linéaires

La présente partie de l'ISO 7066 indique comment faire passer une courbe exprimée sous la forme d'un polynôme de degré 2, 3 ou au-delà, par un ensemble non rectiligne1) de valeurs d'étalonnage en utilisant comme critère la méthode des moindres carrés. Elle indique également comment évaluer l'incertitude à partir de la courbe d'étalonnage ainsi obtenue. La présente partie de l'ISO 7066 ne traite que du cas des polynômes à exposants entiers. L'établissement de ce type de courbe et l'évaluation de l'incertitude correspondante étant généralement impossibles sans ordinateur, la présente partie de l'ISO 7066 pose comme hypothèse de travail que l'utilisateur en possède un. Dans la plupart des cas, il sera possible de se servir des routines normalisées de l'ordinateur. Il est également possible d'exploiter le programme FORTRAN indiqué en annexe C. Des exemples d'application des méthodes préconisées figurent en annexe D. Il n'est pas permis d'extrapoler au-delà de l'éte

General Information

• Status: Published
• Publication Date: 29-Jun-1988
• ICS: 17.120.10 - Flow in closed conduits
• Technical Committee: ISO/TC 30 - Measurement of fluid flow in closed conduits
• Drafting Committee: ISO/TC 30 - Measurement of fluid flow in closed conduits
• Current Stage: 9093 - International Standard confirmed
• Start Date: 27-Mar-2024
• Completion Date: 13-Dec-2025

Overview

ISO 7066-2:1988 provides internationally recognized procedures for the assessment of uncertainty when calibrating flow measurement devices that exhibit non-linear calibration relationships. It specifies how to fit quadratic, cubic or higher-order polynomial expressions to calibration data using the least-squares criterion and how to evaluate the uncertainty associated with the resulting calibration curve. The standard complements ISO 7066-1, which covers linear calibration relationships.

Key topics and technical requirements

• Polynomial curve fitting: Procedures for fitting polynomials (bo + b1x + b2x2 + … + bmxm) to non-linear calibration data using least-squares (polynomial or curvilinear regression).
• Selection of polynomial degree: Incremental testing of degree m, computation of residual standard deviation (sr), and selection of the optimum degree based on statistical significance (95% confidence) of added coefficients using Student’s t test.
• Uncertainty evaluation: Calculation of the random component of uncertainty for predicted values (95% confidence), combining systematic and random components, and expressions for variances of coefficients (annexes A and B).
• Computational guidance: Use of standard regression library routines or the orthogonal polynomial method (Annex B); a FORTRAN program is provided (Annex C). A finite-difference method (Annex E) is suggested for uniformly spaced x when a computer is unavailable.
• Practical cautions: No extrapolation beyond data range; avoid overfitting and spurious oscillations from excessive polynomial degree; consider variable transformations (e.g., reciprocal) or segmented fits when appropriate.
• Annexes: Informative annexes on regression methods (A), orthogonal polynomials (B), example program (C), worked examples (D) and finite-difference guidance (E) (these annexes are non-normative).

Applications

• Calibration laboratories assessing uncertainty in flow meter calibrations when responses are non-linear.
• Instrument manufacturers developing calibration curves and uncertainty budgets for flow devices.
• Metrology institutes and test houses establishing traceable calibration services for liquid and gas flow instruments.
• Engineers needing statistically justified calibration models and uncertainty estimates for flow measurement systems.

Who should use this standard

• Metrologists, calibration engineers, laboratory managers, and quality assurance personnel involved in flow measurement and calibration.
• Developers of calibration software and statistical routines for flow instrumentation.

Related standards

• ISO 7066-1 - Assessment of uncertainty in the calibration and use of flow measurement devices (linear calibration relationships).
• ISO 5168 - Measurement of fluid flow - Estimation of uncertainty of a flow-rate measurement (referenced for uncertainty principles).

Keywords: ISO 7066-2, calibration uncertainty, flow measurement, non-linear calibration, polynomial fitting, least-squares, orthogonal polynomials, regression, calibration curve.

Standards Content (Sample)

INTERNATIONAL STANDARD 7066-2
First edition
1988-07-01
INTERNATIONAL ORGANIZATION FOR STANDARDIZATION
ORGANISATION INTERNATIONALE DE NORMALISATION
MEXAYHAPOJJHAR OPTAHM3A~MR l-l0 CTAH~APTM3AL/MM
Assessment of uncertainty in the calibration and use
sf flow measurement devices -
Part 2:
Non-linear calibration relationships
Evaluation de l’incertitude dans l’etalonnage et l’utilisation des appareils de mesure du
dhbit -
Partie 2: Relations d’ktalonnage non lineaires
Reference number
ISO 7066-2 : 1988 (E)
ISO 7066-2 : 1988 (El
Foreword
ISO (the International Organization for Standardization) is a worldwide federation of
national Standards bodies (ISO member bodies). The work of preparing International
Standards is normally carried out through ISO technical committees. Esch member
body interested in a subject for which a technical committee has been established has
the right to be represented on that committee. International organizations, govern-
mental and non-governmental, in liaison with ISO, also take part in the work. ISO
collaborates closely with the International Electrotechnical Commission (IEC) on all
matters of electrotechnical standardization.
Draft International Standards adopted by the technical committees are circulated to
the member bodies for approval before their acceptance as International Standards by
the ISO Council. They are approved in accordance with ISO procedures requiring at
least 75 % approval by the member bodies voting.
International Standard ISO 7066-2 was prepared by Technical Committee ISO/TC 30,
Measurement of fluid flow in closed conduits.
Users should note that all International Standards undergo revision from time to time
and that any reference made herein to any other International Standard implies its
Jatest edition, unless otherwise stated.
0 International Organkation for Standardkation, 1988
Printed in Switzerland
ii
ISO 7066-2 : 1988 (El
Page
Contents
Introduction .
Scope and field of application .
........................................................
References
........................................................
Definitions
..........................................
Symbols and abbreviations
Curvefitting .
...................................................... 2
5.1 General
methods . 3
5.2 Computational
.............................. 3
5.3 Selecting the Optimum degree of fit
....................................................... 4
Uncertainty
, Annexes
............................................... 5
A Regression methods
.................................. 9
B Orthogonal polynomial curve fitting
...................... 11
C Computer program using orthogonal polynomials
D Examples .
E Finite-differente method .
. . .
Ill
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ISO 7066-2 : 1988 (E)
INTERNATIONAL STANDARD
Assessment of uncertainty in the calibration and use
of flow measurement devices -
Part 2:
Non-linear calibration relationships
ISO 7066-1, Assessment of uncertainty in the calibration and
0 Introduction
use of flow measurement devices - Part 7: Linear calibration
rela tionships. 3,
The method of fitting a straight line to flow measurement
calibration .data and of assessing the uncertainty in the calibra-
tion are dealt with in ISO 7066-1. ISO 7066-2 deals with the case
3 Def initions
where a straight line is inadequate for representing the calibra-
tion data.
For the purposes of this part of ISO 7666, the following defini-
tions apply.
1 Scope and field of application
3.1 method of least squares: Technique used to compute
the coefficients of a particular form of an equation which is
This part of ISO 7066 describes the procedures for fitting a Chosen for fitting a curve to data. The principle of least squares
is the minimization of the sum of squares of deviations of the
quadratic, cubic or higher degree polynomial expression to a
non-linear’ ) set of calibration data, using the least-squares data from the curve.
criterion, and of assessing the uncertainty associated with the
resulting calibration curve. lt considers only the use of
3.2 polynomial (function): For a variable X, a series of
polynomials with powers which are integers.
terms with increasing integer powers of X.
Because it is generally not practicable to carry out this type of
3.3 regression analysis : The process of quantifying the
curve fitting and assessment of uncertainty without using a dependence of one variable on one or more other variables.
Computer, it is assumed in this part of ISO 7066 that the user
NOTE - Many of the available Computer programs suitable for curve
has access to one. In many cases it will be possible to use stan-
fitting have the word “regression” in the title. For the purposes of this
dard routines available on most Computers; as an alternative
part of ISO 7666, the terms regression and least squares may be
the FORTRAN program listed in annex C may be used.
regarded as interchangeable.
Examples of the use of these methods are given in annex D.
3.4 Standard deviation: The positive Square root of the
variance.
Extrapolation beyond the range of the data is not permitted.
3.5 variance: A measure of dispersion based on the mean of
Annexes A, B, C, D and E do not form integral Parts of this part
the squares of deviations of values of a variable from its
of ISO 7066.
expected value.
4 Symbols and abbreviations
2 References
coefficient Of Xj
bj
ISO 5168, Measurement of fluid flow - Estimation of uncer-
tainty of a flow-ra te measuremen t. 2, c* element of the inverse matrix
Jb
1) These procedures are also suitable for a linear set of calibration data.
2) At present at the Stage of draft. (Revision of ISO 5168 : 1978.)
3) At present at the Stage of draft.

