Geometrical product specifications (GPS) -- Filtration

This document specifies biorthogonal wavelets for profiles and contains the relevant concepts. It gives the basic terminology for biorthogonal wavelets of compact support, together with their usage.

Spécification géométrique des produits (GPS) -- Filtrage

Le présent document spécifie les caractéristiques des ondelettes biorthogonales utilisées pour les profils ainsi que les concepts pertinents. Elle définit la terminologie de base pour les ondelettes biorthogonales ŕ support compact, ainsi que leur usage.

General Information

Status
Published
Publication Date
02-Apr-2020
Current Stage
6060 - International Standard published
Start Date
23-Feb-2020
Completion Date
03-Apr-2020
Ref Project

RELATIONS

Buy Standard

Standard
ISO 16610-29:2020 - Geometrical product specifications (GPS) -- Filtration
English language
20 pages
sale 15% off
Preview
sale 15% off
Preview
Standard
ISO 16610-29:2020 - Spécification géométrique des produits (GPS) -- Filtrage
French language
20 pages
sale 15% off
Preview
sale 15% off
Preview

Standards Content (sample)

INTERNATIONAL ISO
STANDARD 16610-29
Second edition
2020-04
Geometrical product specifications
(GPS) — Filtration —
Part 29:
Linear profile filters: wavelets
Spécification géométrique des produits (GPS) — Filtrage —
Partie 29: Filtres de profil linéaires: ondelettes
Reference number
ISO 16610-29:2020(E)
ISO 2020
---------------------- Page: 1 ----------------------
ISO 16610-29:2020(E)
COPYRIGHT PROTECTED DOCUMENT
© ISO 2020

All rights reserved. Unless otherwise specified, or required in the context of its implementation, no part of this publication may

be reproduced or utilized otherwise in any form or by any means, electronic or mechanical, including photocopying, or posting

on the internet or an intranet, without prior written permission. Permission can be requested from either ISO at the address

below or ISO’s member body in the country of the requester.
ISO copyright office
CP 401 • Ch. de Blandonnet 8
CH-1214 Vernier, Geneva
Phone: +41 22 749 01 11
Fax: +41 22 749 09 47
Email: copyright@iso.org
Website: www.iso.org
Published in Switzerland
ii © ISO 2020 – All rights reserved
---------------------- Page: 2 ----------------------
ISO 16610-29:2020(E)
Contents Page

Foreword ........................................................................................................................................................................................................................................iv

Introduction ..................................................................................................................................................................................................................................v

1 Scope ................................................................................................................................................................................................................................. 1

2 Normative references ...................................................................................................................................................................................... 1

3 Terms and definitions ..................................................................................................................................................................................... 1

4 General wavelet description ..................................................................................................................................................................... 4

4.1 General ........................................................................................................................................................................................................... 4

4.2 Basic usage of wavelets .................................................................................................................................................................... 4

4.3 Wavelet transform................................................................................................................................................................................ 4

4.4 Biorthogonal wavelets ...................................................................................................................................................................... 5

4.4.1 General...................................................................................................................................................................................... 5

4.4.2 Cubic prediction wavelets ........................................................................................................................................ 6

4.4.3 Cubic b-spline wavelets ........................................................................................................................................... ... 6

5 Filter designation................................................................................................................................................................................................. 6

Annex A (normative) Cubic prediction wavelets ...................................................................................................................................... 7

Annex B (normative) Cubic b-spline wavelets .........................................................................................................................................15

Annex C (informative) Relationship to the filtration matrix model ..................................................................................18

Annex D (informative) Relation to the GPS matrix model ...........................................................................................................19

Bibliography .............................................................................................................................................................................................................................20

© ISO 2020 – All rights reserved iii
---------------------- Page: 3 ----------------------
ISO 16610-29:2020(E)
Foreword

ISO (the International Organization for Standardization) is a worldwide federation of national standards

bodies (ISO member bodies). The work of preparing International Standards is normally carried out

through ISO technical committees. Each member body interested in a subject for which a technical

committee has been established has the right to be represented on that committee. International

organizations, governmental and non-governmental, in liaison with ISO, also take part in the work.

ISO collaborates closely with the International Electrotechnical Commission (IEC) on all matters of

electrotechnical standardization.

The procedures used to develop this document and those intended for its further maintenance are

described in the ISO/IEC Directives, Part 1. In particular, the different approval criteria needed for the

different types of ISO documents should be noted. This document was drafted in accordance with the

editorial rules of the ISO/IEC Directives, Part 2 (see www .iso .org/ directives).

Attention is drawn to the possibility that some of the elements of this document may be the subject of

patent rights. ISO shall not be held responsible for identifying any or all such patent rights. Details of

any patent rights identified during the development of the document will be in the Introduction and/or

on the ISO list of patent declarations received (see www .iso .org/ patents).

