ISO/TR 7066-1:1997
(Main)Assessment of uncertainty in calibration and use of flow measurement devices — Part 1: Linear calibration relationships
Assessment of uncertainty in calibration and use of flow measurement devices — Part 1: Linear calibration relationships
Describes the procedures to be used in deriving the calibration curve for methods of measuring the flowrate in closed conduits or open channels, and for assessing the uncertainty associated with such calibrations. Replaces the first edition published as an International Standard (ISO 7066-1).
Évaluation de l'incertitude dans l'étalonnage et l'utilisation des appareils de mesure du débit — Partie 1: Relations d'étalonnage linéaires
General Information
Relations
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Standards Content (Sample)
TECHNICAL ISO/TR
REPQRB 7066-I
First edition
1997-02-01
Assessment of uncertainty in calibration
and use of flow measurement devices -
Part I:
Linear calibration relationships
haha tion de /‘incertitude dans Malonnage et I’utihsation des appareils de
mesure du debit -
Par-tie 7 : Rela Cons d ‘6 talonnage /in&air-es
Reference number
ISO/TR 7066-I : 1997(E)
---------------------- Page: 1 ----------------------
ISO/TR 70664:1997(E)
Page
Contents
Scope .
Normative references .
Definitions and symbols .
General .
Random uncertainties and systematic error limits in individual
5
measurements .
6
........................................................
6 Linearity of calibration graph
..................................................................... 8
7 Linearization of data
......................................................... 8
8 Fitting the best straight line
11
9 Fitting the best weighted straight line .
II
........................................
IO Procedure when y is independent of x
............................................................
11 Calculation of uncertainty 12
reporting procedure. .
12 Systematic error limits and 12
13 Extrapolated values . 13
14 Uncertainty in the use of the calibration graph for a single
flowrate measurement . 13
Annexes
A Calculation of the variance of a general function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B Example of an open channel calibration 17
C Example of determination of uncertainty in calibration of a
closed conduit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .*. 22
0 IS0 1997
All rights reserved. Unless otherwise specified, no part of this publication may be
reproduced or utilized in any form or by any means, electronic or mechanical, including
photocopying and microfilm, without permission in writing from the publisher.
International Organization for Standardization
Case Postale 56 l Cl-l-l 211 Geneve 20 l Switzerland
Printed in Switzerland
II
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@ IS0 ISO/TR 7066-1:1997(E)
Foreword
IS0 (the International Organization for Standardization) is a worldwide
federation of national standards bodies (IS0 member bodies). The work of
preparing International Standards is normally carried out through IS0
technical committees. Each member body interested in a subject for
which a technical committee has been established has the right to be
represented on that committee. International organizations, governmental
and non-governmental, in liaison with ISO, also take part in the work. IS0
collaborates closely with the International Electrotechnical Commission
(IEC) on all matters of electrotechnical standardization.
The main task of technical committees is to prepare International
Standards. In exceptional circumstances a technical committee may
propose the publication of a Technical Report of one of the following
types:
when the required support cannot be obtained for the publi-
I
type 1
of an International Standard,
cation despite repeated efforts;
- type 2, when the subject is still under technical development or
where for any other reason there is the future but not immediate
possibility of an agreement on an International Standard;
- type 3, when a technical committee has collected data of a different
kind from that which is normally published as an International
Standard (“state of the art”, for example).
Technical Reports of types 1 and 2 are subject to review within three
years of publication, to decide whether they can be transformed into
International Standards. Technical Reports of type 3 do not necessarily
have to be reviewed until the data they provide are considered to be no
longer valid or useful.
lSO/TR 7066-1, which is a Technical Report of type 1, was prepared by
Technical Committee ISOnC 30, Measurement of fluid flow in closed
conduits, Subcommittee SC 9, Uncertainties in flow measurement.
This document is being issued as a type 1 Technical Report because no
consensus could be reached between IS0 TC 3O/SC 9 and IS0 TAG 4,
Metrology, concerning the harmonization of this document with the Guide
to the expression of uncertainty in measurement, which is a basic docu-
ment in the lSO/lEC Directives. A future revision of this Technical Report
will align it with the Guide.
This first edition as a Technical Report cancels and replaces the first
edition as an International Standard (IS0 7066-I :1988), which has been
technically revised.
lSO/TR 7066 consists of the following parts, under the general title
Assessment of uncertainty in calibration and use of flow measurement
devices:
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0 IS0
ISO/TR 70664:1997(E)
- Part 7: Linear calibration re/ationships
- Part 2: Non-linear calibration relationships
Annex A forms an integral part of this part of lSO/rR 7066. Annexes B and
C are for information only.
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0 IS0 ISO/TR 7066=1:1997(E)
Introduction
One of the first International Standards to specifically address the subject
of uncertainty in measurement was IS0 5168, Measurement of fluid f/ow
- Estimation of uncertainty of a flow-rate measurement, published in
1978. The extensive use of IS0 5168 in practical applications identified
many improvements to its methods; these were incorporated into a draft
revision of this International Standard, which in 1990 received an over-
whelming vote in favour of its publication. IS0 7066-1, Assessment of
uncertainty in the ca/ibration and use of flow measurement devices -
Part 7: Linear calibration relationships, published in 1989, was drawn up
according to the principles outlined in IS0 5168:1978. The draft revision of
IS0 7066-l is consistent with both the draft revision of IS0 5168 and with
IS0 70662: 1988.
However, the draft revisions of both lSO/TR 5168 and lSO/TR 7066-I were
withheld from publication for a number of years since, despite lengthy
discussions, no consensus could be reached with the draft version of a
document under development by a Working Group of IS0 Technical
Advisory Group 4, Metrology IS0 TAG 4/VVG 3). The TAG 4 document,
Guide to the expression of uncertainty in measurement (GUM), was
published in late 1993 as a basic document in the lSO/IEC Directives. At a
meeting of the IS0 Technical Management Board in May 1995 it was
decided to publish the revisions of IS0 5168 and IS0 7066-I as Technical
Reports.
This document is published as a type 1 Technical Report instead of an
International Standard because it is not consistent with the GUM. A future
revision of this part of lSO/rR 7066 will align the two documents.
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This page intentionally left blank
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TECHNICAL REPORT @ IS0 ISO/TR 7066=1:1997(E)
Assessment of uncertainty in calibration and use of flow
measurement devices -
Part 1:
Linear calibration relationships
1 Scope
1.1 This part of ISO/rR 7066 describes the procedures to be used in deriving the calibration curve for any method
of measuring flowrate in closed conduits or open channels, and of assessing the uncertainty associated with such
calibrations. Procedures are also given for estimation of the uncertainty arising in measurements obtained with the
use of the resultant graph, and for calculation of the uncertainty in the mean of a number of measurements of the
same flowrate.
1.2 Only linear relationships are considered in this part of lSO/TR 7066; the uncertainty in non-linear relationships
forms the subject of lSO/TR 70662. This part of ISOnR 7066 is applicable, therefore, only if
a) the relationship between the two variables is itself linear,
or
one or both variables can be transformed in such a manner as to create a linear relationship between them, as,
for instance by the use of logarithms,
or
the total range can be subdivided in such a way that within each subdivision the relationship between the two
variables can be regarded as being linear; and if
b) systematic deviations from the fitted line are negligible compared with the uncertainty associated with the
individual observations forming the graph.
NOTE - Examples of the application of the principles contained in this part of ISO/TR 7066 are given in annexes B and C.
.
2 Normative references
The following standards contain provisions which, through reference in this text, constitute provisions of this part
of lSO/TR 7066. At the time of publication, the editions indicated were valid. All standards are subject to revision,
and parties to agreements based on this part of ISOFTR 7066 are encouraged to investigate the possibility of
applying the most recent editions of the standards indicated below. Members of IEC and IS0 maintain registers of
currently valid International Standards.
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@ IS0
lSO/TR 17066-1:1997(E)
IS0 772: 1996, Hydrometric determinations - Vocabulary and symbols.
- Part 2: Determination of the stage-discharge
IS0 1100-2: --I), Liquid flow measurement in open channels
relationship.
IS0 4006: 1991, Measurement of fluid flow in closed conduits - Vocabulary and symbols.
- Evaluation of uncertain ties.
ISO/TR 5168:- *) Measurement of fluid flow
IS0 7066-2: 1988, Assessment of uncertainty in the calibration and use of flow measurement devices - Part 2: Non-
linear calibration relationships.
3 Definitions and symbols
For the purposes of this part of lSO/rR 7066, the definitions and symbols given in IS0 772 and IS0 4006 and the
following definitions and symbols apply.
3.1 Definitions
3.1.1 calibration graph: Curve drawn through the points obtained by plotting some index of the response of a
flow meter against some function of the flowrate.
3.1.2 confidence limits: Upper and lower limits about an observed or calculated value within which the true value
is expected to lie with a specified probability, assuming a negligible uncorrected systematic error.
3.1.3 correlation coefficient: Indicator of the degree of relationship between two variables.
the agency of a third variable, but a decision on this point
NOTE - Such a relationship may be causal or may operate through
alone.
cannot be made on statistical grounds
3.1.4 covariance: First product moment measured about the variate means, i.e.
Cov(x, y) = [&
- x)(Yi - F)j/(n - I)
3.1.5 error of measurement: Collective term meaning the difference between the measured value and the true
value.
It includes both systematic and random components.
3.1.6 error, random: That component of the error of measurement which varies unpredictably from
measurement to measurement.
NOTE - No correction is possible for this type of error, the cause of which may be known or unknown.
3.1.7 error, systematic: That component of the error of measurement which remains constant or varies
predictably from measurement to measurement.
NOTE - The cause of this type of error may be known or unknown.
1) To be published. (Revision of IS0 1 IOO-2:1982)
2) To be published.
2
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ISO/TR 7066=1:1997(E)
0 IS0
3.1.8 error, spurious: Error which invalidates a measurement.
Such errors generally have a single cause, such as instrument malfunction or the misrecording of one or more
digits of the measurement value.
3.1.9 functions. Mathematical formula expressing the relationship between two or more variables.
3.1.10 line of best fit: Line drawn through a series of points in such a way as to minimize the variance of the
points about the line.
3.1.11 residual: Difference between an observed value and the corresponding value calculated from the
regression equation.
