ISO 3002-2:1982

Basic quantities in cutting and grinding — Part 2: Geometry of the active part of cutting tools — General conversion formulae to relate tool and working angles

This part of ISO 3002 deals with the establishment and application of the conversion formulae under the headings: definitions of the coordinate axes (based on ISO 841), definitions of the setting angles and motion angles, conversion formulae, pratical examples. Contains terms in English, French. Russian as well as the equivalent in German and Dutch.

Définitions de base pour la coupe et la rectification — Partie 2: Géométrie de la partie active des outils coupants — Formules de conversion générales liant les angles de l'outil en main et les angles en travail

General Information

• Status: Published
• Publication Date: 28-Feb-1982
• ICS: 01.060 - Quantities and units
• ICS: 25.100.01 - Cutting tools in general
• Technical Committee: ISO/TC 29 - Small tools
• Drafting Committee: ISO/TC 29 - Small tools
• Current Stage: 9093 - International Standard confirmed
• Start Date: 05-Jun-2025
• Completion Date: 14-Feb-2026

Overview

ISO 3002-2:1982 - "Basic quantities in cutting and grinding - Part 2: Geometry of the active part of cutting tools - General conversion formulae to relate tool and working angles" - provides a standardized method to convert between tool-centered angles (tool-in-hand) and working or process-centered angles (tool-in-use). The standard defines coordinate axes, sign conventions and general conversion formulae that are applicable to all cutting conditions. It also includes worked examples, transformation derivations and multilingual term lists.

Key topics

• Coordinate systems: Definitions of the tool-in-hand, tool-in-use and machine reference axes; axes and plane definitions are based on ISO 841 where applicable.
• Angle definitions: Clear definitions and sign conventions for the three setting angles (plan G, elevation H, roll L) and the three motion angles (plan M, elevation N, roll T).
• Conversion formulae: General direct and inverse transformation formulae (using Euler angles and transformation matrices) to calculate working angles from tool angles and vice versa.
• Auxiliary methods: Alternative method using components of feed speed and cutting speed when motion angles cannot be deduced from simple workshop data.
• Supporting material: Annexes with elaboration of formulae, methods for obtaining rotation/transformation matrices, and lists of equivalent terms (English, French, Russian; German and Dutch equivalents included).

Practical applications

• Tool setup and alignment on machine tools - converting specified tool angles into machine-setting positions.
• CAM programming and simulation - ensuring correct orientation of cutting edges relative to resultant cutting direction.
• Tool design and selection - evaluating active-part geometry in the context of intended cutting motions.
• Metrology and inspection - verifying that measured tool geometry corresponds to intended working angles.
• Process planning for turning, drilling, milling and other operations where orientation and resultant cutting direction affect cutting performance.

Who will use this standard

• Manufacturing and process engineers
• Tool designers and cutting-tool manufacturers
• CNC programmers and CAM engineers
• Machine-tool setup technicians and inspectors
• Researchers and educators in machining and abrasive processes

Related standards

• ISO 3002-1 - definitions of tool and working angles (referenced by this part)
• ISO 841 - machine tool axis/plane conventions used to define the machine reference system

ISO 3002-2 is valuable when accurate, reproducible conversion between tool geometry (tool-in-hand) and operational geometry (tool-in-use) is required for machining, grinding and tool development.

Standards Content (Sample)

International Standard
INTERNATIONAL ORGANIZATION FOR STANDARDIZATIONWvlE~YHAPO~HAR OPTAHM3AUMR l-l0 CTAH,QAPTM3A~blM.ORGANISATION INTERNATtONALE DE &ORMALISATION
Basic quantities in cutting and grinding -
Part 2 : Geometry of the active part of cutting tools -
General conversion formulae to relate tool and working
angles
Dbfinitions de base pour la coupe et la rectification
- Partie 2 : GtSom&rie de Ia Partie active des outils coupan ts - Formules de
conversion gh&a/es hant /es angles de l’outil en main et /es angles en travai/
First edition - 1982-03-01
-
UDC 621.9.013
Ref. No. ISO 3002/2-1982 (EI
Descriptors :
tools, cutting tools, geometrical characteristics, cutting angle, definitions.
Price based on 35 pages
Foaeword
ISO (the International Organization for Standardization) is a worldwide federation
of national Standards institutes (ISO member bodies). The work of developing
International Standards is carried out through ISO technical committees. Every
member body interested in a subject for which a technical committee has been set
up has the right to be represented on that committee. International organizations,
governmental and non-governmental, in liaison with ISO, also take part in the work.
Draft International Standards adopted by the technical committees are circulated
to the member bodies for approval before their acceptance as International
Standards by the ISO Council.
International Standard ISO 3002/2 was developed by Technical Committee
ISO/TC 29, Small tools, and was circulated to the member bodies in August 1977.
lt has been approved by the member bodies of the following countries :
Austria India South Africa, Rep. of
Belgium Ireland Spain
Bulgaria Israel Turkey
Chile Itaiy United Kingdom
Czechoslovakia Japan USA
Egypt, Arab Rep. of Korea, Dem. P. Rep. of USSR
France Mexico Yugoslavia
Germany, F.R. Netherlands
Hungary Romania
The member bodies of the following countries expressed disapproval of the
document on technical grounds :
Australia
Poland
0 International Organkation for Standardkation, 1982
Printed in Switzerland
ii
Contents
Page
0 I ntroduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1 Scope and field of application . . . . . . . . . . . . . . . . . . , . . . . . . . . . . . .
2 Definitions of the coordinate axes
............................
3 Definition of the setting and motion angles .
4 List of conversion formulae - General case .
5 Conversion formulae for cases where the working plane P,, coincides with
the assumed working plane P,
............................... 9
6 Practical examples. .
Annexes
A Elaboration of the conversion formulae . 16
B General method for obtaining the transformation matrices for elementary
rotations around the X, Y and Z axes . 23
C List of equivalent terms . 24
Figures . 25
. . .
Ill
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INTERNATIONAL STANDARD ISO 3002/2-1982 (E)
Basic quantities in cutting and grinding -
Part 2 : Geometry of the active part of cutti’ng tools -
General conversion formulae to relate tool and working
angles
0 Introduction
This part of ISO 3002 presents formulae which tan be used to convert tool angles to working angles and vice versa. The
formulae are general and tan be used for’all possible cutting conditions. Tool angles (angles in the tool-in-hand System) and
working angles (angles in the tool-in-use System) are defined in ISO 3002/1, together with the sign conventions for these
angles.
The tool-in-band reference System of planes (used to define tool angles) rotates with the cutting tool whenever the orientation
of the cutting tool is changed relative to the machine tool. Similarly, the orientation of the tool-in-use reference System of
planes (used to define working angles) changes with changes in the resultant cutting direction. lt is therefore necessary, in
Order to relate the tool-in-hand and tool-in-use reference System of planes, to relate both of them to a third reference System
of planes, the machine reference System of planes, which does not rotate when the tool is re-oriented or when the resultant
cutting direction changes.
The relationship between the tool-in-hand and the machine reference Systems of planes defines the setting of the tool in the
machine. The relative Position of the tool-in-use and the machine reference Systems of planes is defined by the motion of the
tool relative to the workpiece.
Certain general principles have been taken into consideration for the establishment of the conversion formulae :
a) The definitions of the machine reference System of axes as defined in ISO 841 have been adopted.
on the cutting edge and at a given
b) The origin of each coordinate System is considered to be at the “selected Point”
moment in time.
c) Transformation angles are defined in such a manner as to be computable readily from available Workshop data.
1 Scope and field of application
This part of ISO 3002 deals with the establishment and application of the conversion formulae under the following
headings :
a) Definitions of the coordinate axes for the tool-in-hand and for the tool-in-use derived from the appropriate planes
defined in ISO 3002/1. Definitionsl for the machine axes and planes are based on ISO 841.
b) Definitions of the setting angles and motion angles.
c) Conversion formulae.
d) Practical examples.
NOTE -- In addition to the terms given in the three official ISO languages (English, French, Russian), this part of ISO 3002 gives the equivalent
terms in German and Dutch; these terms have been included at the request of Technical Committee ISO/TC 29, and are published under the
responsibility of the committee members for Germany, F.R. (DIN) and the Netherlands (NN% However, only the terms given in the official
languages tan be considered as ISO terms.

ISO 3002/2-1982 (E)
2 Definitions of the coordinates axes
2.1 Tool-in-hand and tool-in-use axes
Axes are defined for the tool-in-hand using the tool-in-hand reference System of planes and for the tool-in-use using the
tool-in-use reference System of planes. The axes are defined by the intersection of planes; the appropriate pairs of planes are
given in parentheses below.
2.1.1 Tool-in-hand axes
f-Set of coordinate axes : X, (P, P,), Y, (Pp P,),Z, (Pf Pr).
The Xf-axis is positive in a direction which is away from both the reference corner at the tool, (as defined in ISO 3002/1)
and the assumed machined surface; the Y,-axis is positive in a direction opposite to the assumed direction of primary motion;
the Z,-axis is positive in a direction away from the assumed transient surface on the workpiece. [See figures 1 and 2.1
NOTE -The resul ting defined axes may confer m to either a right hand or a left hand coordinate axis System depending upon the type of
tool considere d, its intended use and the location of the sel ected poin t on the cutting edges.
In a similar way, other sets of tool-in-hand axes tan be defined. However, for the practical application of the transformation
formulae, only the f-set of coordinate axes is required. Therefore, in what follows, the more general term “tool-in-hand
axes” will be used to designate the “f-set of coordinate axes”.
NOTE - For a given tool, the set of tool-in-hand axes is unique. The axes are determined only by the Operation the tool is “assumed” to
perform (for exampie, for a cylindrical turning tool, the tool-in-hand axes do not Change relative to the tool when the tool is used for a facing
Operation).
2.1.2 Tool-in-use axes
f,-Set of coordinate axes : X,, (Pr, Pr,,), Y,, (P,, P,,), Z,, (Pf, Pr&
Similarly in this System, the Xfe-axis is positive in a direction which is away from both the reference corner at the tool,
(as defined in ISO 3002/1) and the assumed machined surface; the Y,,-axis is positive in the direction opposite to the
resultant cutting direction; the Z,,-axis is positive in a direction away from the transient surface on the workpiece. [See
figures 1 and 2.1
NOTE - The resulting defined axes may conform to either a right hand or a left hand coordinate axis System depending upon the type of
tool considered, its intended use and the location of the selected Point on the cutting edges.
In a similar way, other sets of tool-in-use axes tan be defined. However, for the practical application of the transformation
formulae, only the f,-set of coordinate axes is required. Therefore, in what follows, the more general term “tool-in-use axes”
will be used to designate the “f,-set of coordinate axes”.
NOTE - The orientation of the tool-in-use axes, relative to the tool, may vary depending on the resultant cutting di rection and the orientation
tool in the machine.
of the
2.2 Definitions of the machines axes and planes
For each type of machine tool, a machine reference System of axes is defined in ISO 841.
suitable for direct use in this part of ISO 3002, however, it has been used
Unfortunatel defined axis nomenclature is not
Y, the
System of pl anes.
to determine the or ,ientation of a machine reference
With the tool in its “zer-0 position”
in the machine such that the tool-in-hand reference System of planes (P,-P,-P,) coincides
with the machine reference System of planes (defined by the X-Y-Z axes of ISO 841) and with the tool in its “most natura1
Position”, SO that the assumed working plane P, is oriented to be parallel to the direction of component feed motion
predominant in the particular machining Operation considered, a set of fixed machine setting axes (X,-Y,-Z,) is defined
to coincide with the tool-in-hand axes. Thus, with the tool in its “zer-0 position” :
-
machine setting axis X, coincides with tool-in-hand axis X,;
-
machine setting axis Y, coincides with tool-in-hand axis Y,;
-
machine setting axis Z, coincides with tool- in-hand axis Zf.
ISO 3002/2-1982 (E)
Definition of the setting and motion angles
TWO sets of three angles (Euler angles) are required, one set to define the orientation of the tool-in-hand axes (X,, Y,, Z,) in
relation to the machine setting axes (X,, Y,, ZJ (see figure 3) and the second set to define the orientation of the tool-in-use
Yf,, Zr,) in relation to the same machine setting axes (see figure 4).
axes (X,,,
lt should be noted that the first set of angles corresponds to the practical procedure of positioning the tool with a classical
tool holder [see figure 31.
In some practical cases the second set of angles is not directly related to the available Workshop data. For these cases an
alternative way of proceeding is outlined in 3.3, using the components of feed Speed and cutting Speed with respect to the
machine setting axes in Order to evaluate the auxiliary angles in 4.3.
3.1 The setting angles
The Position of the tool-in-hand reference System of planes defined by X,, Y,, Z,, with respect to the machine reference
System of planes defined by X,, Y,, Z, is determined by three angles : the plan setting angle G, the elevation setting
angle H, the roll setting angle L. The definitions of these angles are given below. The setting angles are illustrated in
figures 3 a) and 3 b). lt is assumed that the tool is initially in its “Zero” Position on the machine tool, such that the tool-in-
hand reference System of planes coincides with the machine reference System of planes and the tool is in its “most natural”
Position on the machine tool (see 2.2). The tool is then rotated successively through the angles G, H, L, as illustrated by the
graduated scales of the tool holder shown in figure 3 a). The angles G, H, L thus define the positioning of the tool-in-hand
reference System of planes with respect to the machine reference System of planes.
The angles embod ied in the
be applied in any Order; however, the following explanations of the rotations which are
maY
definitions assu m e that the angles are applied in the seque nee G, H, L.
3.1.1 The plan setting angle G
The an
between the a ssumed working plane P, in its ze ro Position and the assumed working plane P, in its final Position,
gie
measu r ,ed i n the tool refe rence pl ane P, in its zer 0 position.
lt corresponds to a rotation around the machine setting Y, hand coordinate
-axis. Performing this rotation Causes the tool-in-
axes to take up an intermediate Position in which they are designated Xi, Y,, Zi. [See figures 3 a) and 3 b).]
The sign convention is defined thus :
Increasing the plan setting angle G in the positive direction decreases the angle ~~~ and increases the angle &,.
3.1.2 The elevation setting angle H
The angle between the mac hine setti ,axis and its p rojection on the final Position of the assumed working plane P, of
w y,-
tion around the intermedi ate Z;-ax
the tool. I t corresponds to a rota is.
This rotation gives the final Position of the tool-in-hand X,-axis an intermediate Position of the tool-in-hand Y,-axis which
is designated Y;,
and Z; is unchanged. Thus, the tool-in-hand axes in this second intermediate Position are designated
x,, y;, Zi.
The sign convention is defined thus :
Increasing the elevation setting angle H in the positive direction increases the angle y,, in the positive direction.
3.1.3 The roll setting angle L
The angle betw een the tool reference plane P, in its zero Position and the tool reference plane P, in its final position and
n the assumed working plane P, in its final Position.
measu red
It corresponds to a rotation around the final tool-in-hand X,-axis. This rotation gives the final Position of the tool-in-hand
axes X,, Y,, Z, in relation to the machine reference axes.
The sign convention is defined thus :
Increasing the roll setting angle L in the positive direction increases the angle CY+.