Any trade name used in this document is information given for the convenience of users and does not

constitute an endorsement.

For an explanation of the voluntary nature of standards, the meaning of ISO specific terms and

expressions related to conformity assessment, as well as information about ISO's adherence to the

World Trade Organization (WTO) principles in the Technical Barriers to Trade (TBT) see www .iso .org/

iso/ foreword .html.

This document was prepared by Technical Committee ISO/TC 213, Dimensional and geometrical product

specifications and verification, in collaboration with the European Committee for Standardization (CEN)

Technical Committee CEN/TC 290, Dimensional and geometrical product specification and verification,

in accordance with the Agreement on technical cooperation between ISO and CEN (Vienna Agreement).

This second edition cancels and replaces the first edition (ISO 16610-29:2015), which has been

technically revised.
The main changes compared to the previous edition are as follows:

— The terminology and requirements around wavelets have been clarified and expanded to cover

biorthogonal wavelets more fully.
— The requirements for cubic prediction wavelets are set out in Annex A.
— The requirements for cubic b-spline wavelets are given in Annex B.
A list of all parts in the ISO 16610 series can be found on the ISO website.

Any feedback or questions on this document should be directed to the user’s national standards body. A

complete listing of these bodies can be found at www .iso .org/ members .html.
iv © ISO 2020 – All rights reserved
---------------------- Page: 4 ----------------------
ISO 16610-29:2020(E)
Introduction

This document is a geometrical product specification (GPS) standard and is to be regarded as a general

GPS standard (see ISO 14638). It influences chain links C and F of the chains of standards on profile and

areal surface texture.

The ISO GPS matrix model given in ISO 14638 gives an overview of the ISO GPS system of which this

document is a part. The fundamental rules of ISO GPS given in ISO 8015 apply to this document and

the default decision rules given in ISO 14253-1 apply to the specifications made in accordance with this

document, unless otherwise indicated.

For more detailed information on the relation of this document to other standards and the GPS matrix

model, see Annex D.
This document develops the terminology and concepts for wavelets.
© ISO 2020 – All rights reserved v
---------------------- Page: 5 ----------------------
INTERNATIONAL STANDARD ISO 16610-29:2020(E)
Geometrical product specifications (GPS) — Filtration —
Part 29:
Linear profile filters: wavelets
1 Scope

This document specifies biorthogonal wavelets for profiles and contains the relevant concepts. It gives

the basic terminology for biorthogonal wavelets of compact support, together with their usage.

2 Normative references

The following documents are referred to in the text in such a way that some or all of their content

constitutes requirements of this document. For dated references, only the edition cited applies. For

undated references, the latest edition of the referenced document (including any amendments) applies.

ISO 16610-1, Geometrical product specifications (GPS) — Filtration — Part 1: Overview and basic concepts

ISO 16610-20, Geometrical product specifications (GPS) — Filtration — Part 20: Linear profile filters: Basic

concepts

ISO 16610-22, Geometrical product specifications (GPS) — Filtration — Part 22: Linear profile filters:

Spline filters

ISO/IEC Guide 99, International vocabulary of metrology — Basic and general concepts and associated

terms (VIM)
3 Terms and definitions

For the purposes of this document, the terms and definitions given in ISO 16610-1, ISO 16610-20,

ISO 16610-22 and ISO/IEC Guide 99 and the following apply.

ISO and IEC maintain terminological databases for use in standardization at the following addresses:

— ISO Online browsing platform: available at https:// www .iso .org/ obp
— IEC Electropedia: available at http:// www .electropedia .org/
3.1
mother wavelet

function of one or more variables which forms the basic building block for wavelet analysis, i.e. an

expansion of a signal/profile as a linear combination of wavelets

Note 1 to entry: A mother wavelet, which usually integrates to zero, is localized in space and has a finite

bandwidth. Figure 1 provides an example of a real-valued mother wavelet.
3.1.1
biorthogonal wavelet

wavelet where the associated wavelet transform (3.3) is invertible but not necessarily orthogonal

Note 1 to entry: The merit of the biorthogonal wavelet is the possibility to construct symmetric wavelet functions,

which allows a linear phase filter.
© ISO 2020 – All rights reserved 1
---------------------- Page: 6 ----------------------
ISO 16610-29:2020(E)
Figure 1 — Example of a real-valued mother wavelet
3.2
wavelet family
α ,b

family of functions generated from the mother wavelet (3.1) by dilation (3.2.1) and translation (3.2.2)

Note 1 to entry: If g(x) is the mother wavelet (3.1), then the wavelet family gx() is generated as shown in

α ,b
Formula (1):
xb−
 
−05,
gx()=×α g (1)
 
α ,b
 α 
where
α is the dilation parameter for the wavelet of frequency band [1/α, 2/α];
b is the translation parameter.
3.2.1
dilation
transformation which scales the spatial variable x by a factor α
−0,5

Note 1 to entry: This transformation takes the function g(x) to α g(x/α) for an arbitrary positive real number α.