3.1.12 sample [experimental] standard deviation: Measure of the dispersion about the mean of a series of n
values of a measurand, defined by the formula:
S(X) = [C(.Xi - F)‘/(n - l)r*
are regarded as a sample of the underlying population, then the formula below provides a
NOTE - If the ~1 measurements
standard deviation.
sample estimate of the population
CT = [& - u)zq’*
3.1.13 systematic error limit: That component of the total uncertainty associated with the systematic error.
Its value cannot be reduced by taking many measurements.
3.1.14 uncertainty, random: Estimate characterizing the range of values within which it is asserted with a given
degree of confidence that the true value of the measurand may be expected to lie.
Its magnitude in terms of mean values may be reduced by taking many measurements.
variance: Measure of dispersion based on the mean squared deviation from the arithmetic mean, defined
Var(x) = C(Xi - T)‘/(n - 1)
3.2 Symbols
Symbols used in the open channel and cl osed conduit examples of annexes B and C where these differ from, or are
NOTE -
in addition to, those listed below are included at the beginning of the respective annexes.
Intercept of the calibration curve on the ordinate
a
b Gradient or slope of the calibration curve
C Coefficient in a weighted least-squares equation
Covariance of variables in brackets
Cod 1
Random uncertainty of variable in brackets
Systematic error limits of variable in brackets
es( 1
In Natural logarithm
n Number of measurements used in deriving the calibration curve
Flowrate
Q
Correlation coefficient
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ISO/TR 7066=1:1997(E)
Experimental standard deviation of variable in brackets
d 1
Standard deviation (standard error) of points about best-fitting straight line
SR
t “Student’s” t (as obtained from IS0 5168 or from any set of statistical tables)
ith weighting factor, in weighted least-squares
wi
x Independent variable; variable subject to the smallest error
Dependent variable; variable subject to the greatest error
Y
u Total or overall uncertainty
UADD Uncertainty using the additive model; provides between approximately 95 % and 99 % coverage
uADD = % * eR
Uncertainty using the root-sum-square model; provides approximately 95 % coverage
URSS
URSS = (es* + 6?R*)“*
Ratio of the standard deviation of the independent, or X, variable to that of the dependent, or yb variable
Y
A Difference between an observed and a calculated value
Population mean
P
CT Population standard deviation
0 Influence coefficient
NOTE - In a number of International Standards, the random uncertainty eR and systematic error limits es are denoted by the
symbols Ur and L& or B respectively.
Subscripts and superscripts
NOTE - In the following, the summation sign c is used to represent
n
c
i= 1
unless otherwise noted; a bar above a symbol (-) denotes the mean value of that quantity; a circumflex (*) denotes the value
of the variable predicted by the equation of the fitted curve.
i
ith value of a variable
ij ith value of thejth category
4 General
4.1 With the majority of calibrations considered in t lis part of IS0 7066, the relationship between the variables is
of a functional nature and is defined by some form of mathematical expression. Any departure of the observed
values from this relationship can then be attributed t1 o errors of measurement of one kind or another, which may
affect either or both variables and which may be random or systematic or a combination of the two.
4.2 The role of the calibration procedure is thus twofold: to assess the form of the underlying mathematical
relationship and to provide an estimate of the uncertainty of the fitted line.
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0 IS0 ISO/TR 7066-1:1997(E)
4.3 From a practical viewpoint there will exist pairs of values (x, y) for which the random uncertainties and
systematic error limits in x and y will have been estimated by one of the methods given in clause 5. The choice of
the procedure to be used in the calculation of the coefficients and uncertainty of the calibration equation will
depend on the relative magnitudes of the random components eR(X) and eR(y).
4.4 Where the error in one or the other of the two variables can be assumed to be negligible, the methods set
out in clauses 8, 9 and 11 shall be used, the underlying equation being taken to be of the form
y=a+bx . . .
(1)
where
x is that variable with the smaller error;
a and b are coefficients of the fitted line to be determined.
Where both variables are subject to error and x is the variable with the smaller error, the methods described in
clauses 8 and 9 can still be used if the x variable can be set to predetermined values during the calibration. This
approach is known as the Berkson method.
4.5 A special case arises where y is effectively constant and independent of x, i.e. where the fitted line is parallel
to the x-axis. In these cases, the methods specified in clause 10 shall be used in estimating the uncertainty.
4.6 To provide the information needed in selecting the fitting procedure to be used, a preliminary study of the
data is essential. In particular, this should be directed towards establishing the uncertainties and systematic error
limits in x and y and the adequacy of the linearity assumption. Where the relationship is known to be curvilinear,
some attention should be given to the possibility of converting it to a linear form, thus simplifying the subsequent
manipulation of the data.
5 Random uncertainties and systematic error limits in individual measurements
5.1 In determining the random uncertainties and systematic error limits in the two variables, there are no
alternatives to the procedures given in lSO/TR 5168. As a first step in the estimation process, a table for each
variable should be prepared indicating the various sources of error. These should include the errors in any basic
measurements which have to be made and should list the random and systematic elements separately.
5.2 For variate values determined by direct measurement, the random uncertainty at a fixed value of the
measurand x can be found by calculating the experimental standard deviation from a series of ~2 measurements,
using the formula
. . .
(2)
or, alternatively,
S = {[IZ~X~ - (c*,121/[n(n - I)]}“* . . .
(3)
and then substituting into
t+) = t+)
. . .
(4)
5.3 In carrying out the above calculations, it should be remembered that the result obtained may vary depending
on the magnitude of y at which x is measured. Similarly, the uncertainty in y, which can be found by substituting y
for x in the above formulae, may also vary with the value of x at which it is measured. Since such variations will
5
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@ IS0
ISO/TR 7066=1:1997(E)
dictate the method to be used in the subsequent fitting of the calibration curve, it is essential that the estimation of
uncertainty be carried out at a sufficient number of points to enable the extent of any problem to be accurately
assessed.
number of indepen
5.4 Where the variate values are obtained as the sum or difference of a dent compon ent
II sta ndard deviation from the formula:
measurements, the uncertainty shal I be obtained by calculating the overa
s(x) = [&(x1)2]1’2 . . .
(5)
followed by substitution into equation (4).
In other cases, where the variables are derived from more complex functions of the constituent elements such as
products or quotients, or where the elements are correlated, the overall standard deviation shall be determined by
the methods given in annex A. The uncertainty may then again be obtained by substituting into equation (4).
5.5 The evaluation of the systematic error, which is somewhat more difficult, is described in lSO/TR 5168. Even
when all known sources have been identified and allowed for, there will still remain a number of unidentified errors.
In these cases any assessment will depend on a subjective judgement based on such evidence, e.g. past
calibrations, previous history, etc., as is available.
5.6 Where the variate values are based on the sum of a number of elemental components, some difficulty may
be experienced in determining the overall systematic error limits, due to the fact that, in a majority of cases, the
sign of the components is unknown. In these instances the errors shall be combined using the root-sum-square
procedure as defined by
‘12
2
es = . . .
(6)
eS,i
c
i
l I
Where more complex funtions are involved, the systematic error limit, es, shall be found using the method given in
annex A, replacing the variance terms by the corresponding eS,i* terms.
5.7 The estimation process can be regarded as complete once all the sources of error have been identified and
evaluated and the individual elements combined to give an overall assessment of the random uncertainty and
systematic error limits for each variable.
6 Linearity of calibration graph
6.1 An initial investigation is also desirable to establish whether a linear calibration curve will provide an adequate
and unbiased fit to the observed measurements. Of the methods available, the most effective are those based on
a visual study of the deviations of the measurements from the fitted line. An approximation to this line can be
obtained using Bartlett’s method, as described in 6.2 to 6.5.
6.2 As a first step, the data should be ranked in ascending order in either the x or y direction, and the general
means of the two variables found from the equations
F=CXi/tl; Y=Cyi/lZ . . .
(7)
The data should now be divided into three equal and mutually exclusive groups and the means of the two end
groups calculated as before. Denoting these by F,, 7, and Y3, &, respectively, the slope b of the approximate line
can be found as
. . . (8)
b=& --j$)l(X3 --Xl)
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ISO/TR 7066~1:1997(E)
0 IS0
Since the line must pass through the general means Z, 7 the equation of the curve can then be obtained from
. . .
(9)
(yi - y> = b(xi - T)
or, substituting 7 - b? = a, as
h
. . .
= a + bxi (10)
Yi
Finally the residuals can be determined from the formula
. . .
A(yi) = (yi - Fi) = (yi - a - bxi) (1 ‘I)
As an alternative to the above procedure, a more accurate fit can be obtained by using the method of least squares
as described in clause 8, with the residuals again being found from equation (I I).
6.3 As a preliminary test, the residuals thus obtained should be ranked in ascending order and plotted as a
cumulative frequency curve on normal probability paper. If the points lie in roughly a straight line with no evidence
of any general curvature, the data can be regarded as being approximately normally distributed.
6.4 The opportunity should also be taken at this stage to examine any exceptionally large or small residuals, as
the occurrence of these may seriously affect the position of the final fitted line and will inevitably increase the
use can be made of Grubb’s test as described in
uncertainty. To assist in the identification of such “outliers”,
annex E of lSO/TR 5168. It must be emphasized, however, that even where the test result is positive, the decision
to reject an observation should always be made on sound physical grounds following a careful study of all the
relevant circumstances. In reaching a decision, it should be borne in mind that the point may be genuine and the
size of the residual due to a lack of fit of the model to the observation. It should also be remembered that where an
observation has been rejected, the whole of the fitting process and calculation of the residuals will need to be
repeated.
6.5 Other tests which should be applied include the plotting of the residuals (Ay) against the observed values of
the independent, (x), variable and against the predicted (j$ values. In either case if
a) the mathematical relationship is appropriate;
b) the fitting process has been correctly carried out;
c) the variance does not change significantly with X;
the points should lie in a horizontal band of uniform width [figure 1 a)]. Departures from this ideal form can include
any one or more of the following:
a) the band forms a distinct upwards or downwards curve [figure 1 b)], implying that the relationship is curvilinear
rather than linear in form;
b) a progressive widening or narrowing of the band, which remains horizontal [figure 1 c)]. This would indicate that
the variance is not constant over the range of measurement and that some form of weighting procedure will be
required in the final fitting process.
