SIST ISO 31-11:1995

Quantities and units - Part 11: Mathematical signs and symbols for use in the physical sciences and technology

Gives general information about mathematical signs and symbols, their meanings, verbal equivalents, printing, notation of scalars, vectors and tensors and applications.

Grandeurs et unités — Partie 11: Signes et symboles mathématiques à employer dans les sciences physiques et dans la technique

La présente partie de l'ISO 31 donne des informations générales sur les signes et symboles mathématiques, leurs sens, leur énoncé et leur application. Les recommandations données dans la présente partie de l'ISO 31 sont prévues pour être utilisées dans les sciences physiques et en technologie.

Veličine in enote – 11. del: Matematični znaki in simboli za uporabo v fizikalnih in tehniških vedah (istoveten ISO 31-11:1992)

Ta del ISO 31 podaja splošne informacije o matematičnih znakih in simbolih, njihovem pomenu, besednih ekvivalentih in uporabi.
Priporočila v tem delu ISO 31 so v glavnem namenjena za uporabo v fizikalnih in tehniških vedah.

General Information

• Status: Withdrawn
• Withdrawal Date: 18-Apr-2013
• ICS: 01.060 - Quantities and units
• ICS: 07.030 - Physics. Chemistry
• Technical Committee: TRS - Technical drawings, quantities, units, symbols and graphical symbols
• Current Stage: 9900 - Withdrawal (Adopted Project)
• Start Date: 17-Apr-2013
• Due Date: 10-May-2013
• Completion Date: 19-Apr-2013
• Ref Project: ISO 31-11:1992 - Quantities and units — Part 11: Mathematical signs and symbols for use in the physical sciences and technology

Relations

• Replaced By: SIST ISO 80000-2:2013 - Quantities and units - Part 2: Mathematical signs and symbols to be used in the natural sciences and technology
• Effective Date: 01-May-2013
• Replaced By: SIST EN ISO 80000-2:2013 - Quantities and units - Part 2: Mathematical signs and symbols to be used in the natural sciences and technology (ISO 80000-2:2009)
• Effective Date: 01-Jun-2013

Standards Content (Sample)

INTERNATIONAL
IS0
STANDARD 31-11
Second edition
1992-12-15
Quantities and units -
Part 11:
Mathematical signs and symbols for use in the
physical sciences and technology
Grandeurs et unit& -
Partie I 1: Signes et symboles mathgmatiques 9 employer dans /es
sciences physiques et dans la technique
Reference number
IS0 31-I 1:1992(E)

---------------------- Page: 1 ----------------------
IS0 31-l 1:1992(E)
Foreword
IS0 (the International Organization for Standardization) is a worldwide
federation of national standards bodies (IS0 member bodies). The work
of preparing International Standards is normally carried out through IS0
technical committees. Each member body interested in a subject for
which a technical committee has been established has the right to be
represented on that committee. International organizations, governmental
and non-governmental, in liaison with ISO, also take part in the work. IS0
collaborates closely with the International Electrotechnical Commission
(IEC) on all matters of electrotechnical standardization.
Draft International Standards adopted by the technical committees are
circulated to the member bodies for voting. Publication as an International
Standard requires approval by at least 75 % of the member bodies casting
a vote.
International Standard IS0 31-11 was prepared by Technical Committee
lSO/TC 12, Quantities, units, symbols, conversion factors.
This second edition cancels and replaces the first edition
e major technical changes from the first edition are
(IS0 31-11 :I 978). Th
the following:
- a new clause on coordinate systems has been added;
- some new items have been added in the old clauses.
The scope of Technical Committee lSO/TC 12 is standardization of units
and symbols for quantities and units (and mathematical symbols) used
within the different fields of science and technology, giving, where
necessary, definitions of the quantities and units. Standard conversion
factors for converting between the various units also come under the
scope of the TC. In fulfilment of this responsibility, lSO/TC 12 has pre-
pared IS0 31.
0 IS0 1992
All rights reserved. Unless otherwise specified, no part of this publication may be reproduced
or utilized in any form or by any means, electronic or mechanical, including photocopying and
microfilm, without permission in writing from the publisher.
International Organization for Standardization
Case Postale 56 l CH-1211 Geneve 20 l Switzerland
Printed in Switzerland

---------------------- Page: 2 ----------------------
IS0 31-11:1992(E)
0 IS0
IS0 31 consists of the following parts, under the general title Quantities
and units:
- Part 0: General principles
- Part I: Space and time
- Part 2: Periodic and related phenomena
- Part 3: Mechanics
- Part 4: Heat
- Part 5: Electricity and magnetism
- Part 6: Light and related electromagnetic radiations
- Part 7: Acoustics
- Part 8: Physical chemistry and molecular physics
- Part 9: Atomic and nuclear physics
- Par? 10: Nuclear reactions and ionizing radiations
- Part 11: Mathematical signs and symbols for use in the physical
sciences and technology
- Part 12: Characteristic numbers
- Pati 13: Solid state physics

---------------------- Page: 3 ----------------------
IS0 31-11:1992(E) 0 IS0
Introduction
0.1 General
If more than one sign, symbol or expression is given for the same item,
they are on an equal footing. Signs, symbols and expressions in the “Re-
marks” column are given for information.
Where the numbering of an item has been changed in the revision of a
part of IS0 31, the number in the preceding edition is shown in parenth-
eses below the new number for the item; a dash is used to indicate that
the item in question did not appear in the preceding edition.
0.2 Variables, functions and operators
Variables, such as x, y, etc., and running numbers, such as i in Ci xi, are
printed in italic (sloping) type. Also parameters, such as a, b, etc., which
may be considered as constant in a particular context, are printed in italic
(sloping) type. The same applies to functions in general, e.g.5 g.
An explicitly defined function is, however, printed in Roman (upright) type,
e.g. sin, exp, In, r. Mathematical constants, the values of which never
change, are printed in Roman (upright) type, e.g. e = 2,718 281 8.;
IT = 3,141 592 6.; i* = - 1. Well defined operators are also printed in up-
right style, e.g. div, 6 in 6~ and each d in dfldx.
Numbers expressed in the form of digits are always printed upright, e.g.
351 204; 1,32; 718.
The argument of a function is written in parentheses after the symbol for
the function, without a space between the symbol for the function and the
first parenthesis, e.g. f(x), cos(wt + q). If the symbol for the function
consists of two or more letters and the argument contains no operation
sign, such as +; -; x; 9; or /, the parentheses around the argument may
be omitted. In these cases, there should be a thin space between the
symbol for the function and the argument, e.g. ent 2,4; sin no;
arcosh 2A; Ei X.
If there is any risk of confusion, parentheses should always be inserted.
For example, write COS(X) + y or (cos x) + y; do not write cos x + y, which
could be mistaken for COS(X + y) .
If an expression or equation must be split into two or more lines, the
line-breaks should preferably be immediately after one of the signs =; +;
-; -t-; or T; or, if necessary, immediately after one of the signs x; l ; or /.
In this case, the sign works like a hyphen at the end of the first line, in-
forming the reader that the rest will follow on the next line or even on the
next page. The sign should not be repeated at the beginning of the fol-
lowing line; two minus signs could for example give rise to sign errors.

---------------------- Page: 4 ----------------------
0 IS0
IS0 31-11:1992(E)
0.3 Scalars, vectors and tensors
Scalars, vectors and tensors are used to denote certain physical quantities.
They are as such independent of the particular choice of coordinate sys-
tem, whereas each component of a vector or a tensor depends on that
choice.
It is important to distinguish between the “components of a vector” a, i.e.
an, a, and az, and the “component vectors ”, i.e. axex, a,e, and azez.
position vector are equal to the Cartesian
The cartesia n corn ents of the
Pan
the position vector.
coordinates of the nt given by
PO1
Instead of treating each component as a physical quantity (i.e. numerical
value x unit), the vector could be written as a numerical-value vector
multiplied by the unit. All units are scalars.
EXAMPLE
numerical-value vector
component F,
I I
F= (3 N, -2 N, 5 N) = (3, -2, 5) N
I
1 \
numerical value unit
unit
The same considerations apply to tensors of second and higher orders.
V

---------------------- Page: 5 ----------------------
This page intentionally left blank

---------------------- Page: 6 ----------------------
ISO 31-l 1:1992(E)
INTERNATIONAL STANDARD 0 ISO
Quantities and units -
Part 11:
Mathematical signs and symbols for use in the physical
sciences and technology
of this part of IS0 31. At the time of publication, the
1 Scope
edition indicated was valid. All standards are subject
to revision, and parties to agreements based on this
This part of IS0 31 gives general information about
part of IS0 31 are encouraged to investigate the
mathematical signs and symbols, their meanings,
possibility of applying the most recent edition of the
verbal equivalents and applications.
standard indicated below. Members of IEC and IS0
The recommendations in this part of IS0 31 are in- maintain registers of currently valid International
tended mainly for use in the physical sciences and
Standards.
technology.
IS0 31-0:1992, Quantities and units - Part 0: Gen-
era/principles.
2 Normative reference
The following standard contains provisions which,
through reference in this text, constitute provisions
1

---------------------- Page: 7 ----------------------
0 IS0
IS0 31-l 1:1992(E)
3 MATHEMATICAL LOGIC
Symbol,
Meaning, verbal equivalent and remarks
Item No. Application Name of symbol
sign
11-3.1 A conjunction sign
P and 4
PA4
(I I-2.1)
11-3.2 v disjunction sign p or 4 (or both)
PV
(I l-2.2)
11-3.3 1 negation sign negation of p; not p; non p
1P
(11-2.3)
11-3.4 * implication sign if p then 4; p implies 4
p-4
(11-2.4)
Can also be written 4 = p.
Sometimes -+ is used.
p = 4 and 4 ap; p is equivalent to 4
11-3.5 - equivalence sign
P*4
(11-2.5)
Sometimes w is used.
universal quantifier for every x belonging to A, the proposition
11-3.6 v VXEA p(x)
p(x) is true
(M-2-6)
(vx EA) PM
If it is clear from the context which set A
is being considered, the notation V x p(x)
can be used.
ForxEA, see 11-4.1.
there exists an x belonging to A for which
3xeA p(x) existential quantifier
11-3.7 3
p(x) is true
(U-2.7)
(3-A) PM
If it is clear from the context which set A
is being considered, the notation 3 x p(x)
can be used.
ForxEA, see W-4.1.
1
Y or 3 is used to indicate the existence
of one and only one element for which
p(x) is true.
2

---------------------- Page: 8 ----------------------
Q IS0
IS0 31=11:1992(E)
4 SETS
Symbol,
Item No. Application Meaning, verbal equivalent Remarks and examples
sign
XEA
11-4.1 E x belongs to A; x is an
(I I-1.1) element of the set A
11-4.2 $
y does not belong to A; The symbol & is also used.
YW
(1 I-1.2)
y is not an element of the
set A
11-4.3 3 A3X the set A contains x (as A 3 x has the same meaning as x f A.
(I I-1.3) element)
11-4.4 $ the set A does not contain A $ y has the same meaning as y 4 A.
A$Y
(I I-1.4) y (as element) The symbol $ is also used.
11-4.5 { ) set with elements Also [xi5 e I), where I denotes a set of
[x,1 $1 l **I XpJ
(I l-1.5) indices.
XII $1 . ‘I xn
11-4.6 set of those elements of EXAMPLE
( I I 1-A IP(
(I I-1.6) A for which the {XE[WIX<5)
proposition p(x) is true If it is clear from the context which set A
is being considered, the notation
(X 1 p(x)] can be used.
EXAMPLE
{xIxG5}
11-4.7 card card (A) number of elements in A;
cardinal of A
(4
11-4.8 0 the empty set
(11-W)
11-4.9 rid N the set of natural N = [O, 1, 2,3, . .}
(I I-1.8) numbers; Exclusion of zero from the sets 1 l-4.9
the set of positive
to 1 l-4.13 is denoted by an asterisk,
integers and zero
e.g. Ill*.
. . . . k- I]
&= I I
(0 I
11-4.10 z z
the set of integers -2, -1, 0, 1, 2,.)
z I
(I I-1.9)
Se: remark to 1 l-4.9.
11-4.11 Q Q
the set of rational See remark to 1 l-4.9.
(I I-l. 10)
numbers
11-4.12 R R the set of real numbers
See remark to 1 l-4.9.
(I l-l. 1 I)
11-4.13 a= c the set of complex See remark to 1 l-4.9.
(I l-l. Ii?) numbers
3

---------------------- Page: 9 ----------------------
IS0 31-l 1:1992(E)
0 IS0
4 SETS (continued)
Symbol,
Item No. Application Meaning, verbal equivalent Remarks and examples
sign
11-4.14 [,I
closed interval in R from a [a, b] = (x E R 1 a < x < b}
Cal 4
(included) to b (included)
(-1
11-4.15 I,]
left half-open interval in IR ]a, b] = (x E R 1 a < x < b}
14 4
from a (excluded) to b
t-1 I
( 1 (a, 4
(included)
11-4.16 [ ,[ right half-open interval in R [a, b[ = (x E R 1 a < x < b}
Cal bC
from a (included) to b
(-1 I
c > Cal b)
(excluded)
11-4.17 ] ,[
open interval in R from a ]a, b[ = (x E R I a < x < b}
14 bC
(-1 (excluded) to b (excluded)
I
( 1 (4 b)
11-4.18 c BcA B is included in A;
Every element of B belongs to A.
(11-1.13)
B is a subset of A c is also used, but see remark to 11-4.19.
11-4.19 c BcA B is properly included in A; Every element of B belongs to A, but B is
(I I-1.14) B is a proper subset of A not equal to A.
If c is used for 1 I-4.1 8, then s shall be
used for 11-4.19.
C is not included in A;
11-4.20 $ q is also used.
(11-1.75) C is not a subset of A The symbols $ and $ are also used.
11-4.21 2 AzB A includes B (as subset) A contains every element of B.
(I 7-I. 16) I is also used, but see remark to 1 l-4.22.
A 2 B has the same meaning as B c A.
11-4.22 I AxB A includes B properly A contains every element of B, but A is
(I I-I. 17) not equal to B.
If =) is used for 11-4.21, then 2 shall be
used for 1 l-4.22.
A 3 B has the same meaning as B c A.
A does not include C (as
11-4.23 2 a is also used.
AW
(1 l-l. 18) subset) The symbols 2 and * are also used.
A 2 C has the same meaning as C $ A.
11-4.24 u union of A and B The set of elements which belong to A
AuB
(1 l-l. 19) or to B or to both A and B.
AuB=(xlx~Avx~B}

