ISO 11929-5:2005
(Main)Determination of the detection limit and decision threshold for ionizing radiation measurements — Part 5: Fundamentals and applications to counting measurements on filters during accumulation of radioactive material
Determination of the detection limit and decision threshold for ionizing radiation measurements — Part 5: Fundamentals and applications to counting measurements on filters during accumulation of radioactive material
ISO 11929-5:2004 specifies suitable statistical values which allow an assessment of the detection capabilities in ionizing radiation measurements and of the physical effect quantified by the measurand. For this purpose, Bayesian statistical methods are used to specify characteristic limits. ISO 11929-5:2004 deals with fundamentals and applications to counting measurements on filters during accumulation of radioactive material.
Détermination de la limite de détection et du seuil de décision des mesurages de rayonnements ionisants — Partie 5: Principes fondamentaux et leurs applications aux mesurages par comptage réalisés sur filtres lors d'une accumulation de radioactivité
L'ISO 11929-5:2005 spécifie des valeurs statistiques permettant une évaluation des capacités de détection des mesurages des rayonnements ionisants ainsi que du phénomène physique quantifié par le mesurande. Dans ce but, on utilise des méthodes statistiques Bayesiennes pour définir les limites caractéristiques. L'ISO 11929-5:2005 traite des principes fondamentaux et de leurs applications aux mesurages par comptage réalisés sur filtres lors d'une accumulation de radioactivité.
General Information
Relations
Buy Standard
Standards Content (Sample)
INTERNATIONAL ISO
STANDARD 11929-5
First edition
2005-02-15
Determination of the detection limit and
decision threshold for ionizing radiation
measurements —
Part 5:
Fundamentals and applications to
counting measurements on filters during
accumulation of radioactive material
Détermination de la limite de détection et du seuil de décision des
mesurages de rayonnements ionisants —
Partie 5: Principes fondamentaux et leurs applications aux mesurages
par comptage réalisés sur filtres lors d'une accumulation de
radioactivité
Reference number
ISO 11929-5:2005(E)
©
ISO 2005
---------------------- Page: 1 ----------------------
ISO 11929-5:2005(E)
PDF disclaimer
This PDF file may contain embedded typefaces. In accordance with Adobe's licensing policy, this file may be printed or viewed but
shall not be edited unless the typefaces which are embedded are licensed to and installed on the computer performing the editing. In
downloading this file, parties accept therein the responsibility of not infringing Adobe's licensing policy. The ISO Central Secretariat
accepts no liability in this area.
Adobe is a trademark of Adobe Systems Incorporated.
Details of the software products used to create this PDF file can be found in the General Info relative to the file; the PDF-creation
parameters were optimized for printing. Every care has been taken to ensure that the file is suitable for use by ISO member bodies. In
the unlikely event that a problem relating to it is found, please inform the Central Secretariat at the address given below.
© ISO 2005
All rights reserved. Unless otherwise specified, no part of this publication may be reproduced or utilized in any form or by any means,
electronic or mechanical, including photocopying and microfilm, without permission in writing from either ISO at the address below or
ISO's member body in the country of the requester.
ISO copyright office
Case postale 56 • CH-1211 Geneva 20
Tel. + 41 22 749 01 11
Fax + 41 22 749 09 47
E-mail copyright@iso.org
Web www.iso.org
Published in Switzerland
ii © ISO 2005 – All rights reserved
---------------------- Page: 2 ----------------------
ISO 11929-5:2005(E)
Contents Page
Foreword. iv
Introduction . v
1 Scope. 1
2 Normative references . 1
3 Terms and definitions. 1
4 Quantities and symbols. 3
5 Statistical values and confidence interval. 5
5.1 Principles . 5
5.1.1 General aspects . 5
5.1.2 Model. 6
5.2 Decision threshold. 9
5.2.1 Decision threshold for the measurement of concentration of radioactivity. 9
5.2.2 Decision threshold for the measurement of the variation of the concentration of
radioactivity . 9
5.3 Detection limit . 10
5.3.1 General. 10
5.3.2 Detection limit for the measurement of the concentration of radioactivity . 10
5.3.3 Detection limit for the measurement of the variation of the concentration of radioactivity . 10
5.4 Confidence limits . 10
6 Application of this part of ISO 11929 . 11
6.1 Specific values . 11
6.2 Assessment of a measuring method .11
6.3 Assessment of measured results. 11
6.4 Documentation . 11
7 Values of the distribution function of the standardized normal distribution . 12
Annex A (informative) Example of application of this part of ISO 11929. 14
Bibliography . 32
© ISO 2005 – All rights reserved iii
---------------------- Page: 3 ----------------------
ISO 11929-5:2005(E)
Foreword
ISO (the International Organization for Standardization) is a worldwide federation of national standards bodies
(ISO member bodies). The work of preparing International Standards is normally carried out through ISO
technical committees. Each member body interested in a subject for which a technical committee has been
established has the right to be represented on that committee. International organizations, governmental and
non-governmental, in liaison with ISO, also take part in the work. ISO collaborates closely with the
International Electrotechnical Commission (IEC) on all matters of electrotechnical standardization.
International Standards are drafted in accordance with the rules given in the ISO/IEC Directives, Part 2.
The main task of technical committees is to prepare International Standards. Draft International Standards
adopted by the technical committees are circulated to the member bodies for voting. Publication as an
International Standard requires approval by at least 75 % of the member bodies casting a vote.
Attention is drawn to the possibility that some of the elements of this document may be the subject of patent
rights. ISO shall not be held responsible for identifying any or all such patent rights.
ISO 11929-5 was prepared by Technical Committee ISO/TC 85, Nuclear energy, Subcommittee SC 2,
Radiation protection.
ISO 11929 consists of the following parts, under the general title Determination of the detection limit and
decision threshold for ionizing radiation measurements:
Part 1: Fundamentals and application to counting measurements without the influence of sample
treatment
Part 2: Fundamentals and application to counting measurements with the influence of sample treatment
Part 3: Fundamentals and application to counting measurements with high resolution gamma
spectrometry, without the influence of sample treatment
Part 4: Fundamentals and applications to measurements by use of linear-scale analogue ratemeters,
without the influence of sample treatment
Part 5: Fundamentals and applications to counting measurements on filters during accumulation of
radioactive material
Part 6: Fundamentals and applications to measurements by use of transient mode
Part 7: Fundamentals and general applications
Part 8: Fundamentals and applications to unfolding of spectrometric measurements without the influence
of sample treatment
iv © ISO 2005 – All rights reserved
---------------------- Page: 4 ----------------------
ISO 11929-5:2005(E)
Introduction
This part of ISO 11929 gives basic information on the statistical principles for the determination of the
detection limit, of the decision threshold and of the limits of the confidence interval for nuclear radiation
measurements when monitoring the concentration of aerosols in exhaust gas, air or waste water.