−0,5
Note 2 to entry: The factor α keeps the area under the function constant.
3.2.2
translation

transformation which shifts the spatial position of a function by a real number b

Note 1 to entry: This transformation takes the function g(x) to g(x − b) for an arbitrary real number b.

3.3
wavelet transform

unique decomposition of a profile into a linear combination of a wavelet family (3.2)

3.4
discrete wavelet transform
DWT

unique decomposition of a profile into a linear combination of a wavelet family (3.2) where the

translation (3.2.2) parameters are integers and the dilation (3.2.1) parameters are powers of a fixed

positive integer greater than 1
Note 1 to entry: The dilation parameters are usually powers of 2.
2 © ISO 2020 – All rights reserved
---------------------- Page: 7 ----------------------
ISO 16610-29:2020(E)
3.5
multiresolution analysis
decomposition of a profile by a filter bank into portions of different scales

Note 1 to entry: The portions at different scales are also referred to as resolutions (see ISO 16610-20).

Note 2 to entry: Multiresolution is also called multiscale.
Note 3 to entry: See Figure 2.

Note 4 to entry: Since by definition there is no loss of information, it is possible to reconstruct the original profile

from the multiresolution ladder structure (3.5.3).
3.5.1
low-pass component
smoothing component

component of the multiresolution analysis (3.5) obtained after convolution with a smoothing filter (low-

pass) and a decimation (3.5.6)
3.5.2
high-pass component
difference component

component of the multiresolution analysis (3.5) obtained after convolution with a difference filter (high-

pass) and a decimation (3.5.6)

Note 1 to entry: The weighting function of the difference filter is defined by the wavelet from a particular family

of wavelets, with a particular dilation (3.2.1) parameter and no translation (3.2.2).

Note 2 to entry: The filter coefficients require the evaluation of an integral over a continuous space unless there

exists a complementary function to form the basis expanding the signal/profile.
3.5.3
multiresolution ladder structure

structure consisting of all the orders of the difference components and the highest order smooth

component
3.5.4
scaling function

function which defines the weighting function of the smoothing filter used to obtain the smooth

component

Note 1 to entry: In order to avoid loss of information on the multiresolution ladder structure (3.5.3), the wavelet

and scaling function are matched.

Note 2 to entry: The low-pass component (3.5.1) is obtained by convolving the input data with the scaling function.

3.5.5
wavelet function

function which defines the weighting function of the difference filter used to obtain the detail

component

Note 1 to entry: The high-pass component (3.5.2) is obtained by convolving the input data with the wavelet

function.
3.5.6
decimation

action which samples every k-th point in a sampled profile, where k is a positive integer

Note 1 to entry: Typically, k is equal to 2.
3.6
lifting scheme

fast wavelet transform (3.3) that uses splitting, prediction and updating stages (3.6.1), (3.6.2), (3.6.3)

© ISO 2020 – All rights reserved 3
---------------------- Page: 8 ----------------------
ISO 16610-29:2020(E)
3.6.1
splitting stage

partition of a profile into “even” and “odd” subsets, in which each sequence contains half as many

samples as the original profile
3.6.2
prediction stage

calculation which predicts the odd subset from the even subset and then removes the predicted value

from the odd subset value
3.6.3
updating stage

calculation which updates the even subset from the odd subset, in order to preserve as many profile

moments as possible
4 General wavelet description
4.1 General

A cubic prediction wavelet claiming to conform with this document shall satisfy the procedure given in

Annex A.

A cubic spline wavelet claiming to conform with this document shall satisfy the procedure given in

Annex B.
NOTE The relationship to the filtration matrix model is given in Annex C.
4.2 Basic usage of wavelets

Wavelet analysis consists of decomposing a profile into a linear combination of wavelets g (x), all

a,b
[4]

generated from a single mother wavelet . This is similar to Fourier analysis, which decomposes a

profile into a linear combination of sinewaves, but unlike Fourier analysis, wavelets are finite in both

spatial and frequency domain. Therefore, they can identify the location as well as the scale of a feature

in a profile. As a result, they can decompose profiles where the small-scale structure in one portion of

the profile is unrelated to the structure in a different portion, such as localized changes (i.e. scratches,

defects or other irregularities). Wavelets are also ideally suited for non-stationary profiles. Basically,

wavelets decompose a profile into building blocks of constant shape, but of different scales.