ISO 7066-2 : 1988 (EI
If it is not possible to establish a straight line, then the objective
e,( 1 random uncertainty of variable contained in paren-
theses’) is to find the degree and coefficients of the polynomial function
which best represents a set of n pairs of (x~, yi) data values
e,( ) systematic uncertainty of variable contained in paren- obtained from calibration. If, for example, a quadratic expres-
thesesl) sion is Chosen, the curve will be of the form
e(y^,) total uncertainty of calibration coefficientl) jL
b. + b,x + b2x2 . . .
(1)
coeff icient of jth orthogonal polynomial
The general polynomial expression is
m degree of polynomial
jL
bo + blx + n rna + bjXj + m-m + b,Xm
n number of data values
pj (X) jth orthogonal polynomial
m
jL
experimental contained in bjd
s( ) Standard deviation of variable . . * (2)
c
parentheses
j=O
residual Standard deviation of data about the
By applying the least-squares criterion, the coefficients bj are
curve
computed to minimize the sum of squares of deviations of the
data Points from the curve:
t Student’s t
n
the independent variable
X
- yi)*
(Yi
c
X* arbitrary specified value of x i=l
-.
X arithmetic mean of the data values Xi where yi is the value predicted by equation (2) at x = Xi.
In some cases, the degree m of the polynomial will be predeter-
value of x at the ith data Point
xi
mined; for example, it may be known from experience that the
jth independent variable (in multiple linear regression) calibration data will be satisfactorily represented by a cubic
xj
= 3) expression. Otherwise, the degree of fit is Chosen by
(m
increasing the degree until an Optimum is achieved (see 5.3).
value of Xj at the ith data Point
xji
If in increasing the degree of fit beyond a moderate degree
the dependent variable
Y
significant improvements in the fit, as described in 5.3, con-
tinue to occur, then it is likely that the functional dependence is
arithmetic mean of the data values yi
not suitable for representation by a polynomial; further, if the
equation fitted has too many terms, the curve may display
value of y predicted by the equation of the fitted curve
spurious oscillations. A not uncommon example is data which
are virtually constant over most of the x range, but which vary
value of y at the ith data Point
yi
strongly close to one end of the range.
value Of y at X = Xi
In such cases, it is appropriate to divide the range into sections
(see ISO 70664) which either are linear or tan be fitted by a
V number of degrees of freedom
low-degree polynomial. Alternatively, transforming one or both
variables may lead to a linear or low-degree polynomial func-
tion; transforming the independent variable to its reciprocal 1 lx
5 Curve fitting
will in some cases result in adequate linearity.
5.1 General
The least-squares methods described in this part of ISO 7666
may not be appropriate if the effect of the random uncertainty
Before attempting polynomial curve fitting, consideration
e,(x) of the data values Xi is not negligible in comparison with
should be given to whether a simple transformation of the x
that of the random uncertainty e,(y) of the y values. As in
variable or the y variable or both may effectively linearize the
ISO 7066-1, if the magnitude of the slope*) of the calibration
data to enable the straight line methods described in ISO 7066-1
curve is always less than one-fifth of e,(y) /e,(x), the methods
to be used. Some appropriate transformations are suggested in
may be regarded as appropriate; where this does not apply the
ISO 7066-1.
of e.
have been used
1) In some International Standards, the Symbols U and E
+ . . . .
“Slope” here means the derivative dy^ldx = b, + 2b2x
2)
ISO 7066-2 : 1988 (EI
If the data are well represented by a polynomial of degree m,
mathematical treatment is outside the scope of this part of
ISO 7666. If therefore the normal practice in calibrating any then s, will decrease significantly until the degree m is reached;
particular meter is to plot the variables in such a way that the thereafter s, will remain approximately constant. In general,
above condition does not hold, then either the conventional however, the degree at which the decrease in sr ceases to be
choice of abscissa and Ordinate is to be reversed or this part of significant is not obvious, and an objective test of significance
ISO 7666 cannot be used.
should be used as an aid to finding the Optimum degree of fit.
If either variable is transformed before fitting, then the uncer- Increasing the degree from m - 1 to m is regarded as providing
tainties referred to above, and later (clause 61, relate to the new a statistically significant improvement in the fit if the new coef-
transformed variables. If, as a result of transforming the depen- ficient b, differs significantly from Zero, i.e. if b, + tg5 s (bm)
dent variable, the random uncertainty e,(y) cannot be regarded and b, - ts5 s(b,) (the 95 % confidence limits of b,) do not
as constant over the range, then a weighted least-squares include Zero.
method should be used. The weighted least-squares method is
not described in this part of ISO 7066 but many Computer
This condition may be expressed as
library routines allow the data to be weighted.
5.2 Computational methods
where ts5 is the Student’s t value for the 95 % confidence level
Standard library routines for least-squares curve fitting are
with v = n - m - 1.
available on most Computers. The method for fitting a straight
line described in ISO 7066-1 is commonly known as linear or
The value of ts5 as a function of the number of degrees of
the equivalent method for fitting a
simple linear regression :
freedom v tan be computed from the following empirical
polynomial may be described as polynomial or curvilinear
equation :
regression, which is a special type of multiple linear regression.
Annex A gives further information on regression methods and
. . .
1,96 + 2,361~ -t- 3,2/v* + 5,2/v3rM (4)
45 =
how to use them.
For the orthogonal polynomial coefficient g, (see annex B), the
As an alternative to the Standard regression routines, the or-
condition is
thogonal polynomial method described in annex B may be
used: this method is particularly suitable when the degree of fit
is not known beforehand. Annex C lists an appropriate
orthogonal polynomial Computer program.
When a Computer is not available and the x values are uniformly
Expressions for the variances of the coefficients s*(t),) and
spaced, a finite-differente method (see annex E) may be used
S*(gm) are given in annex A and annex B respectively.
to provide a quick indication of what degree of fit may be
appropriate to represent the data. The coefficients of a
lt is important to test the effect of increasing the degree at least
polynomial representing the data may also be calculated, but
one degree beyond that which first Shows no significant im-
this will not be the least-squares polynomial. The calculation of
provement, since it is often the case that either only the odd
uncertainty using this method is beyond the scope of this part
terms or only the even terms produce a significant improve-
of ISO 7666.
ment.
From a statistical Point of view, the highest degree which pro-
duces an improvement in the fit which is significant at the 95 %
5.3 Selecting the Optimum degree of fit
confidence level may be regarded as the Optimum degree.
However, before this degree is selected as providing the most
The Optimum fit is determined by trying increasing values of the
suitable expression to represent the data, other factors should
degree m, either up to a specified maximum or until no further
be considered. These factors include any knowledge of the
significant improvement occurs. The residual Standard devi-
expected shape of the curve, the desirability of having a func-
ation s, should be computed for each degree (sr is the Square
tional form which is not too complex, the range which it is
root of the residual variance) using the equation
necessary to represent, and the accuracy which is sought.
n
In assessing these factors, it is always advisable to plot graphs
sr* = (yi - yi)* / (y1 - m - 1) . . . (3)
showing the data and the possible curves; these graphs will
c
also highlight other possible Problems. For example, if the
i= 1
degree is too low, then the curve will fail to represent a real
where ji is the value predicted by the polynomial expression trend in the data, and the predicted value 7 may have a bias
[equation (2)] at X = Xi. over some of the range. If the degree is too high, the curve may
be fitting the scatter of the data rather than the underlying
NOTE - s, * is equivalent to the term s*(y,x) used in ISO 7066-1. trend.
The degree m shou ld always be much than the number n of The examples given in annex D illustrate the application of
data Points some of these principles.

ISO 7066-2 : 1988 (EI
The 95 % random confidence limits for the true value of y are
6 Uncertainty
y + e,(j)
The random component of the uncertainty, at the 95 % con-
f idence level of a predicted value F, is given
bY
As in ISO 7066-1, the uncertainty in the calibration coefficient is
given by
e,(j) = f95 s(y^,
er2 Cj4 + e,*(Y) ’ ‘*
dj,) =
[
where s(y^) is the Square root of the variance s*(y) of j? Expres- 1
sions for s*(y^) are given in annexes A and B; in general, s*(y)
where e,(y) is the systematic component of the uncertainty
may be expressed as a polynomial function of x of degree 2m. lt
in j.
is important to ensure that enough significant figures are used
in the computation of s*(y) to avoid large rounding errors which
NOTE - In the revised Version of ISO 5168, in preparation, guidelines
result from subtraction.
are provided for using either the linear addition or the root-sum-Square
combination of random and systematic errors.
lt should be noted that the estimate of uncertainty provided by
e,(j) will only be valid to the extent that the polynomial expres-
If the dependent variable has been transformed, then all the
sion Chosen is a good approximation to the true functional rela-
above uncertainties refer to the transformed Varia ble.
tionship between y and x.
ISO 7066-2 : 1988 EI
Annex A
Regression methods
(This annex does not form an integral part of the Standard.)
A.1 Introduction
Regression methods for curve fitting are widely available under various names as Standard routines in Computer libraries. The
documentation provided with these routines tends to assume a certain level of knowledge of regression analysis. The purpose of this
annex is to provide a general description of the methods and terminology of regression curve fitting as a background to the documen-
tation of the library routines.
The most widely available regression technique, apart from simple linear regression, is multiple linear regression; curve fitting tan be
carried out using a special type of multiple linear regression known as polynomial or curvilinear regression. If a polynomial regression
routine is not available, then a multiple linear regression method tan be used, although it is less convenient. “Stepwise” and
“backwards elimination” or “back solution” are special types of multiple linear regression methods which may be used.
A.2 Multiple linear regression
n
In the following, the summation sign c is used to represent unless otherwise noted.
c
i= 1
independent variables
A dependent variable y is assumed to be related linearly to m
x,, x*, -m-I xm bY
y = ß() + ßlX1 + ß*X* + n -m + ßmXm + U . . .
(5)
where
are the unknown regression coefficients;
PO t0 Pm
U isa measu re of the random effects the dependence of y on the m independent variables to depart f rom exact
linearity
From the n sets of observations
(yi, Xlif X*if .--, X,i)f i = 1, 2, . . . . ?Z
the estimates of the regression coefficents are
bot bl, -9.1 bm
so that the estimate y of the true value corresponding to the ith set of observations of the independent variables is
yi =
bo + blX,i + .m. + bmXmi . . .
(6)
procedure to minimize C(yi - yi)* leads to a set of m + 1 simultaneous equations,
The application of the least-squares commonly
known as the ” normal equations” :
nbo + C(xli) bl + C(X2i) b2 + l 18 + C(Xmi)bm = Cui
~(x,i) bo + C(xli)*bl + n -m + Z(XliXmi)bm = C(XliYi)
. . .
(7)
C(Xmi) bo + C-(XmiXli)bl + n am + C(xmi)* bm = C(Xmiyi)
These tan then be solved for the m + 1 unknowns bo, bl, . . . . bm.
A.3 Polynomial (curvilinear) regression
When a relationship between two variables is not linear, but may be fitted by a polynomial function
y=
bo + blx + b2x2 + me. + bmxm
of y on x. This tan be treated as a multiple linear reg ression with the indepen-
there is said to be a polynomial or curvilinear regression
Xm replaced by X, x*, . . ., x".
dent va ria bles $1 . l .I
Xlf
polynomial regression
.4 and A.5, any of the multiple linear regression expressions may be transformed to the equivalent
In clauses A
xj, and the corresponding data values Xji by x!.
expressions by replacing the jth independent var miable Xj by
A.4 Computation of coefficients and variances
Consider the multiple linear regression equation with m = 2
jL
. . .
b. + b,x, + b2x2 (8)
which is equivalent to
. . .
j = b, + b,x + b2x2 (9)
in the polynomial regression case.
When the least-squares criterion is applied, the normal equations are
. . . (10)
nbo + C(xli)bl + C-(X2i)b2 = C(yi)
. . .
C(Xli)bO + EtXli)*bl + C(XliX2i)b2 = C(xliJJi) (11)
. . .
(12)
C(x2i)bO + C(x2ixli)bl + C(xzi)*b2 = C(xziYi)
involves c omputing the inverse of the 3 x 3 matrix of coefficients of bo, 6,
The traditional method for solving the normal equations
and b2. If the elements of this inverse matrix are
Co1 Co2
Cl1 Cl2
c21 c22
!
6, =
CO() zyi + C()l C(xliyi) + CO* C(-X*iyi)
b, = . . . (13)
ClOxyi + Cl1 C(xliyi) + Cl* C(x*iyi)
b2 =
C*O E-Yi + C*l C(xliyi) + CD C(x*iyi)
or, in generalized form,
bj =
k=O
where Xki = 1 for k = 0.
Note that since the matrix from the normal equations is symmetric, the inverse matrix is also symmetric.