ISO 11929-1 and ISO 11929-2, respectively, deal with integral counting measurements with or without
consideration of the sample treatment. High-resolution spectrometric measurements are covered in
ISO 11929-3. ISO 11929-4 deals with measurements using linear-scale analogue ratemeters, ISO 11929-6
with measurements using a transient measuring mode, ISO 11929-7 with general applications and
ISO 11929-8 with unfolding of spectrometric measurements.
Whereas the earlier arts 1 to 4 were elaborated for special measuring tasks in nuclear radiation
[1] [2] [3]
measurements based on the principles defined by Altschuler and Pasternack , Nicholson , Currie , this
restriction does not apply to this part, or to parts 6 to 8. The determination of the characteristic limits
mentioned above is separated from the evaluation of the measurement. Consequently this part of ISO 11929
is generally applicable and can be applied to any suitable procedure for the evaluation of a measurement.
Since the uncertainty of measurement plays a fundamental role in this part of ISO 11929, evaluations of
measurements and the determination of the uncertainties of measurement have to be performed according to
the Guide for the expression of uncertainty in measurement.
This part, as well as parts 6, 7 and 8, of ISO 11929 is based on methods of Bayesian statistics part of
ISO 11929 [4] to [6] in the Bibliography in order to be able to account also for uncertain quantities and
influences which do not behave randomly in repeated or counting measurements.
For this purpose, Bayesian statistical methods are used to specify the following statistical values, called
“characteristic limit.”
The decision threshold, which allows a decision to be made for a measurement with a given probability of
error as to whether the result of the measurement indicates the presence of the physical effect quantified
by the measurand.
The detection limit, which specifies the minimum true value of the measurand which can be detected with
a given probability of error using the measuring procedure in question. This consequently allows a
decision to be made as to whether or not a measuring method checked using this part of ISO 11929
satisfies certain requirements and is consequently suitable for the given purpose of measurement.
The limits of the confidence interval, which define an interval which contains the true value of the
measurand with a given probability, in the case that the result of the measurement exceeds the decision
threshold.
This part of ISO 11929 concerns the monitoring of the volume concentration and of the increase or decrease
of the volume concentration of radioactive particles in exhaust air, gas or (waste) water by multiple counting
measurements during accumulation of the particles on a filter. It is assumed that dead-time losses are
negligible. Wherever activities, activity concentrations or specific activities are to be determined, it is assumed
that the factors for the conversion of pulse rates into activities, activity concentrations or specific activities
have to be determined with sufficient accuracy to ignore the influence of their uncertainty in the measurement.
The exhaust air, gas or water flow rate and the background are considered to be constant during the
measurements.
In counting measurements on filters during accumulation of radioactive material, the measurement in question
is evaluated with respect to two measurands:
the radioactivity per unit volume (activity concentration);
the variation of the radioactivity per unit volume (variation of activity concentration).
© ISO 2005 – All rights reserved v
---------------------- Page: 5 ----------------------
INTERNATIONAL STANDARD ISO 11929-5:2005(E)
Determination of the detection limit and decision threshold for
ionizing radiation measurements —
Part 5:
Fundamentals and applications to counting measurements on
filters during accumulation of radioactive material
1 Scope
This part of ISO 11929 specifies suitable statistical values which allow an assessment of the detection
capabilities in ionizing radiation measurements and of the physical effect quantified by the measurand. For
this purpose, Bayesian statistical methods are used to specify characteristic limits.
This part of ISO 11929 deals with fundamentals and applications to counting measurements on filters during
accumulation of radioactive material.
2 Normative references
The following referenced documents are indispensable for the application of this document. For dated
references, only the edition cited applies. For undated references, the latest edition of the referenced
document (including any amendments) applies.
ISO 11929-7:2005, Determination of the detection limit and decision threshold for ionizing radiation
measurements — Part 7: Fundamentals and general applications
BIPM/IEC/IFCC/ISO/IUPAC/OIML, Guide to the Expression of Uncertainty in Measurement, Geneva, 1993
3 Terms and definitions
For the purposes of this document, the following terms and definitions apply.
3.1
measuring method
any logical sequence of operations, described generically, used in the performance of measurements
NOTE 1 Adapted from the International Vocabulary of Basic and General Terms in Metrology:1993.
NOTE 2 A method as defined for the purpose of this part of ISO 11929 shall be an integral, a dual channel or a
spectrometric counting measurement under specified conditions during accumulation of particles on a filter.
3.2
measurand
particular quantity subject to measurement
[International Vocabulary of Basic and General Terms in Metrology:1993]
© ISO 2005 – All rights reserved 1
---------------------- Page: 6 ----------------------
ISO 11929-5:2005(E)
NOTE 1 Measurand in this part of ISO 11929 is non-negative and quantifies a nuclear radiation effect. The effect is not
present if the value of the measurand is zero.
NOTE 2 In this standard, two measurands are distinguished, namely the radioactivity per unit volume (activity
concentration) and the variation of the radioactivity per unit volume (variation of the activity concentration). For both
measurands the characteristic limits are specified.
3.3
uncertainty (of measurement)
parameter, associated with the result of a measurement, that characterizes the dispersion of the values that
could reasonably be attributed to the measurand
[Guide for the Expression of Uncertainty in Measurement:1993]
NOTE The uncertainty of a measurement derived according to the Guide for the Expression of Uncertainty in
Measurement comprises, in general, many components. Some of these components may be evaluated from the statistical
distribution of the results of series of measurements and can be characterized by experimental standard deviations. The
other components, which also can be characterized by standard deviations, are evaluated from assumed or known
probability distributions based on experience and other information.
3.4
mathematical model of the evaluation
a set of mathematical relationships between all measured and other quantities involved in the evaluation of
the measurement
3.5
decision quantity
random variable for the decision whether or not the physical effect to be measured is present
3.6
series of measurements
number of independent measurement cycles following one another giving information about the volume
concentration of radioactivity and about the trend of the results versus time.
NOTE Each new result will be checked to decide whether it is in the trend or it is significantly different from the
expected value.
