SIST ISO 3207:1996
(Main)Statistical interpretation of data -- Determination of a statistical tolerance interval
Statistical interpretation of data -- Determination of a statistical tolerance interval
Methods are specified enabling a sample to be used as the basis for determining a statistical tolerance interval, which may be two-sided or one-sided. They are applicable only where the sample unity may be assumed to have been selected at random and are independent, and if the distribution is normal (if appropriate, transforming the variate may make it normal). Tables 1 and 2 are applicable to the case where the standard deviation for the population is known, tables 3 and 4 where the mean and the standard deviation are unknown.
Interprétation statistique des données -- Détermination d'un intervalle statistique de dispersion
Statistical interpretation of data - Determination of a statistical tolerance interval
General Information
Relations
Buy Standard
Standards Content (Sample)
INTERNATIONAL STANDARD.
INTERNATIONAL ORGANIZATION FOR STANDARDIZATION l MEXQYHAPOfiHAfi OPI-AHM3ALWII lI0 CTAHAAPTbi3ALWi~ORGANISATION INTERNATIONALE DE NORMALISATION
Statistical interpretation of data - Determination of a
statistical tolerante interval
Determination d’un in tervalle s ta tis tique de dispersion
In terpr6 ta tion s ta fis tique des donnbes -
First edition - 1975-05-15
~-
Ref. No. ISO 3207-1975 (E)
UDC 519 (083.4)
: statistkaI analysis, statistical tolerante, tables (datal, computation.
Descriptors
Price based on 15 pages
---------------------- Page: 1 ----------------------
FOREWORD
ISO (the International Organization for Standardization) is a worldwide federation
of national Standards institutes (ISO Member Bodies). The work sf developing
International Standards is carried out through ISO Technical Committees. Every
Member Body interested in a subject for which a Technical Committee has been set
up has the right to be represented on that Committee. International organizations,
governmental and non-governmental, in liaison with ISO, also take part in the work.
Draft International Standards adopted by the Technical Committees are circulated
to the Member Bodies for approval before their acceptance as International
Standards by the ISO Council.
International Standard ISO 3207 was drawn up by Technical Committee
ISO/TC 69, Applications of statistica/ methods, and circulated to the Member
Bodies in November 1973.
lt has been approved by the Member Bedies of the following countries :
Australia India South Africa, Rep. of
Belgium Israel Switzerland
Bulgar ia Italy Thailand
Czechoslovakia Netherlands Turkey
France New Zealand United Kingdom
Germany Poland U.S.S.R.
Hungary Romania
The Member Bodies of the following countries expressed disapproval of the
document on technical grounds :
Sweden
U.S.A.
0 International Organkation for Standardkation, 1975 l
Printed in Switzerland
---------------------- Page: 2 ----------------------
CONTENTS Page
SECTION ONE : FORMAL PRESENTATION OF RESULTS . .
* . . . 1
- General remarks . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 1
- Tables
Table 1 - One-sided statistical tolerante interval
(known variance) . . . . . . . . . . .
. . . . 2
Table 2 - Two-sided statistical tolerante interval
(known variance) . . . . . . . . . . .
. . . . 3
Table 3 - One-sided statistical tolerante interval
(unknown variance) . . . . . . . . . .
. . . . 4
Table 4 - Two-sided statistical tolerante interval
(unknown variance) . . . . . . . . . . . . . . 5
SECTION TWO : EXAMPLES . . . . . . . . . . . . . . . . 6
Annexes
A Case of any distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
B Statistical tables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
Table 5 - One-sided statistical tolerante interval (known variance)
Values of the coefficient k, (n, p, 1 - a) 11
Table 6 - Two-sided statistical tolerante interval (known variance)
Values of the coefficient k; (n, p, 1 -a) . . . . . . . 12
Table 7 - One-sided statistical tolerante interval (unknown variance)
Values of the coefficient k2 (n, p, 1 - c11) . . . . . . . 13
Table 8 - Two-sided statistical tolerante interval (unknown variance)
Values of the coefficient k; (n, p, 1 - a) . . . . . . . 14
one-sided Statist
Table 9 - Non-parametric ical tolerante i ntervals -
Sample size n fo Ir a Proportion p at confidence level
1-a . . . 15
nterv
Table 10 - Non-Pa rametr ic two- sided statistical tol erance als -
Sample size n for a p ropor ,tion p at con f idence level
1-a. . . 15
I.
Ill
---------------------- Page: 3 ----------------------
This page intentionally left blank
---------------------- Page: 4 ----------------------
INTERNATIONAL STANDARD ISO 32074975 (E)
Statistical interpretation of data - Determination of a
statistical tolerante interval
SECTION ONE : FORMAL PRESENTATION OF RESULTS
GENERAL REMARKS 7) No elimination or potential correction of individual
data that are doubtful shall be carried out unless there are
1) This International Standard specifies methods enabling
experimental, technical or obvious reasons to provide
a Sample to be used as the basis for determining a statistical
circumstantial justification of such elimination or
tolerante interval, i.e. an interval such that there is a fixed
correction.
probability (confidence level) that the interval will contain
In every instance, mention shall be made of the data
at least a Proportion p of the population from which the
eliminated or corrected.
Sample is taken. The statistical tolerante interval may be
two-sided or one-sided. The limits of the interval are called
8) As stated in 1 ), the confidence level 1 - a is the
“statistical tolerante limits”; they are also called “natura1
probability that the statistical tolerante interval will
limits of the process”.
contain at least a Proportion p of the population. The risk
2) These methods are applicable only where it may be
of this interval containing less than a Proportion p of the
assumed that in the population under consideration the
population is CII. The most usual values of 1 - cy are 0,95 and
Sample units have been selected at random and are
0,99 (a = 0,05 and 0,Ol).
independent.
This means that if statistical tolerante intervals are
3) The methods described below apply also only on determined for a large number of samples at the confidence
condition that the distribution of the characteristic being level 0,95 for example, the Proportion of those intervals
studied is normal. The requirement of normality is more which will contain at least the desired fraction of the
important here than for the inferences on means and population will be close to 95 %.
differentes between means in ISO 2854, Statistical
9) Tables 1 and 2 are applicable to the case where the
interpretation of data - Techniques of estimation and tests
Standard deviation for the population is known (the mean
relating to means and variances.
being unknown); tables 3 and 4 to the case where the mean
4) in Order to check the hypothesis of normality, the
and the Standard deviation are unknown.
methods laid down in ISO. . ., Sta tis tical in terpre ta tion 0 f
- Normality tests’ 1, are used. Where the mean and the Standard deviation having
data
respectively the values m and o are known, the distribution
5) Where the hypothesis of normality has to be rejected or
of the characteristic under investigation (assumed to be
where there is some reason to doubt its validity, one may
normal) is fully determined; there is exactly a Proportion p
envisage transforming the variate to make it normal or
of the population :
applying the method described in the introductory remark
-
on the right side of m - uPo
of annex A of this international Standard.
one-sided intervals
-
on the left side of m -t- uPo
It is also possible to apply now methods which allow the
1
determination of statistical tolerante intervals for other
- between m -
q1 +p)/2 0 andm + q1 +p)/2 cJ : two-
distribution forms than normal distributions. The
sided interval
description of these methods has not been considered in
this International Standard.
where uP is the fractile of Order p of the standardized
normal variate.
6) In determining a statistical tolerante interval, it is
desirable in connection with the origin or the method of
Numerital values of u are in these cases to be read on the
collection of data to give all information that may assist in
bottom line of tables B and 6.
their statistical analysis, in particular the smallest unit or
10) The calculations tan often be very much simplified by
fraction of a measurement unit having practical
making a Change in origin and/or in unit.
signif icance.
1) In preparation.
1
---------------------- Page: 5 ----------------------
ISO 32074975 (E)
TABLE 1 - One-sided statistkaI tolerante interval (known variance)’ )
. . . . . . . . , . . . . . . . . .
Technical characteristics of the population under investigation*)
Technical characteristics of the Sample units*) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Eliminated observations3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Statistical data Calculations
Sample size :
n=
Sum of the observed values :
CX
j+-----=
Ex =
n
Known value of the variance of the population :
-
-
o*
whence the Standard deviation :
6)
k, (n,p, 1-a) o=
o-
Proportion of the population selected for the statistical
tolerante intervala) :
P=
Chosen confidence IeveW :
1 -a!=
k, h p, 1 - 4 =
Results
a) One-sided interval “to the Ieft”
a that at least a Proportion p of the population is above :
There is a probability 1 -
= x+k, (n,p, 1 -a) o=
Ls
b) One-sided interval “to the right”
There is a probability 1 - a! that at least a Proportion p of the population is above :
=Z-k, (n,p, 1 -a)o=
Li
1) A numerical example is given in section two of this International Standard : example No. 1
2) See Paragraph 6 of General remarks.