---------------------- Page: 10 ----------------------
0 IS0 IS0 3141:1992(E)
4 SETS (continued)
Symbol,
Application Meaning, verbal equivalent Remarks and examples
Item No.
sign
n
cAi=A, UA,U.**UAn,
11-4.25 U union of a collection of sets
UA i
i=l
i=l
(I l-1.20)
A,r em-1 An
the set of elements belonging to at least
one of the sets A,, . . . . An.
n
U i=l and Uf Uiel
id
are also used, where I denotes a set of
indices.
intersection of A and B, The set of elements which belong to both
11-4.26 n AnB
read as A inter B A and B.
(I l-1.21)
A~B={xIxEAAxEB)
n
intersection of a collection fiAi=A, nA,n.nA,,
11-4.27 n
nA
i
i=l i=l
of sets A,, . . . . An
(1 l-1.22)
the set of elements belonging to all sets
A,, A*, . . . and A,.
n
n and nl fli,z
i=l
id
are also used, where I denotes a set of
indices.
difference between A and The set of elements which belong to A,
11-4.28 \
A\B
but not to B.
(11-1.23)
B;
A\B= (xIxEAAx~B)
A minus B
A -B should not be used.
complement of subset B The set of those elements of A which do
11-4.29 [
CB
A
not belong to the subset B.
(11-1.24) of A
If it is clear from the context which set A
is being considered, the symbol A is often
omitted.
Also CAB = A \ B
11-4.30 ( ,) ordered pair a, b; (a, b) = (c, d) if and only if a = c and
(a, b)
(11-1.25) couple a, b b = d.
(a, b) is also used.
11-4.31 ( , . . . . ) (a,, a2, . . . . a,) ordered n-tuplet a,) is also used.
(al, 3, .-,
(11-1.26)
5

---------------------- Page: 11 ----------------------
0 IS0
IS0 31-l 1:1992(E)
4 SETS (concluded)
Symbol,
Application Meaning, verbal equivalent Remarks and examples
Item No.
sign
11-4.32 x AxB Cartesian product of A The set of ordered pairs (a, b) such that
(I I-1.27) and B aeAand bEB.
AxB=((a,b) )aEAAbeB)
x A is denoted by An, where yt
A xA x . . .
is the number of factors in the product.
11-4.33 A set of pairs (x, X) of A x A,
AA = {(XIX) 1-A)
AA
where x E A; idA is also used.
(4
diagonal of the set A x A

---------------------- Page: 12 ----------------------
63 IS0 IS0 31=11:1992(E)
5 MISCELLANEOUS SIGNS AND SYMBOLS
Symbol,
Item No. Application Meaning, verbal equivalent Remarks and examples
sign
=
a is equal to b = may be used to emphasize that a
11-5.1 = a b
particular equality is an identity.
( I l-3. I)
11-5.2 # a is not equal to b The symbol + is also used.
a#b
(V-3.2)
def
11-5.3 = a def b a is by definition equal EXAMPLE
to b def mv, where p is momentum, m is
(W-3.3)
P
mass and v is velocity.
2 and
:= are also used.
a corresponds to b EXAMPLES
11-5.4 s aeb
When E = kT, 1 eV G 11 604,5 K.
(11-3.4)
When 1 cm on a map corresponds
to a length of 10 km, one may write
Icm~lOkm.
11-5.5 x a x b a is approximately equal The symbol = is reserved for “is
(W-3.5) to b asymptotically equal to,,. See 1 l-7.7.
11-5.6 - a- b a is proportional to b
(M-3.6) oc aocb
11-5.7 < a (W-3.7)
11-5.8 > b>a b is greater than a
(11-3.8)
a is less than or equal The symbols rs and 5 are also used.
11-5.9 < a (I l-3.9) to b
11-5.10 > baa b is greater than or equal The symbols 2 and 2 are also used.
(11-310) to a
11-5.11 < a << b a is much less than b
(II-3 11)
11-5.12 > b is much greater
b > a
than a
(11-3.12)
11-5.13 00 infinity
(II-3 13)
7

---------------------- Page: 13 ----------------------
IS0 31-I 1:1992(E) Q IS0
5 MISCELLANEOUS SIGNS AND SYMBOLS (concluded)
Symbol,
Item No. Application
Meaning, verbal equivalent Remarks and examples
sign
11-5.14 ( ) ac + bc, parentheses
(a + b)c In ordinary algebra the sequence of ( ),
t-1 [a + b]c ac + bc, square brackets [ 1, ( ) and ( ) in order of nesting is not
Cl
(a + b)c ac + bc, braces standardized. Special uses are made of
0
(a + b)c ac + bc, angle brackets ( ), [ 1, ( ) and ( ) in particular fields.
0
1 I-5.15 // AB // CD the line AB is parallel to the
line CD
(4
11-5.16 1 AB L CD the line AB is perpendicular
to the line CD
i-1
i

---------------------- Page: 14 ----------------------
IS0 31=11:1992(E)
0 IS0
6 OPERATIONS
Meaning, verbal
Remarks and examples
Symbol, application
Item No.
equivalent
a plus b
11-6.1 a+b
(U-4.1)
a minus b
11-6.2 a - b
(11-4.2)
a plus or minus b
11-6.3 a&b
(4
a minus or plus-b -(a&b)=-arb
1 l-6.4 aTb
(-1
See also 1 l-4.32, 1 I-13.6 and 1 l-l 3.7.
a multiplied by b
axb ab
11-6.5 amb
The sign for multiplication of numbers is a
(11-4.3)
cross (x) or a dot half high (m). If a dot is used
as the decimal sign, only the cross shall be
used for multiplication of numbers. For
decimal sign see IS0 31-0:1992,
subclause 3.3.2.
See also IS0 31-0:1992, subclause 3.1.3.
a divided by b
11-6.6 $ a/b ab-’
(U-4.4)
n
al + a2 + . . . + a,
11-6.7
ai
c
(U-4.5) i=l
n
al 8 a2 m . . . . a,
11-6.8 Also ‘nn= , ail nail ‘n i ail ‘nai
ai
I-I
i
(11-4.6) i=l
a to the power p
11-6.9 a’
(11-4.7)
a to the power l/2;
If a >/ 0, then a 30.
11-6.10 a1/2 a+
d-
Ja fi
square root of a
See remark to 1 l-6.1 1.
(W-4.8)
a to the power l/n;
11-6.11
l/n a+ n a
If a > 0, then n a > 0.
J
nth root of a II-
(17-4.9) a
n
If the symbol J or “J acts on a composite
a
II- expression, parentheses shall be used to
avoid ambiguity.
absolute value of a; abs a is also used.
11-6.12 Ial
magnitude of a;
(11-4.10)
modulus of a

---------------------- Page: 15 ----------------------
0 IS0
IS0 31-11:1992(E)
6 OPERATIONS (concluded)
Meaning, verbal
Remarks and examples
Item No. Symbol, application
equivalent
11-6.13 sgn a Signum a For real a:
(11-4.11)
1 ifa>O
sgn a = Oifa=O
-1 ifa<
I
For complex a, see 1 l-l 0.7.
mean value of a The method of forming the mean shall be
11-6.14 Zi (a)
stated if not clear from the context.
(11-4.12)
n
factorial yt For yt 3 1: n! = k=l x2x3x.xn
11-6.15 n!
I-I
k=l
(11-4.13)
For n = 0: n! = 1
11-6.16 yt binomial coefficient n, p n
nl .
=
(W-4.14) p cfi
! n-p)!
P
( 1 ( 1
PC
11-6.17 ent a the greatest integer less ent 2,4 = 2
(W4.?5) E(a) than or equal to a;
ent( -2,4) = -3
characteristic of a
[a] or int a is sometimes used for ent a, but
is now often used with the meaning “integer
part of a,,, e.g.
= int 2,4 = 2
[2 41
[ 12,4] = int( -2,4) = -2
10

---------------------- Page: 16 ----------------------
IS0 31=11:1992(E)
0 IS0
7 FUNCTIONS
Meaning, verbal
Remarks and examples
Symbol, application
Item No.
equivalent
function f A function may also be denoted by x Ha.
11-7.1 f
Letters other than fare also used.
(I I-5.1)
value of the function f at
11-7.2 x
f( >
f(x, y, . .) x or at (x, y, . .)
(11-5.2)
respectively
This notation is used mainly when evaluating
11-7.3 x 4:
f(b) -f(a)
f( >I
definite integrals.
(1 l-5.3)
b
H x >I a
the composite function of (g oj) (x) = g@(x))
11-7.4 gof
f and g, read as g circle f
(11-54)
x tends to a
11-7.5 x+a
(11-5.5)
X--,a f(x) = b may be written f(x) + b as
lim f(x) limit of f(x) as x tends to Irm ’
11-7.6
a x --+ a.
(11-5.6) x4a
.
Limits “from the right,, (x > a) and “from the
Irm X
x-+a f( >
left,, (X < a) may be denoted by
.
Itm X.+a+ f(x) and lim x+a- f(x) respectively.
EXAMPLE
is asymptotically equal to
11-7.7 N
(11-57)
1
1
- - as x + a,
sin(x-a) - x - a
If(x)/g(x) I is bounded
11-7.8 O(g(x))
above in the limit implied
(1 l-5.6) f(x) = O(g(x))
by the context;
f is of the order of g
f(x)/g(x) + 0 in the limit
1 l-7.9 o(g(x))
implied by the context;
(~~-5.9) f(x) = o(g(x))
f is of lower order than g
(finite) increme
...

NORME =
ISO
INTERNATIONALE 31-11
Deuxième édition
1992-I 2-l 5
Grandeurs et unités -
Partie 11:
Signes et symboles mathématiques à
employer dans les sciences physiques et dans
la technique
Quantities and units -
Part 11: Mathematical signs and symbols for use in the physical sciences
and technology
Numéro de référence
ISO 31-I 1:1992(F)

---------------------- Page: 1 ----------------------
ISO 31-11:1992(F)
Avant-propos
L’ISO (Organisation internationale de normalisation) est une fédération
mondiale d’organismes nationaux de normalisation (comités membres de
I’ISO). L’élaboration des Normes internationales est en général confiée aux
comités techniques de I’ISO. Chaque comité membre intéressé par une
étude a le droit de faire partie du comité technique créé à cet effet. Les
organisations internationales, gouvernementales et non gouvernemen-
tales, en liaison avec I’ISO participent également aux travaux. L’ISO colla-
bore étroitement avec la Commission électrotechnique internationale (CEI)
en ce qui concerne la normalisation électrotechnique.
Les projets de Normes internationales adoptés par les comités techniques
sont soumis aux comités membres pour vote. Leur publication comme
Normes internationales requiert l’approbation de 75 % au moins des co-
mités membres votants.
La Norme internationale ISO 31-11 a été élaborée par le comité technique
ISOJTC 12, Grandeurs, unités, symboles, facteurs de conversion.
Cette deuxième édition annule et remplace la première édition
(ISO 31-11:1978). L es principaux changements par rapport à la première
édition sont les suivants:
- un nouvel article sur des systèmes de coordonnées a été ajouté;
- quelques rubriques nouvelles ont été ajoutées dans les anciens arti-
cles.
Le rôle du comité technique ISOnC 12 est de normaliser les unités et les
symboles des grandeurs et des unités (et les symboles mathématiques)
qui sont employés dans les différents domaines de la science et de la
technique, et de donner - quand c’est nécessaire - des définitions de
ces grandeurs et de ces unités. Le domaine des travaux comprend aussi
les facteurs de conversion normalisés entre les diverses unités. Pour
remplir cette tâche, l’lSO/TC 12 a élaboré I’ISO 31.
0 ISO 1992
Droits de reproduction réservés. Sauf prescription différente, aucune partie de cette publi-
cation ne peut être reproduite ni utilisée sous quelque forme que ce soit et par aucun pro-
cédé, électronique ou mécanique, y compris la photocopie et les microfilms, sans l’accord
écrit de l’éditeur.
Organisation internationale de normalisation
Case Postale 56 l CH-1 211 Genève 20 l Suisse
Imprimé en Suisse
ii

---------------------- Page: 2 ----------------------
ISO 31-11:1992(F)
0 ISO
présentées sous le titre général
L’&O 31 comprend les parties sui
Grandeurs et unités:
- Partie 0: Principes
- Partie 7: Espace et te
- Partie 2:
- Partie 3: Mécanique
- Partie 4: Chaleur
- Partie 5: Électricité et magnétisme
- Partie 6: Lumière et rayonnements électromagnétiques connexes
- Partie 7: Acoustique
- Partie 8: Chimie physique et physique moléculaire
- Partie 9: Physique atomique et nucléaire
- Partie 10: Réactions nucléaires et rayonnements ionisants
- Partie II: Signes et symboles mathématiques à employer dans les
sciences physiques et dans la technique
- Partie 12: Nombres caractéristiques
- Partie 13: Physique de l’état solide
. . .
III

---------------------- Page: 3 ----------------------
ISO 31-l 1:1992(F) Q ISO
Introduction
0.1 Généralités
Lorsque deux ou plusieurs signes, symboles ou expressions sont indiqués
au même article, ils sont également admissibles. Les signes, symboles
et expressions dans la colonne «Remarques» sont donnés dans un but
d’identification.
Lorsque la numérotation d’un article a été modifiée dans la révision de la
présente partie de I’ISO 31, le numéro de l’édition précédente figure entre
parenthèses sous le nouveau numéro de l’article; un tiret est utilisé pour
indiquer que le terme en question ne figurait pas dans l’édition précé-
dente.
0.2 Variables, fonctions et opérateurs
Les variables, telles que X, y, etc., et les indices tels que i, dans ci xi, sont
imprimés en caractères italiques (penchés). II en est de même pour les
paramètres, tels que a, b, etc., qui peuvent être considérés comme
constants dans un contexte particulier. La même règle s’applique aussi
aux fonctions en général, par exemple: .fi g.
Cependant, on écrit une fonction explicitement définie en caractères ro-
mains (droits), par exemple sin, exp, In, r. Les constantes mathématiques
dont la valeur ne change jamais sont imprimées en caractères romains,
par exemple: e = 2,718 281 8.; n; = 3,141 592 6.; i* = - 1. Les opé-
rateurs bien définis sont aussi imprimés en droit, par exemple: div, 6 dans
6x et chaque d dans df/dx.
Les nombres exprimés par des chiffres sont toujours écrits en droit, par
exemple: 351 204; 1,32; 7/8.
L’argument d’une fonction est écrit entre parenthèses après le symbole
de la fonction, sans espace entre le symbole de la fonction et la première
parenthèse, par exemple: f(x), COS(~ + 50). Si le symbole de la fonction
comporte deux lettres ou plus et si l’argument ne contient pas de signe
d’opération tel que +; -; X; m; ou /, les parenthèses autour de l’argument
peuvent être omises. Dans ce cas, il convient de laisser un léger espace
entre le symbole de la fonction et l’argument, par exemple: ent 2,4;
sin nn; arcosh 2A; Ei X.
S’il existe un risque de confusion, il est recommandé de toujours insérer
des parenthèses. Par exemple, écrire COS(X) + y ou (COS X) + y; ne pas
écrire cas x + y qui pourrait être compris comme cos(x + y).
S’il faut écrire une expression ou une équation sur deux ou plusieurs li-
gnes, il convient d’effectuer la coupure immédiatement après l’un des si-
+; ou T; ou, si nécessaire, immédiatement après l’un des
gnes =; +; -;
signes x; l ; OU /. Dans ce cas, le signe joue le rôle d’un trait d’union à la
fin de la première ligne, pour informer le lecteur que le reste suivra à la
iv

