ISO 18183-3:2024

Geometrical product specifications (GPS) - Partition - Part 3: Methods used for specification and verification

This document specifies the procedure for the partition operation of geometrical product specification and verification. This document does not apply to profile and areal surface texture.

Spécification géométrique des produits (GPS) — Partition — Partie 3: Méthodes utilisées pour la spécification et la vérification

Le présent document spécifie le mode opératoire de l'opération de partition de la spécification et vérification géométriques des produits. Le présent document ne s'applique pas au profil et à l'état de surface surfacique.

General Information

• Status: Published
• Publication Date: 04-Feb-2024
• ICS: 17.040.40 - Geometrical Product Specification (GPS)
• Technical Committee: ISO/TC 213 - Dimensional and geometrical product specifications and verification
• Drafting Committee: ISO/TC 213/AG 12 - Mathematical support group
• Current Stage: 6060 - International Standard published
• Start Date: 05-Feb-2024
• Due Date: 27-Nov-2023
• Completion Date: 05-Feb-2024

Relations

• Consolidates: ISO 2812-2:2018 - Paints and varnishes - Determination of resistance to liquids - Part 2: Water immersion method
• Effective Date: 06-Jun-2022

Overview

ISO 18183-3:2024 is part of the ISO series on Geometrical Product Specifications (GPS) and defines the methods used for specification and verification of the partition operation within GPS. The standard specifies how to partition the skin model (specification), the nominal model, and the sampled surface model (verification) into meaningful geometric features (single surfaces or single lines). It explicitly excludes profile and areal surface texture.

Key topics and technical requirements

• Default partition
  • The default behaviour partitions models into single features (single surfaces or single lines) of maximum extent.
  • A single surface is a connected surface of maximum area where subsets do not violate the partial ordering of invariance classes; for revolute surfaces the generatrix must be a single line.
  • A single line is a connected, finite line of greatest possible length consistent with invariance class ordering.
• Invariance classes and partial ordering
  • The standard uses a hierarchy of invariance classes (degree of invariance) to determine allowable partitions.
• Use of curvature and slippable motion
  • For real (discrete or sampled) geometry, curvature analysis and concepts like slippable motion guide the detection of single surfaces and lines.
• Explicit partition
  • Covers cases where partitions are defined beyond the default (e.g., united features, restricted single features, restricted compound features); all explicit partitions start from the default partition.
• Informative annexes
  • Annex A: methods and concepts for discrete curvature (fitting and discrete methods, Laplace–Beltrami discretization, classification of local shape)
  • Annex B: implementation approaches for default partition on meshes/point clouds (classification of partitioning methods)
  • Annex C: relationship to the GPS matrix model

Practical applications and who uses it

• Metrology and inspection teams applying model-based verification to determine which portions of a surface/line to treat as a single feature.
• Quality engineers and manufacturers specifying tolerances and inspection strategies for parts with multiple geometric features (e.g., turned/revolved parts, complex surfaces).
• CAD/CAM and inspection software developers implementing partition algorithms for sampled surfaces and skin models (point clouds, meshes).
• Standards committees and system integrators aligning GPS specifications across design, manufacturing and verification workflows.

Related standards

• ISO 18183-1 (Vocabulary and basic concepts) - normative reference
• ISO 14638 (GPS matrix model) - contextual relation
• ISO 8015 (Fundamental rules of GPS) and ISO 14253-1 (Decision rules) - general GPS rules referenced by ISO 18183-3

For implementation or procurement, consult the full ISO 18183-3:2024 text from ISO for normative definitions, examples and normative clauses.

Standards Content (Sample)

International
Standard
ISO 18183-3
First edition
Geometrical product specifications
2024-02
(GPS) — Partition —
Part 3:
Methods used for specification and
verification
Spécification géométrique des produits (GPS) — Partition —
Partie 3: Méthodes utilisées pour la spécification et la vérification
Reference number
© ISO 2024
All rights reserved. Unless otherwise specified, or required in the context of its implementation, no part of this publication may
be reproduced or utilized otherwise in any form or by any means, electronic or mechanical, including photocopying, or posting on
the internet or an intranet, without prior written permission. Permission can be requested from either ISO at the address below
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ISO copyright office
CP 401 • Ch. de Blandonnet 8
CH-1214 Vernier, Geneva
Phone: [phone]
Email: [e-mail]
Website: www.iso.org
Published in Switzerland
ii
Contents Page
Foreword .iv
Introduction .v
1 Scope . 1
2 Normative references . 1
3 Terms and definitions . 1
4 Default partition . 1
4.1 General .1
4.2 Default partition for surfaces .2
4.3 Default partition for lines .3
5 Explicit partition . 5
Annex A (informative) Additional information about curvature . 7
Annex B (informative) Implementations for the default partition .11
Annex C (informative) Relationship to the GPS matrix model . 19
Bibliography .20