3) See Paragraph 7 of General remarks.
4) See Paragraph 1 of General remarks.
5) See Paragraph 8 of General remarks.
6) The values of k, (n, p, 1 -CU) tan be read directly from table 5 for different values of n, and for
p = 0,90;0,95; 0,99
1 -Cl!= 0,95 and 0,99
2
---------------------- Page: 6 ----------------------
ISO 32074975 (E)
TABLE 2 - Two-sided statistical tolerante interval (known variance)’ )
Technical characteristics of the population under investigation*) . . . . . . . . . , . . . . . . . .
Technicai characteristics of the Sample units*) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Eiiminated observations3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Calcu iations
Statistical data
Sample size :
n=
Sum of the observed values :
CX
x=--=
cx =
n
Known vaiue of the variance of the population :
-
-
o*
whence the Standard deviation :
6)
tJ= k; (n, p, 1 - a) o =
Proportion of the population selected for the statistical
tolerante intervald) :
P=
Chosen confidence IeveF) :
1 -cy=
k; (n, p, 1 - a) =
Results
There is a probability 1 - a that at least a Proportion p of the population is included between the iimits7) :
=T-k!, (n,p, 1 -a) o-
Li
= X -t k!, (n, p, 1 - a) o =
L
1) A numerical example is given in section two of this International Standard : ,example No. 2.
2) See Paragraph 6 of General remarks.
3) See Paragraph 7 of General remarks.
4) See Paragraph 1 of General remarks.
5) See Paragraph 8 of General remarks.
CU) tan be read from table 6 for different values of n, and for
6) The values of k; (n, p, 1 -
p = 0,90; 0,95; 0,99
1 - CY = 0,95 and 0,99
lt is not true that at the confidence level 1 -Q, a
7) These limits are symmetrical about x but they are not “symmetrical in probability”.
Proportion not exceeding (1 -p)/2 of the population is below Li and a Proportion not exceeding (1 -pl/2 is above L,.
3
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ISO 3207-1975 (E)
TABLE 3 - One-sided statistical tolerante interval (un known variance) ’ )
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
Technical characteristics of the population under investigation*)
Technical characteristics of the Sample units*) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Eliminated observations3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Calculations
Statistical data
Sample size :
EX
=- =
x
n=
n
Sum of the observed values :
C (X -F)* Cx* - (lZx)*/n -
cx =
n-l = n-l -
Sum of the squares of the observed values :
Ex2 =
Proportion of the population selected for the statistical
c (x-x)*
(T*=s=
tolerante intervala) :
n-l =
v’
(estimation of the Standard deviation 0)
P=
Chosen confidence levels) :
6)
1 -a=
k, (n, p, 1 - CU) s =
k, In, P, 1 - d =
Resu lts
a) One-sided interval “to the left”
- cy that at least a Proportion p of the population is below :
There is a probability 1
=X+k, (n,p, 1 -a)s=
Ls
b) One-sided interval “to the right”
a that at least a Proportion p of the population is above :
There is a probability 1 -
=X-k, (n,p, 1 -a)s=
Li
1) A numerical example is given in section two of this International Standard : example No. 3.
2) See Paragraph 6 of General remarks.
3) See Paragraph 7 of General remarks.
4) See Paragraph 1 of General remarks.
5) See Paragraph 8 of General remarks.
6) The values of k, (n, p, 1 - CY) tan be read from table 7 for different values of n, and for
= 0,90; 0,95; 0,99
P
1-a = 0,95 and 0,99
4
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ISO 32074975 (E)
TABLE 4 - Two-sided statistical tolerante interval (unknown variance)‘)
Technical characteristics of the popuiation under investigation*)
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
Technical characteristics of the Sample units*) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Eliminated observations3) . . . . . . . . . . . . l . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Statistical data Calculations
Sample size :
x a
z-c
n=
n
Sum of the observed values :
Z (x--X)* lZx* - (zlx)*/n
cx =
n-l =
n-l =
Sum of the squares of the observed values :
Ex2 =
Proportion of the popuiation selected for the statistical
c (x -X)2
(J*=s=
tolerante intervalb) :
n-l =
i--
(estimation of the Standard deviation a)
P=
Chosen confidence IeveF) :
6)
l--a!=
kb (n, p, 1 - a) s =
ki (n, p, 1 - ~11) =
Results
There is a probability 1 -a! that at least a Proportion p of the population is included between the iimits7) :
=F--k; (n,p, l-a!)s=
Li
= 2 i- ki (n, p, 1 - CU) s =
L
1) A numerical example is given in section two of this International Standard : example NO. 4.
2) See Paragraph 6 of General remarks.
3) See Paragraph 7 of General remarks.
4) See Paragraph 1 of General remarks.
5) See Paragraph 8 of General remarks.
a) tan be read from table 8 for different values of n, and for
6) The values of k; (n, p, 1 -
p = 0,90; 0,95; 0,99
1 - CY = 0,95 and 0,99
7) These limits are symmetrical about x’ but they are not “symmetrical in probability”. lt is not true that at the confidence level 1 - cy,
a Proportion not exceeding (1 -p)/2 of the population is beiow Li and a Proportion not exceeding (1 -p)/2 is above ,L.,.
5
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ISO 3207-1975 (E)
SECTION TWO : EXAMPLES
INTRODUCTORY REMARKS Sum of the squares of the differentes from the mean value :
Tables 1 to 4 will be illustrated by examples using the md*
Iz(x-~)*=D$----=
13 897,69
numerical values of ISO 2854 (section two, Paragraph 1
n
yarn 2) :
of the introductory remarks, table X,
Estimated variance :
12 measurements of the breaking load of cotton yarn. lt
should be noted that the number of observations I-I = 12
’ (x-F)2 = 1 263 4
given here for these examples is considerably Iower than s2 =
f
n-l
the one recommended in ISO 2062, Textiles - Yarn from
packages - Method for determination of breaking load and
Estimated Standard deviation :
elongation at the breaking load of Single Strands - (CRL,
CRE and CRT testers).
s = 35,5
It is also known from experience that in the same batch the
The unit of measurement used to express the numerical
breaking loads are distributed according to a Pattern very
results of calculations in the different
data and
close to normal distribution.
examples is the centinewton.
The formal presentation of the ca Iculations will be given
X
only for tabl e 3 (one-sided interval, unknown variance).
228,6
232,i'
NUMERICAL EXAMPLES
238,8
Example No. 1 - One-sided statistical tolerante interval
317,2
(known variance,
table 1)
315,8
One assumes that the measurements previously obtained
275‘1
have shown that the dispersion is constant from one batch
222,2
to another from the Same supplier, although the mean is
236,7
constant, and represented
not is Standard
bY a
224,7
deviation o = 33,15.
251‘2
One wishes to calcula te the I imit Li such
that it is possib Ie
210,4
to assert with a con
f idence level 1 - a! = 0,9 5 that in a
270,7
Proportion at least equal to 0,95 (95 %) the breaking load
likely to be
of the items taken as samples f rom the batch
These measurements come from a batch of 12 000 bobbins,
in the Same
and measured conditions is above Li.
from one production job, packed in 120 boxes each
Table 5 gives :
containing 100 bobbins. 12 boxes have been drawn at
k, (12; 0,95; 0,95) = 2,12
random from the batch and a bobbin has been drawn at
random from each of these boxes. Test pieces of 50 cm
whence :
length have been tut from
...
SLOVENSKI STANDARD
SIST ISO 3207:1996
01-september-1996
Statistical interpretation of data - Determination of a statistical tolerance interval
Statistical interpretation of data -- Determination of a statistical tolerance interval
Interprétation statistique des données -- Détermination d'un intervalle statistique de
dispersion
Ta slovenski standard je istoveten z: ISO 3207:1975
ICS:
03.120.30 8SRUDEDVWDWLVWLþQLKPHWRG Application of statistical
methods
SIST ISO 3207:1996 en
2003-01.Slovenski inštitut za standardizacijo. Razmnoževanje celote ali delov tega standarda ni dovoljeno.
