ISO 11929-7:2005

Determination of the detection limit and decision threshold for ionizing radiation measurements — Part 7: Fundamentals and general applications

ISO 11929-7:2005 specifies suitable statistical values which allow an assessment of the detection capabilities in ionizing radiation measurements and of the physical effect quantified by the measurand. For this purpose, Bayesian statistical methods are used to specify characteristic limits. ISO 11929-7:2005 deals with fundamentals and general applications.

Détermination de la limite de détection et seuil de décision des mesurages de rayonnements ionisants — Partie 7: Principes fondamentaux et leurs applications générales

L'ISO 11929-7:2005 spécifie des valeurs statistiques adaptées permettant une évaluation des capacités de détection des mesurages des rayonnements ionisants ainsi que du phénomène physique quantifié par le mesurande. Dans ce but, on utilise des méthodes statistiques Bayesiennes pour définir les limites caractéristiques. L'ISO 11929-7:2005 traite des principes fondamentaux et de leurs applications générales.

General Information

• Status: Withdrawn
• Publication Date: 10-Feb-2005
• Withdrawal Date: 10-Feb-2005
• ICS: 17.240 - Radiation measurements
• Technical Committee: ISO/TC 85/SC 2 - Radiological protection
• Drafting Committee: ISO/TC 85/SC 2/WG 17 - Radioactivity measurements
• Current Stage: 9599 - Withdrawal of International Standard
• Completion Date: 24-Feb-2010

Relations

• Revised: ISO 11929:2010 - Determination of the characteristic limits (decision threshold, detection limit and limits of the confidence interval) for measurements of ionizing radiation — Fundamentals and application
• Effective Date: 15-Apr-2008

Standards Content (Sample)

INTERNATIONAL ISO
STANDARD 11929-7
First edition
2005-02-15


Determination of the detection limit and
decision threshold for ionizing radiation
measurements —
Part 7:
Fundamentals and general applications
Détermination de la limite de détection et du seuil de décision des
mesurages de rayonnements ionisants —
Partie 7: Principes fondamentaux et leurs applications générales




Reference number
ISO 11929-7:2005(E)
©
ISO 2005

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ISO 11929-7:2005(E)
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E-mail [e-mail]
Web www.iso.org
Published in Switzerland

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ISO 11929-7:2005(E)
Contents Page
Foreword. iv
Introduction . v
1 Scope. 1
2 Normative references . 1
3 Terms and definitions. 1
4 Quantities and symbols. 3
5 Statistical values and confidence interval. 4
5.1 General aspects . 4
5.2 Decision threshold. 4
5.3 Detection limit . 5
5.4 Confidence limits . 5
6 Application of this part of ISO 11929 . 6
6.1 Specific values . 6
6.2 Assessment of a measuring method . 6
6.3 Assessment of a measured result. 6
6.4 Documentation . 7
7 Values of the distribution function of the standardized normal distribution . 7
Annex A (informative) Example 1 of application of this part of ISO 11929. 9
Annex B (informative) Example 2 of application of this part of ISO 11929. 14
Bibliography . 19

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ISO 11929-7:2005(E)
Foreword
ISO (the International Organization for Standardization) is a worldwide federation of national standards bodies
(ISO member bodies). The work of preparing International Standards is normally carried out through ISO
technical committees. Each member body interested in a subject for which a technical committee has been
established has the right to be represented on that committee. International organizations, governmental and
non-governmental, in liaison with ISO, also take part in the work. ISO collaborates closely with the
International Electrotechnical Commission (IEC) on all matters of electrotechnical standardization.
International Standards are drafted in accordance with the rules given in the ISO/IEC Directives, Part 2.
The main task of technical committees is to prepare International Standards. Draft International Standards
adopted by the technical committees are circulated to the member bodies for voting. Publication as an
International Standard requires approval by at least 75 % of the member bodies casting a vote.
Attention is drawn to the possibility that some of the elements of this document may be the subject of patent
rights. ISO shall not be held responsible for identifying any or all such patent rights.
ISO 11929-7 was prepared by Technical Committee ISO/TC 85, Nuclear energy, Subcommittee SC 2,
Radiation protection.
ISO 11929 consists of the following parts, under the general title Determination of the detection limit and
decision threshold for ionizing radiation measurements:
 Part 1: Fundamentals and application to counting measurements without the influence of sample
treatment
 Part 2: Fundamentals and application to counting measurements with the influence of sample treatment
 Part 3: Fundamentals and application to counting measurements with high resolution gamma
spectrometry without the influence of sample treatment
 Part 4: Fundamentals and application to measurements by use of linear-scale analogue ratemeters,
without the influence of sample treatment
 Part 5: Fundamentals and applications to counting measurements on filters during accumulation of
radioactive material
 Part 6: Fundamentals and applications to measurements by use of transient mode
 Part 7: Fundamentals and general applications
 Part 8: Fundamentals and applications to unfolding of spectrometric measurements without the influence
of sample treatment

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ISO 11929-7:2005(E)
Introduction
This part of ISO 11929 gives basic information on the statistical principles for the determination of the
detection limit, of the decision threshold and of the limits of the confidence interval for general applications of
nuclear radiation measurements.
ISO 11929-1 and ISO 11929-2, respectively, deal with integral counting measurements with or without
consideration of the sample treatment. High-resolution spectrometric measurements are covered in
ISO 11929-3. ISO 11929-4 deals with measurements using linear-scale analogue ratemeters, ISO 11929-5
with monitoring of the concentration of aerosols in exhaust gas, air or waste water, ISO 11929-6 with
measurements by use of a transient measuring mode, and ISO 11929-8 with unfolding of spectrometric
measurements.
Whereas the earlier parts 1 to 4 were elaborated for special measuring tasks in nuclear radiation
[1] [2] [3]
measurements based on the principles defined by Altschuler and Pasternack , Nicholson , Currie , this
restriction does not apply to this part, or to part 5, part 6 and part 8. The determination of the characteristic
limits mentioned above is separated from the evaluation of the measurement. Consequently, this part of
ISO 11929 is generally applicable and can be applied to any suitable procedure for the evaluation of a
measurement. Since the uncertainty of measurement plays a fundamental role in this part of ISO 11929,
evaluations of measurements and the determination of the uncertainties of measurement have to be
performed according to the Guide for the Expression of Uncertainty in Measurement.
This part, as well as parts 5, 6 and 8, of ISO 11929 is based on methods of Bayesian statistics (see [4] to [6]
in the Bibliography) in order to be able to account also for such uncertain quantities and influences which do
not behave randomly in repeated or counting measurements.
For this purpose, Bayesian statistical methods are used to specify the following statistical values, called
“characteristic limits”:
 the decision threshold, which allows a decision to be made for a measurement with a given probability of
error as to whether the result of the measurement indicates the presence of the physical effect quantified
by the measurand.
 the detection limit, which specifies the minimum true value of the measurand which can be detected with
a given probability of error using the measuring procedure in question. This consequently allows a
decision to be made as to whether or not a measuring method checked using this part of ISO 11929
satisfies certain requirements and is consequently suitable for the given purpose of measurement.
 the limits of the confidence interval, which define an interval which contains the true value of the
measurand with a given probability, in the case that the result of the measurement exceeds the decision
threshold.

