ISO 12107:2003
(Main)Metallic materials — Fatigue testing — Statistical planning and analysis of data
Metallic materials — Fatigue testing — Statistical planning and analysis of data
ISO 12107:2003 presents methods for the experimental planning of fatigue testing and the statistical analysis of the resulting data. The purpose is to determine the fatigue properties of metallic materials with both a high degree of confidence and a practical number of specimens. It provides a method for the analysis of fatigue life properties at a variety of stress levels using a relationship that can linearly approximate the material's response in appropriate coordinates. Specifically, it addresses the fatigue life for a given stress, and the fatigue strength for a given fatigue life. It is limited to the analysis of fatigue data for materials exhibiting homogeneous behaviour due to a single mechanism of fatigue failure. This refers to the statistical properties of test results that are closely related to material behaviour under the test conditions.
Matériaux métalliques — Essais de fatigue — Programmation et analyse statistique de données
L'ISO 12107:2003 présente des méthodes pour établir le plan d'expérience et pour effectuer l'analyse statistique des données résultantes. Le but est de déterminer les caractéristiques de fatigue de matériaux métalliques avec un niveau de confiance élevé et en utilisant un nombre pratique d'éprouvettes. L'ISO 12107:2003 fournit la méthode pour analyser les caractéristiques de durée de vie en fatigue à divers niveaux de contrainte, en utilisant une relation permettant de faire une approximation linéaire de la réponse des matériaux dans un système de coordonnées approprié. Cette méthode porte spécifiquement sur la durée de vie en fatigue pour une contrainte donnée et sur la résistance à la fatigue pour une durée de vie donnée. L'ISO 12107:2003 est limitée à l'analyse des données relatives à la fatigue pour des matériaux présentant un comportement homogène en raison du simple mécanisme de rupture par fatigue. Cela se rapporte aux caractéristiques statistiques des résultats d'essai qui sont étroitement liées au comportement des matériaux dans les conditions d'essai.
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INTERNATIONAL ISO
STANDARD 12107
First edition
2003-03-15
Metallic materials — Fatigue testing —
Statistical planning and analysis of data
Matériaux métalliques — Essais de fatigue — Programmation et
analyse statistique de données
Reference number
ISO 12107:2003(E)
©
ISO 2003
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ISO 12107:2003(E)
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Published in Switzerland
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ISO 12107:2003(E)
Contents Page
Foreword. iv
Introduction . v
1 Scope. 1
1.1 Objectives . 1
1.2 Fatigue properties to be analysed. 1
1.3 Limit of application . 1
2 Normative references . 1
3 Terms and definitions. 2
3.1 Terms related to statistics. 2
3.2 Terms related to fatigue . 2
4 Statistical distributions in fatigue properties. 3
4.1 Concept of distributions in fatigue . 3
4.2 Distribution of fatigue life. 3
4.3 Distribution of fatigue strength . 4
5 Statistical planning of fatigue tests . 4
5.1 Sampling . 4
5.2 Number of specimens to be tested . 6
5.3 Allocation of specimens for testing . 6
6 Statistical estimation of fatigue life at a given stress . 7
6.1 Testing to obtain fatigue life data. 7
6.2 Plotting data on probability paper. 7
6.3 Estimating distribution parameters . 9
6.4 Estimating the lower limit of the fatigue life. 9
7 Statistical estimation of fatigue strength at a given fatigue life. 10
7.1 Testing to obtain fatigue strength data . 10
7.2 Statistical analysis of test data. 10
7.3 Estimating the lower limit of the fatigue strength . 11
7.4 Modified method when standard deviation is known . 11
8 Statistical estimation of S-N curve. 12
8.1 Fatigue testing to obtain S-N data . 12
8.2 Statistical analysis of S-N data. 12
8.3 Estimating the lower limit of the S-N curve. 13
8.4 Verifying the adequacy of the linear model.13
9 Test report. 14
9.1 Presentation of test results. 14
9.2 Related information . 15
Annex A (informative) Examples of applications . 16
Annex B (informative) Statistical tables . 22
Annex C (informative) Combined method for statistical estimation of a full S-N curve . 24
Bibliography . 26
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ISO 12107:2003(E)
Foreword
ISO (the International Organization for Standardization) is a worldwide federation of national standards bodies
(ISO member bodies). The work of preparing International Standards is normally carried out through ISO
technical committees. Each member body interested in a subject for which a technical committee has been
established has the right to be represented on that committee. International organizations, governmental and
non-governmental, in liaison with ISO, also take part in the work. ISO collaborates closely with the
International Electrotechnical Commission (IEC) on all matters of electrotechnical standardization.
International Standards are drafted in accordance with the rules given in the ISO/IEC Directives, Part 2.
The main task of technical committees is to prepare International Standards. Draft International Standards
adopted by the technical committees are circulated to the member bodies for voting. Publication as an
International Standard requires approval by at least 75 % of the member bodies casting a vote.
Attention is drawn to the possibility that some of the elements of this document may be the subject of patent
rights. ISO shall not be held responsible for identifying any or all such patent rights.
ISO 12107 was prepared by Technical Committee ISO/TC 164, Mechanical testing of metals, Subcommittee
SC 5, Fatigue testing.
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ISO 12107:2003(E)
Introduction
It is known that the results of fatigue tests display significant variations even when the test is controlled very
accurately. In part, these variations are attributable to non-uniformity of test specimens. Examples of such
non-uniformity include slight differences in chemical composition, heat treatment, surface finish, etc. The
remaining part is related to the stochastic process of fatigue failure itself that is intrinsic to metallic engineering
materials.