NOTES
1 As an alternative to weighting, it may be possible to transform the data to obtain uniform variance. As an example, if
the variability increases with x, a plotting of log10 y against x or of loglo y against loglo x may give uniform variance in
loglo y. In making the transformation, care shall be taken that the calibration graph remains linear.
2 It shou d be noted that any tra nsformatio n of the variables implies a weighting of the data and may be expected
to give
a curve fit somewhat different to that obtain ed from the original untransformed da ta.
c) the band shows a uniform straight-line upward or downward trend in its position [figure 1 d)], suggesting the
presence of an error in either the fitting process itself or in the subsequent calculation of y.
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@ IS0
ISO/TR 7066=1:1997(E)
7 Linearization of data
7.1 Where the initial tests have indicated that the calibration is best represented by some form of curvilinear
relationship, serious consideration shall be given to the possibility of converting the data to linearity. The advantage
of such an operation is that the fitting of the calibration curve and the determination of uncertainty then become
relatively straightforward processes. Two procedures are possible.
7.1.1 The first of these involves an actual tranformation of the data and applies only where the relationship is of a
mathematical nature. For this category, the form of transformation will usually be indicated by the form of function
itself. Thus, for an open-channel calibration, where the relationship between water level and flow is expressed by
the equation.
Q = c(h + hg)b . . .
(12)
where
h is the measured water level, expressed in metres;
ho is a datum correction denoting level at zero flow;
c
is a coefficient;
b is an exponent;
the simple expedient of writing this in the logarithmic form
In Q = In c + b In (h + ho) . . .
(13)
has the effect of linearizing the data.
7.1.2 In other cases, linearization may still be possible if the calibration curve can be divided into a number of
sections, each of which can be treated as linear. Unlike the previously described method, the procedure is
universally applicable and does not depend on the existence of a functional relationship between the two variables.
To be successful, two conditions must be observed. The first of these is that each section of the curve should,
wherever possible, be based on a similar number of observations, thus giving approximately the same degree of
uncertainty to the whole of the fitted line. Secondly, to provide a smooth transition and avoid discontinuity, each
section of the curve must have two or three points in common with any adjacent sections.
7.2 On completing the linearization process, it is essential that the tests for linearity described in clause 6 be
repeated.
Fitting the best straight line
8
8.1 General
8.1.1 The preliminary tests will already have provided estimates of the stan dard deviations of the two variables,
and in cons idering the fittting procedure it only remains to calculate th e ratio
. . .
y = dy)/s(x) ('14)
Where the value is large, say > 20 , the classical least-squares method given in 8.2 shall be followed.
Where the value obtained lies below this limit, the procedure of 8.2 can still be used provided the x variable can be
set to predetermined values as required by the Berkson method. In other cases, the methods needed are beyond
the scope of this part of lSO/rR 7066.
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ISO/TR 7066-1:1997(E)
@ IS0
X
X
x x
x xx
x x
” x
u
v
n n
x
x xx x
X
X
X
X
X
-JL --w---------m---
b) Relation curvilhear, not linear
a) Correct pattern
AL--
,y--“-x’-,
---
---
X X
x x
x x
x x
x \, \,
v v
n
n n n n
L-X- x x x xx )( x
--a-
-z
-a
-,
x
X
t
-*-
X
c-
d) Error in calculation
c) Variance not constant
Figure I - Plot of residuals (y - j) against x values
8.1.2 In describing the calibration procedure, it should be emphasized that the usual convention relating to
dependent and independent variables has been abandoned. In the following sections, the x variable is always to be
taken as that with the smallest error.
8.2 One variable only subject to error or Berkson method applies
8.2.1 Where the error in one variable can be regarded as negligible in comparison with that in the second variable,
the fitting of the calibration curve shall be accomplished using a classical regression approach.
8.2.2 With this type of procedure, the sl
...
RAPPORT ISO/TR
7066-I
Première édition
1997-02-01
Évaluation de l’incertitude dans
l’étalonnage et l’utilisation des appareils
de mesure du débit -
Partie 1:
Relations d’étalonnage linéaires
Assessment of uncertainty in calibration and use of flow measurement
devices -
Part 1: Linear calibration relationships
Numéro de référence
ISO/TR 7066-I :1997(F)
---------------------- Page: 1 ----------------------
ISO/TR 7066=1:1997(F)
Page
Sommaire
Domaine d’application .
1
...............................................................
2 Références normatives
...............................................................
3 Définitions et symboles
..................................................................................
4 Généralités
5 Incertitudes aléatoires et limites d’erreur systématique sur des
......................................................................... 5
mesurages isolés
............................................. 6
6 Linéarité de la courbe d’étalonnage
........................................................... 9
7 Linéarisation des données
..................... 9
8 Détermination de la meilleure droite d’ajustement
..... 11
9 Détermination de la meilleure droite d’ajustement pondéré.
12
.......................
10 Procédure dans le cas où y est indépendant de x
12
..................................................................
11 Calcul de l’incertitude
12 Limites d’erreur systématique et mode de présentation des
12
résultats .
13
13 Valeurs extrapolées . . . . . . . . . .*.
14 Incertitude associée à l’utilisation de la courbe d’étalonnage
pour un mesurage unique de débit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
Annexes
16
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A Calcul de la variante d’une fonction générale
découvert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
B Exemple d’étalonnage en cana
C Exemple de détermination de I incertitude d’étalonnage en
22
conduite fermée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0 60 1997
Droits de reproduction réservés. Sauf prescription différente, aucune partie de cette publi-
cation ne peut être reproduite ni utilisée sous quelque forme que ce soit et par aucun pro-
cédé, électronique ou mécanique, y compris la photocopie et les microfilms, sans l’accord
écrit de l’éditeur.
Organisation internationale de normalisation
Case postale 56 l CH-l 211 Genève 20 l Suisse
Imprimé en Suisse
ii
---------------------- Page: 2 ----------------------
@ ISO ISO/TR 70664:1997(F)
Avant-propos
L’ISO (Organisation internationale de normalisation) est une fédération
mondiale d’organismes nationaux de normalisation (comités membres de
I’ISO). L’élaboration des Normes internationales est en général confiée aux
comités techniques de I’ISO. Chaque comité membre intéressé par une
étude a le droit de faire partie du comité technique créé à cet effet. Les
organisations internationales, gouvernementales et non gouvernemen-
tales, en liaison avec I’ISO participent également aux travaux. L’ISO colla-
bore étroitement avec la Commission électrotechnique internationale (CEI)
en ce qui concerne la normalisation électrotechnique.
La tâche principale des comités techniques est d’élaborer les Normes
internationales Exceptionnellement, un comité technique peut proposer la
publication d’un rapport technique de l’un des types suivants:
- type 1 s lorsque, en dépit de maints efforts, l’accord requis ne peut
être réalisé en faveur de la publication d’une Norme internationale;
- type 2, lorsque le sujet en question est encore en cours de
développement technique ou lorsque, pour toute autre raison, la
possibilité d’un accord pour la publication d’une Norme internationale
peut être envisagée pour l’avenir mais pas dans l’immédiat;
- type 3, lorsqu’un comité technique a réuni des données de nature
différente de celles qui sont normalement publiées comme Normes
internationales (ceci pouvant comprendre des informations sur l’état
de la technique, par exemple).
Les rapports techniques des types 1 et 2 font l’objet d’un nouvel examen
trois ans au plus tard après leur publication afin de décider éventuellement
de leur transformation en Normes internationales. Les rapports techniques
de type 3 ne doivent pas nécessairement être révisés avant que les
données fournies ne soient plus jugées valables ou utiles.
L’ISO/rR 7066-1, rapport technique du type 1, a été élaboré par le comité
technique lSO/TC 30, Mesure de debit des fluides dans les conduites
fermées, sous-comité SC 9, Généralités.
Le présent document est publié dans la série des rapports techniques de
type 1 car aucun consensus n’a pu être obtenu entre I’ISO TC 3O/SC 9 et
I’ISOnAG 4, Métrologie, concernant l’harmonisation du présent document
avec le Guide pour l’expression de l’incertitude de mesure, qui est un
document de base des Directives lSO/CEI. II sera procédé à une révision
du présent Rapport technique afin de l’aligner sur le Guide pour
l’expression de l’incertitude de mesure.
Cette première édition en tant que rapport technique annule et remplace la
première édition en tant que Norme internationale (ISO 7066-I :1988), dont
elle constitue une révision technique.
ISOnR 7066 comprend les parties suivantes, présentées sous le titre
général Évaluation de l’incertitude dans l’étalonnage et l’utilisation des
appareils de mesure du débit:
. . .
III
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ISO/TR 7066-1:1997(F)
@ ISO
- Partie 7: Relations d’étalonnage linéaires
- Partie 2: Relations d’étalonnage non linéaires
L’annexe A fait partie intégrante de la présente partie de l’lSO/rR 7066.
Les annexes B et C sont données uniquement à titre d’information.
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%SO/TR 70664:1997(F)
@ ISO
Introduction
L’une des premières Normes internationales traitant du sujet de
l’incertitude de mesure a été I’ISO 5168, Mesure de débit des fluides -
Calcul de l’erreur limite sur une mesure de débit,. publiée en 1978.
L’utilisation étendue de I’ISO 5168 à des applications pratiques a identifié
beaucoup d’améliorations à ses méthodes; celles-ci ont été incorporées
dans un projet de révision de cette Norme internationale, qui a reçu en
1990 un résultat de vote écrasant en faveur de sa publication.
L’ISO 7066-l d Évaluation de l’incertitude dans l’étalonnage et l’utilisation
des appareils de mesure du débit - Partie I : Relations d ‘étalonnage
linéaires, publiée en 1989, a été établie selon les principes indiqués dans
I’ISO 5168:1978. Le présent projet de révision de I’ISO 7066-I est
compatible à la fois avec le projet de révision de I’ISO 5168 et avec
I’ISO 7066-2:1988.
Toutefois, les projets de révision de I’ISO 5168 et de I’ISO 7066-I ont été
retenus de la publication pour quelques années; depuis, malgré de longues
discussions, aucun consensus n’a pu être obtenu sur le projet de version
d’un document développé par un Groupe de Travail du groupe technique
consultatif 4, Métrologie (ISOTTAG 4/GT 3). Le document du TAG 4, Guide
pour /‘expression de /‘incertitude de mesure, a été publié en 1993 (version
anglaise) et en 1995 (version française) comme document de base des
Directives ISO/CEI. Lors d’une réunion du Bureau de gestion technique en
mai 1995, il a été décidé de publier les révisions de I’ISO 5168 et de
I’ISO 7066-I comme rapports techniques.