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INTERNATIONAL STANDARD ISO 11929-7:2005(E)

Determination of the detection limit and decision threshold for
ionizing radiation measurements —
Part 7:
Fundamentals and general applications
1 Scope
This part of ISO 11929 specifies suitable statistical values which allow an assessment of the detection
capabilities in ionizing radiation measurements and of the physical effect quantified by the measurand. For
this purpose, Bayesian statistical methods are used to specify characteristic limits.
This part of ISO 11929 deals with fundamentals and general applications.
2 Normative references
The following referenced documents are indispensable for the application of this document. For dated
references, only the edition cited applies. For undated references, the latest edition of the referenced
document (including any amendments) applies.
ISO 11929-1:2000, Determination of the detection limit and decision threshold for ionizing radiation
measurements — Part 1: Fundamentals and application to counting measurements without the influence of
sample treatment
ISO 11929-2:2000, Determination of the detection limit and decision threshold for ionizing radiation
measurements — Part 2: Fundamentals and application to counting measurements with the influence of
sample treatment
BIPM/IEC/IFCC/ISO/IUPAC/IUPAP/OIML, Guide to the Expression of Uncertainty in Measurement, Geneva,
1993
BIPM/IEC/IFCC/ISO/IUPAC/IUPAP/OIML, International Vocabulary of Basic and General Terms in Metrology,
2nd edition, Geneva, 1993
3 Terms and definitions
For the purposes of this document, the following terms and definitions apply.
3.1
measuring method
any logical sequence of operations, described generically, used in the performance of measurements
NOTE Adapted from the International Vocabulary of Basic and General Terms in Metrology:1993.
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ISO 11929-7:2005(E)
3.2
measurand
particular quantity subject to measurement
[International Vocabulary of Basic and General Terms in Metrology:1993]
NOTE In this part of ISO 11929, a measurand is non-negative and quantifies a nuclear radiation effect. The effect is
not present if the value of the measurand is zero. Examples for a measurand are the net count rate of a sample of
radioactive material, the net activity of a sample of radioactive material given the activity of a blank sample, the increase of
the specific activity or activity concentration of a gas flow, or the intensity of a line in a spectrum above the background in
a spectrometric measurement.
3.3
uncertainty (of measurement)
parameter, associated with the result of a measurement, that characterizes the dispersion of the values that
could reasonably be attributed to the measurand
[Guide for the Expression of Uncertainty in Measurement:1993]
NOTE The uncertainty of measurement defined in the Guide for the Expression of Uncertainty in Measurement
comprises, in general, many components. Some of these components may be evaluated from the results of series of
measurements or counting measurements and can be characterized by experimental standard deviations. The other
components, which also can be characterized by standard deviations, are evaluated from assumed or known probability
distributions based on experience and other information.
3.4
mathematical model of the evaluation
a set of mathematical relationships between all measured and other quantities involved in the evaluation of
measurements
3.5
decision quantity
random variable for the decision whether or not the physical effect to be measured is present
3.6
decision threshold
fixed value of the decision quantity by which, when exceeded by the result of an actual measurement of a
measurand quantifying a physical effect, one decides that the physical effect is present
NOTE The decision threshold is the critical value of a statistical test to decide between the hypothesis that the
physical effect is not present and the alternative hypothesis that it is present. When the critical value is exceeded by the
result of an actual measurement, this is taken to indicate that the hypothesis should be rejected. The statistical test will be
designed such that the probability of wrongly rejecting the hypothesis (error of the first kind) is equal at most to a given
value α.
3.7
detection limit
smallest true value of the measurand which is detectable by the measuring method
NOTE 1 The detection limit is the smallest true value of the measurand which is associated with the statistical test and
hypotheses according to 3.6 by the following characteristics: if in reality the true value is equal to or exceeds the detection
limit, the probability of wrongly not rejecting the hypothesis (error of the second kind) will be at most equal to a given
value β.
NOTE 2 The difference between using the decision threshold and using the detection limit is that measured values are
to be compared with the decision threshold, whereas the detection limit is to be compared with the guideline value.
3.8
confidence limits
values which define a confidence interval to be specified for the measurand in question which, if the result
exceeds the decision threshold, includes the true value of the measurand with the given probability (1 − γ)
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3.9
guideline value
value which corresponds to scientific, legal or other requirements for which the measuring procedure is
intended to assess
EXAMPLE Activity, specific activity or activity concentration, surface activity, or dose rate.
4 Quantities and symbols
ˆ
ξ Random variable as an estimator for a non-negative measurand quantifying the physical effect in
question
ˆ
ξ Value of the estimator ξ of the measurand; true value of the measurand
X Random variable as decision quantity; estimator of the measurand
x Primary result of a measurement of the measurand; obtained value of the decision quantity X;
primary estimate of the measurand
u(x) Standard uncertainty of the measurand associated with the primary result x of a measurement