iii
Foreword
ISO (the International Organization for Standardization) is a worldwide federation of national standards
bodies (ISO member bodies). The work of preparing International Standards is normally carried out through
ISO technical committees. Each member body interested in a subject for which a technical committee
has been established has the right to be represented on that committee. International organizations,
governmental and non-governmental, in liaison with ISO, also take part in the work. ISO collaborates closely
with the International Electrotechnical Commission (IEC) on all matters of electrotechnical standardization.
The procedures used to develop this document and those intended for its further maintenance are described
in the ISO/IEC Directives, Part 1. In particular, the different approval criteria needed for the different types
of ISO document should be noted. This document was drafted in accordance with the editorial rules of the
ISO/IEC Directives, Part 2 (see www.iso.org/directives).
ISO draws attention to the possibility that the implementation of this document may involve the use of (a)
patent(s). ISO takes no position concerning the evidence, validity or applicability of any claimed patent
rights in respect thereof. As of the date of publication of this document, ISO had not received notice of (a)
patent(s) which may be required to implement this document. However, implementers are cautioned that
this may not represent the latest information, which may be obtained from the patent database available at
www.iso.org/patents. ISO shall not be held responsible for identifying any or all such patent rights.
Any trade name used in this document is information given for the convenience of users and does not
constitute an endorsement.
For an explanation of the voluntary nature of standards, the meaning of ISO specific terms and expressions
related to conformity assessment, as well as information about ISO’s adherence to the World Trade
Organization (WTO) principles in the Technical Barriers to Trade (TBT), see www.iso.org/iso/foreword.html.
This document was prepared by Technical Committee ISO/TC 213, Dimensional and geometrical product
specifications and verification, in collaboration with the European Committee for Standardization (CEN)
Technical Committee CEN/TC 290, Dimensional and geometrical product specification and verification, in
accordance with the Agreement on technical cooperation between ISO and CEN (Vienna Agreement).
A list of all parts in the ISO 18183 series can be found on the ISO website.
Any feedback or questions on this document should be directed to the user’s national standards body. A
complete listing of these bodies can be found at www.iso.org/members.html.

iv
Introduction
This document is a geometrical product specification (GPS) standard and is to be regarded as a general GPS
standard (see ISO 14638). It influences chain links B, C and E of the chains of standards on size, distance,
form, orientation, location and run-out in the GPS matrix model.
The ISO GPS matrix model given in ISO 14638 gives an overview of the ISO GPS system, of which this
document is a part. The fundamental rules of ISO GPS given in ISO 8015 apply to this document and the
default decision rules given in ISO 14253-1 apply to specifications made in accordance with this document,
unless otherwise indicated.
For more detailed information on the relation of this document to other standards and the GPS matrix model,
see Annex C.
This document develops the concepts and methods for default partition of the skin model (in specification)
1)
and the sampled surface model (in verification) along with ISO 18183-1 and ISO 18183-2.
1) Under preparation. Stage at the time of publication: ISO/FDIS 18183-1:2023.

v
International Standard ISO 18183-3:2024(en)
Geometrical product specifications (GPS) — Partition —
Part 3:
Methods used for specification and verification
1 Scope
This document specifies the procedure for the partition operation of geometrical product specification and
verification.
This document does not apply to profile and areal surface texture.
2 Normative references
The following documents are referred to in the text in such a way that some or all of their content constitutes
requirements of this document. For dated references, only the edition cited applies. For undated references,
the latest edition of the referenced document (including any amendments) applies.
2)
ISO 18183-1 , Geometrical product specifications (GPS) — Partition — Part 1: Vocabulary and basic concepts
3 Terms and definitions
For the purposes of this document, the terms and definitions given in ISO 18183-1 apply.
ISO and IEC maintain terminology databases for use in standardization at the following addresses:
— ISO Online browsing platform: available at https:// www .iso .org/ obp
— IEC Electropedia: available at https:// www .electropedia .org/
4 Default partition
4.1 General
If not otherwise indicated, the default partition shall be that which partitions the skin model (in
specification), the nominal model and the sampled surface model (in verification) into single features (single
surfaces or single lines). See Figure 1.
For the purposes of this document, a single feature is taken to be of maximum extent. The maximum extent
is derived from any combination of length, area, curvature, invariance degree and point set characteristics.
2) Under preparation. Stage at the time of publication: ISO/FDIS 18183-1:2023.