---------------------- Page: 1 ----------------------
SIST ISO 3207:1996
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SIST ISO 3207:1996
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INTERNATIONAL ORGANIZATION FOR STANDARDIZATION l MEXQYHAPOfiHAfi OPI-AHM3ALWII lI0 CTAHAAPTbi3ALWi~ORGANISATION INTERNATIONALE DE NORMALISATION
Statistical interpretation of data - Determination of a
statistical tolerante interval
Determination d’un in tervalle s ta tis tique de dispersion
In terpr6 ta tion s ta fis tique des donnbes -
First edition - 1975-05-15
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Ref. No. ISO 3207-1975 (E)
UDC 519 (083.4)
: statistkaI analysis, statistical tolerante, tables (datal, computation.
Descriptors
Price based on 15 pages
---------------------- Page: 3 ----------------------
SIST ISO 3207:1996
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ISO (the International Organization for Standardization) is a worldwide federation
of national Standards institutes (ISO Member Bodies). The work sf developing
International Standards is carried out through ISO Technical Committees. Every
Member Body interested in a subject for which a Technical Committee has been set
up has the right to be represented on that Committee. International organizations,
governmental and non-governmental, in liaison with ISO, also take part in the work.
Draft International Standards adopted by the Technical Committees are circulated
to the Member Bodies for approval before their acceptance as International
Standards by the ISO Council.
International Standard ISO 3207 was drawn up by Technical Committee
ISO/TC 69, Applications of statistica/ methods, and circulated to the Member
Bodies in November 1973.
lt has been approved by the Member Bedies of the following countries :
Australia India South Africa, Rep. of
Belgium Israel Switzerland
Bulgar ia Italy Thailand
Czechoslovakia Netherlands Turkey
France New Zealand United Kingdom
Germany Poland U.S.S.R.
Hungary Romania
The Member Bodies of the following countries expressed disapproval of the
document on technical grounds :
Sweden
U.S.A.
0 International Organkation for Standardkation, 1975 l
Printed in Switzerland
---------------------- Page: 4 ----------------------
SIST ISO 3207:1996
CONTENTS Page
SECTION ONE : FORMAL PRESENTATION OF RESULTS . .
* . . . 1
- General remarks . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 1
- Tables
Table 1 - One-sided statistical tolerante interval
(known variance) . . . . . . . . . . .
. . . . 2
Table 2 - Two-sided statistical tolerante interval
(known variance) . . . . . . . . . . .
. . . . 3
Table 3 - One-sided statistical tolerante interval
(unknown variance) . . . . . . . . . .
. . . . 4
Table 4 - Two-sided statistical tolerante interval
(unknown variance) . . . . . . . . . . . . . . 5
SECTION TWO : EXAMPLES . . . . . . . . . . . . . . . . 6
Annexes
A Case of any distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
B Statistical tables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
Table 5 - One-sided statistical tolerante interval (known variance)
Values of the coefficient k, (n, p, 1 - a) 11
Table 6 - Two-sided statistical tolerante interval (known variance)
Values of the coefficient k; (n, p, 1 -a) . . . . . . . 12
Table 7 - One-sided statistical tolerante interval (unknown variance)
Values of the coefficient k2 (n, p, 1 - c11) . . . . . . . 13
Table 8 - Two-sided statistical tolerante interval (unknown variance)
Values of the coefficient k; (n, p, 1 - a) . . . . . . . 14
one-sided Statist
Table 9 - Non-parametric ical tolerante i ntervals -
Sample size n fo Ir a Proportion p at confidence level
1-a . . . 15
nterv
Table 10 - Non-Pa rametr ic two- sided statistical tol erance als -
Sample size n for a p ropor ,tion p at con f idence level
1-a. . . 15
I.
Ill
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INTERNATIONAL STANDARD ISO 32074975 (E)
Statistical interpretation of data - Determination of a
statistical tolerante interval
SECTION ONE : FORMAL PRESENTATION OF RESULTS
GENERAL REMARKS 7) No elimination or potential correction of individual
data that are doubtful shall be carried out unless there are
1) This International Standard specifies methods enabling
experimental, technical or obvious reasons to provide
a Sample to be used as the basis for determining a statistical
circumstantial justification of such elimination or
tolerante interval, i.e. an interval such that there is a fixed
correction.
probability (confidence level) that the interval will contain
In every instance, mention shall be made of the data
at least a Proportion p of the population from which the
eliminated or corrected.
Sample is taken. The statistical tolerante interval may be
two-sided or one-sided. The limits of the interval are called
8) As stated in 1 ), the confidence level 1 - a is the
“statistical tolerante limits”; they are also called “natura1
probability that the statistical tolerante interval will
limits of the process”.
contain at least a Proportion p of the population. The risk
2) These methods are applicable only where it may be
of this interval containing less than a Proportion p of the
assumed that in the population under consideration the
population is CII. The most usual values of 1 - cy are 0,95 and
Sample units have been selected at random and are
0,99 (a = 0,05 and 0,Ol).
independent.
This means that if statistical tolerante intervals are
3) The methods described below apply also only on determined for a large number of samples at the confidence
condition that the distribution of the characteristic being level 0,95 for example, the Proportion of those intervals
studied is normal. The requirement of normality is more which will contain at least the desired fraction of the
important here than for the inferences on means and population will be close to 95 %.
differentes between means in ISO 2854, Statistical
9) Tables 1 and 2 are applicable to the case where the
interpretation of data - Techniques of estimation and tests
Standard deviation for the population is known (the mean
relating to means and variances.
being unknown); tables 3 and 4 to the case where the mean
4) in Order to check the hypothesis of normality, the
and the Standard deviation are unknown.
methods laid down in ISO. . ., Sta tis tical in terpre ta tion 0 f
- Normality tests’ 1, are used. Where the mean and the Standard deviation having
data
respectively the values m and o are known, the distribution
5) Where the hypothesis of normality has to be rejected or
of the characteristic under investigation (assumed to be
where there is some reason to doubt its validity, one may
normal) is fully determined; there is exactly a Proportion p
envisage transforming the variate to make it normal or
of the population :
applying the method described in the introductory remark
-
on the right side of m - uPo
of annex A of this international Standard.
one-sided intervals
-
on the left side of m -t- uPo
It is also possible to apply now methods which allow the
1
determination of statistical tolerante intervals for other
- between m -
q1 +p)/2 0 andm + q1 +p)/2 cJ : two-
distribution forms than normal distributions. The
sided interval
description of these methods has not been considered in
this International Standard.
where uP is the fractile of Order p of the standardized
normal variate.
6) In determining a statistical tolerante interval, it is
desirable in connection with the origin or the method of
Numerital values of u are in these cases to be read on the
collection of data to give all information that may assist in
bottom line of tables B and 6.
their statistical analysis, in particular the smallest unit or
10) The calculations tan often be very much simplified by
fraction of a measurement unit having practical
making a Change in origin and/or in unit.
signif icance.
1) In preparation.
1
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SIST ISO 3207:1996
ISO 32074975 (E)
TABLE 1 - One-sided statistkaI tolerante interval (known variance)’ )
. . . . . . . . , . . . . . . . . .
Technical characteristics of the population under investigation*)
Technical characteristics of the Sample units*) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Eliminated observations3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Statistical data Calculations
Sample size :
n=
Sum of the observed values :
CX
j+-----=
Ex =
n
Known value of the variance of the population :
-
-
o*
whence the Standard deviation :
6)
k, (n,p, 1-a) o=
o-
Proportion of the population selected for the statistical
tolerante intervala) :
P=
Chosen confidence IeveW :
1 -a!=
k, h p, 1 - 4 =
Results
a) One-sided interval “to the Ieft”
a that at least a Proportion p of the population is above :
There is a probability 1 -
= x+k, (n,p, 1 -a) o=
Ls
b) One-sided interval “to the right”
There is a probability 1 - a! that at least a Proportion p of the population is above :
=Z-k, (n,p, 1 -a)o=
Li
1) A numerical example is given in section two of this International Standard : example No. 1
2) See Paragraph 6 of General remarks.
3) See Paragraph 7 of General remarks.
4) See Paragraph 1 of General remarks.
5) See Paragraph 8 of General remarks.
6) The values of k, (n, p, 1 -CU) tan be read directly from table 5 for different values of n, and for
p = 0,90;0,95; 0,99
1 -Cl!= 0,95 and 0,99
2
---------------------- Page: 8 ----------------------
SIST ISO 3207:1996
ISO 32074975 (E)
TABLE 2 - Two-sided statistical tolerante interval (known variance)’ )
Technical characteristics of the population under investigation*) . . . . . . . . . , . . . . . . . .