u()ξ Standard uncertainty of the decision quantity X as a function of the true value ξ of the measurand
z Best estimate of the measurand
u(z) Standard uncertainty associated with the best estimate z of the measurand
x* Decision threshold for the measurand
ξ* Detection limit for the measurand ξ , ξ , respectively, the lower and upper limit of the confidence
l u
interval for the measurand
α Probability of the error of the first kind; the probability of rejecting a hypothesis if it is true
β Probability of the error of the second kind; the probability of accepting a hypothesis if it is false
1 − γ Probability attributed to the confidence interval of the measurand; probability that the true value of the
measurand is included by the confidence interval
k Quantiles of the standardized normal distribution for the probability p (see Table 1); (p = 1 − α),
p
(1 − β), (1 − γ/2)
E Operator for the formation of the expectation value of a random variable
Var Operator for the formation of the variance of a random variable
Φ Distribution function of the standardized normal (Gaussian) distribution
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5 Statistical values and confidence interval
5.1 General aspects
For a particular task involving nuclear radiation measurements, first the particular physical effect which is the
objective of the measurement has to be described. Then a non-negative measurand has to be defined which
quantifies the physical effect and which assumes the value zero if the effect is not present in an actual case.
A random variable, called a decision quantity X has to be attributed to the measurand. It is also an estimator of
the measurand. It is required that the expectation value EX of the decision quantity X equals the true value ξ
of the measurand. A value x of the estimator X derived from measurements is a primary estimate of the
measurand. The primary estimate x of the measurand, and its associated standard uncertainty u(x), have to be
calculated as the primary complete result of the measurement according to the Guide for the expression of
uncertainty in measurement, by evaluation of measured quantities and of other information using a
mathematical model of the evaluation which takes into account all relevant quantities. Generally, the fact that
the measurand is non-negative will not be explicitly made use of. Therefore, x may become negative, in
particular, if the true value of the measurand is close to zero.
NOTE The model of the evaluation of the measurement need not necessarily be given in the form of explicit
mathematical formulas. It can also be represented by an algorithm or a computer code (see A.2).
For the determination of the decision threshold and the detection limit, the standard uncertainty of the decision

quantity has to be calculated, if possible, as a function u()ξ of the true value ξ of the measurand. In the case
that this is not possible, approximate solutions are described below.
ˆ ˆ
ξ is the value of another, non-negative estimator ξ of the measurand. The estimator ξ , in contrast to X,
makes use of the knowledge that the measurand is non-negative. The limits of the confidence interval to be
ˆ
determined refer to this estimator ξ (compare 5.4). Besides the limits of the confidence interval, the
ˆ
expectation value Eξ of this estimator as a best estimate z of the measurand, and the standard deviation
1/2
ˆ
[Var()ξ ] as the standard uncertainty u(z) associated with the best estimate z of the measurand have to be
calculated (see 6.3).
For the numerical calculation of the decision threshold and the detection limit, the function u (ξ) is needed,
which is the standard uncertainty of the decision quantity X as a function of the true value ξ of the measurand.
The function u (ξ) generally has to be determined by the user of this part of ISO 11929, in the course of the
evaluation of the measurement according to the Guide for the Expression of Uncertainty in Measurement. For
examples see Annex A. This function is often only slowly increasing. Therefore, it is justified in many cases to
use the approximation u (ξ) = u(x). This applies, in particular, if the primary estimate x of the measurand is not
much larger than its standard uncertainty u(x) associated with x. If the value x is calculated as the difference
(net effect) of two approximately equal values y and y obtained from independent measurements, that is
1 0
2 2 2
x = y − y , one gets u (ξ) = u (y ) + u (y ) with the standard uncertainties u(y ) and u(y ) associated with y
1 0 1 0 1 0 1
and y , respectively.
0
If only u (0) and u(x) are known, an approximation by linear interpolation is often sufficient for x > 0 according
to:
22 2
 (ξξ)= (0) ⋅− (1 / x )+ (x )⋅ ξ / x (1)
uu u
2
NOTE In many practical cases, u (ξ) is a slowly increasing linear function of ξ. This justifies the approximations
2
above, in particular, the linear interpolation of u (ξ) instead of u (ξ) itself.
5.2 Decision threshold
The decision threshold x* of a non-negative measurand quantifying the physical effect, according to 5.1, is a
value of the decision quantity X which, when it is exceeded by a result x of a measurement, indicates that the
physical effect is present. If x u x* one decides that the physical effect is not present. If this decision rule is
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ISO 11929-7:2005(E)
observed, a wrong decision in favour of the presence of the physical effect occurs with a probability not
greater than α (error of the first kind).
The decision threshold is given by:
*

= ·( u 0) (2)
xk
1− α
Values of the quantiles k of the standardized normal distribution are given in Table 1. It is Φ (k ) = 1 − α.
1 − α 1 − α
*

If the approximation u (ξ) = u(x) is sufficient, one gets xk=⋅u()x .
1 − α
5.3 Detection limit
The detection limit ξ*, which is the smallest true value of the measurand detectable with the measuring
method, is so much larger than the decision threshold that the probability of an error of the second kind is not
greater than β. The detection limit is given by:
** *

ξξ=+xk ⋅u() (3)
1 − β
Equation (3) is an implicit one. The detection limit can be calculated from it by iteration using, for example, the
starting approximation ξ * = 2x*. The iteration converges in most cases. Equation (3) may have multiple
solutions. In this case the detection limit is the smallest one. If Equation (3) has no solution, the measuring
procedure is not suited for the measuring purpose.
*
 
If the approximation u (ξ) = u(x) is sufficient, then ξ=+()kk ⋅u(x) is valid. If u()ξ is not explicitly
11−−a β

known for ξ > 0, one gets with u(0)and with a result x of a measurement and its associated uncertainty u(x),
an approximation of ξ * using the interpolation formula according to Equation (1):
1
*22 2 2 22 2
 