Adequate quantification of this inherent variation is necessary to evaluate the fatigue property of a material for
the design of machines and structures. It is also necessary for test laboratories to compare materials in fatigue
behaviour, including its variation. Statistical methods are necessary to perform these tasks. They include both
the experimental planning and procedure to develop fatigue data and the analysis of the results.
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INTERNATIONAL STANDARD ISO 12107:2003(E)
Metallic materials — Fatigue testing — Statistical planning and
analysis of data
1 Scope
1.1 Objectives
This International Standard presents methods for the experimental planning of fatigue testing and the
statistical analysis of the resulting data. The purpose is to determine the fatigue properties of metallic
materials with both a high degree of confidence and a practical number of specimens.
1.2 Fatigue properties to be analysed
This International Standard provides a method for the analysis of fatigue life properties at a variety of stress
levels using a relationship that can linearly approximate the material's response in appropriate coordinates.
Specifically, it addresses:
a) the fatigue life for a given stress, and
b) the fatigue strength for a given fatigue life.
The term “stress” in this International Standard can be replaced by “strain”, as the methods described are also
valid for the analysis of life properties as a function of strain. Fatigue strength in the case of strain-controlled
tests is considered in terms of strain, as it is ordinarily understood in terms of stress in stress-controlled tests.
1.3 Limit of application
This International Standard is limited to the analysis of fatigue data for materials exhibiting homogeneous
behaviour due to a single mechanism of fatigue failure. This refers to the statistical properties of test results
that are closely related to material behaviour under the test conditions.
In fact, specimens of a given material tested under different conditions may reveal variations in failure
mechanisms. For ordinary cases, the statistical property of resulting data represents one failure mechanism
and may permit direct analysis. Conversely, situations are encountered where the statistical behaviour is not
homogeneous. It is necessary for all such cases to be modelled by two or more individual distributions.
An example of such behaviour is often observed when failure can initiate from either a surface or internal site
at the same level of stress. Under these conditions, the data will have mixed statistical characteristics
corresponding to the different mechanisms of failure. These types of results are not considered in this
International Standard because a much higher complexity of analysis is required.
2 Normative references
The following referenced documents are indispensable for the application of this document. For dated
references, only the edition cited applies. For undated references, the latest edition of the referenced
document (including any amendments) applies.
ISO 3534 (all parts), Statistics — Vocabulary and symbols
© ISO 2003 — All rights reserved 1
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ISO 12107:2003(E)
3 Terms and definitions
For the purposes of this document, the terms and definitions given in ISO 3534 and the following apply.
3.1 Terms related to statistics
3.1.1
confidence level
value 1 – α of the probability associated with an interval of statistical tolerance
3.1.2
degree of freedom
number calculated by subtracting from total number of items of test data the number of parameters estimated
from the data
3.1.3
distribution function
function giving, for every value x, the probability that the random variable X is less than or equal to x
3.1.4
estimation
operation made for the purpose of assigning, from the values observed in a sample, numerical values to the
parameters of a distribution from which this sample has been taken
3.1.5
population
totality of individual materials or items under consideration
3.1.6
random variable
variable that may take any value of a specified set of values
3.1.7
sample
one or more items taken from a population and intended to provide information on the population
3.1.8
size
n
number of items in a population, lot, sample, etc.
3.1.9
standard deviation
σ
positive square root of the mean squared deviation from the arithmetic mean
3.2 Terms related to fatigue
3.2.1
fatigue life
N
number of stress cycles applied to a specimen, at an indicated stress level, before it attains a failure criterion
defined for the test
3.2.2
fatigue limit
fatigue strength at infinite life
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ISO 12107:2003(E)
3.2.3
fatigue strength
value of stress level S, expressed in megapascals, at which a specimen would fail at a given fatigue life
3.2.4
specimen
portion or piece of material to be used for a single test determination and normally prepared in a
predetermined shape and in predetermined dimensions
3.2.5
stress level
S
intensity of the stress under the conditions of control in the test
EXAMPLES Amplitude, maximum, range.
3.2.6
stress step
d
difference between neighbouring stress levels, expressed in megapascals, when conducting the test by the
staircase method
4 Statistical distributions in fatigue properties
4.1 Concept of distributions in fatigue
The fatigue properties of metallic engineering materials are determined by testing a set of specimens at
various stress levels to generate a fatigue life relationship as a function of stress. The results are usually
expressed as an S-N curve that fits the experimental data plotted in appropriate coordinates. These are
generally either log-log or semi-log plots, with the life values always plotted on the abscissa on a logarithmic
scale.
Fatigue test results usually display significant scatter even when the tests are carefully conducted to minimize
experimental error. A component of this variation is due to inequalities, related to chemical composition or
heat treatment, among the specimens, but another component is related to the fatigue process, an example
being the initiation and growth of small cracks under test environments.
The variation in fatigue data is expressed in two ways: the distribution of fatigue life at a given stress and the
distribution of strength at a given fatigue life (see [1] to [5]).
4.2 Distribution of fatigue life
Fatigue life, N, at a given test stress, S, is considered as a random variable. It is expressed as the normal
distribution of the logarithm of the fatigue life. This relationship is:
2
x
x−µ
11
x
Px=−exp dx (1)
()
∫
−∞
2 σ
σ 2π
x
x
where x = log N and µ and σ are, respectively, the mean and the standard deviation of x.
x x
Equation (1) gives the cumulative probability of failure for x. This is the proportion of the population failing at
lives less than or equal to x.