3.7
decision threshold
fixed value of the decision quantity by which, when exceeded by the result of an actual measurement of a
measurand quantifying a physical effect, one decides that the physical effect is present
NOTE The decision threshold is the critical value of a statistical test to decide between the hypothesis that the
physical effect is not present and the alternative hypothesis that it is present. When the critical value is exceeded by the
result of an actual measurement this is taken to indicate that the hypothesis should be rejected. The statistical test will be
designed such that the probability of wrongly rejecting the hypothesis (error of the first kind) is equal at most to a given
value α.
3.8
detection limit
smallest true value of the measurand which is detectable by the measuring method
NOTE 1 The detection limit is the smallest true value of the measurand which is associated with the statistical test and
hypotheses according to 3.7 by the following characteristics: if in reality the true value is equal to or exceeds the detection
limit, the probability of wrongly not rejecting the hypothesis (error of the second kind) will be at most equal to a given
value β.
NOTE 2 The difference between using the decision threshold and using the detection limit is that measured values are
to be compared with the decision threshold, whereas the detection limit is to be compared with the guideline value.
3.9
confidence limits
values which define confidence intervals to be specified for the measurand in question which, if the result
exceeds the decision threshold, includes the true value of the measurand with the given probability (1− γ )
2 © ISO 2005 – All rights reserved
---------------------- Page: 7 ----------------------
ISO 11929-5:2005(E)
3.10
sample
radioactive material accumulated on a filter absorbed from the whole amount of exhausted gas, air or water or
an aliquot of it in a bypass and measured in a particular cycle
3.11
background counting rate
measured counting rate without radioactivity of interest
NOTE This is the counting rate caused by external sources, and radioactivity in detector and shielding and detector
noise.
3.12
gross counting rate
measured counting rate due to both the radioactivity on the filter (sample contribution) and the background
counting rate
3.13
net counting rate(1)
difference between the gross counting rate of the first measuring cycle and the background counting rate
3.14
net counting rate(2)
difference between the gross counting rates of two consecutive measurements
3.15
guideline value
value which corresponds to scientific, legal or other requirements for which the measuring procedure is
intended to assess
EXAMPLE Activity, specific activity or activity concentration, surface activity, or dose rate
4 Quantities and symbols
ˆ
ξ Random variable as an estimator for a non-negative measurand quantifying a physical effect
ˆ
ξ Value of the estimatorξ ; true value of the measurand
X Random variable as decision quantity; estimator of the measurand
x Result of a measurement of the decision quantity X
u(x) Standard uncertainty of the measurand associated with the measured result x of a measurement
u()ξ Standard uncertainty of the decision quantity X as a function of the true value ξ of the measurand
z Best estimate of the measurand
u(z) Standard uncertainty of the measurand associated with the best estimate z
x* Decision threshold for the measurand
ξ* Detection limit for the measurand
ξ , ξ Respectively the lower and upper limit of the confidence interval for the measurand
l u
α Probability of the error of the first kind; the probability of rejecting the hypothesis if it is true
© ISO 2005 – All rights reserved 3
---------------------- Page: 8 ----------------------
ISO 11929-5:2005(E)
β Probability of the error of the second kind; the probability of accepting the hypothesis if it is false
1 − γ Probability attributed to the confidence interval of the measurand; probability that the true value of
the measurand is included by the confidence interval
k Quantiles of the standardized normal distribution for the probability p (see Table 1); p = 1 − α, 1 − β,
p
1 − γ/2
Y Output quantity Y derived from the measured results; (k = 1, ., n)
k k
y Estimate of an output quantity Y ; (k = 1, ., n)
k k
u(y ) Standard uncertainty associated with y
k k
G Function of the input quantities X ; (i = 1, ., m); model of the evaluation
k i
X Input quantities; (i = 1, …, m)
i
x Estimate of an input quantity; (i = 1, …, m)
i
u(x , x) Covariance associated with x and x ; (i, j = 1, …, m)
i j i j
E Operator for the formation of the expectation of a random variable
Var Operator for the formation of the variance of a random variable
κ Parameter
A Activity concentration
V
α True value of the activity concentration
V
A* Decision threshold of the activity concentration
V
α* Detection limit of the activity concentration
V
∆A Variation of the activity concentration
V
∆α True value of the variation of the activity concentration
V
∆A* Decision threshold of the variation of the activity concentration
V
∆α* Detection limit of the variation of the activity concentration
V
N Gross number of events counted in the i-th measuring cycle of duration t
g,i
t Duration of each measurement cycle
R Gross counting rate during i-th measuring cycle
g,i
ε Detection efficiency
V Volume of gas or water passing the filter during a measuring cycle
R Background count rate during the first measuring cycle
0
R Net counting rate, difference of gross counting rate of measuring cycles i and i−1; R = R − R
n,i n,i g,i g,i−1
Mean net counting rate averaged over k measuring cycles preceding the i-th measuring cycle
R
n, i
4 © ISO 2005 – All rights reserved
---------------------- Page: 9 ----------------------
ISO 11929-5:2005(E)
A Activity collected on the filter during the i-th measuring cycle
i
A Average activity collected during k measuring cycles
Φ(t) Distribution function of the standardized normal distribution
ϕ()z Standardized normal distribution
5 Statistical values and confidence interval
5.1 Principles
5.1.1 General aspects
For a particular task involving nuclear radiation measurements, first the particular physical effect which is the
objective of the measurement has to be described. Then a non-negative measurand has to be defined which
quantifies the physical effect and which assumes the value zero if the effect is not present in an actual case.
A random variable, called a decision quantity X, has to be attributed to the measurand. It is also an estimator
of the measurand. It is required that the expectation value EX of the decision quantity X equals the true value
ξ of the measurand. A value x of the estimator X derived from measurements is a primary estimate of the
measurand. The primary estimate x of the measurand, and its associated standard uncertainty u(x), have to be
calculated as the primary complete result of the measurement, according to the Guide for the Expression of
Uncertainty in Measurement, by evaluation of measured quantities and of other information using a
mathematical model of the evaluation which takes into account all relevant quantities. Generally, the fact that
the measurand is non-negative will not be explicitly made use of. Therefore, x may become negative, in
particular, if the true value of the measurand is close to zero.
NOTE The model of the evaluation of the measurement need not necessarily be given in the form of explicit
mathematical formulas. It can also be represented by an algorithm or a computer code [see Equation (2)].
For the determination of the decision threshold and the detection limit, the standard uncertainty of the decision
quantity has to be calculated, if possible, as a function u()ξ of the true value ξ of the measurand. In the case
that this is not possible, approximate solutions are described below.