ξ =+aa +()k −k ⋅u(0) with a= k⋅⋅u(0)+ (k /x) [u (x)−u (0)] (4)
11−−βα 11−−αα
2
For α = β one obtains ξ * = 2a.
When using the approximation of Equation (4) to calculate the detection limit ξ * and when type B
uncertainties are not negligible, a measurement result x > ≈ 2x* shall be chosen. If x  2x* holds, one obtains
an unreasonably high detection limit. In this case, the approximation yields only an upper limit of ξ *. If type B
uncertainties are negligible, Equations (3) and (4) converge to the same result for the detection limit.
Values of the quantiles k , k , of the standardized normal distribution are given in Table 1. It is
1 − α 1 − β
Φ(k ) = 1 − α and Φ(k ) = 1 − β.
1 − α 1 − β
5.4 Confidence limits
For a result x of a measurement which exceeds the decision threshold x*, the confidence interval includes the
true value of the measurand with the given probability (1 − γ). It is enclosed by the confidence limits ξ and ξ
l u
according to:
ξ =−x  ·( u x) with p =κγ · (1− / 2) (5)
k
p
l
ξ =+x  ·( u x) with q =1−(κγ · / 2) (6)
k
p
u
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ISO 11929-7:2005(E)
κ is given by
x u/( x)
1
2
(7)
κΦ = exp (− / 2) dz = [ x / u ( x)]
z
∫
2π
−∞
Values of the function Φ(t) are tabulated (see [7] in the Bibliography) and given in Table 1. It is Φ(k ) = p and
p
Φ(k ) = q.
q
ˆ ˆ ˆ
The confidence limits are not symmetrical around the expectation Eξ . The probabilities of ξ < ξ and ξ > ξ
l u
however, are both equal to γ/2 and the relationship 0 < ξ < ξ is valid. For x  u(x), the approximation
l u
ξ = x ± ·( u x) (8)
k
1 − γ /2
l,u
is applicable if x > ≈ 2 · k u(x)
1 − γ/2
6 Application of this part of ISO 11929
6.1 Specific values
The probabilities α, β and (1 − γ) shall be specified in advance by the user of this part of ISO 11929.
Commonly used values are α = β = 0,05 and γ = 0,05.
6.2 Assessment of a measuring method
To check whether a measuring method (see 3.1) is suitable for the measurement of a physical effect, the
detection limit shall be compared with a specified guideline value (e.g. specified requirements on the
sensitivity of the measuring procedure for scientific, legal or other reasons; see 3.9).
The detection limit shall be calculated by means of Equation (3). If the detection limit thus determined is
greater than the guideline value, the measuring procedure is not suitable for the measurement.
6.3 Assessment of a measured result
A measured result has to be compared with the decision threshold calculated by means of Equation (2). If the
result of the measurement x is larger than the decision threshold x*, it is decided that the physical effect
quantified by the measurand is present.
If this is the case, the best estimate z of the measurand is calculated using κ from Equation (7) by:
2
2
ux() ·exp − / [2u (x)]
x
{}
ˆ
z = E ξ = x + (9)
κ ·2π
with the standard uncertainty u(z) associated with z:
2
ˆ
u()z = Var ξ = ( x ) −− ( z x) · z (10)
u
()
The following relationships: z W x and z W 0, as well as u(z) uu(x), are valid and for x  u(x), i.e. x > 4 · u(x), the
approximations z = x and u(z) = u(x) hold true.
6 © ISO 2005 – All rights reserved

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ISO 11929-7:2005(E)
6.4 Documentation
The documentation of measurements in accordance with this part of ISO 11929 shall contain details of the
probabilities α, β and (1 − γ), the decision threshold x*, the detection limit ξ *, and the guideline value.
For a result x of the measurement exceeding the decision threshold x*, the standard uncertainty u(x)
associated with x and the limits of the confidence interval ξ and ξ have to be given. If the result x of the
l u
measurement is below the decision threshold ξ *, it shall be documented as “below the decision threshold”.
If the detection limit exceeds the guideline value, it shall be documented that the method is not suitable for the
measurement purpose.
In addition, the best estimate z of the measurand and the standard uncertainty u(z) associated with z may be
specified if x/u(x) < 4.
7 Values of the distribution function of the standardized normal distribution
t
2
Values Φϕ()t= v( )dv with ϕ()z= (1 / 2π−) · exp(z / 2) are given in Table 1. For the distribution function of
∫
−∞
the standardized normal distribution, Φ(−t) = 1 − Φ(t) is valid. Quantiles of the standardized normal distribution
can also be obtained from this Table 1 since t = k for p = Φ(t), i.e. Φ(k ) = p.
p p
For t W 0, the approximation (see [8] in the Bibliography):
2
exp(−t / 2) 1
23
Φζ()t=1−⋅(a⋅+a⋅ζζ+a⋅ )+ε;ζ=
12 3
1+a ⋅t
2π
0
−5
is valid with ε < 10 and
a ==0,332 67;  a 0,436 183 6;  a =−0,120 167 6;  a= 0,937 298 0
01 2 3
For t < 0, one obtains Φ(t) from the relationship Φ(t) = 1 − Φ(−t).
For 0,5 u p < 1 the approximation (see [8] in the Bibliography):
2
bb +⋅t +b⋅
t
01 2
 =−t + ε;2t = − ⋅ln(1−p)
k
p
23
1 +⋅ct c+ ⋅ + c ⋅
tt
12 3
−4
is valid with ε < 4,5 × 10 and
bb==2,515 517; 0,802 853; b= 0,010 328
01 2
cc==1,432 788; 0,189 269;c= 0,001308
12 3
For 0 < p < 0,5, one obtains k from the relationship k = −k .
p p 1 − p
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ISO 11929-7:2005(E)
Table 1 — Values of the distribution function of the standardized normal distributionΦ(t)
(see [7] in the Bibliography)
t Φ(t) t Φ(t) t Φ(t) t Φ(t) t Φ(t)
0,00 0,500 0 0,70 0,758 0 1,40 0,919 2 2,10 0,982 1 2,80 0,997 4
0,02 0,508 0 0,72 0,764 2 1,42 0,922 2 2,12 0,983 0 2,90 0,998 1
0,04 0,516 0 0,74 0,770 4 1,44 0,925 1 2,14 0,983 8 3,00 0,998 6
0,06 0,523 9 0,76 0,776 4 1,46 0,927 8 2,16 0,984 6 3,10 0,999 0
0,08 0,531 9 0,78 0,782 3 1,48 0,930 6 2,18 0,985 4 3,20 0,999 3
0,10 0,539 8 0,80 0,788 1 1,50 0,933 2 2,20 0,986 1 3,30 0,999 5
0,12 0,547 8 0,82 0,793 9 1,52 0,935 7 2,22 0,986 8 3,40 0,999 7
0,14 0,555 7 0,84 0,799 6 1,54 0,938 2 2,24 0,987 4 3,50 0,999 8
0,16 0,563 6 0,86 0,
...