ISO 7066-2 : 1988 (EI
The variances of the coefficients are
s2(bo) = s,.*Coo
s*(b,) = s,*C,,
s2(b2) = sr*&
where the residual variance, sr*, is given as in 5.3 by
- yi)*
c(Yi
=
S*
r
n -m-l
Because the inverse matrix is symmetric,
Co1 = Cl0
. . . (14)
Co2 = c20
Cl2 = C21
These non-diagonal terms are used to calculate the covariancesl) between the coefficients bj; using COV to denote covariance,
COV(bo, b,) = s,2C01
. . .
COWbo, b2) = s, Co2 (15)
COWb,, b2) = $C12
At specified values x1 = xl* and x2 = x2*, the value predicted by the regression equation is
jL
b, + b,x,* + b2x2* . . .
(16)
The variance of this value of y is given by
s*(j) = sr* co() + c,,(x,*)* + c~(x**)* + 2c(),x,*+ 2c()*x** + 2c,*x,*x** . . .
(17)
[I
The faCtOr Of 2 arises because Cjk = Ckj for each j, k.
The general formula is
S*(j) = SF 2 2 (CjkXj*Xk+)
. . . (18)
j=Ok=O
where Xj*, xk* = 1 for j, k = 0.
For polynomial regression, Xj” = (x*Y’ and Xk* = (x*jk, and so
Cjk(X*)j +
k
Adapting this expression to the form of a polynomial of degree 2m gives
. . . (19)
1) The covariance of two coefficients indicates the effect of a Change in one on the magnitude of the other. The inverse matrix multiplied by the
scalar s,* is known as the variance, covariance, or variance-covariance matrix.

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A.5 Centred formulation
The least-squares or regression analysis is sometimes expressed in “centred” form, in which each variable is replaced by its deviation
from its mean. In this form, equation (8) is replaced by
- -
r^ - J- = b, (x, - x,) + b2 (x2 - x2) . . .
PO)
where the bar over a Symbol is used to denote the mean value of the quantity represented by the Symbol for the n measurements.
A.6 Numerital techniques used in Computer libraries
For the least-squares or regression computations discussed in this annex, a Computer library routine may make use of one of a variety
of numerical techniques. The main numerical techniques used by Computers for regression and least-squares matrix manipulations are
a) Gauss or Gauss-Jordan elimination,
b) Cholesky decomposition, and
c) orthogonal decompositions (usually Householder or modified Gram-Schmidt).
The particular technique used is in general not of importante to the User. However, it should be noted that elimination methods are
susceptible to the build-up of rounding error, so that the computed coefficients bj may be significantly in error for a high-degree
polynomial; for a moderate degree, up to rn = 3 or 4, this should not be a Problem.

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Annex B
Orthogonal polynomial curve fitting
(This annex does not form an integral part of the Standard.)
This annex describes the main features of orthogonal polynomial curve fitting in relation to the regression methods discussed in
annex A. Orthogonal polynomial curve fitting i,s particularly efficient when the degree of fit is unknown, and it is not subject to the
rapid build-up of rounding error which tan occur with elimination methods (see annex A, clause A.6).
The results of orthogonal polynom ial curve fitting identical, apart from rounding error, to produced by the
regression
methods described in annex A.
Computer library routines using orthogonal polynomials do not in general provide enough information to allow uncertainty to be easily
computed: the program listed in annex C, however, provides full information on uncertainty.
n
In the following, the summation sign c is used to represent unless otherwise noted.
c
i=l
With the orthogonal polynomial method, the polynomial
y=
bo + blx + b2X2 + n n n + bmXm
is replaced by an equivalent form
y = g()pO(x) + gl pl(x) + g*p* (XI + n -m + gmpm(x) . . .
(21)
where
Pj(X) are polynomials of degree j which obey for all j # k the orthogonality condition
C [pi(xi)pk(xi)] = 0 . . .
(22)
po(x) = 1
These polynomials are described as orthogonal over the data Points Xi;
the coefficients which define them are derived using a three-
term recurrence relation, given by Forsythe!
Because of the orthogonality condition, all the elements in the matrix and inverse matrix derived from the normal equations (see
clause A.4), except for those on the diagonal !j
= k), are Zero, and the coefficients gj are obtained directly from the normal equations
as
ClI-YiPj(Xi)l
gj = . . . (23)
C[Pj(Xi)l*
The variances of the coefficients are obtained from the inverse matrix elements, as in annex A:
S2
r
. . .
(24)
At a specified value X = x*, since the covariances are Zero,
[pl(x*)]*S*(gl) + . . . + [p,(x*)12s2(8m)
s* (ja = s2(go) +
m [Pj(X*)l*
Sr
= - + sr*
. . . (25)
c
n C[Pj(Xi)l*
j=l
ISO 7066-2 : 1988 (EI
Because the coefficients gj are computed simply from equation (23), as the degree of fit is increased, the previous coefficients are
unchanged: it is this feature that makes orthogonal polynomial curve fitting particularly convenient when the degree of fit is not
known beforehand. When the Optimum degree has been finally Chose
...

ISO
NORME INTERNATIONALE
7066-2
Première édition
1988-07-01
INTERNATIONAL ORGANIZATION FOR STANDARDIZATION
ORGANISATION INTERNATIONALE DE NORMALISATION
MEXClyHAPOP,HAR OPI-AHM3A~MR Il0 CTAH~APTM3A~MM
Évaluation de l’incertitude dans l’étalonnage et
l’utilisation des appareils de mesure du débit -
Partie 2:
Relations d’étalonnage non linéaires
Assessment of uncertainty in the calibration and use of flow measurement devices -
Part 2: Non-linear calibra tion rela tionships
Numéro de référence
ISO 7066-2 : 1988 (F)
ISO 7066-2 : 1988 (F)
Avant-propos
L’ISO (Organisation internationale de normalisation) est une fédération mondiale
d’organismes nationaux de normalisation (comités membres de I’ISO). L’élaboration
des Normes internationales est en général confiée aux comités techniques de I’ISO.
Chaque comité membre intéressé par une étude a le droit de faire partie du comité
technique créé à cet effet. Les organisations internationales, gouvernementales et non
gouvernementales, en liaison avec I’ISO participent également aux travaux. L’ISO col-
labore étroitement avec la Commission électrotechnique internationale (CEI) en ce qui
concerne la normalisation électrotechnique.
Les projets de Normes internationales adoptés par les comités techniques sont soumis
aux comités membres pour approbation, avant leur acceptation comme Normes inter-
nationales par le Conseil de I’ISO. Les Normes internationales sont approuvées confor-
mément aux procédures de I’ISO qui requièrent l’approbation de 75 % au moins des
comités membres votants.
La Norme internationale ISO 7066-2 a été élaborée par le comité technique ISO/TC 30,
Mesure de débit des fluides dans les conduites fermées.
L’attention des utilisateurs est attirée sur le fait que toutes les Normes internationales
sont de temps en temps soumises à révision et que toute référence faite à une autre
Norme internationale dans le présent document implique qu’il s’agit, sauf indication
contraire, de la dernière édition.
0 Organisation internationale de normalisation, 1988 0
Imprimé en Suisse
ii
ISO 7066-2 : 1988 (FI
Page
Sommaire
Introduction .
....................................... 1
Objet et domaine d’application
Références .
Définitions .
Symboles et abréviations. .
Ajustement de la courbe .
5.1 Généralités. .
5.2 Méthodes de calcul . 3
............................. 3
5.3 Choix du degré optimal d’ajustement
...................................................... 4
Incertitude.
Annexes
Méthodes de régression .
..... 9
Ajustement des courbes par la méthode des polynômes orthogonaux.
.... 11
Programme d’ordinateur pour la méthode des polynômes orthogonaux
Exemples .
Méthode des différences finies. .
. . .
III
Page blanche
ISO 7066-2 : 1988 (FI
NORME INTERNATIONALE
Évaluation de l’incertitude dans l’étalonnage et
l’utilisation des appareils de mesure du débit -
Partie 2:
Relations d’étalonnage non linéaires
ISO 7066-1, ivaluation de l’incertitude dans l’étalonnage et
0 Introduction
l’utilisation des appareils de mesure de débit - Partie 1: Rela-
tions d’étalonnage linéaires. 3,
L’ISO 7666-l indiquait comment on pouvait faire passer une
droite d’ajustement entre les valeurs d’étalonnage des appareils
de mesurage du débit et calculer l’incertitude de cet étalon-
3 Définitions
nage. La présente partie de I’ISO 7666 traite du cas où une
droite ne permet pas de représenter les valeurs d’étalonnage.
Dans le cadre de la présente partie de I’ISO 7666, les définitions
suivantes sont applicables.
1 Objet et domaine d’application
3.1 méthode des moindres carrés: Méthode utilisée pour
La présente partie de I’ISO 7666 indique comment faire passer calculer les coefficients d’une équation lorsqu’on a choisi la
forme d’équation la plus adaptée pour ajuster une courbe à des
une courbe exprimée sous la forme d’un polynôme de degré 2,
3 ou au-delà, par un ensemble non rectilignel) de valeurs d’éta- valeurs. Le principe de la méthode des moindes carrés est de
minimiser la somme des carrés des écarts des valeurs observées
lonnage en utilisant comme critére la méthode des moindres
carres. Elle indique également comment évaluer l’incertitude à par rapport à la courbe.
partir de la courbe d’étalonnage ainsi obtenue. La présente par-
tie de I’ISO 7666 ne traite que du cas des polynômes à expo- 3.2 polynômes: Pour une variable X, une série de termes
sants entiers.
entiers ordonnés selon les puissances croissantes de X.
L’établissement de ce type de courbe et l’évaluation de I’incerti-
3.3 analyse de régression: Le processus de quantification
tude correspondante étant généralement impossibles sans ordi-
de la dépendance d’une variable par rapport à une ou plusieurs
nateur, la présente partie de I’ISO 7666 pose comme hypothèse
autres variables.
de travail que l’utilisateur en posséde un. Dans la plupart des
NOTE - Beaucoup de programmes d’ordinateur utilisables pour I’ajus-
cas, il sera possible de se servir des routines normalisées de
tement de courbes possédent le terme «régression» dans leur titre.
l’ordinateur. II est également possible d’exploiter le programme
Dans la présente partie de I’ISO 7066, les termes ((régression» et
FORTRAN indiqué en annexe C.
((moindres carrés)) peuvent être employés indifféremment.
Des exemples d’application des méthodes préconisées figurent
3.4 kart-type: Racine carrée positive de la variante.
en annexe D.
3.5 variante: Mesure de la dispersion basée sur la moyenne
II n’est pas permis d’extrapoler au-delà de l’étendue des mesu-
des carrés des écarts des valeurs d’une variable à sa valeur
res effectuées. Les annexes A, B, C, D et E ne font pas partie
espérée.
intégrante de la présente partie de I’ISO 7666.
4 Symboles et abréviations
2 Références
bj coefficient de Xj
I SO 5168, Mesure de débit des fluides - Calcul de l’erreur
limite sur une mesure de débit2’
C’jb élément de la matrice inverse
1) Les méthodes sont valables pour un ensemble rectiligne également.
2) Actuellement au stade de projet. (Révision de I’ISO 5188 : 1978.)
3) Actuellement au stade de projet.