Equation (1) does not relate to the probability of failure for specimens at or near the fatigue limit. In this region,
some specimens may fail, while others may not. The shape of the distribution is often skewed, displaying even
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ISO 12107:2003(E)
greater scatter on the longer-life side. It also may be truncated to represent the longest failure life observed in
the data set.
This International Standard does not address situations in which a certain number of specimens may fail, but
the remaining ones do not.
[4]
Other statistical distributions can also be used to express variations in fatigue life. The Weibull distribution is
one of the statistical models often used to represent skewed distributions.
Figure 1 shows an example of data from a fatigue test conducted with a statistically based experimental plan
using a large number of specimens (see [5]). The shape of the fatigue life distributions is demonstrated for
explanatory purposes.
4.3 Distribution of fatigue strength
Fatigue strength at a given fatigue life, N, is considered as a random variable. It is expressed as the normal
distribution:
2
y y−µ
11 y
Py=−exp dy (2)
()
∫
−∞
2 σ
σ 2π
y
y
where y = S (the fatigue strength at N), and µ and σ are, respectively, the mean and the standard deviation
y y
of y.
Equation (2) gives the cumulative probability of failure for y. It defines the proportion of the population
presenting fatigue strengths less than or equal to y.
Other statistical distributions can also be used to express variations in fatigue strength. When a linear
relationship is assumed between stress and fatigue life using log-log coordinates, the distribution of y = log S
is assumed to be normal as long as x = log N is normal.
Figure 2 is based on the same experimental data as Figure 1. The variation in the fatigue property is
expressed here in terms of strength at typical fatigue lives (see [5]).
5 Statistical planning of fatigue tests
5.1 Sampling
It is necessary to define clearly the population of the material for which the statistical distribution of fatigue
properties is to be estimated. Specimen selection from the population shall be performed in a random fashion.
It is also important that the specimens be selected so that they accurately represent the population they are
intended to describe.
If the population consists of several lots or batches of material, the test specimens shall be selected randomly
from each group in a number proportional to the size of each lot or batch. The total number of specimens
taken shall be equal to the required sample size, n.
If the population displays any serial nature, e.g. if the properties are related to the date of fabrication, the
population shall be divided into groups related to time. Random samples shall be selected from each group in
numbers proportional to the group size.
The specimens taken from a particular batch of material will reveal a variability specific to the batch. This
within-batch variation can sometimes be of the same order of importance as the between-batch variation.
When the relative importance of different kinds of variation is known from experience, sampling shall be
performed taking this into consideration.
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ISO 12107:2003(E)
a
median curve
Figure 1 — Concept of variation in a fatigue property — Distribution of fatigue life at given stresses
for a 0,25 % C carbon steel tested in the rotating-bending mode
a
median curve
Figure 2 — Concept of variation in a fatigue property — Distribution of fatigue strength at typical
fatigue lives for a 0,25 % C carbon steel tested in the rotating-bending mode
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ISO 12107:2003(E)
Hardness measurement is recommended for some materials, when possible, to divide the population of the
material into distinct groups for sampling. The groups should be of as equal size as possible. Specimens may
be extracted randomly in equal numbers from each group to compose a test sample of size n. This procedure
will generate samples uniformly representing the population, based upon hardness.
5.2 Number of specimens to be tested
The reliability of test results is primarily dependent on the number of specimens tested. It increases with the
number of tests, n.
For a random variable, x, taking values always less than or equal to x at a probability, P, in a population,
(P)
define x as a minimum observed value in a set of n specimens extracted from the population. The probability
1
n
that x W x is less than or equal to α, i.e. (1 − P) . Therefore, it can be expected that x is greater than x
1 (P) (P) 1
n
with a probability of at least 1 − α, i.e. at least 1 − (1 − P) . This gives:
lnα
n= (3)
ln 1− P
()
In the case of fatigue life tests, Equation (3) indicates at a confidence level of 1 − α that the true fatigue life at
probability of failure P of the population can be expected to be greater than the minimum life observed from n
specimens.
The same concept can be applied to the case of S-N data items, because the deviations in individual log-life
data from the mean S-N curve are considered to be randomly distributed. Further, the variance is assumed to
be constant for different stresses, as a model S-N curve is fitted by an ordinary least-squares method in many
cases.
Table 1 gives some typical figures for the number of specimens. The numbers in the column corresponding to
a confidence level of 95 % are used for reliability design purposes, those at the 50 % confidence level for
exploratory tests and the others for general engineering applications.
Table 1 — Number of specimens required so that the minimum value of test data can be expected to
fall below the true value for the population at a given level of probability of failure at various
confidence levels
Confidence level, 1 – α (%)
Probability of failure
50 90 95
P (%)
a
Number of specimens, n
50 1 3 4
10 7 22 28
5 13 45 58
1 69 229 298
a
The values of n are rounded to the nearest whole number.
5.3 Allocation of specimens for testing
Specimens taken from the test materials shall be allocated to individual fatigue tests in principle in a random
way, in order to minimize unexpected statistical bias. The order of testing of the specimens shall also be
randomized in a series of fatigue tests.
When several test machines are used in parallel, specimens shall be tested on each machine in equal or
nearly equal numbers and in a random order. The equivalence of the machines in terms of their performance
shall be verified prior to testing.
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ISO 12107:2003(E)
When the test programme includes several independent test series, e.g. tests at different stress levels or on
different materials for comparison purposes, each test series shall be carried out at equal or nearly equal rates
of progress, so that all testing can be completed at approximately the same time.
For a given number of specimens tested at several stresses, the number of repeated tests at each stress
affects the statistical confidence of the estimate of the variability of the results. Recommended ratios for the
number of stress levels to the total number of specimens can be found in [6].