a) Default partition of the b) Default partition of c) Default partition of the
nominal model the skin model sampled surface model
(in specification) (in verification)
Figure 1 — Default partition
4.2 Default partition for surfaces
If not otherwise indicated, the default partition for surfaces shall be that which partitions the surface into
single surfaces. For the purposes of this document, a single surface is taken to be the maximum area possible.
A single surface is a connected surface (a continuous region where any two points can be connected by a
path that remains entirely within the surface’s boundaries) where no subset of the considered geometric
entity exists with an invariance class not respecting the partial ordering of invariance classes (see Figure 2)
and, in the case of a surface of revolute invariance class, where its generatrix is a single line.
A single surface is finite (limited in extent).

NOTE An upward arrow indicates an increasing freedom in the degree of invariance.
Figure 2 — Partial ordering of the seven invariance classes based on degree of invariance
Where the generatrix intersects the axis of revolution:
— once, each side of the generatrix intersection is considered as a separate single surface (see Figure 3);
— twice or more, the surface between adjacent intersections is considered as a single surface (see Figure 4).

Key
1 generatrix
2 axis of revolution
3 intersection point
4 single cone surface, right side
5 single cone surface, left side
NOTE The generatrix intersects the axis twice; in this case there are three single surfaces.
Figure 3 — Example of a surface of type cone
Key
1 generatrix
2 axis of revolution
3 intersection point
4 single revolute surface, left side
5 single revolute surface, middle
6 single revolute surface, right side
NOTE The generatrix intersects the axis twice or more; in this case there are three single surfaces.
Figure 4 — Example of a surface of type revolute
For real surfaces, curvature and slippable motion should be used to determine single surfaces. References to
this and other methods can be found in Annexes A and B.
4.3 Default partition for lines
If not otherwise indicated, the default partition for lines shall be that which partitions the line into single
lines. For the purposes of this document, a single line is taken to be the longest line possible.
A single line is a connected line where no subset of the considered geometric entity exists with an invariance
class not respecting the partial ordering of invariance classes (see Figure 5).
A single line is finite (limited in extent).

NOTE An upwards arrow indicates an increasing freedom in the degree of invariance.
Figure 5 — Partial ordering based on degree of invariance
For real lines, the concept of curvature and slippable motion should be used to determine invariant lines and,
hence, single lines. In practice, the straight line is a special case of a circle with zero curvature. Figures 6 to 9
illustrate the partition of a line into single lines through curvature calculation.
Figure 6 — Original line
Figure 7 — Calculated curvature from Figure 6 partitioned into single lines

Figure 8 — Original line
Figure 9 — Calculated curvature from Figure 8 partitioned into single lines
5 Explicit partition
Explicit partition applies in the case of united features, restricted single features and restricted compound
features. See Figure 10.
All explicit partitions start with the default partition.

a) United feature b) Restricted single feature c) Restricted compound feature
NOTE  Source: ISO 1101:2017, Figures 48, 57 and 60.
Figure 10 — Example of explicit partition