4.3 Wavelet transform
[5]

The discrete wavelet transform of a profile, s(x), given as height values, s(x ), at uniformly sampled

positions, x = (i−1) Δx (where Δx is the sampling interval, i = 1, ..., n and n being the number of

sampling points), with the wavelet function g((x−b)/a), is given by the differences (or details), d (i),

and the smoothed data, s (i), and a subsequent decimation (down-sampling) for each level or rung, k,

of decomposition. The smoothed data and differences are obtained by convolving the signal with the

scaling function, h, and the wavelet, g, as shown in Formula (2a) and Formula (2b):

si =−hs ij (2a)
() ()
k ∑ jk−1
di()=−gs ()ij (2b)
k jk−1

where j = −m, ..., −2, −1, 0, 1, 2, ..., m; (m is the number of coefficients of the filter on one side from the

centre).

The dilation parameter, a, is determined by the level of decomposition, k, and by down-sampling the

−k k

smoothed data commonly by a factor of two, i.e. a = 2 , respectively. a = 1/(2 Δx), such that for each

step of the decomposition ladder the number of smoothed data points reduces by a factor of two.

4 © ISO 2020 – All rights reserved
---------------------- Page: 9 ----------------------
ISO 16610-29:2020(E)

The decomposition starts with the original signal values, s(x ), denoted as s (i).

i 0

The mother wavelet of the discrete wavelet transform is defined as a set of discrete high-pass

filter coefficients, g , and the scaling function as a set of discrete low-pass filter coefficients, h . As

j j

the decimation is carried out by keeping every second value of the smooth and every second of the

difference signal, the total number of data points is conserved, such that n/2 of the s (i) are saved and

n/2 of the d (i) and the distance between the i-th and the (i+1)-th is then 2Δx.

For the second decomposition step, the set of n/2 differences, d (i), will be kept until termination but

the set of the s (i) is subdivided half and half, such that n/4 values s (i) and n/4 values d (i) are obtained.

1 2 2
k k

For the k-th step of decomposition and decimation n/2 of s (i) and n/2 values d (i) are evaluated and

k k
the distance between the i-th and the (i+1)-th is then 2 Δx.

Therefore, the dilation is done by down-sampling, i.e. managing the indices of the signal rather than

changing the wavelet and scaling functions. Thus, for discrete wavelet transformations only the two

sets of filter coefficients, the set {h , j = −m,..,0,..m} for the low-pass and {g , j = −m,..,0,..m} for the high-

j j
pass, define the analysis filter.

Figure 2 — Ladder structure of multiresolution separation using a discrete wavelet transform

Figure 2 illustrates the ladder structure of the consecutive steps with action of the low-pass

(smoothing) filter with subsequent decimation, H = {2 , h , j = −m, .., 0, …, m}, and the high-pass filter,

k j

G = {2 , g , j = −m, ..., 0, ..., m}, with decimation reducing the number of smooth profile points by half for

k j
each rung.

The reconstruction is performed by up-sampling and the subsequent application of the matching

synthesis filters. The original profile can be regained
...

NORME ISO
INTERNATIONALE 16610-29
Deuxième édition
2020-04
Spécification géométrique des
produits (GPS) — Filtrage —
Partie 29:
Filtres de profil linéaires: ondelettes
Geometrical product specifications (GPS) — Filtration —
Part 29: Linear profile filters: wavelets
Numéro de référence
ISO 16610-29:2020(F)
ISO 2020
---------------------- Page: 1 ----------------------
ISO 16610-29:2020(F)
DOCUMENT PROTÉGÉ PAR COPYRIGHT
© ISO 2020

Tous droits réservés. Sauf prescription différente ou nécessité dans le contexte de sa mise en œuvre, aucune partie de cette

publication ne peut être reproduite ni utilisée sous quelque forme que ce soit et par aucun procédé, électronique ou mécanique,

y compris la photocopie, ou la diffusion sur l’internet ou sur un intranet, sans autorisation écrite préalable. Une autorisation peut

être demandée à l’ISO à l’adresse ci-après ou au comité membre de l’ISO dans le pays du demandeur.

ISO copyright office
Case postale 401 • Ch. de Blandonnet 8
CH-1214 Vernier, Genève
Tél.: +41 22 749 01 11
Fax: +41 22 749 09 47
E-mail: copyright@iso.org
Web: www.iso.org
Publié en Suisse
ii © ISO 2020 – Tous droits réservés
---------------------- Page: 2 ----------------------
ISO 16610-29:2020(F)
Sommaire Page

Avant-propos ..............................................................................................................................................................................................................................iv

Introduction ..................................................................................................................................................................................................................................v

1 Domaine d'application ...................................................................................................................................................................................1

2 Références normatives ...................................................................................................................................................................................1

3 Termes et définitions .......................................................................................................................................................................................1