---------------------- Page: 4 ----------------------
0 ISO ISO 31-l 1:1992(F)
ligne suivante ou éventuellement à la page suivante. Le signe ne doit pas
être répété au début de la ligne suivante, deux signes moins pourraient,
par exemple entraîner des erreurs de signe.
0.3 Scalaires, vecteurs et tenseurs
Les scalaires, les vecteurs et les tenseurs sont utilisés pour exprimer
certaines grandeurs physiques. En tant que tels, ils sont indépendants du
choix particulier d’un système de coordonnées, alors que chaque coor-
donnée d’un vecteur ou d’un tenseur dépend de ce choix.
II est important de distinguer entre les ((coordonnées d’un vecteur)) a,
c’est-à-dire ax, a, et a,, et les ((composantes)), c’est-à-dire axex, a,e, et
azez, qui sont des vecteurs.
Les coordonnées cartésiennes d’un rayon vecteur sont égales aux coor-
données cartésiennes du point donné par le rayon vecteur.
Au lieu de traiter chaque coordonnée comme une grandeur physique
(c’est-à-dire sa valeur numérique multipliée par l’unité), le vecteur pourrait
être écrit comme un vecteur de valeur numérique donnée, multipliée par
l’unité. Toutes les unités sont des scalaires.
EXEMPLE
vecteur de valeur
coordonnbe F” numbique donnbe
I I
/ l
F= (3 N, -2 N, 5 N) = (3, -2, 5)N
1
I \
valeur numérique unité unit6
Les tenseurs de deuxième ordre et d’ordres plus élevés pourraient être
traités de manière analogue.

---------------------- Page: 5 ----------------------
Page blanche

---------------------- Page: 6 ----------------------
NORME INTERNATIONALE 0 ISO
ISO 31-l 1:1992(F)
Grandeurs et unités -
Partie 11:
Signes et symboles mathématiques à employer dans les
sciences physiques et dans la. technique
dispositions valables pour la présente partie de B’ISO
1 Domaine d’application
31. Au moment de la publication, l’édition indiquée
était en vigueur. Toute norme est sujette à révision
La présente partie de I’ISO 31 donne des informations
et les parties prenantes des accords fondés sur la
générales sur les signes et symboles mathématiques,
présente partie de I’ISO 31 sont invitées à rechercher
leurs sens, leur énoncé et leur application.
la possibilité d’appliquer l’édition la plus récente de la
Les recommandations données dans la présente par-
norme indiquée ci-après. Les membres de la CEI et
tie de I’ISO 31 sont prévues pour être utilisées dans
de I’ISO possèdent le registre des Normes internatio-
les sciences physiques et en technologie.
nales en vigueur à un moment donné.
ISO 31-0:1992, Grandeurs et mit& - Partie 0: Prin-
cipes généraux.
2 Référence normative
La norme suivante contient des dispositions qui, par
suite de la référence qui en est faite, constituent des
1

---------------------- Page: 7 ----------------------
0 ISO
ISO 31-I 1:1992(F)
3 LOGIQUE MATHÉMATIQUE
Utilisation Nom du symbole Sens, honcé et remarques
No Symbole
11-3.1 A signe de conjonction
PA4 P et 4
(11-2.1)
signe de disjonction p ou q ou les deux
11-3.2 v
PV
(11-2.2)
signe de négation négation de p; non p
11-3.3 1
(7 l-2.3)
signe d’implication p entraîne q; p implique q
11-3.4 -
P34
(W-2.4)
Peut aussi s’écrire q = p.
-+ est parfois utilisé.
signe d’équivalence p=qetq*p;péquivautàq
11-3.5 Q
P*4
(11-2.5)
- est parfois utilisé.
quantificateur universel pour tout x appartenant à A, la proposition
11-3.6 Q QXEA p(x)
p(x) est vraie
(11-Z-6)
(Qx 4 P(X)
Si le contexte permet de savoir
clairement quel est l’ensemble A
considéré, on peut utiliser la notation
Qx P(X)*
PourxE A, voir 11-4.1.
pour au moins un élément x de A, p(x) est
3x~A p(x) quantificateur existentiel
11-3.7 3
vrai
(U-2.7)
(3x4 P(X)
Si le contexte permet de savoir
clairement quel est l’ensemble A
considéré, on peut utiliser la notation
jXP(X)*
PourxeA, voir 11-4.1.
1
31 . ou 3 est utilisé pour indiquer
l’existence d’un élément et d’un seul
pour lequel p(x) est vrai.

---------------------- Page: 8 ----------------------
0 ISO
ISO 31=11:1992(F)
t ENSEMBLES
Symbole,
Utilisation Sens, énoncé Remarques et exemples
No
signe
11-4.1 E XEA x appartient à A; x est un
(7 I-1. i) élément de l’ensemble A
y n’appartient pas à A;
11-4.2 4 Le symbole & est aussi utilisé.
YO
(71-1.2) y n’est pas un élément
de l’ensemble A
11-4.3 3 A3x l’ensemble A contient x A 3 x a la même signification que x E A.
(1 l-1.3) (comme élément)
11-4.4 $ l’ensemble A ne contient A $ y a Oa même signification que y 4 A.
A58Y
(11-1.4) pas y (comme élément) Le symbole $ est aussi utilisé.
ensemble dont les S’écrit aussi [Xi:i E 1) Oh 1 est un
11-4.5 ( )
(xi, $1 ma-1 xn>
(1 I-1.5) éléments sont x1, x2, . . . . xn ensemble d’indices.
ensemble des éléments EXEMPLE
11-4.6
( I 1 WA IP(x))
de A pour lesquels la
(1 I-1.6) {XERIX<5}
proposition p(x) est vraie
Si le contexte permet de savoir
clairement quel est l’ensemble A
considéré, on peut utiliser la notation
Ix I P(X))*
EXEMPLE
(xI-M5)
11-4.7 tard tard (A) nombre des éléments de
A; cardinal de A
i-1
11-4.8 0 l’ensemble vide
(1 I-1.7)
11-4.9 iv N l’ensemble des (nombres) Ill = (0, 1, 2,3, . .}
(1 I-1.8) entiers naturels L’exclusion de zéro des ensembles
1 l-4.9 à 11-4.13 est notée par un
astérisque, par exemple N*.
. . . . k - 1 )
Nk= I /
(0 l
11-4.10 z 2 l’ensemble des (nombres) Z = [ . . . . -2, -1, 0, 1, 2, . .)
(11-1.9) entiers Voir remarque à 1 l-4.9.
l’ensemble des (nombres) Voir remarque à 1 l-4.9.
11-4.11 Q Q
(1 I-1.10) rationnels
l’ensemble des (nombres) Voir remarque à 1 l-4.9.
11-4.12 Iw R
réels
(1 l-l. 11)
l’ensemble des (nombres) Voir remarque à 1 l-4.9.
11-4.13 6.2 c
complexes
(Il-1.12)

---------------------- Page: 9 ----------------------
ISO 31-l 1:1992(F) 0 ISO
4 ENSEMBLES (suite)
Symbole,
No Utilisation Sens, énoncé Remarques et exemples
signe
11-4.14 [,]
intervalle fermé dans R de [a, b] = (x E R 1 a < x < b}
Ca, 4
t-1 a (inclus) à b (inclus)
11-4.15 ] ,] intervalle semi-ouvert dans
]a, b] = (x E Il3 1 a < x < b}
la, bl
R de a (exclus) à b (inclus)
(4 I
( 1 (a, bl
11-4.16 [ ,] intervalle semi-ouvert dans [a, b[ = (x E F!i 1 a < x < b)
Ca, bC
[w de a (inclus) à b (exclus)
t-1 I
c > L-a b)
11-4.17 ] ,[ intervalle ouvert dans R de ]a, b[ = (x E R 1 a < x < b}
la bC
a (exclus) à b (exclus)
(4
( I ) a
( b)
11-4.18 c BcA B est inclus dans A; Tout élément de B appartient.à A.
(11-1.13) B est contenu dans A;
c est aussi utilisé, mais voir remarque à
B est une partie de A
1 l-4.19.
11-4.19 c BcA B est strictement inclus Tout élément de B appartient à A, mais
(Wl.14) dans A; B n’est pas égal à A.
B est strictement contenu Si c est utilisé pour 1 I-4.1 8, s doit être
dans A utilisé pour 11-4.19.
11-4.20 $ C n’est pas inclus dans A; @ est aussi utilisé.
C$A
(1 I-1.15) C n’est pas contenu dans Les symboles Q et $ sont aussi utilisés.
A;
C n’est pas une partie de
A
AzB A contient B (comme A contient tout élément de B.
11-4.21 2
partie) 3 est aussi utilisé, mais voir remarque à
(1 l-1.16)
11-4.22.
A f) B a la même signification que B c A.
A contient B strictement A contient tout élément de B, mais A
11-4.22 II AxB
(V-1.77) n’est pas égal à B.
Si 1 est utilisé pour 11-4.21, 2 doit être
utilisé pour 1 l-4.22.
A 3 B a la même signification que B c A.
A ne contient pas C * est aussi utilisé.
11-4.23 qi
AW
Les symboles 2 et $ sont aussi utilisés.
(Il-l. 18) (comme sous-ensemble)
A $z C a la même signification que
C $A.
réunion de A et de B L’ensemble des éléments appartenant à
11-4.24 u AuB
A, ou à B ou à A et à B.
(1 l-1.19)
AuB=(xlx~Avx~B}

---------------------- Page: 10 ----------------------
ISO 31-l 1:1992(F)
0 ISO
.
ENSEMBLES (suite)
Symbole,
Remarques et exemples
Sens, énoncé
Utilisation
signe
n
fJAi=A, uA~u~.~uA~,
réunion des ensembles
11-4.25 U
UA
i
i=l
i=l
11-1.20) A,, --ml An
l’ensemble des éléments appartenant au
moins à un des ensembles A,, . . . . A,.
n
U et U, UiEl
i=l
ifsI
sont aussi utilisés, OU 1 est un ensemble
d’indices.
L’ensemble des éléments appartenant à
intersection de A et de B,
11-4.26 n AnB
la fois à A et à B.
s’énonce A inter B
11-1.21)
A~B={xIxEAAxEB)
n
fiAi=A, nA,n.nA,,
intersection des
11-4.27 n
nA
i
i=l
i=l
ensembles A,, . . . . An
11-1.22)
l’ensemble des éléments appartenant à
la fois à A,, A2, . . . et An.
n
n i=l et nl nid
id
sont aussi utilisés, où 1 est un ensemble
d’indices.
L’ensemble des éléments de A
différence de A et de B;
11-4.28 \
A\B
n’appartenant pas à B.
A moins B
11-1.23)
A\B={xIxEAAx#B}
II convient de ne pas utiliser A - B.
L’ensemble des éléments (d’un
complémentaire de la
11-4.29 [
CB
A
ensemble A) n’appartenant pas à la partie
partie B de A
11-1.24)
B de A.
Si le contexte permet de savoir
clairement quel est l’ensemble A
considéré, le symbole A est souvent
omis.
Onaaussi C,B=A\B
couple a, b (a, b) = (c, d) si et seulement si a = c et
11-4.30 ( , )
(a, b)
b = d.
(11-1.25)
(a, b) est aussi utilisé.
a,) est aussi utilisé.
n-uplet; multiplet
(q, a+ .-.I
11-4.31 ( , . . . . ) (aIl a2, l ml a,)
(Il-1.26)
5

---------------------- Page: 11 ----------------------
ISO 31-l 1:1992(F)
4 ENSEMBLES (fin)
Symbole,
No Utilisation
Sens, énoncé
Remarques et exemples
signe
-
AxB produit (cartésien) de A et
L’ensemble des couples (a, b) pour
de B
lesquels a E A et b E B.
AxB=((a,b) IaeAr\bEB)
A xA x . . . x A est noté An où ~1 est le
nombre de facteurs du produit.
11-4.33 A
ensemble des couples
AA AA = {(x,x) I--A}
t-1 (x, X) de A x A, avec x E A;
id, est aussi utilisé.
diagonale de A x A
6

---------------------- Page: 12 ----------------------
0 ISO
ISO 31~11:1992(F)
5 SYMBOLES DIVERS
No Symbole Utilisation Sens, énoncé Remarques et exemples
11-5.1 = a=b a est égal à b = peut être utilisé pour souligner le fait
( 1 I-3.1) qu’une égalité est une identité.
11-5.2 # a est différent de b Le symbole + est aussi utilisé.
a#b
(11-3.2)
def b
def
a est égal par définition
11-5.3 a EXEMPLE
àb
(11-3.3) def mv, où p est la quantité de
P
mouvement, m la masse et v la vitesse.
d
= et := sont aussi utilisés.
a correspond à b EXEMPLES
11-5.4 e aeb
(11-3.4) Étant donné que E = kT,
1 eV e 11 604,5 K.
Lorsque 1 cm sur une carte correspond
à une longueur de 10 km, on peut écrire
1 cmYOkm.
11-5.5 m azb a est approximativement Le symbole = est réservé pour ((est
(11-3.5) égal à b asymptotiquement égal à». Voir 1 l-7.7.
a est proportionnel à b
11-5.6 - a- b
(11-3.6) oc aocb
11-5.7 < a àb
(11-3.7)
11-5.8 > b>a b est strictement supérieur
(11-3.8) àa
11-5.9 < a (1 l-3.9)
b est supérieur ou égal
11-5.10 2 b>a Les symboles 2 et 2 sont aussi utilisés.
àa
(11-3.10)
11-5.11 « a << b a est très inférieur à b
(11-3.11)
11-5.12 > b > a b est très supérieur à a
(11-3.12)
11-5.13 00 infini
(11-3.13)