Annex A
(informative)
Additional information about curvature
A.1 Discrete curvature
A.1.1 General
The classic theory of curvature concerns smooth curves and surfaces. Discrete curvature occurs on discrete
curves and surfaces, i.e. an ordered or unordered set of points sampling a curve or a surface. The study of
discrete curvature is developed within the field of discrete differential geometry (DDG) that studies discrete
analogues of smooth geometric objects and aims to develop discrete equivalents to the geometrical notions
of normal and curvature.
The following is an incomplete list of major methods that can be used to compute discrete curvatures.
Inclusion in this annex does not mean that the method is endorsed, nor does non-inclusion mean that it is
not endorsed. They are included for information purposes only, to show that methods to compute discrete
curvatures exist.
Two major approaches have been developed: fitting (reconstruction) methods and discrete methods. Fitting
methods require the local reconstruction of a smooth curve or a surface in the vicinity of the considered
point and the evaluation of the differential parameters at the surface point. Discrete methods use mesh-
based representation to define a neighbourhood at the considered point and proceed by discretization of
continuous operators or by development of discrete analogues to these operators.
A.1.2 Discrete normal vector
In the neighbourhood of a vertex, the unit vertex normal is computed as the weighted sum of the normal
vectors to the triangle facets, as in Formula (A.1):
k
α n
jj
∑
j=1
nx = (A.1)
()
k
α n
jj
∑
j=1
where
nx
() is the unit normal vector of the vertex;
α
is the weight (e.g. the area of the triangle facet);
j
n
is the unit normal vector of all adjacent triangle facets;
j
k is the number of neighbour triangle facets of the vertex (one-ring neighbours), see Figure A.1.

Figure A.1 — Discrete normal vector of vertex x
A.1.3 Discrete curvatures using discrete Laplace-Beltrami operator
Considering the triangular surface, the discretization of Laplace-Beltrami operator ∆ is defined according to
Formula (A.2):
k
Δ()x = cotcαβ+ ot xx− (A.2)
()()
i ∑ ij ij ij
2Ax
()
i
j=1
where
Ax()
is a finite-area region on a triangulated surface based on Voronoi cells;
i
α and β
are the two angles opposite to the edge in the two triangles sharing the edge xx, ;
ij ij ()
ij
k is the number of the neighbour triangle facets of the vertex, as depicted in Figure A.2.

a) One-ring neighbours of vertex b) Area of vertex
Figure A.2 — Angles and edges on a discrete surface
The mean curvature and Gaussian curvature, H(x ) and K(x ), are defined according to Formulae (A.3) and
i i
(A.4), respectively:
Hx()= Δ()x (A.3)
ii
k
Kx()=−2π θ /Ax() (A.4)
ij( ∑ ) i
j=1
where θ is the interior angle of the neighbour triangle facet.
j
The principal curvatures of the vertex, k and k , are defined according to Formulae (A.5) and (A.6):
max min
kx()=Hx()+ Hx()−Kx() (A.5)
max ii ii
kx =Hx − Hx −Kx (A.6)
() () () ()
min ii ii
A.2 Classification of points based on curvature
Curvature indicators enable the local discrimination of the shape. Indeed, their values and signs allow a
consistent classification of point on surfaces which are invariant to rigid transformations. Points can
be classified, for example, based on the signs of the Gaussian curvature and the mean curvature (K-H
classification) or the values of the shape index and the curvedness (s-c classification). See Figures A.3 and
A.4.
Peak Flat
Minimal
Pit
surface
Saddle
Ridge
ridge
Saddle
Valley
valley
Figure A.3 — Example of K-H classification

a) Spherical pit b) Pit c) Valley d) Saddle valley

e) Saddle f) Flat
g) Spherical peak h) Peak i) Ridge j) Saddle ridge
Figure A.4 — Example of s-c classification

Annex B
(informative)
Implementations for the default partition
B.1 General
The following is an incomplete list of methods that can be used to implement the default partition on discrete
surfaces (obtained from the skin model by an extraction) or sampled surfaces (obtained from the real
workpiece model by a physical extraction). Both surface models are described by an ordered or unordered
set of points. In many situations, a reconstruction phase is needed to crea
...