4 Description générale des ondelettes ...............................................................................................................................................4

4.1 Généralités .................................................................................................................................................................................................. 4

4.2 Utilisation élémentaire des ondelettes .............................................................................................................................. 4

4.3 Transformation en ondelettes ................................................................................................................................................... 5

4.4 Ondelettes biorthogonales............................................................................................................................................................ 6

4.4.1 Généralités ............................................................................................................................................................................ 6

4.4.2 Ondelettes de prédiction cubiques .................................................................................................................. 6

4.4.3 Ondelettes b-splines cubiques ............................................................................................................................. 6

5 Désignation de filtre .........................................................................................................................................................................................6

Annexe A (normative) Ondelettes de prédiction cubiques ...........................................................................................................7

Annexe B (normative) Ondelettes b-splines cubiques ....................................................................................................................15

Annexe C (informative) Relation avec le modèle de matrice de filtrage .......................................................................18

Annexe D (informative) Relation avec le modèle de matrice GPS .......................................................................................19

Bibliographie ...........................................................................................................................................................................................................................20

© ISO 2020 – Tous droits réservés iii
---------------------- Page: 3 ----------------------
ISO 16610-29:2020(F)
Avant-propos

L’ISO (Organisation internationale de normalisation) est une fédération mondiale d’organismes

nationaux de normalisation (comités membres de l’ISO). L'élaboration des Normes internationales est

en général confiée aux comités techniques de l'ISO. Chaque comité membre intéressé par une étude

a le droit de faire partie du comité technique créé à cet effet. Les organisations internationales,

gouvernementales et non gouvernementales, en liaison avec l'ISO participent également aux travaux.

L’ISO collabore étroitement avec la Commission électrotechnique internationale (CEI) en ce qui

concerne la normalisation électrotechnique.

Les procédures utilisées pour élaborer le présent document et celles destinées à sa mise à jour sont

décrites dans les Directives ISO/IEC, Partie 1. Il convient, en particulier de prendre note des différents

critères d'approbation requis pour les différents types de documents ISO. Le présent document a été

rédigé conformément aux règles de rédaction données dans les Directives ISO/IEC, Partie 2 (voir www

.iso .org/ directives).

L’attention est attirée sur le fait que certains des éléments du présent document peuvent faire l’objet de

droits de propriété intellectuelle ou de droits analogues. L’ISO ne saurait être tenue pour responsable

de ne pas avoir identifié de tels droits de propriété et averti de leur existence. Les détails concernant

les références aux droits de propriété intellectuelle ou autres droits analogues identifiés lors de

l'élaboration du document sont indiqués dans l'Introduction et/ou dans la liste des déclarations de

brevets reçues par l’ISO (voir www .iso .org/ patents).

Les appellations commerciales éventuellement mentionnées dans le présent document sont données

pour information, par souci de commodité, à l’intention des utilisateurs et ne sauraient constituer un

engagement.

Pour une explication de la nature volontaire des normes, la signification des termes et expressions

spécifiques de l'ISO liés à l'évaluation de la conformité, ou pour toute information au sujet de l'adhésion

de l'ISO aux principes de l’Organisation mondiale du commerce (OMC) concernant les obstacles

techniques au commerce (OTC), voir le lien suivant: www .iso .org/ iso/ foreword .html.

Le présent document a été élaboré par le Comité technique ISO/TC 213, Spécifications et vérification

dimensionnelles et géométriques des produits, en collaboration avec le Comité Technique du Comité

Européen pour la Normalisation (CEN) CEN/TC 290, Spécification dimensionnelle et géométrique des

produits, et vérification correspondante, conformément à l’Accord sur la coopération technique entre

l’ISO et le CEN (Accord de Vienne).

Cette deuxième édition annule et remplace la première édition (ISO 16610-29:2015), qui a fait l’objet

d’une révision technique.
Les principaux changements par rapport à l’édition précédente sont les suivants:

— la terminologie et les exigences autour des ondelettes ont été clarifiées et étendues pour mieux

couvrir les ondelettes biorthogonales;

— les exigences pour les ondelettes de prédiction cubiques ont été définies en Annexe A;

— les exigences pour les ondelettes b-splines cubiques sont données en Annexe B.

Une liste de toutes les parties de la série ISO 16610 est disponible sur le site Internet de l’ISO.

Il convient d’adresser tout retour d'information ou questions sur le présent document à l’organisme

national de normalisation de l’utilisateur. Une liste exhaustive de ces organismes peut être trouvée à

l’adresse www .iso .org/ members .html.
iv © ISO 2020 – Tous droits réservés
---------------------- Page: 4 ----------------------
ISO 16610-29:2020(F)
Introduction

Le présent document traite de la spécification géométrique des produits (GPS) et est à considérer

comme une norme GPS générale (voir l’ISO 14638). Elle influence les maillons C et F de la chaîne de

normes concernant l’état de surface du profil et surfacique.