---------------------- Page: 13 ----------------------
0 ISO
ISO 31-11:1992(F)
5 SYMBOLES DIVERS (f/‘n)
No Symbole Utilisation Sens, énoncé Remarques et exemples
ac + bc, parenthèses Dans l’algèbre ordinaire, la séquence ( ),
11-5.14 () (a + b)c
ac + bc, crochets [ 1, ( ) et ( ) dans l’ordre d’apparition
[a + b]c
t-4
Cl
(a + b}c ac + bc, accolades n’est pas normalisée. Des usages spé-
0
(a + b)c ac + bc, crochets ciaux de ( ), [ 1, ( } et ( ) existent dans
0
angulaires des domaines particuliers.
11-5.15 // AB // CD la droite AB est parallèle à
la droite CD
(-1
AB 1 CD la droite AB est
11-5.16 1
perpendiculaire à la droite
(-4
CD
8

---------------------- Page: 14 ----------------------
ISO 31-11:1992(F)
0 ISO
5 OPÉRATIONS
Sens, énoncé Remarques et exemples
Symbole, utilisation
No
a plus b
1 l-6.1 a+b
(1 I-4.1)
a moins b
1 l-6.2 a-b
(1 l-4.2)
a plus ou moins b
1 l-6.3 a+b
l-1
a moins ou plus b -(a-&b)=-aTb
1 l-6.4 aTb
k-4
a multiplié par b Voir aussi ‘l l-4.32, 1 l-l 3.6 et 1 l-l 3.7.
11-6.5 aab axb ab
Le signe de multiplication des nombres est
(1 l-4.3)
une croix (x) ou un point à mi-hauteur (m). Si
un point est utilisé comme signe décimal,
seule la croix doit être utilisée pour la
multiplication des nombres. Pour le signe
décimal, voir ISO 31-0:1992,
paragraphe 3.3.2.
a divisé par b Voir aussi ISO 31-0:1992, paragraphe 3.1.3.
11-6.6 f a/b ab-’
(1 l-4.4)
n
Aussi
a1 + l$ + .* + a,
1 l-6.7 x r= , ail xaif ~ i ail xai
c
i
(11-4.5) i_lai
n
a1 8 a2 9 . . . 8 a, Aussi
1 l-6.8
n;= 1 aif ‘nair ni aif nai
I-I
i
(Il-4.G) i=lai
a puissance p
11-6.9 ap
(11-4.7)
a puissance 112;
1 I-6.10 1/2 + Si a 3 0, alors a 20.
4-
Ja Ja
racine carrée de a
(11-4.8) a a Voir remarque à 1 I-6.1 1.
1
a puissance I/n;
1 l-6.1 1
Si a > 0, alors “Ja > 0.
(11-4,9) a- an va
racine nième de a
n
Si les symboles J ou “J s’appliquent à une
a
lr
expression composée, il faut employer des
parenthèses pour éviter toute ambiguïté.
abs a est aussi utilisé.
valeur absolue de a;
11-6.12 [ai
module de a
( 1 I-4.10)

---------------------- Page: 15 ----------------------
ISO 31-l 1:1992(F) 0 ISO
5 OPÉRATIONS (fin)
No Symbole, utilisation Sens, énoncé Remarques et exemples
11-6.13 sgn a signum a Pour a réel:
7 l-4.1 1)
1 poura >O
sgn a = 0 pour a = 0
-1 pour a < 0
L
Pour a complexe, voir 1 l-l 0.7.
11-6.14 ii (a> valeur moyenne de a La méthode de formation de la moyenne doit
1 l-4.12) être prescrite si elle ne ressort pas du
contexte.
n
factorielle yt Pour ~1 2 1: n! = k=l xZx3x.xn
1 I-6.15 n!
I-I
k=l
11-4.13)
Pour n = 0: n! = 1
coefficient binomial n, p
11-6.16
n
ni .
1 l-4.14) p cf
= p!(n -p)!
( P )
( 1
caractéristique de a ent 2,4 = 2
11-6.17 ent a
11-4.15) E(a) le plus grand nombre
ent( -2,4) = -3
entier inférieur ou égal
[a] ou int a est parfois employé pour ent a,
àa
mais est souvent utilisé actuellement avec la
signification partie entière de a, par exemple:
= int 2,4 = 2
[2 41
[ 12.41 = int( -2,4) = -2
10

---------------------- Page: 16 ----------------------
0 ISO
ISO 31=11:1992(F)
7 FONCTIONS
Remarques et exemples
No Symbole, application Sens, énoncé
fonction f Une fonction peut aussi s’écrire x k-9 f(x).
11-7.1 f
(7 l-5.?) D’autres lettres que f sont aussi utilisées.
valeur de la fonction f
11-7.2
f( >
(1 I-5.2) f;, y, . .) respectivement en x ou
en (x’ y, l )
Cette notation est principalement utilisée pour
11-7.3 x ,b
f(b) -f(a)
f( >I
le calcul des intégrales définies.
(W-5.3)
b
s?f( x >3 a
fonction composée de f
11-7.4 gof
cg OfI (4 = d?fw
et g, s’énonce g rond f
(1 l-5.4)
x tend vers a
11-7.5 x+a
(Il-5.5)
lim f(x) limite de f(x) quand x tend lim X-,a f(x) = b peut s’écrire f(x> -+ b quand
11-7.6
vers a x + a.
(1 l-5.6) x+a
.
Les limites (4 droite» (x > a) et «à gauche))
Iim X
x+a f( >
(X < a) peuvent s’écrire respectivement
.
Itm
x+a + f(x) et lim x+a - f(x)*
EXEMPLE
11-7.7 = est asymptotiquement
(1 l-5.7) égal à
1 1
- - quand x -+ a.
sin(x-a) - x - a
11-7.8 O(g(x))
If(x)
...

NORME
IS0
I NT E R N AT IO N A LE
31-11
Deuxikme edition
1992-1 2-1 5
Grandeurs et unites -
Partie 11:
Signes et symboles mathematiques a
employer dans les sciences physiques et dans
la technique
Quantities and units -
Part 11: Mathematical signs and symbols for use in the physical sciences
and technology
Numero de reference
IS0 31-11:1992(F)

---------------------- Page: 1 ----------------------
IS0 31 -1 1 :1992( F)
Avant-propos
L'ISO (Organisation internationale de normalisation) est une federation
mondiale d'organismes nationaux de normalisation (comites membres de
I'ISO). L'elaboration des Normes internationales est en general confiee aux
comites techniques de I'ISO. Chaque comite membre interesse par une
etude a le droit de faire partie du comite technique cr& B cet effet. Les
organisations internationales, gouvernementales et non gouvernemen-
tales, en liaison avec I'ISO participent Bgalement aux travaux. L'ISO colla-
bore 6troitement avec la Commission electrotechnique internationale (CEI)
en ce qui concerne la normalisation electrotechnique.
Les projets de Normes internationales adopt& par les comites techniques
sont soumis aux comites membres pour vote. Leur publication comme
Normes internationales requiert I'approbation de 75 YO au moins des co-
mites membres votants.
La Norme internationale IS0 31-1 1 a et6 elaboree par le comite technique
lSO/lC 1 2, Grandeurs, unit& symboles, facteurs de conversion.
Cette deuxieme edition annule et remplace la premiere edition
(IS0 31-1 1:1978). Les principaux changements par rapport B la premiere
edition sont les suivants:
- un nouvel article sur des systkmes de coordonnees a et6 ajoute;
- quelques rubriques nouvelles ont kt6 ajoutees dans les anciens arti-
cles.
Le r81e du comite technique ISO/TC 12 est de normaliser les unites et les
symboles des grandeurs et des unites (et les symboles mathematiques)
qui sont employes dans les differents domaines de la science et de la
technique, et de donner - quand c'est necessaire - des definitions de
ces grandeurs et de ces unites. Le domaine des travaux comprend aussi
les facteurs de conversion normalises entre les diverses unites. Pour
remplir cette tache, I'ISO/lC 12 a elabore I'ISO 31.
0 IS0 1992
Droits de reproduction rBservBs. Sauf prescription diffbrente, aucune partie de cette publi-
cation ne peut &re reproduite ni utilisBe sous quelque forme que ce soit et par aucun pro-
cBd6, Blectronique ou mbcanique, y compris la photocopie et les microfilms, sans I'accord
Bcrit de 1'6diteur.
Organisation internationale de normalisation
Case Postale 56 CH-1211 Genbve 20 Suisse
Imprim6 en Suisse
ii

---------------------- Page: 2 ----------------------
Q IS0 IS0 31-11:1992(F)
L'ISO 31 comprend les parties suivantes, presentees sous le titre general
Grandeurs et unit&:
- Partie 0: Principes gBnBraux
- Partie 1: Espace et temps
- Partie 2: PhBnom&nes periodiques et connexes
- Partie 3: MBcanique
- Partie 4: Chaleur
- Partie 5: Electricit6 et magnetisme
- Partie 6: Lumidre et rayonnements Blectromagndtiques connexes
- Partie 7: Acoustique
- Partie 8: Chimie physique et physique mol6culaire
- Partie 9: Physique atomique et nucldaire
- Partie 10: RBactions nucl6aires et rayonnements ionisants
- Partie 1 I: Signes et symboles mathkmatiques a employer dans les
sciences physiques et dans la technique
- Partie 12: Nombres caractBristiques
- Partie 13: Physique de I'Btat solide
iii

---------------------- Page: 3 ----------------------
Q IS0
IS0 31 -1 1 : 1992( F)
Introduction
0.1 Generalites
Lorsque deux ou plusieurs signes, symboles ou expressions sont indiques
au mGme article, ils sont Bgalement admissibles. Les signes, symboles
et expressions dans la colonne ((Remarques)) sont donnes dans un but
d'identification.
Lorsque la numerotation d'un article a 6tB modifiee dans la revision de la
presente partie de I'ISO 31, le numero de I'Bdition prBcBdente figure entre
parentheses sous le nouveau numBro de I'article; un tiret est utilise pour
indiquer que le terme en question ne figurait pas dans I'edition prec6-
dente.
0.2 Variables, fonctions et operateurs
Les variables, telles que x, y, etc., et les indices tels que i, dans Ci xi, sont
imprimes en caractdres italiques (penches). II en est de m6me pour les
parametres, tels que a, b, etc., qui peuvent atre considBr6s comme
constants dans un contexte particulier. La m6me regle s'applique aussi
aux fonctions en general, par exemple: J g.
Cependant, on 6crit une fonction explicitement definie en caracteres ro-
mains (droits), par exemple sin, exp, In, r. Les constantes mathematiques
dont la valeur ne change jamais sont imprimees en caracteres romains,
par exemple: e = 2,718 281 8.; x = 3,141 592 6.; i2 = - 1. Les ope-
rateurs bien definis sont aussi imprimes en droit, par exemple: div, 6 dans
6x et chaque d dans dfldx.
Les nombres exprimes par des chiffres sont toujours ecrits en droit, par
exemple: 351 204; 1,32; 7/8.
L'argument d'une fonction est 6crit entre parentheses apres le symbole
de la fonction, sans espace entre le symbole de la fonction et la premiere
parenthdse, par exemple: f(x), cos(wt + p). Si le symbole de la fonction
comporte deux lettres ou plus et si I'argument ne contient pas de signe
d'opBration tel que +; -; x; -; ou /, les parentheses autour de I'argument
peuvent &re omises. Dans ce cas, il convient de laisser un leger espace
entre le symbole de la fonction et I'argument, par exemple: ent 2,4;
sin nx; arcosh 2A; Ei x.
S'il existe un risque de confusion, il est recommand6 de toujours inserer
des parentheses. Par exemple, hire cos(x) + y ou (cos x) + y; ne pas
Bcrire cos x + y qui pourrait &re compris comme cos(x + y).
S'il faut ecrire une expression ou une Bquation sur deux ou plusieurs li-
gnes, il convient d'effectuer la coupure immediatement apres I'un des si-
gnes =; +; -; f; ou T; ou, si necessaire, immediatement apres I'un des
signes x; a; ou /. Dans ce cas, le signe joue le rde d'un trait d'union B la
fin de la premiere ligne, pour informer le lecteur que le reste suivra B la
IV

---------------------- Page: 4 ----------------------
(0 IS0
IS0 31-11:1992(F)
ligne suivante ou hventuellement a la page suivante. Le signe ne doit pas
etre rep6te au debut de la ligne suivante, deux signes moins pourraient,
par exemple entrainer des erreurs de signe.
0.3 Scalaires, vecteurs et tenseurs
Les scalaires, les vecteurs et les tenseurs sont utilises pour exprimer
certaines grandeurs physiques. En tant que tels, ils sont independants du
choix particulier d'un systhme de coordonn6es, alors que chaque coor-
donnee d'un vecteur ou d'un tenseur depend de ce choix.
II est important de distinguer entre les coordonnees d'un vecteur)) a,
c'est-&dire U,, 5 et a,, et les ((composantes)), c'est-&-dire axex, arey et
a,e,, qui sont des vecteurs.
Les coordonnees cartesiennes d'un rayon vecteur sont 6gales aux coor-
donnees cartesiennes du point donne par le rayon vecteur.
Au lieu de traiter chaque coordonn6e comme une grandeur physique
(c'est-&dire sa valeur numerique multipli6e par I'unite), le vecteur pourrait
etre Bcrit comme un vecteur de valeur numerique donnee, multipliee par
I'unit6. Toutes les unites sont des scalaires.
EXEMPLE
vecteur de valeur
coordonnde F, numerique donnee
I
I
4
A
F= (3 N, -2 N, 5 NI (3, -2, 5) N
I
I\
unit6
valeur numerique unit6
Les tenseurs de deuxibme ordre et d'ordres plus 6lev6s pourraient &re
trait& de manibre analogue.
V

---------------------- Page: 5 ----------------------
~~
NORME INTERNATIONALE Q IS0 IS0 31 -1 1 : 1992( F)
Grandeurs et unites -
Partie I I:
Signes et symboles mathematiques a employer dans les
sciences physiques et dans la technique
dispositions valables pour la presente partie de I'ISO
1 Domaine d'application
31. Au moment de la publication, I'edition indiquee
etait en vigueur. Toute norme est sujette B revision
La presente partie de I'ISO 31 donne des informations
et les parties prenantes des accords fond& sur la
generales sur les signes et symboles mathematiques,
presente partie de I'ISO 31 sont invitees B rechercher
leurs sens, leur Bnonce et leur application.
la possibilite d'appliquer I'Bdition la plus recente de la
Les recommandations donnees dans la presente par-
norme indiquee ci-aprks. Les membres de la CEI et
tie de I'ISO 31 sont prevues pour Qtre utilisees dans
de I'ISO possedent le registre des Normes internatio-
les sciences physiques et en technologie.
nales en vigueur B un moment donne.
IS0 31-0:1992, Grandeurs et unites - Partie 0: Prin-
cipes generaux.
2 Reference normative
La norme suivante contient des dispositions qui, par
suite de la reference qui en est faite, constituent des
1