ˆ ˆ
ξ is the value of another, non-negative estimator ξ of the measurand. The estimator ξ, in contrast to X,
makes use of the knowledge that the measurand is non-negative. The limits of the confidence interval to be
ˆ
determined refer to this estimator ξ (compare 5.4). Besides the limits of the confidence interval, the
ˆ
expectation value Eξ of this estimator as best estimate z of the measurand, and the standard deviation
1/ 2
ˆ
[Var (ξ)] as a the standard uncertainty u(z) associated with the best estimate z of the measurand, have to
be calculated (see 6.3).
For the numerical calculation of the decision threshold and the detection limit, the function u()ξ is needed,
which is the standard uncertainty of the decision quantity X as a function of the true value ξ of the measurand.
The function u(ξ) generally has to be determined by the user of this part of ISO 11929, in the course of the
evaluation of the measurement according to the Guide for the Expression of Uncertainty in Measurement. For
examples see Annex A. This function is often only slowly increasing. Therefore, it is justified in many cases to
use the approximation uu()ξ = (x).This applies, in particular, if the primary estimate x of the measurand is not
much larger than its standard uncertainty u(x) associated with x. If the value x is calculated as the difference
(net effect) of two approximately equal values y and y obtained from independent measurements, that is
1 0
22 2
x = y − y , one gets uu()ξ=+(y )u (y ) with the standard uncertainties u(y ) and u(y ) associated with y
1 0 10 1 0 1
and y , respectively.
0
© ISO 2005 – All rights reserved 5
---------------------- Page: 10 ----------------------
ISO 11929-5:2005(E)
If only u(0) and u(x) are known, an approximation by linear interpolation is often sufficient for x > 0 according
to:
22 2
()ξξ (= 0) ⋅− (1 / x )+ (x )⋅ ξ / x (1)
uu u
2
NOTE In many practical cases, u ()ξ is a slowly increasing linear function of ξ. This justifies the approximations
2
above, in particular, the linear interpolation of u ()ξ instead of u()ξ itself.
For setting up the mathematical model of the evaluation of the measurement, one has to distinguish two types
of physical quantities, input and output quantities. The output quantities Y (k = 1, ., n) are viewed as
k
measurands (for example, the parameters of an unfolding or fitting procedure) which have to be determined
by the evaluation of a measurement. The decision quantity X is one of them. They depend on the input
quantities x (i = 1, ., m) which are the quantities obtained by repeated measurements, influence quantities
i
and results of previous measurements and evaluations. (Compare chapter 4.1.2 of the ISO Guide for the
Expression of Uncertainty in Measurement:1993.) One has to calculate the estimates y of the output
k
quantities (measurands) as the results of the measurement and the standard uncertainties u(y ) associated
k
with y .
k
The model of the evaluation is given by a set of functional relationships:
Y=G (x , .,X ); (x= 1, .,n) (2)
kk 1 m
Estimates of the measurands Y , denoted y , are obtained from Equation (2) using input estimates x , ., x for
k k 1 m
the values of the m quantities X , ., X . Thus, the output estimates y and the standard uncertainties u(y )
1 m k k
associated with y are given by
k
y=G (x , .,x ); (k= 1, .,n) (3)
kk 1 m
m
∂∂
GG
kl
u (,yy)= ⋅⋅ u( , );(k, l =1,., n) (4)
xx
ij
kl ∑
∂∂
XX
ij
ij,1=
where x and x are the estimates of X and X and u(x , x ) = u(x , x ) are the estimated covariances associated
i j i j i j j i
with x and x . The standard uncertainty u(y ) is given by:
i j k
2
()yy= u ( , y) (5)
u
kkk
In cases when the partial derivatives are not explicitly available, they can be numerically approximated in a
sufficiently exact way using the standard uncertainty u(x ) as an increment of x by
k k
∂ 1
G
k
≈− ,., + u( ) 2/ ,., ,., −u( ) / 2,., (6)
{}Gx x x x G x x x x
ki11i m k i i m
∂ u ()
X x
i i
5.1.2 Model
When evaluating any measurements of filters during accumulation of radioactive material, an output quantity Y
will be calculated from input data X using the general model
i
Y = G(X , ., X ) (7)
1 n
The general model of Equation (7) will be specified in this part of ISO 11929. Determine the values of two
measurands:
a) the concentration of radioactivity per unit volume of gas or liquid A ; and
V
b) the variation of the concentration of radioactivity per unit volume of gas or liquid ∆A .
V
6 © ISO 2005 – All rights reserved
---------------------- Page: 11 ----------------------
ISO 11929-5:2005(E)
The measurements are performed as follows. A volume V of a gas or liquid is flowing through a filter during a
time t. During the accumulation of radioactive materials on the filter, cyclic counting measurements are
performed. Each measuring cycle i has a duration t during which a gross number of events N is counted.
g,i
The values of both measurands A and ∆A are to be determined from these measurements taking into
V V
account a calibration factor ε. For the sak
...
NORME ISO
INTERNATIONALE 11929-5
Première édition
2005-02-15
Détermination de la limite de détection et
du seuil de décision des mesurages de
rayonnements ionisants —
Partie 5:
Principes fondamentaux et leurs
applications aux mesurages par
comptage réalisés sur filtres lors d'une
accumulation de radioactivité
Determination of the detection limit and decision threshold for ionizing
radiation measurements —
Part 5: Fundamentals and applications to counting measurements on
filters during accumulation of radioactive material
Numéro de référence
ISO 11929-5:2005(F)
©
ISO 2005
---------------------- Page: 1 ----------------------
ISO 11929-5:2005(F)
PDF – Exonération de responsabilité
Le présent fichier PDF peut contenir des polices de caractères intégrées. Conformément aux conditions de licence d'Adobe, ce fichier
peut être imprimé ou visualisé, mais ne doit pas être modifié à moins que l'ordinateur employé à cet effet ne bénéficie d'une licence
autorisant l'utilisation de ces polices et que celles-ci y soient installées. Lors du téléchargement de ce fichier, les parties concernées
acceptent de fait la responsabilité de ne pas enfreindre les conditions de licence d'Adobe. Le Secrétariat central de l'ISO décline toute
responsabilité en la matière.
Adobe est une marque déposée d'Adobe Systems Incorporated.
Les détails relatifs aux produits logiciels utilisés pour la création du présent fichier PDF sont disponibles dans la rubrique General Info
du fichier; les paramètres de création PDF ont été optimisés pour l'impression. Toutes les mesures ont été prises pour garantir
l'exploitation de ce fichier par les comités membres de l'ISO. Dans le cas peu probable où surviendrait un problème d'utilisation,
veuillez en informer le Secrétariat central à l'adresse donnée ci-dessous.