6 Statistical estimation of fatigue life at a given stress
6.1 Testing to obtain fatigue life data
Conduct fatigue tests a given stress, S, on a set of carefully prepared specimens to determine the fatigue life
values for each. The number of specimens, n, required may be determined by reference to the typical values
given in Table 1. The number selected will be dependent upon the purpose of the test and the availability of
test material.
A set of seven specimens is recommended in this International Standard for exploratory tests. For reliability
purposes, however, at least 28 specimens are recommended.
6.2 Plotting data on probability paper
Prepare fatigue life data, x = log N, for n specimens for probability plotting by ranking the data from minimum
to maximum values. Label each data item with an order number, i, as x u x u . u x . The probability of
1 2 n
failure for the ith data item is approximated by:
i− 0,3
P = (4)
i
n+ 0,4
Plot the data pairs thus obtained, (x , P ), (x , P ), . , (x , P ), on normal probability paper. If a straight line fits
1 1 2 2 n n
all the data points reasonably well, it can be concluded the data follow a log-log distribution.
If the data pairs do not give a straight line, it is recommended that other types of plot be attempted. Plotting on
[4]
Weibull probability paper is helpful in such situations.
When log-log probability paper is used, the fatigue lives, N , can be plotted directly without converting them
i
into logarithms.
Figure 3 shows an example of log-log probability paper.
A worked example of the preparation of a data plot is given in Clause A.1.
The probability of failure for the ith data item can be approximated by other equations. One of the frequently
used alternatives that generates almost identical results when n is sufficiently large is:
i
P =
i
n+ 1
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Figure 3 — Example of log-log probability paper
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6.3 Estimating distribution parameters
Estimate parameters defining the statistical distribution of the fatigue life, Equation (1), from the linear curve
that best fits the experimental data.
Define the value x corresponding to a probability of failure P (%) that can be read from the curve. Estimate
(P)
the mean, µ , and the standard deviation, σ , from the two values x and x as follows:
x x (10) (90)
xx+
()10 (90)
ˆ
µ = (5)
x
2
xx−
90 10
() ( )
σˆ = (6)
x
2,56
where the caret sign “ˆ” is used to indicate that they are estimates.
The number of degrees of freedom for the standard deviation are considered to be n − 1, where n is the
number of data items.
The coefficient of variation of the fatigue life, η , can be estimated as follows:
N
2
2
ˆˆ
ησ=−exp In10 1 (7)
()
Nx
where ln10 is the natural logarithm of 10, the square of which is 5,302.
The mean and the standard deviation thus estimated may differ from computed values calculated from the
following equations:
n
x
i
∑
i= 1
µˆ=
n
n
2
x −µˆ
()
i
∑
i= 1
σˆ=
n− 1
This International Standard recommends use of the graphical method, since it can adjust the data to fit the
normal distribution represented on the probability plot.
6.4 Estimating the lower limit of the fatigue life
Estimate the lower limit of the fatigue life at a given probability of failure, assuming a normal distribution, at the
confidence level 1 − α from the equation:
xkˆˆ=−µ σˆ (8)
x x
()PP,1−−αα( ,1 ,ν)
The coefficient k is the one-sided tolerance limit for a normal distribution, as given in Table B.1. Take
(P, 1 − α, v)
as the number of degrees of freedom, v, the number which was used in estimating the standard deviation.
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ISO 12107:2003(E)
7 Statistical estimation of fatigue strength at a given fatigue life
7.1 Testing to obtain fatigue strength data
Conduct fatigue tests to generate strength data for a set of specimens in a sequential way using the method
known as the staircase method (see [7]).
It is necessary to have rough estimates of the mean and the standard deviation of the fatigue strength for the
materials to be tested. Start the test at a first stress level preferably close to the estimated mean strength.
Also select a stress step, preferably close to the standard deviation, by which to vary the stress level during
the test.
If no information is available about the standard deviation, a step of about 5 % of the estimated mean fatigue
strength may be used as the stress step.
Test a first specimen, randomly chosen, at the first stress level to find if it fails before the given number of
cycles. For the next specimen, also randomly chosen, increase the stress level by a step if the preceding
specimen did not fail, and decrease the stress by the same amount if it failed. Continue testing until all the
specimens have been tested in this way.
Exploratory research requires a minimum of 15 specimens to estimate the mean and the standard deviation of
the fatigue strength. Reliability data requires at least 30 specimens.
A worked example of the staircase method is given in A.2.1, together with worked examples of the analyses
described in
...