Technicai characteristics of the Sample units*) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Eiiminated observations3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Calcu iations
Statistical data
Sample size :
n=
Sum of the observed values :
CX
x=--=
cx =
n
Known vaiue of the variance of the population :
-
-
o*
whence the Standard deviation :
6)
tJ= k; (n, p, 1 - a) o =
Proportion of the population selected for the statistical
tolerante intervald) :
P=
Chosen confidence IeveF) :
1 -cy=
k; (n, p, 1 - a) =
Results
There is a probability 1 - a that at least a Proportion p of the population is included between the iimits7) :
=T-k!, (n,p, 1 -a) o-
Li
= X -t k!, (n, p, 1 - a) o =
L
1) A numerical example is given in section two of this International Standard : ,example No. 2.
2) See Paragraph 6 of General remarks.
3) See Paragraph 7 of General remarks.
4) See Paragraph 1 of General remarks.
5) See Paragraph 8 of General remarks.
CU) tan be read from table 6 for different values of n, and for
6) The values of k; (n, p, 1 -
p = 0,90; 0,95; 0,99
1 - CY = 0,95 and 0,99
lt is not true that at the confidence level 1 -Q, a
7) These limits are symmetrical about x but they are not “symmetrical in probability”.
Proportion not exceeding (1 -p)/2 of the population is below Li and a Proportion not exceeding (1 -pl/2 is above L,.
3
---------------------- Page: 9 ----------------------
SIST ISO 3207:1996
ISO 3207-1975 (E)
TABLE 3 - One-sided statistical tolerante interval (un known variance) ’ )
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
Technical characteristics of the population under investigation*)
Technical characteristics of the Sample units*) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Eliminated observations3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Calculations
Statistical data
Sample size :
EX
=- =
x
n=
n
Sum of the observed values :
C (X -F)* Cx* - (lZx)*/n -
cx =
n-l = n-l -
Sum of the squares of the observed values :
Ex2 =
Proportion of the population selected for the statistical
c (x-x)*
(T*=s=
tolerante intervala) :
n-l =
v’
(estimation of the Standard deviation 0)
P=
Chosen confidence levels) :
6)
1 -a=
k, (n, p, 1 - CU) s =
k, In, P, 1 - d =
Resu lts
a) One-sided interval “to the left”
- cy that at least a Proportion p of the population is below :
There is a probability 1
=X+k, (n,p, 1 -a)s=
Ls
b) One-sided interval “to the right”
a that at least a Proportion p of the population is above :
There is a probability 1 -
=X-k, (n,p, 1 -a)s=
Li
1) A numerical example is given in section two of this International Standard : example No. 3.
2) See Paragraph 6 of General remarks.
3) See Paragraph 7 of General remarks.
4) See Paragraph 1 of General remarks.
5) See Paragraph 8 of General remarks.
6) The values of k, (n, p, 1 - CY) tan be read from table 7 for different values of n, and for
= 0,90; 0,95; 0,99
P
1-a = 0,95 and 0,99
4
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SIST ISO 3207:1996
ISO 32074975 (E)
TABLE 4 - Two-sided statistical tolerante interval (unknown variance)‘)
Technical characteristics of the popuiation under investigation*)
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
Technical characteristics of the Sample units*) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Eliminated observations3) . . . . . . . . . . . . l . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Statistical data Calculations
Sample size :
x a
z-c
n=
n
Sum of the observed values :
Z (x--X)* lZx* - (zlx)*/n
cx =
n-l =
n-l =
Sum of the squares of the observed values :
Ex2 =
Proportion of the popuiation selected for the statistical
c (x -X)2
(J*=s=
tolerante intervalb) :
n-l =
i--
(estimation of the Standard deviation a)
P=
Chosen confidence IeveF) :
6)
l--a!=
kb (n, p, 1 - a) s =
ki (n, p, 1 - ~11) =
Results
There is a probability 1 -a! that at least a Proportion p of the population is included between the iimits7) :
=F--k; (n,p, l-a!)s=
Li
= 2 i- ki (n, p, 1 - CU) s =
L
1) A numerical example is given in section two of this International Standard : example NO. 4.
2) See Paragraph 6 of General remarks.
3) See Paragraph 7 of General remarks.
4) See Paragraph 1 of General remarks.
5) See Paragraph 8 of General remarks.
a) tan be read from table 8 for different values of n, and for
6) The values of k; (n, p, 1 -
p = 0,90; 0,95; 0,99
1 - CY = 0,95 and 0,99
7) These limits are symmetrical about x’ but they are not “symmetrical in probability”. lt is not true that at the confidence level 1 - cy,
a Proportion not exceeding (1 -p)/2 of the population is beiow Li and a Proportion not exceeding (1 -p)/2 is above ,L.,.
5
---------------------- Page: 11 ----------------------
SIST ISO 3207:1996
ISO 3207-1975 (E)
SECTION TWO : EXAMPLES
INTRODUCTORY REMARKS Sum of the squares of the differentes from the mean value :
Tables 1 to 4 will be illustrated by examples using the md*
Iz(x-~)*=D$----=
13 897,69
numerical values of ISO 2854 (section two, Paragraph 1
n
yarn 2) :
of the introductory remarks, table X,
Estimated variance :
12 measurements of the breaking load of cotton yarn. lt
should be noted that the number of observations I-I = 12
’ (x-F)2 = 1 263 4
given here for these examples is considerably Iower than s2 =
f
n-l
the one recommended in ISO 2062, Textiles - Yarn from
packages - Method for determination of breaking load and
Estimated Standard deviation :
elongation at the breaking load of Single Strands - (CRL,
CRE and CRT testers).
s = 35,5
It is also known from experience that in the same batch the
The unit of measurement used to express the numerical
breaking loads are distributed according to a Pattern very
results of calculations in the different
data and
close to normal distribution.
examples is the centinewton.
The formal presentation of the ca Iculations will be given
X
only for tabl e 3 (one-sided interval, unknown variance).
228,6
232,i'
NUMERICAL EXAMPLES
238,8
Example No. 1 - One-sided statistical tolerante interval
317,2
(known variance,
table 1)
315,8
One assumes that the measurements previously obtained
275‘1
have shown that the dispersion is constant from one batch
222,2
to another from the Same supplier, although the mean is
236,7
constant, and represented
not is Standard
bY a
224,7
deviation o = 33,15.
251‘2
One wishes to calcula te the I imit Li such
that it is possib Ie
210,4
to assert with a con
f idence level 1 - a! = 0,9 5 that in a
270,7
Proportion at least equal to 0,95 (95 %) the breaking load
likely to be
of the items taken as sample
...
3207
‘NORME INTERNATIONALE
INTERNATIONAL ORGANIZATION FOR STANDARDIZATION l EXAYHAPOAHA5l OPI-AHH3AWR II0 cTAHAAPTkI3ALWH~ORGANISATION INTERNATIONALE DE NORMALISATION
Interprétation statistique des données - Détermination
d’un intervalle statistique de dispersion
.
De termina tion of a sta tistical tolerance in terval
Statistical interpretation of data -
Première édition - 1975-05-l 5
Réf. no : ISO 3207-1975 (F)
CDU 519 (083.4)
Descripteurs : analyse statistique, intervalle statistique de dispersion, table de données, calcul.
Prix basé sur 15 pages
---------------------- Page: 1 ----------------------
AVANT-PROPOS
LIS0 (Organisation Internationale de Normalisation) est une fédération mondiale
d’organismes nationaux de normalisation (Comités Membres ISO). L’élaboration de
Normes Internationales est confiée aux Comités Techniques ISO. Chaque Comité
Membre intéressé par une étude a le droit de faire partie du Comité Technique
correspondant. Les organisations internationales, gouvernementales et non
gouvernementales, en liaison avec I’ISO, participent également aux travaux.
Les Projets de Normes Internationales adoptés par les Comités Techniques sont
soumis aux Comités Membres pour approbation, avant leur acceptation comme
Normes Internationales par le Conseil de I’ISO.
La Norme Internationale ISO 3207 a été établie par le Comité Technique
lSO/TC 69, Application des méthodes statistiques, et soumise aux Comités
Membres en novembre 1973.
Elle a été approuvée par les Comités Membres des pays suivants :
Afrique du Sud, Rép. d’ Inde Royaume-Uni
Allemagne Israël Suisse
Australie Italie Tchécoslovaquie
Belgique Nouvelle-Zélande Thaïlande
Bulgarie Pays-Bas Turquie
France Pologne U.R.S.S.
Hongrie Roumanie
Les Comités Membres des pays suivants ont désapprouvé le document pour des
raisons techniques :
Suède
U.S.A.
0 Organisation Internationale de Normalisation, 1975 l
Imprimé en Suisse
ii
---------------------- Page: 2 ----------------------
SOMMAI RE Page
SECTION UN : PRÉSENTATION FORMELLE DES RÉSULTATS . . . .