Le présent document est publié comme rapport technique de type 1 au
lieu de Norme internationale car il n’est pas compatible avec le Guide pour
/‘expression de /‘incertitude de mesure. Une prochaine révision du présent
Rapport technique alignera ces deux documents.
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Page blanche
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RAPPORT TECHNIQUE @ ISO ISO/TR 7066=1:1997(F)
Évaluation de l’incertitude dans l’étalonnage et l’utilisation
des appareils de mesure du débit -
Partie 1:
Relations d’étalonnage linéaires
1 Domaine d’application
1.1 La présente partie de I’ISO 7066 décrit les procédures à utiliser pour déterminer la courbe d’étalonnage pour
toute méthode de mesure du débit, en conduites fermées ou en canaux découverts et d’évaluation de l’incertitude
correspondant à ces étalonnages. Elle traite également des procédures d’estimation de l’incertitude découlant des
mesurages obtenus à partir de la courbe résultante, ainsi que de celles servant au calcul de l’incertitude sur la
moyenne d’un certain nombre de mesures d’un même débit.
1.2 Seules les relations linéaires sont prises en considération dans la présente partie de I’ISO 7066; l’incertitude
associée à des relations non linéaires fait l’objet de I’ISO 7066-2. La présente partie de I’ISO 7066 ne s’applique
donc que si:
a) la relation entre les deux variables est elle-même linéaire,
ou
l’une des variables ou les deux peuvent être transformées de manière à créer une relation linéaire entre elles, par
exemple par le recours aux logarithmes,
ou
l’intervalle total peut être subdivisé de telle manière que la relation entre les deux variables puisse être considérée
comme linéaire dans chaque subdivision; et si
b) les écarts systématiques de la droite d’ajustement sont négligeables par rapport à I ‘incertitude associée à
l’observation des points isolés constituant la courbe.
NOTE - Des exemples d’application des principes contenus dans la présente partie de I’ISO 7066 sont fournis en annexes
B et C.
2 Références normatives
Les normes suivantes contiennent des dispositions, qui, par suite de la référence qui en est faite, constituent des
dispositions valables pour la présente partie de I’ISO 7066. Au moment de la publication, les éditions indiquées
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@ ISO
ISO/TR 7066=1:1997(F)
étaient en vigueur. Toute norme est sujette a révision et les parties prenantes des accords fondés sur la présente
partie de I’ISO 7066 sont invitées a rechercher la possibilité d’appliquer les éditions les plus récentes des normes
indiquées ci-après. Les membres de la CEI et de I’ISO possèdent le registre des Normes internationales en vigueur
à un moment donné.
ISO 772: 1996, Déterminations hydrométriques - Vocabulaire et symboles.
ISO 1 ioo-2:- 11, Mesure de débit des liquides dans les canaux découverts - Partie 2: Détermination de la relation
hauteur-débit.
ISO 4006: 1991, Mesure de débit des fluides dans les conduites fermées - Vocabulaire et symboles.
ISOnR 5168:- *), Mesure de débits des fluides - Calcul de l’incertitude.
ISO 7066-2: 1988, Évaluation de l’incertitude dans l’étalonnage et l’utilisation des appareils de mesure du débit -
Partie 2: Rela tiens d’étalonnage non linéaires.
3 Définitions et symboles
Pour les besoins de la présente partie de I’ISO 7066, les définitions et symboles donnés dans I’ISO 772 et
I’ISO 4006 et les définitions et symboles suivants s’appliquent.
3.1 Définitions
3.1.1 courbe d’étalonnage: Courbe tracée à travers les points obtenus par report de I’i ndica tion d onné e par un
fonction d’une grandeu r représentative du débit.
débitmètre en
limites de confiance: Limites supérieure et inférieure autour d’une valeur observée ou calculée à l’intérieur
3.1.2
desquelles est censée se trouver la valeur vraie avec une probabilité spécifiée, en supposant une erreur
systématique non corrigée négligeable.
3.1.3 coefficient de corrélation: Indicateur du degré de relation entre deux variables.
NOTE - Une telle relation pe ut être causale ou être assuree paf 1’ intervention d’une troisième variable, mais une décision sur
ce point ne peut être prise sur de seu les bases statistiques.
3.1.4 covariance: Moment de premier ordre calculé par rapport aux moyennes des variables, soit:
Cov(x, y) = [X(xi
- X)(Yi - $y(, - 1)
3.15 erreur de mesure: Terme générique correspondant à la différence entre la valeur mesurée et la valeur
réelle.
Cela comprend des composantes systématiques aussi bien qu’aléatoires.
imprévisible d’un mesurage à
3.1.6 erreur aléatoire: Composante de l’erreur de mesura ge qui varie de façon
l’autre
NOTE - Aucune correction n’est possible pour ce type d’erreur, que la cause en soit connue ou non.
3.1.7 erreur systématique: Composante de l’erreur de mesurage qui reste constante ou varie de manière
prévisible d’un mesurage à l’autre.
3.1.8 erreur aberrante: Erreur qui dénature totalement un mesurage.
De telles erreurs ont généralement une cause unique telle qu’un mauvais fonctionnement de l’instrument ou la
transcription incorrecte d’un ou de plusieurs chiffres relevés au mesurage.
1) À publier. (Révision de I’ISO 1100~21982)
2) A publier. (Révision de I’ISO 5168:1978)
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@ ISO ISO/TR 7066=1:1997(F)
3.1.9 fonction: Formule mathématique exprimant la relation entre deux variables ou plus.
3.1.10 droite d’ajustement: Droite tracée a travers une série de points de façon a minimiser la variante des
points par rapport à la droite.
3.1.11 résidu: Différence entre une valeur observée et la valeur correspondante calculée à partir de l’équation de
régression.
3.1.12 écart-type de l’échantillon [écart-type expérimental]: Mesure de la dispersion par rapport à la moyenne
d’une série de yt valeurs d’un mesurande et définie par la formule:
‘12
S(X) = x(-Xi - X)’ (n - 1
/ )l
[
échantil Ion de la population sous-jacente, la formule
NOTE - Si on considère les yt mesurages comme un ci-dessous fournit
de l’écart-type de la popu lation:
une estimation par échantillon
1/2
B= C(“i -py n
[ 11
3.1.13 limite d’erreur systématique: Composante de l’incertitude totale associée à l’erreur systématique. Sa
valeur n’est pas réductible par la réalisation d’un grand nombre de mesurages.
3.1.14 incertitude aléatoire: Estimation caractérisant l’intervalle de valeurs à l’intérieur duquel la valeur vraie du
mesurande est supposée se trouver avec un degré de confiance spécifié.
Son importance en terme de valeurs moyennes est réductible par la réalisation d’un grand nombre de mesurages.
3.1.15 variante: Mesure de la dispersion basée sur le carré moyen des écarts à la moyenne arithmétique et
définie telle que:
Var(x) = C(Xi - T)2/(n - 1)
3.2 Symboles
NOTE - Les symboles utilisés dans les exemples des annexes B et C relatifs aux mesures en canal découvert et en
e, lorsqu’ils diffèrent de ceux donnés ci-dessus, figurent au début de ces annexes.
conduite fermé
a Ordonnée à l’origine de la courbe d’étalonnage
& Pente de la courbe d’étalonnage
c Coefficient dans une équation pondérée des moindres carrés
C~V( ) Covariance des variables entre parenthèses
eR( ) Incertitude aléatoire sur la variable entre parenthèses
Limite d’erreur systématique sur la variable entre parenthèses
est 1
In Logarithme népérien
n Nombre de mesures utilisées pour établir la courbe d’étalonnage
Débit
f2
r Coefficient de corrélation
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lSO/TR 7066=1:1997(F)
Écart-type expérimental de la variante entre parenthèses
s( 1
Écart-type (erreur-type) des points par rapport à la meilleure droite d’ajustement
SR
t Coefficient de Student (obtenu à partir de l’lSO/rR 5168 ou de tout autre jeu de tables statistiques)
@me facteur de pondération dans les moindres carrés pondérés
wi
x Variable indépendante; variable soumise à l’erreur minimale
Variable dépendante; variable soumise à l’erreur maximale
Y
u Incertitude globale
UADD Incertitude utilisant le modèle additif; fournit une couverture comprise approximativement entre 95 % et
99 %
UADD = eS + eR
Incertitude par le modèle de combinaison quadratique; fournit une couverture approximative de 95 %
URSS
URSS = (es2 + eR2)“2
Rapport de l’écart-type de la variable indépendante, ou X, à celui de la variable dépendante, ou y
Y
A Différence entre une valeur observée et une valeur calculée
Moyenne de la population
ru
0 Écart-type de la population
8 Coefficient d’influente
NOTE - Dans un certain nombre de Normes internationales, l’incertitude aléatoi re eR et les limites d’erreur systématiques es
sont notées par les symboles Ur et Us ou B respectivement.
Indices et exposants
NOTE - Sauf indication contrai re, le signe c est utilisé, dans ce qui suit, pour représenter
n
c
i= 1
un trait suscrit (T) au-dessus d’un symbole correspond à la valeur moyenne de cette quantité; un accent circonflexe (A) au-
dessus d’un symbole correspond à la valeur de la variable donnée par l’équation de la courbe d’ajustement.
i ième valeur de la variable
ij @me valeur de la jéme catégorie
4 Généralités
4.1 Dans la majorité des étalonnages considérés dans la présente partie de I’ISO 7066, la relation entre les
variables est d’une nature fonctionnelle et est définie par une quelconque expression mathématique. Tout écart
des valeurs observées par rapport à cette relation peut alors être attribué aux erreurs de mesurage de types divers
qui peuvent influer sur l’une des variables ou sur les deux et qui peuvent être aléatoires ou systématiques ou
encore une combinaison des deux.
4
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ISO/TR 7066=1:1997(F)
0 ISO
4.2 Ainsi, le rôle de la procédure d’étalonnage est double: évaluation de la forme de la relation mathématique
sous-jacente et fourniture d’une estimation de l’incertitude associée à la droite d’ajustement.