NORME ISO
INTERNATIONALE 12107
Première édition
2003-03-15
Matériaux métalliques — Essais de
fatigue — Programmation et analyse
statistique de données
Metallic materials — Fatigue testing — Statistical planning and analysis
of data
Numéro de référence
ISO 12107:2003(F)
©
ISO 2003
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ISO 12107:2003(F)
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ii © ISO 2003 — Tous droits réservés
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Sommaire Page
Avant-propos. iv
Introduction . v
1 Domaine d'application. 1
1.1 Objectifs. 1
1.2 Caractéristiques de fatigue à analyser . 1
1.3 Limite d'application. 1
2 Références normatives. 2
3 Termes et définitions . 2
3.1 Termes se rapportant aux statistiques. 2
3.2 Termes se rapportant à la fatigue . 3
4 Distributions statistiques des caractéristiques de fatigue. 3
4.1 Principe des distributions de fatigue. 3
4.2 Distribution de la durée de vie en fatigue. 4
4.3 Distribution de la résistance à la fatigue . 4
5 Programmation statistique des essais de fatigue . 6
5.1 Échantillonnage des éprouvettes. 6
5.2 Nombre d'éprouvettes à soumettre à l'essai.6
5.3 Attribution des éprouvettes pour les essais. 7
6 Estimation statistique de la durée de vie en fatigue pour une contrainte donnée . 7
6.1 Essai de fatigue pour obtenir des données de durée de vie. 7
6.2 Tracé des données sur un papier de probabilité. 8
6.3 Estimation des paramètres de distribution. 8
6.4 Estimation de la limite inférieure de la durée de vie en fatigue . 10
7 Estimation statistique de la résistance à la fatigue pour une durée de vie donnée . 10
7.1 Essai de fatigue pour obtenir des données de résistance à la fatigue . 10
7.2 Analyse statistique des données d'essai .11
7.3 Estimation de la limite inférieure de résistance à la fatigue. 11
7.4 Méthode modifiée quand l'écart-type est connu . 11
8 Estimation statistique de la courbe S-N. 12
8.1 Essai de fatigue pour obtenir des données S-N. 12
8.2 Analyse statistique de données S-N. 13
8.3 Estimation de la limite inférieure de la courbe S-N. 14
8.4 Vérification de l'adéquation du modèle linéaire . 14
9 Rapport d'essai . 15
9.1 Présentation des résultats d'essai. 15
9.2 Informations connexes. 15
Annexe A (informative) Exemples d'applications . 17
Annexe B (informative) Tableaux de statistiques. 23
Annexe C (informative) Méthode combinée pour l'estimation statistique d'une courbe S-N
complète. 25
Bibliographie . 27
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ISO 12107:2003(F)
Avant-propos
L'ISO (Organisation internationale de normalisation) est une fédération mondiale d'organismes nationaux de
normalisation (comités membres de l'ISO). L'élaboration des Normes internationales est en général confiée
aux comités techniques de l'ISO. Chaque comité membre intéressé par une étude a le droit de faire partie du
comité technique créé à cet effet. Les organisations internationales, gouvernementales et non
gouvernementales, en liaison avec l'ISO participent également aux travaux. L'ISO collabore étroitement avec
la Commission électrotechnique internationale (CEI) en ce qui concerne la normalisation électrotechnique.
Les Normes internationales sont rédigées conformément aux règles données dans les Directives ISO/CEI,
Partie 2.
La tâche principale des comités techniques est d'élaborer les Normes internationales. Les projets de Normes
internationales adoptés par les comités techniques sont soumis aux comités membres pour vote. Leur
publication comme Normes internationales requiert l'approbation de 75 % au moins des comités membres
votants.
L'attention est appelée sur le fait que certains des éléments du présent document peuvent faire l'objet de
droits de propriété intellectuelle ou de droits analogues. L'ISO ne saurait être tenue pour responsable de ne
pas avoir identifié de tels droits de propriété et averti de leur existence.
L'ISO 12107 a été élaborée par le comité technique ISO/TC 164, Essais mécaniques des métaux,
sous-comité SC 5, Essais de fatigue.
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ISO 12107:2003(F)
Introduction
Il est reconnu que les résultats des essais de fatigue varient de manière significative, même lorsque les
essais sont contrôlés avec une très grande précision. Ces variations peuvent être attribuées pour en partie à
la non-uniformité des éprouvettes. Parmi les exemples de non-uniformité, on peut citer les légères différences
dans la composition chimique, le traitement thermique, le fini de surface, etc. Pour le reste, ces variations sont
liées au processus stochastique de la rupture par fatigue proprement dite, qui est intrinsèque aux matériaux
métalliques.
Une quantification adéquate de cette variation inhérente est nécessaire pour évaluer la caractéristique de
fatigue d'un matériau en vue de la conception de machines et de structures. Il est également nécessaire, pour
les laboratoires d'essai de comparer les comportements en fatigue des matériaux, y compris cette variation.
L'exécution de ces tâches nécessite l'utilisation de méthodes statistiques. Ces tâches comprennent la
planification et le mode opératoire des expérimentations pour élaborer les données relatives à la fatigue ainsi
que l'analyse des résultats.
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NORME INTERNATIONALE ISO 12107:2003(F)
Matériaux métalliques — Essais de fatigue — Programmation et
analyse statistique de données
1 Domaine d'application
1.1 Objectifs
La présente Norme internationale présente des méthodes pour établir le plan d'expérience et pour effectuer
l'analyse statistique des données résultantes. Le but est de déterminer les caractéristiques de fatigue de
matériaux métalliques avec un niveau de confiance élevé et en utilisant un nombre pratique d'éprouvettes.
1.2 Caractéristiques de fatigue à analyser
La présente Norme internationale fournit la méthode pour analyser les caractéristiques de durée de vie en
fatigue à divers niveaux de contrainte, en utilisant une relation permettant de faire une approximation linéaire
de la réponse des matériaux dans un système de coordonnées approprié.
Cette méthode porte spécifiquement sur
a) la durée de vie en fatigue pour une contrainte donnée, et
b) la résistance à la fatigue pour une durée de vie donnée.
Le terme «contrainte» dans la présente Norme internationale peut être remplacé par «déformation», car les
méthodes décrites sont également valables pour l'analyse des propriétés de durée de vie en fonction de la
déformation. La résistance à la fatigue, en cas d'essais de déformation contrôlée, est considérée en termes
de déformation, comme elle est habituellement considérée en termes de contrainte, dans les essais avec
contrainte contrôlée.