- Remarques générales . . . . . . . . . . . . . .
. . . .
- Tables
Table 1 - Intervalle statistique de dispersion unilatéral
(variante connue) . , . . . . . . . . . . . l . 2
Table 2 - Intervalle statistique de dispersion bilatéral
(variante connue) . . . . . . . . . . . . . . . 3
Table 3 - Intervalle statistique de dispersion unilatéral
(variante inconnue) . , . . . . . . . . . . . . 4
Table 4 - Intervalle statistique de dispersion bilatéral
(variante inconnue) . . . . . . . . . . . . . . 5
SECTION DEUX : EXEMPLES . . . . , . . . . . . . , . . . . 6
Annexes
A Cas d’une distribution quelconque . . . . . . . . . . . . . . 9
B Tables statistiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
.
Table 5 - Intervalle statistique de dispersion unilatéral
(variante connue)
Valeurs du coefficient kt (n,p, 1 -a) . . . . . . . . 11
Table 6 - Intervalle statistique de dispersion bilatéral
(variante connue)
Valeurs du coefficient k; (n, p, 1 -a) . . . . . . . . 12
Table 7 - Intervalle statistique de dispersion unilatéral
(variante inconnue)
Valeurs du coefficient k2 (n, p, 1 -a) . . . . , . . . 13
Table 8 - Intervalle statistique de dispersion bilatéral
(variante inconnue)
14
Valeurs du coefficient k; (n, p, 1 - ar) . . . . . . . .
Table 9 - Intervalles statistiques non paramétriques unilatéraux de
dispersion - Effectif n de l’échantillon pour une
proportion p au niveau de confiance 1 - a . . . . . . . 15
Table 10 - Intervalles statistiques non paramétriques bilatéraux de
dispersion - Effectif n de l’échantillon pour une
15
proportion p au niveau de confiance 1 -CI~ . . . . . l
. . .
III
---------------------- Page: 3 ----------------------
Page blanche
---------------------- Page: 4 ----------------------
NORME INTERNATIONALE ISO 32074975 (F)
Interprétation statistique des données - Détermination
d’un intervalle statistique de dispersion
SECTION UN : PRÉSENTATION FORMELLE DES RÉSULTATS
statistique, notamment l’unité ou la fraction d’unité de
REMARQUES GÉNÉRALES
mesure la plus petite ayant une signification pratique.
Norme Internationale spécifie des
1) La présente
7) On ne doit procéder à l’élimination ou à la correction
à partir d’un échantillon, de
méthodes permettant,
éventuelle de données individuelles apparemment douteuses
intervalle statistique de dispersion,
déterminer un
que s’il existe des raisons expérimentales, techniques ou
c’est-à-dire un intervalle contenant, avec une probabilité
évidentes, permettant une justification circonstanciée de
fixée (niveau de confiance) au moins une fraction p de la
cette élimination ou de cette correction.
population dont provient l’échantillon. L’intervalle
statistique de dispersion peut être bilatéral ou unilatéral.
Dans tous les cas, les données éliminées ou corrigées doivent
Les limites de l’intervalle s’appellent ((limites statistiques de
être mentionnées.
dispersion)); elles portent aussi le nom de ((limites naturelles
du processus )). 8) Comme il a été dit en l), le niveau de confiance 1 - QI
est la probabilité pour que l’intervalle statistique de
2) Ces méthodes ne sont applicables que si l’on peut
dispersion contienne au minimum une fraction p de la
admettre que, dans la population considérée, les individus
population; le risque que cet intervalle contienne moins
de l’échantillon ont été prélevés au hasard et sont
d’une fraction p de la population est ar. Les valeurs les plus
indépendants.
usuelles de 1 - at sont 0’95 et 0’99 (ar = 0,05 et 0,Ol).
3) Les méthodes décrites ci-après ne sont également
Cela signifie que, si des intervalles statistiques de dispersion
applicables qu’à la condition que la distribution du
sont déterminés pour un grand nombre d’échantillons au
caractère étudié soit normale. La nécessité de cette
niveau de confiance 0,95 par exemple, la proportion de ces
condition de normalité est plus importante ici, car elle
intervalles qui contiendront au moins la fraction voulue de
infère davantage que pour des moyennes et des différences
la population sera voisine de 95 %.
entre moyennes exposées dans I’ISO 2854, Interprétation
statistique des données - Techniques d’estimation et tests
9) Les tables 1 et 2 correspondent au cas où l’écart-type
portant sur des moyennes et des variantes.
de la population est connu (la moyenne étant inconnue), les
tables 3 et 4 au cas où la moyenne et l’écart-type sont
4) Pour vérifier l’hypothèse de normalité, on utilise les
inconnus.
méthodes exposées dans I’ISO . ; ., Interprétation
statistique des données - Tests de norma fité’ ) .
Lorsque la moyenne et l’écart-type, ayant respectivement
les valeurs m et a, sont connus, la distribution du caractère
5) Lorsque l’hypothèse de normalité doit être rejetée ou
étudié (supposée normale) est entièrement déterminée; il y
lorsque, pour une raison quelconque, on a des doutes sur sa
a exactement une fraction p de la population :
validité, on peut envisager de transformer la variable pour la
-
rendre normale ou d’appliquer la méthode décrite dans la
à droite de m - upo
intervalles unilatéraux
remarque introductive de l’annexe A de la présente Norme
-
à gauche de m i- uPo
Internationale.
- entrem-ql + p)/2o et m + u(l + p)/2o : intervalle
II existe également des méthodes qui permettent de
bilatéral
déterminer des intervalles statistiques de dispersion pour
d’autres types de distributions que des distributions
où+ est le fractile d’ordre p de la variable normale réduite.
normales. La description de ces méthodes n’a pas été
Les valeurs numériques de up peuvent être lues, dans les cas
envisagée dans la présente Norme Internationale.
ci-dessus, à la dernière ligne des tables 5 et 6.
6) II est souhaitable, lors de la détermination d’un
10) Les calculs peuvent souvent être fortement simplifiés
intervalle statistique de dispersion, de donner toutes les
en effectuant sur les données un changement d’origine
indications relatives à l’origine ou à la méthode de
et/ou d’unité.
prélèvement des données susceptibles d’éclairer leur analyse
1) En préparation.
---------------------- Page: 5 ----------------------
ISO 32074975 (F)
TABLE 1 - Intervalle statistique de dispersion unilatéral (variante connue) 1 )
Caractéristiques techniques de la population étudiée*) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Caractéristiques techniques des individus prélevés*) . . . : . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Observations éliminées3) . . . . . . . . . . . . . . . . \ , . . . . . . . . . . . . . . .
Calcu 1s
Données statistiques
.
Effectif de l’échantillon :
n=
Somme des valeurs observées :
x xx
z-z
XX=
n
Valeur connue de la variante de la population :
-
-
o*
d’où l’écart-type :
6)
k, (n,p,l-do=
o=
Fraction de la population choisie pour l’intervalle
statistique de dispersiona) :
P= .
Niveau de. confiance choisis) :
1 -a,=
k, (n,p; 1 -a) =
Rhlmm .
a) Intervalle unilatéral ccà gauche))
- ar pour qu’au minimum une fraction p de la population soit inférieure à :
II y a une probabilité 1
=F+k, (n,p, 1 -CU) B-
Ls
b) Intervalle unilatéral ccà droite»
II y a une probabilité 1 - c11 pour qu’au minimum une fraction p de la population soit supérieure à :
L,=x-k, (n,p, 1 -a) o-
1) Un exemple num6rique est donné dans la section deux de la présente Norme Internationale : Exemple no 1.
2) Voir paragraphe 6 des Remarques génbrales.
3) Voir paragraphe 7 des Remarques générales.
4) Voir paragraphe 1 des Remarques génkales.
5) Voir paragraphe 8 des Remarques générales.
6) Les valeurs numhriques de kl (n, p, 1 - at) peuvent être lues directement dans la table 5 pour différentes valeurs de n, et pour
p = 0,90; 0,95; 0,99
._ I
1 - a = 0,95 et 0,99
2
---------------------- Page: 6 ----------------------
ISO 32074975 (F)
’ TABLE 2 - Intervalle statistique de dispersion bilatéral (variante Connue$ )
Caractéristiques techniques de la population étudiée*) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Caractéristiques techniques des individus prélevés*) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Observations éliminéess) . . . . , . . . . , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Calculs
Données statistiques
Effectif de l’échantillon :
=
n
Somme des valeurs observées :
x cx
c----z
XX=
n
Valeur connue de la variante de la population
02 =
d’où l’écart-type :
6)
ci- k!, (n,p, l-a)o=
Fraction de la population choisie pour l’intervalle
statistique de dispersion4) :
P=
Niveau de confiance choisis) :
1 -a=
k; (n, p, 1 - a) =
Rbultats
- ut pour qu’au minimum une fraction p de la population soit comprise entre les limites-r) :
II y a une probabilité 1
Li =x-k; (n,p, 1 -a) O=
=Fï+k; (n,p, l-do=
L
1) Un exemple num&ique est donné dans la section deux de la prdsente Norme Internationale : Exemple no 2.