---------------------- Page: 6 ----------------------
IS0 31-11:1992(F) Q IS0
13 LOGIQUE MATHEMATIQUE
Sens, Ononce et remarques
Symbole Utilisation Nom du symbole
I et q
11-3.1 signe de conjonction
(1 1-2.7)
t ou q ou les deux
11-3.2 signe de disjonction
(1 7-2.2)
signe de negation legation de p; non p
11-3.3
(1 1-2.3)
;igne d'implication t entraine q; p implique 4
11-3.4
(1 1-2.4)
'cut aussi s'ecrire q -= p.
+ est parfois utilise.
1 + q et q =+p: p Bquivaut h q
1 1-3.5 igne d'bquivalence
(1 1-2.5)
+ est parfois utilise.
cluantificateur universe1 )our tout x appartenant a A, la proposition
11-3.6
+) est vraie
( 1 1-2-6)
3 le contexte permet de savoir
:lairement que1 est I'ensemble A
:onsidere, on peut utiliser la notation
fXP(4.
'our x E A, voir 11-4.1.
)our au moins un element x de A, p(x) est
11-3.7 3 ua ntif ica te ur existe n tiel
Ira i
(17-2.7)
Si le contexte permet de savoir
:lairement que1 est I'ensemble A
:onsidere, on peut utiliser la notation
IXP(X).
'our x EA, voir 11-4.1.
1
3! ou 3 est utilise pour indiquer
I'existence d'un element et d'un seul
pour lequel p(x) est vrai.
2

---------------------- Page: 7 ----------------------
Q IS0
IS0 31 -1 1 :1992(F)
4 ENSEMBLES
~~
Symbole,
N" Utilisation
Sens, Bnoncb Remarques et exemples
signe
11-4.1 E
x appartient B A; x est un
(1 7-1.1)
element de I'ensemble A
1 1-4.2
y n'appartient pas B A; Le symbole est aussi utilise.
c
(1 7-12) y n'est pas un element
de I'ensemble A
1 1-4.3 3 I'ensemble A contient x A 3 x a la mQme signification que x E A.
(1 1-1.3) (comme element)
1 1-4.4 I'ensemble A ne contient A $ y a la mQme signification que y CA.
$
(I 1-1.4) pas y (comme 6lement) Le symbole $ est aussi utilise.
11-4.5 ensemble dont les S'ecrit aussi (xi:i E I} oir I est un
I}
ensemble d'indices.
(I 7-1.5) elements sont xl, 9, ., x,
1 1-4.6 ensemble des elements EXEMPLE
(I}
A pour lesquels la
(1 1-1.6) de (x~iWIx<5}
proposition p(x) est vraie Si le contexte permet de savoir
clairement que1 est I'ensemble A
considere, on peut utiliser la notation
1 1-4.7 card nombre des elements de
A; cardinal de A
(-1
0 I'ensemble vide
1 1-4.8
(11-1.3
N = (0, 1, 2,3, .}
1 1-4.9 NN I'ensemble des (nombres)
(1 1-1.8) entiers naturels L'exclusion de zero des ensembles
11-4.9 B 11-4.13 est notee par un
asterisque, par exemple N*.
Nk= (0, 1, ., k- I}
11-4.10 zz I'ensemble des (nombres) z = I., -2, -1, 0, 1, 2, .}
entiers Voir remarque B 11-4.9.
(1 1-1.9)
11-4.1 1 QQ I'ensemble des (nombres) Voir remarque B 11-4.9.
rationnels
(1 7-7.10)
11-4.12 RR I'ensemble des (nombres) Voir remarque B 11-4.9.
reels
(1 1-1.1 I)
I'ensemble des (nombres) Voir remarque B 11-4.9.
11-4.13 cc
(1 1-1.12) complexes
3

---------------------- Page: 8 ----------------------
IS0 31-11:1992(F)
Q IS0
4 ENSEMBLES (suite)
Symbole,
N" Utilisation Sens, 6nonc6 Remarques et exemples
signa
11-4.14
intervalle ferme dans R de
a (inclus) B b (inclus)
(-1
11-4.15 in t erva I le semi-ouve rt da ns ]a,b] = (XE R la R de a (exclus) B b (inclus)
(-1
11-4.16 intervalle semi-ouvert dans
R de a (inclus) B b (exclus)
(-1
11-4.17 intervalle ouvert dans IW de ]a,b[= (XE R Ia a (exclus) B b (exclus)
(-1
11-4.18
B est inclus dans A; Tout element de B appartient B A.
(11-1.73) B est contenu dans A; c est aussi utilise, mais voir remarque B
B est une partie de A 11-4.19.
11-4.19 B est strictement inclus
Tout 6lement de B appartient B A, mais
(I 1-7.14) dans A;
B n'est pas egal B A.
B est strictement contenu Si c est utilise pour 11-4.1 8, doit Qtre
dans A utilise pour 1 1-4.19.
1 1-4.20 C n'est pas inclus dans A; e est aussi utilis6.
(71-1.15) C n'est pas contenu dans $ et
Les symboles sont aussi utilises.
A;
C n'est pas une partie de
A
11-4.21
A contient B (comme A contient tout 616ment de B.
(1 1-1.16) partie) I> est aussi utilise, mais voir remarque B
11-4.22.
A 2 B a la mQme signification que B c A.
1 1-4.22 A contient B strictement A contient tout Wment de B, mais A
(1 1-1.17) n'est pas Bgal B B.
Si 3 est utilise pour 11-4.21, 3 doit 6tre
utilise pour 1 1-4-22,
A 3 B a la mQme signification que B c A.
1 1-4.23 A ne contient pas C ;b est aussi utilise.
(1 7-1.18) (comme sous-ensemble) Les symboles 3 et + sont aussi utilises.
A $ C a la mQme signification que
C $A.
1 1-4.24 reunion de A et de B L'ensemble des Bl6ments appartenant B
(1 1-1.79) A, ou B B ou B A et B B.
A UB = {X lxeA VXEB}
4

---------------------- Page: 9 ----------------------
Q IS0 IS0 31 -1 1 :I 992( F)
1, ENSEMBLES (suite)
Syrn bole,
Sens, Bnonc6 Rernarques et exernples
N" Utilisation
signe
n
reunion des ensembles U Ai =A1 UA, U . UA,,
1 1-4.25
'= 1
11-1.20) A,, ***I A,
l'ensemble des elements appartenant au
moins B un des ensembles A,, ., A,.
U;=, et U, Uist
is1
sont aussi utilises, oh I est un ensemble
d'indices.
L'ensemble des 416ments appartenant B
intersection de A et de B,
1 1-4.26
la fois h A et B B.
s'enonce A inter B
:7 1-1.21)
4 n B = {X IX EA A x E B}
n
intersection des n Ai = A1 n A, n . fl A,,
1 1-4.27
i=l
ensembles A,, ., A,
:11-1.22)
I'ensemble des elements appartenant h
la fois B A,, A,, . et A,.
nLl et nl nist
is1
sont aussi utilises, oh I est un ensemble
d'indices,
L'ensemble des elements de A
difference de A et de B;
1 1-4.28
n'appartenant pas B B.
A moins B
(1 1-1.23
A \ B = {X IX EA A x # B}
II convient de ne pas utiliser A - B.
L'ensemble des elements (d'un
complementaire de la
1 1-4.29
ensemble A) n'appartenant pas h la partie
partie B de A
(1 1-1.24)
B de A.
Si le contexte permet de savoir
clairement que1 est I'ensemble A
considere, le symbole A est souvent
omis.
On a aussi CAB =A \ B
(a, b) = (c, d) si et seulement si a = c et
couple a, b
1 1-4.30
b = d.
(1 1-1.25)
(a, b) est aussi utilise.
n-uplet; multiplet (al, q, ., a,) est aussi utilise.
1 1-4.31
(1 1-7.26)

---------------------- Page: 10 ----------------------
Q IS0
IS0 31-1 1 :1992(F)
4 ENSEMBLES (fin)
Symbole,
Remarques et exemples
Utilisation Sens, BnoncB
No
signe
AxB oroduit (cart6sien) de A et L'ensemble des couples (a, b) pour
11-4.32
de B lesquels a E: A et b E B.
(1 1-1.27)
AxB= {(a,b) ~uEAA~EB}
A x A x . x A est not6 A" oh n est le
nombre de facteurs du produit.
ansemble des couples
1 1-4.33
AA
(x, x) de A x A, avec x E A;
(-1
diagonale de A x A
6

---------------------- Page: 11 ----------------------
I
Q IS0 IS0 31-11:1992(F)
j SYMBOLES DIVERS
Rernarques et exernples
Syrnbole Utilisation Sens, 6nonc6
No
a est Bgal A b e peut Qtre utilise pour souligner le fait
11-5.1 u=b
qu'une Bgalite est une identite.
(7 1-3.7)
U est different de b -e symbole P est aussi utilise.
1 1-5.2
u#b
(1 13.2)
a@b EXEMPLE
U est &gal par definition
11-5.3
3 @ mv, 00 p est la quantite de
hb
(1 1-3.3)
nouvement, m la masse et v la vitesse.
d
= et := sont aussi utilises.
EXE M P LES
a correspond a b
11-5.4 aab
Etant donne que E = kT,
( 1 7-34
1 eV 11 604,5 K.
Lorsque 1 cm sur une carte correspond
B une longueur de 10 km, on peut ecrire
1 cm 10 km.
Le symbole U est reserve pour ((est
awb a est a pproxi mativement
11-5.5
asymptotiquement &gal AD. Voir 11-7.7.
Bgal A b
(1 13.5)
a-b a est proportionnel A b
1 1-5.6
aocb
(I 1-3.6')
a 11-5.7
ab
(113.7)
b est strictement superieur
b>a
1 1-5.8
Ba
(I 1-3.8)
Les symboles 5 et 5 sont aussi utilises.
a est inferieur ou 4gal A b
a 11-5.9
( 1 1-3.9)
Les symboles 2 et 2 sont aussi utilises.
b est superieur ou 6gal
11-5.10 b>a
(1 1-3.10) Ba
a est trks inferieur 8 b
11-5.1 1 a << b
(7 1-3.7 1)
b est trks superieur A a
11-5.12 b >> a
(1 1-3.12)
infini
11-5.13
(1 1-3.13)
7

---------------------- Page: 12 ----------------------
IS0 3 1 -1 1 : 1992( F)
5 SYMBOLES DIVERS (fin)
Utilisation Sens, 6nonc6 Rernarques et exernples
No Syrnbole
ac + bc, parentheses Dans I'algebre ordinaire, la sequence ( ),
11-5.14 (a + b)c
0
ac + bc, crochets [ 1, { ) et ( ) dans I'ordre d'apparition
[a + blc
(-1
c1
n'est pas normalisee. Des usages sp6-
{a + bjc ac + bc, accolades
I)
(a -k b)c ac + bc, crochets ciaux de ( ), [ 1, { ) et ( ) existent dans
0
angulaires des domaines particuliers.
AB // CD la droite AB est parallkle A
11-5.15
I/
la droite CD
(-1
AB 1 CD la droite AB est
11-5.16 I
perpendiculaire A la droite
(-1
CD
8

---------------------- Page: 13 ----------------------
Q IS0
IS0 31 -1 1 : 1992( F)
6 OPERATIONS
N" Symbole, utilisation Sens, OnoncO Remarques et exemples
11-6.1 i+b i plus b
(1 1-4.1)
1 1-6.2 i-b z moins b
(I 1-4.2)
z plus ou moins b
1 1-6.3 ifb
(-1
!a moins ou plus b -(a+b)=-aFb
1 1-6.4
ZTb
(-1
2-b axb ab z multiplie par b 4oir aussi 11-4.32, 11-13.6 et 11-13.7.
1 1-6.5
Le signe de multiplication des nombres est
(I 1-4.3)
Jne croix (x) ou un point B mi-hauteur (-1, Si
An point est utilise comme signe decimal,
jeule la croix doit &re utilisee pour la
multiplication des nombres. Pour le signe
decimal, voir IS0 31-0:1992,
oaragraphe 3.3.2.
- a a/b ab-'
doir aussi IS0 31-0:1992, paragraphe 3.1.3.
1 1-6.6 a divise par b
b
( 11-4.4)
11-6.7 a, + a, + . + a,
eai
(I 1-4.5) i= 1
al a2 . a, Aussi nn i= 1 ai, nui, ni ai, nui
1 1-6.8
fi ai
i
(1 1-46) i= 1
a puissance p
1 1-6.9 ap
(1 1-4.7)
a puissance 112;
11-6.10 si a 2 0, alors J;; 2 0.
a'" a' Ja 6
racine carree de a
(1 1-4.8) Voir remarque B 11-6.1 1.
11-6.1 1 a puissance l/n;
si a 2 0, alors '6 0.
(I 1-4.9) racine nibme de a
Si les symboles J ou "J s'appliquent B une
expression composke, il faut employer des
parentheses pour Bviter toute ambigui'te.
abs a est aussi utilise.
valeur absolue de a;
11-6.12
module de a
(I 1410)
9

---------------------- Page: 14 ----------------------
Q IS0
IS0 31 -1 1 :I 992(F)
10

---------------------- Page: 15 ----------------------
Q IS0
IS0 31-11:1992(F)
7 FONCTIONS
N" Syrnbole, application Sens, BnoncB Rernarques et exernples
Une fonction peut aussi s'ecrire x H~(x),
11-7.1 fonction f
D'autres lettres que f sont aussi utiliskes.
(1 1-5.1)
1 1-7.2 valeur de la fonction f
(1 1-5.2) respectivement en x ou
en (x, Y, .)
Cette notation est principalement utilisee pour
1 1-7.3
( 11-5.3) le calcul des integrales definies.
1 1-7.4 fonction composee de f
(1 1-5.4) et g, s'bnonce g rondf
1 1-7.5 x tend vers a
(1 1-5.5)
11-7.6 limite def(x) quand x tend lim x+U f(x) = b peut s'Bcriref(x) -, b quand
a x 4 a.
(1 1-5.6) vers
Les limites (($I droiten (x > U) et ((4 gauche))
(x -= a) peuvent s'6crire respectivement
lim X'U +
...