ISO3002/2-1982( E)
3.2 The motion angles
The Position of the tool-in-use reference System of planes defined by X,,,
Y,,, Zfe with respect to the machine reference
System of planes defined by X,, Y,, Z, tan be determined by three angles : the plan motion angle M, the elevation motion
angle N and the roll motion angle T. An alternative method of determining the relative positions is described in 3.3. The
definitions of the motion angles are given below. lt should be noted that the orientation of the tool-in-use reference System of
planes relative to the machine reference System of planes is determined by the direction and magnitudes of cutting Speed and
feed Speed.
The motion angles are illustrated in figure 4. Assume a set of coordinate axes x, y, z, initially coincident with the set of the
machine axes X,, Y,, Z, and which tan be made coincident with the tool-in-use axes X,., Y,,, Z,, by means of three
Eulerian rotations.
3.2.1 Plan motion angle M
The angle between the Y,
-Z, machine plane and the working plane P,, measured in the X,--Z, machine plane. lt
corresponds to the auxiliary coordinate System x, y, z being rotated through angle M about the machine setting Y,-axis
into an intermediate Position. The coordinate axes in this intermediate Position are designated x’, Y,, z’ (see figure 4).
The sign convention is defined thus :
Increasing the plan motion angle /M in the positive direction increases the angle K,, and decreases the angle \Ilre,
In conventional turning, /M is the angle between the rotational axis of the workpiece and the direction of feed motion, thus :
- for cylindrical turning M = 0 (see figure 5);
T
/M =-;
- for turning a cone with top angle T :
- for most other operations the plan motion angle M is equal to Zero.
3.2.2 Elevation motion angle N
The angle between the machine setting Y, -axis and its projection on the working plane P,,.
lt corresponds to the intermediate coordinate System being rotated about the “Z”‘axis from its Position x’, Y,, z’ into a
fe, y’, z’. This
second intermediate position. The coordinate axes in this second intermediate Position are designated X
rotation gives the final Position of the X,, -axis and an intermediate Position of the y’-axis. The designation of z is unchanged
since rotation is about this axis.
The sign convention is defined thus :
lncreasing the elevation motion angle N in the positive direction decreases the angle y,, in the positive direction.
In conventional cylindrical turning, if the selected Point on the cutting edge has an offset height h below the rotational
axis [see figure 5 b)], the angle N is found from
2h
sinN =d
where d is the effective diameter of the workpiece at the selected Point on the cutting edge.
In drilling, N is equal to the elevation setting angle H, since for this Operation the assumed working plane P, and the working
plane P,, remain coincident and N and H are the angular Position of a radius, drawn through the selected Point, with respect
to the zero Position.
In most cases, the elevation motion angle N is Zero.
3.2.3 Roll motion angle T
measured in the working plane P,,.
The angle between the X, -Z, machine plane and the working reference plane Pr,
lt corresponds to a rotation about the Xfe-axis of the second intermediate System X,,, y’, z’ into the tool-in-use System
xf,f yf,f Zf,.
The sign convention is defined thus :
Increasing the roll motion angle T in the positive direction decreases the angle afe.

iSO3002/2-1982( EI
In conventional turning (cylindrical, conical, plunge and face turning), if the direction of primary motion is parallel to the
machine Y,-axis, it is the angle between the direction of primary motion and the resultant cutting direction (i.e. resultant
cutting Speed angle q),
f
=-
tg T
nd
where
d is the effective diameter, in millimetres, of the workpiece at the selected Point on the cutting edge;
f is the feed, in millimetres per revolution.
In roll (slab) milling and face milling, it is the sum of the roll setting angle L and the resultant cutting Speed angle q (See
figure 6).
In drilling, T is equal to the resultant cutting Speed angle q.
of planes to the machine reference
33 Alternative metho d of relating the tool-in-use reference System
&S tem of planes
lf the value of the motion angles cannot be deduced easily from available Workshop data (i.e. conical turning with a non-
centred cutting tool) the Position of the tool-in-use reference System of planes defined by X,., Y,,, Z,, with respect to the
machine reference System of planes defined by X,, Y,, Z, tan be determined form the X,, Y, and Z, components of
the feed Speed yf and cutting Speed v,, which are designated :
components of feed Speed (v,)X (vf),, (vf)=
m’ m’ m
components of cutting Speed (v& (I&, (v&
m’ m’ m
and used to evaluate auxiliary angles as presented in 4.3.
4 List of conversion formulae - General case
Direct transformation is the expression giving the working angles as a function of the tool angles, setting angles and motion
angles. Inverse transformation is the expression giving the tool angles as a function of the working angles, setting angles and
motion angles.
In the equations, auxiliary angles are used and are listed in 4.3. They are designated by the general notation (i, j) and are
defined as functions of the tool setting angles and the motion angles (respectively components of feed Speed and cutting
Speed).
Although the expressions are complex, in practice usual ly to
they are simplified considerably since certain angles are equal
either zero or 90”.
In addition to the conversion formulae below, the table “Relations between the angles in the ‘tool-in-hand System’ ” included
in 6.6 of ISO 3002/1 should be used. The same table tan be used for the working angles provided that the suffix ‘Ie“ is
added to all angles.
4.1 Direct transformation (working anglers as a function of tool angles)
4.1.1 Working cutting edge inclination
COS (3,2)
sin h = Cash, sin Kr cos (I,2) -+ sin x, cos (2,2) - cos As CoSK
r
se
4.1.2 Working cutting edge angle
COS~ssinK,cos(l,l) +sir$ cos(2,1)-COShsCOSKrC0S(3,1)
tCJKre = -
cos h, sin K~ cos (1,3) -t- sin hs cos (2,3) - cos As cos K~ cos (3,3)
c
ISO 3002/2-1982 (E)
4.1.3 Working normal rake
’ I
=- ,[-siny, sinh,sinq +cosy, ~~~K~]cos(I,~) +
sin Y”,
cos Ase
i- [sin y, sin h, cos K i- cosy, sin KJ cos (3,2) + sin y, cos AS cos (2,2) )
r
Alternatively :
-‘y,) = [COSK~ cos (1,I) + sinKr cos (3,1)] cosKre
-k [cos K~ cos (1,3) 4- sin Kr cos (3,3)] sin Kre
‘Os (Yn e
NOTE - To make use of this latter relationship it is essential to have previous knowledge of whether the working normal rake is [arger or
smaller than the tool normal rake.
4.1.4 Working normal clearance
’ I
sin a, cos Kr -COscYn sin& sinK,]cos(I,2) +
cos an e
=- ,[
cos Ase
+ sin q-, sin Kr] cos (3’2) + cos o+, cos h, cos (2’2) )
+ [cosq, sinh, COSKr
Al ternatively :
-an) = [COSK~ cos (1,l) -t sinq cos (3,1)] COSKre -k [cos K, cos (1'3) i- sin Kr cos (3,3)] sin ~~~
cos bne
NOTE - To make use of this latter relationship it is essential to have previous knowledge of whether the working normal clearance is larger or
smaller than the tool normal clearance.
lt should be further noted that if either the working normal rakey,, or the working normal clearance ane has been determined,
the other tan be derived from the relationship :
ane + ß,, + Yne = ‘O” and P,e = ßn
4.1.5 Working side rake
tg yf cos (3,3) + tg y, cos ( 1’3) - cos (2,3)
-
ClYf, -
cos (2,2) - tg yf cos (3,2) - tg y, cos (1’2)
4.1.6 Working back rake
tg yf cos (3,l) + tg y cos(I,l) -cos(2,1)
WY,, =
cos (2,2) - tg yf cos (3,2) - tg yP cos (1,2)
4.1.7 Working side clearance
ctg cyf cos (3’3) -t ctg cy, cos ( 1’3) - cos (2’3)
ctg a),, =
cos (2’2) - ctg af cos (3’2) - ctg cyP cos ( 1’2)
4.1.8 Working back clearance
ctg cyf cos (3’1) + ctg cIP cos (1'1) - cos (2'1)
ctg CYpe =
cos (2'2) - ctg af cos (3,2) - ctg CU, cos ( 1’2)
4.2 Inverse transformation (tool angles as a funetion of working angles)
4.2.1 TOOI cutting edge indination
sin X, = cos X,, sin tc,, cos (2,1) + sin hS, cos (2,2) - cos X,, cos K,, cos (2’3)
4.2.2 Tool cutting edge angle
cos (1,l) + sinhs, COS (1'2) - COS x,, COS Kre COS (1’3)
tgKr = -
cos (3,1) + sin XSe cos (3,2) - cos X,, cos K,, cos (3’3)
ISO 3002/2-1982 (E)
4.2.3 Tool normal rake
1 I
sin y, = - \ [- sin y,, sin XS, sinK,,-+ COS& COSKre] COS (21) +
cos h
S
sin X,, cosKre +cosy,. sin KJ cos (2,3) + sin y,, cos X,, cos (2,2) I
+ bw,,
Alternatively, the tool normal rake T,., may be derived from the expression for cos (y,, -7,) which is listed in 4.1. However,
to use this relationship it is essential to have previous knowledge of whether the tool normal rake is larger or smaller than
the working normal rake.
4.2.4 Tool normal clearance
1 I
=-
cos a, -Cosa,, sinXse sinKre + sinar,, cosK,J cos (2,l) t
\[
cos h,
\
sin K,,] cos (2,3) + cos cy,, cos X,, cos (2,2),
+ [cosane sin X,, cos K,, + sin ane
Alternatively, the tool normal clearance cy, may be derived from the expression for cos (ane -a,) which is listed in 4.1.
However, to use this relationship it is essential to have previous knowledge of whether the tool normal clearance is larger
or smaller than the working normal clearance.
It should be further noted that if either the tool normal rake or tool normal clearance has been determined, the other tan
be derived from the relationship :
an + p, + y, = 90”
and P” = P,,
4.2.5 Tool side rake
tg yf, cos (3,3) + tg y,, COS (3,~ ) - COS (3,2)
tgY, =
- tg yf, cos (2,3) - tg y,, cos (21) + cos (2,2)
4.2.6 Tool back rake
tgy,, cos (1,3) + tg+y,, cos (1,l) -cos (L2)
WY, =
- tg yf, cos (2,3) - tg y,, cos (Zl) + cos (2,2)
4.2.7 Tool side clearance
ctg afe cos (3,3) + ctg spe cos (3,l) -cos (3,2)
ctg cyf = -
- ctg CYAN cos (2,3) -ctg cw,, cos (2,l) + cos (2,2)
4.2.8 Tool back clearance
CtgCYQOS (1,3) + CtgO!p~COS (1,l) -cos(1,2)
ctg cr, =
--ctg afe cos (2,3) -ctg cy,, cos (2,l) + cos (2,2)
4.3 Auxiliary angles
The geometrical meaning of the auxiliary angles (i, j) is as follows :
The angle (1 ,l) is the angle between the axes X, and X,,
The angle (2,l) is the angle between the axes Y, and X,,
The angle (3,l) is the angle between the axes 2, and X,,
The angle (1,2) is the angle between the axes X, and Y,,
The angle (2,2) is the angle between the axes Y, and Y,,