Norme
internationale
ISO 18183-3
Première édition
Spécification géométrique des
2024-02
produits (GPS) — Partition —
Partie 3:
Méthodes utilisées pour la
spécification et la vérification
Geometrical product specifications (GPS) — Partition —
Part 3: Methods used for specification and verification
Numéro de référence
DOCUMENT PROTÉGÉ PAR COPYRIGHT
© ISO 2024
Tous droits réservés. Sauf prescription différente ou nécessité dans le contexte de sa mise en œuvre, aucune partie de cette
publication ne peut être reproduite ni utilisée sous quelque forme que ce soit et par aucun procédé, électronique ou mécanique,
y compris la photocopie, ou la diffusion sur l’internet ou sur un intranet, sans autorisation écrite préalable. Une autorisation peut
être demandée à l’ISO à l’adresse ci-après ou au comité membre de l’ISO dans le pays du demandeur.
ISO copyright office
Case postale 401 • Ch. de Blandonnet 8
CH-1214 Vernier, Genève
Tél.: [phone]
E-mail: [e-mail]
Web: www.iso.org
Publié en Suisse
ii
Sommaire Page
Avant-propos .iv
Introduction .v
1 Domaine d'application . 1
2 Références normatives . 1
3 Termes et définitions . 1
4 Partition par défaut . 1
4.1 Généralités .1
4.2 Partition par défaut des surfaces .2
4.3 Partition par défaut pour des lignes .3
5 Partition explicite .5
Annexe A (informative) Informations supplémentaires concernant la courbure .7
Annexe B (informative) Mises en œuvre pour la partition par défaut .11
Annexe C (informative) Relation avec le modèle de matrice GPS . 19
Bibliographie .20

iii
Avant-propos
L'ISO (Organisation internationale de normalisation) est une fédération mondiale d’organismes nationaux
de normalisation (comités membres de l’ISO). L’élaboration des Normes internationales est en général
confiée aux comités techniques de l’ISO. Chaque comité membre intéressé par une étude a le droit de faire
partie du comité technique créé à cet effet. Les organisations internationales, gouvernementales et non
gouvernementales, en liaison avec l’ISO participent également aux travaux. L’ISO collabore étroitement avec
la Commission électrotechnique internationale (IEC) en ce qui concerne la normalisation électrotechnique.
Les procédures utilisées pour élaborer le présent document et celles destinées à sa mise à jour sont
décrites dans les Directives ISO/IEC, Partie 1. Il convient, en particulier, de prendre note des différents
critères d’approbation requis pour les différents types de documents ISO. Le présent document a
été rédigé conformément aux règles de rédaction données dans les Directives ISO/IEC, Partie 2 (voir
www.iso.org/directives).
L’ISO attire l’attention sur le fait que la mise en application du présent document peut entraîner l’utilisation
d’un ou de plusieurs brevets. L’ISO ne prend pas position quant à la preuve, à la validité et à l’applicabilité de
tout droit de brevet revendiqué à cet égard. À la date de publication du présent document, l’ISO n’avait pas
reçu notification qu’un ou plusieurs brevets pouvaient être nécessaires à sa mise en application. Toutefois,
il y a lieu d’avertir les responsables de la mise en application du présent document que des informations
plus récentes sont susceptibles de figurer dans la base de données de brevets, disponible à l’adresse
www.iso.org/brevets. L’ISO ne saurait être tenue pour responsable de ne pas avoir identifié tout ou partie de
tels droits de propriété.
Les appellations commerciales éventuellement mentionnées dans le présent document sont données pour
information, par souci de commodité, à l’intention des utilisateurs et ne sauraient constituer un engagement.
Pour une explication de la nature volontaire des normes, la signification des termes et expressions
spécifiques de l’ISO liés à l’évaluation de la conformité, ou pour toute information au sujet de l’adhésion de
l’ISO aux principes de l’Organisation mondiale du commerce (OMC) concernant les obstacles techniques au
commerce (OTC), voir www.iso.org/avant-propos.
Le présent document a été élaboré par le comité technique ISO/TC 213, Spécifications et vérification
dimensionnelles et géométriques des produits, en collaboration avec le comité technique CEN/TC 290,
Spécification dimensionnelle et géométrique des produits, et vérification correspondante, du Comité européen
de normalisation (CEN) conformément à l’Accord de coopération technique entre l’ISO et le CEN (Accord de
Vienne).
Une liste de toutes les parties de la série ISO 18183 se trouve sur le site web de l’ISO.
Il convient que l’utilisateur adresse tout retour d’information ou toute question concernant le présent
document à l’organisme national de normalisation de son pays. Une liste exhaustive desdits organismes se
trouve à l’adresse www.iso.org/fr/members.html.