4.3 Sur le plan pratique, il se trouvera des couples de valeurs (x, y) pour lesquels les incertitudes aléatoires et les
limites d’erreur systématique sur x et sur y auront été estimées au moyen de l’une des méthodes données à
l’article 5. Le choix de la procédure a utiliser dans le calcul des coefficients et de l’incertitude de l’équation
d’étalonnage dépendra de l’importance relative des composantes aléatoires e&) et eR(y).
4.4 Quand il sera possible de considérer que l’erreur sur l’une des deux variables est négligeable, les méthodes
exposées aux articles 8, 9 et 11 devront être utilisées, l’équation correspondante prenant alors la forme:
. . .
y=a+bx (1)
où
est la variable de m’oindre erreur,
x
a et b sont les coefficients de la droite d’ajustement à determiner.
Lorsque les deux variables sont sujettes a erreur et que x est la variable d’erreur moindre, il est toujours possible
d’avoir recours aux méthodes décrites dans les articles 8 et 9 si la variable x peut être fixée à des valeurs
prédéterminées durant l’étalonnage. Cette démarche est connue sous l’appellation de méthode de Berkson.
4.5 Une situation particulière se présente dans les cas où y est, dans les faits, constant et indépendant de X,
c’est-à-dire lorsque la droite d’ajustement est parallèle à l’axe des X. Dans ces cas les méthodes indiquées à
l’article 10 devront être utilisées pour l’estimation de l’incertitude.
4.6 Pour fournir les informations nécessaires au choix de la procédure d’ajustement adéquate, une étude
préliminaire des données est essentielle. II convient, en particulier, que celle-ci porte sur l’établissement des
incertitudes et des limites d’erreur systématique sur x et sur y et sur le bien-fondé de l’hypothèse de linéarité.
Lorsqu’on sait que la relation est curvilinéaire, il convient d’accorder une certaine attention à la possibilité de la
convertir en une forme linéaire, ce qui simplifie la manipulation ultérieure des données.
5 Incertitudes aléatoires et limites d’erreur systématique sur des mesurages isolés
5.1 Lors de la détermination des incertitudes aléatoires et des limites d’erreur systématique sur les deux
variables, il n’existe pas d’alternative aux procédures indiquées dans l’lSO/TR 5168. II convient, en première phase
de la procédure d’estimation, d’établir un tableau indiquant les diverses sources d’erreur sur chaque variable.
Celles-ci comprendront les erreurs sur les mesurages élémentaires a réaliser et dresseront séparément la liste des
éléments aléatoires et systématiques.
5.2 Pour différentes valeurs déterminées par mesurage direct, il est possible de déterminer l’incertitude aléatoire
associée à une valeur fixée du mesurande x par le calcul de l’écart-type expérimental à partir d’une série de IZ
mesurages, à l’aide de la formule:
. . .
(2)
s=[C(q -q2/(“4f2
ou bien:
. s = {[+F - (&)y+ - I)f2 . . .
(3)
puis en le portant dans:
eR(x) = B(x)
. . .
(4)
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lSO/TR 7066=1:1997(F) @ ISO
5.3 En effectuant les calculs ci-dessus, il convient de ne pas perdre de vue que le résultat obtenu peut varier
selon l’importance du y auquel x est mesuré. De la même manière, l’incertitude sur y, qu’il est possible de .
déterminer en substituant y à x dans la formule ci-dessus, peut, là encore, varier en fonction de la valeur de x à
laquelle il est mesuré. Puisque ces variations dictent la méthode à utiliser dans l’ajustement ultérieur de la courbe
d’étalonnage, il est essentiel que l’estimation de l’incertitude s’effectue à partir d’un nombre suffisant de points
pour permettre d’évaluer avec précision l’étendue des difficultés qui pourraient surgir.
Lorsqu’on obtient les différentes va leurs par la somme ou par la différe
54 . nce de plus ieurs me surages de
com posantes indépendantes, l’incertitude doit être déterminée par le cal cul de I ‘écart-type global, à partir de la
formule:
s(x) = [&(Xi)*]“* . . .
(5)
puis en portant ce résultat dans l’équation (4).
Dans d’autres cas, lorsqu’on obtient les variables a partir de fonctions plus complexes des constituants, tels que
des produits ou des quotients, ou encore quand les éléments sont en corrélation, l’écart-type global doit être
déterminé par la méthode indiquée en annexe A. La encore, l’incertitude peut s’obtenir en portant le résultat dans
l’équation (4).
5.5 L’évaluation de l’erreur systématique, plus difficile à réaliser, est décrite dans l’lSO/rR 5168. Même lorsque
toutes les sources connues ont été identifiées et prises en compte, il demeurera un certain nombre d’erreurs non
identifiées; auquel cas toute évaluation dépendra d’un jugement subjectif s’appuyant sur les faits dont on pourra
disposer, par exemple des étalonnages antérieurs, un historique, etc.
5.6 Quand les différentes valeurs proviennent de la somme de plusieurs composantes élémentaires, il peut surgir
certaines difficultés dans la détermination des limites d’erreur systématique globales, ceci dans la mesure où dans
la majorité des cas, le signe des composantes est inconnu. En l’occurrence, les erreurs doivent être combinées
quadratiquement par:
‘12
2
es = . . .
(6)
eS,i
c
r i 1
Lorsque des fonctions plus complexes sont en jeu, la limite d ‘erreur systématique es doit être obtenue à l’aide de la
méthode indiquée en annexe A, en remplaçant les termes d e variante par les termes nts.
eS,i* corresponda
5.7 La procédure d’estimation peut être considérée comme achevée lorsque toutes les sources d’erreur ont été
identifiées et évaluées et que les composantes individuelles ont été combinées pour fournir une évaluation de
l’incertitude aléatoire et des limites d’erreur systématique pour chaque variable.
6 Linéarité de la courbe d’étalonnage
6.1 Pour établir si une courbe d’étalonnage linéaire s’ajustera de façon convenable et non biaisée aux mesurages
observés, il est recommandé de procéder a une étude initiale. Parmi les méthodes possibles, les plus efficaces
sont celles qui reposent sur une étude visuelle des écarts des mesurages par rapport a la droite d’ajustement. II est
possible d’obtenir une approximation de celle-ci à l’aide de la méthode de Bartlett, décrite en 6.2 à 6.5.
6.2 Dans un premier temps, il convient de ranger les données par ordre croissant, selon les x ou selon les y et de
calculer les moyennes générales des deux variables a partir des équations:
. . .
F=CXi/?l; r=zyi/n (7)
6
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@ ISO ISO/TR 7066=1:1997(F)
Ensuite, il convient que les données soient réparties en trois groupes égaux et sans éléments communs, et les
moyennes des deux groupes extrêmes calculées comme précédemment. En les notant respectivement
~,l 7, et X3, &, la pente b de la droite approximative peut être obtenue par:
. . .
b=(& +/(x3 --FI) (8)
Puisque la droite doit passer par les moyennes générales T, y, l’équation de la courbe peut être obtenue à partir
.
.
de
. . .
(yi - y) = b(xi - F) (9)
ou, par substitution grâce à l’identité y - bX = a,
A
. . .
= a + bxi (10)
Yi
En dernier lieu, les résidus peuvent se déterminer à partir de la formule:
. . .
A(yi) = (yi - Fi) = (yi - a - bxi) (11)
Une autre solution pour parvenir à un ajustement plus précis est d’avoir recours a la méthode des moindres carrés
décrite a l’article 8, les résidus s’obtenant, là encore, a partir de l’équation (II ).
6.3 En guise de test préliminaire, il convient de ranger les résidus ainsi obtenus dans l’ordre croissant et de les
représenter graphiquement sous la forme d’une courbe de fréquence cumulative, et ce, sur du papier de Gauss. Si
les points sont placés sur une ligne plus ou moins droite, sans dénoter de courbure ou inflexion générale, les
données peuvent être considérées comme étant a peu près normalement réparties.
6.4 À ce stade, il est en outre opportun d’examiner les résidus exceptionnellement importants ou petits, ceci
dans la mesure où leur valeur peut considérablement modifier la position de la droite d’ajustement finale et ne peut
qu’accroître le degré d’incertitude. Pour faciliter l’identification de ces points aberrants, on peut recourir au test de
Grubb décrit à l’annexe E de l’lSO/TR 5168. II convient pourtant de souligner que, même lorsque le résultat du test
est positif, la décision de rejeter une observation doit toujours être prise sur des bases physiques valides et à la
suite d’une étude minutieuse de toutes les circonstances pertinentes. Lors de la prise de décision, il convient de
garder à l’esprit qu’il se peut très bien que le point soit exact et que la forte valeur du résidu soit due à un manque
de pertinence du modèle par rapport a l’observation. En outre, il ne faut pas perdre de vue que lorsqu’une
observation est rejetée, il sera nécessaire de recommencer l’ensemble de la procédure d’ajustement et de calcul
des résidus.
applicabl figure le tracé de la courbe des résidus (Ay) en fonction des valeurs
6.5 Parmi les autres t ests
es,
observées de la variable indé pendante X et des valeurs prévues (j> . Dans l’un ou l’autre cas, si:
( 1
a) la relation mathématique est adéquate;
la procédure d’ajustement a été correctement effectuée;
W
la variante ne se modifie pas de manière significative en fonction de X;
cl
il convient que les points se situent à l’intérieur d’une bande horizontale de largeur uniforme [figure 1 a)]. Les écarts
à partir de cette forme idéale peuvent se présenter sous une ou plusieurs des formes suivantes:
a) la bande forme une courbe nettement ascendante ou descendante [figure 1 b)], ce qui implique que la relation
est de forme curvilinéaire plutôt que linéaire;
b) un élargissement ou un rétrécissement progressif de la bande, celle-ci demeurant par ailleurs horizontale
[figure lc)], indiquerait que la variante n’est pas constante dans le domaine de mesurage et qu’il sera
nécessaire d’employer un quelconque procédé de pondération lors de la procédure finale d’ajustement;
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ISO/TR 70664:1997(F)
@ ISO
NOTES
I Une alternative à la pondération peut consister à transformer les données de manière à obtenir une variante uniforme. Par
exemple, si la variabilité croît en fonction de x, le tracé de logIo y en fonction de x ou de logIO y en fonction de logIO x peut
entraîner une variante uniforme de logIo y. En procédant à la transformation, il convient de prendre soin que la courbe
d’étalonnage reste linéaire.