Le modèle de matrice ISO GPS de l'ISO 14638 donne une vue d'ensemble du système ISO/GPS dont le

présent document fait partie. Les règles fondamentales du système ISO fournies dans l'ISO 8015

s'appliquent au présent document et les règles de décision par défaut indiquées dans l'ISO 14253-1

s'appliquent aux spécifications élaborées conformément au présent document, sauf indication contraire.

Pour de plus amples informations sur la relation du présent document avec les autres normes et le

modèle de matrice GPS, voir l'Annexe D.

Le présent document expose également la terminologie et les concepts des ondelettes.

© ISO 2020 – Tous droits réservés v
---------------------- Page: 5 ----------------------
NORME INTERNATIONALE ISO 16610-29:2020(F)
Spécification géométrique des produits (GPS) — Filtrage —
Partie 29:
Filtres de profil linéaires: ondelettes
1 Domaine d'application

Le présent document spécifie les caractéristiques des ondelettes biorthogonales utilisées pour

les profils ainsi que les concepts pertinents. Elle définit la terminologie de base pour les ondelettes

biorthogonales à support compact, ainsi que leur usage.
2 Références normatives

Les documents suivants cités dans le texte constituent, pour tout ou partie de leur contenu, des

exigences du présent document. Pour les références datées, seule l’édition citée s’applique. Pour les

références non datées, la dernière édition du document de référence s'applique (y compris les éventuels

amendements).

ISO 16610-1, Spécification géométrique des produits (GPS) — Filtrage — Partie 1: Vue d'ensemble et

concepts de base

ISO 16610-20, Spécification géométrique des produits (GPS) — Filtrage — Partie 20: Filtres de profil

linéaires: Concepts de base

ISO 16610-22, Spécification géométrique des produits (GPS) — Filtrage — Partie 22: Filtres de profil

linéaires: Filtres splines

Guide ISO/IEC 99, Vocabulaire international de métrologie — Concepts fondamentaux et généraux et

termes associés (VIM)
3 Termes et définitions

Pour les besoins du présent document, les termes et définitions donnés dans l’ISO 16610-1,

l’ISO 16610-20, l’ISO 16610-22 et l’ISO/IEC Guide 99 ainsi que les suivants s'appliquent.

L’ISO et la CEI tiennent à jour des bases de données terminologiques pour la normalisation aux adresses

suivantes:

— ISO Online browsing platform: disponible à l’adresse https:// www .iso .org/ obp

— IEC Electropedia: disponible à l’adresse http:// www .electropedia .org
3.1
ondelette mère

fonction à une ou plusieurs variables qui forme le bloc de construction élémentaire pour l'analyse

d'ondelettes, c’est-à-dire une expansion d’un signal/profil comme une combinaison linéaire d'ondelettes

Note 1 à l'article: Une ondelette mère qui en général s’intègre en donnant une valeur nulle, est localisée dans

l’espace et a une largeur de bande finie. La Figure 1 est un exemple d'ondelette mère à valeur réelle.

© ISO 2020 – Tous droits réservés 1
---------------------- Page: 6 ----------------------
ISO 16610-29:2020(F)
3.1.1
ondelette biorthogonale

ondelette dont la transformation en ondelette (3.3) associée est inversible mais pas nécessairement

orthogonale

Note 1 à l'article: L’ondelette biorthogonale offre la possibilité de construire des fonctions d’ondelette

symétriques, permettant un filtre linéaire à phase.
Figure 1 — Exemple d'ondelette mère à valeur réelle
3.2
famille d'ondelettes
α ,b

famille de fonctions obtenues à partir de l'ondelette mère (3.1) par dilatation (3.2.1) et translation (3.2.2)

Note 1 à l'article: Si g(x) est l'ondelette mère (3.1), alors la famille d'ondelettes gx() est obtenue comme

α ,b
indiqué dans la Formule (1):
xb−
 
−05,
gx()=×α g (1)
 
α ,b
 α 

α est le paramètre de dilatation pour l’ondelette dans la bande de fréquence [1/α, 2/α];

b est le paramètre de translation.
3.2.1
dilatation

transformation qui consiste à changer l’échelle de la variable spatiale x d’un facteur a

−0,5

Note 1 à l'article: Cette transformation appliquée à la fonction g(x) donne α g(x/α) pour un nombre réel positif

arbitraire α.
−0,5
Note 2 à l'article: Le facteur α maintient l'aire sous la fonction constante.
3.2.2
translation

transformation qui consiste à décaler la position spatiale d’une fonction d’un nombre réel b

Note 1 à l'article: Cette transformation appliquée à la fonction g(x) donne g(x − b) pour un nombre réel arbitraire b.