ISO 7066-2 : 1988 (F)
e, ( ) incertitude aléatoire de la variable contenue entre S’il n’est pas possible d’obtenir une droite, alors il faut trouver
parenthèses’) le degré et les coefficients de la fonction polynômiale qui repré-
sentent le mieux un ensemble de n paires de valeurs (Xi, yi) rele-
.
e, ( ) incertitude systématique de la variable contenue vées pendant l’étalonnage. Si l’on choisit, par exemple, le poly-
entre parenthèses’) nôme du deuxième degré, la courbe sera de la forme:
jL
e (j$) incertitude totale du coefficient d’étalonnage’)
b() + b,x + b*X* . . . (1)
coefficient du polynôme orthogonal de degréj L’expression polynômiale générale est:
gj
m degré du polynôme
ou bien
n nombre de valeurs
Pj (x) polynôme orthogonal de degréj
(2)
s ( ) écart-type expérimental de la variable contenue entre
parenthèses
En appliquant la règle des moindres carrés, on calcule les coef-
écart-type résiduel des valeurs autour de la courbe
&-
ficients bj pour minimiser la somme des carrés des écarts des
points de mesure par rapport à la courbe:
coefficient de Student
t
variable indépendante
x
n
- yi)*
(Yi
x* valeur arbitraire spécifiée de x
c
i=l
x moyenne arithmétique des valeurs Xi
où Yi est la valeur obtenue par l’équation (2) pour x = xi.
valeur de x au jeme point de mesure
Xi
Dans certains cas, le degré m du polynôme est déjà connu : par
jhme variable indépendante (en régression linéaire
exemple, on peut savoir par expérience qu’une cubique
multiple)
(m = 3) représentera de facon satisfaisante les données d’éta-
lonnage. Dans le cas contraire, le degré à retenir sera déterminé
valeur de Xj au @me point de mesure
par accroissements successifs du degré du polynôme jusqu’à
xji
ce qu’un ajustement optimal soit obtenu (voir 5.3).
variable dépendante
Y
Cependant, si l’augmentation du degré au-delà d’une valeur rai-
moyenne arithmétique des valeurs yi
Y
sonnable continue d’améliorer l’ajustement de facon significa-
tive (comme décrit en 5.3), c’est probablement qu’une loi poly-
valeur de y obtenue par l’équation de la courbe
r^
nômiale ne convient pas pour représenter la relation fonction-
d’ajustement
nelle en cause. De plus, si l’équation obtenue comporte trop de
termes, la courbe peut présenter des oscillations aberrantes.
valeur de y au @me point de mesure
Un exemple assez courant de ces aberrations se retrouve dans
des données virtuellement constantes sur la presque totalité de
valeur de y à x = Xi
l’étendue des x, mais qui présentent une variation extrêmement
marquée à l’une des extrémités de l’étendue.
nombre de degrés de liberté
Dans de tels cas, il convient de diviser l’étendue en plusieurs
sections (voir ISO 7666-l) dans chacune des desquelles I’ajuste-
5 Ajustement de la courbe ment pourra être obtenu soit par une droite soit par un poly-
nôme de faible degré. On peut également changer l’une ou
l’autre variable ou les deux pour obtenir une fonction linéaire ou
5.1 Généralités
une fonction polynômiale de faible degré; le changement de la
variable indépendante en son inverse, 1 lx, donne dans certains
Avant de chercher à ajuster les courbes polynômiales, il faut
cas une linéarité convenable.
voir si un simple changement de la variable x ou de la variable y
ou des deux variables ne pourrait pas effectivement linéariser
les données et permettre l’utilisation des méthodes utilisant des Les méthodes des moindres carrés décrites dans la présente
courbes rectilignes décrites dans I’ISO 7066-l. Certains change- partie de I’ISO 7066 peuvent ne pas convenir si l’effet de I’incer-
ments de variables sont présentés à titre de suggestion dans titude aléatoire e, (x) des valeurs mesurées Xi n’est pas négligea-
I’ISO 7666-l.
ble par rapport à celui de l’incertitude aléatoire e,. (y) des
1) Dans certaines Normes internationales, les symboles U et E sont utilisés à la place de e.
ISO 7066-2 : 1988 (FI
chaque degré (Sr est la racine carrée de la variante résiduelle) à
valeurs de y. Si, comme dans VIS0 7666-l la pente’) de la
l’aide de l’équation suivante :
courbe d’étalonnage est toujours inférieure à 1/5 de e, (y) / e, (x),
les méthodes peuvent être considérées comme appropriées.
Dans le cas contraire, il faut procéder à un traitement mathéma-
tique qui sort du cadre de la présente partie de I’ISO 7066.
(3)
Donc, si la pratique normale d’étalonnage d’un débitmètre
donné consiste à reporter les variables sur une courbe de telle
maniére qu’on ne puisse pas remplir la condition ci-dessus, il
Où yi est la valeur donnée par l’expression polynômiale [équa-
faut soit inverser le choix normal des abscisses et des ordon-
tion (211 pour x = Xi.
nées, soit renoncer à utiliser la présente partie de I’ISO 7666.
NOTE - s,? est l’équivalent de s* (y,~) utilisé dans I’ISO 7066-l.
Si l’on change l’une ou l’autre variable avant l’ajustement, les
incertitudes évoquées ci-dessus et plus bas (au chapitre 5) se
Le degré m doit toujours être inférieur au nombre de points de
rapporteront alors aux nouvelles variables. Et si, en raison du mesure n
changement de la variable dépendante, l’incertitude aléatoire
Si les données peuvent être correctement représentées par un
e, (y) ne peut plus être considérée comme constante sur toute
l’étendue, il faut alors utiliser une méthode de moindres carrés polynôme de degré m, Sr décroîtra de facon significative jusqu’à
ce qu’on atteigne ce degré m. Par la suite, Sr demeurera sensi-
pondérés. Les moindres carrés pondérés ne sont pas décrits
dans la présente partie de I’ISO 7666, mais de nombreuses rou- blement constant. En général, toutefois, il n’est pas évident de
tines de bibliothèques d’ordinateurs disponibles dans le com- trouver à partir de quel degré la diminution de Sr cesse d’être
significative et il convient de prendre un test objectif de signifi-
merce permettent de pondérer les données.
cation pour aider à définir le degré optimal d’ajustement.
On considère que l’augmentation du degré de m - 1 à m repré-
5.2 Méthodes de calcul
sente une amélioration statistiquement satisfaisante de I’ajuste-
ment si le nouveau coefficient, bm, diffère de facon significative
Des routines normalisées d’ajustement des courbes par la
de zéro, c’est-à-dire si bm + tg5~ (bm) et bm - fg5 S(bm), (limi-
méthode des moindres carrés sont disponibles sur la plupart
tes de confiance à 95 % de bm) n’inclut pas zéro.
des ordinateurs. La méthode d’ajustement d’une droite décrite
dans I’ISO 7066-l est communément désignée sous le terme de
Cette condition peut s’exprimer sous la forme:
(( régression linéaire)) ou de (( régression linéaire simple». La
méthode équivalente utilisable pour les polynômes peut être
' t95
qualifiée de régression polynômiale ou curviligne et est un type
spécial de régression linéaire multiple. L’annexe A donne des
détails plus précis sur la nature des méthodes de régression et
où tg5 est le coefficient de Student pour un niveau de confiance
leur utilisation.
de95%àv = n - m -1.
À côté des méthodes de régression classiques, on peut égale-
La valeur de tg5 en fonction du nombre de degrés de liberté v
ment utiliser la méthode des polynômes orthogonaux décrite à
peut se calculer par la relation empirique suivante:
l’annexe B. Cette méthode est particulièrement bien adaptée
aux cas où l’on ne connaît pas à l’avance le degré d’ajustement.
1,96 + 2,361~ + 3,2/v* + 5,2/v3rw
. . . (4)
t95 =
L’annexe C fournit à cet égard un programme d’ordinateur.
Pour le coefficient polynômial orthogonal gm (voir annexe B),
Lorsqu’on ne dispose pas d’un ordinateur et que les valeurs de
cette condition est:
x sont réparties de facon uniforme, on peut utiliser la méthode
gm
des différences finies (voir annexe E) qui donne une indication
- ' t95
immédiate du degré d’ajustement approprié pour représenter s km)
I /
les données. On peut également calculer les coefficients du
Les expressions des variantes des coefficients S* (6,) et
s* (gm)
polynôme représentant ces données mais il ne s’agit plus là du
sont données en annexe A et annexe B respectivement
polynôme des moindres carrés et la méthode de calcul des
valeurs de l’incertitude n’entre pas dans le cadre de la présente
II est important de tester l’effet d’une augmentation du degré à
partie de I’ISO 7666.
un échelon au moins au-delà de celui qui ne fait plus apparaître
aucune amélioration significative car il s’avère souvent que, soit
seuls les termes impairs, soit seuls les termes pairs, engendrent
5.3 Choix du degré optimal d’ajustement
cette amélioration significative.
On cherche la représentation la mieux adaptée en essayant des
D’un point de vue statistique, le degré le plus élevé apportant
valeurs croissantes du degré m, soit jusqu’à un maximum spé-
une amélioration significative de l’ajustement au niveau de con-
cifié, soit jusqu’à ce qu’on n’observe plus aucune amélioration
fiance de 95 % peut être considéré comme le degré optimal.
significative. On calcule ensuite l’écart-type résiduel Sr pour
Toutefois, avant de choisir ce degré comme le plus apte à repré-
1) (( Pente)) signifie ici la dérivée CI~ / dx = b, + 26,x + . . . .