NORME ISO
INTERNATIONALE 11929-7
Première édition
2005-02-15



Détermination de la limite de détection et
du seuil de décision des mesurages de
rayonnements ionisants —
Partie 7:
Principes fondamentaux et leurs
applications générales
Determination of the detection limit and decision threshold for ionizing
radiation measurements —
Part 7: Fundamentals and general applications




Numéro de référence
ISO 11929-7:2005(F)
©
ISO 2005

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ISO 11929-7:2005(F)
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Publié en Suisse

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ISO 11929-7:2005(F)
Sommaire Page
Avant-propos. iv
Introduction . v
1 Domaine d'application. 1
2 Références normatives. 1
3 Termes et définitions . 1
4 Quantités et symboles. 3
5 Valeurs statistiques et intervalle de confiance. 4
5.1 Généralités. 4
5.2 Seuil de décision. 4
5.3 Limite de détection . 5
5.4 Limites de confiance. 5
6 Application de la présente partie de l'ISO 11929 . 6
6.1 Valeurs spécifiées. 6
6.2 Évaluation d'une méthode de mesure . 6
6.3 Évaluation des résultats de mesure. 6
6.4 Documentation . 6
7 Valeurs de la fonction de distribution de la distribution normale standard . 7
Annexe A (informative) Exemple 1 d'application de la présente partie de l'ISO 11929. 9
Annexe B (informative) Exemple 2 d'application de la présente partie de l'ISO 11929. 15
Bibliographie . 21

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ISO 11929-7:2005(F)
Avant-propos
L'ISO (Organisation internationale de normalisation) est une fédération mondiale d'organismes nationaux de
normalisation (comités membres de l'ISO). L'élaboration des Normes internationales est en général confiée
aux comités techniques de l'ISO. Chaque comité membre intéressé par une étude a le droit de faire partie du
comité technique créé à cet effet. Les organisations internationales, gouvernementales et non
gouvernementales, en liaison avec l'ISO participent également aux travaux. L'ISO collabore étroitement avec
la Commission électrotechnique internationale (CEI) en ce qui concerne la normalisation électrotechnique.
Les Normes internationales sont rédigées conformément aux règles données dans les Directives ISO/CEI,
Partie 2.
La tâche principale des comités techniques est d'élaborer les Normes internationales. Les projets de Normes
internationales adoptés par les comités techniques sont soumis aux comités membres pour vote. Leur
publication comme Normes internationales requiert l'approbation de 75 % au moins des comités membres
votants.
L'attention est appelée sur le fait que certains des éléments du présent document peuvent faire l'objet de
droits de propriété intellectuelle ou de droits analogues. L'ISO ne saurait être tenue pour responsable de ne
pas avoir identifié de tels droits de propriété et averti de leur existence.
L'ISO 11929-7 a été élaborée par le comité technique ISO/TC 85, Énergie nucléaire, sous-comité SC 2,
Radioprotection.
L'ISO 11929 comprend les parties suivantes, présentées sous le titre général Détermination de la limite de
détection et seuil de décision des mesurages de rayonnements ionisants:
 Partie 1: Principes fondamentaux et application aux mesurages par comptage, sans l'influence du
traitement de l'échantillon
 Partie 2: Principes fondamentaux et application aux mesurages par comptage, avec l'influence du
traitement d'échantillon
 Partie 3: Principes fondamentaux et application aux mesurages par comptage, par spectrométrie gamma
haute résolution, sans l'influence du traitement d'échantillon
 Partie 4: Principes fondamentaux et leur application aux mesurages réalisés à l'aide d'ictomètres
analogiques à échelle linéaire, sans l'influence du traitement d'échantillon
 Partie 5: Principes fondamentaux et leurs applications aux mesurages par comptage réalisés sur filtre
lors d'une accumulation de radioactivité
 Partie 6: Principes fondamentaux et leurs applications aux mesurages réalisés en mode transitoire
 Partie 7: Principes fondamentaux et leurs applications générales
 Partie 8: Principes fondamentaux et leur application à la déconvolution des spectres des mesurages de
rayonnements ionisants négligeant l'influence de la préparation d'un échantillon

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ISO 11929-7:2005(F)
Introduction
La présente partie de l'ISO 11929 donne les informations de base concernant les principes statistiques pour
la détermination de la limite de détection, du seuil de décision et des limites de l'intervalle de confiance pour
des applications générales de mesurages des rayonnements ionisants.
L'ISO 11929-1 et l'ISO 11929-2 traitent, respectivement, de l'ensemble des mesurages par comptage avec ou
sans l'influence du traitement de l'échantillon. Les mesurages par spectrométrie à haute résolution sont traités
dans l'ISO 11929-3. L'ISO 11929-4 traite des mesurages utilisant les ictomètres à échelle linéaire,
l'ISO 11929-5 des dispositifs de surveillance de la concentration en aérosols dans les gaz, l'air ou les déchets
liquides, l'ISO 11929-6 des mesurages en mode transitoire et l'ISO 11929-8 de la déconvolution des
mesurages par spectrométrie.
Alors que les précédentes parties 1 à 4 étaient élaborées pour des mesurages spécifiques de rayonnements
[1] [2] [3]
nucléaires basés sur les principes définis par Altschuler et Pasternack , Nicholson , Currie , cette
restriction ne s'applique pas à cette partie ni aux parties 5, 6 et 8. La détermination des limites
caractéristiques mentionnées plus haut est séparée de l'évaluation du mesurage. Par conséquent la présente
partie de l'ISO 11929 est généralement applicable et peut être appliquée pour toute procédure appropriée
d'évaluation de mesurage. Puisque les incertitudes de mesure jouent un rôle fondamental dans la présente
partie de l'ISO 11929, l'évaluation des mesurages et la détermination des incertitudes de mesure doivent être
mises en œuvre conformément au Guide pour l'expression de l'incertitude de mesure.
La présente partie de l'ISO 11929, ainsi que les parties 5, 6 et 8 sont basées sur les méthodes statistiques
Bayesiennes (voir [4] à [6] dans la Bibliographie) afin de pouvoir tenir compte de quantités incertaines et
d'influences qui ne se comportent pas de manière aléatoire lors de mesurages répétés ou par comptage.
À cet effet, les méthodes statistiques Bayesiennes sont utilisées pour spécifier des valeurs statistiques
suivantes, appelées limites caractéristiques.
 le seuil de décision, qui permet de prendre une décision pour un mesurage, avec une probabilité d'erreur
donnée de décider que le résultat de mesurage indique la présence d'un effet physique quantifié par le
mesurande.
 la limite de détection, qui spécifie la valeur minimale du mesurande qui peut être détectée avec une
probabilité d'erreur donnée lors de l'utilisation de la procédure de mesurage en question. Par conséquent
cela permet, au moyen de la présente partie de l'ISO 11929, de décider si une méthode de mesure
satisfait à certaines exigences et est par conséquent adaptée à l'objectif fixé du mesurage.
 les limites de l'intervalle de confiance, définissant un intervalle contenant la vraie valeur du mesurande
avec une probabilité donnée dans le cas où le résultat de mesurage dépasserait le seuil de décision.