2) Voir paragraphe 6 des Remarques gdnbales.
3)
Voir paragaphe 7 des Remarques gdnérales.
4)
Voir paragraphe 1 des Remarques géndrales.
5) Voir paragaphe 8 des Remarques générales
6) Les valeurs numeriques de k; (n, p, 1 - tu) peuvent 6tre lues dans la table 6 pour différentes valeurs de n, et pour
p = 0,90; 0,95; 0,99
. 1 - ut = 0,95 et 0,99
7) Ces limites sont symétriques par rapport à Y, mais elles ne sont pas ((symétriques en probabilith II n’est pas vrai qu’au niveau de
CY, une fraction d’au plus (1 - p)/2 de la population est inférieure à Li et une fraction d’au plus (1 -p)/2 supérieure à L,.
confiance 1 -
3
---------------------- Page: 7 ----------------------
ISO 32074975 (F)
TABLE 3 - Intervalle statistique de dispersion unilatéral (variante inconnue) 1 )
Caractéristiques techniques de la population étudiée*) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Caractéristiques techniques des individus prélevés*) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Observations éliminées3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Données statistiques Calculs
Effectif de l’échantillon :
x xx
z-c
n=
n
Somme des valeurs observées :
E (x-X)* ZZx* - (Zx)*ln
XX=
n-l = n-l =
Somme des carres des valeurs observées :
cx* =
Fraction de la population choisie pour l’intervalle
(T*= sz{y
statistique de dispersiona) :
(estimation de l’écart-type 0)
P=
Niveau de confiance choisis) :
1 -lx= 6)
k, (n, p, 1 - a) s =
k, (n, P, 1 - 4 =
Résultats
a) Intervalle unilatéral ccà gauche))
- c11 pour qu’au minimum une fraction p de la population soit inférieure à :
II y a une probabilité 1
=3-k, (n,p, 1 -a)~=
Ls
b) Intervalle unilatéral
- a pour qu’au minimum une fraction p de la population soit supérieure à :
II y a une probabilité 1
Li=x-k, (n,p, I-cw)S=
1) Un exemple numérique est donne dans la section deux de la P&ente Norme Internationale : Exemple no 3.
2) Voir paragraphe 6 des Remarques génbrales.
3) Voir paragraphe 7 des Remarques générales.
4) Voir paragraphe 1 des Remarques @neraIes.
5) Voir paragraphe 8 des Remarques générales.
---a) peuvent être lues dans la table 7 pour différentes valeurs de n, et pour
6) Les valeurs numériques de k2 (n, p, 1
p = 0,90; 0,95; 0,99
1 - Q! = 0,95 et 0,99
---------------------- Page: 8 ----------------------
ISO 32074975 (F)
TABLE 4 - Intervalle statistique de dispersion bilatéral (variante inconnue)l)
Caractéristiques techniques de la population étudiée*) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Caractéristiques techniques des individus prélevés*) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Observations éliminéesa) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Donhées statistiques Calculs
Effectif de l’échantillon :
x xx
c-c
n=
n
Somme des valeurs observées :
c (x-j+ XX* - (Dd*h -
XX=
n-l -
n-l =
Somme des carrés des valeurs observées :
cx* =
Fraction de la population choisie pour l’intervalle
.*=,=fy% ,
statistique de dispersiond) :
(estimation de l’écart-type 0)
P=
Niveau de confiance choisis) :
l-O!=
k; (n, p, 1 - a) s =
6)
k; (n, p, 1 -a) =
Résultats
a pour qu’au minimum une fraction p de la population soit comprise entre les limites71
II y a une probabilité 1 -
= X - ki (n, p, 1 - a) s =
Li
= F + k; (n, p, 1 - a) s =
Ls
1) Un exemple numerique est donné dans la section deux de la présente Norme Internationale : Exemple no 4.
2) Voir paragraphe 6 des Remarques générales.
3) Voir paragraphe 7 des Remarques dnérales.
4) Voir paragraphe 1 des Remarques @néraIes.
5) Voir paragraphe 8 des Remarques générales.
6) Les valeurs numériques de k; (n, p, 1 - ar) peuvent être lues dans la table 8 pour différentes valeurs de n, et pour
0,90; 0,95; 0,99
P=
1 - ac = 0,95 et 0,99
7) Ces limites sont symétriques par rapport à j?, mais elles ne sont pas ((symétriques en probabilité)). II n’est pas vrai qu’au niveau de
confiance 1 -
cy, une fraction d’au plus (1 -p)/2 de la population est inférieure à Li et une fraction d’au plus (1 -p)/2 supérieure à L,.
---------------------- Page: 9 ----------------------
ISO 32074975 (F)
SECTION DEUX : EXEMPLES
Somme des carrés des différences avec la valeur moyenne :
REMARQUES INTRODUCTIVES
md*
On illustrera les tables 1 à 4 par des exemples utilisant les
- -= 13 897,69
z (x-x)* = xx*
valeurs numériques de I’ISO 2854 (section deux, n
paragraphe 1 des «Remarques introductives)), table X,
Estimation de la variante :
fil 2) : 12 mesures de la charge de rupture de fil de coton. II
faut noter que le nombre d’observations n = 12 retenu pour
s2 z (x-x)*
-
-
ces exemples est notablement inférieur à celui préconisé = 1 263,4
n-l
dans I’ISO 2062, Textiles - Fils sur enroulements -
Méthode de détermination de la force de rupture et de
Estimation de l’écart-type :
l’allongement de rupture du fil individuel - (Appareils à
vitesse constan te dJaccroissemen t de force, d’allongement s = 35,5
ou de déplacement de la pince de traction).
On sait d’autre part, par expérience, qu’à l’intérieur d’un
Le centinewton est l’unité de mesure dans laquelle sont même lot, les charges de. rupture sont distribuées suivant
exprimés les données numériques et les résultats des calculs une loi très voisine d’une loi normale.
des différents exemples.
La présen tation formel1 e des calculs ne sera faite que pour
X
la table 3 (intervalle uni latéral, variante inconnue)
228,6
232,7 EXEMPLES NUMÉRIQUES
238,8
- Intervalle stat de dispersion
Exemple no 1
317,2
unilatéral (variante connue, table 1)
315,8
275,l On suppose que des mesures antérieures ont montré que la
dispersion est constante d’un lot à l’autre du même
222,2
fournisseur, bien que la moyenne ne le soit pas, et est
236,7
représentée par un écart type 0 = 33,15.
224,7
251,2
On veut calculer la limite Li telle qu’on puisse affirmer,
210,4 avec un niveau de confiance 1 -a = 0,95, que dans une
proportion au moins égale à 0,95 (95 %), la charge de
270,7
rupture des éléments susceptibles d’être prélevés dans le lot
et mesurés dans les mêmes conditions est supérieure à Lie
Ces mesures proviennent d’un lot de 12 000 bobines, d’une
même fabrication, emballées dans 120 boîtes d
...
3207
‘NORME INTERNATIONALE
INTERNATIONAL ORGANIZATION FOR STANDARDIZATION l EXAYHAPOAHA5l OPI-AHH3AWR II0 cTAHAAPTkI3ALWH~ORGANISATION INTERNATIONALE DE NORMALISATION
Interprétation statistique des données - Détermination
d’un intervalle statistique de dispersion
.
De termina tion of a sta tistical tolerance in terval
Statistical interpretation of data -
Première édition - 1975-05-l 5
Réf. no : ISO 3207-1975 (F)
CDU 519 (083.4)
Descripteurs : analyse statistique, intervalle statistique de dispersion, table de données, calcul.
Prix basé sur 15 pages
---------------------- Page: 1 ----------------------
AVANT-PROPOS
LIS0 (Organisation Internationale de Normalisation) est une fédération mondiale
d’organismes nationaux de normalisation (Comités Membres ISO). L’élaboration de
Normes Internationales est confiée aux Comités Techniques ISO. Chaque Comité
Membre intéressé par une étude a le droit de faire partie du Comité Technique
correspondant. Les organisations internationales, gouvernementales et non
gouvernementales, en liaison avec I’ISO, participent également aux travaux.