ISO 7066-2 : 1988 (FI
senter les données, il faut considérer d’autres facteurs parmi Les expressions de s*(y) figurent en annexes A et B; en général
s*(y) peut s’exprimer sous la forme d’une fonction polynômiale
lesquels: la forme attendue de la courbe, l’aspect pratique
d’avoir une forme fonctionnelle qui ne soit pas trop complexe, de x de degré 2m. II est important de vérifier que le calcul de
s*(y) intègre suffisamment de chiffres significatifs pour éviter
l’étendue qu’il est nécessaire de représenter et la précision
recherchée. les grosses erreurs d’arrondissage résultant de soustractions.
Pour évaluer ces facteurs, il est toujours conseillé de tracer des À noter que l’estimation de l’incertitude apportée par e,(Y) ne
graphiques représentant les données et les courbes possibles. sera valable que dans la mesure où le polynôme choisi repré-
Ces graphiques permettent également de mettre en lumière sente une bonne approximation de la relation fonctionnelle
d’autres problèmes éventuels et notamment, si le degré est trop vraie entre y et x.
faible, l’incapacité de la courbe à représenter la tendance réelle
des données, les valeurs présumées 7 pouvant présenter une Les limites de confiance aléatoires à 95 % pour la valeur vraie
erreur systématique sur une partie de l’étendue. Si le degré est de y sont définies par:
trop élevé, la courbe peut être ajustée à des données disper-
sées, et non à la tendance sous-jacente. y * e,(Y)
Les exemples donnés en annexe D illustrent une application de Comme dans I’ISO 7066-1, l’incertitude sur le coefficient d’éta-
lonnage est donnée par:
certains de ces principes.
e(y^J = [e$9 + e&91”*
Incertitude où e,(y^) est la composante systématique de l’incertitude sur j?
La composante aléatoire de l’incertitude au niveau de confiance NOTE - Dans la version révisée de I’ISO 5168 (en préparation), figu-
rent des directives sur l’utilisation de l’addition linéaire ou de la combi-
de 95 % sur la valeur présumée y, est donnée par la formule:
naison quadratique des erreurs aléatoires et systématiques.
e, Cj3 = tg5 S@I
Si la variable dépendante a été transformée, toutes les incertitu-
des ci-dessus se rapportent à la variable transformée.
où s(y) est la racine carrée de la variante s*(j) de j?
ISO 7066-2 : 1988 (FI
Annexe A
Méthodes de régression
(Cette annexe ne fait pas partie intégrante de la norme.)
A.1 Introduction
Des méthodes de régression utilisables pour l’ajustement des courbes sont disponibles sous diverses appellations dans les routines
normalisées des bibliothèques d’ordinateurs. La documentation jointe à ces programmes suppose en général un certain niveau de
connaissances en matière d’analyse de régression. L’objet de la présente annexe est de décrire ces méthodes d’un point de vue géné-
ral et de fournir une terminologie de l’ajustement de courbes par régression facilitant l’exploitation de ces programmes.
La technique de régression la plus couramment rencontrée est, exception faite de la régression linéaire simple, la régression linéaire
multiple. L’ajustement de courbes s’effectue à l’aide d’un type spécial de régression linéaire multiple appelé ((régression polynômiale»
ou ((curviligne)). Si l’on ne dispose pas de programme de régression polynômiale, on peut procéder par régression linéaire multiple
mais cette méthode est moins commode. Les méthodes «pas à pas» et de ((régression pas à pas descendante» constituent des moda-
lités spéciales de régression linéaire multiple qui peuvent être utilisées.
A.2 Régression linéaire multiple
n
.
Dans ce qui suit, le signe de sommation c signifie, sauf annotation contraire,
c
i=l
Une variable dépendante y est supposée en relation linéaire avec m variables indépendantes xl, x2, . . ., x,, suivant l’équation
. . . (5)
Y = PO + PlXl + P*X* + -9. + PmXm + u
où
sont les coefficients inconnus de régression;
Po et Pm
linéarité de la dépendance de y par rapport aux variables indé-
U est une mesure effets aléatoires responsables de
pendan tes m.
Sur les n ensembles d’observations:
i = 1, 2, . . . . n
(ri, xii, x2i, *mm, Xmi)
les estimations des coefficients de régression sont:
i
de telle sorte que l’estimation y^ de la valeur vraie correspondant au éme ensemble d’observations des variables indépendantes donne:
j$ =
bo + blxli + l mm + bmxmi . . . 6)
En appliquant la méthode des moindres carrés pour minimiser c (yi - Fi)*, on obtient un ensemble de m + 1 équations simultanées
communément appelées «équations normales )) :
nbo + C(Xli) bl + C(X2i)b2 + l -. + C(Xmi)bm = CYi
CtXli)bo + Z(Xli)*bl + n m* + C(Xlixmi) 6, = C(xliyi) . . . (7)
C(xmi) bo + C(xmixli) bl + mm. + C(Xmi)*bm = C(Xmiyi).
Ces équations peuvent alors être résolues pour les m + 1 inconnues bo, b,, . . . . b,.

ISO 7066-2 : 1988 (FI
A.3 Régression polynômiale (curviligne)
Lorsque la relation entre deux variables n’est pas linéaire mais peut être ajustée à une fonction polynômiale de la forme:
y=
bo + blx + b2 X2 + . + bmxm
en x. Cette régression peut être traitée comme une régression
on dit que I ‘on a une régression polynômiale ou curviligne de y
multiple en remplacant des variables indépendantes x1, x2, . . . , Xm par X, X2, . . .’ Xm.
d’une régression linéaire multiple peut être transformée en une expression de régression
Aux chapitres A.4 et A.5, toute expression
ième variable indépendante Xj par xj et les valeurs correspondantes, de Xji par xJ.
polynomiale équivalente si l’on remplace la
A.4 Calcul des coefficients et des variantes
Considérons l’équation de régression linéaire multiple de degré m = 2
v^ = b. + b,x, + b2x2 . . . (8)
qui équivaut, dans le cas de la régression polynômiale à
. . . (9)
r^ = b. + b,x + b,x*
Si l’on applique le critère des moindres carrés, on obtient les équations normales
. . .
nbo + C(xli) bl + C(x2i)b2 = C(yi) (10)
C(xli) bo + C(xli)*bl + Z(xlix2ilb2 = x(xliyi) . . . (11)
C(Xzi)bo + Z(xzixli) bl + C(X2i)* b2 = z(x2iyi) . . . (12)
utilisée pour résoudre ces équations normales implique de calculer l’inverse de la matrice 3 x 3 des
La méthode traditionnellement
coefficients bo, bl et b2. Si les éléments de cette matrice inverse sont
CO0 CO1 CO2
Cl0 Cl1 Cl2
c20 c21 c22
i 1
b. =
CO() Zyi + CO1 Ctxliyi) + CO* X(x*i yi)
b, = Cl() Cyi + Cl1 C(xliyi) + Cl* C(x*iYi) . . . (13)
b2 =
c*O zyi + C*l C(xli.Yi) + CD X(x*i yi)
ou, sous forme généralisée,
m
bj =
Cjk c(xki Yi)
C[
k=O
OÙ xki = 1 pour k = 0.
À noter que, puisque la matrice des équations normales est symétrique, la matrice inverse est également symétrique.
ISO 7066-2 : 1988 (FI
Les variantes des coefficients sont:
s*(b,) = Sr*C,,
la variante résiduelle Sr* étant donnée comme en 5.3 par l’équation:
x(Yi - j,*
=
S*
r
n -m-l
La matrice inverse étant symétrique, on obtient:
= Cl0
CO1
. . .
(14)
CO2 = c20
Cl2 = c-21
Ces termes diagonaux servent à calculer les covariances’) entre les coefficients bj (la covariance étant notée COV):
COV(bo, b,) = s,?C,,
. . .
COV(bo, b2) = sr CO* (15)
COWb,, b2) = $Cl2
Aux valeurs spécifiées x1 = x1* et x2 = x2*, la valeur prédite par l’équation de régression est:
r^ = b. +b,x,* + b2x2* . . .
(16)
La variante de cette valeur j est donnée par:
S* (u^, = Sr* c(Jo + c,,(x,*)* + c~(x**)* + 2co,x,*+ 2c()*x** + 2c,*x,*x** . . .
(17)
[ 1
Le facteur 2 apparaît parce que Cjk = Ckj pour chaque couple de valeursj et k.
La formule générale est:
S* (Y) = SF 2 f, (Cjk Xj*xk*)
j=
0 k=O
OÙ xj”, xk* = 1 pourj, k = 0. . . . (18)
Pour une régression polynÔmiale, Xj" = (X*v et xk* = (x*)k, et ainsi
m
m
S* (Y, = Sr*
Cjk(X*)j + k
c c
j=O k=O
L’adaptation de cette expression à un polynôme de degré 2m donne:
. . .
(19)
S*(u^) = s?J$i( $ock,j-h) tx*)j + s? jz$+ ,[( k =$ mck,j-](x*)j
1) La covariance de deux coefficients indique l’effet d’une variation d’un coefficient sur la valeur de l’autre. On appelle variante, covariance ou
matrice de variante-covariance, le produit de la matrice inverse par le scalaire ST.
ISO 7066-2 : 1988 IF)
A.5 Formulation centrée
L’analyse par la méthode des moindres carrés ou de régression s’exprime quelquefois sous une forme «centrée)) dans laquelle chaque
la moyenne. Sous cette forme, l’équation (8) est remplacée par:
variable est remplacée par son écart à
Y^-j~=b,(x, -Xl, + b2(x2-@
. . .
(20)
où les symboles surmontés d’une barre désignent la valeur moyenne de la grandeur correspondante pour les n points de mesure.
A.6 Techniques numériques utilisées dans les bibliothèques d’ordinateurs
Pour les calculs de moindres carrés ou de régression discutés dans la présente annexe, un programme de routine de bibliothèque
d’ordinateur peut faire usage d’une multitude de techniques numériques. Les principales techniques numériques utilisées par les ordi-
nateurs pour les manipulations de matrices de régression ou de moindres carrés sont:
l’élimination de Gauss ou de Gauss-Jordan,
a)
b) la décomposition de Cholesky, et
cl les décompositions orthogonales (habituellement méthode de Householder ou méthode de Gram-Schmidt modifiée).
La technique particulière utilisée n’est en général pas importante pour l’utilisateur. Néanmoins, il convient de noter que les méthodes
par élimination sont susceptibles de grossir l’erreur d’arrondissage, de sorte qu’on peut avoir une erreur significative sur les coeffi-
cients calculés bj pour les polynômes de degré élevé; pour un degré modéré, jusqu’à m = 3 ou 4, ce ne devrait pas être un problème.
ISO 7066-2 : 1988 (FI
Annexe B
Ajustement des courbes par la méthode des polynômes orthogonaux
(Cette annexe ne fait pas partie intégrante de la norme.)
principales de I
La présente annexe décrit les caractéristiques ‘ajustemen t de courbes par la méthode de polynômes orthogonaux
liai son avec les mét #hodes de régression discu tées en annexe A.
des polynômes orth iogonaux est particulièrement efficace quand on ne connaît pas le degré d’ajustement, et elle
Cette méthode
pas sujette aux grossissements de l’erreur d’arrondissage comme les méthodes d’ élimination (voir annexe A, chapitre A.6).
Les résultats de la méthode des polynômes 0 rthogonaux seront les mêmes, à I’erreu r d’arrondissage près, que ceux des méthodes
régression décrites en annexe A.
Les programmes de routine des bibliothèques d’ordinateurs utilisant ces polynômes orthogonaux ne fournissent en général pas suffi-
samment d’informations, pour permettre de calculer facilement l’incertitude. Le programme donné en annexe C donne toutefois tous
les détails sur cette incertitude.
n
Dans ce qui suit, et sauf annotation contraire, le signe de sommation C signifie .
c
i=l
Dans la méthode des polynômes orthogonaux, le polynôme
jL
bo + blX + b2.S + l mm + bmXm
est remplacé par une forme équivalente:
, . .
y = gopo
...