2 II convient de noter que toute information des variables implique une pondération des données, ce qui peut conduire à une
courbe d’ajustement quelque peu différente de celle obtenue 21 partir des données originelles n’ayant pas subi de
transformation.
c) la bande se présente comme une droite uniforme de pente positive ou négative [figure 1 d)], suggérant ainsi la
présence d’une erreur, soit dans la procédure d’ajustement, soit dans le calcul ultérieur de y.
X
---me--m--m-----w-
X
X
xx xx
x x
” x X
v
A n A ”
A
x \
X)( )( )(-L-x
x x x\
x xx x
X -JL )(
X X
X,'0R
X X
WY ~~~-----~--~~~~-
'\X x'
.
X
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c - T
a) Disposition correcte
b) Relation curvilinéaire, non linéaire
Z-
L
,y--'-x--x-
--
z-
L-
X
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n n n n
n
-x,-x- x x x xx x x
----
--
--
-,
Ix,
X
-*-
X
X
-
c) Variance non constante
d) Erreur de calcul
Figure 1 - Tracé de la courbe des résidus (y - y^) en fonction de x
---------------------- Page: 14 ----------------------
@ ISO ISO/TR 7066=1:1997(F)
7 Linéarisation des données
7.1 Lorsque les tests initiaux indiquent qu’une représentation optimale de l’étalonnage nécessite le recours à une
relation curvilinéaire, il convient d’examiner la possibilité de linéariser les données. L’avantage de cette opération
est que l’ajustement de la courbe d’étalonnage et la détermination de l’incertitude se font alors selon des
procédures relativement directes. Deux méthodes sont envisageables.
7.1.1 La première d’entre elles implique la transformation effective des données et ne s’applique que lorsque la
relation est de nat
...
RAPPORT ISO/TR
7066-I
Première édition
1997-02-01
Évaluation de l’incertitude dans
l’étalonnage et l’utilisation des appareils
de mesure du débit -
Partie 1:
Relations d’étalonnage linéaires
Assessment of uncertainty in calibration and use of flow measurement
devices -
Part 1: Linear calibration relationships
Numéro de référence
ISO/TR 7066-I :1997(F)
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ISO/TR 7066=1:1997(F)
Page
Sommaire
Domaine d’application .
1
...............................................................
2 Références normatives
...............................................................
3 Définitions et symboles
..................................................................................
4 Généralités
5 Incertitudes aléatoires et limites d’erreur systématique sur des
......................................................................... 5
mesurages isolés
............................................. 6
6 Linéarité de la courbe d’étalonnage
........................................................... 9
7 Linéarisation des données
..................... 9
8 Détermination de la meilleure droite d’ajustement
..... 11
9 Détermination de la meilleure droite d’ajustement pondéré.
12
.......................
10 Procédure dans le cas où y est indépendant de x
12
..................................................................
11 Calcul de l’incertitude
12 Limites d’erreur systématique et mode de présentation des
12
résultats .
13
13 Valeurs extrapolées . . . . . . . . . .*.
14 Incertitude associée à l’utilisation de la courbe d’étalonnage
pour un mesurage unique de débit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
Annexes
16
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A Calcul de la variante d’une fonction générale
découvert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
B Exemple d’étalonnage en cana
C Exemple de détermination de I incertitude d’étalonnage en
22
conduite fermée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0 60 1997
Droits de reproduction réservés. Sauf prescription différente, aucune partie de cette publi-
cation ne peut être reproduite ni utilisée sous quelque forme que ce soit et par aucun pro-
cédé, électronique ou mécanique, y compris la photocopie et les microfilms, sans l’accord
écrit de l’éditeur.
Organisation internationale de normalisation
Case postale 56 l CH-l 211 Genève 20 l Suisse
Imprimé en Suisse
ii
---------------------- Page: 2 ----------------------
@ ISO ISO/TR 70664:1997(F)
Avant-propos
L’ISO (Organisation internationale de normalisation) est une fédération
mondiale d’organismes nationaux de normalisation (comités membres de
I’ISO). L’élaboration des Normes internationales est en général confiée aux
comités techniques de I’ISO. Chaque comité membre intéressé par une
étude a le droit de faire partie du comité technique créé à cet effet. Les
organisations internationales, gouvernementales et non gouvernemen-
tales, en liaison avec I’ISO participent également aux travaux. L’ISO colla-
bore étroitement avec la Commission électrotechnique internationale (CEI)
en ce qui concerne la normalisation électrotechnique.
La tâche principale des comités techniques est d’élaborer les Normes
internationales Exceptionnellement, un comité technique peut proposer la
publication d’un rapport technique de l’un des types suivants:
- type 1 s lorsque, en dépit de maints efforts, l’accord requis ne peut
être réalisé en faveur de la publication d’une Norme internationale;
- type 2, lorsque le sujet en question est encore en cours de
développement technique ou lorsque, pour toute autre raison, la
possibilité d’un accord pour la publication d’une Norme internationale
peut être envisagée pour l’avenir mais pas dans l’immédiat;
- type 3, lorsqu’un comité technique a réuni des données de nature
différente de celles qui sont normalement publiées comme Normes
internationales (ceci pouvant comprendre des informations sur l’état
de la technique, par exemple).
Les rapports techniques des types 1 et 2 font l’objet d’un nouvel examen
trois ans au plus tard après leur publication afin de décider éventuellement
de leur transformation en Normes internationales. Les rapports techniques
de type 3 ne doivent pas nécessairement être révisés avant que les
données fournies ne soient plus jugées valables ou utiles.
L’ISO/rR 7066-1, rapport technique du type 1, a été élaboré par le comité
technique lSO/TC 30, Mesure de debit des fluides dans les conduites
fermées, sous-comité SC 9, Généralités.
Le présent document est publié dans la série des rapports techniques de
type 1 car aucun consensus n’a pu être obtenu entre I’ISO TC 3O/SC 9 et
I’ISOnAG 4, Métrologie, concernant l’harmonisation du présent document
avec le Guide pour l’expression de l’incertitude de mesure, qui est un
document de base des Directives lSO/CEI. II sera procédé à une révision
du présent Rapport technique afin de l’aligner sur le Guide pour
l’expression de l’incertitude de mesure.
Cette première édition en tant que rapport technique annule et remplace la
première édition en tant que Norme internationale (ISO 7066-I :1988), dont
elle constitue une révision technique.
ISOnR 7066 comprend les parties suivantes, présentées sous le titre
général Évaluation de l’incertitude dans l’étalonnage et l’utilisation des
appareils de mesure du débit:
. . .
III
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ISO/TR 7066-1:1997(F)
@ ISO
- Partie 7: Relations d’étalonnage linéaires
- Partie 2: Relations d’étalonnage non linéaires
L’annexe A fait partie intégrante de la présente partie de l’lSO/rR 7066.
Les annexes B et C sont données uniquement à titre d’information.
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%SO/TR 70664:1997(F)
@ ISO
Introduction
L’une des premières Normes internationales traitant du sujet de
l’incertitude de mesure a été I’ISO 5168, Mesure de débit des fluides -
Calcul de l’erreur limite sur une mesure de débit,. publiée en 1978.
L’utilisation étendue de I’ISO 5168 à des applications pratiques a identifié
beaucoup d’améliorations à ses méthodes; celles-ci ont été incorporées
dans un projet de révision de cette Norme internationale, qui a reçu en
1990 un résultat de vote écrasant en faveur de sa publication.
L’ISO 7066-l d Évaluation de l’incertitude dans l’étalonnage et l’utilisation
des appareils de mesure du débit - Partie I : Relations d ‘étalonnage
linéaires, publiée en 1989, a été établie selon les principes indiqués dans
I’ISO 5168:1978. Le présent projet de révision de I’ISO 7066-I est
compatible à la fois avec le projet de révision de I’ISO 5168 et avec
I’ISO 7066-2:1988.
Toutefois, les projets de révision de I’ISO 5168 et de I’ISO 7066-I ont été
retenus de la publication pour quelques années; depuis, malgré de longues
discussions, aucun consensus n’a pu être obtenu sur le projet de version
d’un document développé par un Groupe de Travail du groupe technique
consultatif 4, Métrologie (ISOTTAG 4/GT 3). Le document du TAG 4, Guide
pour /‘expression de /‘incertitude de mesure, a été publié en 1993 (version
anglaise) et en 1995 (version française) comme document de base des
Directives ISO/CEI. Lors d’une réunion du Bureau de gestion technique en
mai 1995, il a été décidé de publier les révisions de I’ISO 5168 et de
I’ISO 7066-I comme rapports techniques.
Le présent document est publié comme rapport technique de type 1 au
lieu de Norme internationale car il n’est pas compatible avec le Guide pour
/‘expression de /‘incertitude de mesure. Une prochaine révision du présent
Rapport technique alignera ces deux documents.
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Page blanche
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RAPPORT TECHNIQUE @ ISO ISO/TR 7066=1:1997(F)
Évaluation de l’incertitude dans l’étalonnage et l’utilisation
des appareils de mesure du débit -
Partie 1:
Relations d’étalonnage linéaires
1 Domaine d’application
1.1 La présente partie de I’ISO 7066 décrit les procédures à utiliser pour déterminer la courbe d’étalonnage pour
toute méthode de mesure du débit, en conduites fermées ou en canaux découverts et d’évaluation de l’incertitude
correspondant à ces étalonnages. Elle traite également des procédures d’estimation de l’incertitude découlant des
mesurages obtenus à partir de la courbe résultante, ainsi que de celles servant au calcul de l’incertitude sur la
moyenne d’un certain nombre de mesures d’un même débit.
1.2 Seules les relations linéaires sont prises en considération dans la présente partie de I’ISO 7066; l’incertitude
associée à des relations non linéaires fait l’objet de I’ISO 7066-2. La présente partie de I’ISO 7066 ne s’applique
donc que si:
a) la relation entre les deux variables est elle-même linéaire,
ou
l’une des variables ou les deux peuvent être transformées de manière à créer une relation linéaire entre elles, par
exemple par le recours aux logarithmes,
ou
l’intervalle total peut être subdivisé de telle manière que la relation entre les deux variables puisse être considérée
comme linéaire dans chaque subdivision; et si
b) les écarts systématiques de la droite d’ajustement sont négligeables par rapport à I ‘incertitude associée à
l’observation des points isolés constituant la courbe.