3.3
transformation en ondelette

décomposition unique d'un profil en une combinaison linéaire d'une famille d'ondelettes (3.2)

2 © ISO 2020 – Tous droits réservés
---------------------- Page: 7 ----------------------
ISO 16610-29:2020(F)
3.4
transformation en ondelette discrète
DWT

décomposition unique d'un profil en une combinaison linéaire d'une famille d'ondelettes (3.2) où les

paramètres de translation (3.2.2) sont des nombres entiers, et les paramètres de dilatation (3.2.1) sont

des puissances d'un entier positif donné supérieur à 1

Note 1 à l'article: Les paramètres de dilatation sont en général des puissances de 2.

3.5
analyse multirésolution

décomposition d’un profil en portions à différentes échelles au moyen d’un banc de filtres

Note 1 à l'article: Les portions à différentes échelles sont aussi appelées résolutions (voir l'ISO 16610-20).

Note 2 à l'article: La multirésolution est aussi appelée multiéchelle.
Note 3 à l'article: Voir Figure 2.

Note 4 à l'article: Par définition, comme aucune perte d’information ne se produit, il est possible de reconstruire

le profil d’origine à partir de la structure en échelle de multirésolution (3.5.3).

3.5.1
composante passe-bas
composante de lissage

composante d’une analyse multirésolution (3.5) obtenue après la convolution avec un filtre de lissage

(passe-bas) et une décimation (3.5.6)
3.5.2
composante passe-haut
composante différentielle

composante d’une analyse multirésolution (3.5) obtenue après la convolution avec un filtre différentiel

(passe-haut) et une décimation (3.5.6)

Note 1 à l'article: La fonction de pondération du filtre différentiel est définie par l'ondelette issue d'une famille

particulière d'ondelettes ayant un paramètre particulier de dilatation (3.2.1) et sans paramètre de translation

(3.2.1).

Note 2 à l'article: Les coefficients de filtrage exigent l’évaluation d’une intégrale sur un espace continu sauf si une

fonction complémentaire forme la base d’expansion du signal/profil.
3.5.3
structure en échelle de multirésolution

structure constituée de l'ensemble des ordres des composantes différentielles et de la composante de

lissage ayant l'ordre le plus élevé
3.5.4
fonction d’échelle

fonction qui définit la fonction de pondération du filtre de lissage utilisé pour obtenir la composante

de lissage

Note 1 à l'article: Afin d'éviter la perte d'information dans la structure en échelle de multirésolution (3.5.3),

l’ondelette et la fonction de changement d’échelle doivent être appariées.

Note 2 à l'article: La composante passe-bas (3.5.1) est obtenue par convolution des données d’entrée avec la

fonction de changement d’échelle.
© ISO 2020 – Tous droits réservés 3
---------------------- Page: 8 ----------------------
ISO 16610-29:2020(F)
3.5.5
fonction d’ondelette

fonction qui définit la fonction de pondération du filtre différentiel utilisé pour obtenir la

composante détail

Note 1 à l'article: La composante passe-haut (3.5.2) est obtenue par convolution des données d’entrée avec la

fonction d’ondelette.
3.5.6
décimation

action qui échantillonne chaque kième point dans un profil échantillonné, où k est un

entier positif
Note 1 à l'article: Généralement, k est égal à 2.
3.6
schéma de lifting

transformation en ondelette (3.3) rapide qui utilise les étapes de décomposition, de prédiction et de mise à

jour (3.6.1), (3.6.2), (3.6.3)
3.6.1
étape de décomposition

décomposition d’un profil en sous-ensembles « pairs » et « impairs » dans lesquels chaque séquence

contient moitié moins d’échantillons que dans le profil d’origine
3.6.2
étape de prédiction

calcul qui consiste à prédire le sous-ensemble « impair » à partir du sous-ensemble « pair », puis à

soustraire la valeur prédite de la valeur du sous-ensemble impair
3.6.3
étape de mise à jour

calcul qui consiste à mettre à jour le sous-ensemble pair à partir du sous-ensemble impair, afin de

préserver autant de moments de profil que possible
4 Description générale des ondelettes
4.1 Généralités

Une ondelette de prédiction cubique déclarée conforme au présent document doit satisfaire au mode

opératoire décrit à l’Annexe A.

Une ondelette spline cubique déclarée conforme au présent document doit satisfaire au mode opératoire

décrit à l’Annexe B.

NOTE La relation avec le modèle de matrice de filtrage est donnée dans l'Annexe C.