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NORME INTERNATIONALE
7066-2
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1988-07-01
INTERNATIONAL ORGANIZATION FOR STANDARDIZATION
ORGANISATION INTERNATIONALE DE NORMALISATION
MEXClyHAPOP,HAR OPI-AHM3A~MR Il0 CTAH~APTM3A~MM
Évaluation de l’incertitude dans l’étalonnage et
l’utilisation des appareils de mesure du débit -
Partie 2:
Relations d’étalonnage non linéaires
Assessment of uncertainty in the calibration and use of flow measurement devices -
Part 2: Non-linear calibra tion rela tionships
Numéro de référence
ISO 7066-2 : 1988 (F)
ISO 7066-2 : 1988 (F)
Avant-propos
L’ISO (Organisation internationale de normalisation) est une fédération mondiale
d’organismes nationaux de normalisation (comités membres de I’ISO). L’élaboration
des Normes internationales est en général confiée aux comités techniques de I’ISO.
Chaque comité membre intéressé par une étude a le droit de faire partie du comité
technique créé à cet effet. Les organisations internationales, gouvernementales et non
gouvernementales, en liaison avec I’ISO participent également aux travaux. L’ISO col-
labore étroitement avec la Commission électrotechnique internationale (CEI) en ce qui
concerne la normalisation électrotechnique.
Les projets de Normes internationales adoptés par les comités techniques sont soumis
aux comités membres pour approbation, avant leur acceptation comme Normes inter-
nationales par le Conseil de I’ISO. Les Normes internationales sont approuvées confor-
mément aux procédures de I’ISO qui requièrent l’approbation de 75 % au moins des
comités membres votants.
La Norme internationale ISO 7066-2 a été élaborée par le comité technique ISO/TC 30,
Mesure de débit des fluides dans les conduites fermées.
L’attention des utilisateurs est attirée sur le fait que toutes les Normes internationales
sont de temps en temps soumises à révision et que toute référence faite à une autre
Norme internationale dans le présent document implique qu’il s’agit, sauf indication
contraire, de la dernière édition.
0 Organisation internationale de normalisation, 1988 0
Imprimé en Suisse
ii
ISO 7066-2 : 1988 (FI
Page
Sommaire
Introduction .
....................................... 1
Objet et domaine d’application
Références .
Définitions .
Symboles et abréviations. .
Ajustement de la courbe .
5.1 Généralités. .
5.2 Méthodes de calcul . 3
............................. 3
5.3 Choix du degré optimal d’ajustement
...................................................... 4
Incertitude.
Annexes
Méthodes de régression .
..... 9
Ajustement des courbes par la méthode des polynômes orthogonaux.
.... 11
Programme d’ordinateur pour la méthode des polynômes orthogonaux
Exemples .
Méthode des différences finies. .
. . .
III
Page blanche
ISO 7066-2 : 1988 (FI
NORME INTERNATIONALE
Évaluation de l’incertitude dans l’étalonnage et
l’utilisation des appareils de mesure du débit -
Partie 2:
Relations d’étalonnage non linéaires
ISO 7066-1, ivaluation de l’incertitude dans l’étalonnage et
0 Introduction
l’utilisation des appareils de mesure de débit - Partie 1: Rela-
tions d’étalonnage linéaires. 3,
L’ISO 7666-l indiquait comment on pouvait faire passer une
droite d’ajustement entre les valeurs d’étalonnage des appareils
de mesurage du débit et calculer l’incertitude de cet étalon-
3 Définitions
nage. La présente partie de I’ISO 7666 traite du cas où une
droite ne permet pas de représenter les valeurs d’étalonnage.
Dans le cadre de la présente partie de I’ISO 7666, les définitions
suivantes sont applicables.
1 Objet et domaine d’application
3.1 méthode des moindres carrés: Méthode utilisée pour
La présente partie de I’ISO 7666 indique comment faire passer calculer les coefficients d’une équation lorsqu’on a choisi la
forme d’équation la plus adaptée pour ajuster une courbe à des
une courbe exprimée sous la forme d’un polynôme de degré 2,
3 ou au-delà, par un ensemble non rectilignel) de valeurs d’éta- valeurs. Le principe de la méthode des moindes carrés est de
minimiser la somme des carrés des écarts des valeurs observées
lonnage en utilisant comme critére la méthode des moindres
carres. Elle indique également comment évaluer l’incertitude à par rapport à la courbe.
partir de la courbe d’étalonnage ainsi obtenue. La présente par-
tie de I’ISO 7666 ne traite que du cas des polynômes à expo- 3.2 polynômes: Pour une variable X, une série de termes
sants entiers.
entiers ordonnés selon les puissances croissantes de X.
L’établissement de ce type de courbe et l’évaluation de I’incerti-
3.3 analyse de régression: Le processus de quantification
tude correspondante étant généralement impossibles sans ordi-
de la dépendance d’une variable par rapport à une ou plusieurs
nateur, la présente partie de I’ISO 7666 pose comme hypothèse
autres variables.
de travail que l’utilisateur en posséde un. Dans la plupart des
NOTE - Beaucoup de programmes d’ordinateur utilisables pour I’ajus-
cas, il sera possible de se servir des routines normalisées de
tement de courbes possédent le terme «régression» dans leur titre.
l’ordinateur. II est également possible d’exploiter le programme
Dans la présente partie de I’ISO 7066, les termes ((régression» et
FORTRAN indiqué en annexe C.
((moindres carrés)) peuvent être employés indifféremment.
Des exemples d’application des méthodes préconisées figurent
3.4 kart-type: Racine carrée positive de la variante.
en annexe D.
3.5 variante: Mesure de la dispersion basée sur la moyenne
II n’est pas permis d’extrapoler au-delà de l’étendue des mesu-
des carrés des écarts des valeurs d’une variable à sa valeur
res effectuées. Les annexes A, B, C, D et E ne font pas partie
espérée.
intégrante de la présente partie de I’ISO 7666.
4 Symboles et abréviations
2 Références
bj coefficient de Xj
I SO 5168, Mesure de débit des fluides - Calcul de l’erreur
limite sur une mesure de débit2’
C’jb élément de la matrice inverse
1) Les méthodes sont valables pour un ensemble rectiligne également.
2) Actuellement au stade de projet. (Révision de I’ISO 5188 : 1978.)
3) Actuellement au stade de projet.