6/29(16.,  6,67,62
 
67$1'$5' 
PDM
 




    
    
    
    
 

 9HOLþLQH LQ HQRWH ±  GHO 0DWHPDWLþQL ]QDNL LQ VLPEROL ]D XSRUDER Y
 IL]LNDOQLKLQWHKQLãNLKYHGDK
 LVWRYHWHQ,62

 4XDQWLWLHVDQGXQLWV±3DUW0DWKHPDWLFDOVLJQVDQGV\PEROVIRUXVHLQWKH
 SK\VLFDOVFLHQFHVDQGWHFKQRORJ\

 *UDQGHXUVHWXQLWpV±3DUWLH6LJQHVHWV\PEROHVPDWKpPDWLTXHVjHPSOR\HU
 GDQVOHVVFLHQFHVSK\VLTXHVHWGDQVODWHFKQLTXH
 
 


 













 'HVNULSWRUML PHGQDURGQLVLVWHPHQRWPHUVNHHQRWHYHOLþLQHVLPEROL]QDNLPDWHPDWLND



 

"!$#%’&()**+-,./0
1"2/34(356.78%962;:-2;##
 


<>=@?(?BADC?D=FEHGIJDKDL’MHNDOHPQPMDRQSPSTUSBVHWNQSW’MDX(WFYX@PVHWBZDP[JF\D]W(V(^MDJ(_ULDKDW@M[LZHL@IJDSLW@IPQXBL@IJDK%SLB‘BWNQSW@MHXBW’YX(WaM(PQXBJDKDJ@I[L@MDJ\

---------------------- Page: 1 ----------------------

6,67,62
1$&,21$/1,892'
6WDQGDUG6,67,62VO9HOLþLQHLQHQRWH±GHO0DWHPDWLþQL]QDNLLQVLPEROL]DXSRUDERY
IL]LNDOQLKLQWHKQLãNLKYHGDKLPDVWDWXVVORYHQVNHJDVWDQGDUGDLQMHLVWRYHWHQPHGQDURGQHPX
VWDQGDUGX,62HQ4XDQWLWLHVDQGXQLWV±3DUW0DWKHPDWLFDOVLJQVDQGV\PEROVIRUXVHLQ
WKHSK\VLFDOVFLHQFHVDQGWHFKQRORJ\GUXJDL]GDMD
1$&,21$/1,35('*2925
0HGQDURGQL VWDQGDUG ,62  MH SULSUDYLO WHKQLþQL RGERU 0HGQDURGQH RUJDQL]DFLMH ]D
VWDQGDUGL]DFLMR,627&9HOLþLQHHQRWHVLPEROLSUHWYRUQLNL
6ORYHQVNLVWDQGDUG6,67,62MHSUHYRGDQJOHãNHJDEHVHGLODGUXJHL]GDMHPHGQDURGQHJD
VWDQGDUGD,629SULPHUXVSRUDJOHGHEHVHGLODVORYHQVNHJDSUHYRGDYWHPVWDQGDUGXMH
RGORþLOHQL]YLUQLPHGQDURGQLVWDQGDUGYDQJOHãNHPMH]LNX6ORYHQVNRL]GDMRVWDQGDUGDMHSULSUDYLOLQ
SRWUGLOWHKQLþQLRGERU6,677&7567HKQLþQRULVDQMHYHOLþLQHHQRWHVLPEROLLQJUDILþQLVLPEROLY
VRGHORYDQMXV6HNFLMR]DWHUPLQRORãNHVORYDUMH,QãWLWXWD]DVORYHQVNLMH]LN)UDQD5DPRYãDSUL6$=8
2GORþLWHY]DL]GDMRWHJDVWDQGDUGDMHGQHIHEUXDUMDVSUHMHO6,677&7567HKQLþQRULVDQMH
YHOLþLQHHQRWHVLPEROLLQJUDILþQLVLPEROL
3,6$1-(,0(1,16,0%2/29(127
6ORYHQVNLSUDYRSLVL]OHWDGDMHSULLPHQLKHQRWQDVWDOLKL]ODVWQLKLPHQSUHGQRVWSRGRPDþHQHPX
]DSLVXQMXWRQSUHGL]YLUQLPQHZWRQ7RMHVPLVHOQRVDPRYSULPHULKNRVHMHWDNDUDEDåHXYHOMDYLOD
DPSHUYROW7LVWHHQRWHNLVHYUDELSRJRVWHMHSLãHMRL]YLUQRQDMVHQDVLORQHSRGRPDþXMHMR=DWRMH
YWHPVWDQGDUGXYWDNLKSULPHULKL]YLUQL]DSLVQDSUYHPPHVWXSRGRPDþHQDUD]OLþLFDSDQDGUXJHP
=DUDGLUDFLRQDOQRVWLVRL]SHOMDQHHQRWHYWDNHPSULPHUXSLVDQHVDPRL]YLUQRQHZWRQPHWHU

6HVWDYOMHQHHQRWHVHQDMYHþNUDWSLãHMRRNUDMãDQR9]PQRåNLKHQRWVHYLPHQRYDOFXLQDOLYãWHYFX
EHVHGDNUDWL]SXãþDDOLVHQDPHVWRQMHXSRUDELSROGYLJQMHQDQHVWLþQDSLNDYHQGDUVHHQRWHQH
SLãHMRVNXSDM3UHVOHGHNSULJRYRUXVHL]UD]L]JODVRYQLPSUHPRURP>NLORYDWXUDQHNLORYDWXUD@Y
GYRPOMLYLKSULPHULKSDVHEHVHGDNUDWQHL]SXãþDRKPNUDWPHWHURKPPHWHU±RKPPHWHUMH
QDSUDYD]DPHUMHQMHXSRUD

9NROLþQLNXVHQDPHVWREHVHGHGHOMHQRXSRUDEOMDEHVHGLFDQD

.YDGUDWQLPHWHUNXELþQLPHWHUVHVPHWDXSRUDEOMDWLVDPRYJHRPHWULMVNHPSRPHQX]DSORãþLQRDOL
SURVWRUQLQR9QDVSURWQHPSULPHUXVHXSRUDEOMDLPHPHWHUQDNYDGUDWPHWHUQDSRWHQFRWUL±
EHVHGDYRNOHSDMXVHODKNRL]SXãþD

=9(=(667$1'$5',
6SULY]HPRPWHJDPHGQDURGQHJDVWDQGDUGDYHOMDMR]DRPHMHQLQDPHQUHIHUHQþQLKVWDQGDUGRYYVL
VWDQGDUGLQDYHGHQLYL]YLUQLNXUD]HQVWDQGDUGRYNLVRåHVSUHMHWLYQDFLRQDOQRVWDQGDUGL]DFLMR
6,67,62VO 9HOLþLQHLQHQRWH±GHO6SORãQDQDþHOD
6,67,62VO 9HOLþLQHLQHQRWH±GHO3URVWRULQþDV
6,67,62HQ 9HOLþLQHLQHQRWH±GHO3HULRGLþQLLQVRURGQLSRMDYL
6,67,62HQ 9HOLþLQHLQHQRWH±GHO0HKDQLND
6,67,62HQ 9HOLþLQHLQHQRWH±GHO7RSORWD
6,67,62HQ 9HOLþLQHLQHQRWH±GHO(OHNWULNDLQPDJQHWL]HP
6,67,62HQ 9HOLþLQHLQHQRWH±GHO6YHWOREDLQVRURGQDHOHNWURPDJQHWQDVHYDQMD
6,67,62HQ 9HOLþLQHLQHQRWH±GHO$NXVWLND


---------------------- Page: 2 ----------------------

6,67,62
6,67,62HQ 9HOLþLQHLQHQRWH±GHO)L]LNDOQDNHPLMDLQPROHNXOVNDIL]LND
6,67,62HQ 9HOLþLQHLQHQRWH±GHO$WRPVNDLQMHGUVNDIL]LND
6,67,62HQ 9HOLþLQHLQHQRWH±GHO-HGUVNHUHDNFLMHLQLRQL]LUDMRþDVHYDQMD
6,67,62HQ 9HOLþLQHLQHQRWH±GHO.DUDNWHULVWLþQDãWHYLOD
6,67,62HQ 9HOLþLQHLQHQRWH±GHO)L]LNDWUGQHVQRYL
6,67,62HQ (QRWH6,VSULSRURþLOL]DXSRUDERQMLKRYLKYHþNUDWQLNRYLQQHNDWHULK
GUXJLKHQRW
35('+2'1$,='$-$
± 6,67,62HQ
2320%(
± 3RYVRG NMHU VH Y EHVHGLOX VWDQGDUGD XSRUDEOMD L]UD] PHGQDURGQL VWDQGDUG Y
6,67,62WRSRPHQLVORYHQVNLVWDQGDUG
± 1DFLRQDOQLXYRGLQQDFLRQDOQLSUHGJRYRUQLVWDVHVWDYQDGHODVWDQGDUGD



---------------------- Page: 3 ----------------------

6,67,62
96(%,1$ 6WUDQ
3UHGJRYRU
8YRG
6SORãQR
6SUHPHQOMLYNHIXQNFLMHLQRSHUDWRUML
6NDODUMLYHNWRUMLLQWHQ]RUML
1DPHQ
=YH]D]GUXJLPVWDQGDUGRP



---------------------- Page: 4 ----------------------

6,67,62
3UHGJRYRU
,62 0HGQDURGQD RUJDQL]DFLMD ]D VWDQGDUGL]DFLMR MH VYHWRYQD ]YH]D QDFLRQDOQLK RUJDQRY ]D
VWDQGDUGHþODQRY,620HGQDURGQHVWDQGDUGHQDYDGQRSULSUDYOMDMRWHKQLþQLRGERUL,629VDNþODQ
NLåHOLGHORYDWLQDGRORþHQHPSRGURþMX]DNDWHURMHELOXVWDQRYOMHQWHKQLþQLRGERULPDSUDYLFRELWL
]DVWRSDQ Y WHP RGERUX 3UL GHOX VRGHOXMHMR WXGL YODGQH LQ QHYODGQH PHGQDURGQH RUJDQL]DFLMH
SRYH]DQH],629YVHK]DGHYDKNLVRSRYH]DQHVVWDQGDUGL]DFLMRQDSRGURþMXHOHNWURWHKQLNH,62
WHVQRVRGHOXMH]0HGQDURGQRHOHNWURWHKQLãNRNRPLVLMR,(&
2VQXWNL PHGQDURGQLK VWDQGDUGRY NL MLK VSUHMPHMR WHKQLþQL RGERUL VH SRãOMHMR YVHP þODQRP Y
JODVRYDQMH=DREMDYRPHGQDURGQHJDVWDQGDUGDMHWUHEDSULGRELWLVRJODVMHQDMPDQMþODQRYNLVH
XGHOHåLMRJODVRYDQMD
0HGQDURGQL VWDQGDUG ,62  MH SULSUDYLO WHKQLþQL RGERU ,627&  9HOLþLQH HQRWH VLPEROL
SUHWYRUQLNL
'UXJDL]GDMDUD]YHOMDYOMDLQQDGRPHãþDSUYRL]GDMR,629SULPHUMDYLVSUYRL]GDMRVR
JODYQHWHKQLþQHVSUHPHPEHQDVOHGQMH
± GRGDQDMHQRYDWRþNDRNRRUGLQDWQLKVLVWHPLK
± GRGDQLKMHQHNDMQRYLKSRVWDYNYVWDULWRþNL
1DPHQWHKQLþQHJDRGERUD,627&MH
± VWDQGDUGL]LUDWLHQRWHWHUVLPEROH]DYHOLþLQHLQHQRWHYNOMXþQR]PDWHPDWLþQLPLVLPEROLNLVH
XSRUDEOMDMRQDUD]OLþQLKSRGURþMLK]QDQRVWLLQWHKQLNH
± SRGDWLGHILQLFLMHYHOLþLQLQHQRWNMHUMHSRWUHEQR
± VWDQGDUGL]LUDWLSUHWYRUQLNH]DSUHUDþXQDYDQMHUD]OLþQLKHQRW
9WDQDPHQMH,627&SULSUDYLO,62
,62VHVWDYOMDMRGHOLNLLPDMRVNXSHQQDVORY9HOLþLQHLQHQRWH
±GHO6SORãQDQDþHOD
±GHO3URVWRULQþDV
±GHO3HULRGLþQLLQVRURGQLSRMDYL
±GHO0HKDQLND
±GHO7RSORWD
±GHO(OHNWULNDLQPDJQHWL]HP
±GHO6YHWOREDLQVRURGQDHOHNWURPDJQHWQDVHYDQMD
±GHO$NXVWLND
±GHO)L]LNDOQDNHPLMDLQPROHNXOVNDIL]LND
±GHO$WRPVNDLQMHGUVNDIL]LND
±GHO-HGUVNHUHDNFLMHLQLRQL]LUDMRþDVHYDQMD
±GHO0DWHPDWLþQL]QDNLLQVLPEROL]DXSRUDERYIL]LNDOQLKLQWHKQLãNLKYHGDK
±GHO.DUDNWHULVWLþQDãWHYLOD
±GHO)L]LNDWUGQHVQRYL