ISO 3002/2-1982 (E)
The angle 3,2) is the angle between the axes 2, and Y,,
The angle 1,3) is the angle between the axes X, and Z,,
2,3) is the angle between the axes Y, and Z,,
The angle
The angle 3,3) is the angle between the axes Z, and Z,,
The values of cos (i, j) tan be expressed as a combination of the cosines of the angles between the tool-in-hand axes (X,,
Y,, Z,) and the machine setting axes (X,, Y,, Z,) on one hand and the cosines of the angles between the tool-in-use
Y,,, Zf,) and the machine setting axes (X,, Y,, Z,) on the other hand :
am W,,,
cos(l,l)=cos(X,,X,)cos(Xfe,Xm) +cos(X,,YJcos(X,,,Y,) +cos(X,,Z,)cos(X,,,Z,)
cos(2,1)=cos(Y,,Xm)cos(Xfe,Xm) +cos(Y,,Ym)cos(Xfe,Ym) +cos(Y,,Z,)cos(X,,,Z,)
cos (3,l) = cos (Z,,X,) cos (Xfe,Xm) + cos (Z,, Y,) cos Mf,, Y ) + cos (Z,, z, 1 cos (Xfe,Zm 1
m
cos (1,2) = cos (X,, X, ) cos (Y,,, X,) + cos (X,, Ym) cos (Y,,, Y,) + cos (X,, Z, ) cos (Y,,, Z, )
cos (2,2) = cos (Y,, x, ) cos (Y,,, X,) + cos (Y,, Y, 1 cos (Y,,, Y,) + cos (Y,, z, 1 cos (Y,,,Z,)
cos (3,2) = cos (Z,,Xm) cos (Y,,,X,) + cos (z,, y,) ~0s (yfe, y,) + cos (z,,z,) cos (y,,,z,)
cos (1,3) = cos (X,, X, ) cos (Z,,, X,) + cos (X,, Ym ) cos (Zf,, Y,) + cos (X,,Z, 1 cos Efe,Zm 1
cos (2,3) = cos (Y,, X,) cos (Z,,, X, ) + cos ( y,, y,) cos (Z,,, Y, ) + cos (Y,, z, 1 cos (Z,,,Z, 1
cos (3,3) = cos (Z,, X,) cos (Z,,, X,) + cos (Z,, y, 1 cos IZ,,, Y,) + cos (z,, z, 1 cos (Z,,, Z,)
The angles between the tool-in-hand axes and machine setting axes tan be expressed as a function of the setting angles :
cos(X,,X,) = cosG cosH
cos (X,, Y,) = sin H
cos(X,,Z,)=-sinGcosH
cos(Y,,X,)=-cosGsinHcosL +sinGsinL
cos (Y,, Y,) = COSH COSL
COS (Y,,Z,) = sin G sin H cos L + cos G sin L
cos (Z,,X,) = cos G sin H sin L + sin G cos L
Cos(Z,,Y,)=-cosHsinL
cos(Z,,Z,)=-sinGsinHsinL +cosGcosL
different ways : as a
between the tool- ,in- use axe 1s and the machine setting axes tan be expressed in
The angles
feed Speed (2nd
function of the motion angles st way) or as a fu nction of the CO Impon ents of cutting Speed Wad.
(1
1st way
cos (X,,, x, ) = cos M cos N
Y,) = sinN
cos Mf,,
cos (X,,, Z, ) = - sin M cos N
COS(Y,~,X )=-cosMsinNcosT+sinMsinT
m
v,) =cosNcosT
cos w,,,
COS &,Z,) = sinM sinN cos T + cosM sin T
COS (Z,,, X,) = cosM sin N sin T + sin M COS T
cos (Z,,, Y,)=-cosNsinT
COS (Z,,,Z,) = - sinM sinN sin T + cosM COS T
ISO 3002/24982 (E)
2nd way
( 1 - b& (Vf)Y,
(Vf )z
vc Y,
m m
cos txfe, xm 1 =
Isin cp v, vf 1
( ) (Vf)Xrn - k)J(, (Vf)Zrn
” 2,
cos lxf,, ‘m) =
Isin cp vc Vf l
( ) bf)ym - k)y, (Vf)J(,
vc Xm
cos lxfe, zm) =
bin v v, Vf I
( vc ) x, + (Vf)Xm
cos (v,,,X,) =-
1 I
%
( vc 1 y, + (Vf)Ym
cos (Y,,, Y,) = -
I I
%
( 1
Vc z, + lVf)Zm
cos (Y,,, Z,) = -
I I
%
cos (z,,, x, ) = cos IX,,, ym 1 cos ( yf,,‘zm 1 - cos txfetzm ) cos ( yf,, ym )
cos E,,, Y,)=cos(x,,,zm)cos(Y,,,xm)-cos(x,,,xm)cos(Y,,,zm)
cos tzfetzm 1 = cos txf,, xm 1 cos ( yf,# ym 1 - cos txf,I ym ) COS ( yfe, xm)
The product sin q vc vf tan either be computed directly or tan be derived from the following expression :
lsinqv, vfl=
kJym (Vf)Z, -k)zm ym] 2 + @zm bf)X, -(v,)x, -/[
where
q is the feed motion angle;
is the magnitude of the cutting Speed;
vC
vf is the magnitude of the feed Speed.
the selected Point on the cutting
NOTE - In certain cases, depending upon the type of tool considered, its intended use and the location of *
ected Point located on the minor
edge (for example, for a selected Point located on the major cutting edge of a L.H. turning tool or for a sel
(q)z - (v,)z (vf)~ ] may be negative.
cutting edge of a R.H. turning tool), the value of the term [(v,) Y
m m m m
In such cases Isin q vc vfl shouid be replaced by - Isin rp V, vfl in all formulae.
The resulting cutting Speed v, tan be derived from
v, =
I I
( 1 + (Vf)x,
vc x,
] 2 + ~vc’ym + (Vf)Ym] 2 + [tvC)z, + (Vf)zm] 2
IN
5 Conversion formulae for cases where the working plane Pf, coincide with the assumed
working plane P,
5.1 Applications
The types of cutting operations in which the working plane P,, and the assumed working plane P, are coincident arc :
-
all drilling and similar processes;
-
most milling operations;
-
most plunge turning operations and certain conventional cylindrical turning operations.
ISO 3002/2-1982 (E)
If the plane Pfe coincides with the plane P,, the setting and motion angles have the following relationships : the plan setting
angle G may have an arbitrary non-zero value, but it is always indentical to the plan motion angle M, i.e.
Gdld . . .
(1)
The same is true for the elevation setting angle H and the elevation motion angle N, i.e.
HrN . l .
(2)
The roll setting angle L and the roll motion angle T are arbitrary and are not directly related.
From relationships (1) and (2) above, the evaluation of the auxiliary angles Iisted in 4.3 gives :
cos (1,2) = 0 cos(1,3) =o
cos(l,l) = 1
cos (2,2) = cos (T-6) cos (2,3) = - sin (T- 6)
cos (2,l) = 0
cos (3,3) = cos (T-6)
cos (3,l) = 0 cos (3,2) = sin (T- 6)
In the machining operations listed above, the roll setting angle L and the roll motion angle T are the only ones required for
the conversions. The angle (T- L) is the angle between the assumed direction of primary motion (Y,-axis) and the resultant
cutting direction (Y,,-axis).
NOTE - From the expressions of the auxiliary angles and the physical meaning of the angle (T- L), it follows that the tool-in-hand axes and
tool-in-use axes are directly related to each other without using the machine setting axes. Therefore, the “Zero Position” of the tool on the
machine need not be defined for the machining operations listed above.
5.2 Direct transformation
By substituting the above values for the auxiliary angles in the general conversion formulae, we have :
sin hSe
~sinhScos(T-L)-cosX,cos~rsin(T-L)
Cos X, sin K
wre =
sir-$sin(T-L)+cosX ct&~o~(T--L)
S
sinyne = -
] (sin& sin+os~~ +cosyn sinicr) sin(T-L) +siny, cosh,cos(T-L)]
cos h,,
5.3 Inverse transf
...