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NORME INTERNATIONALE ISO 11929-7:2005(F)

Détermination de la limite de détection et du seuil de décision
des mesurages de rayonnements ionisants —
Partie 7:
Principes fondamentaux et leurs applications générales
1 Domaine d'application
La présente partie de l'ISO 11929 spécifie des valeurs statistiques adaptées permettant une évaluation des
capacités de détection des mesurages des rayonnements ionisants ainsi que du phénomène physique
quantifié par le mesurande. Dans ce but, on utilise des méthodes statistiques Bayesiennes pour définir les
limites caractéristiques.
La présente partie de l'ISO 11929 traite des principes fondamentaux et de leurs applications générales.
2 Références normatives
Les documents de référence suivants sont indispensables pour l'application du présent document. Pour les
références datées, seule l'édition citée s'applique. Pour les références non datées, la dernière édition du
document de référence s'applique (y compris les éventuels amendements).
ISO 11929-1:2000, Détermination de la limite de détection et du seuil de décision des mesurages des
rayonnements ionisants — Partie 1: Principes fondamentaux et application aux mesurages par comptage,
sans l'influence du traitement de l'échantillon
ISO 11929-2:2000, Détermination de la limite de détection et du seuil de décision des mesurages des
rayonnements ionisants — Partie 2: Principes fondamentaux et application aux mesurages par comptage,
avec l'influence du traitement d'échantillon
Guide pour l'expression de l'incertitude de mesure, BIPM/CEI/FICC/ISO/OIML/UICPA/UIPPA, Genève, 1995
Vocabulaire international des termes fondamentaux et généraux de métrologie, BIPM/CEI/FICC/ISO/OIML/
UICPA/UIPPA, Genève, 1993
3 Termes et définitions
Pour les besoins du présent document, les termes et définitions suivants s'appliquent.
3.1
méthode de mesure
toute séquence logique d'opérations décrite génériquement, utilisée lors de l'accomplissement des mesurages
NOTE Adapté du Vocabulaire international des termes fondamentaux et généraux de métrologie:1993.
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ISO 11929-7:2005(F)
3.2
mesurande
grandeur particulière soumise à mesurage
NOTE 1 Adapté du Vocabulaire international des termes de base et généraux utilisés en métrologie:1993.
NOTE 2 Dans la présente partie de l'ISO 11929, un mesurande est une quantité non négative quantifiant un effet de
rayonnement nucléaire. Cet effet n'est pas présent si la valeur du mesurande est égale à zéro. Par exemple un taux de
comptage net d'un objet radioactif, une activité nette d'un échantillon d'objet radioactif connaissant l'activité d'un
échantillon blanc, l'augmentation de l'activité spécifique ou de l'activité volumique d'un écoulement gazeux, l'intensité de la
raie d'un spectre au-dessus du bruit de fond lors de mesures spectroscopiques.
3.3
incertitude (de mesure)
paramètre associé au résultat de mesure qui caractérise la dispersion des valeurs qui peuvent être
raisonnablement attribuées au mesurande mesuré
NOTE 1 Adapté du Guide pour l'expression de l'incertitude de mesure:1995.
NOTE 2 L'incertitude de mesure selon le Guide pour l'expression de l'incertitude de mesure comprend en général
plusieurs composantes. Certaines de ces composantes peuvent être évaluées d'après des résultats issus de séries de
mesurages ou de mesurages par comptage et peuvent être caractérisées par des déviations standards expérimentales.
Les autres composantes, qui peuvent aussi être caractérisées par des déviations standards, sont évaluées d'après des
distributions de probabilités supposées ou connues, basées sur l'expérience et sur d'autres informations.
3.4
modèle mathématique d'évaluation
un ensemble de relations mathématiques entre toutes les quantités mesurées et les autres qui sont
impliquées dans l'évaluation des mesures
3.5
quantité de décision
variable aléatoire permettant de décider si le phénomène physique mesuré est présent ou non
3.6
seuil de décision
valeur fixée de la quantité de décision telle que, quand le résultat de mesure d'un mesurande quantifiant le
phénomène physique lui est supérieur, on décide que le phénomène physique est présent
NOTE Le seuil de décision est la valeur critique d'un test statistique pour décider entre l'hypothèse que le
phénomène physique n'est pas présent et l'hypothèse alternative qu'il est présent. Quand le résultat de mesure dépasse
cette valeur critique, cela indique que l'hypothèse devrait être rejetée. Ce test statistique sera tel que la probabilité de
rejeter à tort l'hypothèse (erreur de première espèce) est égale à une valeur donnée α.
3.7
limite de détection
la plus petite valeur vraie du mesurande qui est détectable par la méthode de mesure.
NOTE 1 La limite de détection est la plus petite valeur du mesurande qui est associée au test statistique et aux
hypothèses de 3.6. Elle a les caractéristiques suivantes: si en réalité la vraie valeur est égale ou est supérieure à la limite
de détection, la probabilité de ne pas rejeter à tort l'hypothèse (erreur de deuxième espèce) sera au plus égale à une
valeur donnée β.
NOTE 2 La différence entre l'utilisation du seuil de décision et de la limite de détection réside dans le fait que les
valeurs mesurées doivent être comparées au seuil de décision, alors que la limite de détection doit être comparée à la
valeur de référence.
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ISO 11929-7:2005(F)
3.8
limites de confiance
valeurs qui définissent un intervalle de confiance, à spécifier pour le mesurande en question, qui, si le résultat
est supérieur au seuil de décision, comprend la vraie valeur du mesurande pour une probabilité donnée (1 − γ)
3.9
valeur de référence
valeur qui correspond aux exigences scientifiques, légales ou autres dont la procédure de mesure est
destinée à évaluer
EXEMPLE Une activité, activité spécifique ou concentration d'activité, activité surfacique, ou débit de dose.
4 Quantités et symboles
ˆ
ξ Variable aléatoire, estimateur d'un mesurande non négatif quantifiant le phénomène physique en
question
ˆ
ξ Valeur de l'estimateur ξ du mesurande; vraie valeur du mesurande
X Variable aléatoire comme quantité de décision; estimateur du mesurande
x Résultat primaire du mesurage du mesurande, valeur obtenue de la quantité de décision X,
estimation primaire du mesurande
u(x) Incertitude standard du mesurande associée au résultat primaire de mesurage x
�
u()ξ Incertitude standard de la quantité de décision X comme fonction de la vraie valeur ξ du mesurande

z Meilleure estimation du mesurande
u(z) Incertitude standard associée à la meilleure estimation z du mesurande
x* Seuil de décision du mesurande