ISO 7066-2 : 1988 (F)
e, ( ) incertitude aléatoire de la variable contenue entre S’il n’est pas possible d’obtenir une droite, alors il faut trouver
parenthèses’) le degré et les coefficients de la fonction polynômiale qui repré-
sentent le mieux un ensemble de n paires de valeurs (Xi, yi) rele-
.
e, ( ) incertitude systématique de la variable contenue vées pendant l’étalonnage. Si l’on choisit, par exemple, le poly-
entre parenthèses’) nôme du deuxième degré, la courbe sera de la forme:
jL
e (j$) incertitude totale du coefficient d’étalonnage’)
b() + b,x + b*X* . . . (1)
coefficient du polynôme orthogonal de degréj L’expression polynômiale générale est:
gj
m degré du polynôme
ou bien
n nombre de valeurs
Pj (x) polynôme orthogonal de degréj
(2)
s ( ) écart-type expérimental de la variable contenue entre
parenthèses
En appliquant la règle des moindres carrés, on calcule les coef-
écart-type résiduel des valeurs autour de la courbe
&-
ficients bj pour minimiser la somme des carrés des écarts des
points de mesure par rapport à la courbe:
coefficient de Student
t
variable indépendante
x
n
- yi)*
(Yi
x* valeur arbitraire spécifiée de x
c
i=l
x moyenne arithmétique des valeurs Xi
où Yi est la valeur obtenue par l’équation (2) pour x = xi.
valeur de x au jeme point de mesure
Xi
Dans certains cas, le degré m du polynôme est déjà connu : par
jhme variable indépendante (en régression linéaire
exemple, on peut savoir par expérience qu’une cubique
multiple)
(m = 3) représentera de facon satisfaisante les données d’éta-
lonnage. Dans le cas contraire, le degré à retenir sera déterminé
valeur de Xj au @me point de mesure
par accroissements successifs du degré du polynôme jusqu’à
xji
ce qu’un ajustement optimal soit obtenu (voir 5.3).
variable dépendante
Y
Cependant, si l’augmentation du degré au-delà d’une valeur rai-
moyenne arithmétique des valeurs yi
Y
sonnable continue d’améliorer l’ajustement de facon significa-
tive (comme décrit en 5.3), c’est probablement qu’une loi poly-
valeur de y obtenue par l’équation de la courbe
r^
nômiale ne convient pas pour représenter la relation fonction-
d’ajustement
nelle en cause. De plus, si l’équation obtenue comporte trop de
termes, la courbe peut présenter des oscillations aberrantes.
valeur de y au @me point de mesure
Un exemple assez courant de ces aberrations se retrouve dans
des données virtuellement constantes sur la presque totalité de
valeur de y à x = Xi
l’étendue des x, mais qui présentent une variation extrêmement
marquée à l’une des extrémités de l’étendue.
nombre de degrés de liberté
Dans de tels cas, il convient de diviser l’étendue en plusieurs
sections (voir ISO 7666-l) dans chacune des desquelles I’ajuste-
5 Ajustement de la courbe ment pourra être obtenu soit par une droite soit par un poly-
nôme de faible degré. On peut également changer l’une ou
l’autre variable ou les deux pour obtenir une fonction linéaire ou
5.1 Généralités
une fonction polynômiale de faible degré; le changement de la
variable indépendante en son inverse, 1 lx, donne dans certains
Avant de chercher à ajuster les courbes polynômiales, il faut
cas une linéarité convenable.
voir si un simple changement de la variable x ou de la variable y
ou des deux variables ne pourrait pas effectivement linéariser
les données et permettre l’utilisation des méthodes utilisant des Les méthodes des moindres carrés décrites dans la présente
courbes rectilignes décrites dans I’ISO 7066-l. Certains change- partie de I’ISO 7066 peuvent ne pas convenir si l’effet de I’incer-
ments de variables sont présentés à titre de suggestion dans titude aléatoire e, (x) des valeurs mesurées Xi n’est pas négligea-
I’ISO 7666-l.
ble par rapport à celui de l’incertitude aléatoire e,. (y) des
1) Dans certaines Normes internationales, les symboles U et E sont utilisés à la place de e.
ISO 7066-2 : 1988 (FI
chaque degré (Sr est la racine carrée de la variante résiduelle) à
valeurs de y. Si, comme dans VIS0 7666-l la pente’) de la
l’aide de l’équation suivante :
courbe d’étalonnage est toujours inférieure à 1/5 de e, (y) / e, (x),
les méthodes peuvent être considérées comme appropriées.
Dans le cas contraire, il faut procéder à un traitement mathéma-
tique qui sort du cadre de la présente partie de I’ISO 7066.
(3)
Donc, si la pratique normale d’étalonnage d’un débitmètre
donné consiste à reporter les variables sur une courbe de telle
maniére qu’on ne puisse pas remplir la condition ci-dessus, il
Où yi est la valeur donnée par l’expression polynômiale [équa-
faut soit inverser le choix normal des abscisses et des ordon-
tion (211 pour x = Xi.
nées, soit renoncer à utiliser la présente partie de I’ISO 7666.
NOTE - s,? est l’équivalent de s* (y,~) utilisé dans I’ISO 7066-l.
Si l’on change l’une ou l’autre variable avant l’ajustement, les
incertitudes évoquées ci-dessus et plus bas (au chapitre 5) se
Le degré m doit toujours être inférieur au nombre de points de
rapporteront alors aux nouvelles variables. Et si, en raison du mesure n
changement de la variable dépendante, l’incertitude aléatoire
Si les données peuvent être correctement représentées par un
e, (y) ne peut plus être considérée comme constante sur toute
l’étendue, il faut alors utiliser une méthode de moindres carrés polynôme de degré m, Sr décroîtra de facon significative jusqu’à
ce qu’on atteigne ce degré m. Par la suite, Sr demeurera sensi-
pondérés. Les moindres carrés pondérés ne sont pas décrits
dans la présente partie de I’ISO 7666, mais de nombreuses rou- blement constant. En général, toutefois, il n’est pas évident de
tines de bibliothèques d’ordinateurs disponibles dans le com- trouver à partir de quel degré la diminution de Sr cesse d’être
significative et il convient de prendre un test objectif de signifi-
merce permettent de pondérer les données.
cation pour aider à définir le degré optimal d’ajustement.
On considère que l’augmentation du degré de m - 1 à m repré-
5.2 Méthodes de calcul
sente une amélioration statistiquement satisfaisante de I’ajuste-
ment si le nouveau coefficient, bm, diffère de facon significative
Des routines normalisées d’ajustement des courbes par la
de zéro, c’est-à-dire si bm + tg5~ (bm) et bm - fg5 S(bm), (limi-
méthode des moindres carrés sont disponibles sur la plupart
tes de confiance à 95 % de bm) n’inclut pas zéro.
des ordinateurs. La méthode d’ajustement d’une droite décrite
dans I’ISO 7066-l est communément désignée sous le terme de
Cette condition peut s’exprimer sous la forme:
(( régression linéaire)) ou de (( régression linéaire simple». La
méthode équivalente utilisable pour les polynômes peut être
' t95
qualifiée de régression polynômiale ou curviligne et est un type
spécial de régression linéaire multiple. L’annexe A donne des
détails plus précis sur la nature des méthodes de régression et
où tg5 est le coefficient de Student pour un niveau de confiance
leur utilisation.
de95%àv = n - m -1.
À côté des méthodes de régression classiques, on peut égale-
La valeur de tg5 en fonction du nombre de degrés de liberté v
ment utiliser la méthode des polynômes orthogonaux décrite à
peut se calculer par la relation empirique suivante:
l’annexe B. Cette méthode est particulièrement bien adaptée
aux cas où l’on ne connaît pas à l’avance le degré d’ajustement.
1,96 + 2,361~ + 3,2/v* + 5,2/v3rw
. . . (4)
t95 =
L’annexe C fournit à cet égard un programme d’ordinateur.
Pour le coefficient polynômial orthogonal gm (voir annexe B),
Lorsqu’on ne dispose pas d’un ordinateur et que les valeurs de
cette condition est:
x sont réparties de facon uniforme, on peut utiliser la méthode
gm
des différences finies (voir annexe E) qui donne une indication
- ' t95
immédiate du degré d’ajustement approprié pour représenter s km)
I /
les données. On peut également calculer les coefficients du
Les expressions des variantes des coefficients S* (6,) et
s* (gm)
polynôme représentant ces données mais il ne s’agit plus là du
sont données en annexe A et annexe B respectivement
polynôme des moindres carrés et la méthode de calcul des
valeurs de l’incertitude n’entre pas dans le cadre de la présente
II est important de tester l’effet d’une augmentation du degré à
partie de I’ISO 7666.
un échelon au moins au-delà de celui qui ne fait plus apparaître
aucune amélioration significative car il s’avère souvent que, soit
seuls les termes impairs, soit seuls les termes pairs, engendrent
5.3 Choix du degré optimal d’ajustement
cette amélioration significative.
On cherche la représentation la mieux adaptée en essayant des
D’un point de vue statistique, le degré le plus élevé apportant
valeurs croissantes du degré m, soit jusqu’à un maximum spé-
une amélioration significative de l’ajustement au niveau de con-
cifié, soit jusqu’à ce qu’on n’observe plus aucune amélioration
fiance de 95 % peut être considéré comme le degré optimal.
significative. On calcule ensuite l’écart-type résiduel Sr pour
Toutefois, avant de choisir ce degré comme le plus apte à repré-
1) (( Pente)) signifie ici la dérivée CI~ / dx = b, + 26,x + . . . .