Norme internationale @ 300212
INTERNATIONAL ORGANIZATION FOR STANDARDIZATIONOMEWYHAPOllHAR OPrAHH3AUHfl no CTAHIIAPTH3AUHM.ORGANlSATlON INTERNATIONALE DE NORMALISATION
Définitions de base pour la coupe et la rectification -
Partie 2 : Géométrie de la partie active des outils
coupants - Formules de conversion générales liant
les angles de l'outil en main et les angles en travail
Basic quantities in cutting and grinding - Part 2 : Geometry of the active part of cutting tools - General conversion formulae to
relate tool and working angles
Première édition - 1982-03-01
-
CDU 621.9.013 Réf. no : IS0 3002/2-1982 (FI
z
A Descripteurs : outil, outil de coupe, caractéristique géométrique, angle d'attaque, définition.
35 pages
Prix basé sur
Avant-propos
L’ISO (Organisation internationale de normalisation) est une fédération mondiale
d’organismes nationaux de normalisation (comités membres de I’ISO). L’élaboration
des Normes internationales est confiée aux comités techniques de I‘ISO. Chaque
comité membre intéressé par une étude a le droit de faire partiedu comité technique
correspondant. Les organisations internationales, gouvernementales et non
gouvernementales, en liaison avec I‘ISO, participent également aux travaux.
Les projets de Normes internationales adoptés par les comités techniques sont
soumis aux comités membres pour approbation, avant leur acceptation comme
Normes internationales par le Conseil de I’ISO.
La Norme internationale IS0 3002/2 a été élaborée par le comité technique
lSO/TC 29, Petit outi//age, et a été soumise aux comités membres en août 1977.
Les comités membres des pays suivants l’ont approuvée :
Afrique du Sud, Rép. d’ France Roumanie
Allemagne, R.F. Hongrie Royaume-Uni
Autriche Inde Tchécoslovaquie
Belgique Irlande Turquie
Israël
Bulgarie URSS
Chili Italie
USA
Corée, Rép. dém. p. de Japon
Yougoslavie
Egypte, Rép. arabe d’ Mexique
Espagne Pays-Bas
Les comités membres des pays suivants l’ont désapprouvée pour des raisons
techniques :
Australie
Pologne
O Organisation internationale de normalisation, 1982 0
Imprimé en Suisse
II
Sommaire Page
O Introduction . 1
1 Objet et domaine d'application . 1
2 Définitions des axes de coordonnées . 1
3 Définition des angles de position et des angles de mouvements . 2
4 Liste des formules de conversion - Cas général . 5
5 Formules de conversion pour les cas où le plan de travail, P,. coïncide avec
le plan de travail conventionnel P, . 9
6 Exemples pratiques . 10
Annexes
A Elaboration des formules de conversion . 16
B Méthode générale pour obtenir les matrices de transformation de rotations
élémentaires autour des axes X. Y et Z . 23
C Liste des termes équivalents . 24
Figures . 25
...
Ill
NORME INTERNATIONALE IS0 3002/2-1982 (F)
Définitions de base pour la coupe et la rectification -
Partie 2 : Géométrie de la partie active des outils
coupants - Formules de conversion générales liant
les angles de l'outil en main et les angles en travail
O Introduction
La présente partie de I'ISO 3002 présente des formules pouvant être utilisées pour convertir les angles de l'outil en angles en
travail et vice-versa. Les formules sont générales et peuvent être utilisées pour toutes les conditions de coupe possibles. Les
angles de l'outil (angles dans le système de l'outil en main) et les angles en travail (angles dans le système de l'outil en travail)
sont définis dans I'ISO 3002/1, ainsi que les conventions de signes pour ces angles.
Le système de référence de l'outil en main (utilisé pour définir les angles de l'outil) pivote avec l'outil chaque fois que
l'orientation de l'outil par rapport à la machine-outil est changée. De la même façon, l'orientation du système de référence
de l'outil en travail (utilisé pour définir les angles en travail) change quand la direction résultante de coupe change. C'est
pourquoi, afin de lier les systèmes de référence de l'outil en main et de l'outil en travail, il est nécessaire de passer par un
3e système de référence, le système de référence de la machine, qui ne pivote pas quand l'outil est réorienté ou quand la
direction résultante de coupe change.
L'orientation relative des systèmes de référence de l'outil en main et de la machine définit le positionnement de l'outil sur la
machine. L'orientation relative des systèmes de référence de l'outil en travail et de la machine est définie par le mouvement
de l'outil par rapport à la pièce.
été pris en considération pour I'établissement des formules de conversion :
Certains principes généraux ont
Les définitions des axes dans le système de référence de la machine de I'ISO 841 ont été adoptées.
a)
b) L'origine de chaque système de coordonnées est prise au ((point considéré)) de l'arête et à un moment donné dans le
temps.
Les angles de transformation sont définis de façon a être calculés facilement a partir des données d'atelier.
c)
1 Objet et domaine d'application
La présente partie de I'ISO 3002 a pour objet I'établissement et l'application des formules de conversion; elle est composée
des chapitres suivants :
-
a) Définitions des axes de coordonnées pour l'outil en main et l'outil en travail dérivées des plans appropriés de I'ISO 3002/1.
Les définitions des axes et des plans de la machine sont basées sur I'ISO 841.
b) Définitions des angles de position et des angles de mouvement.
c) Formules de conversion.
d) Exemples pratiques.
NOTE - En supplément aux termes donnés dans les trois langues officielles de I'ISO (anglais, français, russe), la présente partie de I'ISO 3002
donne les termes équivalents en allemand et en néerlandais; ces termes ont été inclus B la demande du comité technique ISO/TC 29, et sont
publiés sous la responsabilité des comités membres de l'Allemagne, R.F. (DIN) et des Pays-Bas ("1). Toutefois, seuls les termes donnés dans
les langues officielles peuvent etre considérés comme termes ISO.
IS0 3002/2-1982 (FI
2 Définitions des axes de coordonnées
Axes de l'outil en main et de l'outil en travail
2.1
Les axes sont définis en utilisant pour l'outil en main le système de référence de l'outil en main et pour l'outil en travail le
système de référence de l'outil en travail. Les axes sont définis par l'intersection des plans et, ci-dessous, les deux plans
appropriés sont donnés entre parenthèses.
2.1.1 Axes de l'outil en main
Système f d'axes de coordonnées : X, (P, Pp), Y, (Pp P,), Z, (P, P,).
L'axe X, est positif dans une direction qui s'éloigne à la fois du bec de référence de l'outil (comme défini dans I'ISO 3002/1)
et de la surface engendrée supposée; l'axe Y, est positif dans la direction opposée à la direction supposée de coupe; l'axe Z,
est positif dans une direction qui s'éloigne de la surface coupée supposée sur la pièce. [Voir figures 1 et 2.1
NOTE - Les axes qui en résultent peuvent former un système de coordonnées soit a droite, soit a gauche, suivant le type d'outil consid6ré.
l'utilisation a laquelle il est destiné et la position du point considéré sur I'arete.
De la même facon, d'autres systèmes d'axes de l'outil en main peuvent être définis. Cependant, pour l'application pratique des
formules de conversion, seul le système f est nécessaire. C'est pourquoi l'expression plus générale (taxes de l'outil en main))
sera utilisée ci-après pour désigner le ((système f d'axes)).
NOTE - Pour un outil donné, le système d'axes de l'outil en main est unique, Les axes sont déterminés seulement par I'op6ration que l'outil est
((supposé)) accomplir (par exemple, pour un outil de tournage cylindrique, les axes de l'outil en main ne changent pas par rapport a l'outil, si
l'outil est utilisé pour une opération de dressage).
2.1.2 Axes de l'outil en travail
Système fe d'axes de coordonnées : X,, (P,, Ppe), Y,, (Ppe P,,), Z,, (P,, Pre).
De la même facon, dans ce système, l'axe X,, est positif dans une direction qui s'éloigne à la fois du bec de référence de
l'outil, (comme défini dans I'ISO 3002/1) et de la surface engendrée supposée; l'axe Y,, est positif dans la direction opposée
à la direction résultante de coupe; l'axe Z,, est positif dans une direction qui s'éloigne de la surface coupée sur la pièce.
[Voir figures 1 et 2.1
NOTE ~ Les axes qui en résultent peuvent former un système de coordonn6es soit a droite, soit a gauche, suivant le type d'outil consid6r6,
l'utilisation a laquelle il est destin6 et la position du point considéré sur I'arete.
De la même facon, d'autres systèmes d'axes de l'outil en travail peuvent être définis. Cependant, pour l'application pratique
des formules de conversion, seul le système f, est nécessaire. C'est pourquoi, l'expression plus générale (taxes de l'outil en
travail)) sera utilisée ci-après pour désigner ((le système f, d'axes)).
NOTE - L'orientation des axes de l'outil en travail, par rapport a l'outil, peut changer en fonction de la direction résultante de coupe et de
l'orientation de l'outil sur la machine.
2.2 Définitions des axes et des plans de la machine
Pour chaque type de machine-outil, un système de référence des axes de la machine est défini dans I'ISO 841.
Malheureusement, la nomenclature des axes définie dans cette norme n'est pas applicable directement à la présente partie
de I'ISO 3002; cependant, elle a été utilisée pour déterminer l'orientation d'un système de référence des plans de la machine.
Lorsque l'outil est dans sa ((position zéro)) sur la machine, de telle sorte que le système de référence de l'outil en main (P,-P -P )
!p
co'incide avec le système de référence des plans de la machine (défini par les axes X-Y-Zde I'ISO 8411, et lorsque l'outil est
dans sa ((position la plus naturelle)), de telle sorte que le plan de travail conventionnel, P,, soit parallèle à la direction de la
composante du mouvement d'avance prédominante pour l'opération d'usinage considérée, on définit une série d'axes de
position de la machine fixes (X,-Y,-Z,) qui co'incident avec les axes de l'outil en main. Donc, lorsque l'outil est dans sa
((position zéro)) :
- l'axe de position de la machine, X,, coïncide avec l'axe de l'outil en main, X,;
- l'axe de position de la machine, Y,, coïncide avec l'axe de l'outil en main, Y,;
- l'axe de position de la machine, Z,, coïncide avec l'axe de l'outil en main, Z,.
IS0 3002/2-1982 (FI
Définition des angles de position et des angles de mouvement
Deux séries de trois angles (angles d'Euler) sont nécessaires, une série pour définir l'orientation des axes de l'outil en main
(X,, Y,, Z,), par rapport aux axes de position de la machine (X,, Y,,Z,) (voir figure 31, et la deuxième série pour définir
l'orientation des axes de l'outil en travail (X,,, Y,,, Zfe), par rapport aux mêmes axes de position de la machine (voirfigure4).
On peut noter que la Ire série d'angles correspond au mode de positionnement pratique de l'outil avec un porte-outil classique
[voir figure 31.
Dans quelques cas pratiques, la 2e série d'angles n'est pas en rapport direct avec les données d'atelier. Pour ces cas, une autre
facon de procéder est indiquée en 3.3, utilisant les composantes de la vitesse d'avance et de coupe par rapport aux axes de
position de la machine afin de déterminer les angles auxiliaires de 4.3.
3.1 Angles de position
La position du système de référence de l'outil en main défini par X,, Y,, Z,, par rapport au système de référence de la
machine défini par X,, Y,, Z,, est déterminée par trois angles : l'angle de position en plan G, l'angle de position en
élévation H, l'angle de position en pivotement L. Les définitions de ces angles sont données ci-après. Ces angles sont illustrés
aux figures 3a) et 3b). On suppose que l'outil est initialement dans sa ((position zéro)) sur la machine-outil, de telle sorte que
le système de rdférence de l'outil en main coïncide avec le système de référence de la machine, et que l'outil est dans sa
position ((la plus naturelle)) sur la machine-outil (voir 2.2). On fait alors pivoter l'outil successivement des angles G, H, L
comme illustré par les échelles graduées du porte-outil de la figure 3a). Les angles G, H, L définissent alors le positionnement
du système de référence de l'outil en main par rapport au système de référence de la machine.
Les angles peuvent être appliqués dans n'importe quel ordre : cependant, les explications des rotations qui sont incorporées
dans les définitions supposent que les angles sont appliqués dans l'ordre G, H, L.
3.1.1
Angle de position en plan, G
Angle entre le plan de travail conventionnel, P,, dans sa position zéro, et le plan de travail conventionnel, P,, dans sa position
finale, mesuré dans le plan de référence de l'outil, P,, dans sa position zéro.
II correspond à une rotation autour de l'axe de position de la machine, Y,. Cette rotation fait prendre aux axes de
coordonnées de l'outil en main une position intermédiaire où ils sont désignés Xi, Y,, Z;. [Voir figures 3a) et 3bI.l
La convention de signe est définie de la façon suivante :
Si l'angle de position en plan, G, augmente positivement, l'angle K~, diminue et l'angle $re augmente.
3.1.2 Angle de position en élévation, H
Angle entre l'axe de position de la machine, Y,, et sa projection sur la position finale du plan de travail conventionnel, P,. II
correspond à une rotation autour de l'axe intermédiaire, Z;.
Cette rotation donne la position finale de l'axe de l'outil en main,)(, , une position intermédiaire de l'axe de l'outil en main Y, qui
est désigné Y; et Z; est inchangé. Donc, les axes de l'outil en main, dans cette seconde position intermédiaire, sont désignés
x,, y;,z;.
La convention de signe est définie de la facon suivante :
Si l'angle de position en élévation, H, augmente positivement, l'angle y,, augmente positivement.
-
3.1.3 Angle de position en pivotement, L
Angle entre le plan de référence de l'outil, P,, dans sa position zéro, et le plan de référence de l'outil, P,, dans sa position
finale, mesuré dans le plan de travail conventionnel, P,, dans sa position finale.