ξ * Limite de détection du mesurande ξ , ξ respectivement la limite basse et haute de l'intervalle de

l u
confiance du mesurande
α Probabilité d'erreur de première espèce; la probabilité de rejeter une hypothèse si elle est vraie
β Probabilité d'erreur de deuxième espèce; la probabilité d'accepter une hypothèse si elle est fausse
1 − γ Probabilité attribuée à l'intervalle de confiance du mesurande; probabilité que la vraie valeur du
mesurande soit comprise dans cet intervalle de confiance
k Quantiles d'une distribution normale standard pour une probabilité p (voir Tableau 1); p = (1 − α),
p
(1 − β), (1 − γ /2)
E Opérateur pour la formation de l'espérance de la variable aléatoire
Var Opérateur pour la formation de la variance de la variable aléatoire
Φ Fonction de distribution d'une distribution normale standard (Gaussienne)
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ISO 11929-7:2005(F)
5 Valeurs statistiques et intervalle de confiance
5.1 Généralités
Pour une tâche particulière mettant en jeu des mesures de rayonnements nucléaires, le phénomène physique
particulier qui est l'objectif de la mesure doit être décrit en premier. Puis, un mesurande non négatif qui
quantifie le phénomène physique doit être défini, en supposant la valeur zéro, dans un cas réel, si le
phénomène n'est pas présent.
Une variable aléatoire appelée quantité de décision X doit être attribuée au mesurande. C'est aussi un
estimateur du mesurande. Il faut que l'espérance EX de la quantité de décision X soit égale à la vraie valeur ξ
du mesurande. Une valeur x de l'estimateur X provenant des mesures est une estimation primaire du
mesurande. L'estimation primaire x du mesurande et son incertitude standard associée u(x) doit être calculée
comme un résultat primaire complet de la mesure, selon le Guide pour l'expression de l'incertitude de mesure,
par l'évaluation des quantités mesurées et d'autres informations utilisant un modèle mathématique de
l'évaluation qui tient compte de toutes quantités pertinentes. Généralement, on ne tient pas compte du fait
que le mesurande est non négatif. Alors, x peut prendre des valeurs négatives, en particulier si la vraie valeur
du mesurande est proche de zéro.
NOTE Le modèle d'évaluation de la mesure n'a pas nécessairement besoin d'être donné sous la forme de formules
mathématiques explicites. Il peut aussi être représenté par un algorithme ou un code de calcul (voir A.2).
Pour la détermination du seuil de décision et de la limite de détection, l'incertitude standard de la quantité de
�
décision doit être calculée, si possible, comme une fonction u (ξ) de la vraie valeur ξ du mesurande. Quand
ce n'est pas possible, des solutions approximatives sont décrites plus bas. ξ est la valeur d'un autre
ˆ ˆ
estimateur ξ non négatif du mesurande. L'estimateur ξ , par contraste avec X, utilise le fait que le mesurande
ˆ
est non négatif. Les limites de l'intervalle de confiance à déterminer se rapportent à cet estimateur ξ (5.4). En
ˆ
outre, les limites de l'intervalle de confiance, l'espérance Eξ de cet estimateur comme meilleure estimation z
ˆ 1/2
du mesurande et de la déviation standard [Var()ξ ] comme incertitude standard u(z) associée à la meilleure
estimation z du mesurande doivent être calculées (6.3).
�
Pour un calcul numérique du seuil de décision et de la limite de détection, on a besoin de la fonction u (ξ) qui
est l'incertitude standard de la quantité de décision X comme fonction de la vraie valeur ξ du mesurande. La
�
fonction u (ξ), généralement, doit être déterminée par l'utilisateur de la présente partie de l'ISO 11929 au
cours de l'évaluation de la mesure selon le Guide pour l'expression de l'incertitude de mesure. Pour les
exemples voir l'Annexe A. Souvent, cette fonction croît lentement. Il est alors justifié dans de nombreux cas
�
d'utiliser l'approximation u (ξ) = u(x). Cela s'applique en particulier si l'estimation primaire x du mesurande
n'est pas plus grande que son incertitude standard u(x) associée à x. Si la valeur x est calculée en tant que
différence (phénomène net) de deux valeurs approximativement égales y et y obtenues par des mesurages
1 0
2 2 2
�
indépendants, soit x = y − y , on obtient u (ξ) = u (y ) + u (y ) avec les incertitudes standards u(y ) et u(y )
1 0 1 0 1 0
associées, respectivement, à y et y .
1 0
�
Si seules u (0) et u(x) sont connues, une approximation par interpolation est souvent suffisante pour x > 0
selon:
22 2
(ξξ)= (0) ⋅− (1 / x )+ (x )⋅ ξ / x (1)
uu�� u
2
�
NOTE Dans beaucoup de cas, u ()ξ est une fonction linéaire lentement croissante de ξ. Cela justifie les
2
� �
approximations mentionnées au-dessus, en particulier l'interpolation linéaire de u (ξ) au lieu de celle de u (ξ).
5.2 Seuil de décision
Le seuil de décision x* d'un mesurande non négatif quantifiant un phénomène physique selon 5.1 est une
valeur de la quantité de décision X qui, lorsqu'elle est dépassée par un résultat de mesure x, indique que le
phénomène physique est présent. Si x u x* on décide que le phénomène physique n'est pas présent. Si cette
règle de décision est observée, une fausse décision en faveur de la présence d'un phénomène physique
survient avec une probabilité pas plus grande que α (erreur de première espèce).
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ISO 11929-7:2005(F)
Le seuil de décision est donné par:
*
�
= ·( u 0) (2)
xk
1− α
Les valeurs des quantiles k d'une distribution normale standard k sont données dans le Tableau 1.
1 − α 1 − α
Elles correspondent à Φ(k ) = 1 − α.
1 − α
*
�
Si l'approximation u (ξ) = u(x) est suffisante, on obtient xk=⋅u()x .
1 − α
5.3 Limite de détection
La limite de détection ξ *, qui est la plus petite valeur vraie détectable du mesurande, avec la méthode de