1.3 Limite d'application
La présente Norme internationale est limitée à l'analyse des données relatives à la fatigue pour des matériaux
présentant un comportement homogène en raison du simple mécanisme de rupture par fatigue. Cela se
rapporte aux caractéristiques statistiques des résultats d'essai qui sont étroitement liées au comportement
des matériaux dans les conditions d'essai.
En fait, les éprouvettes d'un matériau donné, testées dans des conditions différentes, peuvent révéler des
variations dans les mécanismes de rupture. Pour les cas ordinaires, la caractéristique statistique des données
résultantes représente un mécanisme de rupture et peut ainsi permettre une analyse directe. Inversement, il
existe des situations où le comportement statistique n'est pas homogène. Il est nécessaire, de modéliser tous
les cas de ce type par au moins deux répartitions individuelles.
Un exemple d'un tel comportement est souvent observé lorsque la rupture est amorcée à partir d'un site
interne ou d'un site en surface, pour un même niveau de contrainte. Dans ces conditions, les données doivent
avoir des caractéristiques statistiques combinées, correspondant aux différents mécanismes de rupture. Ces
types de résultats ne sont pas considérés dans la présente Norme internationale, car leur étude exige un
niveau d'analyse bien plus complexe.
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2 Références normatives
Les documents de référence suivants sont indispensables pour l'application du présent document. Pour les
références datées, seule l'édition citée s'applique. Pour les références non datées, la dernière édition du
document de référence s'applique (y compris les éventuels amendements).
ISO 3534 (toutes les parties), Statistiques — Vocabulaire et symboles
3 Termes et définitions
Pour les besoins du présent document, les termes et définitions donnés dans l'ISO 3534 ainsi que les
suivants s'appliquent.
3.1 Termes se rapportant aux statistiques
3.1.1
niveau de confiance
valeur 1 − α de la probabilité associée à un intervalle de tolérance statistique
3.1.2
degré de liberté
nombre calculé en soustrayant du nombre total de données d'essai, le nombre de paramètres estimés à partir
des données
3.1.3
fonction de distribution
fonction donnant, pour chaque valeur x, la probabilité que la variable aléatoire X soit inférieure ou égale à x
3.1.4
estimation
opération effectuée dans le but d'attribuer, à partir des valeurs observées dans un échantillon, des valeurs
numériques aux paramètres d'une distribution d'où l'échantillon est prélevé
3.1.5
population
totalité des matériaux ou articles individuels soumis à l'étude
3.1.6
variable aléatoire
variable qui peut prendre n'importe quelle valeur d'un ensemble spécifié de valeurs
3.1.7
échantillon
un ou plusieurs éléments pris dans une population et destiné(s) à fournir des informations sur la population
3.1.8
taille
n
nombre d'éléments, dans une population, un lot, un échantillon, etc.
3.1.9
écart-type
σ
racine carrée positive du carré moyen de l'écart à la moyenne arithmétique
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3.2 Termes se rapportant à la fatigue
3.2.1
durée de vie en fatigue
N
nombre de cycles de contrainte appliqués à une éprouvette, sous un niveau de contrainte indiqué, avant
qu'elle atteigne un critère de rupture défini pour l'essai
3.2.2
limite de fatigue
résistance à la fatigue pour une durée de vie illimitée
3.2.3
résistance à la fatigue
valeur du niveau de contrainte, S, exprimée en mégapascals, auquel une éprouvette devrait rompre au bout
d'une durée de vie indiquée
3.2.4
éprouvette
portion ou partie de matériau à utiliser pour une détermination d'essai unique et normalement préparée dans
une forme et des dimensions prédéterminées
3.2.5
niveau de contrainte
S
intensité des contraintes, exprimée en mégapascals, dans les conditions de contrôle lors de l'essai
EXEMPLE Amplitude, maximum, étendue.
3.2.6
échelon de contrainte
d
différence entre des niveaux de contrainte voisins, exprimés en mégapascals, pour effectuer l'essai
conformément à la méthode de l'escalier
4 Distributions statistiques des caractéristiques de fatigue
4.1 Principe des distributions de fatigue
Les caractéristiques de fatigue des matériaux métalliques utilisés en mécanique sont déterminées en testant
un ensemble d'éprouvettes sous divers niveaux de contrainte pour établir une relation de la durée de vie en
fonction de la contrainte. Les résultats sont habituellement exprimés par la courbe S-N qui s'ajuste aux
données expérimentales tracées dans un système de coordonnées approprié. Il s'agit généralement de tracés
log-log ou semi-logarithmiques, sachant que les valeurs de durée de vie sont toujours portées en abscisses
sur l'échelle logarithmique.
On observe habituellement une dispersion significative des résultats des essais de fatigue, même lorsque les
essais sont réalisés avec soin pour minimiser l'erreur expérimentale. Cette dispersion des résultats s'explique
non seulement par le manque d'homogénéité des éprouvettes pour ce qui est de fatigue tel que l'amorçage et
la propagation de petites fissures, dans les environnements d'essai.
La disparité des données relatives à la fatigue est exprimée de deux manières: la distribution de durée de vie
sous une contrainte donnée et la distribution de la résistance à la fatigue pour une durée de vie donnée (voir
[1] à [5]).
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4.2 Distribution de la durée de vie en fatigue
La durée de vie en fatigue, N, sous une contrainte d'essai donnée, S, est considérée comme une variable
aléatoire. Elle est exprimée par la distribution normale du logarithme de la durée de vie en fatigue. Cette
relation est:
2
x
x−µ
11
x
Px=−exp dx (1)
()
∫
−∞
2 σ
σ 2π
x
x
où x = log N et µ et σ sont respectivement la moyenne et l'écart-type de x.
x x
L'Équation (1) donne la probabilité cumulée de rupture pour x. Il s'agit de la proportion de la population dont la
rupture intervient à des durées de vie inférieures ou égales à x.