4.2 Utilisation élémentaire des ondelettes

Une analyse par ondelettes consiste à décomposer un profil en une combinaison linéaire d’ondelettes

[4]

ga, (x), générées à partir d’une seule ondelette mère . Ce mode opératoire est similaire à l’analyse de

Fourier qui décompose un profil en une combinaison linéaire d’ondes sinusoïdales, mais contrairement

à l’analyse de Fourier, les ondelettes sont finies dans le domaine spatial et fréquentiel. Elles peuvent

donc identifier la position et l’échelle d’un élément dans un profil. En conséquence, elles peuvent

décomposer des profils où la structure à petite échelle dans une partie du profil n'a aucun rapport avec

la structure d'une autre partie, tels que les changements localisés (comme par exemple les rayures,

les défauts ou toute autre irrégularité). Les ondelettes sont également idéales pour les profils non-

stationnaires. Essentiellement, les ondelettes décomposent un profil en blocs de construction ayant une

forme constante mais des échelles différentes.
4 © ISO 2020 – Tous droits réservés
---------------------- Page: 9 ----------------------
ISO 16610-29:2020(F)
4.3 Transformation en ondelettes
[5]

La transformation en ondelettes discrètes d’un profil, s(x), donné comme des valeurs de hauteur, s(x ),

à des positions échantillonnées uniformément, xi = (i−1) Δx (où Δx est l’intervalle d’échantillonnage,

i = 1, ..., n et n le nombre de points d’échantillonnage), avec la fonction d’ondelette g((x−b)/a), est donnée

par les différences (ou détails), d (i), et les données lissées, s (i), et une décimation suivante (sous-

k k

échantillonnage) pour chaque niveau ou échelon, k, de décomposition. Les données et les différences

lissées sont obtenues par convolution du signal avec la fonction de changement d’échelle, h, et l’ondelette

g, telle que montrée dans la Formule (2a) et la Formule (2b):
si()=−hs ()ij (2a)
k ∑ jk−1
di =−gs ij (2b)
() ()
k ∑ jk−1

où j = −m, ..., −2, −1, 0, 1, 2, ..., m; (m est le nombre de coefficients du filtre sur un côté à partir du centre).

La paramètre de dilatation, a, est déterminée par le niveau de décomposition, k, et par sous-

échantillonnage des données lissées généralement par un facteur de deux, soit a = 2 respectivement

a = 1/(2 Δx), de sorte que pour chaque échelon de l’échelle de décomposition le nombre de points de

données lissées est réduit par un facteur de deux.

La décomposition débute avec les valeurs de signal d’origine, s(x ), notées s (i).

i 0

L’ondelette mère de la transformation en ondelette discrète est définie comme un ensemble de

coefficients de filtre passe-haut discret, g , et la fonction de changement d’échelle est définie comme un

ensemble de coefficients de filtre discret passe-bas, h . La décimation étant réalisée en conservant une

valeur sur deux du lissage et une sur deux du signal différentiel, le nombre total de points de données

est conservé, de sorte que n/2 de s (i) est conservé et n/2 de d (i) et que la distance entre le ième et le

1 1
(i+1)ème est alors 2Δx.

Pour la deuxième étape de décomposition, l’ensemble des n/2 différences, d (i), sera conservé jusqu’à la

fin mais l’ensemble des s (i) est divisé en deux moitiés, de façon à obtenir les valeurs n/4 de s (i) et n/4

1 2
k k

de d (i). Pour l’étape kième de décomposition et de décimation, les valeurs n/2 de s (i) et n/2 de d (i)

2 k k
sont évaluées et la distance entre le ième et le (i+1)ème est alors 2 Δx.

La dilatation est donc réalisée par sous-échantillonnage, c’est-à-dire par gestion des indices du signal

plutôt que par modification des fonctions d’ondelette et d’échelle. Ainsi, pour les transformations

en ondelettes discrètes, seuls deux ensembles de coefficients de filtre définissent le filtre d’analyse:

l’ensemble {h , j = −m,..,0,..m} pour le filtre passe-bas et {g , j = −m,..,0,..m} pour le filtre passe-haut.

j j
Figure 2 — Structure d’échelle d'une séparation multirésolution en utilisant une
transformation en ondelettes discrètes

La Figure 2 illustre la structure d’échelle des étapes consécutives avec action du filtre passe-bas

(lissage) suivies de la décimation, Hk = {2−k, hj, j = −m, .., 0, …, m}, et du filtre passe-haut,

© ISO 2020 – Tous droits réservés 5
---------------------- Page: 10 ----------------------
ISO 16610-29:2020(F)

Gk = {2−k, gj, j = -m, ..., 0, ..., m}, avec décimation pour réduire de moitié le nombre de points de profil

lisses à chaque échelon.
La reconstruction s’effect
...

Questions, Comments and Discussion

Ask us and Technical Secretary will try to provide an answer. You can facilitate discussion about the standard in here.