Les Projets de Normes Internationales adoptés par les Comités Techniques sont
soumis aux Comités Membres pour approbation, avant leur acceptation comme
Normes Internationales par le Conseil de I’ISO.
La Norme Internationale ISO 3207 a été établie par le Comité Technique
lSO/TC 69, Application des méthodes statistiques, et soumise aux Comités
Membres en novembre 1973.
Elle a été approuvée par les Comités Membres des pays suivants :
Afrique du Sud, Rép. d’ Inde Royaume-Uni
Allemagne Israël Suisse
Australie Italie Tchécoslovaquie
Belgique Nouvelle-Zélande Thaïlande
Bulgarie Pays-Bas Turquie
France Pologne U.R.S.S.
Hongrie Roumanie
Les Comités Membres des pays suivants ont désapprouvé le document pour des
raisons techniques :
Suède
U.S.A.
0 Organisation Internationale de Normalisation, 1975 l
Imprimé en Suisse
ii
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SOMMAI RE Page
SECTION UN : PRÉSENTATION FORMELLE DES RÉSULTATS . . . .
- Remarques générales . . . . . . . . . . . . . .
. . . .
- Tables
Table 1 - Intervalle statistique de dispersion unilatéral
(variante connue) . , . . . . . . . . . . . l . 2
Table 2 - Intervalle statistique de dispersion bilatéral
(variante connue) . . . . . . . . . . . . . . . 3
Table 3 - Intervalle statistique de dispersion unilatéral
(variante inconnue) . , . . . . . . . . . . . . 4
Table 4 - Intervalle statistique de dispersion bilatéral
(variante inconnue) . . . . . . . . . . . . . . 5
SECTION DEUX : EXEMPLES . . . . , . . . . . . . , . . . . 6
Annexes
A Cas d’une distribution quelconque . . . . . . . . . . . . . . 9
B Tables statistiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
.
Table 5 - Intervalle statistique de dispersion unilatéral
(variante connue)
Valeurs du coefficient kt (n,p, 1 -a) . . . . . . . . 11
Table 6 - Intervalle statistique de dispersion bilatéral
(variante connue)
Valeurs du coefficient k; (n, p, 1 -a) . . . . . . . . 12
Table 7 - Intervalle statistique de dispersion unilatéral
(variante inconnue)
Valeurs du coefficient k2 (n, p, 1 -a) . . . . , . . . 13
Table 8 - Intervalle statistique de dispersion bilatéral
(variante inconnue)
14
Valeurs du coefficient k; (n, p, 1 - ar) . . . . . . . .
Table 9 - Intervalles statistiques non paramétriques unilatéraux de
dispersion - Effectif n de l’échantillon pour une
proportion p au niveau de confiance 1 - a . . . . . . . 15
Table 10 - Intervalles statistiques non paramétriques bilatéraux de
dispersion - Effectif n de l’échantillon pour une
15
proportion p au niveau de confiance 1 -CI~ . . . . . l
. . .
III
---------------------- Page: 3 ----------------------
Page blanche
---------------------- Page: 4 ----------------------
NORME INTERNATIONALE ISO 32074975 (F)
Interprétation statistique des données - Détermination
d’un intervalle statistique de dispersion
SECTION UN : PRÉSENTATION FORMELLE DES RÉSULTATS
statistique, notamment l’unité ou la fraction d’unité de
REMARQUES GÉNÉRALES
mesure la plus petite ayant une signification pratique.
Norme Internationale spécifie des
1) La présente
7) On ne doit procéder à l’élimination ou à la correction
à partir d’un échantillon, de
méthodes permettant,
éventuelle de données individuelles apparemment douteuses
intervalle statistique de dispersion,
déterminer un
que s’il existe des raisons expérimentales, techniques ou
c’est-à-dire un intervalle contenant, avec une probabilité
évidentes, permettant une justification circonstanciée de
fixée (niveau de confiance) au moins une fraction p de la
cette élimination ou de cette correction.
population dont provient l’échantillon. L’intervalle
statistique de dispersion peut être bilatéral ou unilatéral.
Dans tous les cas, les données éliminées ou corrigées doivent
Les limites de l’intervalle s’appellent ((limites statistiques de
être mentionnées.
dispersion)); elles portent aussi le nom de ((limites naturelles
du processus )). 8) Comme il a été dit en l), le niveau de confiance 1 - QI
est la probabilité pour que l’intervalle statistique de
2) Ces méthodes ne sont applicables que si l’on peut
dispersion contienne au minimum une fraction p de la
admettre que, dans la population considérée, les individus
population; le risque que cet intervalle contienne moins
de l’échantillon ont été prélevés au hasard et sont
d’une fraction p de la population est ar. Les valeurs les plus
indépendants.
usuelles de 1 - at sont 0’95 et 0’99 (ar = 0,05 et 0,Ol).
3) Les méthodes décrites ci-après ne sont également
Cela signifie que, si des intervalles statistiques de dispersion
applicables qu’à la condition que la distribution du
sont déterminés pour un grand nombre d’échantillons au
caractère étudié soit normale. La nécessité de cette
niveau de confiance 0,95 par exemple, la proportion de ces
condition de normalité est plus importante ici, car elle
intervalles qui contiendront au moins la fraction voulue de
infère davantage que pour des moyennes et des différences
la population sera voisine de 95 %.
entre moyennes exposées dans I’ISO 2854, Interprétation
statistique des données - Techniques d’estimation et tests
9) Les tables 1 et 2 correspondent au cas où l’écart-type
portant sur des moyennes et des variantes.
de la population est connu (la moyenne étant inconnue), les
tables 3 et 4 au cas où la moyenne et l’écart-type sont
4) Pour vérifier l’hypothèse de normalité, on utilise les
inconnus.
méthodes exposées dans I’ISO . ; ., Interprétation
statistique des données - Tests de norma fité’ ) .
Lorsque la moyenne et l’écart-type, ayant respectivement
les valeurs m et a, sont connus, la distribution du caractère
5) Lorsque l’hypothèse de normalité doit être rejetée ou
étudié (supposée normale) est entièrement déterminée; il y
lorsque, pour une raison quelconque, on a des doutes sur sa
a exactement une fraction p de la population :
validité, on peut envisager de transformer la variable pour la
-
rendre normale ou d’appliquer la méthode décrite dans la
à droite de m - upo
intervalles unilatéraux
remarque introductive de l’annexe A de la présente Norme
-
à gauche de m i- uPo
Internationale.
- entrem-ql + p)/2o et m + u(l + p)/2o : intervalle
II existe également des méthodes qui permettent de
bilatéral
déterminer des intervalles statistiques de dispersion pour
d’autres types de distributions que des distributions
où+ est le fractile d’ordre p de la variable normale réduite.
normales. La description de ces méthodes n’a pas été
Les valeurs numériques de up peuvent être lues, dans les cas
envisagée dans la présente Norme Internationale.
ci-dessus, à la dernière ligne des tables 5 et 6.
6) II est souhaitable, lors de la détermination d’un
10) Les calculs peuvent souvent être fortement simplifiés
intervalle statistique de dispersion, de donner toutes les
en effectuant sur les données un changement d’origine
indications relatives à l’origine ou à la méthode de
et/ou d’unité.
prélèvement des données susceptibles d’éclairer leur analyse
1) En préparation.
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ISO 32074975 (F)
TABLE 1 - Intervalle statistique de dispersion unilatéral (variante connue) 1 )
Caractéristiques techniques de la population étudiée*) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Caractéristiques techniques des individus prélevés*) . . . : . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Observations éliminées3) . . . . . . . . . . . . . . . . \ , . . . . . . . . . . . . . . .
Calcu 1s
Données statistiques
.
Effectif de l’échantillon :
n=
Somme des valeurs observées :
x xx
z-z
XX=
n
Valeur connue de la variante de la population :
-
-
o*
d’où l’écart-type :
6)
k, (n,p,l-do=
o=
Fraction de la population choisie pour l’intervalle
statistique de dispersiona) :
P= .
Niveau de. confiance choisis) :
1 -a,=
k, (n,p; 1 -a) =
Rhlmm .
a) Intervalle unilatéral ccà gauche))
- ar pour qu’au minimum une fraction p de la population soit inférieure à :
II y a une probabilité 1
=F+k, (n,p, 1 -CU) B-
Ls
b) Intervalle unilatéral ccà droite»
II y a une probabilité 1 - c11 pour qu’au minimum une fraction p de la population soit supérieure à :
L,=x-k, (n,p, 1 -a) o-
1) Un exemple num6rique est donné dans la section deux de la présente Norme Internationale : Exemple no 1.