iv
Introduction
Le présent document est une norme de spécification géométrique des produits (GPS) et doit être considéré
comme une norme GPS générale (voir l'ISO 14638). Il influence les maillons B, C et E des chaînes de normes
sur la dimension, la distance, la forme, l’orientation, la position et le battement dans le modèle de matrice
ISO GPS.
Le modèle de matrice ISO GPS de l'ISO 14638 donne une vue d'ensemble du système ISO GPS dont le présent
document fait partie. Les principes fondamentaux de l’ISO GPS donnés dans l’ISO 8015 s’appliquent au présent
document et les règles de décision par défaut données dans l'ISO 14253-1 s'appliquent aux spécifications
faites conformément au présent document, sauf indication contraire.
Pour de plus amples informations sur la relation du présent document avec les autres normes, ainsi que le
modèle de matrice GPS, voir l'Annexe C.
Le présent document développe les concepts et les méthodes pour le partitionnement par défaut du modèle
de surface non idéale (en spécification) et du modèle de surface échantillonnée (en vérification) en relation
1)
avec l’ISO 18183-1 et l’ISO 18183-2.
1)  En préparation. Étape au moment de la publication: ISO/FDIS 18183-1:2023.

v
Norme internationale ISO 18183-3:2024(fr)
Spécification géométrique des produits (GPS) — Partition —
Partie 3:
Méthodes utilisées pour la spécification et la vérification
1 Domaine d'application
Le présent document spécifie le mode opératoire de l'opération de partition de la spécification et vérification
géométriques des produits.
Le présent document ne s'applique pas au profil et à l'état de surface surfacique.
2 Références normatives
Les documents suivants sont cités dans le texte de sorte qu’ils constituent, pour tout ou partie de leur
contenu, des exigences du présent document. Pour les références datées, seule l’édition citée s’applique. Pour
les références non datées, la dernière édition du document de référence s’applique (y compris les éventuels
amendements).
2)
ISO 18183-1 , Spécification géométrique des produits (GPS) — Partition — Partie 1: Vocabulaire et concepts de
base
3 Termes et définitions
Pour les besoins du présent document, les termes et les définitions de l’ISO 18183-1 s’appliquent.
L’ISO et l’IEC tiennent à jour des bases de données terminologiques destinées à être utilisées en normalisation,
consultables aux adresses suivantes:
— ISO Online browsing platform: disponible à l’adresse https:// www .iso .org/ obp
— IEC Electropedia: disponible à l’adresse https:// www .electropedia .org/
4 Partition par défaut
4.1 Généralités
Sauf indication contraire, la partition par défaut doit être celle qui divise le modèle de surface non idéale
(dans la spécification), le modèle nominal et le modèle de surface échantillonnée (dans la vérification) en
éléments simples (surfaces simples ou lignes simples). Voir la Figure 1.
Pour les besoins du présent document, un élément simple est considéré comme ayant une étendue maximale.
L'étendue maximale est obtenue à partir de toute combinaison de longueur, de surface, de courbure, de degré
d'invariance et de caractéristiques d'ensemble de points.
2)  En préparation. Étape au moment de la publication: ISO/FDIS 18183-1:2023.

a) Partition par défaut b) Partition par défaut c) Partition par défaut
du modèle nominal du modèle de surface du modèle de surface
non idéale échantillonnée
(en spécification) (en vérification)
Figure 1 — Partition par défaut
4.2 Partition par défaut des surfaces
Sauf indication contraire, la partition par défaut d'une surface doit être celle qui partitionne la surface en
surfaces simples. Pour les besoins du présent document, une surface simple est considérée comme ayant une
surface maximale.
Une surface simple est une surface connexe (une région continue où deux points quelconques peuvent être
connexes au chemin qui reste entièrement dans les limites de la surface) où aucun sous-ensemble de l'entité
géométrique considérée n'existe avec une classe d'invariance ne respectant pas le classement partiel des
classes d'invariance (voir la Figure 2), et dans le cas d'une surface de classe d'invariance de révolution, où sa
génératrice est une ligne simple.
Une surface simple est finie (son étendue est limitée).