ISO 7066-2 : 1988 (FI
senter les données, il faut considérer d’autres facteurs parmi Les expressions de s*(y) figurent en annexes A et B; en général
s*(y) peut s’exprimer sous la forme d’une fonction polynômiale
lesquels: la forme attendue de la courbe, l’aspect pratique
d’avoir une forme fonctionnelle qui ne soit pas trop complexe, de x de degré 2m. II est important de vérifier que le calcul de
s*(y) intègre suffisamment de chiffres significatifs pour éviter
l’étendue qu’il est nécessaire de représenter et la précision
recherchée. les grosses erreurs d’arrondissage résultant de soustractions.
Pour évaluer ces facteurs, il est toujours conseillé de tracer des À noter que l’estimation de l’incertitude apportée par e,(Y) ne
graphiques représentant les données et les courbes possibles. sera valable que dans la mesure où le polynôme choisi repré-
Ces graphiques permettent également de mettre en lumière sente une bonne approximation de la relation fonctionnelle
d’autres problèmes éventuels et notamment, si le degré est trop vraie entre y et x.
faible, l’incapacité de la courbe à représenter la tendance réelle
des données, les valeurs présumées 7 pouvant présenter une Les limites de confiance aléatoires à 95 % pour la valeur vraie
erreur systématique sur une partie de l’étendue. Si le degré est de y sont définies par:
trop élevé, la courbe peut être ajustée à des données disper-
sées, et non à la tendance sous-jacente. y * e,(Y)
Les exemples donnés en annexe D illustrent une application de Comme dans I’ISO 7066-1, l’incertitude sur le coefficient d’éta-
lonnage est donnée par:
certains de ces principes.
e(y^J = [e$9 + e&91”*
Incertitude où e,(y^) est la composante systématique de l’incertitude sur j?
La composante aléatoire de l’incertitude au niveau de confiance NOTE - Dans la version révisée de I’ISO 5168 (en préparation), figu-
rent des directives sur l’utilisation de l’addition linéaire ou de la combi-
de 95 % sur la valeur présumée y, est donnée par la formule:
naison quadratique des erreurs aléatoires et systématiques.
e, Cj3 = tg5 S@I
Si la variable dépendante a été transformée, toutes les incertitu-
des ci-dessus se rapportent à la variable transformée.
où s(y) est la racine carrée de la variante s*(j) de j?
ISO 7066-2 : 1988 (FI
Annexe A
Méthodes de régression
(Cette annexe ne fait pas partie intégrante de la norme.)
A.1 Introduction
Des méthodes de régression utilisables pour l’ajustement des courbes sont disponibles sous diverses appellations dans les routines
normalisées des bibliothèques d’ordinateurs. La documentation jointe à ces programmes suppose en général un certain niveau de
connaissances en matière d’analyse de régression. L’objet de la présente annexe est de décrire ces méthodes d’un point de vue géné-
ral et de fournir une terminologie de l’ajustement de courbes par régression facilitant l’exploitation de ces programmes.
La technique de régression la plus couramment rencontrée est, exception faite de la régression linéaire simple, la régression linéaire
multiple. L’ajustement de courbes s’effectue à l’aide d’un type spécial de régression linéaire multiple appelé ((régression polynômiale»
ou ((curviligne)). Si l’on ne dispose pas de programme de régression polynômiale, on peut procéder par régression linéaire multiple
mais cette méthode est moins commode. Les méthodes «pas à pas» et de ((régression pas à pas descendante» constituent des moda-
lités spéciales de régression linéaire multiple qui peuvent être utilisées.
A.2 Régression linéaire multiple
n
.
Dans ce qui suit, le signe de sommation c signifie, sauf annotation contraire,
c
i=l
Une variable dépendante y est supposée en relation linéaire avec m variables indépendantes xl, x2, . . ., x,, suivant l’équation
. . . (5)
Y = PO + PlXl + P*X* + -9. + PmXm + u
où
sont les coefficients inconnus de régression;
Po et Pm
linéarité de la dépendance de y par rapport aux variables indé-
U est une mesure effets aléatoires responsables de
pendan tes m.
Sur les n ensembles d’observations:
i = 1, 2, . . . . n
(ri, xii, x2i, *mm, Xmi)
les estimations des coefficients de régression sont:
i
de telle sorte que l’estimation y^ de la valeur vraie correspondant au éme ensemble d’observations des variables indépendantes donne:
j$ =
bo + blxli + l mm + bmxmi . . . 6)
En appliquant la méthode des moindres carrés pour minimiser c (yi - Fi)*, on obtient un ensemble de m + 1 équations simultanées
communément appelées «équations normales )) :
nbo + C(Xli) bl + C(X2i)b2 + l -. + C(Xmi)bm = CYi
CtXli)bo + Z(Xli)*bl + n m* + C(Xlixmi) 6, = C(xliyi) . . . (7)
C(xmi) bo + C(xmixli) bl + mm. + C(Xmi)*bm = C(Xmiyi).
Ces équations peuvent alors être résolues pour les m + 1 inconnues bo, b,, . . . . b,.

ISO 7066-2 : 1988 (FI
A.3 Régression polynômiale (curviligne)
Lorsque la relation entre deux variables n’est pas linéaire mais peut être ajustée à une fonction polynômiale de la forme:
y=
bo + blx + b2 X2 + . + bmxm
en x. Cette régression peut être traitée comme une régression
on dit que I ‘on a une régression polynômiale ou curviligne de y
multiple en remplacant des variables indépendantes x1, x2, . . . , Xm par X, X2, . . .’ Xm.
d’une régression linéaire multiple peut être transformée en une expression de régression
Aux chapitres A.4 et A.5, toute expression
ième variable indépendante Xj par xj et les valeurs correspondantes, de Xji par xJ.
polynomiale équivalente si l’on remplace la
A.4 Calcul des coefficients et des variantes
Considérons l’équation de régression linéaire multiple de degré m = 2
v^ = b. + b,x, + b2x2 . . . (8)
qui équivaut, dans le cas de la régression polynômiale à
. . . (9)
r^ = b. + b,x + b,x*
Si l’on applique le critère des moindres carrés, on obtient les équations normales
. . .
nbo + C(xli) bl + C(x2i)b2 = C(yi) (10)
C(xli) bo + C(xli)*bl + Z(xlix2ilb2 = x(xliyi) . . . (11)
C(Xzi)bo + Z(xzixli) bl + C(X2i)* b2 = z(x2iyi) . . . (12)
utilisée pour résoudre ces équations normales implique de calculer l’inverse de la matrice 3 x 3 des
La méthode traditionnellement
coefficients bo, bl et b2. Si les éléments de cette matrice inverse sont
CO0 CO1 CO2
Cl0 Cl1 Cl2
c20 c21 c22
i 1
b. =
CO() Zyi + CO1 Ctxliyi) + CO* X(x*i yi)
b, = Cl() Cyi + Cl1 C(xliyi) + Cl* C(x*iYi) . . . (13)
b2 =
c*O zyi + C*l C(xli.Yi) + CD X(x*i yi)
ou, sous forme généralisée,
m
bj =
Cjk c(xki Yi)
C[
k=O
OÙ xki = 1 pour k = 0.
À noter que, puisque la matrice des équations normales est symétrique, la matrice inverse est également symétrique.
ISO 7066-2 : 1988 (FI
Les variantes des coefficients sont:
s*(b,) = Sr*C,,
la variante résiduelle Sr* étant donnée comme en 5.3 par l’équation:
x(Yi - j,*
=
S*
r
n -m-l
La matrice inverse étant symétrique, on obtient:
= Cl0
CO1
. . .
(14)
CO2 = c20
Cl2 = c-21
Ces termes diagonaux servent à calculer les covariances’) entre les coefficients bj (la covariance étant notée COV):
COV(bo, b,) = s,?C,,
. . .
COV(bo, b2) = sr CO* (15)
COWb,, b2) = $Cl2
Aux valeurs spécifiées x1 = x1* et x2 = x2*, la valeur prédite par l’équation de régression est:
r^ = b. +b,x,* + b2x2* . . .
(16)
La variante de cette valeur j est donnée par:
S* (u^, = Sr* c(Jo + c,,(x,*)* + c~(x**)* + 2co,x,*+ 2c()*x** + 2c,*x,*x** . . .
(17)
[ 1
Le facteur 2 apparaît parce que Cjk = Ckj pour chaque couple de valeursj et k.
La formule générale est:
S* (Y) = SF 2 f, (Cjk Xj*xk*)
j=
0 k=O
OÙ xj”, xk* = 1 pourj, k = 0. . . . (18)
Pour une régression polynÔmiale, Xj" = (X*v et xk* = (x*)k, et ainsi
m
m
S* (Y, = Sr*
Cjk(X*)j + k
c c
j=O k=O
L’adaptation de cette expression à un polynôme de degré 2m donne:
. . .
(19)
S*(u^) = s?J$i( $ock,j-h) tx*)j + s? jz$+ ,[( k =$ mck,j-](x*)j
1) La covariance de deux coefficients indique l’effet d’une variation d’un coefficient sur la valeur de l’autre. On appelle variante, covariance ou
matrice de variante-covariance, le produit de la matrice inverse par le scalaire ST.
ISO 7066-2 : 1988 IF)
A.5 Formulation centrée
L’analyse par la méthode des moindres carrés ou de régression s’exprime quelquefois sous une forme «centrée)) dans laquelle chaque
la moyenne. Sous cette forme, l’équation (8) est remplacée par:
variable est remplacée par son écart à
Y^-j~=b,(x, -Xl, + b2(x2-@
. . .
(20)
où les symboles surmontés d’une barre désignent la valeur moyenne de la grandeur correspondante pour les n points de mesure.
A.6 Techniques numériques utilisées dans les bibliothèques d’ordinateurs
Pour les calculs de moindres carrés ou de régression discutés dans la présente annexe, un programme de routine de bibliothèque
d’ordinateur peut faire usage d’une multitude de techniques numériques. Les principales techniques numériques utilisées par les ordi-
nateurs pour les manipulations de matrices de régression ou de moindres carrés sont:
l’élimination de Gauss ou de Gauss-Jordan,
a)
b) la décomposition de Cholesky, et
cl les décompositions orthogonales (habituellement méthode de Householder ou méthode de Gram-Schmidt modifiée).
La technique particulière utilisée n’est en général pas importante pour l’utilisateur. Néanmoins, il convient de noter que les méthodes
par élimination sont susceptibles de grossir l’erreur d’arrondissage, de sorte qu’on peut avoir une erreur significative sur les coeffi-
cients calculés bj pour les polynômes de degré élevé; pour un degré modéré, jusqu’à m = 3 ou 4, ce ne devrait pas être un problème.
ISO 7066-2 : 1988 (FI
Annexe B
Ajustement des courbes par la méthode des polynômes orthogonaux
(Cette annexe ne fait pas partie intégrante de la norme.)
principales de I
La présente annexe décrit les caractéristiques ‘ajustemen t de courbes par la méthode de polynômes orthogonaux
liai son avec les mét #hodes de régression discu tées en annexe A.
des polynômes orth iogonaux est particulièrement efficace quand on ne connaît pas le degré d’ajustement, et elle
Cette méthode
pas sujette aux grossissements de l’erreur d’arrondissage comme les méthodes d’ élimination (voir annexe A, chapitre A.6).
Les résultats de la méthode des polynômes 0 rthogonaux seront les mêmes, à I’erreu r d’arrondissage près, que ceux des méthodes
régression décrites en annexe A.
Les programmes de routine des bibliothèques d’ordinateurs utilisant ces polynômes orthogonaux ne fournissent en général pas suffi-
samment d’informations, pour permettre de calculer facilement l’incertitude. Le programme donné en annexe C donne toutefois tous
les détails sur cette incertitude.
n
Dans ce qui suit, et sauf annotation contraire, le signe de sommation C signifie .
c
i=l
Dans la méthode des polynômes orthogonaux, le polynôme
jL
bo + blX + b2.S + l mm + bmXm
est remplacé par une forme équivalente:
, . .
y = gopo
...