© ISO 2005
Droits de reproduction réservés. Sauf prescription différente, aucune partie de cette publication ne peut être reproduite ni utilisée sous
quelque forme que ce soit et par aucun procédé, électronique ou mécanique, y compris la photocopie et les microfilms, sans l'accord écrit
de l'ISO à l'adresse ci-après ou du comité membre de l'ISO dans le pays du demandeur.
ISO copyright office
Case postale 56 • CH-1211 Geneva 20
Tel. + 41 22 749 01 11
Fax. + 41 22 749 09 47
E-mail copyright@iso.org
Web www.iso.org
Publié en Suisse
ii © ISO 2005 – Tous droits réservés
---------------------- Page: 2 ----------------------
ISO 11929-5:2005(F)
Sommaire Page
Avant-propos. iv
Introduction . v
1 Domaine d'application. 1
2 Références normatives. 1
3 Termes et définitions . 1
4 Quantités et symboles. 3
5 Valeurs statistiques et intervalle de confiance. 5
5.1 Principes . 5
5.1.1 Généralités. 5
5.1.2 Modèle. 6
5.2 Seuil de décision. 9
5.2.1 Seuil de décision de la mesure de l'activité volumique. 9
5.2.2 Seuil de décision de la mesure de la variation de l'activité volumique. 9
5.3 Limite de détection . 10
5.3.1 Généralités. 10
5.3.2 Limite de détection de la mesure de l'activité volumique. 10
5.3.3 Limite de détection de la mesure de la variation de l'activité volumique . 10
5.4 Limites de confiance. 10
6 Application de la présente partie de l'ISO 11929 . 11
6.1 Valeurs spécifiques . 11
6.2 Évaluation d'une méthode de mesure .11
6.3 Évaluation des résultats de mesure. 11
6.4 Documentation . 11
7 Valeurs de la fonction de distribution de la distribution normale standard . 12
Annexe A (informative) Exemple d'application de la présente partie de l'ISO 11929. 14
Bibliographie . 32
© ISO 2005 – Tous droits réservés iii
---------------------- Page: 3 ----------------------
ISO 11929-5:2005(F)
Avant-propos
L'ISO (Organisation internationale de normalisation) est une fédération mondiale d'organismes nationaux de
normalisation (comités membres de l'ISO). L'élaboration des Normes internationales est en général confiée
aux comités techniques de l'ISO. Chaque comité membre intéressé par une étude a le droit de faire partie du
comité technique créé à cet effet. Les organisations internationales, gouvernementales et non
gouvernementales, en liaison avec l'ISO participent également aux travaux. L'ISO collabore étroitement avec
la Commission électrotechnique internationale (CEI) en ce qui concerne la normalisation électrotechnique.
Les Normes internationales sont rédigées conformément aux règles données dans les Directives ISO/CEI,
Partie 2.
La tâche principale des comités techniques est d'élaborer les Normes internationales. Les projets de Normes
internationales adoptés par les comités techniques sont soumis aux comités membres pour vote. Leur
publication comme Normes internationales requiert l'approbation de 75 % au moins des comités membres
votants.
L'attention est appelée sur le fait que certains des éléments du présent document peuvent faire l'objet de
droits de propriété intellectuelle ou de droits analogues. L'ISO ne saurait être tenue pour responsable de ne
pas avoir identifié de tels droits de propriété et averti de leur existence.
L'ISO 11929-5 a été élaborée par le comité technique ISO/TC 85, Énergie nucléaire, sous-comité SC 2,
Radioprotection.
L'ISO 11929 comprend les parties suivantes, présentées sous le titre général Détermination de la limite de
détection et du seuil de décision des mesurages de rayonnements ionisants:
Partie 1: Principes fondamentaux et application aux mesurages par comptage, sans l'influence du
traitement de l'échantillon
Partie 2: Principes fondamentaux et application aux mesurages par comptage, avec l'influence du
traitement d'échantillon
Partie 3: Principes fondamentaux et application aux mesurages par comptage, par spectrométrie gamma
haute résolution, sans l'influence du traitement d'échantillon
Partie 4: Principes fondamentaux et leur application aux mesurages réalisés à l'aide d'ictomètres
analogiques à échelle linéaire, sans l'influence du traitement d'échantillon
Partie 5: Principes fondamentaux et leurs applications aux mesurages par comptage réalisés sur filtres
lors d'une accumulation de radioactivité
Partie 6: Principes fondamentaux et leurs applications aux mesurages réalisés en mode transitoire
Partie 7: Principes fondamentaux et leurs applications générales
Partie 8: Principes fondamentaux et leur application à la déconvolution des spectres des mesurages de
rayonnements ionisants négligeant l'influence de la préparation d'un échantillon
iv © ISO 2005 – Tous droits réservés
---------------------- Page: 4 ----------------------
ISO 11929-5:2005(F)
Introduction
La présente partie de l'ISO 11929 donne les informations de base concernant les principes statistiques pour
la détermination de la limite de détection, du seuil de décision et des limites de l'intervalle de confiance pour
des mesurages des rayonnements ionisants concernant la surveillance de la concentration en aérosols lors
des rejets de gaz, d'air ou d'effluents liquides.
L'ISO 11929-1 et l'ISO 11929-2 traitent, respectivement, de l'ensemble des mesurages par comptage avec ou
sans l'influence du traitement de l'échantillon. Les mesurages par spectrométrie à haute résolution sont traités
dans l'ISO 11929-3. L'ISO 11929-4 traite des mesurages utilisant les ictomètres à échelle linéaire,
l'ISO 11929-6 des mesurages réalisés en mode transitoire, l'ISO 11929-7 des applications générales et
l'ISO 11929-8 de la déconvolution des mesurages par spectrométrie.
Alors que les précédentes parties 1 à 4 étaient élaborées pour des mesurages spécifiques de rayonnements
[1] [2] [3]
nucléaires basés sur les principes définis par Altschuler et Pasternack , Nicholson , Currie , cette
restriction ne s'applique pas à la présente partie ni aux parties 6 à 8. La détermination des limites
caractéristiques mentionnées plus haut est séparée de l'évaluation du mesurage. Par conséquent la présente
partie de l'ISO 11929 est généralement applicable et peut être appliquée pour toute procédure appropriée
d'évaluation de mesurage. Puisque les incertitudes de mesure jouent un rôle fondamental dans la présente
partie de l'ISO 11929, l'évaluation des mesurages et la détermination des incertitudes de mesure doivent être
mises en œuvre conformément au Guide pour l'expression des incertitudes de mesure.