NOTE Une flèche vers le haut indique une liberté croissante du degré d'invariance.
Figure 2 — Classement partiel des sept classes d'invariance en fonction du degré d'invariance
Lorsque la génératrice croise l'axe de révolution:
— une fois, chaque côté de l'intersection de la génératrice est considéré comme une surface simple distincte
(voir la Figure 3);
— deux fois ou plus, la surface située entre les intersections adjacentes est considérée comme une surface
simple (voir la Figure 4).
Légende
1 génératrice
2 axe de révolution
3 point d'intersection
4 surface simple du cône, côté droit
5 surface simple du cône, côté gauche
NOTE La génératrice croise l'axe deux fois; dans ce cas il y a trois surfaces simples.
Figure 3 — Exemple d'une surface de type cône
Légende
1 génératrice
2 axe de révolution
3 point d'intersection
4 surface simple de surface de révolution, côté gauche
5 surface simple de surface de révolution, milieu
6 surface simple de surface de révolution, côté droit
NOTE La génératrice croise l'axe au moins deux fois; dans ce cas il y a trois surfaces simples.
Figure 4 — Exemple d'une surface de type surface de révolution
Pour les surfaces réelles, il convient d'utiliser la courbure et le mouvement de glissement pour déterminer
les surfaces simples. Des références à cette méthode, ainsi qu'à d'autres méthodes, peuvent se trouver à
l'Annexes A et B.
4.3 Partition par défaut pour des lignes
Sauf indication contraire, la partition par défaut des lignes doit être celle qui partitionne les lignes en ligne
simple. Pour les besoins du présent document, une ligne simple est considérée comme étant la plus longue
ligne possible.
Une ligne simple est une ligne connexe où aucun sous-ensemble de l'entité géométrique considérée n'existe
avec une classe d'invariance ne respectant pas le classement partiel des classes d'invariance (voir la
Figure 5).
Une ligne simple est finie (son étendue est limitée).

NOTE Une flèche vers le haut indique une liberté croissante du degré d'invariance.
Figure 5 — Classement partiel basé sur le degré d'invariance
Pour les lignes réelles, il convient d'utiliser les concepts de courbure et de mouvement de glissement pour
déterminer les lignes invariantes et donc les lignes simples. En pratique, la ligne droite est un cas spécial de
cercle dont la courbure est nulle. Les Figures 6 à 9 illustrent le partitionnement d'une ligne en lignes simples
grâce à un calcul de courbure.
Figure 6 — Ligne d'origine
Figure 7 — Courbure calculée à partir de la Figure 6 partitionnée en lignes simples

Figure 8 — Ligne d'origine
Figure 9 — Courbure calculée à partir de la Figure 8 partitionnée en lignes simples
5 Partition explicite
La partition explicite s'applique dans le cas d'éléments unis, d'éléments simples restreints et d'éléments
composés restreints. Voir la Figure 10.
Toutes les partitions explicites commencent par la partition par défaut.

a) Partition unie b) Élément simple restreint c) Élément composé restreint
NOTE  Source: ISO 1101:2017, Figures 48, 57 et 60.
Figure 10 — Exemple de partition explicite