NOTE - Des exemples d’application des principes contenus dans la présente partie de I’ISO 7066 sont fournis en annexes
B et C.
2 Références normatives
Les normes suivantes contiennent des dispositions, qui, par suite de la référence qui en est faite, constituent des
dispositions valables pour la présente partie de I’ISO 7066. Au moment de la publication, les éditions indiquées
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@ ISO
ISO/TR 7066=1:1997(F)
étaient en vigueur. Toute norme est sujette a révision et les parties prenantes des accords fondés sur la présente
partie de I’ISO 7066 sont invitées a rechercher la possibilité d’appliquer les éditions les plus récentes des normes
indiquées ci-après. Les membres de la CEI et de I’ISO possèdent le registre des Normes internationales en vigueur
à un moment donné.
ISO 772: 1996, Déterminations hydrométriques - Vocabulaire et symboles.
ISO 1 ioo-2:- 11, Mesure de débit des liquides dans les canaux découverts - Partie 2: Détermination de la relation
hauteur-débit.
ISO 4006: 1991, Mesure de débit des fluides dans les conduites fermées - Vocabulaire et symboles.
ISOnR 5168:- *), Mesure de débits des fluides - Calcul de l’incertitude.
ISO 7066-2: 1988, Évaluation de l’incertitude dans l’étalonnage et l’utilisation des appareils de mesure du débit -
Partie 2: Rela tiens d’étalonnage non linéaires.
3 Définitions et symboles
Pour les besoins de la présente partie de I’ISO 7066, les définitions et symboles donnés dans I’ISO 772 et
I’ISO 4006 et les définitions et symboles suivants s’appliquent.
3.1 Définitions
3.1.1 courbe d’étalonnage: Courbe tracée à travers les points obtenus par report de I’i ndica tion d onné e par un
fonction d’une grandeu r représentative du débit.
débitmètre en
limites de confiance: Limites supérieure et inférieure autour d’une valeur observée ou calculée à l’intérieur
3.1.2
desquelles est censée se trouver la valeur vraie avec une probabilité spécifiée, en supposant une erreur
systématique non corrigée négligeable.
3.1.3 coefficient de corrélation: Indicateur du degré de relation entre deux variables.
NOTE - Une telle relation pe ut être causale ou être assuree paf 1’ intervention d’une troisième variable, mais une décision sur
ce point ne peut être prise sur de seu les bases statistiques.
3.1.4 covariance: Moment de premier ordre calculé par rapport aux moyennes des variables, soit:
Cov(x, y) = [X(xi
- X)(Yi - $y(, - 1)
3.15 erreur de mesure: Terme générique correspondant à la différence entre la valeur mesurée et la valeur
réelle.
Cela comprend des composantes systématiques aussi bien qu’aléatoires.
imprévisible d’un mesurage à
3.1.6 erreur aléatoire: Composante de l’erreur de mesura ge qui varie de façon
l’autre
NOTE - Aucune correction n’est possible pour ce type d’erreur, que la cause en soit connue ou non.
3.1.7 erreur systématique: Composante de l’erreur de mesurage qui reste constante ou varie de manière
prévisible d’un mesurage à l’autre.
3.1.8 erreur aberrante: Erreur qui dénature totalement un mesurage.
De telles erreurs ont généralement une cause unique telle qu’un mauvais fonctionnement de l’instrument ou la
transcription incorrecte d’un ou de plusieurs chiffres relevés au mesurage.
1) À publier. (Révision de I’ISO 1100~21982)
2) A publier. (Révision de I’ISO 5168:1978)
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@ ISO ISO/TR 7066=1:1997(F)
3.1.9 fonction: Formule mathématique exprimant la relation entre deux variables ou plus.
3.1.10 droite d’ajustement: Droite tracée a travers une série de points de façon a minimiser la variante des
points par rapport à la droite.
3.1.11 résidu: Différence entre une valeur observée et la valeur correspondante calculée à partir de l’équation de
régression.
3.1.12 écart-type de l’échantillon [écart-type expérimental]: Mesure de la dispersion par rapport à la moyenne
d’une série de yt valeurs d’un mesurande et définie par la formule:
‘12
S(X) = x(-Xi - X)’ (n - 1
/ )l
[
échantil Ion de la population sous-jacente, la formule
NOTE - Si on considère les yt mesurages comme un ci-dessous fournit
de l’écart-type de la popu lation:
une estimation par échantillon
1/2
B= C(“i -py n
[ 11
3.1.13 limite d’erreur systématique: Composante de l’incertitude totale associée à l’erreur systématique. Sa
valeur n’est pas réductible par la réalisation d’un grand nombre de mesurages.
3.1.14 incertitude aléatoire: Estimation caractérisant l’intervalle de valeurs à l’intérieur duquel la valeur vraie du
mesurande est supposée se trouver avec un degré de confiance spécifié.
Son importance en terme de valeurs moyennes est réductible par la réalisation d’un grand nombre de mesurages.
3.1.15 variante: Mesure de la dispersion basée sur le carré moyen des écarts à la moyenne arithmétique et
définie telle que:
Var(x) = C(Xi - T)2/(n - 1)
3.2 Symboles
NOTE - Les symboles utilisés dans les exemples des annexes B et C relatifs aux mesures en canal découvert et en
e, lorsqu’ils diffèrent de ceux donnés ci-dessus, figurent au début de ces annexes.
conduite fermé
a Ordonnée à l’origine de la courbe d’étalonnage
& Pente de la courbe d’étalonnage
c Coefficient dans une équation pondérée des moindres carrés
C~V( ) Covariance des variables entre parenthèses
eR( ) Incertitude aléatoire sur la variable entre parenthèses
Limite d’erreur systématique sur la variable entre parenthèses
est 1
In Logarithme népérien
n Nombre de mesures utilisées pour établir la courbe d’étalonnage
Débit
f2
r Coefficient de corrélation
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lSO/TR 7066=1:1997(F)
Écart-type expérimental de la variante entre parenthèses
s( 1
Écart-type (erreur-type) des points par rapport à la meilleure droite d’ajustement
SR
t Coefficient de Student (obtenu à partir de l’lSO/rR 5168 ou de tout autre jeu de tables statistiques)
@me facteur de pondération dans les moindres carrés pondérés
wi
x Variable indépendante; variable soumise à l’erreur minimale
Variable dépendante; variable soumise à l’erreur maximale
Y
u Incertitude globale
UADD Incertitude utilisant le modèle additif; fournit une couverture comprise approximativement entre 95 % et
99 %
UADD = eS + eR
Incertitude par le modèle de combinaison quadratique; fournit une couverture approximative de 95 %
URSS
URSS = (es2 + eR2)“2
Rapport de l’écart-type de la variable indépendante, ou X, à celui de la variable dépendante, ou y
Y
A Différence entre une valeur observée et une valeur calculée
Moyenne de la population
ru
0 Écart-type de la population
8 Coefficient d’influente
NOTE - Dans un certain nombre de Normes internationales, l’incertitude aléatoi re eR et les limites d’erreur systématiques es
sont notées par les symboles Ur et Us ou B respectivement.
Indices et exposants
NOTE - Sauf indication contrai re, le signe c est utilisé, dans ce qui suit, pour représenter
n
c
i= 1
un trait suscrit (T) au-dessus d’un symbole correspond à la valeur moyenne de cette quantité; un accent circonflexe (A) au-
dessus d’un symbole correspond à la valeur de la variable donnée par l’équation de la courbe d’ajustement.
i ième valeur de la variable
ij @me valeur de la jéme catégorie
4 Généralités
4.1 Dans la majorité des étalonnages considérés dans la présente partie de I’ISO 7066, la relation entre les
variables est d’une nature fonctionnelle et est définie par une quelconque expression mathématique. Tout écart
des valeurs observées par rapport à cette relation peut alors être attribué aux erreurs de mesurage de types divers
qui peuvent influer sur l’une des variables ou sur les deux et qui peuvent être aléatoires ou systématiques ou
encore une combinaison des deux.
4
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ISO/TR 7066=1:1997(F)
0 ISO
4.2 Ainsi, le rôle de la procédure d’étalonnage est double: évaluation de la forme de la relation mathématique
sous-jacente et fourniture d’une estimation de l’incertitude associée à la droite d’ajustement.
4.3 Sur le plan pratique, il se trouvera des couples de valeurs (x, y) pour lesquels les incertitudes aléatoires et les
limites d’erreur systématique sur x et sur y auront été estimées au moyen de l’une des méthodes données à
l’article 5. Le choix de la procédure a utiliser dans le calcul des coefficients et de l’incertitude de l’équation
d’étalonnage dépendra de l’importance relative des composantes aléatoires e&) et eR(y).
4.4 Quand il sera possible de considérer que l’erreur sur l’une des deux variables est négligeable, les méthodes
exposées aux articles 8, 9 et 11 devront être utilisées, l’équation correspondante prenant alors la forme:
. . .
y=a+bx (1)
où
est la variable de m’oindre erreur,
x
a et b sont les coefficients de la droite d’ajustement à determiner.
Lorsque les deux variables sont sujettes a erreur et que x est la variable d’erreur moindre, il est toujours possible
d’avoir recours aux méthodes décrites dans les articles 8 et 9 si la variable x peut être fixée à des valeurs
prédéterminées durant l’étalonnage. Cette démarche est connue sous l’appellation de méthode de Berkson.
4.5 Une situation particulière se présente dans les cas où y est, dans les faits, constant et indépendant de X,
c’est-à-dire lorsque la droite d’ajustement est parallèle à l’axe des X. Dans ces cas les méthodes indiquées à
l’article 10 devront être utilisées pour l’estimation de l’incertitude.
4.6 Pour fournir les informations nécessaires au choix de la procédure d’ajustement adéquate, une étude
préliminaire des données est essentielle. II convient, en particulier, que celle-ci porte sur l’établissement des
incertitudes et des limites d’erreur systématique sur x et sur y et sur le bien-fondé de l’hypothèse de linéarité.
Lorsqu’on sait que la relation est curvilinéaire, il convient d’accorder une certaine attention à la possibilité de la
convertir en une forme linéaire, ce qui simplifie la manipulation ultérieure des données.