La présente partie de l'ISO 11929, ainsi que les parties 6, 7 et 8 de l'ISO 11929 sont basées sur les méthodes
statistiques Bayesiennes (voir [4] à [6] dans la Bibliographie) afin de pouvoir tenir compte de quantités
incertaines et d'influences qui ne se comportent pas de manière aléatoire lors de mesurages répétés ou par
comptage.
À cet effet, les méthodes statistiques Bayesiennes sont utilisées pour spécifier les valeurs statistiques
suivantes, appelées limites caractéristiques.
Le seuil de décision, qui permet de prendre une décision pour un mesurage, avec une probabilité d'erreur
donnée de décider que le résultat de mesurage indique la présence d'un effet physique quantifié par le
mesurande.
La limite de détection, qui spécifie la valeur minimale du mesurande qui peut être détectée avec une
probabilité d'erreur donnée lors de l'utilisation de la procédure de mesurage en question. Par conséquent
cela permet, au moyen de la présente partie de l'ISO 11929, de décider si une méthode de mesure
satisfait à certaines exigences et est par conséquent adaptée à l'objectif fixé du mesurage.
Les limites de l'intervalle de confiance, définissant un intervalle contenant la vraie valeur du mesurande
avec une probabilité donnée dans le cas où le résultat de mesurage dépasserait le seuil de décision.
La présente partie de l'ISO 11929 concerne la surveillance de la concentration volumique ainsi que la
variation de la concentration volumique de particules radioactives lors des rejets de gaz, d'air ou d'eau par
comptages successifs lors de l'accumulation de particules sur un filtre. On suppose que les pertes de
comptages par temps mort sont négligeables. On suppose aussi que quel que soit l'objet de la mesure,
activité, activité volumique ou spécifique, les facteurs de conversion des taux de comptage en activité, activité
volumique ou spécifique sont mesurés avec suffisamment d'exactitude que l'influence de leur incertitude sur
la mesure est négligeable. Les débits de rejets de gaz, d'air ou d'eau ainsi que le bruit de fond sont
considérés comme constants durant les mesurages.
Les mesurages par comptage sur filtres lors de l'accumulation de particules radioactives sur un filtre sont
évalués selon deux mesurandes:
la radioactivité par unité de volume (activité volumique);
la variation de la radioactivité par unité de volume (variation de l'activité volumique).
© ISO 2005 – Tous droits réservés v
---------------------- Page: 5 ----------------------
NORME INTERNATIONALE ISO 11929-5:2005(F)
Détermination de la limite de détection et du seuil de décision
des mesurages de rayonnements ionisants —
Partie 5:
Principes fondamentaux et leurs applications aux mesurages
par comptage réalisés sur filtres lors d'une accumulation de
radioactivité
1 Domaine d'application
La présente partie de l'ISO 11929 spécifie des valeurs statistiques permettant une évaluation des capacités
de détection des mesurages des rayonnements ionisants ainsi que du phénomène physique quantifié par le
mesurande. Dans ce but, on utilise des méthodes statistiques Bayesiennes pour définir les limites
caractéristiques.
La présente partie de l'ISO 11929 traite des principes fondamentaux et de leurs applications aux mesurages
par comptage réalisés sur filtres lors d'une accumulation de radioactivité.
2 Références normatives
Les documents de référence suivants sont indispensables pour l'application du présent document. Pour les
références datées, seule l'édition citée s'applique. Pour les références non datées, la dernière édition du
document de référence s'applique (y compris les éventuels amendements).
ISO 11929-7:2005, Détermination de la limite de détection et du seuil de décision des mesurages de
rayonnements ionisants — Partie 7: Principes fondamentaux et leurs applications générales
Guide pour l'expression de l'incertitude de mesure, BIPM/CEI/FICC/ISO/OIML/UICPA/UIPPA, Genève, 1995
3 Termes et définitions
Pour les besoins du présent document, les termes et définitions suivants s'appliquent.
3.1
méthode de mesure
toute séquence logique d'opérations décrites génériquement, utilisées lors de l'accomplissement des
mesurages
NOTE 1 Adapté du Vocabulaire international des termes fondamentaux et généraux de métrologie:1993.
NOTE 2 Une méthode définie dans le cadre de la présente partie de l'ISO 11929 doit être une méthode de mesure par
comptage intégré, par comptage double canal ou par comptage spectrométrique dans des conditions particulières lors de
l'accumulation de particules sur un papier filtre.
3.2
mesurande
grandeur particulière soumise à mesurage
© ISO 2005 – Tous droits réservés 1
---------------------- Page: 6 ----------------------
ISO 11929-5:2005(F)
NOTE 1 Adapté du Vocabulaire international des termes fondamentaux et généraux de métrologie:1993.
NOTE 2 Dans la présente partie de l'ISO 11929, un mesurande prend une valeur non négative et quantifie un effet de
rayonnement nucléaire. L'effet n'est pas présent si la valeur du mesurande est égale à zéro.
NOTE 3 Dans la présente partie de l'ISO 11929, deux mesurandes sont à distinguer, la radioactivité par unité de
volume (activité volumique) et la variation de la radioactivité par unité de volume (variation de l'activité volumique). Pour
ces deux mesurandes, les limites caractéristiques sont spécifiées.
3.3
incertitude (de mesure)
paramètre associé au résultat de mesure qui caractérise la dispersion des valeurs qui peuvent être
raisonnablement attribuées au mesurande
NOTE 1 Adapté du Guide pour l'expression de l'incertitude de mesure:1995.
NOTE 2 L'incertitude de mesure selon le Guide pour l'expression de l'incertitude de mesure comprend en général
plusieurs composantes. Certaines de ces composantes peuvent être évaluées d'après les distributions statistiques des
résultats issus de séries de mesurages et peuvent être caractérisées par des déviations standards expérimentales. Les
autres composantes, qui peuvent aussi être caractérisées par des déviations standards, sont évaluées d'après des
distributions de probabilités supposées ou connues, basées sur l'expérience et sur d'autres informations.
3.4
modèle mathématique d'évaluation
un ensemble de relations mathématiques entre toutes les quantités mesurées et les autres qui sont
impliquées dans l'évaluation de la mesure
3.5
quantité de décision
variable aléatoire permettant de décider si le phénomène physique mesuré est présent ou non
3.6
séries de mesurages
nombre de cycles de mesurage indépendants et successifs donnant des informations sur l'activité volumique
et sur la tendance des résultats en fonction du temps
NOTE Chaque nouveau résultat sera vérifié afin de vérifier s'il est dans la tendance ou s'il diffère de la valeur
attendue.