Annexe A
(informative)
Informations supplémentaires concernant la courbure
A.1 Courbure discrétisée
A.1.1 Généralités
La théorie classique de la courbure concerne les courbes et les surfaces lisses. La courbure discrétisée
concerne les courbes et les surfaces discrètes, c'est-à-dire un ensemble ordonné ou non de points
échantillonnant une courbe ou une surface. L'étude de la courbure discrétisée est développée dans le
domaine de la géométrie différentielle discrète (discrete differential geometry, DDG) qui étudie les
analogues discrets des objets géométriques lisses et vise à développer des équivalents discrets aux notions
géométriques normale et de courbure.
La liste qui suit est une liste incomplète des principales méthodes qui peuvent être utilisées pour calculer les
courbures discrètes. L'inclusion d'une méthode dans la présente annexe ne signifie pas qu'elle est approuvée,
de même que l'absence d'une méthode ne signifie pas qu'elle n'est pas approuvée. Elles sont incluses à titre
informatif uniquement, pour montrer qu'il existe des méthodes de calcul des courbures discrètes.
Deux grandes approches ont été développées: les méthodes d'ajustement ou de reconstruction et les
méthodes discrètes. Les méthodes d'ajustement nécessitent la reconstruction locale d'une courbe ou
d'une surface lisse à proximité du point considéré et l'évaluation des paramètres différentiels au niveau du
point de la surface. Les méthodes discrètes utilisent une représentation à base de maillage pour définir un
voisinage au niveau du point considéré et procèdent par la discrétisation d'opérateurs continus ou par le
développement d'analogues discrets de ces opérateurs.
A.1.2 Vecteur normal discrétisé
Dans le voisinage d'un sommet, la normale du sommet unitaire est calculée comme la somme pondérée des
vecteurs normaux aux facettes du triangle, comme dans la Formule (A.1):
k
α n
∑ jj
j=1
nx()= (A.1)
k
α n
jj
∑
j=1
où
est le vecteur normal du sommet;
nx
()
est le coefficient de pondération (par exemple, la surface de la facette du triangle);
α
j
est le vecteur normal unitaire de toutes les facettes adjacentes du triangle;
n
j
k est le nombre de facettes du triangle voisines du sommet (première boucle de voisins), voir la
Figure A.1.
Figure A.1 — Vecteur normal discrétisé du sommet x
A.1.3 Courbures discrètes utilisant l'opérateur discret de Laplace-Beltrami
En considérant la surface triangulaire, la discrétisation de l'opérateur de Laplace-Beltrami ∆ est définie
conformément à la Formule (A.2):
k
Δ x = cotcαβ+ ot xx− (A.2)
() ()()
i ∑ ij ij ij
2Ax
()
j=1
i
où
est une région d'aire finie sur une surface triangulée basée sur les cellules de Voronoi;
Ax
()
i
α et β
sont les deux angles opposés à l'arête dans les deux triangles qui partagent l'arête xx, ;
ij ij
()
ij
k est le nombre de facettes du triangle voisines du sommet, comme expliqué dans la
Figure A.2.
a) Première boucle de voisins du sommet b) Surface du sommet
Figure A.2 — Angles et arêtes sur une surface discrétisée
La courbure moyenne et la courbure Gaussienne, H(x ) et K(x ), sont définies conformément aux Formules (A.3)
i i
et (A.4):
Hx()= Δ()x (A.3)
ii
k
Kx =−2π θ /Ax (A.4)
() ()
ij( ∑ ) i
j=1
où θ est l'angle intérieur de la facette voisine du triangle.
j
Les principales courbures du sommet, k et k , sont définies conformément aux Formules (A.5) et (A.6):
max min
kx = Hx + Hx −Kx (A.5)
() () () ()
max ii ii
kx = Hx − Hx −Kx (A.6)
() () () ()
min ii ii
A.2 Classification des points sur la base de la courbure
Les indicateurs de courbure permettent la discrimination locale de la forme. En effet, leurs valeurs et
leurs signes permettent une classification cohérente des points sur les surfaces qui sont invariantes aux
transformations rigides. Les points peuvent être classés, par exemple, en fonction du signes de la courbure
Gaussienne et de la courbure moyenne (classification K-H) ou des valeurs de l'indice de forme et de l' intensité
de courbure (classification s-c). Voir les Figures A.3 et A.4.
Pic Plat
Surface
Creux
minimale
Crête
Crête
de col
Vallée
Vallée
de col
Figure A.3 — Exemple de classification K-H
a) Creux sphérique b) Creux c) Vallée d) Vallée de col

e) Col f) Plat
g) Pic sphérique h) Pic i) Crête j) Crête de col
Figure A.4 — Exemple de classification s-c

Annexe B
(informative)
Mises en œuvre pour la partition par défaut
B.1 Généralités
Voici une liste incomplète de méthodes qui peuvent être utilisées pour mettre en œuvre la partition par
défaut sur des surfaces discrétisées (obtenues à partir du modèle de surface non idéale par une extraction)
ou des surfaces échantillonnées (obtenues à partir du modèle réel de la pièce par une extraction physique).
Les deux modèles de surface sont décrits par un ensemble de points ordonnés ou non-ordonnés. Dans de
nombreuses situations, une phase de reconstruction est nécessaire pour créer la topologie sous-jacente sur
la base de mailles triangulaires.
L'inclusion d'une méthode dans la présente annexe ne signifie pas qu'elle est approuvée, de même que
l'absence d'une méthode ne signifie pas qu'elle n'est pas approuvée. Elles sont incluses à titre informatif
uniquement, pour montrer qu'il existe des méthodes revendiquant la mise en œuvre de la partition par
défaut. La mise en œuvre de la partition par défaut s'applique à la fois aux surfaces discrétisées et aux
surfaces échantillonnées.
B.2 Classification des méthodes d
...