5 Incertitudes aléatoires et limites d’erreur systématique sur des mesurages isolés
5.1 Lors de la détermination des incertitudes aléatoires et des limites d’erreur systématique sur les deux
variables, il n’existe pas d’alternative aux procédures indiquées dans l’lSO/TR 5168. II convient, en première phase
de la procédure d’estimation, d’établir un tableau indiquant les diverses sources d’erreur sur chaque variable.
Celles-ci comprendront les erreurs sur les mesurages élémentaires a réaliser et dresseront séparément la liste des
éléments aléatoires et systématiques.
5.2 Pour différentes valeurs déterminées par mesurage direct, il est possible de déterminer l’incertitude aléatoire
associée à une valeur fixée du mesurande x par le calcul de l’écart-type expérimental à partir d’une série de IZ
mesurages, à l’aide de la formule:
. . .
(2)
s=[C(q -q2/(“4f2
ou bien:
. s = {[+F - (&)y+ - I)f2 . . .
(3)
puis en le portant dans:
eR(x) = B(x)
. . .
(4)
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lSO/TR 7066=1:1997(F) @ ISO
5.3 En effectuant les calculs ci-dessus, il convient de ne pas perdre de vue que le résultat obtenu peut varier
selon l’importance du y auquel x est mesuré. De la même manière, l’incertitude sur y, qu’il est possible de .
déterminer en substituant y à x dans la formule ci-dessus, peut, là encore, varier en fonction de la valeur de x à
laquelle il est mesuré. Puisque ces variations dictent la méthode à utiliser dans l’ajustement ultérieur de la courbe
d’étalonnage, il est essentiel que l’estimation de l’incertitude s’effectue à partir d’un nombre suffisant de points
pour permettre d’évaluer avec précision l’étendue des difficultés qui pourraient surgir.
Lorsqu’on obtient les différentes va leurs par la somme ou par la différe
54 . nce de plus ieurs me surages de
com posantes indépendantes, l’incertitude doit être déterminée par le cal cul de I ‘écart-type global, à partir de la
formule:
s(x) = [&(Xi)*]“* . . .
(5)
puis en portant ce résultat dans l’équation (4).
Dans d’autres cas, lorsqu’on obtient les variables a partir de fonctions plus complexes des constituants, tels que
des produits ou des quotients, ou encore quand les éléments sont en corrélation, l’écart-type global doit être
déterminé par la méthode indiquée en annexe A. La encore, l’incertitude peut s’obtenir en portant le résultat dans
l’équation (4).
5.5 L’évaluation de l’erreur systématique, plus difficile à réaliser, est décrite dans l’lSO/rR 5168. Même lorsque
toutes les sources connues ont été identifiées et prises en compte, il demeurera un certain nombre d’erreurs non
identifiées; auquel cas toute évaluation dépendra d’un jugement subjectif s’appuyant sur les faits dont on pourra
disposer, par exemple des étalonnages antérieurs, un historique, etc.
5.6 Quand les différentes valeurs proviennent de la somme de plusieurs composantes élémentaires, il peut surgir
certaines difficultés dans la détermination des limites d’erreur systématique globales, ceci dans la mesure où dans
la majorité des cas, le signe des composantes est inconnu. En l’occurrence, les erreurs doivent être combinées
quadratiquement par:
‘12
2
es = . . .
(6)
eS,i
c
r i 1
Lorsque des fonctions plus complexes sont en jeu, la limite d ‘erreur systématique es doit être obtenue à l’aide de la
méthode indiquée en annexe A, en remplaçant les termes d e variante par les termes nts.
eS,i* corresponda
5.7 La procédure d’estimation peut être considérée comme achevée lorsque toutes les sources d’erreur ont été
identifiées et évaluées et que les composantes individuelles ont été combinées pour fournir une évaluation de
l’incertitude aléatoire et des limites d’erreur systématique pour chaque variable.
6 Linéarité de la courbe d’étalonnage
6.1 Pour établir si une courbe d’étalonnage linéaire s’ajustera de façon convenable et non biaisée aux mesurages
observés, il est recommandé de procéder a une étude initiale. Parmi les méthodes possibles, les plus efficaces
sont celles qui reposent sur une étude visuelle des écarts des mesurages par rapport a la droite d’ajustement. II est
possible d’obtenir une approximation de celle-ci à l’aide de la méthode de Bartlett, décrite en 6.2 à 6.5.
6.2 Dans un premier temps, il convient de ranger les données par ordre croissant, selon les x ou selon les y et de
calculer les moyennes générales des deux variables a partir des équations:
. . .
F=CXi/?l; r=zyi/n (7)
6
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@ ISO ISO/TR 7066=1:1997(F)
Ensuite, il convient que les données soient réparties en trois groupes égaux et sans éléments communs, et les
moyennes des deux groupes extrêmes calculées comme précédemment. En les notant respectivement
~,l 7, et X3, &, la pente b de la droite approximative peut être obtenue par:
. . .
b=(& +/(x3 --FI) (8)
Puisque la droite doit passer par les moyennes générales T, y, l’équation de la courbe peut être obtenue à partir
.
.
de
. . .
(yi - y) = b(xi - F) (9)
ou, par substitution grâce à l’identité y - bX = a,
A
. . .
= a + bxi (10)
Yi
En dernier lieu, les résidus peuvent se déterminer à partir de la formule:
. . .
A(yi) = (yi - Fi) = (yi - a - bxi) (11)
Une autre solution pour parvenir à un ajustement plus précis est d’avoir recours a la méthode des moindres carrés
décrite a l’article 8, les résidus s’obtenant, là encore, a partir de l’équation (II ).
6.3 En guise de test préliminaire, il convient de ranger les résidus ainsi obtenus dans l’ordre croissant et de les
représenter graphiquement sous la forme d’une courbe de fréquence cumulative, et ce, sur du papier de Gauss. Si
les points sont placés sur une ligne plus ou moins droite, sans dénoter de courbure ou inflexion générale, les
données peuvent être considérées comme étant a peu près normalement réparties.
6.4 À ce stade, il est en outre opportun d’examiner les résidus exceptionnellement importants ou petits, ceci
dans la mesure où leur valeur peut considérablement modifier la position de la droite d’ajustement finale et ne peut
qu’accroître le degré d’incertitude. Pour faciliter l’identification de ces points aberrants, on peut recourir au test de
Grubb décrit à l’annexe E de l’lSO/TR 5168. II convient pourtant de souligner que, même lorsque le résultat du test
est positif, la décision de rejeter une observation doit toujours être prise sur des bases physiques valides et à la
suite d’une étude minutieuse de toutes les circonstances pertinentes. Lors de la prise de décision, il convient de
garder à l’esprit qu’il se peut très bien que le point soit exact et que la forte valeur du résidu soit due à un manque
de pertinence du modèle par rapport a l’observation. En outre, il ne faut pas perdre de vue que lorsqu’une
observation est rejetée, il sera nécessaire de recommencer l’ensemble de la procédure d’ajustement et de calcul
des résidus.
applicabl figure le tracé de la courbe des résidus (Ay) en fonction des valeurs
6.5 Parmi les autres t ests
es,
observées de la variable indé pendante X et des valeurs prévues (j> . Dans l’un ou l’autre cas, si:
( 1
a) la relation mathématique est adéquate;
la procédure d’ajustement a été correctement effectuée;
W
la variante ne se modifie pas de manière significative en fonction de X;
cl
il convient que les points se situent à l’intérieur d’une bande horizontale de largeur uniforme [figure 1 a)]. Les écarts
à partir de cette forme idéale peuvent se présenter sous une ou plusieurs des formes suivantes:
a) la bande forme une courbe nettement ascendante ou descendante [figure 1 b)], ce qui implique que la relation
est de forme curvilinéaire plutôt que linéaire;
b) un élargissement ou un rétrécissement progressif de la bande, celle-ci demeurant par ailleurs horizontale
[figure lc)], indiquerait que la variante n’est pas constante dans le domaine de mesurage et qu’il sera
nécessaire d’employer un quelconque procédé de pondération lors de la procédure finale d’ajustement;
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ISO/TR 70664:1997(F)
@ ISO
NOTES
I Une alternative à la pondération peut consister à transformer les données de manière à obtenir une variante uniforme. Par
exemple, si la variabilité croît en fonction de x, le tracé de logIo y en fonction de x ou de logIO y en fonction de logIO x peut
entraîner une variante uniforme de logIo y. En procédant à la transformation, il convient de prendre soin que la courbe
d’étalonnage reste linéaire.
2 II convient de noter que toute information des variables implique une pondération des données, ce qui peut conduire à une
courbe d’ajustement quelque peu différente de celle obtenue 21 partir des données originelles n’ayant pas subi de
transformation.
c) la bande se présente comme une droite uniforme de pente positive ou négative [figure 1 d)], suggérant ainsi la
présence d’une erreur, soit dans la procédure d’ajustement, soit dans le calcul ultérieur de y.
X
---me--m--m-----w-
X
X
xx xx
x x
” x X
v
A n A ”
A
x \
X)( )( )(-L-x
x x x\
x xx x
X -JL )(
X X
X,'0R
X X
WY ~~~-----~--~~~~-
'\X x'
.
X
X
c - T
a) Disposition correcte
b) Relation curvilinéaire, non linéaire
Z-
L
,y--'-x--x-
--
z-
L-
X
x xXxX
x x
X""
v v
n n n n
n
-x,-x- x x x xx x x
----
--
--
-,
Ix,
X
-*-
X
X
-
c) Variance non constante
d) Erreur de calcul
Figure 1 - Tracé de la courbe des résidus (y - y^) en fonction de x
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@ ISO ISO/TR 7066=1:1997(F)
7 Linéarisation des données
7.1 Lorsque les tests initiaux indiquent qu’une représentation optimale de l’étalonnage nécessite le recours à une
relation curvilinéaire, il convient d’examiner la possibilité de linéariser les données. L’avantage de cette opération
est que l’ajustement de la courbe d’étalonnage et la détermination de l’incertitude se font alors selon des
procédures relativement directes. Deux méthodes sont envisageables.
7.1.1 La première d’entre elles implique la transformation effective des données et ne s’applique que lorsque la
relation est de nat
...
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