3.7
seuil de décision
valeur fixée de la quantité de décision telle que, quand le résultat de mesure d'un mesurande quantifiant le
phénomène physique lui est supérieur, on décide que le phénomène physique est présent
NOTE Le seuil de décision est la valeur critique d'un test statistique pour décider entre l'hypothèse que le
phénomène physique n'est pas présent et l'hypothèse alternative qu'il est présent. Quand le résultat de mesure dépasse
cette valeur critique, cela indique que l'hypothèse devrait être rejetée. Ce test statistique sera tel que la probabilité de
rejeter à tort l'hypothèse (erreur de première espèce) est égale à une valeur donnée α.
3.8
limite de détection
la plus petite valeur vraie du mesurande qui est détectable par la méthode de mesure
NOTE 1 La limite de détection est la plus petite valeur du mesurande qui est associée au test statistique et aux
hypothèses conformément à 3.7 selon les caractéristiques suivantes: si en réalité la vraie valeur est égale ou est
supérieure à la limite de détection, la probabilité de ne pas rejeter à tort l'hypothèse (erreur de deuxième espèce) sera au
plus égale à une valeur donnée β.
NOTE 2 La différence entre l'utilisation du seuil de décision et de la limite de détection réside dans le fait que les
valeurs mesurées doivent être comparées au seuil de décision, alors que la limite de détection doit être comparée à la
valeur de référence.
2 © ISO 2005 – Tous droits réservés
---------------------- Page: 7 ----------------------
ISO 11929-5:2005(F)
3.9
limites de confiance
valeurs qui définissent les intervalles de confiance à spécifier pour le mesurande en question, qui, si le
résultat est supérieur au seuil de décision, comprend la vraie valeur du mesurande pour une probabilité
donnée (1 − γ)
3.10
échantillon
matière radioactive absorbée sur un filtre provenant d'une quantité totale rejetée de gaz, d'air, d'eau ou
seulement d'une aliquote au travers d'une dérivation et mesurée pour un cycle particulier
3.11
taux de comptage du bruit de fond
taux de comptage mesuré en l'absence de radioactivité faisant l'objet de la mesure
NOTE C'est le taux de comptage dû aux sources externes, à la radioactivité contenue dans le détecteur et sa
protection et le détecteur de bruit.
3.12
taux de comptage brut
taux de comptage mesuré provenant de la radioactivité présente sur le filtre (contribution de l'échantillon) et
du bruit de fond
3.13
taux de comptage net (1)
la différence entre le taux de comptage brut du premier cycle de mesure et du bruit de fond
3.14
taux de comptage net (2)
la différence entre les taux de comptage brut de deux cycles de mesures successifs
3.15
valeur de référence
valeur qui correspond aux exigences scientifiques, légales ou autres dont la procédure de mesure est
destinée à évaluer
EXEMPLE une activité, une activité spécifique ou une concentration d'activité, une activité surfacique, ou un débit de
dose.
4 Quantités et symboles
ˆ
ξ Variable aléatoire, estimateur d'un mesurande non négatif quantifiant un phénomène physique
ˆ
ξ Valeur de l'estimateur ξ ; vraie valeur du mesurande
X Variable aléatoire comme quantité de décision; estimateur du mesurande
x Résultat de mesure de la quantité de décision X
u(x) Incertitude standard du mesurande associée au résultat du mesurage x
u()ξ Incertitude standard de la quantité de décision X comme fonction de la vraie valeur ξ du mesurande
z Meilleure estimation du mesurande
u(z) Incertitude standard du mesurande associée à la meilleure estimation z
x* Seuil de décision du mesurande
ξ * Limite de détection du mesurande
© ISO 2005 – Tous droits réservés 3
---------------------- Page: 8 ----------------------
ISO 11929-5:2005(F)
ξ , ξ Respectivement la limite basse et haute de l'intervalle de confiance du mesurande
l u
α Probabilité d'erreur de première espèce; la probabilité de rejeter l'hypothèse si elle est vraie
β Probabilité d'erreur de deuxième espèce; la probabilité d'accepter l'hypothèse si elle est fausse
1 − γ Probabilité attribuée à l'intervalle de confiance du mesurande; probabilité pour que la vraie valeur du
mesurande soit comprise dans cet intervalle de confiance
k Quantiles d'une distribution normale standard pour une probabilité p (voir Tableau 1); p = 1 − α,
p
1 − β, 1 − γ/2
Y Quantité de sortie Y dérivée des résultats mesurés; (k = 1, ., n)
k k
y Estimateur de la quantité de sortie Y ; (k = 1, ., n)
k k
u(y ) Incertitude standard associée à y
k k
G Fonction de la quantité d'entrée X ; (i = 1, ., m); modèle de l'évaluation (k = 1, ., n)
k i
X Quantité d'entrée (i = 1, ., m)
i
x Estimateur de la quantité d'entrée (i = 1, ., m)
i
u(x , x ) Covariance associée à x et x (i, j = 1, ., m)
i j i j
E Opérateur pour la formation de l'espérance de la variable aléatoire
Var Opérateur pour la formation de la variance de la variable aléatoire
κ Paramètre
A Activité volumique
V
α Vraie valeur de l'activité volumique
V
A* Seuil de décision de l'activité volumique
V
α* Limite de détection de l'activité volumique
V
∆A Variation de l'activité volumique
V
∆α Vraie valeur de la variation de l'activité volumique
V
∆A* Seuil de décision de la variation de l'activité volumique
V
∆α* Limite de détection de la variation de l'activité volumique
V
N Nombre brut d'événements comptés dans le i-ème cycle de mesure de durée t
g,i
t Durée de chaque cycle de mesure
R Taux de comptage brut mesuré pendant le i-ème cycle
g,i
ε Rendement de détection
V Volume de gaz ou d'eau passant au travers du filtre pendant un cycle de mesure
R Taux de comptage du bruit de fond pendant le premier cycle de mesure
0
R Taux de comptage net, différence des taux de comptage brut entre le cycle de mesure i et i − 1;
n,i
R = R − R
n,i g,i g,i−1
4 © ISO 2005 – Tous droits réservés
---------------------- Page: 9 ----------------------
ISO 11929-5:2005(F)
Moyenne des taux de comptage net sur k cycles de mesure précédant le i-ème cycle de mesure
R
n, i
A Activité collectée sur le filtre pendant le i-ème cycle de mesure
i
A Activité moyenne collectée pendant k cycles de mesure
Φ(t) Fonction de distribution de la distribution normale standard
ϕ()z Distribution normale standard
5 Valeurs statistiques et intervalle de confiance
5.1 Principes
5.1.1 Généralités
Pour une tâche particulière mettant en jeu des mesures de rayonnements nucléaires, le phénomène physique
particulier qui est l'objectif de la mesure doit être décrit en premier. Puis, un mesurande non négatif qui
quantifie le phénomène physique doit être défini, en prenant la valeur zéro, dans un cas réel, si le phénomène
n'est pas présent.