mesure, est tellement plus grande que le seuil de décision que la probabilité d'erreur de deuxième espèce
n'est pas plus grande que β. La limite de détection est donnée par
** *
ξξ=+xk ⋅u�() (3)
1 − β
L'Équation (3) est implicite. La limite de détection peut être calculée à partir de cette équation en faisant une
itération, en commençant, par exemple, par l'approximation ξ * = 2x*. Dans la plupart des cas, l'itération
converge. L'Équation (3) peut avoir des solutions multiples. Dans ce cas la limite de détection est la plus
petite solution. Si l'Équation (3) n'a pas de solution, la procédure de mesure est insuffisante au regard de
*
�
l'objet du mesurage. Si l'approximation u (ξ) = u(x) est suffisante, alors ξ=+()kk ⋅u(x) est valable.
11−−a β
Avec la formule d'interpolation selon l'Équation (1) on obtient l'approximation
1
*22 2 2 22 2
ξ =+aa +()k −k ⋅u�(0) avec a= k⋅⋅u��(0)+ (k /x) [u (x)−u (0)] (4)
11−−βα 11−−αα
2
Pour α = β on obtient ξ * = 2a.
Quand on utilise l'approximation donnée par l'Équation (4) pour calculer la limite de détection ξ * et que les
incertitudes de type B ne sont pas négligeables, un résultat de mesure x > ≈ 2x* sera choisi. Si x � 2x* on
obtient une limite de détection déraisonnablement élevée. Dans ce cas, l'approximation conduit à une valeur
limite supérieure de ξ*. Si les incertitudes de type B sont négligeables alors les Équations (3) et (4)
convergent vers la même valeur de la limite de détection.
Les valeurs des quantiles k , k de la distribution normale standard sont données dans le Tableau 1. Ce
1 − α 1 − β
sont Φ(k ) = 1 − α et Φ(k ) = 1 − β.
1 − α 1 − β
5.4 Limites de confiance
Pour un résultat de mesure x supérieur au seuil de décision x* l'intervalle de confiance comprend la vraie
valeur du mesurande avec une probabilité donnée de (1 − γ). Elle est incluse dans les limites de confiance ξ
l
et ξ selon:
u
ξ = x −− ·( u x) avecp = κγ · (1 / 2) (5)
k
p
l
= x + ·( u x) avec q = 1−(κγ · / 2) (6)
ξ
k
p
u
κ est donné par:
x u/( x)
1
2
κΦ = exp (− / 2) dz = [ x / u ( x)] (7)
z
∫
2π
−∞
Les valeurs de la fonction Φ(t) sont données dans le Tableau 1. C'est Φ(k ) = p et Φ(k ) = q.
p q
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ISO 11929-7:2005(F)
ˆ ˆ
Les limites de confiance ne sont pas symétriques autour de l'espérance Eξ . Les probabilités d'avoir ξ < ξ et
l
ˆ
ξ > ξ sont, cependant, toutes les deux égales à γ/2 et la relation 0 < ξ < ξ reste valide. Pour x � u(x)
u l u
l'approximation
ξ =±x  ·( u x) (8)
k
l,u 12− γ /
est applicable si x > ≈ 2 · k u(x).
1 − γ/2
6 Application de la présente partie de l'ISO 11929
6.1 Valeurs spécifiées
Les probabilités α, β et (1 − γ) doivent être spécifiées à l'avance par l'utilisateur de la présente partie de
l'ISO 11929. Les valeurs les plus fréquemment citées sont α = β = 0,05 et γ = 0,10.
6.2 Évaluation d'une méthode de mesure
Pour vérifier qu'une méthode de mesure (voir 3.1) est adaptée à la mesure d'un phénomène physique, la
limite de détection doit être comparée à une valeur de référence spécifiée (par exemple exigences spécifiques
liées à la sensibilité d'une procédure de mesure pour des raisons scientifiques, légales ou autres; voir 3.9).
La limite de détection est calculée en utilisant l'Équation (3). Si la limite de détection ainsi calculée est
supérieure à la valeur de référence, la procédure de mesure n'est pas adaptée.
6.3 Évaluation des résultats de mesure
Un résultat de mesure doit être comparé au seuil de décision calculé en utilisant l'Équation (2). Si le résultat
de mesure x est plus grand que le seuil de décision x*, on décide que le phénomène physique quantifié par le
mesurande est présent.
Si c'est le cas, la meilleure estimation z du mesurande est calculée en utilisant κ de l'Équation (7) par
2
2
ux() ·exp − / [2u (x)]
x
{}
ˆ
z = E ξ = x + (9)
κ ·2π
avec l'incertitude standard u(z) associée à z:
2
ˆ
u()z = Var ξ = ( x ) −− ( z x) · z (10)
() u
Les relations suivantes z W x et z W 0 aussi bien que u(z) uu(x) sont valables, et pour x � u(x), c'est-à-dire
x > 4 · u(x), l'approximation z = x et u(z) = u(x) reste vraie.
6.4 Documentation
Le rapport de mesure, conformément à la présente partie de l'ISO 11929, doit contenir le détail des
probabilités α, β et (1 − γ), du seuil de décision x*, de la limite de détection ξ * et de la valeur de référence.
Pour un résultat de mesure x supérieur au seuil de décision ξ *, l'incertitude standard u(x) associée à x et les
limites de l'intervalle de confiance ξ et ξ doivent être données. Si le résultat de mesure x est inférieur au
l u
seuil de décision ξ *, il sera mentionné «inférieur au seuil de décision».
Si la limite de détection est supérieure à la valeur de référence, il sera indiqué «méthode non adaptée à l'objet
de la mesure».
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ISO 11929-7:2005(F)
De plus, la meilleure estimation du mesurande ainsi que l'incertitude standard u(z) associée à z peut être
spécifiée si x/u(x) < 4.
7 Valeurs de la fonction de distribution de la distribution normale standard
t
2
Les valeurs Φϕ()t= v( )dv avec ϕ()z= (1 / 2π−)·exp(z / 2) sont données dans le Tableau 1. Pour la
∫
−∞
fonction de distribution de la distribution normale standard on obtient Φ(−t) = 1 − Φ(t). Les quantiles de la
distribution normale standard peuvent aussi être obtenus d'après ce tableau, avec t = k pour p = Φ(t),
p
c'est-à-dire Φ(k ) = p.
p
Pour t W 0 on obtient l'approximation (voir [8] dans la Bibliographie):
2
exp(−t / 2) 1
23
Φζ()t=1−⋅(a⋅+a⋅+a⋅ )+ε;ζ=
ζζ
12 3
1+a ⋅t
2π
0
−5
avec ε < 10 et
a ==0,332 67;  a 0,436 183 6;  a =−0,120 167 6;  a= 0,937 298 0
01 2 3
Pour t < 0 on obtient Φ(t) d'après l
...