II correspond a une rotation autour de l'axe de l'outil en main X, final. Cette rotation donne la position finale des axes de
l'outil en main, X,, Y,, Z,, par rapport aux axes de r6férence de la machine.
La convention de signe est définie de la façon suivante :
Si l'angle de position en pivotement, L, augmente positivement, l'angle cife augmente.
IS0 3002/2-1982 (FI
3.2 Angles de mouvement
La position du système de référence de l'outil en travail, défini par X,,, Y,,, Z,,, par rapport au système de référence de
la machine défini par X,, Y,, Z,, peut être déterminée par trois angles : l'angle de mouvement en plan, M, l'angle de
pivotement,
mouvement en élévation, N, et l'angle de mouvement en T. En 3.3 est donnée une autre méthode pour
déterminer ces positions relatives. Les définitions de ces angles sont données ci-après. On peut noter que l'orientation du
système de référence de l'outil en travail par rapport au système de référence de la machine est déterminée par les directions
et grandeurs de la vitesse de coupe et de la vitesse d'avance.
Les angles de mouvement sont illustrés à la figure 4. On suppose qu'un système d'axes de coordonnées, x, y, I, qui coïncide
initialement avec le système d'axes de la machine, X,, Z,, coïncidera avec le système d'axes de l'outil en travail,
X,,, Y,,, Z,,, au moyen de trois rotations d'Euler.
3.2.1
Angle de mouvement en plan, M
Angle entre le plan de la machine, Y, -Z,, et le plan de travail, P,,, mesuré dans le plan de la machine, X, -Z,. II correspond
à une position intermédiaire du système auxiliaire x, y, z par une rotation de l'angle M autour de l'axe de position de la
machine, Y,. Les axes de coordonnées, dans cette position intermédiaire, sontdésignésx', Ym,z' (voir figure 4). Laconvention
de signe est définie de la façon suivante :
Si l'angle de mouvement en plan, M, augmente positivement, l'angle K,, augmente et l'angle $re diminue.
En tournage conventionel, M est l'angle entre l'axe de rotation de la pièce et la direction d'avance, donc :
- pour le tournage cylindrique, M = O (voir figure 5);
T
pour le tournage d'un cône d'angle au sommet, T : M =-.
-
2'
- pour la plupart des autres opérations, l'angle de mouvement en plan, M, est égal à zéro.
3.2.2 Angle de mouvement en élévation, N
Angle entre l'axe de position de la machine, et sa projection sur le plan de travail, P,,.
II correspond a une seconde position intermédiaire par une rotation autour de l'axez' de la position intermédiaire x', Y,, z'.
Les axes dans cette seconde position intermédiaire sont désignés X,,, y', z'. Cette rotation donne la position finale de I'axeX,,
et une position intermédiaire de l'axe y'. La désignation de Z' est inchangée puisque la rotation s'effectue autour de cet axe.
La convention de signe est définie ainsi :
Si l'angle de mouvement en élévation, N, augmente positivement, l'angle y,, diminue positivement.
En tournage cylindrique conventionnel, si le point considéré de l'arête est déporté de h en dessous de l'axe de rotation [voir
figure 5b)], l'angle Nest calculé à partir de
2h
sin N =-
d
oÙ d est le diamètre effectif de la pièce au point considéré de l'arête.
En perçage, N est égal à l'angle de position en élévation H, puisque pour cette opération le plan de travail conventionnel P,
et le plan de travail Pf, restent en coïncidence et que N et H représentent, par rapportà la position zéro, la position angulaire
d'un rayon, passant par le point considéré.
Dans la plupart des cas, l'angle de mouvement en élévation, N, est nul.
3.2.3 Angle de mouvement en pivotement, T
Angle entre le plan de la machine, X,-Z,, et le plan de référence en travail, P,,, mesuré dans le plan de travail, P,,.
II correspond a une rotation autour de l'axe, X,,, du second système intermédiaire, X,,, y', z', qui devient le système de
l'outil en travail, X,,, Y,,, Zfe.
La convention de signe est définie ainsi :
Si l'angle de mouvement en pivotement, T, augmente positivement, l'angle afe décroît.
Y,,
Y,,
IS0 3002/2-1982 (FI
En tournage conventionnel (tournage cylindrique, conique, en plongée et latéral), si la direction de coupe est parallèle à l'axe
de la machine, c'est l'angle entre la direction de coupe et la direction résultante de coupe (c'est-à-dire l'angle de la
direction résultante 17)
f
tgT=-
nd
où
d est le diamètre effectif, en millimètres, de la pièce au point considéré de l'arête;
f est l'avance en millimètres par tour.
En fraisage en roulant et en fraisage latéral, c'est la somme de l'angle de position en pivotement, L, et de l'angle de ladirection
résultante de coupe, 7) (voir figure 6).
En perçage, Test égal à l'angle de la direction résultante de coupe, 17.
3.3 Autre méthode pour lier le système de référence de l'outil en travail au système de référence de la
machine
Si la valeur des angles de mouvement ne peut pas être déduite facilement des données d'atelier (c'est-à-dire tournage conique
avec un outil non centré), la position du système de référence de l'outil en travail défini par X,,, Yfe, Zfe, par rapport au
système de référence de la machine défini par X,, Y,, Z,, peut être déterminée à partir des composantes suivant X,,
Z,, de la vitesse d'avance, v,, et de la vitesse de coupe, vc, désignées comme suit :
composantes de la vitesse d'avance (vfIx,, (vf)Y,, (vf)=,
composantesde la vitesse de coupe (v~)~,, (v~)~,, (vc)=,
et utilisées pour déterminer les angles auxiliaires comme indiqué en 4.3.
4 Liste des formules de conversion - Cas general
La transformation directe est l'expression donnant les angles en travail en fonction des angles de l'outil, des angles de position
et des angles de mouvement. La transformation inverse est l'expression donnant les angles de l'outil en fonction des angles en
travail, des angles de position et des angles de mouvement.
Dans les équations, des angles auxiliaires, définis en 4.3, sont utilisés. Ils sont désignés par la notation générale (i, j) et sont
définis en fonction des angles de position et des angles de mouvement de l'outil (composantes respectives de lavitessed'avance
et de la vitesse de coupe).
Bien que les expressions soient complexes, elles sont, en pratique, considérablement simplifiées, pui'sque certains angles sont
généralement égaux soit à O", soit à 90".
En plus des formules de conversion ci-dessous, le tableau ((Relations entre les angles dans le système de l'outil en main))
figurant en 6.6 de I'ISO 3002/1 devra être utilisé. Le même tableau peut être utilisé pour les angles en travail, sous réserve
d'ajouter le suffixe (te)) à tous les angles.
4.1 Transformation directe (angles en travail en fonction des angles de l'outil)
-
4.1.1 Angle d'inclinaison d'arête en travail
sin hse = cos h, sin K cos (1,2) + sin h, cos (2,2) - cos h, cos K~ cos (3,2)
4.1.2 Angle de direction d'arête en travail
A, sin Kr cos (1.1 ) + sin h, cos (2,l) - cos A, cos K~ cos (3,i)
+sinAs cos(2,3)-cosh,cos~~cos(3,3) 1
Y,,
Y,,
IS0 3002/2-1982 (FI
4.1.3 Angle de coupe normal en travail
1, ,[-siny, sinAssinKr +cosy, COSK,]cos(l,2) +
sin?,, =-
cos A,,
+ (sin y, sin As cos K, + cosy, sin K,] cos (3.2) + sin y, cos A, cos (2.2) I I
ou :
cos(y,,-y,) =[COSK~ cos(1,l) +sin~~~0~(3,1)]cosK,, +[CosKr Cos(l.3) +SinKr cos(3,3)]sin~~~
NOTE - Pour utiliser cette dernière relation, il est essentiel de savoir au départ si l'angle de coupe normal en travail est plus grand ou Plus petit
que l'angle de coupe normal de l'outil.
4.1.4 Dépouille normale en travail
-
cos 01" e - - 1 [sina, COSK~-COS(Y, sinXssinK,]cos(1,2) t
cos As,
+ [COSOL, sini, COSK, + sincr, sin~,] cos (3.2) + COSOL, COSA, c0s(2,2)~ \
ou :
cos (ane -an) = [cos K , cos (1,l) + sin K, cos (3.1 )] COS K,, + [cos K, cos (1.3) + sin K~ cos (3.311 sin K~,
NOTE - Pour utiliser cette dernière relation, il est essentiel de savoir au départ si la dépouille normale en travail est plus grande ou plus petite
que la dépouille normale de l'outil.
En outre, on peut noter que si soit l'angle de coupe normal en travail, T,,, soit la dépouille normale en travail, (Y,,, a été
déterminé, l'autre en découle à partir de la relation :
et O,, = O,
a,, + O,, + Y,, = go0
4.1.5 Angle de coupe latéral en travail
tg yf cos (3,3) + tg y, COS (1.3) - COS (2.3)
-
tg
- cos (2,2) - tg yf COS (3.2) - tg 7, COS (1 2)
4.1.6 Angle de coupe vers l'arrière en travail
tg yt cos (3.1 + tg y, COS (1.1 ) - cos (2.1 )
fgy,, =
cos (2,2) - tg yf COS (32) - tg 7, COS (1 2)
4.1.7 D6pouille latérale en travail
ctg cos (3,3) + ctg COS (1,3) - COS (2.3)
ctg (Ilfe =
COS (2.2) - ctg COS (3.2) - ctg COS (1,2)
4.1.8 Dépouille vers l'arrière en travail
ctga, cos (3,l) + ctga, COS (1,l) -COS (2.1)
ctg (Ype =
COS (2,2) - ctg COS (3,2) - ctg COS (1,2)
4.2 Transformation inverse (angles de l'outil en fonction des angles en travail)
4.2.1 Angle d'inclinaison d'arête de l'outil
sin X, = cos A,, sin K,, cos (2,l) + sin A,, cos (2.2) - cos A,, cos K,, cos (2,3)
4.2.2 Angle de direction d'arête de l'outil
COSA,, sinKr, cos(l.1) + sinX,, cos(l,2) -cosAs, COSK,, cos(l,3)
tgKr =-
cos A,, sin K~~ cos (3,l) + sin A,, cos (3,2) - cos A,, cos lire cos (3,3)
c 1
IS0 3002/2-1982 (FI
4.2.3 Angle de coupe normal de l'outil
1,
sin y, = - 1 [-sin?,, sinAS, sinKr, + COSY,, COSK~,] cos (2,l) +
cos A,
+ [sin?,, sin~,,cos~~~+cosy,,sinK~,]cos(2,3) + siny,, COSA,, cos(2,2), I
L'angle de coupe normal de l'outil, Y,, peut également être dérivé de l'expression donnant cos (Y,,, -7,) indiquée en 4.1.
Cependant, pour utiliser cette relation, il est essentiel de savoir au départ si l'angle de coupe normal de l'outil est plus grand
ou plus petit que l'angle de coupe normal en travail.
4.2.4 Dépouille normale de l'outil
1I
cosa, = - I [-cosan, sink,, sinKr, + sinane COSK,,] cos (2,l) +
cos 1,
+ [cosan, sink,, COSK,, + sina,, sinKr,]cos(2,3)+cosa,e COSA,, cos(2.2)).
La dépouille normale de l'outil, a,, peut également être dérivée de l'expression donnant cos (ane -an) indiquée en 4.1.
Cependant, pour utiliser cette relation, il est essentiel de savoir au départ si la dépouille normale de l'outil est plus grande ou
plus petite que la dépouille normale en travail.
si soit l'angle de coupe normal de l'outil, soit la dépouille normale de l'outil a été déterminé,
En outre, on peut noter que
a partir de la relation :
l'autre en découle
a, +O, +y, = 90" et O, =O,,
4.2.5 Angle de coupe latéral de l'outil
tg y,, cos (3.3) + tg y,, COS (3.1 1 - COS (3.2)
tg
= - tg y,, cos (2.3) - tg yp, cos (2,l) + cos (2.2)
4.2.6 Angle de coupe vers l'arrière de l'outil
tgy,, cos(l,3) +tgyP,co~(1,1)-cos(1.2)
-
tgyP - - tgy,, COS (2.3) - tgy,, COS (2,l) + COS (2.2)
4.2.7 Dépouille latérale de l'outil
ctg afe COS (3,3) + ctg ape COS (3,l) -COS (3,2)
ctga, =
- ctg af, COS (2.3) - ctg ape COS (2.1) + COS (2.2)
4.2.8
Dépouille vers l'arrière de l'outil
ctga,,cos(1,3) + ctga,,cos(1,1)-cos(1,2)
ctg a, =
-ctga,, COS (2,3) -ctgape COS (2.1) + COS (2,2)
-
4.3 Angles auxiliaires
La signification géométrique des angles auxiliaires (i, j) est la suivante :
L'angle (1,l) est l'angle entre les axes X, et X,,
L'angle (2,l) est l'angle entre les axes Y, et X,,
L'angle (3,l) est l'angle entre les axes Z, et Xf,
L'angle (1,2) est l'angle entre les axes X, et Y,,
L'angle (2,2) est l'angle entre les axes Y, et Y,,
IS0 3002/2-1982 (FI
L’angle (3,2) est l‘angle entre les axes Z, et Y,,
L’angle (1,3) est l’angle entre les axes X, et Z,,
L‘angle (2,3) est l’angle entre les axes Y, et Z,,
L‘angle (3,3) est l’angle entre les axes Z, et Z,,
Les valeurs de cos (i, j) peuvent être exprimées en fonction, d‘une part des cosinus des angles entre les axes de l‘outil en main
(X,, Y,, Zf) et les axes de position de la machine (X,, Y,, Z,), et d’autre part des cosinus des angles entre les axes de l’outil
en travail (X,,, Yf,,Zf,) et les axes de position de la machine (X,, Y,,Z,) :
cos(1,l) = cos(x,,x,) c0s(x,,,x,) +COS(X,, Y,) COS(X,,, Y,) +COS(X,,Z,) cos(x,,,z,)
cos(2,l) =cos(Y,,X,) cos(x,,,x,) +cos(Y,,Y,) COS(X,,, Y,) +cos~Y,,z,~cos~x,,,z,~
cos(3,l) =cos(Z,,X,) cos(X,,,X,) +cos(Z,, Y,) CoS(X,,, y,) +~~s(~,,~,) CoS(X,,,z,)
cos(l.2) =cos(X,,X,) cos(Y,,,x,) +COS(X,, Y,) cos(Y,,, Y,) +COS(Xf,Z,) cos(~,,.z,)
cos (2,2) = cos (Y,, X,) cos (Y,,, x, + cos (Y,, Y,) cos (Y,,, Y, 1 + cos (Y,,Z, 1 cos (Yfe,Z,)
cos(3,2) =cos(Z~,X,)COS(Y~~,X,) +cos(Z,, Y,) CO^(^,,,^,) +~~S(~,,~,)~~S(~,,,~,)
cos(l,3) =cos(X,,X,) cos(Z,,,X,) +cos(X,, Y,) cos(Z,,, Y,) +cos(X,,Z,) ~o~(~,,,~,)
cos(2.3) =cos(Y,,X,) cos(Z,,,X,) +cos(Y,, Y,) cos(Z,,, Y,) +cos(Y,,Z,) COS(Z,,,Z,)
cos(3.3) =cos(z,,x,) cos(z,,,x,) +COS(Z,, Y,) COS(Z,,, Y,) +cos(z,,z,) COS(Z,,,Z,)
Les angles entre les axes de l’outil en main et les axes de la machine peuvent être exprimés en fonction des angles de position :
cos (X,, X, ) = COS G cos H
cos (X,, Y, ) = sin H
cos (X, ,Z,) = - sin G cos H
cos (Y,, X, 1 = -cos G sin H cos L + sin G sin L
cos (Y,, Y,) = COSH cos L
cos(Y,,Z,)=sinGsinHcosL +cosGsinL
cos (Z,, X,) = cos G sin H sin L + sin G cos L
cos (Z,, Y,) = - cos H sin L
cos(Z,,Z,)=-sinGsinHsinL +cosGcosL
Les angles entre les axes de l’outil en travail et les axes de position de la machine peuvent être exprimés de deux façons : en
de mouvement (lre façon) ou en fonction des composantes de la vitesse de coupe et de la vitesse d‘avance
fonction des angles
(2e façon).
1 re f aeon
(X,,, X,) = cos M cos N
cos
cos (X,,, = sin N
cos (X,,,Z,) = - sin M cos N
cos (Y,,, X,) = -cos M sin N cos T + sin M sin T
cos (Y,,, Y, ) = cos N cos T
cos (Y,,,Z,) = sin M sin N cos T + cos M sin T
cos (Z,,, X,) = cos M sin N sin T + sin M cos T
cos (Z,,, Y,) = - cos N sin T
cos (Zfe,Zm) = - sin M sin N sin T + cos M cos T
Y,)
IS0 3002/2-1982 (FI
2e façon
(V&, + (Vf)Z,
cos (Yf,,Zm) =-
bel
Le produit sin cp vc v, peut être calculé directement ou dérivé de l'expression suivante
cp est l'angle de la direction d'avance;
vc est la grandeur de la vitesse de coupe;
V, est la grandeur de la vitesse d'avance.
NOTE - Dans certains cas, suivant le type d'outil considéré,
...