2) Voir paragraphe 6 des Remarques génbrales.
3) Voir paragraphe 7 des Remarques générales.
4) Voir paragraphe 1 des Remarques génkales.
5) Voir paragraphe 8 des Remarques générales.
6) Les valeurs numhriques de kl (n, p, 1 - at) peuvent être lues directement dans la table 5 pour différentes valeurs de n, et pour
p = 0,90; 0,95; 0,99
._ I
1 - a = 0,95 et 0,99
2
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ISO 32074975 (F)
’ TABLE 2 - Intervalle statistique de dispersion bilatéral (variante Connue$ )
Caractéristiques techniques de la population étudiée*) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Caractéristiques techniques des individus prélevés*) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Observations éliminéess) . . . . , . . . . , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Calculs
Données statistiques
Effectif de l’échantillon :
=
n
Somme des valeurs observées :
x cx
c----z
XX=
n
Valeur connue de la variante de la population
02 =
d’où l’écart-type :
6)
ci- k!, (n,p, l-a)o=
Fraction de la population choisie pour l’intervalle
statistique de dispersion4) :
P=
Niveau de confiance choisis) :
1 -a=
k; (n, p, 1 - a) =
Rbultats
- ut pour qu’au minimum une fraction p de la population soit comprise entre les limites-r) :
II y a une probabilité 1
Li =x-k; (n,p, 1 -a) O=
=Fï+k; (n,p, l-do=
L
1) Un exemple num&ique est donné dans la section deux de la prdsente Norme Internationale : Exemple no 2.
2) Voir paragraphe 6 des Remarques gdnbales.
3)
Voir paragaphe 7 des Remarques gdnérales.
4)
Voir paragraphe 1 des Remarques géndrales.
5) Voir paragaphe 8 des Remarques générales
6) Les valeurs numeriques de k; (n, p, 1 - tu) peuvent 6tre lues dans la table 6 pour différentes valeurs de n, et pour
p = 0,90; 0,95; 0,99
. 1 - ut = 0,95 et 0,99
7) Ces limites sont symétriques par rapport à Y, mais elles ne sont pas ((symétriques en probabilith II n’est pas vrai qu’au niveau de
CY, une fraction d’au plus (1 - p)/2 de la population est inférieure à Li et une fraction d’au plus (1 -p)/2 supérieure à L,.
confiance 1 -
3
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ISO 32074975 (F)
TABLE 3 - Intervalle statistique de dispersion unilatéral (variante inconnue) 1 )
Caractéristiques techniques de la population étudiée*) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Caractéristiques techniques des individus prélevés*) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Observations éliminées3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Données statistiques Calculs
Effectif de l’échantillon :
x xx
z-c
n=
n
Somme des valeurs observées :
E (x-X)* ZZx* - (Zx)*ln
XX=
n-l = n-l =
Somme des carres des valeurs observées :
cx* =
Fraction de la population choisie pour l’intervalle
(T*= sz{y
statistique de dispersiona) :
(estimation de l’écart-type 0)
P=
Niveau de confiance choisis) :
1 -lx= 6)
k, (n, p, 1 - a) s =
k, (n, P, 1 - 4 =
Résultats
a) Intervalle unilatéral ccà gauche))
- c11 pour qu’au minimum une fraction p de la population soit inférieure à :
II y a une probabilité 1
=3-k, (n,p, 1 -a)~=
Ls
b) Intervalle unilatéral
- a pour qu’au minimum une fraction p de la population soit supérieure à :
II y a une probabilité 1
Li=x-k, (n,p, I-cw)S=
1) Un exemple numérique est donne dans la section deux de la P&ente Norme Internationale : Exemple no 3.
2) Voir paragraphe 6 des Remarques génbrales.
3) Voir paragraphe 7 des Remarques générales.
4) Voir paragraphe 1 des Remarques @neraIes.
5) Voir paragraphe 8 des Remarques générales.
---a) peuvent être lues dans la table 7 pour différentes valeurs de n, et pour
6) Les valeurs numériques de k2 (n, p, 1
p = 0,90; 0,95; 0,99
1 - Q! = 0,95 et 0,99
---------------------- Page: 8 ----------------------
ISO 32074975 (F)
TABLE 4 - Intervalle statistique de dispersion bilatéral (variante inconnue)l)
Caractéristiques techniques de la population étudiée*) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Caractéristiques techniques des individus prélevés*) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Observations éliminéesa) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Donhées statistiques Calculs
Effectif de l’échantillon :
x xx
c-c
n=
n
Somme des valeurs observées :
c (x-j+ XX* - (Dd*h -
XX=
n-l -
n-l =
Somme des carrés des valeurs observées :
cx* =
Fraction de la population choisie pour l’intervalle
.*=,=fy% ,
statistique de dispersiond) :
(estimation de l’écart-type 0)
P=
Niveau de confiance choisis) :
l-O!=
k; (n, p, 1 - a) s =
6)
k; (n, p, 1 -a) =
Résultats
a pour qu’au minimum une fraction p de la population soit comprise entre les limites71
II y a une probabilité 1 -
= X - ki (n, p, 1 - a) s =
Li
= F + k; (n, p, 1 - a) s =
Ls
1) Un exemple numerique est donné dans la section deux de la présente Norme Internationale : Exemple no 4.
2) Voir paragraphe 6 des Remarques générales.
3) Voir paragraphe 7 des Remarques dnérales.
4) Voir paragraphe 1 des Remarques @néraIes.
5) Voir paragraphe 8 des Remarques générales.
6) Les valeurs numériques de k; (n, p, 1 - ar) peuvent être lues dans la table 8 pour différentes valeurs de n, et pour
0,90; 0,95; 0,99
P=
1 - ac = 0,95 et 0,99
7) Ces limites sont symétriques par rapport à j?, mais elles ne sont pas ((symétriques en probabilité)). II n’est pas vrai qu’au niveau de
confiance 1 -
cy, une fraction d’au plus (1 -p)/2 de la population est inférieure à Li et une fraction d’au plus (1 -p)/2 supérieure à L,.
---------------------- Page: 9 ----------------------
ISO 32074975 (F)
SECTION DEUX : EXEMPLES
Somme des carrés des différences avec la valeur moyenne :
REMARQUES INTRODUCTIVES
md*
On illustrera les tables 1 à 4 par des exemples utilisant les
- -= 13 897,69
z (x-x)* = xx*
valeurs numériques de I’ISO 2854 (section deux, n
paragraphe 1 des «Remarques introductives)), table X,
Estimation de la variante :
fil 2) : 12 mesures de la charge de rupture de fil de coton. II
faut noter que le nombre d’observations n = 12 retenu pour
s2 z (x-x)*
-
-
ces exemples est notablement inférieur à celui préconisé = 1 263,4
n-l
dans I’ISO 2062, Textiles - Fils sur enroulements -
Méthode de détermination de la force de rupture et de
Estimation de l’écart-type :
l’allongement de rupture du fil individuel - (Appareils à
vitesse constan te dJaccroissemen t de force, d’allongement s = 35,5
ou de déplacement de la pince de traction).
On sait d’autre part, par expérience, qu’à l’intérieur d’un
Le centinewton est l’unité de mesure dans laquelle sont même lot, les charges de. rupture sont distribuées suivant
exprimés les données numériques et les résultats des calculs une loi très voisine d’une loi normale.
des différents exemples.
La présen tation formel1 e des calculs ne sera faite que pour
X
la table 3 (intervalle uni latéral, variante inconnue)
228,6
232,7 EXEMPLES NUMÉRIQUES
238,8
- Intervalle stat de dispersion
Exemple no 1
317,2
unilatéral (variante connue, table 1)
315,8
275,l On suppose que des mesures antérieures ont montré que la
dispersion est constante d’un lot à l’autre du même
222,2
fournisseur, bien que la moyenne ne le soit pas, et est
236,7
représentée par un écart type 0 = 33,15.
224,7
251,2
On veut calculer la limite Li telle qu’on puisse affirmer,
210,4 avec un niveau de confiance 1 -a = 0,95, que dans une
proportion au moins égale à 0,95 (95 %), la charge de
270,7
rupture des éléments susceptibles d’être prélevés dans le lot
et mesurés dans les mêmes conditions est supérieure à Lie
Ces mesures proviennent d’un lot de 12 000 bobines, d’une
même fabrication, emballées dans 120 boîtes d
...
Questions, Comments and Discussion
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