Une variable aléatoire appelée quantité de décision X doit être attribuée au mesurande. C'est aussi un
estimateur du mesurande. Il faut que l'espérance EX de la quantité de décision X soit égale à la vraie valeur ξ
du mesurande. Une valeur x, de l'estimateur X, provenant des mesures est une estimation primaire du
mesurande. L'estimation primaire x du mesurande et son incertitude standard associée u(x) doit être calculée
comme un résultat primaire complet de la mesure, selon le Guide pour l'expression de l'incertitude de mesure,
par l'évaluation des quantités mesurées et d'autres informations utilisant un modèle mathématique de
l'évaluation qui tient compte de toutes les quantités pertinentes. Généralement, on ne tient pas compte du fait
que le mesurande est non négatif. Alors, x peut prendre des valeurs négatives, en particulier si la vraie valeur
du mesurande est proche de zéro.
NOTE Le modèle d'évaluation de la mesure n'a pas besoin, nécessairement, d'être donné sous la forme de formules
mathématiques explicites. Il peut aussi être représenté par un algorithme ou un code de calcul [voir l'Équation (2)].
Pour la détermination du seuil de décision et de la limite de détection, l'incertitude standard de la quantité de
décision doit être calculée, si possible, comme une fonction u(ξ) de la vraie valeur ξ du mesurande. Quand
ce n'est pas possible, des solutions approximatives sont décrites plus bas. ξ est la valeur d'un autre
ˆ ˆ
estimateur non négatif ξ du mesurande. L'estimateur ξ, par contraste avec X, utilise le fait que le mesurande
ˆ
est non négatif. Les limites de l'intervalle de confiance à déterminer se rapportent à cet estimateur ξ (5.4). En
ˆ
outre, les limites de l'intervalle de confiance, l'espérance Eξ de cet estimateur comme meilleure estimation z
1/ 2
ˆ
du mesurande et de la déviation standard [Var (ξ)] comme incertitude standard u(z) associée à la meilleure
estimation z du mesurande doivent être calculées (voir 6.3).
Pour un calcul numérique du seuil de décision et de la limite de détection, on a besoin de la fonction u(ξ) qui
est l'incertitude standard associée à la quantité de décision X comme fonction de la vraie valeur ξ du
mesurande. Cette fonction u(ξ), généralement, doit être déterminée par l'utilisateur de la présente partie de
l'ISO 11929 au cours de l'évaluation de la mesure selon le Guide pour l'expression de l'incertitude de mesure.
Pour les exemples voir l'Annexe A. Souvent, cette fonction croît lentement. Il est alors justifié dans de
nombreux cas d'utiliser l'approximation uu()ξ = (x). Cela s'applique en particulier si l'estimation primaire x du
mesurande n'est pas plus grande que son incertitude standard u(x) associée à x. Si la valeur x est calculée en
tant que différence (phénomène net) de deux valeurs approximativement égales y et y obtenues par des
1 0
22 2
mesurages indépendants, soit x = y − y , on obtient uu()ξ=+(y )u (y ) avec les incertitudes standards
1 0 10
u(y ) et u(y ) associées, respectivement, à y et y .
1 0 1 0
© ISO 2005 – Tous droits réservés 5
---------------------- Page: 10 ----------------------
ISO 11929-5:2005(F)
Si seules u(0) et u(x) sont connues, une approximation par interpolation est souvent suffisante pour x > 0
selon:
22 2
(ξξ) (= 0)( ⋅⋅1- / x )+ ()x ξ / x (1)
uu u
2
NOTE Dans beaucoup de cas pratiques, u ()ξ est une fonction linéaire lentement croissante de ξ. Cela justifie les
2
approximations mentionnées au-dessus, en particulier l'interpolation linéaire de u ()ξ au lieu de celle de u()ξ .
Pour la mise en place d'un modèle mathématique d'évaluation de la mesure, deux quantités physiques
doivent être distinguées: les quantités d'entrée et de sortie. Les quantités de sortie Y (k = 1, ., n) sont vues
k
comme des mesurandes (par exemple les paramètres d'une procédure de déconvolution ou d'ajustement) qui
doivent être déterminées par l'évaluation de la mesure. La quantité de décision X en est une. Elles dépendent
des quantités d'entrée x (i = 1, ., m) qui sont obtenues par des mesurages répétés, par des quantités
i
d'influence et des résultats de mesure ou d'évaluations antérieures (voir chapitre 4.1.2 du Guide pour
l'expression de l'incertitude de mesure). On a donc à calculer les estimateurs y des quantités de sortie
k
(mesurandes) comme des résultats de mesures et les incertitudes standard u(y ) associées à y .
k k
Le modèle d'évaluation est donné par un ensemble de relations fonctionnelles:
Y=G (x , .,X ); (x= 1, .,n) (2)
kk 1 m
Les estimateurs des mesurandes Y , notés y , sont obtenus d'après l'Équation (2) en prenant les estimateurs
k k
x , ., x comme valeurs des m quantités X , ., X . Par conséquent, les estimateurs de sortie y et leurs
1 m 1 m k
incertitudes standards associées u(y ) sont donnés par:
k
y=G (x , .,x ); (k= 1, .,n) (3)
kk 1 m
m
∂∂
GG
kl
u (,yy)= ⋅⋅ u( , );(k, l =1,., n) (4)
xx
ij
kl ∑
∂∂
XX
ij
ij,1=
où x et x sont les estimateurs des X et X et u(x , x ) = u(x , x ) sont les covariances estimées associées avec x
i j i j i j j i i
et x . D'après ces covariances on obtient
j
2
()yy= u ( , y) (5)
u
kkk
Dans les cas où les dérivées partielles ne sont pas explicitement disponibles, elles peuvent être approximées
numériquement de manière suffisamment exacte en utilisant l'incertitude standard u(x ) comme incrément de
k
...
Questions, Comments and Discussion
Ask us and Technical Secretary will try to provide an answer. You can facilitate discussion about the standard in here.