Norme internationale
INTERNATIONAL ORGANIZATION FOR STANDARDIZATIONWlE)I(LZYHAPO~HAR OPrAHM3A~MR Il0 CTAH~APTH3A~HH.ORGANISATION INTERNATIONALE DE NORMALISATION
Définitions de base pour la coupe et la rectification -
Partie 2 : Géométrie de la partie active des outils
Formules de conversion générales liant
coupants -
les angles de l’outil en main et les angles en travail
Basic quantities in cutting and grinding - Part 2 : Geometry of the active part of cutting tools -
GèneraI con version formulae to
relate tool and working angles
Première édition - 1982-03-01
CDU 621.9.013 Réf. no : ISO 3002/2-1982 (F)
Descripteurs : outil, outil de coupe, caractéristique géométrique, angle d’attaque, définition.
Prix basé sur 35 pages
Avant-propos
L’ISO (Organisation internationale de normalisation) est une fédération mondiale
d’organismes nationaux de normalisation (comités membres de I’ISO). L’élaboration
des Normes internationales est confiée aux comités techniques de I’ISO. Chaque
comité membre intéressé par une étude a le droit de faire partiedu comité technique
Les organisations internationales, gouvernementales et non
correspondant.
gouvernementales, en liaison avec I’ISO, participent également aux travaux.
Les projets de Normes internationales adoptés par les comités techniques sont
soumis aux comités membres pour approbation, avant leur acceptation comme
Normes internationales par le Conseil de I’ISO.
La Norme internationale ISO 3002/2 a été élaborée par le comité technique
lSO/TC 29, Petit outil/age, et a été soumise aux comités membres en août 1977.
Les comités membres des pays suivants l’ont approuvée :
Afrique du Sud, Rép. d’ France Roumanie
Allemagne, R.F. Hongrie Royaume-Uni
Autriche Inde Tchécoslovaquie
Belgique Irlande Turquie
Bulgarie Israël URSS
Chili Italie USA
Corée, Rép. dém. p. de Japon Yougoslavie
Égypte, Rép. arabe d’ Mexique
Espagne Pays-Bas
Les comités membres des pays suivants l’ont désapprouvée pour des raisons
techniques :
Australie
Pologne
@ Organisation internationale de normalisation, 1982 0
Imprimé en Suisse
ii
Sommaire Page
0 Introduction
..........................................
1 Objet et domaine d’application .
2 Définitions des axes de coordonnées. .
......... 2
3 Définition des angles de position et des angles de mouvements.
4 Liste des formules de conversion - Cas général .
5 Formules de conversion pour les cas où le plan de travail, P,,, coïncide avec
le plan de travail conventionnel P, .
6 Exemples pratiques. 10
.....................................
Annexes
A Élaboration des formules de conversion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
B Méthode générale pour obtenir les matrices de transformation de rotations
élémentaires autour des axes X, Y et Z. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
C Liste des termes équivalents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
Figures . . . . . . . . .~.~. . . 25
. . .
III
Page blanche
NORME INTERNATIONALE Iso 3002/2-1982 (F)
Définitions de base pour la coupe et la rectification -
Partie 2 : Géométrie de la partie active des outils
Formules de conversion générales liant
coupants -
les angles de l’outil en main et les angles en travail
i
0 Introduction
La présente partie de I’ISO 3002 présente des formules pouvant être utilisées pour convertir les angles de l’outil en angles en
travail et vice-versa. Les formules sont générales et peuvent être utilisées pour toutes les conditions de coupe possibles. Les
angles de l’outil (angles dans le système de l’outil en main) et les angles en travail (angles dans le système de l’outil en travail)
sont définis dans I’ISO 3002/1, ainsi que les conventions de signes pour ces angles.
Le système de référence de l’outil en main (utilisé pour définir les angles de l’outil) pivote avec l’outil chaque fois que
l’orientation de l’outil par rapport à la machine-outil est changée. De la même façon, l’orientation du système de référence
de l’outil en travail (utilisé pour définir les angles en travail) change quand la direction résultante de coupe change. C’est
pourquoi, afin de lier les systèmes de référence de I!outil en main et de l’outil en travail, il est nécessaire de passer par un
3e système de référence, le système de référence de la machine, qui ne pivote pas quand l’outil est réorienté ou quand la
direction résultante de coupe change.
L’orientation relative des systèmes de référence de l’outil en main et de la machine définit le positionnement de l’outil sur la
machine. L’orientation relative des systèmes de référence de l’outil en travail et de la machine est définie par le mouvement
de l’outil par rapport à la pièce.
Certains principes généraux ont été pris en considération pour l’établissement des formules de conversion :
a) Les définitions des axes dans le système de référence de la machine de I’ISO 841 ont été adoptées.
b)
L’origine de chaque système de coordonnées est prise au ((point considéré)) de l’arête et à un moment donné dans le
temps.
c) Les angles de transformation sont définis de facon à être calculés facilement à partir des données d’atelier.
1 Objet et domaine d’application
La présente partie de I’ISO 3002 a pour objet l’établissement et l’application des formules de conversion; elle est composée
des chapitres suivants :
a) Définitions des axes de coordonnées pour l’outil en main et l’outil en travail dérivées des plans appropriés de I’ISO 3002/1.
Les définitions des axes et des plans de la machine sont basées sur I’ISO 841.
b) Définitions des angles de position et des angles de mouvement.
c) Formules de conversion.
d) Exemples pratiques.
En supplément aux termes donnés dans les trois langues officielles de I’ISO (anglais, français, russe), la présente partie de I’ISO 3002
NOTE -
donne les termes équivalents en allemand et en néerlandais; ces termes ont été inclus à la demande du comité technique ISO/TC 29, et sont
publiés sous la responsabilité des comités membres de l’Allemagne, R.F. (DIN) et des Pays-Bas (NNI). Toutefois, seuls les termes donnés dans
les langues officielles peuvent être considérés comme termes ISO.
ISO 3002/2-1982 (F)
2 Définitions des axes de coordonnées
Axes de l’outil en main et de l’outil en travail
2.1
Les axes sont définis en utilisant pour l’outil en main le système de référence de l’outil en main et pour l’outil en travail le
système de référence de l’outil en travail. Les axes sont définis par l’intersection des plans et, ci-dessous, les deux plans
appropriés sont donnés entre parenthèses.
2.1.1 Axes de l’outil en main
Système f d’axes de coordonnées : X, (Pr PJ, Y, (Pp P,), Zr (Pr Pr).
L’axe Xr est positif dans une direction qui s’éloigne à la fois du bec de référence de l’outil (comme défini dans I’ISO 3002/1)
et de la surface engendrée supposée; l’axe Yf: est positif dans la direction opposée à la direction supposée de coupe; l’axe Zf
est positif dans une direction qui s’éloigne de la surface coupée supposée sur la pièce. [Voir figures 1 et 2.1
NOTE - Les axes qui en résultent peuvent former un système de coordonnées soit à droite, soit à gauche, suivant le type d’outil considéré,
l’utilisation à laquelle il est destiné et fa position du point considéré sur l’arête.
De la même facon, d’autres systèmes d’axes de l’outil en main peuvent être définis. Cependant, pour l’application pratique des
formules de conversion, seul le système f est nécessaire. C’est pourquoi l’expression plus générale «axes de l’outil en main»
sera utilisée ci-après pour désigner le «système f d’axesw.
NOTE - Pour un outil donné, le système d’axes de l’outil en main est unique. Les axes sont déterminés seulement par l’opération que l’outil est
((supposé)) accomplir (par exemple, pour un outil de tournage cylindrique, les axes de l’outil en main ne changent pas par rapport à i’outil, si
l’outil est utilisé pour une opération de dressage).
2.1.2 Axes de l’outil en travail
Système fe d’axes de coordonnées : X,, (P,, P,,), Y,, (Ppe PJ, Z,, (Pf, Pr,).
De la même facon, dans ce système, l’axe X,, est positif dans une direction qui s’éloigne à la fois du bec de référence de
l’outil, (comme’défini dans I’ISO 3002/1) et de la surface engendrée supposée; l’axe Yfe est positif dans la direction opposée
à la direction résultante de coupe; l’axe Zfe est positif dans une direction qui s’éloigne de la surface coupée sur la pièce.
[Voir figures 1 et 2.1
NOTE - Les axes qui en résultent peuvent former un système de coordonnées soit à droite, soit à gauche, suivant le type d’outil considéré,
l’utilisation à laquelle il est destiné et la position du point considéré sur l’arête.
De la même facon, d’autres systèmes d’axes de l’outil en travail peuvent être définis. Cependant, pour l’application pratique
des formules de conversion, seul le système f, est nécessaire. C’est pourquoi, l’expression plus générale «axes de l’outil en
travail)) sera utilisée ci-après pour désigner «le système f, d’axes».
NOTE - L’orientation des axes de l’outil en travail, par rapport à l’outil, peut changer en fonction de la direction résultante de coupe et de
l’orientation de l’outil sur la machine.
2.2 Définitions des axes et des plans de la machine
Pour chaque type de machine-outil, un système de référence des axes de la machine est défini dans I’ISO 841.
Malheureusement, la nomenclature des axes définie dans cette norme n’est pas applicable directement à la présente partie
de I’ISO 3002;cependant, elle a été utilisée pour déterminer l’orientation d’un système de référence des plans de la machine.
Lorsque l’outil est dans sa ((position zéro» sur la machine, de telle sorte que ie système de référence de l’outil en main (Pr-P,-P,)
coïncide avec le système de référence des ‘plans de la machine (défini par les axes X-Y-Z de I’ISO 841), et lorsque l’outil est
dans sa «position la plus naturelle», de telle sorte que le plan de travail conventionnel, P,, soit parallèle à la direction de la
composante du mouvement d’avance prédominante pour l’opération d’usinage considérée, on définit une série d’axes de
position de la machine fixes (X,-Y,-Z,) qui coïncident avec les axes de l’outil en main. Donc, lorsque l’outil est dans sa
((position zéro)) :
- l’axe de position de la machine, X,, coïncide avec l’axe de l’outil en main, X,;
- l’axe de position de la machine, Y,, coïncide avec l’axe de l’outil en main, Y,;
- l’axe de position de la machine, Z,, coïncide avec l’axe de l’outil en main, Z,.
ISO 3002/2-1982 (FI
3 Définition des angles de position et des angles de mouvement
Deux séries de trois angles (angles d’Euler) sont nécessaires, une série pour définir l’orientation des axes de l’outil en main
(X,, Yf, Zf), par rapport aux axes de position de la machine (X,, Y,, Z,) (voir figure 3), et la deuxième série pour définir
Yfe, Zr,), par rapport aux mêmes axes de position de la machine (voir figure 4).
l’orientation des axes de l’outil en travail (X,,,
série d’angles correspond au mode de positionnement pratique de l’outil avec un porte-outil classique
On peut noter que la Ire
[voir figure 31.
Dans quelques cas pratiques, la 2e série d’angles n’est pas en rapport direct avec les données d’atelier. Pour ces cas, une autre
facon de procéder est indiquée en 3.3, utilisant les composantes de la vitesse d’avance et de coupe par rapport aux axes de
position de la machine afin de déterminer les angles auxiliaires de 4.3.
3.1 Angles de position
La position du système de référence de l’outil en main défini par X,, Yf, Zf, par rapport au système de référence de la
machine défini par X,, Y,, Z,, est déterminée par trois angles : l’angle de position en plan G, l’angle de position en
élévation H, l’angle de position en pivotement L. Les définitions de ces angles sont données ci-après. Ces angles sont illustrés
aux figures 3a) et 3b). On suppose que l’outil est initialement dans sa «position zéro» sur la machine-outil, de telle sorte que
le système de référence de l’outil en main coïncide avec le système de référence de la machine, et que l’outil est dans sa
position ((la plus naturelle)) sur la machine-outil (voir 2.2). On fait alors pivoter l’outil successivement des angles G, H, L
comme illustré par les échelles graduées du porte-outil de la figure 3a). Les angles G, H, L définissent alors le positionnement
du système de référence de l’outil en main par rapport au système de référence de la machine.
: cependant, les explications des rotations qui sont incorporées
Les angles peuvent être appliqués dans n’importe quel ordre
dans les définitions supposent que les angles sont appliqués dans l’ordre G, H, L.
3.1.1 Angle de position en plan, G
Angle entre le plan de travail conventionnel, P,, dans sa position zéro, et le plan de travail conventionnel, P,, dans sa position
finale, mesuré dans le plan de référence de l’outil, Pr, dans sa position zéro.
Y”. Cette rotation fait prendre aux axes de
II correspond à une rotation autour de l’axe de position de la machine,
coordonnées de l’outil en main une position intermédiaire où ils sont désignés X,, Y,, Z;. [Voir figures 3a) et 3b).]
La convention de signe est définie de la façon suivante :
Si l’angle de position en plan, G, augmente positivement, l’angle K,, diminue et l’angle $,, augmente.
3.1.2 Angle de position en élévation, H
Angle entre l’axe de position de la machine, Y,, et sa projection sur la position finale du plan de travail conventionnel, P,. Il
correspond à une rotation autour de l’axe intermédiaire, Z;.
Cette rotation donne la position finale de l’axe de l’outil en main, X,, une position intermédiaire de l’axe de l’outil en main Y, qui
est désigné Y; et Z; est inchangé. Donc, les axes de l’outil en main, dans cette seconde position intermédiaire, sont désignés
x,, y;* z;.
La convention de signe est définie de la facon suivante :
Si l’angle de position en élévation, H, augmente positivement, l’angle ype augmente positivement.
3.1.3 Angle de position en pivotement, L
Angle entre le plan de référence de l’outil, Pr, dans sa position zéro, et le plan de référence de l’outil, P,, dans sa position
finale, mesuré dans le plan de travail conventionnel, P,, dans sa position finale.
II correspond à une rotation autour de l’axe de l’outil en main Xf final. Cette rotation donne la position finale des axes de
l’outil en main, Xf, Yf, Z+ par rapport aux axes de reférence de la machine.
La convention de signe est définie de la façon suivante :
Si l’angle de position en pivotement, L, augmente positivement, l’angle CY,, augmente.