L'Équation (1) ne se rapporte pas à la probabilité de rupture pour des éprouvettes à la limite de fatigue ou au
voisinage de celle-ci. Dans cette région, il est possible qu'il y ait rupture pour certaines éprouvettes, mais pas
pour d'autres. La forme de la distribution est souvent asymétrique, affichant même une plus grande dispersion
du côté des durées de vie les plus élevées. Il est également possible qu'elle soit tronquée pour représenter la
durée de vie à la rupture la plus longue observée dans l'ensemble de données.
La présente Norme internationale ne traite pas de situations dans lesquelles il existe une possibilité de rupture
de certaines éprouvettes et pas pour d'autres.
Il est également possible d'utiliser d'autres distributions statistiques pour exprimer les variations de la durée
[4]
de vie en fatigue. La distribution de Weibull constitue un des modèles statistiques souvent utilisés pour
représenter des distributions asymétriques.
La Figure 1 illustre un exemple de données d'essai de fatigue obtenues à partir d'un plan d'expérience fondé
sur une méthode statistique et utilisant un grand nombre d'éprouvettes (voir [5]). La forme des distributions de
durée de vie en fatigue est fournie à titre explicatif.
4.3 Distribution de la résistance à la fatigue
La résistance à la fatigue pour une durée de vie indiquée, N, est considérée comme une variable aléatoire.
Elle est exprimée par la distribution normale:
2
y y−µ
11 y
Py=−exp dy (2)
()
∫
−∞
2 σ
σ 2π
y
y
où y = S indique la résistance à la fatigue à N, et µ et σ sont respectivement la moyenne et l'écart- type de y.
y y
L'Équation (2) donne la probabilité cumulée de rupture pour y. Elle définit la proportion de population
présentant des résistances à la fatigue inférieures ou égales à y.
Il est également possible d'utiliser d'autres distributions statistiques pour exprimer des variations de la
résistance à la fatigue. Lorsqu'on suppose une relation linéaire entre la contrainte et la durée de vie en fatigue
dans un système de coordonnées log-log, on suppose que la distribution de y = log S est normale pour autant
qu’on suppose que x = log N est normale.
La Figure 2 illustre les mêmes données expérimentales que celles illustrées à la Figure 1. La variation des
caractéristiques à la fatigue est exprimée ici en fonction de la résistance pour des durées de vie en fatigue
types (voir [5]).
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a
courbe médiane
Figure 1 — Concept de variation pour la caractéristique de fatigue — Distribution de la durée de vie
sous des contraintes données pour un acier à 0,25 % de carbone testé en flexion rotative
a
courbe médiane
Figure 2 — Concept de variation pour la caractéristique de fatigue — Distribution de la résistance
à la fatigue à des durées de vie typiques pour un acier à 0,25 % de carbone testé en flexion rotative
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5 Programmation statistique des essais de fatigue
5.1 Échantillonnage des éprouvettes
Il est nécessaire de définir clairement la population de matériaux pour laquelle on veut estimer la distribution
statistique de la caractéristique de fatigue. Il faut que l'échantillonnage des éprouvettes à partir de cette
population soit aléatoire. Il est aussi important de choisir les éprouvettes de façon à représenter précisément
la population qu'elles veulent décrire.
Si la population consiste en plusieurs lots de matériaux, il faut prélever les éprouvettes d'essai de façon
aléatoire à partir de chaque groupe en nombre proportionnel à la taille de chaque lot. Le nombre total
d'éprouvettes prélevées doit être égal à la taille requise de l'échantillon, n.
Si la population présente une quelconque nature sérielle, par exemple les caractéristiques sont liées au
calendrier lors de la fabrication, il faut diviser la population en groupes reliés à l'époque. Il faut prélever de
façon aléatoire des échantillons dans chaque groupe en nombre proportionnel à la taille du groupe.
Les éprouvettes prélevées dans un groupe ou lot de matériau présentent une variabilité spécifique à ce lot. Il
est possible que cette variation intralot soit du même ordre d'importance que la variation interlot. Quand
l'importance relative est connue par l'expérience sur les variations de nature différente, l'échantillonnage doit
être effectué en considérant les facteurs influents qu'on veut décrire.
La mesure de la dureté est recommandée pour certains matériaux, si possible, pour diviser la population de
matériaux en groupes distincts pour l'échantillonnage. Les groupes auront des tailles les plus égales
possibles. Les éprouvettes peuvent être extraites de façon aléatoire en nombre égal de chaque groupe pour
constituer un échantillon d'essai de taille n. Cette procédure génère des échantillons représentant
uniformément la population sur la base de la dureté.
5.2 Nombre d'éprouvettes à soumettre à l'essai
La fiabilité des résultats des essais dépend essentiellement du nombre d'éprouvettes testées. Elle augmente
avec le nombre d'essais, n.
Pour une variable aléatoire, x, prenant des valeurs toujours inférieures ou égales à x avec une probabilité,
(P)
P, dans une population, on définit x comme la valeur minimale observée dans un ensemble d'échantillons n
1
n
extraits de la population. La probabilité que x W x , est inférieure ou égale à α, c’est-à-dire (1 − P) . Donc,
1 (P)
on peut s'attendre à ce que x soit plus grand que x , avec une probabilité d’au-moins 1 − α, c’est-à-dire d’au
(P) 1
n
moins 1 − (1 − P) . Cela donne:
lnα
n= (3)
ln 1− P
()
Dans le cas d'essais de durée de vie en fatigue, I'Équation (3) indique à un niveau de confiance de 1 − α
qu’on peut s'attendre à ce que la durée de vie réelle à la probabilité de rupture, P, de la population soit plus
grande que la durée de vie minimale observée sur les n éprouvettes.