---------------------- Page: 5 ----------------------

6,67,62
8YRG
6SORãQR
ýHMHSRGLVWR]DSRUHGQRãWHYLONRSRGDQYHþNRWHQ]QDNVLPERODOLL]UD]SRWHPVRYVLHQDNRYUHGQL
=QDNLVLPEROLLQL]UD]LYVWROSFX2SRPEHVRSRGDQLNRWLQIRUPDFLMD
ýHMHELODSULUHYL]LML,62]DSRUHGQDãWHYLONDYHOLþLQHVSUHPHQMHQD MHãWHYLONDL]SUHMãQMHL]GDMH
QDYHGHQDYRNOHSDMXSRGQRYR]DSRUHGQRãWHYLONRYHOLþLQHþUWLFDSRPHQLGDSUHMãQMDL]GDMDQLYVHERYDOD
WHYHOLþLQH
6SUHPHQOMLYNHIXQNFLMHLQRSHUDWRUML
6SUHPHQOMLYNHNRWVR[\LWGLQLQGHNVLNRWMHLY¦b[bVRQDWLVQMHQLSRãHYQR7XGLSDUDPHWULNRWVRDE
LWGNLVHODKNRãWHMHMR]DNRQVWDQWHVRQDWLVQMHQLSRãHYQR,VWRYHOMDQDVSORãQRWXGL]DIXQNFLMHQSUIJ
(NVSOLFLWQRGHILQLUDQDIXQNFLMDMHQDWLVQMHQDSRNRQþQRQSUVLQH[SOQ*0DWHPDWLþQHNRQVWDQWHVR
WLVNDQHSRNRQþQRQSUH S Lc ±'REURGHILQLUDQLRSHUDWRUMLVR
SUDYWDNRQDWLVQMHQLSRNRQþQRQSUGLYGYG[LQREDGYGIG[
âWHYLODL]UDåHQDVãWHYLONDPLVRYHGQRQDWLVQMHQDSRNRQþQRQSU
$UJXPHQW IXQNFLMH VH QDSLãH Y RNOHSDMX ]D VLPERORP IXQNFLMH EUH] YPHVQHJD SUHVOHGND PHG
VLPERORP]DIXQNFLMRLQRNOHSDMHPQSUI[FRVZWMýHMHVLPERO]DIXQNFLMRVHVWDYOMHQL]GYHK
DOLYHþþUNLQDUJXPHQWQHYVHEXMHQREHQHJDRSHUDFLMVNHJD]QDNDNRWVR±uÂDOLVHRNOHSDM
DUJXPHQWDODKNRL]SXVWL9WHKSULPHULKPRUDELWLPHGVLPERORPIXQNFLMHLQDUJXPHQWRPPDMKHQ
SUHVOHGHNQSUHQWVLQQSDUFRVK$(L[
ýHMHQHYDUQRVW]DPHQMDYHMHWUHEDREYH]QRXSRUDELWLRNOHSDM1DSULPHUSLãHVHFRV[\DOL
FRV[\QHSDFRV[\NDUELVHODKNR]DPHQMDORVFRV[\
ýHMHWUHEDL]UD]DOLHQDþERQDSLVDWLYGYHKDOLYHþYUVWLFDKVHPRUDL]UD]YSUYLYUVWLFLNRQþDWLWDNRM]DHQLP
RG]QDNRY ±rDOLdDOLþHMHSRWUHEQRWDNRM]DHQLPRG]QDNRYuÂDOL9WHPSULPHUXGHOXMH]QDN
NRWYH]DMQDNRQFXSUYHYUVWLFHLQEUDOFXSRNDåHGDRVWDORVOHGLYQDVOHGQMLYUVWLFLDOLFHORQDQDVOHGQML
VWUDQL=QDNVHYQDVOHGQMLYUVWLFLQHVPHSRQRYLWLGYD]QDNDPLQXVELQSUSRY]URþLODQDSDNRYSUHG]QDNX
6NDODUMLYHNWRUMLLQWHQ]RUML
6NDODUMLYHNWRUMLLQWHQ]RUMLVHXSRUDEOMDMR]DR]QDþHYDQMHQHNDWHULKIL]LNDOQLKYHOLþLQ6RQHRGYLVQLRGL]ELUH
NRRUGLQDWQHJDVLVWHPDPHGWHPNRMHYVDNDNRPSRQHQWDYHNWRUMDDOLWHQ]RUMDRGYLVQDRGWHL]ELUH
3RPHPEQRMHUD]OLNRYDWLNRRUGLQDWHYHNWRUMDDQSUDeDfLQDgLQNRPSRQHQWHYHNWRUMDQSUDeHe
DfHfLQDgHg

.DUWH]LMVNH NRRUGLQDWH NUDMHYQHJD YHNWRUMD VR HQDNH NDUWH]LMVNLP NRRUGLQDWDP WRþNH SRGDQH V
NUDMHYQLPYHNWRUMHP
1DPHVWRGDVHYVDNDNRRUGLQDWDREUDYQDYDNRWIL]LNDOQDYHOLþLQDWMãWHYLOVNDYUHGQRVWuHQRWDVH
YHNWRUODKNRSLãHNRWYHNWRUVãWHYLOVNLPLNRRUGLQDWDPLSRPQRåHQ]HQRWR9VHHQRWHVRVNDODUML
=*/('
 NRRUGLQDWD)e YHNWRUVãWHYLOVNLPLNRRUGLQDWDPL
i

m
klj
  ) h±11 1

74o/.p42.F7q77
n

3RGREQRVHREUDYQDYDMRWHQ]RUMLGUXJHJDLQYLãMLKUHGRY


---------------------- Page: 6 ----------------------

6,67,62
9HOLþLQHLQHQRWH±GHO0DWHPDWLþQL]QDNLLQVLPEROL]DXSRUDERYIL]LNDOQLK
LQWHKQLãNLKYHGDK
1DPHQ
7DGHO,62SRGDMDVSORãQHLQIRUPDFLMHRPDWHPDWLþQLK]QDNLKLQVLPEROLKQMLKRYHPSRPHQX
EHVHGQLKHNYLYDOHQWLKLQXSRUDEL
3ULSRURþLODYWHPGHOX,62VRYJODYQHPQDPHQMHQD]DXSRUDERYIL]LNDOQLKLQWHKQLãNLKYHGDK
=YH]D]GUXJLPVWDQGDUGRP
6WDQGDUGQDYHGHQYQDGDOMHYDQMXYVHEXMHGRORþLODNLVVNOLFHYDQMHPYWHPEHVHGLOXWYRULMRWXGL
GRORþLODWHJDGHOD,622EL]GDMLMHELOQDYHGHQLVWDQGDUGYHOMDYHQ9VLVWDQGDUGLVHSUHJOHGXMHMRLQ
VWUDQNHQDMYSRJRGEDKNLWHPHOMLMRQDWHPGHOX,62XSRUDEOMDMRQDMQRYHMãRL]GDMRWXQDYHGHQHJD
VWDQGDUGDýODQL,(&LQ,62Y]GUåXMHMRUHJLVWHUWUHQXWQRYHOMDYQLKPHGQDURGQLKVWDQGDUGRY
,629HOLþLQHLQHQRWH±GHO6SORãQDQDþHOD


---------------------- Page: 7 ----------------------

6,67,62
0$7(0$7,ý1$/2*,.$
6LPERO 3RPHQEHVHGQLHNYLYDOHQWLQ
=DSãW 8SRUDED ,PH]QDND
]QDN RSRPEH
 ]QDNNRQMXQNFLMH SLQT
š SšT

 S›T ]QDNGLVMXQNFLMH SDOLTDOLRED
›
   
 ]QDNQHJDFLMH QHJDFLMDL]MDYHSQLSQHS
™ ™S


 ]QDNLPSOLNDFLMH þHSSRWHPTL]SVOHGLT
Ÿ SŸT
  

/DKNRVH]DSLãHWXGLTS

9þDVLKVHXSRUDEOMDo
 ]QDNHNYLYDOHQFH
œ SœT SŸTLQTŸSWUGLWHYSMH
 
  HNYLYDOHQWQDWUGLWYLT

9þDVLKVHXSRUDEOMDl
 [$S[ XQLYHU]DOQRGRORþLOR =DYVDN[L]$MHWUGLWHYS[

 XQLYHU]DOQL SUDYLOQD

[$S[
NYDQWLILNDWRU 
 ýHMHL]VREHVHGLODUD]YLGQR]D
NDWHURPQRåLFR$JUHVHODKNR
XSRUDEOMD]DSLV[S[

=D[$JOHM
  [$S[ REVWRMQRGRORþLOR 2EVWDMD[L]$]DNDWHUHJDMH
 HNVLVWHQFLDOQL WUGLWHYS[SUDYLOQD
[$S[
NYDQWLILNDWRU 

ýHMHL]VREHVHGLODUD]YLGQR]D
NDWHURPQRåLFR$JUHVHODKNR
XSRUDEOMD]DSLV[S[

=D[$JOHM

=DR]QDþLWHYREVWRMDQDWDQNR
HQHJDHOHPHQWD]DNDWHUHJDMH
WUGLWHYS[SUDYLOQDVHXSRUDEOMD
r
]DSLVDOL
    


---------------------- Page: 8 ----------------------

6,67,62
012ä,&(
6LPERO 3RPHQEHVHGQL
=DSãW 8SRUDED 2SRPEHLQ]JOHGL
]QDN HNYLYDOHQW
 [$ [SULSDGDPQRåLFL$ 

   [MHHOHPHQWPQRåLFH$ 

   
 \QHSULSDGDPQRåLFL$
8SRUDEOMDVHWXGL]QDN
 \$
 \QLHOHPHQWPQRåLFH$
PQRåLFD$YVHEXMH[
 $
[ $
[LPDHQDNSRPHQNRW[$


 NRWHOHPHQW
 

 $
\ PQRåLFD$QHYVHEXMH\
  $
\LPDHQDNSRPHQNRW\$

 NRWHOHPHQW

8SRUDEOMDVHWXGL]QDN

 PQRåLFD]HOHPHQWL
^` ^[s[t[u` 7XGL^[bL,`NMHU,R]QDþXMH
 [s[t[u
PQRåLFRLQGHNVRY
 PQRåLFDWLVWLKHOHPHQWRY =*/('
^_` ^[$_S[`
 $]DNDWHUHYHOMDWUGLWHY
^[5_[d`
S[
ýHMHL]VREHVHGLODUD]YLGQR]D
NDWHURPQRåLFR$JUHVHODKNR
XSRUDEOMD]DSLV^[_S[`
=*/('
^[_ [d`
 FDUG FDUG$ ãWHYLORHOHPHQWRYY$ 
²  PRþPQRåLFH$
 ‘  SUD]QDPQRåLFD 
 
  PQRåLFDQDUDYQLKãWHYLO
01 1 ^`
 PQRåLFDSR]LWLYQLKFHOLK
,]NOMXþLWHYQLþOHL]PQRåLFGR
ãWHYLOLQQLþOH
MHR]QDþHQD]]YH]GLFR

QSU1v
1w ^N±`
  PQRåLFDFHOLKãWHYLO
= ^±±`
<=
 
*OHMRSRPERN
  PQRåLFDUDFLRQDOQLKãWHYLO *OHMRSRPERN
34
  
  PQRåLFDUHDOQLKãWHYLO *OHMRSRPERN
45
  
  PQRåLFDNRPSOHNVQLK *OHMRSRPERN
%&
 ãWHYLO


---------------------- Page: 9 ----------------------

6,67,62
012ä,&(QDGDOMHYDQMH
6LPERO 3RPHQEHVHGQL
=DSãW 8SRUDED 2SRPEHLQ]JOHGL
]QDN HNYLYDOHQW

>@ >DE@ ]DSUWLLQWHUYDOY4RGD >DE@ ^[4_Dd[dE`
²
  YNOMXþQRGREYNOMXþQR
 @DE@ OHYRSRORGSUWLLQWHUYDOY4
@@ @DE@ ^[4_D[dE`
² RGDEUH]DGRE
@ DE@ 
YNOMXþQR
 
 >DE> GHVQRSRORGSUWLLQWHUYDOY
>> >DE> ^[4_Dd[E`
²
4RGDYNOMXþQRGRE
> >DE 
EUH]E

 @> @DE> RGSUWLLQWHUYDOY4RGD @DE> ^[4_D[E`
²
 DE EUH]DGREEUH]E

 %MHYVHERYDQY$ 9VDNHOHPHQWL]%MHY$
Ž %Ž$
 %MHSRGPQRåLFDY$
  8SRUDEOMDVHWXGLYHQGDUJOHM
 
RSRPER
 %$ %MHVWURJRYVHERYDQY$ 9VDNHOHPHQWL]%MHY$WRGD%QL

 %MHSUDYDSRGPQRåLFD$ HQDN$
 
 
ýHVH]DXSRUDEOMD
x
SRWHPVH]DXSRUDEOMD 
z
 Ž &Ž $ &QLYVHERYDQY$
 8SRUDEOMDVHWXGLŒ
   &QLSRGPQRåLFDY$
8SRUDEOMDVHWXGLŽLQ
 $‹% $YVHEXMH%NRW $YVHEXMHYVDNHOHPHQWL]%
‹
   SRGPQRåLFR
8SRUDEOMDVHWXGLŠYHQGDUJOHM

 RSRPER
$‹%LPDLVWLSRPHQNRW%Ž$
$VWURJRYVHEXMH% $YVHEXMHYVDNHOHPHQWL]%
 $Š%
Š
 YHQGDU$QLHQDN%
 

ýHVH]DXSRUDEOMDŠ
Š
SRWHPVH]DXSRUDEOMDy
$Š%LPDLVWLSRPHQNRW%$
$‹& $QHYVHEXMH&
 ‹  
8SRUDEOMDVHWXGL 
   NRWSRGPQRåLFH
8SRUDEOMDWDVHWXGLVLPEROD‹LQŠ
 
$‹ &LPDLVWLSRPHQNRW&Ž$
 
$‰% XQLMDPQRåLF$LQ% 0QRåLFDHOHPHQWRYNLSULSDGDMR$
 ‰
   $XQLMD% DOL%DOLREHPD
  
$‰% ^[_[$›[%`


---------------------- Page: 10 ----------------------

6,67,62
012ä,&(QDGDOMHYDQMH
6LPERO 3RPHQEHVHGQL
=DSãW 8SRUDED 2SRPEHLQ]JOHGL
]QDN HNYLYDOHQW
{{
 XQLMDGUXåLQHPQRåLF

 $~  $~ $‰$‰‰$
|}|}
 $$
zz
 
PQRåLFDHOHPHQWRYNLSULSDGDMRYVDM
HQLRGPQRåLF$$D
8SRUDEOMDVHWXGLLQ  NMHU

,R]QDþXMHPQRåLFRLQGHNVRY
 SUHVHNPQRåLF$LQ% 0QRåLFDHOHPHQWRYNLSULSDGDMR$LQ%
ˆ $ˆ%
 EHUL$SUHVHN%
  $ˆ% ^[_[$š[%`



 SUHVHNGUXåLQHPQRåLF

 $~  $~ $ˆ$ˆˆ$

 $$
 
 PQRåLFDHOHPHQWRYNLSULSDGDMRYVHP
(PQRåLFDP$ $LQ$
8SRUDEOMDVHWXGLLQ NMHU

,R]QDþXMHPQRåLFRLQGHNVRY

  $?% 5D]OLNDPQRåLF$LQ% 0QRåLFDHOHPHQWRYL]$NLQLVRY%
?
 $EUH]%
 $?% ^[_[$š[%`

  
$± %VHQHVPHXSRUDEOMDWL
  


 
&
&%
 NRPSOHPHQW 0QRåLFDWLVWLKHOHPHQWRYL]$NLQLVRY


 SRGPQRåLFH%Y$ SRGPQRåLFL%


  ýHMHL]VREHVHGLODUD]YLGQR]DNDWHUR

 
 PQRåLFR$JUHVHODKNRVLPERO$


 
L]SXVWL


 
3UDYWDNR&% $?%


  

DE DE FGþHLQVDPRþHMHD FLQ
 XUHMHQLSDUDE

 E G
 GYRMLFDDE


  8SRUDEOMDVHWXGL¢DE²



 


 

DD 8SRUDEOMDVHWXGL¢DDD²
 XUHMHQDQWHULFD

D






---------------------- Page: 11 ----------------------

6,67,62
012ä,&(NRQHF
6LPERO 3RPHQEHVHGQL
=DSãW 8SRUDED 2SRPEHLQ]JOHGL
]QDN HNYLYDOHQW
 $u% NDUWH]LMVNLSURGXNW 0QRåLFDXUHMHQLKSDURYDEWDNRGDMH
u
PQRåLF$LQ%
   D$LQE%
    $u% ^DE_D$šE%`

 
  $u$uu$VHR]QDþL]$ NMHUMHQ
    ãWHYLORIDNWRUMHYYSURGXNWX
   

   
' ^[ [_[$`
 PQRåLFDSDURY[ [L]
' '
8SRUDEOMDVHWXGLLG
² $u$NMHUMH[$
GLDJRQDODPQRåLFH$u$



---------------------- Page: 12 ----------------------

6,67,62
'58*,=1$.,,16,0%2/,
6LPERO 3RPHQEHVHGQL
=DSãW 8SRUDED 2SRPEHLQ]JOHGL
]QDN HNYLYDOHQW
  D E DMHHQDNE
{VHODKNRXSRUDEOMD]D
    SRXGDUHNGDMHGRORþHQD
    HQDNRVWLGHQWLWHWD
   

DQLHQDNE
 z DzE 8SRUDEOMDVHODKNRWXGL]QDN 
    
  

 DE DMHSRGHILQLFLMLHQDNE
 =*/('
    S PYNMHUMHSJLEDOQD
   
NROLþLQD
   
PPDVDLQYKLWURVW

   

8SRUDEOMDWDVHWXGL LQ 
   

 
 

 
  D E DXVWUH]DE =*/('$

 
.RMH( N7MHH9  
   
 
  .
 