ISO 3002/2-1982 (F)
3.2 Angles de mouvement
La position du système de référence de l’outil en travail, défini par X,,, Yfe, Zfe, par rapport au système de référence de
la machine défini par X,, Y,, Zm, peut être déterminée’ par trois angles : l’angle de mouvement en plan, M, l’angle de
mouvement en élévation, N, et l’angle de mouvement en pivotement, T. En 3.3 est donnée une autre méthode pour
déterminer ces positions relatives. Les définitions de ces angles sont données ci-après. On peut noter que l’orientation du
système de référence de l’outil en travail par rapport au système de référence de la machine est déterminée par les directions
et grandeurs de la vitesse de coupe et de la vitesse d’avance.
Les angles de mouvement sont illustrés à la figure 4. On suppose qu’un système d’axes de coordonnées, x, y, z, qui coïncide
Y,, Zm, coïncidera avec le système d’axes de l’outil en travail,
initialement avec le système d’axes de la machine, X,,
X,,, Yf,, Zfe, au moyen de trois rotations d’Euler.
3.2.1 Angle de mouvement en plan, A4
Angle entre le plan de la machine, Y, -Zm, et le plan de travail, P,,, mesuré dans le plan de la machine, X, -Zm. II correspond
à une position intermédiaire du système auxiliaire x, y, z par une rotation de l’angle M autour de l’axe de position de la
machine, Ym. Les axes de coordonnées, dans cette position intermédiaire, sont désignésx’, Y m ,z’ (voir figure 4). La convention
de signe est définie de la façon suivante :
Si l’angle de mouvement en plan, M, augmente positivement, l’angle K re augmente et l’angle $,, diminue.
En tournage conventionel, M est l’angle entre l’axe de rotation de la pièce et la direction d’avance, donc :
‘b
- pour le tournage cylindrique, M = 0 (voir figure 5);
T
- pour le tournage d’un cône d’angle au sommet, T :
M =-;
- pour la plupart des autres opérations, l’angle de mouvement en plan, M, est égal à zéro.
3.2.2 Angle de mouvement en élévation, N
Angle entre l’axe de position de la machine, Y,, et sa projection sur le plan de travail, P,,.
II correspond à une seconde position intermédiaire par une rotation autour de l’axe z’ de la position intermédiaire x’, Y,, z’.
Les axes dans cette seconde position intermédiaire sont désignés X,,, y’, z’. Cette rotation donne la position finale de l’axe X,,
et une position intermédiaire de l’axe y’. La désignation de z’ est inchangée puisque la rotation s’effectue autour de cet axe.
La convention de signe est définie ainsi :
Si l’angle de mouvement en élévation, N, augmente positivement, l’angle y,, diminue positivement.
En tournage cylindrique conventionnel, si le point considéré de l’arête est déporte de h en dessous de l’axe de rotation [voir
figure 5b)], l’angle N est calculé à partir de
2h
=-
sin N
d
où d est le diamètre effectif de la pièce au point considéré de l’arête.
En perçage, N est égal à l’angle de position en élévation H, puisque pour cette opération le plan de travail conventionnel P,
et le plan de travail Pfe restent en coïncidence et que N et H représentent, par rapport à la position zéro, la position angulaire
d’un rayon, passant par le point considéré. I
Dans la plupart des cas, l’angle de mouvement en élévation, N, est nul.
3.2.3 Angle de mouvement en pivotement, T
-Z,, et le plan de référence en travail, Pre, mesuré dans le plan de travail, P,,.
Angle entre le plan de la machine, X,
II correspond à une rotation autour de l’axe, X,,, du second système intermédiaire, Xfe, y’, z’, qui devient le système de
l’outil en travail, X,,, Yf,, Zfe.
La convention de signe est définie ainsi :
Si l’angle de mouvement en pivotement, T, augmente positivement, l’angle afe décroît.
ISO 3002/2-1982 (FI
En tournage conventionnel (tournage cylindrique, conique, en plongée et latéral), si la direction de coupe est parallèle à l’axe
de la machine, Y,, c’est l’angle entre la direction de coupe et la direction résultante de coupe (c’est-à-dire l’angle de la
direction résultante q)
f
=-
tg T
nd
où
d est le diamètre effectif, en millimètres, de la pièce au point considéré de l’arête;
f est l’avance en millimètres par tour.
En fraisage en roulant et en fraisage latéral, c’est la somme de l’angle de position en pivotement, L, et de l’angle de la direction
résultante de coupe, Q (voir figure 6).
En perçage, T est égal à l’angle de la direction résultante de coupe, Q.
3.3 Autre méthode pour lier le système de référence de l’outil en travail au système de référence de la
machine
Si la valeur des angles de mouvement ne peut pas être déduite facilement des données d’atelier (c’est-à-dire tournage conique
avec un outil non centré), la position du système de référence de l’outil en travail défini par Xfe, Yf,, Zfe, par rapport au
Y,, Z,, peut être déterminée à partir des composantes suivant X,, Y,,
système de référence de la machine défini par X,,
Z,, de la vitesse d’avance, vf, et de la vitesse de coupe, vC, désignées comme suit :
composantes de la vitesse d’avance (v& (vf) y
(Vf )z,
m’ m’
composantes de la vitesse de coupe ( vJX (v,) y (v&
m’ m’ m
et utilisées pour déterminer les angles auxiliaires comme indiqué en 4.3.
4 Liste des formules de conversion - Cas général
La transformation directe est l’expression donnant les angles en travail en fonction des angles de l’outil, des angles de position
et des angles de mouvement. La transformation inverse est l’expression donnant les angles de l’outil en fonction des angles en
travail, des angles de position et des angles de mouvement.
Dans les équations, des angles auxiliaires, définis en 4.3, sont utilisés. Ils sont désignés par la notation générale (i, j) et sont
définis en fonction des angles de position et des angles de mouvement de l’outil (composantes respectives de lavitessed’avance
et de la vitesse de coupe).
Bien que les expressions soient complexes, elles sont, en pratique, considérablement simplifiées, puiSque certains angles sont
généralement égaux soit à Oo, soit à 90’.
En plus des formules de conversion ci-dessous, le tableau ((Relations entre les angles dans le système de l’outil en main))
figurant en 6.6 de I’ISO 3002/1 devra être utilisé. Le même tableau peut être utilisé pour les angles en travail, sous réserve
d’ajouter le suffixe (te)) à tous les angles.
4.1 Transformation directe (angles en travail en fonction des angles de l’outil)
4.1.1 Angle d’inclinaison d’arête en travail
sin A,, = COS A, sin K, COS (1,2) + sin A, COS (2,2) - COS X, COS K~ COS (3,2)
4.1.2 Angle de direction d’arête en travail
+Sinh, COS(2,1)-CO+OSK,COS(3,1)
tgKre = -
+sinX, cos(2,3) -cosA, COSK, COS (3,3)
ISO 3002/2-1982 (F)
4.1.3 Angle de coupe normal en travail
=- s -siny, sinh,sinK, +COS~, cos~~]~0~(1,2) +
sin y,,
COS A,, 3
-i- [sin y, sin AS COS K + COS y, sin Kr] COS (3,2) + siny, COS h, COS (2,2) )
r
ou :
-7,) = [COSKr cos(l,l) + sinKr COS (3,1)] COSKre + [cosKr Cos (1,3) + sinKr cas (3,3)] sinKre
COS (y,,
NOTE - Pour utiliser cette dernière relation, il est essentiel de savoir au départ si l’angle de coupe normal en travail est plus grand ou plus petit
que l’angle de coupe normal de l’outil.
4.1.4 Dépouille normale en travail
=-
COS cl, e Sina, COSK, --COS~, sinX, sinK,]cos(1,2) +
COS A,, i '
+ [coq, sinh, COSK, + sincu, sinic,] COS (3,2) +COS~~, COSA, cos(2.2))
ou :
+ [COSKr COS (1,3) + sinK, COS (3,3)] sinK,,
COS (QI,, y,) = [COSK, COS (1,l) + SinKr COS (3,1)] CosKre
NOTE - Pour utiliser cette dernière relation, il est essentiel de savoir au départ si la dépouille normale en travail est pius grande ou plus petite
que la dépouille normale de l’outil.
En outre, on peut noter que si soit l’angle de coupe normal en travail, yne, soit la dépouille normale en travail, Q,~, a été
déterminé, l’autre en découle à partir de la relation :
et P”, = P,
a,, + B,, + Y,, = go”
4.1.5 Angle de coupe latéral en travail
tg 7r COS (3,3) + tg y, COS (1,3) - COS (2,3)
Qnf, =
COS (2,2) - tg yf COS (3,2) - tg y, COS (1,2)
4.1.6 _ Angle de coupe vers l’arrière en travail
tgy,cos(3,1)+tgy,cos(1,1)-cos(2,l)
w,, =
COS (2,2) - tg yf COS (3,2) - tg y, COS (1,2)