Le même principe peut s'appliquer au cas des données S-N car les écarts des données individuelles log durée
de vie à la courbe S-N moyenne sont considérés comme aléatoirement distribués. De plus, la variance est
supposée constante pour les différentes contraintes car la courbe S-N modèle est lissée par la méthode
ordinaire des moindres carrés dans beaucoup de cas.
Le Tableau 1 donne quelques chiffres typiques du nombre d'éprouvettes. Les nombres dans la colonne de
niveau de confiance de 95 % sont utilisés pour les besoins de conception basée sur la fiabilité, ceux à 50 %
de niveau de confiance pour des essais exploratoires et les autres pour des applications techniques
générales.
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Tableau 1 — Nombre d'éprouvettes requises pour que la valeur minimale des données d'essais
tombe en dessous de la valeur réelle de la population à un niveau donné
de probabilité de rupture à divers niveaux de confiance
Niveau de confiance, 1 − α (%)
Probabilité de rupture
50 90 95
a
P (%)
Nombre d'éprouvettes, n
50 1 3 4
10 7 22 28
5 13 45 58
1 69 229 298
a
Les nombres d’éprouvettes sont arrondis à l'entier le plus proche.
5.3 Attribution des éprouvettes pour les essais
Les éprouvettes prélevées à partir des matériaux d'essai doivent être attribuées à un essai individuel de
fatigue, en principe, de façon aléatoire pour minimiser des biais statistiques inattendus. Il convient aussi
d'attribuer de manière aléatoire le numéro d'essai pour chaque éprouvette dans le cas d'une série d'essais de
fatigue.
Lorsque plusieurs machines d'essai sont utilisées en parallèle, il convient de tester les éprouvettes sur
chaque machine en nombre égal ou proche et pour chacune avec un ordre aléatoire. Il convient de vérifier
l'équivalence des machines en termes d'aptitude.
Quand le programme d'essais inclut plusieurs séries d'essais indépendants, par exemple des essais à
différents niveaux de contrainte ou en différents matériaux à comparer, il convient de conduire chaque série
d'essais avec des vitesses de progression égales ou proches, si bien que tous les essais soient finis
approximativement au même moment.
Pour un nombre donné d'éprouvettes testées à plusieurs niveaux de contrainte, le nombre d'essais répétés
pour chaque contrainte affecte la confiance statistique de l'estimation de la variabilité des résultats. On trouve
en [6] des recommandations pour le rapport du nombre de niveaux de contrainte au nombre total
d'éprouvettes.
6 Estimation statistique de la durée de vie en fatigue pour une contrainte donnée
6.1 Essai de fatigue pour obtenir des données de durée de vie
Les essais de fatigue sont menés avec une contrainte donnée, S, sur un ensemble d'éprouvettes
soigneusement préparées pour déterminer des valeurs de durée de vie de chacune d'elles. Le nombre n
d'éprouvettes est obtenu en se référant au Tableau 1. Le nombre choisi dépend du but de l'essai et de la
disponibilité du matériau.
Il est recommandé un ensemble de sept éprouvettes dans la présente Norme internationale pour des essais
exploratoires. Pour des objectifs de fiabilité, toutefois, au moins 28 éprouvettes sont recommandées.
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ISO 12107:2003(F)
6.2 Tracé des données sur un papier de probabilité
Les données de durée de vie en fatigue, x = log N, pour n éprouvettes sont préparées pour un tracé en
probabilité en rangeant les données de la valeur minimale à la valeur maximale. Chacune est étiquetée avec
ème
un numéro d'ordre, i, comme x u x u . u x . La probabilité de rupture pour la i donnée est approchée
1 2 n
par
i− 0,3
P = (4)
i
n+ 0,4
Les paires de données ainsi arrangées, (x , P ), (x , P ), . , (x , P ), sont portées sur le papier de probabilité
1 1 2 2 n n
normale. Si une ligne droite s'ajuste raisonnablement sur tous les points de données, on en conclut que les
données suivent une distribution log-log.
Si les données ne s'alignent pas sur une ligne droite, il est recommandé d'essayer d'autres types de courbes.
[4]
Il peut être d'un grand secours dans ces situations d'utiliser un tracé sur le papier de probabilité de Weibull .
Quand le papier de probabilité log-log est utilisé, les données de la durée de vie, N , peuvent être reportées
i
directement sans les convertir en logarithmes.
La Figure 3 montre un exemple de papier de probabilité log-log.
Un exemple de tracé de données est montré en A.1.
ème
La probabilité de rupture pour la i donnée peut être approchée par d'autres équations. Une des variantes les
plus fréquemment choisies qui génère des résultats presque identiques quand n est suffisamment grand est
i
P =
i
n+ 1
6.3 Estimation des paramètres de distribution
Les paramètres définissant la distribution statistique de la durée de vie en fatigue, Équation (1), sont estimés
à partir de la courbe linéaire qui s'ajuste aux données.
On définit la valeur x correspondant à la probabilité de rupture P (%) qui peut être lue sur la courbe. La
(P)
moyenne, µ , et l'écart-type, σ , sont estimés à partir des deux valeurs, x et x , par
x x (
...
Questions, Comments and Discussion
Ask us and Technical Secretary will try to provide an answer. You can facilitate discussion about the standard in here.