  ýHFPQD]HPOMHYLGXXVWUH]D
 
  GROåLQLNPVHODKNR]DSLãH
 

  FP NP
 
  
 D |E DMHSULEOLåQRHQDNE
| =QDNaMHUH]HUYLUDQ]DMH
DVLPSWRWLþQRHQDN*OHM
   

   

 D aE DMHVRUD]PHUHQE
a

 v DvE 

  


 D E DMHPDQMãLRGE
 
  

   

 EMHYHþMLRGD
! E !D

 
 
  
 
DMHPDQMãLDOLHQDNE
 D dE 8SRUDEOMDWDVHWXGL]QDNDdLQ
d
   d

   

 t
E tD EMHYHþMLDOLHQDND 8SRUDEOMDWDVHWXGL]QDNDtLQ

  t

 
 

 ©
DMHPQRJRPDQMãLRGE
D©E 





 

ª
 EªD EMHPQRJRYHþMLRGD

 

 
 
f
 QHVNRQþQR





---------------------- Page: 13 ----------------------

6,67,62
'58*,=1$.,,16,0%2/,NRQHF
6LPERO 3RPHQEHVHGQL
=DSãW 8SRUDED 2SRPEHLQ]JOHGL
]QDN HNYLYDOHQW
  DEF DFEFRNURJOLRNOHSDM
=DSRUHGMH>@^`LQ¢²SUL
DFEFRJODWLRNOHSDM
² >@ >DE@F XJQH]GHQMXYDOJHEULQL
 ^DE`F DFEF]DYLWLRNOHSDM VWDQGDUGL]LUDQR1DGRORþHQLK
^`
 DFEFORPOMHQLRNOHSDM
¢² ¢DE²F SRGURþMLKVHXSRUDEOMDMR
    >@^`LQ¢²]DSRVHEQH
  QDPHQH
 
 'DOMLFD$%MHY]SRUHGQD]
 $%&'
² GDOMLFR&'
 
   
 
 
 'DOMLFD$%MHSUDYRNRWQD
A $% A&'
QDGDOMLFR&'
²



---------------------- Page: 14 ----------------------

6,67,62
23(5$&,-(
3RPHQEHVHGQL
=DSãW =QDNXSRUDED 2SRPEHLQ]JOHGL
HNYLYDOHQW
 DE DSOXVE 
   
   
 D±E DPLQXVE 
   
   
 DrE DSOXVDOLPLQXVE 
²  

   
 DE DPLQXVDOLSOXVE ±D rE ±D•E
² 
 

  
 DÂEDuEDE *OHMWXGLLQ
DNUDWE

  =QDN]DPQRåHQMHãWHYLOMHNUDWuDOL

 SROGYLJQMHQDSLNDÂýHVHSLND

 
 XSRUDEOMDNRWGHFLPDOQL]QDNSRWHPQDM

  VH]D]QDNPQRåHQMDXSRUDEOMD

  L]NOMXþQRNUDW=DGHFLPDOQL]QDNJOHM
  ,62WRþND








DEDE¡*OHMWXGL,62WRþNDDGHOMHQR]E






 

”£„„„„„„
D D D» 7XGL D  D  D  D ¥¦‚¦„¦ ¦⁄‡›fl¦¢
⁄ƒ




¤
¿D ÂD ÂÂD
 7XGL D  D  D  D “–…‰–‰–‰–‰‰‰'‡›fl–§‰«'







 D‹ DQDSRWHQFRS

 

 
 
– DQDSRWHQFRò ýHMHDtSRWHPMHt
D›fiflD —D†
 NYDGUDWQLNRUHQL]D
*OHMRSRPERN


 
·





DQDSRWHQFRQ ýHMHDtSRWHPMH`´t
D›fi‡D ‡—D‡¶

QWLNRUHQL]D
ýHVWRML—DOL`—SUHGVHVWDYOMHQLP


 L]UD]RPQDMVH]DUDGLQHGYRXPQRVWL



XSRUDEOMDRNOHSDM






 

_D_
DEVROXWQDYUHGQRVWD 8SRUDEOMDVHWXGLDEVD
 
PRGXOD








---------------------- Page: 15 ----------------------

6,67,62
23(5$&,-(NRQHF
3RPHQEHVHGQL
=DSãW =QDNXSRUDED 2SRPEHLQ]JOHGL
HNYLYDOHQW
 VJQD SUHG]QDND =DUHDOQLD
  VLJQXPD
­þHMHD²
°
  
VJQD  þHMHD 
®
  
°
þHMHD¢
¯
  

  
=DNRPSOHNVQLDJOHM
  

  

 ˆ
ýHPHWRGDGRORþDQMDVUHGQMHYUHGQRVWLQL
 ¢D² VUHGQMDYUHGQRVWD
UD]YLGQDL]VREHVHGLODQDMERQDYHGHQD
 


  
  

¨  
 Q QIDNWRUVNR =DQtQ  N u  u  uuQ
–˙
¸˚
  
  
=DQ Q 
  

 


 


 
 Q ELQRPVNLNRHILFLHQWQS
§ · Q
§ · Q
¨ ¸˜¯˘
¨ ¸ 
¨ ¸ QQDGS
 ¨ ¸
S S SQ S
© ¹
© ¹
 
 
 


 
 
 
 HQWD QDMYHþMHFHORãWHYLORNL HQW 
 MHPDQMãHDOLHQDNRD HQW± ±
(D
NDUDNWHULVWLNDD
  9þDVLKVH]DHQWDXSRUDEOMDWD>D@DOLLQWD
 FHOLGHOãWHYLODD YHQGDUVHVHGDMSRJRVWRXSRUDEOMDWD]D
FHORãWHYLOþQLGHODQSU

>@ LQW 
>±@ LQW± ±



---------------------- Page: 16 ----------------------

6,67,62
)81.&,-(
3RPHQEHVHGQL
=DSãW =QDNXSRUDED 2SRPEHLQ]JOHGL
HNYLYDOHQW
 I IXQNFLMDI )XQNFLMDMHODKNRR]QDþHQD]
[I[
  
1DPHVWRIVHODKNRXSRUDEOMDMRWXGL
  
GUXJHþUNH
  

  

I[ YUHGQRVWIXQNFLMHIY


 I[\ [R]Y[\
 


IE±ID
7DNRR]QDþHYDQMHVHXSRUDEOMDSUL
I[_˝

 GRORþHQLKLQWHJUDOLK

>I[@˛ˇ
 





NRPSR]LWXPIXQNFLMILQJ
J I[ JI[
J I

EHULJNRPSR]LWXPI 


JNRPSRQLUDQRVI 






[JUHSURWLD

[oD

 






OLPLWDI[NRJUH[SURWLDOLPI[ EVHODKNR]DSLãHWXGL
OLPI[
—

I[o ENRJUH[SURWLD

OLPI[


'HVQHLQOHYHOLPLWHVRODKNR



R]QDþHQH]


OLPI[R]OLPI[







MHDVLPSWRWLþQRHQDN
=*/('


،ƪº ªªŁ

 





 2J[
~I[J[~MHQDY]JRU

 I[ 2J[
RPHMHQYOLPLWLNRW



]DKWHYDVREHVHGLOR



IMHYHOLNRVWQHJDUHGDJ

 


 RJ[
I[J[oYOLPLWLNRW 

I[ RJ[
]DKWHYDVREHVHGLORIMH 
  
QLåMHJDYHOLNRVWQHJDUHGD
  
NRWJ
 


 
'[
NRQþQLSULUDVWHN[

 

 
GI RGYRGIXQNFLMHIHQH
 8SRUDEOMDVHWXGL'I

 VSUHPHQOMLYNH
G[ GI[
GI[G[Ic['I[

G[
GIG[

ýHMHQHRGYLVQDVSUHPHQOMLYNDþDVW
Icæ


SRWHPVHXSRUDEOMDWXGL I ]D 



---------------------- Page: 17 ----------------------

6,67,62
)81.&,-(QDGDOMHYDQMH
3RPHQEHVHGQL
=DSãW =QDNXSRUDED 2SRPEHLQ]JOHGL
HNYLYDOHQW
 YUHGQRVWRGYRGD 8SRUDEOMDVHWXGL'ID
§GI ·
¨ ¸
IXQNFLMHIYD
 
G[ı© ¹
  
GIG[ł
  
IcD
  

  

  
ø
 QWLRGYRGIXQNFLMHI 8SRUDEOMDVHWXGL'œI
G I
ø
 HQHVSUHPHQOMLYNH =DI VH]DQ XSRUDEOMDWXGLIccßœH
G[
  IcccýHMHQHRGYLVQDVSUHPHQOMLYNDþDV
GœIG[œ

 
IßœD
WVH]DXSRUDEOMDWXGL I  

 


 
 SDUFLDOQLRGYRGIXQNFLMH 8SRUDEOMDVHWXGL'I

 IYHþVSUHPHQOMLYN wI[\
wI[\w[
[\JOHGHQD[

w[
wIw[
 
wI[\'I[\
wI
 
'UXJHQHRGYLVQHVSUHPHQOMLYNHVH

 
ODKNRSULNDåHMR]LQGHNVRPQSU

 
wI
§ ·

  
¨ ¸
 w[
© ¹ 

 
7DNRR]QDþHYDQMHSDUFLDOQLKRGYRGRY

 
VHUD]ãLULQDRGYRGHYLãMHJDUHGDQSU

 
w I w §wI ·
 ¨ ¸
 
w[ w[
w[ © ¹

 

 

w I w §wI ·
 
¨ ¸

¨ ¸
  w[w\ w[ w\
© ¹
  

 

wI wI
 GI GI[ \ G[ G\
WRWDOQLGLIHUHQFLDO
w[ w\

 IXQNFLMHI
 


GI LQILQLWH]LPDOQD

YDULDFLMDIXQNFLMHI




I[G[ QHGRORþHQLLQWHJUDO
³

IXQNFLMHI











---------------------- Page: 18 ----------------------

6,67,62
)81.&,-(NRQHF
3RPHQEHVHGQL
=DSãW =QDNXSRUDED 2SRPEHLQ]JOHGL
HNYLYDOHQW

 GRORþHQLLQWHJUDO 9HþNUDWQLLQWHJUDOLVRR]QDþHQLQSU
I[G[
³
IXQNFLMHIRGDGRE
 WDNROH


 I[ \G[G\
I[G[ ³³
 
³
 

3RVHEQHR]QDNH
 

   
 
³ ³³ ³

 
VHXSRUDEOMDMR]DLQWHJULUDQMHSR
 
NULYXOML&SRSORVNYL6SR
 
WULUD]VHåQHPREPRþMX9LQSR
 

VNOHQMHQLNULYXOMLDOLSORVNYL
 

 

&
*,- .URQHFNHUMHYVLPERO$G
’() !#"
$ GHOWD
 +,-%(
  !#"
 NMHUVWDLLQNFHOLãWHYLOL
 

  
   
HH ]DLMN LQMHY
 /HYL&LYLWDMHYVLPERO
LQGHNVLKSRSROQRPDDVLPHWULþHQQSU
 
  H./10 H/102. H03./ 
 .01/01/2./3.0H H H ±
  YVLGUXJLVRHQDNL
  
  
465
 G[ 'LUDFRYDSRUD]GHOLWHY
I[G[G[ I
³
 IXQNFLMDGHOWD
57
 

 

H[
 HQRWVNDVWRSQLFD
­
]D[²
 ®
 +HDYLVLGRYDIXQNFLMD H[ 
]D[¢
¯

 

8SRUDEOMDVHWXGL+[
 

  =DHQRWVNRVWRSQLFRNRWIXQNFLMRþDVD

 
VHXSRUDEOMD-W

 

:9
  
 I
J NRQYROXFLMDILQJ
 I
J[ I\J[ \G\
³
 INRQYROXFLMDJ869



---------------------- Page: 19 ----------------------

6,67,62
(.6321(171(,1/2*$5,70,ý1()81.&,-(
3RPHQEHVHGQL
=DSãW =QDNXSRUDED 2SRPEHLQ]JOHGL
HNYLYDOHQW
 D;HNVSRQHQWQDIXQNFLMD[ 3ULPHUMDM
]RVQRYRDDQD[
² 
  
  
QYC
 H RVQRYDQDUDYQLKRSTVUOJKLCAFEGHCI@AB@DC@MNWN
???P
  ORJDULWPRYXYZ
  

  

  

 H; HNVSRQHQWQDIXQNFLMD[

 H[S[ ]RVQRYRHHQD[

  

  
ORJ[VHXSRUDEOMDNDGDUQLWUHED
 ORJ<[ ORJDULWHP[]RVQRYRD
QDYDMDWLRVQRYH
  
   

  
ORJ[QDMVHQHXSRUDEOMDQDPHVWR
 OQ[ OQ[ ORJ=[
OQ[OJ[OE[DOLORJ=[ORJ.>[ORJ/[
  QDUDYQLORJDULWHP[

  

  
*OHMRSRPERN
 OJ[ OJ[ ORJ.>[
  GHVHWLãNLORJDULWHP[ 

  

  
 OE[ OE[ ORJ/[ *OHMRSRPERN
...