4.1.7 Dépouille latérale en travail
ctg Qf COS (3,3) + ctg cy, COS (1,3) - COS (2,3)
ctg CYfe =
COS (2,2) - ctg cyf COS (3,2) - ctg CQ COS (1,2)
4.1.8 Dépouille vers l’arrière en travail
ctg cyf COS (3,l) + ctg cy, COS (1,I) - COS (2,l)
ctg cr,, =
COS (2,2) - ctg cyf COS (3,2) - ctg (Y, COS (1,2)
4.2 Transformation inverse (angles de l’outil en fonction des angles en travail)
42.1 Angle d’inclinaison d’arête de l’outil
sin ?J = Cos A,, sin K,, COS (2,1) + sin A,, COS (2,2) - COS A,, COS K,, COS (2,3)
4.X Angle de direction d’arête de l’outil
cos(l,l) +sin+os(1,2)-cosX,,cosKr~co~(1,3)
tCjK, = -
COS (3,l) + sin h,, COS (3,2) - COS X,, COS K,, COS (3,3)
60 3002/2-1982 (FI
4.2.3 Angle de coupe normal de l’outil
1 I
sin y, =- \ [-siny,, sin A,, sin K,, + COS y,, COS Kif] COS (2,1) +
COS A,
\
sinh,, COSK,, +COS& sin K,,] COS (2,3) + sin y,, COS X,, COS (2,2) I'
+ WV,,
L’angle de coupe normal de l’outil, yn, peut également être dérivé de l’expression donnant COS (r,, -y,) indiquée en 4.1.
Cependant, pour utiliser cette relation, il est essentiel de savoir au départ si l’angle de coupe normal de l’outil est plus grand
ou plus petit que l’angle de coupe normal en travail.
4.2.4 Dépouille normale de l’outil
1 I
=-
COS cy, -cosa,, sinh,, sine,, -t- sina,, COSK,~] COS (2,l) -k
\[
COS h,
\
+ [cosa”e sin A,, cow,, + sina,. sin K,J COS (2,3) +COS~~,, COS A,, COS (2,2),
peut également être dérivée de l’expression donnant COS ((Y,, - ar,) indiquée en 4.1.
La dépouille normale de l’outil, cy,,
Cependant, pour utiliser cette relation, il est essentiel de savoir au départ si la dépouille normale de l’outil est plus grande ou
plus petite que la dépouille normale en travail.
En outre, on peut noter que si soit l’angle de coupe normal de l’outil, soit la dépouille normale de l’outil a été déterminé,
i
l’autre en découle à partir de la relation :
CY, + 0, + y, = 90” et 0, = P,,
4.2.5 Angle de coupe latéral de l’outil
tgyf, cos(3,3) +tgy,. COS (3,l) -c0~(3,2)
tgY, =
- tg yf, COS (2,3) - tg y,, COS CV 1 + COS (22)
4.2.6 Angle de coupe vers l’arrière de l’outil
tgy,, COS (1,3) + tgy,, cos(lJ) -cas (1,2)
vqj =
-tg~~, COS (2,3) -tgy,, COS (2,1) + ca (2,2)
4.2.7 Dépouille latérale de l’outil
ctg afe COS (3,3) + ctg ape COS (3,l) - COS (3,2)
ctg off =
- ctg afe COS (2,3) - ctg ape COS (2,l) + COS (2,2)
4.2.8 Dépouille vers l’arrière de l’outil
ctg O!fe COS (1,3) + ctg ape COS (1 ,l) - cas (1,2)
ctg cy, =
- ctg afe COS (2,3) - ctg ape COS (2,l) + COS (2,2)
4.3 Angles auxiliaires
La signification géométrique des angles auxiliaires (i, j) est la suivante :
L’angle (1 ,l) est l’angle entre les axes X, et X,,
L’angle (2,l) est l’angle entre les axes Y, et X,,
L’angle (3,l) est l’angle entre les axesZ, et X,,
L’angle (1,2) est l’angle entre les axes X, et Y,,
L’angle (2,2) est l’angle entre les axes Y, et Y,,
ISO 3002/2-1982 (FI
L’angle (3,2) est l’angle entre les axes Zf et Y,,
L’angle (1,3) est l’angle entre les axes X, et Z,,
L’angle (2,3) est l’angle entre les axes Y, et Z,,
L’angle (3,3) est l’angle entre les axes Zf et Z,,
Les valeurs de COS (i, j) peuvent être exprimées en fonction, d’une part des cosinus des angles entre les axes de l’outil en main
Y,, Z,), et d’autre part des cosinus des angles entre les axes de l’outil
(X,, Yf, Zf) et les axes de position de la machine (X,,
en travail (X,,, Yte, Zf,) et les axes de position de la machine (Xm, Y,, Zm) :
COS(l,l)~COS(X~,Xm)COS(X~~~~m)+COS(x~~y~)cos(x~~~y~)+cos(x~~z~)cos(x~~~z~)
Y,) +cos(Yf,zm) c0s(x,,,z,)
COS(2,1)=COS(Yf,Xm)COS(Xfe~X~) +Cos(yf#y~)cos(xf~#
Y, ) + COS (Z,, z, ) COS (X, e, z, )
COS (3,l) = COS (Z,,X,) COS (X,,,X,) + COS (Z,, Y,) COS (X,,,
COS(ly2) =COS(Xf,X,) COS(Y,,yXm) +cos(xfY ym) cos(yf,, Ym ) + COS (Xf y Zm ) cOs ( yf,, Zm 1
COS (2,2) = COS (Y,, X,) COS (Y,,, X,) + COS (Y,, Y,) COS (Y,,, Y,) + COS(YfyZm) cOs tyf,,Zm)
COS (3,2) = COS (Zfy X,) COS (Y,,, Xm) + COS (Zf, YmI COS (v,,, YmI + COS (Zf#Zm) cOs tyf,Yzm 1
Y, ) + COS (xf y Zm ) COS (Zf,, zm 1
COS (1,3) = COS (Xfy X,) COS (Z,,y Xm) + Cos lx,, ym 1 cos tzf,Y
COS (2,3) = COS (Y,, X,) COS (Zf,,Xm) + COS (Y,, YmI COS (Zf,t Y, ) + COS (Yfy Zm ) COS (Zf,y Zm 1
COS (3,3) = COS (Zfy Xm) COS (Zfey Xm 1 + cos lzfY ym 1 cos lzf,Y Y, ) + COS (Zfy Zm 1 cOs tzf,Y zm 1
Les angles entre les axes de l’outil en main et les axes de la machine peuvent être exprim& en fonction des angles de position :
COS (X,, X,) = COS G COS H
cas (X,, V,) = sin H
=-sinGcosH
‘cos txfY zm 1
= - COS G sin H COS L + sin G sin L
cos ( yft xm )
cos(Y,, v,) = cosH CO~L
COS ( Y,,Z,) = sin G sin H COS L + COS G sin L
COS (Z,, X,) = cosG sin H sin L + sin G CO~L
,
cos (Zf , ym ) =-cosHsinL
COS (Z,, zm ) =
- sin G sin H sin L + COS G COS L
Les angles entre les axes de l’outil en travail et les axes de position de la machine peuvent être exprimés de deux façons : en
fonction des angles de mouvement (1
re façon) ou en fonction des composantes de la vitesse de coupe et de la vitesse d’avance
(2e façon).
1 re façon
COS (X,,, X,) = COS M COS N
Y,) = sin N
COS (X,,,
=-sinMcosN
cOS txfeY Zm 1
-cosMsinNcosT+sinMsinT
cos ( yf,, xm 1 =
Y,)=cosNcosT
COS (Y,,,
cos(Y,,,Z,)=sinMsinNcosT+cosMsinT
COS (Z,,, X,) = COS M sin N sin T + sin M COS T
=-cosN sin T
cos tzf,Y ym 1
- sin M sin N sin T -t COS M COS T
cos lzf,Y zm ) =
-
*~auuo!$ua~uo~ anb!lpuyh a6eumoa ap suo!$e+do sau!e$mr, aa aq6uold ua a6eumoz ap suo!qeqdo sap l.!ednId el
-
!a6es!eq ap suo!qeqdo sap iAedn(d el
-
isa-qelys suoyeqdo sa1 ~a a6ehad ap suo!leqdo sa1 sanoa
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C
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l sqnwioJ sa1 Samoa suep 1411 31 dr U!S~ - Jed ?3eldwaJ aJ$a $!eJAap +I =A h U!S! ‘St33 a3 Suea
yge6y a~$3 anad [% (4~) w~(3~) - UIZ(~~) LUA (‘A)] aUJJa$ al ‘(a$!OJp e JnOZ ap I!%n0
Uri,,, aJppUO3aS a$gJe,l Jns ?J?p!SUO3 au!od un JnOd no ayme6 $? Jno$ ap (!gno un,p aled!aJ!Jd a@Je,I Jns ?J?p!SUOa $u!od un JnOd ‘qdwaxa Jed)
a$aJe,I JnS aJ?p!SUOD $u!od np uo!$!sod e( Sa +qsap $sa I! allanbeI 9 uo!qes!jyn,I ‘?i?p!suoa I!qno,p adA$ a( )ueqns ‘se3 su!ewm suea - 310~
l wuene,p assaq~ el ap mapuei6 el usa
‘A
iadnoa ap assaq~ el ap mqXKJ6 el $sa
!aauene,p uo!gw.~!p el ap q6ue,I usa dr
: aweyns uo!ssaidxa,I ap ?A!MP no $uau~a~m!p ?lnqea a.~$ anad 4~ ‘A d, U!S qnpoid a1
( wx ‘a4/o SO3 ( w/( ‘“Q() SO3 - ( w/( ‘a4jo SO3 ( wX’a4jo SO3 = ( Wz’a4z) SO3
( wz’a4~) SO~I ( WXda4x) SOD - ( w~‘a’~) SO3 ( WZ’a4)o SO3 = ( w,( ‘a4Z) SO3
( w,( ‘=‘A) SO3 ( wZ’a4X) SO3 - ( wZ’a4,0 SO3 ( w,( ‘“‘)Io SO3 = ( wx ‘“‘z) SO3
=Il
I 1
-= (wz’a4/o SO3
wz(bl) + wz( “n)
=/l
I I
-= (wA ‘=4/0 SO3
wA(*A) + wA(3A)
=A
I I
-= (“x’“zA) SO3
wqbl) + wq3A)
[QI % d, U!S1
= ( wz ‘“)x) SO3
wq bl) Wq3A) - w+l) wq “n)
14A =/l d, U!S1
= ( wA ‘a4x) SO3
wq $A) y “n)
wq bl) wq3A) -
(3) 2861~2/200& OSI
SO 3002/2-1982 (F)
Si le plan P,, coïncide avec le plan P,, les angles de position et de mouvement sont liés comme suit : l’angle de position en
plan G peut avoir une valeur arbitraire non nulle, mais il est toujours identique à l’angle de mouvement en planM, c’est-à-dire :
. . .
G-M (1)
C’est également vrai pour l’angle de position en élévation, H, et l’angle de mouvement en élévation, N, c’est-à-dire :
. . .
H-N (2)
L’angle de position en pivotement L et l’angle de mouvement en pivotement T sont arbitraires et ne sont pas liés directement.
Des relations (1) et (2) ci-dessus, le calcul des angles auxiliaires de 4.3 donne :
cos(l,l) = 1 COS (1,2) = 0 COS (1,3) = 0
=-sin(T-L)
COS (2,l) = 0 COS (2,2) = COS (T-L) COS (2,3)
COS (3,l) = 0 COS (3,2) = sin (T-L) COS (3,3) = COS (T-L)
Pour les opérations d’usinage indiquées auparavant, l’angle de position en pivotement, L, et l’angle de mouvement en
pivotement, T, sont les seuls nécessaires aux conversions. L’angle (T- L) est l’angle entre la direction supposée de coupe
(axe Y,) et la direction résultante de coupe (axe Y,,).
NOTE - Des expressions des angles auxiliaires et de la signification physique de l’angle (T- L), il découle que les axes de l’outil en main et les
axes de l’outil en travail sont liés dire
...